高考极坐标参数方程含答案(经典39题)
1
3的圆C 与直线交于,A B 两点.
（1）求圆C 及直线l 的普通方程.（2
2．在极坐标系中，曲线2
:sin 2cos L ρθθ=，过点A （5，α）（α
的直线l ，且l 与曲线L 分别交于B ，C 两点.
(Ⅰ)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L 和直线l 的普通方程；(Ⅱ)求|BC|的长.
3．在极坐标系中，点M 坐标是，曲线C 的方程为轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线（1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ?的值． 4．已知直线l 的参数方程是
C
（1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线
l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．
5．在直角坐标系xOy 中，直线l 在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为θρcos 4=. （Ⅰ）求圆C 在直角坐标系中的方程；
（Ⅱ）若圆C
与直线l 相切，求实数a 的值.
6．在极坐标系中，O 为极点，已知圆C r=1，P 在圆C 上运动。
（I ）求圆C 的极坐标方程；（II ）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴）中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方程。
7．在极坐标系中，极点为坐标原点O ，已知圆C
，直线l 的极坐
（1）求圆C 的极坐标方程；（2）若圆C 和直线l 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.
8．平面直角坐标系中，将曲线??
?==ααsin cos 4y x （α为参数）上的每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的
一半，然后整个图象向右平移1个单位，最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到曲线1C ．以坐标原点为极点，x 的非负半轴为极轴，建立的极坐标中的曲线2C 的方程为θρsin 4=，求1C 和2C 公共弦的长度．
9．在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方
程是θρcos 4=，直线l （t 为参数）。求极点在直线l 上的射影点P
的极坐标；若M 、N 分别为曲线C 、直线l 上的动点，求
10．已知极坐标系下曲线C 的方程为θθρsin 4cos 2+=，直线l 经过点
（Ⅰ）求直线l 在相应直角坐标系下的参数方程;
（Ⅱ）设l 与曲线C 相交于两点B A 、，求点P 到B A 、两点的距离之积.
11．在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为4cos ()3sin x y ?
??
=??
=?为参数．以坐标原点为极点，x 轴的正
半轴为极轴的极坐标系中．曲线2C 的极坐标方程为
（１）分别把曲线12C C 与化成普通方程和直角坐标方程；并说明它们分别表示什么曲线． （２）在曲线1C 上求一点Q ，使点Q 到曲线2C 的距离最小，并求出最小距离．
12．设点,M N 分别是曲线2sin 0ρθ+=和上的动点，求动点,M N 间的最小距离.
13．已知A 是曲线ρ=3cos θ上任意一点，求点A 到直线ρcos θ=1距离的最大值和最小值。
14．已知椭圆C
F 1，F 2为其左，右焦点，直线l 的参数
1）求直线l 和曲线C 的普通方程； （2）求点F 1，F 2到直线l 的距离之和.
15．已知曲线:C 3cos 2sin x y θ
θ=??=?
，直线:l (cos 2sin )12ρθθ-=．
⑴将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；⑵设点P 在曲线C 上，求P 点到直线l 距离的最小值．
16．已知1O 的极坐标方程为4cos ρθ=．点A 的极坐标是(2,)π.
（Ⅰ）把1O 的极坐标方程化为直角坐标参数方程，把点A 的极坐标化为直角坐标．（Ⅱ）点M （x y 00，）在1O 上运动，点(,)P x y 是线段AM 的中点，求点P 运动轨迹的直角坐标方程．
17．在直角坐标系xOy 中，直线l
为参数)，若以O 为极点，x 轴正半
轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为ρ
θ
，求直线l 被曲线C 所截的弦长．
18．已知曲线C 1的极坐标方程为θρcos 4=，曲线C
2
的方程是442
2=+y x , 直线l 的参数方程
为参数）t (.（1）求曲线C 1的直角坐标方程，直线l 的普通方程；（2）
求曲线C 2
上的点到直线l 距离的最小值.
19．在直接坐标系xOy 中，直线l 的方程为x-y+4=0，曲线C 的参数方程
为
（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P
P 与直线l 的位置关系； （2）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．
20作直线l 交曲线C ：???==θ
θ
sin 2cos 2y x （θ为参数）于A 、B 两点，若比数列，求直线l 的方程.
21．已知曲线1C 的极坐标方程
是，曲线2C 的参数方程
是
1）写出曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的普通方程；（2）求t 的取值范围，使得1C ，2C 没有公共点．
22．设椭圆E 的普通方程为(1)设sin ,y θθ=为参数,求椭圆E 的参数方程;(2)点(),P x y 是椭圆E 上的动点,求3x y -的取值范围.
23．在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线
()2:s i n 2c o s 0C a a
ρθθ=
>,已知过点()2,4P --的直线l 的参数方程为直线l 与曲线C (1)写出曲线C 和直线l 的普通方程;
(2)若||,||,||PM MN PN 成等比数列,求a 的值.
24．已知直线l 的参数方程是
C
（I ）求圆心C 的直角坐标；(Ⅱ)由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．
25．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方，曲线C 的参数方程为2cos sin x y α
α
=??=?（α为对数），求曲线C 截直线l 所得的弦长.
26．已知曲线C 1：2cos 2sin x y θθ=??=?，
（θ为参数），曲线C 2
t 为参数）．
（1）指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数；
（2）若把C 1，C 2上各点的纵坐标都拉伸为原来的两倍，分别得到曲线12C C ''，．写出12C C ''，的参数方程．1C '与2C '公共点的个数和C 21C 与公共点的个数是否相同？说明你的理由．
27
28．已知圆的方程为2
2
2
6sin 8cos 7cos
80y y x x θθθ-+-++=
求圆心轨迹C 的参数方程;点(,)P x y 是（1）中曲线C 上的动点，求2x y +的取值范围。
29．在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为4cos
4sin x y θθ=??=?（θ为参数），直线l 经过点
(2,2)P ，倾斜角（I ）写出圆C 的标准方程和直线l 的参数方程；
（Ⅱ）设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求||||PA PB ?的值.
