高阶导数
高阶导数
East China University of Science And Technology §2．5 高阶导数设路程函数)(t s s =速度)(d d 't s tsv ==加速度t v a d d =⎟⎠⎞⎜⎝⎛=t s t d d d d 22d d t s Δ=或''''')(ss v a Δ===East China University of Science And Technology如果函数y =f (x )的导数y ′=f ′(x )仍然是x 的可导函数。
则把y ′=f ′(x )的导数叫做函数y =f (x )的二阶导数，类似地，二阶导数y ′′=f ′′(x )的导数叫做函数y =f (x )的三阶导数，记作y ′′，f ′′(x )，或22dx yd ， y ′′′，f ′′′(x )， 或33dx y d ，即 y ′′=(y ′)′ ，f ′′(x )=[f ′(x )]′ ，或)(22dxdy dx d dxyd =。
即 y ′′′=(y ′′)′，f ′′′(x )=[f ′′(x )]′ ，或)(2233dx y d dx d dx yd =。
xx f x x f x Δ−Δ+→Δ)()(lim''0()y f x x =称此极限值为在点的二阶导数,记为存在如果East China University of Science And Technology 一般地，函数y =f (x )的(n −1)阶导数的导数叫做函数y =f (x )的n 阶导数，记作y (n )，f (n )(x )，或n n dxyd ，我们把y =f (x )的导数f ′(x )叫做函数y =f (x )的一阶导数，把二阶及二阶以上的导数统称高阶导数。
即 y (n )=[y (n −1)]′，f (n )(x )=[f (n −1)(x )]′，或n n dxy d )(11−−=n n dx yd dx d 。
高阶导数
1 x2 2nxy ( n1) n(n 1) y ( n2) x y ，且 ， y (0) y ． ( n 2,3, ) 2 2 2 1 x (1 x ) 1 x2
这就是 y ( n ) 满足的递推关系． 例 11 设 y x 2 sin x ，求 y ( n ) ． 解
【本讲总结与下讲预告】
f ( x) g ( x)
所以莱布尼茨公式成立． 设公式对 n m 成立，即
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ，
(k ) ( x) g ( m k ) ( x) ． f ( x) g ( x)( m) Ck mf k 0
m
当 n m 1 时，有
例4 解
1 已知函数 y y ( x) 由方程 x y sin y 0 确定，求 y ． 2
1 在方程 x y sin y 0 两端关于变量 x 求导，将 y 看作中间变量，得 2
1 y
1 y cos y 0 ． 2
在上式两端关于 x 求导，将 y , y 均看作中间变量，得
(n)
(n)
f ( n ) ( x) g ( n ) ( x) ；
k f ( n ) ( x) （ k 是常数） ；
(n) (k ) Ck ( x) g ( n k ) ( x) ． nf k 0 n
（3） f ( x) g ( x)
定理中的最后一个导数公式又称为莱布尼茨公式． 证 （只证明（3） ） ．当 n 1 时，由于
§3.5 高阶导数
【导语】 【正文】
一、高阶导数的概念
当物体运动的距离 s 与运动时间 t 之间的关系为 s s (t ) 时，导数 s (t ) 表示的是瞬时速度
高阶导数
记号 C(n)(I): 在I上具有n阶连续导数的函数全体
C()(I): 在I上具有任意阶导数的函数全体.
例1 设 y
f
1 x
,
其中
f
具有二阶导数,
求
d2 y dx2
.
2 隐函数的二阶导数 设方程F(x,y) = 0确定隐函数y = y(x), 则y"的求法有:
方法一 由隐函数求导法求出y', 再用求导法则对y' 关于x求导, 仍视y为隐函数y(x).
Chap3 ― 6
高阶导数
3.6.1 高阶导数的概念
1 定义 设y = f (x)在U(x0)可导, 则f (x)在点x0处的
二阶导数
def
f
(x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
➢ 二阶导数也可记为
y(x0 ),
d2 y dx2
d2 f ,
dx2
.
x x0
x x0
➢ 二阶导(函)数 f "(x) = (f '(x))'
例7 求下列函数的n阶导数
(1) y ln(1 x)
(2) y 1 , (a 0) ax b
y(n) (1)n1 (n 1)! (1 x)n
y(n)
(1)n
a n n! (ax b)n1
.
