福建省福州市高三质检数学理试题含解析

2014年福州市高中毕业班质量检测

理科数学试卷

第Ⅰ卷(选择题 共50分)

一、选择题:本大题共10小题.每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合{(,

)lg

},{(,)}A x y y x B x y x a ====，若A B =?I ，则是实数a 的取值范围是（ ）

A. 1a <

B. 1a ≤

C. 0a <

D. 0a ≤

2.“实数1a =”是“复数(1)ai i +（,a R i ∈为虚数单位）的模为2”的 （ ）

A.充分非必要条件

B.必要非充分条件

C.充要条件

D.既不是充分条件又不是必要条件

3.执行如图所示的程序框图,输出的M 值是 （ ）

开始

M=2

i=1

i<5?

11=

-M M

i=i+1

输出M

结束

否

是

A ．2

B ．1-

C ．1

2

D ．2- 【答案】B

4.命题“x R ?∈，使得()f x x =”的否定是 （ ） A. x R ?∈,都有()f x x = B.不存在x R ∈,使()f x x ≠ C. x R ?∈都有()f x x ≠ D. x R ?∈使()f x x ≠

5.已知等比数列{}n a 的前n 项积记为n ∏，若3488a a a =，则 9∏= ( ) A.512 B.256 C.81 D.16

6.如图，设向量(3,1),(1,3)OA OB ==u u u r u u u r ,若OC OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r ,且1λμ≥≥,则用阴影表示C

点所有可能的位置区域正确的是 ( )

D

C

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

O O O O

x

y

x

y

x

y

x

y

7.函数()

f x的部分图像如图所示，则()

f x的解析式可以是 ( )

A.()sin

f x x x

=+ B.

cos

()

x

f x

x

= C. ()cos

f x x x

= D.

3

()()()

22

f x x x x

ππ

=--

3π

2

π

2

-

π

2

-

3π

2

O

x

y

考点：1.函数的图像.2.分类讨论.3.列举排除的数学思想.4.归纳化归的数学思想.

8.已知1F 、2F 是双曲线22

221(

0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点

一点P 与点2F 关于直线bx

y a

=对称，则该双曲线的离心率为 （ ） A.

5

2

B. 5

C. 2

D. 2

9.若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )=f (x ), f (2－x )=f (x ),且当x ∈[0,1]时，其图象是四分

之一圆(如图所示)，则函数H (x )= |x e x

|－f (x )在区间[－3,1]上的零点个数为 ( )

A.5

B.4

C.3

D.2

O

y

x

1

1

o

x

y

【答案】B 【解析】

试题分析：因为定义在R 上的函数f(x)满足f(－x)=f(x)，所以函数()f x 为偶函数，又因

为f(2－x)=f(x)，所以函数()f x 关于直线1x =对称.因为函数H(x)= |xe x

|－f(x)在区间[－3,1]上的零点即等价求方程()x f x xe =的解的个数.

等价于函数x y xe =和函数

()y f x =的图像的交点个数，由图象可得共有4个交点.故选B.

考点：1.函数的性质.2.数形结合的思想.3.函数图像的正确表示及绘制.

10.已知函数3

2

()f x x bx cx d =+++（b 、c 、d 为常数），当(0,1)x ∈时取极大值，当

(1,2)x ∈时取极小值，则221

()(3)2

b c ++-的取值范围是

（ ） A. 37(

,5)2 B. (5,5) C. 37

(,25)4

D. (5,25) 4b+c+12=0

2b+c+3=0

B D

A

o

b

c

第Ⅱ卷（共100分）

二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.

11.5名同学站成一排，其中甲同学不站排头，则不同的排法种数是______________（用数字作答）

.

12.如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点M ，则点M 恰好取自阴影部分的概率为________.

y y=x 2

A

C

o

x

B

14.已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的表面积为____________.

俯视图侧视图

正视图22

2

15.已知函数1(1)sin 2,[2,21)2

(),()(1)sin 22,[21,22)

2n

n x n x n n f x n N x n x n n ππ+?-+∈+??=∈?

?-++∈++??

，若数列{}m a 满足*(

)()2

m m

a f m N =∈,且{}m a 的前m 项和为m S ，则20142006S S -=_____________. 【答案】8042 【解析】

试题分析：20142006S S -=20072008200920102011201220132014a a a a a a a a +++++++.因为

200720072

(

)2501222a f ==-+?+，2008(1004)2502a f ==?，200920092(

)250222

a f ==+?，2010(1005)125022a f ==-+?+，20112250222a =-

+?+，20122503a =?，20132

25032

a =+?，

2014125032a =-+?+.所以20142006S S -=8042.

考点：1.分段函数的问题.2.数列的思想.3.三角函数的周期性.4.分类列举的数学思想.

三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

16.(本小题满分13分)在对某渔业产品的质量调研中，从甲、乙两地出产的该产品中各随机抽取10件，测量该产品中某种元素的含量（单位：毫克）.下表是测量数据的茎叶图：

2

1

00

6

5

42

09

887428643

82

10乙地

甲地

规定：当产品中的此种元素含量15≥毫克时为优质品.

（Ⅰ）试用上述样本数据估计甲、乙两地该产品的优质品率（优质品件数/总件数）； （Ⅱ）从乙地抽出的上述10件产品中，随机抽取3件，求抽到的3件产品中优质品数ξ的分布列及数学期望()E ξ.

(II)ξ的取值为1，2，3. 12

823

101

(1),15C C P C ξ?===

21

823107(2),15C C P C ξ?===157

)3(3

10

0238=?==C C C P ξ 所以ξ的分布列为

ξ

1 2 3

P

115 715 715

故的数学期望为123.1515155

E ξ=?