（θ为参数，πθ≤≤0）上的点，点A 的坐标为（1,0）， 30． 已知P 为半圆C ：
O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧
（I ）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标；（II ）求直线AM 的参数方程。
31．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为(t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标
系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ=
θ．
(Ⅰ)求圆C 的直角坐标方程；
(Ⅱ)设圆C 与直线l 交于点A,B ．若点P 的坐标为(3
32．已知A,B 两点是椭圆
. (1)设2sin ,y αα=为参数，求椭圆的参数方程；(2)在第一象限的椭圆弧上求一点P ，使四边形OAPB 的面积最大，并求此最大值.
33．已知曲线C 1：4cos ,3sin ,x t y t =+??
=-+? （t 为参数）， C 2：2cos ,
4sin ,
x y θθ=??=?（θ为参数）。
Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线3:270C x y --=（t 为参数）距离的最大值。
34．在直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为)(sin 22cos 2为参数ααα
?
?
?+==y x ，M 是曲线C 1上
的动点，点P 满足O M 2O P =
(1)求点P 的轨迹方程C 2；(2)以O 为极点，x
C 1、C 2
交于不同于极点的A 、B 两点，求|AB|.
35．设直线l 经过点)1,1(P ，倾斜角
（Ⅰ）写出直线l 的参数方程；
（Ⅱ）设直线l 与圆42
2
=+y x 相交与两点A ，B.求点P 到A 、B 两点的距离的和与积.
36．在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. 已知点M的极，曲线C 的参数方程为
（Ⅰ）求直线OM的直角坐标方程；
（Ⅱ）求点M到曲线C上的点的距离的最小值．
37．在直角坐标系xOy中, 作倾斜角为α的直线l与曲线1
:2
2=
+y
x
C相交于不同的
两点N
M,.
(Ⅰ) 写出直线l的参数方程; (Ⅱ) 求
的取值范围.
38．在直角坐标系xoy中，直线l 的参数方程为t为参数）。在极坐标系（与直角坐标系
xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程
为
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）设圆C与直线l交于点A、B，若点P
|PA|+|PB|。
39．在平面直角坐标系xoy中，曲线
1
C的参数方程为
?
?
?
=
=
?
?
sin
cos
b
y
a
x
（0
>
>b
a，?为参数），在以O为
极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线1C上
与曲线
2
C交于点
（I）求曲线
1
C，
2
C的方程；（II）若点)
,
(
1
θ
ρ
A，在曲线
1
C上，求
参考答案
1．（1）2
2
(2)9y +-=圆方程x
【解析】(1)圆C 在直角坐标系中的圆心坐标为(0,2),半径为3,所以其普通方程为
22(2)9y +-=x .直线l 由于过原点，并且倾斜角
(2)因为圆心C 到直线的距离为1,
|AB|的值 （1）∵(0,2)C 圆心，半径为32
2
(2)9y +-=∴圆方程x
…….4分
(8)
分
(2)
2．（Ⅰ）1-=x y
【解析】
(I)先把曲线方程化成普通方程，转化公式为222
,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==. (II)直线方程与抛物线方程联立消y 之后，借助韦达定理和弦定公式求出弦长即可 （Ⅰ）由题意得，点A 的直角坐标为()3,4 (1分) 曲线L 的普通方程为：x y 22
= （3分） 直线l 的普通方程为：1-=x y （5分） （Ⅱ）设B （11,y x ）C （22,y x ）
??
?-==1
22x y x y 联立得0142
=+-x x 由韦达定理得421=+x x ，121=?x x （7分）
3．解：（1）∵点M 的直角坐标是)3,0(，直线l 倾斜角是 135， …………（1分）
∴直线l 参数方程是???+==
135sin 3135cos t y t x ，即 ………（3分） 即2(sin cos )ρθθ=+，
两边同乘以ρ得22(sin cos )ρρθρθ=+，曲线C 的直角坐标方程
曲线C 的直角坐标方程为02222=--+y x y x ；………………（5分）
（2代入02222=--+y x y x ，得∵06>=?，∴直线l 的和曲线C 相交于两点A 、B ，………（7分） 的两个根是21t t 、，321=t t ，
∴||||MB MA ?3||21==t t ． ………………（10分）
【解析】略
4．（I
…………（2分）
…………（3分）
5分）
C 引切线长是
…………（8分）
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∴直线l 上的点向圆C
…………（10分） 方法2
…………（8分）
圆心C 到l 直线距离是
∴直线l 上的点向圆C
【解析】略
7．（Ⅰ）由4cos ρθ=得2
4cos ρρθ=，…………２分 结合极坐标与直角坐标的互化公式cos sin x y ρθρθ
=??
=?得22
4x y x +=，
即2
2
(2) 4.x y -+= …………５分
（Ⅱ）由直线l 的参数方程
…………７分 结合圆C 与直线l 相切，得
解得26a =-或.