3.6.2 Leibniz法则——高阶导数求法之二 定理 设函数u, v有n阶导数, 则
(1) (u v)(n) = u(n) v(n)； (cu)(n) =cu(n), 其中c为常数
(2) (uv)(n) C0nu(n)v C1nu(n1)v Cnn1uv(n1) Cnnuv(n)
4.高阶导数
§ 4 高阶导数高阶导数的概念：加速度高阶导数定义:注意区分符号和以函数为例介绍高阶导数计算方法.高阶导数的记法: 函数在处的阶导数记为相应的阶导数记为二. 几个特殊函数的高阶导数:1.多项式: 多项式的高阶导数.例1 求和.2. 正弦和余弦函数: 计算、、、的公式.3．和的高阶导数：4．的高阶导数：5．的高阶导数：6．分段函数在分段点的高阶导数：以函数为例，求.三. 高阶导数的运算性质: 设函数和均阶可导. 则1．2．3．乘积高阶导数的Leibniz公式：例设求利用萊布尼兹公式，取注意：利用萊布尼兹公式时要注意与的选取次序，否则会使计算复杂。
例2 求解例3 求解例4 其中二阶可导. 求例5 验证函数满足微分方程并依此求解两端求导即对上式两端求阶导数, 利用Leibniz公式, 有可见函数满足所指方程.在上式中令得递推公式注意到和, 就有时,时,四. 参数方程所确定函数的高阶导数:例6 求解习题课一. 可导条件:例1 设在点的某邻域内有证明在点可导.例2 设函数在点可导, 则在点不可导.例3设函数定义在区间内, 试证明: 在点可导的充要条件是存在内例4的函数（仅依赖于和. 使在点连续且适合条件并有证设存在, 定义易验证函数在点连续, 且设又在点连续. 则有即存在且二. 求导数或求切线:例4 求和例5 求例6 求解设其中为的多项式. 注意到对任何正整数则有所以，对有例7 抛物线方程为求下列切线:⑴过点( 该点在抛物线上 ) ( )⑵过点.(该点不在抛物线上 ) ( 和)一. 曲线的吻接: 曲线的吻接及其解析表达.例8 设确定、和的值，使函数在点可导. )四. 奇、偶函数和周期函数的导函数：例9 可导奇函数的导函数是偶函数. ( 给出用定义证和用链导公式证两种证法)例10 设是偶函数且在点可导, 则.证即由存在，简提可导周期函数的导函数为周期函数, 且周期不变.五. 关于可导性的一些结果:1. 若是初等函数, 则也是初等函数. 在初等函数的定义域内, 导函数不存在的点是函数的不可导点. 例如函数的定义域是, 但导函数在点没有定义, 因此点是函数的不可导点.2.存在仅在一点可导的函数. 例如该函数仅在点可导.3.存在处处连续但处处不可导的函数. 十九世纪后半叶, 德国数学家Weierstrass大约在1875年首先给出了这样的一个函数, 其后直到现在给出更为简单的这类函数的例的工作一直在进行着. 其中较简单的例可参阅F. Riesz (匈牙利人) 著《泛函分析》Vol P3—5, 或Mark Lynch , 《A continuous ， nowheredifferentiable function 》，Amer . Math . Monthly, Vol 99, №1, 1992, P8—9.近年来, 对这一问题给出了更一般的回答, 即在某种意义下( 在纲的意义下), 连续但不可导的函数要比连续且可导的函数多得多. 可参阅丁传松著《实分析导论》（科学出版社，1998.）P5—8.小结：莱布尼兹（G.W.Leibniz 1664.7.1—1716.11.4）生于来比锡，父亲是大学教授，六岁时父亲去世，他以极大的求知欲阅读父亲遗留下来的各种学科书籍。
常用高阶导数公式
常用高阶导数公式1. 常数函数的高阶导数：任何常数函数的高阶导数都是0。
例如，f(x) = c（c为常数），则 f'(x) = f''(x) = f'''(x) = = 0。
2. 幂函数的高阶导数：对于幂函数 f(x) = x^n，其n阶导数为f^n(x) = n! / (n k)! x^(n k)，其中k为导数的阶数，n!表示n的阶乘。
3. 指数函数的高阶导数：对于指数函数 f(x) = a^x，其中a为常数，其n阶导数为 f^n(x) = a^x ln(a)^n。
