2019年福州市质检理科数学试卷

2019年福州市普通高中毕业班质量检测

数学（理科）试卷 （完卷时间：120分钟；满分150分）

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.设复数z 满足i 1i z ?=-，则z 的共轭复数为 A. 1i -+ B. 1i + C. 1i -- D. 1i -

2.已知集合{}

{}

2213,20A x x B x x x =+>=--<，则A B U = A. {}

12x x << B. {}

11x x -<< C. {}211x x x -<<>，或 D. {}

1x x >-

3.中国传统文化是中化民族智慧的结晶，是中化民族的历史遗产在现实生活中的展现.为弘扬中华民族传统文化，某校学生会为了解本校高一1000名学生的课余时间参加传统文化活动的情况，随机抽取50名学生进行调查．将数据分组整理后，列表如下：

参加场数

1

2

3

4

5

6

7

参加人数占调查人数的百分比 8% 10% 20% 26% 18% m% 4% 2% 以下四个结论中正确的是 A. 表中m 的数值为10

B. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不高于2场的学生约为180人

C. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不低于4场的学生约为360人

D. 若采用系统抽样方法进行调查，从该校高一1000名学生中抽取容量为50 的样本，则分段间隔为25 4.等比数列

{}n a 的各项均为正实数，其前n 项和为n S .若3264,64a a a ==，则5S =

A. 32

B. 31

C. 64

D.63 5. 已知sin π162θ??-

= ??

?，且2θπ0,??∈ ???，则π3cos θ??- ???

= A. 0 B.

12 C. 1 D. 32

6.设抛物线2

4y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为该抛物线上一点，PA l ⊥错误！未找到引用源。，A 为垂足．若直线 AF 的斜率为3-，则PAF △的面积为

A. 23 错误！未找到引用源。

B. 43

C.8

D. 83

7.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几

何体的三视图，则该几何体的体积为

第7题图

A.32

B.16

C.

323 D.803

8.已知函数()()2sin f x x ω?=+0,ω?π?

?

><

?2?

?

图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，将函数()f x 的图象向左平移3

π

个单位长度后，得到函数()g x 的图象．若函数()g x 为偶函数，则函数()f x 在区间0,

2π?

?

???

上的值域是 A. 1,12??- ???

B. ()1,1-

C. (]0,2

D.(]

1,2- 9. 已知()g x 为偶函数，()h x 为奇函数，且满足()()2x

g x h x -=．若存在[]

11x ∈-，，使

得不等式()()0m g x h x ?+≤有解，则实数m 的最大值为

A.－1

B.

35 C. 1 D. 35

- 10.如图，双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的左、右焦点分别为

12,F F ，过2F 作线段2F P 与C 交于点Q ，且Q 为2PF 的中点．若等腰△12PF F 的底边2PF 的长等于

C 的半焦距，则C 的离心率为 A. 22157-+ B. 23 C. 2215

7

+ D.32

11.如图，以棱长为1的正方体的顶点A 为球心，以2为半径做一个球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为 A. 34π

B.

2π C.

32π D.94

π 12. 已知数列{}n a 满足11a =，()2

12

2

124n

n n n n a a a na n

++=++，则8a =

A.64892-

B. 32892-

C. 16892-

D. 78

92

-

第10题

图

第11题图

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第 13～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22 、23题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13.已知两个单位向量,a b r r

，满足3a b b +=，则a 与b 的夹角为__________．

14. 已知点()0,2A 错误！未找到引用源。，动点(),P x y 错误！未找到引用源。的坐标满足条件0

x y x

≥??

≤?，则PA 的最小值是 ．

15. ()()2

5

11ax x +-的展开式中，所有x 的奇数次幂项的系数和为－64，则正实数a 的值为__________．

16.已知函数()2e

()ln 2e x f x a x =-有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是__________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （12分）

ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若角A ，B ，C 成等差数列，且32

b =

． （1）求ABC △的外接圆直径； （2）求a c +的取值范围． 18. （12分）

如图，四棱锥P ABCD -，//AB CD ，90BCD ∠=?，224AB BC CD ===错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。，PAB △为等边三角形，平面PAB ⊥平面

ABCD ， Q 为PB 中点．

(1) 求证：AQ ⊥平面 PBC 错误！未找到引用源。； (2)求二面角B PC D --的余弦值．

19.（12分）

最近，中国房地产业协会主办的中国房价行情网调查的一份数据显示，2018年7月，大部分一线城市的房租租金同比涨幅都在10%以上．某部门研究成果认为，房租支出超过月收入

1

3

的租户“幸福指数”低，房租支出不超过月收入

1

3

的租户“幸福指数”高．为了了解甲、

乙两小区租户的幸福指数高低，随机抽取甲、乙两小区的租户各100户

第18题

进行调查．甲小区租户的月收入以[)03，，[)36，，[)69，，[

)912，，[]1215，（单位：千元）分组的频率分布直方图如上：

乙小区租户的月收入（单位：千元）的频数分布表如下：

月收入 [)03，

[)36，

[)69，

[)912，

[]1215，

户数

38

27

24

9

2

（1）设甲、乙两小区租户的月收入相互独立，记M 表示事件“甲小区租户的月收入低于6

千元，乙小区租户的月收入不低于6千元”.把频率视为概率，求M 的概率； （2）利用频率分布直方图，求所抽取甲小区100户租户的月收入的中位数；

（3）若甲、乙两小区每户的月租费分别为2千元、1千元．请根据条件完成下面的22?列联表，并说明能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为“幸福指数高低与租住的小区”有关.

幸福指数低

幸福指数高

总计

甲小区租户 乙小区租户

总计

附：临界值表

()2P K k ≥

0.10 0.010 0.001 k

2.706

6.635

10.828

参考公式：2

2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++．

20. （12分）

已知圆O ：2

2

2

x y r +=，椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的短半轴长等于圆O 的半径，且

过C 右焦点的直线与圆O 相切于点13,22D ??

? ???

.

（1）求椭圆C 的方程；

（2）若动直线l 与圆O 相切，且与C 相交于,A B 两点，求点O 到弦AB 的垂直平分线距离的最大值.

21. （12分） 已知函数()()()ln 11x

f x a x a x

=

-+∈+R ，2m 12e e ()x g x x +=-.

（1）求函数()f x 的单调区间；

（2）若0a <，[]

12,0,e x x ?∈，不等式12()()f x g x ≥恒成立，求实数m 的取值范围. (二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一个题目计分.

22. [选修44-：坐标系与参数方程] （10分）

在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1232

x t y a t ?=-??

??=+??（t 为参数，a ∈R ）.以坐标原点

为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，射线

()03

θρπ

=

≥与曲线C 交于,O P 两点，直线l 与曲线C 交于,A B 两点. （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；

（2）当AB OP =时，求a 的值. 23.[选修45-：不等式选讲] （10分） 已知不等式21214x x ++-<的解集为M. （1）求集合M ；

（2）设实数,a M b M ∈?，证明：1ab a b +≤+.