【解析】略
8．解：（Ⅰ）设圆上任一点坐标为),(θρ，由余弦定理得
（5分）
（Ⅱ）设),(y x Q 则)2,2(y x P ，P 在圆上，则Q 的直角坐标方程为
（10分）
【解析】略 10．
【解析】略
11．解：曲线???==α
sin y αcos x 4（α为参数）上的每一点纵坐标不变，
横坐标变为原来的一半得到???==α
y α
x sin cos 2，
然后整个图象向右平移1个单位得到???=+=α
y αx sin 1cos 2，
最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到???=+=α
y αx sin 21
cos 2，
所以1C 为4)1(22=+-y x ， 又2C 为θρsin 4=，即
y y x 42
2=+， 所以1C 和2C 公共弦所在直线为0342=+-y x ， 所以)0,1(到0342=+-y x 距离为 所以公
【解析】略
12
（2【解析】解：（1）由直线的参数方程消去参数t 得l ：
则l
的一个方向向量为
又a OP ⊥，则
代入直线l 的参数方程得
（2）θρρθρcos 4cos 42
=?=，
由2
2
2
y x +=ρ及θρcos =x 得4)2(2
2
=+-y x ， 设)0,2(E ，则E 到直线l 的距离
17
（Ⅱ）：
C 5)2()1(22=-+-y x ，
【解析】
18
．
，
【解析】
22
【解析】略
23．最大值为2，最小值为0
【解析】将极坐标方程转化成直角坐标方程： ρ=3cos θ即：x 2
＋y 2=3x,(x
2＋y 2 3′ ρcos θ=1即x=1 6′ 直线与圆相交。
所求最大值为2， 8′ 最小值为0。 10′
24．（1
2普通方程为2y x =-； ………………………………3分 曲线C 的普通方程为 ……………6分
（Ⅱ） ∵1(1,0)F -,2(1,0)F ， …………………7分 ∴点1F 到直线l 的距离 …………………8分 点2F 到直线l 的距离
………………9分
……………10分 25．⑴2120x y --=（2【解析】：⑴2120x y --= ⑵设P (3cos ,2sin )θθ，
当cos()1θ?+=时，
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∴P 点到直线l 的距离的最小值为
32．（Ⅰ）1O 的直角坐标方程是2
2
(2)4x y -+=，A 的直角坐标为（－2，0） （Ⅱ）P 运动轨迹的直角坐标方程是22
1x y +=.
【解析】以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位． （Ⅰ）由4cos ρθ=得2
4cos ρρθ=，将cos x ρθ=，2
2
2
x y ρ=+代入可得
224x y x +=．1O 的直角坐标方程是22
(2)4x y -+=， 1O 的直角坐标参数方程可写为22cos ,
2sin .x y αα=+??=?
点A 的极坐标是(2,)π，
由cos x ρθ=，sin y ρθ=知点A 的直角坐标为（－2，0）.
（Ⅱ）点M （x y 00，）在1O 上运动，所00
22cos ,
2sin .x y αα=+??=?
点(,)P x y 是线段AM 的中点，所以
所以，点P 运动轨迹的直角坐标参数方程是cos ,sin .x y αα=??=?
即点P 运动轨迹的直角坐标方程是2
2
1x y +=.
35
【解析】
为参数)化为普通方程得，3x+4y+1=0，………3分
将方程ρ
θ
化为普通方程得，x 2+y 2
-x+y=0， ……………6分 它表示圆心为
…………………………9分
则圆心到直线的距离
……………………………10分 弦长为
……………………12分 考点：直线参数方程，圆的极坐标方程及直线与圆的位置关系
点评：先将参数方程极坐标方程转化为普通方程
38．解
；（2）到直线l 距离的最小值为
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用直角坐标与极坐标间的关系：ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，ρ2=x 2+y 2
，进行代换即得C 的直角坐标方程，将直线l 的参数消去得出直线l 的普通方程．
（Ⅱ）曲线C 1的方程为4x 2+y 2
=4，设曲线C 1上的任意点（cos θ，2sin θ），利用点到直线距离公式，建立关于θ的三角函数式求解．
解: (1) 曲线C 1的方程为4)2(2
2
=+-y x ，直线l 的方程是： （2）设曲线C
2
上的任意点)sin 2,(cos θθ,
该点到直线l 距离
到直线l 距离的最小值为
考点：本题主要考查了曲线参数方程求解、应用．考查函数思想，三角函数的性质．属于中档题．
点评：解决该试题的关键是对于椭圆上点到直线距离的最值问题，一般用参数方程来求解得到。
40．(1)点P 在直线l 上；(2)
d
【解析】
试题分析：（1）由曲线C 的参数方程为
C 的普通方程，再由点P 的极坐标为
(4，
，知点P 的普通坐标为（
0，4），由此能判断点P 与直线l 的位置关系．
（2）由Q 在曲线C ：
α＜360°），知
α，sin α)到直线l ：
x-y+4=0的距离d= |2sin(α+θ)+4|，（0°≤α＜360°），由此能求出Q 到直线l 的距离的最小值 解：(1)
P （0，4）。
因为点P 的直角坐标（0，4）满足直线l 的方程04=+-y x ， 所以点P 在直线l 上，
(2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q
从而点Q 到直线l 的距离为
d
考点：本试题主要考查了椭圆的参数方程和点到直线距离公式的应用，解题时要认真审题，注意参数方程与普通方程的互化，注意三角函数的合理运用．
点评：解决该试题的关键是参数方程与普通方程的互化以及对于点到直线距离公式的灵活运用求解最值。
41
【解析】
试题分析：把曲线的参数方程化为普通方程，由|AB|2
=|MA|?|MB|，可得|AB|等于圆的切线长，设出直线l 的方程，求出弦心距d ，再利用弦长公式求得|AB|，由此求得直线的斜率k 的值，即可求得直线l 的方程．
解：直线l 的参数方程：（t 为参数），…………①
曲线C ：??