4. 对数函数的高阶导数：对于对数函数 f(x) = ln(x)，其n阶导数为 f^n(x) = (1)^(n1) (n1)! / x^n。
5. 三角函数的高阶导数：对于三角函数 f(x) = sin(x) 或 f(x) = cos(x)，其n阶导数可以表示为 f^n(x) = (1)^(n/2) sin(x +nπ/2) 或f^n(x) = (1)^(n/2) cos(x + nπ/2)。
这些常用的高阶导数公式可以帮助我们在求解函数的高阶导数时更加简便和快速。
在实际应用中，这些公式经常被用于求解物理、工程、经济等领域中的问题。
掌握这些高阶导数公式对于深入理解和应用微积分知识至关重要。
常用高阶导数公式6. 反三角函数的高阶导数：对于反三角函数 f(x) = arcsin(x)或 f(x) = arccos(x)，其n阶导数可以表示为 f^n(x) = (1)^(n1) (n1)! / (1 x^2)^(n/2)。
7. 指数函数的复合函数的高阶导数：对于指数函数的复合函数f(x) = a^(g(x))，其中a为常数，g(x)为可导函数，其n阶导数可以表示为 f^n(x) = a^(g(x)) (ln(a))^n g'(x) g''(x) g^n(x)。
8. 对数函数的复合函数的高阶导数：对于对数函数的复合函数f(x) = ln(g(x))，其中g(x)为可导函数，其n阶导数可以表示为f^n(x) = (1)^(n1) (n1)! / g(x)^n g'(x) g''(x) g^n(x)。
高等数学-§2.3 高阶导数
n
其中公式(2)称为莱布尼茨(Leibniz)公式.
高等数学 第2章 导数与微分
2.3 高阶导数
例2.3.7
y sin x cos x
4 4
2 2 2 2
, 求
y
n
.
解 将 y 变形得
y sin x cos x
1 cos 4 x 3 1 1 cos 4 x 4 4 4
2 2x 2 2 x x2 1 x 2x x2
y
y
2 1 x 2 x x 1 x
2
2x x2
2x x
2
2
2 x x 1 x 2x x
2
2 2x 2 2x x
2
高等数学 第2章 导数与微分
x
n
k
k n
高等数学 第2章 导数与微分
2.3 高阶导数
如果函数 u u x 和 v v x 在点 x 处具有 n 阶导数, 那么
u x v x 和 u x v x 在点 x 处也都具有
n 阶导数（ , 是常数）, 且
n
n 1 ! 1 n 1 x
n 1
通常规定 0! 1 , 因此这个公式当 n 1 时也成立.
高等数学 第2章 导数与微分
2.3 高阶导数
例2.3.6
解
求
yx
1
(
是任意常数)的 n 阶导数.
y 1 x 2
,
y x
y sin x cos( x ) sin( x 2 ) 2 2
高阶导数
则 y1
(1)(2)(n)(1 x )
Hale Waihona Puke ( n 1)n! (1) (1 x ) n1
n
y1
n
(1)(2)(n)(1 x )
( n 1)
n! (1) (1 x ) n1
n
另：
2 3 2 y ( 1 )( 1 x ) ( 1 ) ， y ( 1 )( 2 )( 1 x ) ( 1 ) ， 2 2
n n 1 n 1 1 y 2 1 x 1 x
其中： y1 (1 x ) 1 则 (1)(1 x ) 2 ， (1)(2)(1 x ) 3 , y1 y1
例 3 设 y＝x μ （x＞ 0， μ为任意实数），求 yn .
解：
y x 1 ， y ( 1) x 2
y ( n ) 1 2 n 1x n
特别： x
n
n
＝n！ （n为自然数）。
例 4 设 f ( x) ＝sin x ，求f
则 y2
n
(1)(2)(n)(1 x )
n
( n 1)
n! (1) n 1 (1 x )
n
y
1 n! n! n (1) n1 n1 2 (1 x ) (1 x )
例 8 设 y＝x2 ＋ 1 ln 1 ＋x ，求 y100 .
