加权马尔可夫链预侧的理论及案例

加权马尔可夫链预侧的理论

由于每个时段的股票价格序列是一列相依的随机变量，各阶自相关系数刻画了各种滞时(各个时段)的股票价格之间的相关关系的强弱。因此，可考虑先分别依其前面若干时段的股票价格(对应的状态)对该时间段股票价格的状态进行预测，然后，按前面各时段与该时段相依关系的强弱加权求和来进行预测和综合分析，即可以达到充分、合理地利用历史数据进行预测的目的，而且经这样分析之后确定的投资策略也应该是更加合理的。这就是加权马尔可夫链预测的基本思想。其具体步骤如下:

1)将股票价格序列由小到大排列，运用有序聚类生成股票价格的分级标准。

2)按1)所生成的分级标准，确定各时段股票价格所处的状态。

3)马氏性检验。

4)计算各阶自相关系数

式中k r 表示第k 阶(滞时为k 个时期)的自相关系数: l x 表示第l 时段的股票价格;x 表示股票价格均值,n 表示股票价格序列的长度。

5)对各阶自相关系数规范化，即把

作为各种滞时(步长)的马尔可夫链的权重(m 为按预测需要计算到的最大阶数)。

6)对“5)”所得的结果进行统计，可得不同滞时(步长)的马尔可夫链的转移概率矩阵，它决定了股票价格状态转移过程预测的概率法则。

7)分别以前面若干时间段的股票价格为初始状态，结合其相应的转移概率矩阵即可预测出该时段股票价格的状态概率

8)将同一状态的各预测概率加权和作为股票价格处于该状态的预测概率，即

所对应的i 即为该时段股票价格状态的预测。待该时段股票价格的状态确定后，将其加入原序列，再重复步骤“1) -v8)”，可进行下一时段股票状态的预测。

9)可进一步对该马尔可夫链的特征〔遍历性、平稳分布等)和最佳持股时间、股票投资策略等进行分析。

6.1.2应用实例分析

本节以上海证券交易所的收市综合指数为例(收市综合指数的预测分析和单支股票价格的预测分析数学原理相同)，用2002年3月3日至4月15日连续30个交易日的收市综合指数(见表6.1)来进行接下来几个交易日的收市综合指数预测，并进行其他相关的分析。

1)将收市综合指数序列由小到大排列，用有序聚类法可将其分为5个区间，结果如表6.2所示;

2)确定出各时段收市综合指数的状态(见表6.1第三行);

3)经过检验发现:单支股票价格变化的时间序列、整个证券市场的股指、证券组合的综合价格时间序列、股票的投资收益率时间序列都符合马氏性，马氏性检验的具体过程和方法，详见第四章。

4)经计算，可得此收市综合指数序列的各阶自相关系数(按状态数取前5阶即可)见表6。3第二行:

5)将各阶自相关系数规范化后作为各种滞时的马尔可夫链的权重，如表6.3第三行所示:

6)计算出各种步长的转移概率矩阵如下

7）根据4月9日一15日五个交易日的收市综合指数及其相应的状态转移概率矩阵对4月16日的收市综合指数进行预测，结果如表6.4;

8)由表6.4可知，，即上海证券交易所4月16日的收市综合指数为状态3，即收市综合指数x满足: ， 4月16日的实际收市综合指数为1640.290

同理，我们以4月10日~4月16日的资料序列预测4月17日的综合指数，预测过程重复“1)-7)”，

依然可以得到“(限于篇幅具体过程不再一列举)，

即上海证券交易所4月17日的收市综合指数为状态3。而4月17日的实际收市综合指数为1644.40，两次预测都是准确的。

9)对以上各种步长的马尔可夫链的特征分析可知，此马尔可夫链的所有状态是互通的、非周期的，即它是一个不可约的正常返链。由马尔可夫链理论还可知此链是遍历的，因此它存在唯一

的平稳分布(此时的平稳分布也就是它的极限分布)。设此链的平稳分布为

则由方程组

依照步长为2的转移概率矩阵P(2)，可得到平稳分布、极限分布与各状态的重现期如下例表6.5所示:

按本文确定的分级标准，依现有的资料信息推断，在长期过程中，上海证券交易所的收市综合指数状态3出现的机会最多，平均每隔2.73个交易日出现一次，出现的概率为0. 3667;状态4出现的机会次之，平均每隔3.81个交易日出现一次，出现的概率为0.2625;状态2出现的机会再次

之，平均每隔4.29个交易日出现一次，出现的概率为0.2333;状态5和状态1出现的机会较少，分别是平均每隔14.12个交易日和15个交易日出现一次，出现的概率分别为0.07083和0.06667. 6.1.3小结与讨论

在金融数学领域中，目前出现了多种预测股价分析股市的方法，如传统的基于绝对分布的马尔可夫链方法、回归分析、灰色预测等理论，与它们相比，本节介绍的加权马尔可夫链理论具有如下特点:

(1)由于以各种步长的自相关系数为权，用各种步长的马尔可夫链加权和来预测股价的状态，所以较传统的马尔可夫链预测分析方法，它可以更加合理、充分地利用信息，成功地将马尔可夫链理论与相关分析相结合。同时应用遍历性定理计算序列的极限分布，可以反映出股票价格序列的许多信息，从而可以对计算的序列进行更多定性和定量的描述。

(2)应用有序聚类的方法来确定分级标准，可以更加充分地考虑股票价格序列的数据结构，从而能更加有效地刻画股票价格序列的内在分布规律，使划分的股票价格状态区间(分级标准)更加合理。

(3)其他预测分析方法结果的偏差主要是系统未来的环境与历史数据产生环境的差别以及数学

模型的错误选择造成的，即其成败的关键是历史数据的取得和数学模型的选择，而本文介绍的加权马尔可夫链预测分析成败的关键是系统初始状态的科学划分、初始状态的判定和状态转移概率的测定

(4)如何根据最后计算出的状态概率求出股价的具体值(在某些情况下，仍需要一个具体数值)

仍是一个有待解决的问题。笔者认为，由于股票价格的变化是多种模糊因素(社会、经济、政治等)综合作用的结果，不仅牵涉到的因素比较多，而且这些因素之间存在着复杂的交叉协同作用，从而形成一个非常复杂的系统。从这个意义上讲，将模糊数学理论、最优化理论和本文介绍的方法相结合，可能是解决这一问题的有效工具。

(5)随着我们分析的时间序列长度的不断增加，历史资料的代表性也日益增强，自相关系数、转移概率矩阵、各种步长的权重将会发生变化，这种变化也是预测分析理论不断完善的过程，预测模型不是固定不变的，因此应将每个时段的股价新的实测值加入到历史资料的序列中，从而做到在线调整预报对象的自相关系数、转移概率矩阵和权重，以进一步提高预测分析的准确性。本文提出的股市分析方法将概率统计理论、金融市场学、有序聚类分析有机地结合起来，计算简单方便，概念清楚，为股市分析提供了一条值得探索和讨论的途径。