?==θ
θsin 2cos 2y x 化为普通方程为42
2=+y x ，…………②
，设A 、B 对应的参数分别为21,t t ，
624-cos 402=∴α，
直线l 的方程为：考点：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系，属于基础题．
点评：解决该试题的关键是把曲线的参数方程化为普通方程，由|AB|2
=|MA|?|MB|，可得|AB|等于圆的切线长，利用切割线定理得到，并结合勾股定理得到结论。
42．（1）曲线1C 的直角坐标方程是22
2
=+y x ，曲线2C 的普通方程是 （2
【解析】本试题主要是考查了极坐标方程和曲线普通方程的互化，以及曲线的交点的求解的综合运
用。
因为根据极坐标方程与直角坐标方程的互化得到普通方程，然后，联立方程组可知满足没有公共点时的t 的范围。
解：（1）曲线1C 的直角坐标方程是22
2
=+y x ， 曲线2C 的普通方程是5分 （2时，1C ，2C 没有公共点，
10分 47．(θ为参数)
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【解析】(1)
（2）根据椭圆的参数
，然后易得
解：(θ为参数)
48．(1)22,2y ax y x ==-
(2)1a =
【解析】(1)对于直线l 两式相减，直接可消去参数t 得到其普通方程， 对于曲线C ，两边同乘以ρ,再利用222
,c o s ,s i n x y x y ρρθρθ=+==可求得其普通方程. （2）将直线
l
的参数方程代入曲线
C
的普通方程可知，
212212112
||||||,||||,||||
P M P N t t M N t t
t t t t ==--
= ,借助韦达定理可建立关于a 的方程，求出a 的值.
49．（I (Ⅱ【解析】(I)把圆C 的极坐标方程利用222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==化
成普通方程，
再求其圆心坐标.
（II ）设直线上的点的坐标
为
然后根据切线长公式转化为关于t 的函数来研究其最值即可.
解：（I
………（2分）
…………（3分）
5分）
引切线长是
…………（8分） ∴直线l 上的点向圆C
…………（10分） ∴直线l 上的点向圆C …………（10分）
50【解析】(1)先把直线l 和曲线C 的方程化成普通方程可得20x y +-=和 然后联立解方程组借助韦达定理和弦长公式可求出弦长.
可化为直角坐标方程20x y +-=
参数方程为2cos sin x y αα
=?
?=?（α为对数）可化为直角坐标方程联立（1）（2
…………13分
51．（1）C1是圆，C2是直线。C2与C1有两个公共点（2）C1C2′：22x y =+。有两个公共点，C1与C2公共点个数相同
【解析】本试题主要是考查了参数方程与极坐标方程与普通方程的转化，以及直线与椭圆的 位置关系的运用。
（1）结合已知的极坐标方程和参数方程，消去参数后得到普通方程，然后利用直线与圆的位置关系判
定。
（2）拉伸后的参数方程分别为C1′：2cos 4sin x y θθ=??=?
，
θ为参数）；
C2
t 为参数）联立消元得2
2230x x --=其判别式442(-3)280=-??=> ，
可知有公共点。
解：（1）C1是圆，C2是直线．C1的普通方程为2
2
x y 4+=， 圆心C1（0，0），半径r=2．C2的普通方程为x-y-1=0． 因为圆心C1到直线x-y+ 1=0
所以C2与C1有两个公共点．
（2）拉伸后的参数方程分别为C1′：2cos 4sin x y θθ=??=?，θ为参数）；C2
t 为参数）
化为普通方程为：C1
C2′：22x y =+ 联立消元得2
2230x x --=其判别式442(-3)280=-??=> ，
所以压缩后的直线C2′与椭圆C1′仍然有两个公共点，和C1与C2公共点个数相同 54
．弦长为7
5
==。 【解析】本试题主要是考查了直线与圆的 相交弦的长度问题的运用。将参数方程化为普通方程，然后利用圆心到直线的距离公式和圆的半径，结合勾股定理得到结论 57．（1）圆心轨迹的参数方程为4cos ,(3sin ,
x y θθθ=?
=为参数）
（2
【解析】本试题主要是考查了圆的参数方程与一般式方程的互换，以及运用参数方程求解最值的问
题。
（1）因为圆的方程整理得2
2
(4cos )(3sin )1x y θθ-+-=，设圆心坐标为(,)x y ，则可得圆心轨迹的
参数方程为4cos ,(3sin ,
x y θθθ=?
=为参数）
（2）因为点P 是曲线C 上的动点，因此设点4cos ,3sin )P θθ（，那么
58．（t 为参数）；（Ⅱ）。
【解析】(1)方程消去参数θ得圆的标准方程为2
2
16x y +=，由直线方程的意义可直接写出直线l 的参数；（2）把直线l 的参数方程代入2
216x y +=，由直线l 的参数方程中t 的几何意义得||||PA PB ?的值.