解：
令 u＝ln 1 x ，v＝ x 2 1 v＝2 x ， v＝2 ， v n＝ 0 n 3
则利用莱布尼兹公式可 得： 99! 100 98! 100 99 97! 2 y ＝－ 1＋ ＋ 0 ＋ ＋ 0 100 x ＋ 99 2 x－ 98 2 1 x 1 x 2!1 x ＝
高阶导数
k sin( kx n
n
(e )
)
x
( n)
e
x
( 3 ) (cos kx )
(n)
2 n k cos( kx n ) 2
n
(4) ( x )
(n)
( 1) ( n 1) x
( 1)
n1
( 5 ) (ln x )
(n)
( n 1 )! x
n
n
n n !( x 1) cos
πx 16
2
2
各项均含因 子(x–2)
πx 16
f
( n)
( 2)
n!
2 2
20
(2) 已知 f ( x )任意阶可导, 且 f ( x ) [ f ( x )]2 , 则当
n 2 时, f
( n)
( x ) n ! [ f ( x )]
2 2 2
17
例 设 y ( x 2 )( 2 x 3 ) 2 ( 3 x 4 ) 3 , 求 y ( 6 ) .
分析 此函数是6次多项式, 又是求6阶导数, 故不需将函数因式全乘出来. 解 因为
y x ( 2 x ) ( 3 x ) p5 ( x )
2 3
108 x p5 ( x )
y ( 1 )( 2 ) x 2
( 1)
2
3
( 1 )( 2 ) x 1
2
3
( x 2)
n
3
( x 1)
3
,
y
( n)
( 1)
n! ( x 2)
n1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解
y
(n)
e
x
y = ex 的任何阶导数仍为 ex
(n N )
(e x ) ( n ) e x
例5
求 y = ax 的各阶导数.
解
y ' a ln a
x
x x 2 y ' ' ( y ) (a ln a ) a (ln a)
y ( k ) a x (ln a ) k
y
(k )
设 则
(1) (k 1) ! x
( k 1) k 1
k 1
k
(1) (k 1)!(k ) x ( k 1) 1 ( k 1) (1) [(k 1) 1]! x 故由数学归纳法得 y
y
( n）
k 1
(ln x)
(n)
(1)
主讲教师： 李晓沛 Tel: 13878971026
复习
求导方法小结
按定义求导 基本初等函数的导数 导数的四则运算法则 反函数的导数 复合函数求导法 隐函数求导法 对数求导法 参数方程确定的函数的的导数
四则运算法则
(1) ( u( x ) v ( x )) u( x ) v ( x ),
n 1
(n 1)! x
n
(n N )
y ( n） (ln x) ( n ) (1) n 1 (n 1)! x n
类似地, 有
(n N )
(ln( ax b)) ( n ) ( 1) n 1 ( n 1)! a n ( ax b) n (n N )
解
sin x 2 sin x y e cos x e ( sin x)
e
sin x
(cos x sin x)
2
二阶导数经常遇到, 一定要掌握.
二.高阶导数的运算法则 两个基本公式
设 f (x), g(x) 有直到 n 阶的导数, 则 (1) ( f ( x) g ( x)) ( n ) f ( n ) ( x) g ( n ) ( x) (2) 莱布尼兹公式
例
是 sin x 连续求两次导数的结果. 称为函数 sin x 的二阶导数, 记为 (sin x) ((sin x)) (cos x) sin x
一般说来, 如果函数 f ( x) 的导函数 f ( x) 仍然 可导, 则称 f ( x) 的导数为原来函数 f ( x) 的二 阶导数, 记为 f ( x) ( f ( x)).
例7
1 求 y 的高阶导数. x
解
1 y (ln x) x y ( n ) ((ln x)) ( n ) (ln x) ( n 1)
(1)
(n)
( n 1) 1
[(n 1) 1] ! x
( n 1)
(1) n ! x
n
( n 1)
运用数学归纳法可得
(a )
x ( n)
a (ln a)
x
n
(n Z )
例6
解
求 y = lnx 的各阶导数. 1 11 1 1 y x ( 1) (1 1) ! x x 2 2 1 2 ( 1) 2 1 ( 2 1) ! x 2 y (1) x (1) x 3 ( 1) 31 (3 1) ! x 3 y (1)(2) x
n
例3
多项式 Pn ( x) a 0 x a1 x
n
n 1
a n 1 x a n
的高阶导数. 解
y ' a 0 nx
n 1
a1 (n 1) x
n2
a n 1
y' ' a0 n(n 1) x n2 a1 (n 1)(n 2) x n3 2an2
y
f 2 ( x ) g 2 ( x ) 的导数 .