+?+?=（） 考点：1.茎叶图的知识.2.列举对比的数学思想.3.数学期望的计算.4.概率知识.

17.（本小题满分13分）已知函数2

()2cos 23sin cos ().f x x x x x R =+∈.

（Ⅰ）当[0,

]2

x π

∈时，求函数)(x f 的单调递增区间；

（Ⅱ）设ABC ?的内角C B A ,,的对应边分别为c b a ,,，且3,()2,c f C ==若向量

)sin ,1(A m =与向量)sin ,2(B n =共线，求b a ,的值.

令-

222,2

6

2

k x k k Z π

π

π

ππ+≤+

≤

+∈，

18.(本小题满分13分) 如图，直角梯形ABCD 中，0

90,24ABC AB BC AD ∠====,点,E F 分别是,AB CD 的中点，点G 在EF 上，沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面

AEFD ⊥平面EBCF .

（Ⅰ）当AG GC +最小时，求证：BD CG ⊥;

（Ⅱ）当2B ADGE D GBCF V V --=时，求二面角D BG C --平面角的余弦值.

F

E

A

B

D

A

D

E

F

B

G

【答案】（Ⅰ）参考解析；（Ⅱ）

66

【解析】

试题分析：（Ⅰ）因为当AG GC +最小时，及连结AC 与EF 的交点即为G 点，通过三角形的相似可得到EG 的长度.需要证明直线与直线垂直，根据题意建立空间直角坐标系，即可得到相关各点的坐标，从而写出相

(Ⅱ)解法一：设EG=k ,

AD Q ∥平面EFCB ,∴点D 到平面EFCB 的距离为即为点A 到平面EFCB 的距离.

S Q 四形GBCF =

1

2[(3- k )+4]×2=7-k D GBCF V S AE 四形GBCF -\=鬃13=2

(7)3k -

又B ADGE ADGE V S BE 四形-=?13=2

(2)3

k +,

Q B ADGE D GBCF V V --=2,∴4(2)3k +=2

(7)3

k -,

1k ∴=即EG =1

设平面DBG 的法向量为1(,,)n x y z =u r

,∵G (0,1,0),

∴(2,1,0),BG =-u u u r BD =u u u r

(－2,2,2),

则 1100n BD n BG ??=???=??u r u u u r u r u u u r ,即222020

x y z x y -++=??-+=?

19.(本小题满分13分) 已知动圆C 过定点（1,0），且与直线1x =-相切. （Ⅰ）求动圆圆心C 的轨迹方程；

（Ⅱ）设,A B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和

β,①当2

παβ+=

时，求证直线AB 恒过一定点M ；

②若αβ+为定值(0)θθπ<<，直线AB 是否仍恒过一定点，若存在，试求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.

20.(本小题满分14分)已知函数

1

()ln()

f x x ax

a

=+-,其中a R

∈且0

a≠

（Ⅰ）讨论()f x 的单调区间；

（Ⅱ）若直线y ax =的图像恒在函数()f x 图像的上方，求a 的取值范围；

（Ⅲ）若存在121

0,0x x a

-<<>,使得12()()0f x f x ==,求证：120x x +>. 【答案】（Ⅰ）参考解析；（Ⅱ）2

e

a >；（Ⅲ）参考解析

【解析】

()h x ∴的最小值为1()2h a -

,所以只需1

()02h a -> 即1112()ln()022a a a a ?---+>,1ln 12a ∴<-,2

e

a ∴>

(Ⅲ)由于当0a <时函数在),1

(+∞-a

上是增函数,不满足题意,所以0a >

21.本小题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则安所做的前两题计分.作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应提好右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中. （1）(本小题满分7分)选修4-2：矩阵与变换.

已知矩阵3A c ?= ? 3d ?

??，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为111α??= ???u u r ，属于特征值1

的一个特征向量232α??

= ?-?

?u u r

.

（Ⅰ）求矩阵A 的逆矩阵； （Ⅱ）计算3

14A ?-?

??

? 【答案】（Ⅰ）?

???

?

? ??--=-21312132

1

A

;（Ⅱ）429434?? ???

【解析】

试题分析：（Ⅰ）因为已知矩阵3A c ?= ? 3d ?

??，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为

111α??= ???u u r ，属于特征值1的一个特征向量232α??

= ?-?

?u u r .通过特征向量与特征值的关系，可求

矩阵A 中的相应参数的值，再通过逆矩阵的含义可求出矩阵A 的逆矩阵.同样可以从通过特征根的方程方面入手，求的结论

.

（2）(本小题满分7分)选修4-4：坐标与参数方程.

在平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立坐标系，已知曲线C 的

极坐标方程为2

sin 4cos ρθθ=，直线l 的参数方程为: 2

22242

x y ?

=-+???

?=-+??

（t 为参数）

，两曲

线相交于,M N 两点.

（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （Ⅱ）若(2,4)P --求PM PN +的值.

（3）(本小题满分7分)选修4-5：不等式选讲 设函数()43f x x x =-+-, （Ⅰ）求()f x 的最小值m ；

（Ⅱ）当23(,,)a b c m a b c R ++=∈时,求2

2

2

a b c ++的最小值. 【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）1

14

【解析】

试题分析：（Ⅰ）因为()43f x x x =-+-,所以通过绝对值的基本不等式a b a b +≥-，即可得到最小值.另外也可以通过分类关键是去绝对值，求出不同类的函数式的最小值，再根据这些最小值中的最小值确定所求的结论.