解：（Ⅰ）圆的标准方程为2
2
16x y += …… 2分
直线l 的参数方程为（t 为参数） …… 5分
代入22
16x y +=，
……8分 所以128t t =-，即…… 10分．
高中数学极坐标与参数方程大题(详解)
参数方程极坐标系 解答题 1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数） （Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程． （Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值． +=1 ， ， 的距离为 则 取得最小值，最小值为 2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为： ，曲线C的参数方程为：（α为参数）． （I）写出直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值． 的极坐标方程为： cos=
∴ y+1=0 （ d= 的距离的最大值． 3．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）． （1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值． ：（化为普通方程得：+ t=代入到曲线 sin =，），﹣
4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为 ，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C 上不同于A，B的任意一点． （Ⅰ）求圆心的极坐标； （Ⅱ）求△PAB面积的最大值． 的极坐标方程为，把 ，利用三角形的面积计算公式即可得出． 的极坐标方程为，化为= 把 ∴圆心极坐标为； （t ， = 距离的最大值为 5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．
高考数学极坐标与参数方程(基础精心整理)教师版
第7讲 极坐标与参数方程(教师版 ) 【基础知识】 一．平面直角坐标系中的伸缩变换：设点(,)P x y 在变换?：//,(0) ,(0) x x y y λλμμ?=>??=>??的作用下对应到点 ///(,)P x y ，则称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。 二.极坐标知识点 1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，从O 引一条射线Ox ，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫做极轴. ①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐 标系的四要素，缺一不可. 2.极坐标与直角坐标的互化： 三.参数方程知识点 1.参数方程的概念：在平面直角坐标系中，若曲线C 上的点满足，该方程叫曲 线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 2．曲线的参数方程 （1）圆的参数方程可表示为. （2）椭圆的参数方程可表示为. （3）抛物线的参数方程可表示为. （4）经过点，倾斜角为的直线的参数方程可表示为（为参数）. 注意：t 的几何意义 3．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使的取值范围保持一致. 规律方法指导： 1.把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法. 常见的消参方法有： (,)P x y () () x f t y f t =?? =?2 2 2 )()(r b y a x =-+-)(.sin , cos 为参数θθθ? ??+=+=r b y r a x 122 22=+b y a x )0(>>b a )(. sin ,cos 为参数??????==b y a x px y 22 =)(.2, 22为参数t pt y pt x ? ? ?==),(o o O y x M αl ? ? ?+=+=.sin , cos o o ααt y y t x x t y x , ) 0(n t , sin , cos , 222≠===+=x x y a y x y x θθρθρρ
2018年高考备考极坐标与参数方程专题
专题1 极坐标与参数方程 【基本方法】 1．两大坐标系：直角坐标系(普通方程、参数方程)；极坐标系(极坐标方程)； 2．基本转化公式： cos sin x y ρθ ρθ = ? ? = ? ， 222 (0) tan x y x y x ρ θ ?=+ ? ≠ ? = ?? ； 3．参数方程： () () x f t y g t = ? ? = ? ，消去参数t得关于,x y的普通方程，引入参数t得参数方程； 4．直线的参数方程0 0cos sin x x t y y t αα =+ ? ? =+ ? (t为参数)，注意参数t的几何意义；5．用转化法解决第(1)问，用图形法解决第(2)问. 【三年真题】 1．(2017全国I)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 3cos, sin, x y θ θ = ? ? = ? (θ为参数)，直线l的 参数方程为 4, 1, x a t t y t =+ ? ? =- ? （为参数）. (1)若1 a=-，求C与l的交点坐标； (2)若C上的点到l a. 2．(2016全国I)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 cos 1sin x a t y a t = ? ? =+ ? (t为参数， a>).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cos θ. (I)说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程； (II)直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
3．(2015全国I)在直角坐标系xOy 中，直线1C : x =-2，圆2C ：()()22 121x y -+-=，以 坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (I)求1C ，2C 的极坐标方程； (II)若直线3C 的极坐标方程为()4 θρπ =∈R ，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN △的面积. 【自主研究】 4．(2016届佛山二模)已知曲线C 的极坐标方程为4sin()3 ρθπ =-，以极点为原点， 极轴为x 轴正半轴，建立直角坐标系xOy ． (I)求曲线C 的直角坐标方程； (II)若点P 在曲线C 上，点Q 的直角坐标是(cos ,sin )?? (其中)?∈R ，求PQ 的最大值． 5．(2016届河南八市质检)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为333x y θ θ ???=??＝cos sin (θ为参 数)，以原点O 为起点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知点P 的极坐标为(2，－3 π )， 直线l 的极坐标方程为ρcos(3 π ＋θ)＝6． (Ⅰ)求点P 到直线l 的距离； (Ⅱ)设点Q 在曲线C 上，求点Q 到直线l 的距离的最大值． 6．(2016年全国卷II )在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为2 2 (6)25x y ++=． (Ⅰ)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； (Ⅱ)直线l 的参数方程是cos sin x t y t α α=??=? (t 为参数)， l 与C 交于,A B 两点，||10AB =，求l 的 斜率．
高中数学选修4-4极坐标与参数方程练习题