f ( x ) f ( x ) g ( x ) g ( x ) f 2 ( x) g 2 ( x)
第二章 一元函数的导数与微分
第三节 高阶导数 高阶导数的概念 高阶导数的运算
一. 高阶导数的概念
(sin x) cos x, (cos x) sin x,
(arcsin x)
1 1 x2
(arccos x)
1
1 (arctan x) 2 1 x
1 x2 1 (arccot x) 1 x2
(1 x 1)
二、求下列函数的导数：
1 1、y arccos x x
x2 x2 1
；
sin 2 x 2、 y x 2 x cos 2 x sin 2 x x2 x 2 y (arcsin ) ；4、 2 2 arcsin x 2 4 x2
…………………………
y ( k ) ( y ( k 1) ) n(n 1)(n 2) (n k 1) x n k (1 k n )
注意, 当 k = n 时
( x n ) ( n ) n(n 1)(n 2) 3 2 1 n !
从而, 当 k n 1 时, ( x n ) ( k ) 0 .
（函数 u(x) , v(x) 均可导 ）
反函数的导数
f ( x )
1 ( y )
复合函数的导数 ( f ( ( x )) ) f ( ( x )) ( x )
基本导数公
C 0
x ( x ) ax (a R） (e ) e
a a 1
x
1 (log a x) x ln a
3
y ln( x a x )
2 2
1 a2 x2
5、
ye
arctan
x
；
1 x 6、 y arcsin 1 x
e arctan x 2 x (1 x )
1 (1 x ) 2 x (1 x )
2 2 f ( x ) g ( x ) 0 ,求函数 f ( x ) g ( x ) 三、设 ， 可导，且
即
1 x
(1) n ! x
n
( n 1)
(x Z )
1 x
(n)
(1) n n ! x ( n1)
(x Z )
类似地, 有
1 ( 1) n n !a n ( ax b ) ( n 1) ax b
(n Z )
例9
解
d y y ln sin x , 求 . 2 dx dy d (ln sin x) dx dx
cos x cot x sin x
2
d2 y d 2 csc x (cot x ) dx 2 dx
例10
y esin x , 求 y.
sin x y e cos x
k (nk ) ( f ( x) g ( x)) ( n ) Cn f ( x) g ( k ) ( x) k 0 n
n! . 其中 , C k !( n k ) !
k n
例13
d100 1 求 . 100 2 d x x 5 x 6 ( x 1 )( n ) (1)n n ! x ( n1)
………………
y ( n ) a 0 n!
y
( n 1)
y
( n 2)
0.
对多项式而言, 每求一次导数 , 多项式的次数降低一次 ; n 次多项式的 n 阶导数为一常数 ; 大于多项式次数的任何阶数的导数均为 0 .
例4
求 y = ex 的各阶导数.
x y e
x x y ( y ) (e ) e
(2) (u ( x)v( x)) u ( x)v( x) u ( x)v( x) (C v( x)) C (v( x)) u ( x) u ( x)v( x) u ( x)v( x) (3) ( v( x) 0 ) 2 v( x) v ( x)
1 1 1 1 , 2 x 5x 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3
解 由于 故
100 100 d100 1 d 1 d 1 100 100 100 2 d x x 5x 6 d x x 2 d x x 3
( 1)100100 !( x 2) 101 ( 1)100100 !( x 3) 101
(sin x) cos x
2 (tanx) sec x
1 (ln | x |) x
x (a ) a ln a x
(cos x) sin x
2 (cotx) csc x (sec x ) sec x tanx (csc x) csc x cotx
(n)
例8
求 y sin x , y cos x 的各阶导数.
y sin x
( 4 k 1)
解
y y y
y cos x sin( x 1 ) 2
y sin x sin( x 2 ) 2 y cos x sin( x 3 ) 2
推而广之:
设 f ( x) 的 n 1 阶导数存在, 它仍是 x 的函数,
若它可导, 则称它的导数为原来函数的 n 阶导数.
n 阶导数的记号为 :
f ( n ) ( x),
n n d f ( x ) d y (n) . y , , n n dx dx
f
n