极坐标与参数方程单元练习1 一、选择题（每小题5分，共25分） 1、已知点M 的极坐标为?? ? ??35π，，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是（ ）。 A. B. C. D. ?? ? ? ? -355π， 2、直线：3x-4y-9=0与圆：? ??==θθ sin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( ) A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心 3、在参数方程? ??+=+=θθ sin cos t b y t a x （t 为参数）所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、 t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（ ） 4、曲线的参数方程为???-=+=1 2 32 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、双曲线的一支 C 、圆 D 、射线 5、实数x 、y 满足3x 2 ＋2y 2 =6x ，则x 2 ＋y 2 的最大值为（ ） A 、 27 B 、4 C 、2 9 D 、5 二、填空题（每小题5分，共30分） 1、点()22-， 的极坐标为 。 2、若A ，B ?? ? ? ? -64π， ，则|AB|=___________，___________。（其中O 是极点） 3、极点到直线()cos sin 3ρθθ+=________ _____。 4、极坐标方程2sin 2cos 0ρθθ-?=表示的曲线是_______ _____。 5、圆锥曲线()为参数θθ θ ?? ?==sec 3tan 2y x 的准线方程是 。
6、直线l 过点()5,10M ，倾斜角是 3 π ，且与直线032=--y x 交于M ，则0MM 的长为 。 三、解答题（第1题14分，第2题16分，第3题15分；共45分） 1、求圆心为C ，半径为3的圆的极坐标方程。 2、已知直线l 经过点P(1,1),倾斜角6 π α=， （1）写出直线l 的参数方程。 （2）设l 与圆42 2=+y x 相交与两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积。 3、求椭圆14 92 2=+y x ）之间距离的最小值，与定点（上一点01P 。 极坐标与参数方程单元练习1参考答案 【试题答案】一、选择题：1、D 2、D 3、B 4、D 5、B 二、填空题：1、??? ? ?-422π， 或写成?? ? ? ? 4722π，。 2、5，6。 3、。 4、()2 2sin 2cos 02y x ρθρθ-==，即，它表示抛物线。 5、13 13 9±=y 。6、3610+。 三、解答题 1、1、如下图，设圆上任一点为P （ ），则((((2366 OP POA OA π ρθ=∠=- =?=，， ((((cos Rt OAP OP OA POA ?=?∠中， 6cos 6πρθ? ?∴=- ???而点O )32,0(π A )6 ,0(π符合 2、解：（1）直线的参数方程是是参数）t t y t x (;211,23 1??? ????+=+= （2）因为点A,B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2,则点A,B 的坐标分别为 ),211,231(11t t A ++ )2 1 1,231(22t t B ++ 以直线L 的参数方程代入圆的方程42 2 =+y x 整理得到02)13(2=-++t t ① 因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2。所以|PA|·|PB|= |t 1t 2|＝|－2|＝2。 3、（先设出点P 的坐标，建立有关距离的函数关系）
高考数学分类汇编-极坐标与参数方程
高考数学分类汇编-极坐标与参数方程 题型160 极坐标方程化直角坐标方程 1. (安徽理7）在极坐标系中,圆2cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）. A. ()0θρ=∈R 和cos 2ρθ= B. ()π 2 θρ=∈R 和cos 2ρθ= C. ()π 2 θρ= ∈R 和cos 1ρθ= D. ()0θρ=∈R 和cos 1ρθ= 2.(天津理11）已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=,圆心为C ,点P 的极坐标为π4,3 ?? ??? ,则 CP = . 3. (重庆理15）在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标 系.若极坐标方程为cos 4ρθ=的直线与曲线2 3 x t y t ?=??=??（t 为参数）相交于A B ，两点,则AB = . 4.（湖北理16） 在直角坐标系xOy 中,椭圆C 的参数方程为cos sin x a y b ? ?=?? =? (?为参数,0a b >>),在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以x 轴正半轴为极轴）中,直线l 与圆O 的极坐标方程分别为 sin 4 π ρθ+ = （m 为非零数） 与b ρ=．若直线l 经过椭圆C 的焦点,且与员O 相切,则椭圆C 的离心率为 ． 5.（福建理21） 在平面直角坐标系中,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已 知点A 的极坐标为π4???,直线l 的极坐标方程为πcos 4a ρθ? ?-= ???,且点A 在直 线l 上．
（1）求a 的值及直线l 的直角坐标方程； （2）圆C 的参数方程为)(sin , cos 1为参数a a y a x ? ? ?=+=,试判断直线l 与圆C 的位置关系. 6.（2014 重庆理 15）已知直线l 的参数方程为23x t y t =+??=+?（t 为参数）,以坐标原点为极 点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为 ()2sin 4cos 00,0π2πρθθρ-=<,则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ=________. 7.（2014 天津理 13）在以O 为极点的极坐标系中,圆4sin ρθ=和直线sin a ρθ=相交于,A B 两点.若AOB △是等边三角形,则a 的值为___________. 8.（2014 陕西理 15）C.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,点π2,6?? ???到直线 πsin 16ρθ? ?-= ?? ?的距离是 . 9.（2014 湖北理 16）（选修4-4:坐标系与参数方程） 已知曲线1C 的参数方程是??? ??= =33t y t x ()为参数t ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程是2ρ=,则1C 与2C 交点的直角坐标为________. 10.（2014 广东理 14）（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中,曲线1C 和2C 的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin 1ρθ=,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线1C 和2C 的交点的直角坐标为 . 11.（2014 安徽理 4）以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐 标系,两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线l 的参数方程是1 3x t y t =+??=-?（t 为参数）, 圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=,则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ）. A. B. C. D.
极坐标与参数方程 经典练习题含答案详解
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．曲线25()12x t t y t =-+?? =-?为参数与坐标轴的交点是（ ）． A ．21(0,)(,0)5 2 、 B ．11(0,)(,0)5 2 、 C ．(0,4)(8,0)-、 D ．5(0,)(8,0)9 、 2．把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是（ ）． A ．1 21 2x t y t -?=???=? B ．sin 1sin x t y t =???=?? C ．cos 1cos x t y t =???=?? D ．tan 1tan x t y t =???=?? 3．若直线的参数方程为12()23x t t y t =+?? =-?为参数，则直线的斜率为（ ）． A ． 23 B ．23- C ．32 D ．32 - 4．点(1,2)在圆18cos 8sin x y θ θ=-+??=? 的（ ）． A ．内部 B ．外部 C ．圆上 D ．与θ的值有关 5．参数方程为1()2 x t t t y ?=+? ??=?为参数表示的曲线是（ ）． A ．一条直线 B ．两条直线 C ．一条射线 D ．两条射线 6．两圆???+=+-=θθsin 24cos 23y x 与? ??==θθ sin 3cos 3y x 的位置关系是（ ）． A ．内切 B ．外切 C ．相离 D ．内含 7 ．与参数方程为)x t y ?=?? =??为参数等价的普通方程为（ ）． A ．22 14 y x + = B ．22 1(01)4y x x +=≤≤ C ．22 1(02)4y x y +=≤≤ D ．22 1(01,02)4 y x x y +=≤≤≤≤
(完整版)极坐标与参数方程近年高考题和各种类型总结
极坐标与参数方程（近年高考题和各种类型总结） 一、最近6年极坐标与参数方程题型归纳 （2016）【极坐标方程求长度】在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(+6)+=25x y . （Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线l 的参数方程是（t 为参数），l 与C 交于A ，B 两点，AB = 求l 的斜率. (2015）【极坐标方程求长度】 在直角坐标系xOy 中,曲线1cos , :sin , x t C y t αα=?? =? （t 为参数,且0t ≠ ）, 其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线 23:2sin ,:. C C ρθρθ== （I ）求 2C 与3C 交点的直角坐标； （II ）若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3 C 相交于点B ,求AB 最大值. （2014）在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程 为2cos ρθ=， 0,2πθ??∈???? . （Ⅰ）求C 的参数方程； （Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确 定D 的坐标. （2013）【轨迹问题】已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos ,2sin x t y t =?? =?(t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点． (1)求M 的轨迹的参数方程； (2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． （2012）【参数坐标求最值、范围】已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数?? ? ?? ?==，以坐标 原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系， 曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为 (2,)3 π （1）求点,,,A B C D 的直角坐标； （2）设P 为1 C 上任意一点，求 2222 PA PB PC PD +++的取值范围。
-全国卷极坐标与参数方程高考题汇编
极坐标与参数方程（全国卷高考题） 1、（2011）坐标系与参数方程：在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为 2cos 22sin x y αα =?? =+?（α为参数），M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =u u u v u u u u v ,P 点的轨迹为曲 线C 2 (Ⅰ)求C 2的方程 (Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3 π θ=与C 1的异于 极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB . 解：（I ）设P(x,y),则由条件知M( 2 ,2Y X ).由于M 点在C 1上，所以 ??? ???????????+=?=sin 222,cos 22y x 即 ? ?? ????+=?=sin 44cos 4y x 从而2C 的参数方程为4cos 44sin x y α α =??=+?（α为参数） （Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=。 射线3 π θ=与1C 的交点A 的极径为14sin 3 π ρ=， 射线3 π θ= 与2C 的交点B 的极径为28sin 3 π ρ=。 所以21||||AB ρρ-== 2、（2012）已知曲线C 1的参数方程是??? x ＝2cos φ y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD 的 顶点都在C 2上，且A 、B 、C 、D 以逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π 3) (Ⅰ)求点A 、B 、C 、D 的直角坐标； (Ⅱ)设P 为C 1上任意一点，求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2的取值范围。 【解析】（1）点,,,A B C D 的极坐标为5411(2,),(2,),(2,),(2, )3636 ππππ
极坐标与参数方程含答案(经典39题)(整理版)
高考极坐标参数方程(经典39题) 1．在极坐标系中，以点(2,)2 C π 为圆心，半径为3的圆C 与直线:() 3 l R π θρ= ∈交于,A B 两点. （1）求圆C 及直线l 的普通方程. （2）求弦长AB . 2．在极坐标系中，曲线2 :sin 2cos L ρθθ=，过点A （5，α） （α为锐角且3tan 4α= ）作平行于()4 R π θρ=∈的直线l ，且l 与曲线L 分别交于B ，C 两点. (Ⅰ)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直 角坐标系，写出曲线L 和直线l 的普通方程； (Ⅱ)求|BC|的长. 3．在极坐标系中，点M 坐标是)2 , 3(π ，曲线C 的方程为)4 sin(22π θρ+ =；以 极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ?的值． 4．已知直线l 的参数方程是)(24222 2 是参数t t y t x ??? ??? ?+== ，圆C 的极坐标方程为 )4 cos(2π θρ+=． （1）求圆心C 的直角坐标； （2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．
5．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t t y t a x ,3?? ?=+=.在极坐标 系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为θρcos 4=. （Ⅰ）求圆C 在直角坐标系中的方程； （Ⅱ）若圆C 与直线l 相切，求实数a 的值. 6．在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为 (2, ) 3π ，半径r=1，P 在圆C 上运 动。 （I ）求圆C 的极坐标方程； （II ）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴）中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方程。 7．在极坐标系中，极点为坐标原点O ，已知圆C 的圆心坐标为 ) 4,2(C π，半径为2，直线l 的极坐标方程为22)4sin(= θ+πρ. （1）求圆C 的极坐标方程； （2）若圆C 和直线l 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长. 8．平面直角坐标系中，将曲线? ? ?==ααsin cos 4y x （α为参数）上的每一点纵坐标不变， 横坐标变为原来的一半，然后整个图象向右平移1个单位，最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到曲线1C ．以坐标原点为极点，x 的非负半轴为极轴，建立的极坐标中的曲线2C 的方程为θρsin 4=，求1C 和2C 公共弦的长度．
高考极坐标与参数方程大题题型汇总(附详细答案)
高考极坐标与参数方程大题题型汇总 1．在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ? ?? =+??=?为参数） ．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程； （2）直线l 的极坐标方程是 C 的交点为 O 、P ,与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 解:(1)圆C 的普通方程是22(1)1x y -+=，又cos ,sin x y ρθρθ==; 所以圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=. ---5分 (2)设11(,)ρθ为点P 的极坐标，则有 设22(,)ρθ为点Q 的极坐标，则有 由于12θθ=，所以，所以线段PQ 的长为2. 2．已知直线l 的参数方程为431x t a y t =-+??=-? （t 为参数），在直角坐标系xOy 中，以O 点为极 点， x 轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆M 的方程为 26sin 8 ρρθ-=-． （1）求圆M 的直角坐标方程； （2）若直线l 截圆M a 的值． 解：（1）∵2 222268(36si )n 81x y y x y ρρθ+--=-?=-?+-=， ∴圆M 的直角坐标方程为2 2 (3)1x y +-=；(5分）
（2）把直线l的参数方程 4 31 x t a y t =-+ ? ? =- ? （t为参数）化为普通方程得：34340 x y a +-+=， ∵直线l截圆M所得弦长 为，且圆M的圆心(0,3) M到直线l的距 离 |163|19 522 a d a - ===?=或 37 6 a=，∴ 37 6 a=或 9 2 a=．(10分）3．已知曲线C的参数方程为 ?? ? ? ? + = + = α α sin 5 1 cos 5 2 y x (α为参数)，以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。 （1）求曲线c的极坐标方程 （2）若直线l的极坐标方程为 ρ (sinθ+cosθ)=1，求直线l被曲线c截得的弦长。 解：(1)∵曲线c的参数方程为 ?? ? ? ? + = + = α α sin 5 1 cos 5 2 y x (α为参数) ∴曲线c的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=5 将? ? ? = = θ ρ θ ρ sin cos y x 代入并化简得： ρ =4cosθ+2sinθ 即曲线c的极坐标方程为 ρ =4cosθ+2sinθ (2)∵l的直角坐标方程为x+y-1=0 ∴圆心c到直线l的距离为d=2 2 =2∴弦长为22 5-=23 4．已知曲线C： 2 21 9 x y += ，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 sin() 4 π ρθ-= （1）写出曲线C的参数方程，直线l的直角坐标方程； （2）设P是曲线C上任一点，求P到直线l的距离的最大值.
极坐标与参数方程测试题(有详解答案)
极坐标与参数方程测试题 一、选择题 1.直线12+=x y 的参数方程是（ ） A 、???+==1 222t y t x （t 为参数） B 、???+=-=1412t y t x （t 为参数） C 、 ???-=-=121t y t x （t 为参数） D 、???+==1 sin 2sin θθy x （t 为参数） 2.已知实数x,y 满足02cos 3=-+x x ，022cos 83=+-y y ，则=+y x 2（ ） A ．0 B ．1 C ．-2 D ．8 3.已知??? ? ?-3,5πM ，下列所给出的不能表示点的坐标的是( ) A 、??? ?? -3,5π B 、??? ?? 34,5π C 、??? ?? -32,5π D 、?? ? ?? --35,5π 4.极坐标系中，下列各点与点P （ρ，θ）（θ≠k π，k ∈Z ）关于极轴所在直线 对称的是（ ） A ．（-ρ，θ） B ．（-ρ，-θ） C ．（ρ，2π-θ） D ．（ρ，2π+θ） 5.点()3,1-P ，则它的极坐标是 ( ) A 、??? ?? 3,2π B 、??? ?? 34,2π C 、??? ?? -3,2π D 、?? ? ?? -34,2π 6.直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A,B 分别在曲 线13cos :sin x C y θθ =+??=? （θ为参数）和曲线2:1C ρ=上，则AB 的最小值为( ). A.1 B.2 C.3 D.4 7.参数方程为1()2 x t t t y ?=+???=?为参数表示的曲线是（ ） A ．一条直线 B ．两条直线 C ．一条射线 D ．两条射线 8.()124123x t t x ky k y t =-?+==?=+?若直线为参数与直线垂直，则常数（ ）
极坐标与参数方程经典试题带详细解答
极坐标与参数方程经典试题带详细解答
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2
1．极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为 极轴.已知直线l 的参数方程为12232 x t y t ?=+?? ??=??（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为 2sin 8cos ρθθ=.（Ⅰ）求C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两 点，求弦长||AB . 2．已知直线l 经过点1 (,1)2P ，倾斜角α＝ 6 π ，圆C 的极坐标方程为2cos()4πρθ=-. (1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； (2)设l 与圆C 相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积． 3．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 已知直线l 的参数方程是)(242 2 2 2 是参数t t y t x ??? ? ?? ? +==，圆C 的极坐标方程为 )4 cos(2π θρ+=． （I ）求圆心C 的直角坐标；(Ⅱ)由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 4．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x 轴的正半轴重合，且两坐标系有相同的长度单位，圆C 的参数方程为12cos 12sin x y α α =+??=-+?（α为参数）， 点Q 的极坐标为7(22,)4 π。 （1）化圆C 的参数方程为极坐标方程； （2）直线l 过点Q 且与圆C 交于M ，N 两点，求当弦MN 的长度为最小时，直线l 的直角坐标方程。 5．在极坐标系中，点M 坐标是)2, 3(π ，曲线C 的方程为)4 sin(22π θρ+ =；以极点 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ?的值．
高中数学极坐标与参数方程高考题型全归纳题型部分
2019极坐标与参数方程高考题型全归纳 一.题型部分 (一) 极坐标与直角坐标的转化、参数方程与普通方程的转化,极坐标与参数 方程的转化 1. 极坐标与直角坐标互化公式： 若以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，点P 的极坐标为(,)ρθ，直角坐标为(,)x y ，则cos x ρθ=, sin y ρθ=, 222x y ρ=+, tan y x θ= 。 2. 参数方程： 直线参数方程：0 0cos () sin x x t t y y t θ θ =+?? =+?为参数 00(,) x y 为直线上的定点， t 为直线上任一点(,)x y 到定点00(,)x y 的数量； 圆锥曲线参数方程： 圆的参数方程：cos ()sin x a r y b r θθθ =+?? =+?为参数(a,b)为圆心，r 为半径； 椭圆2 2221x y a b +=的参数方程是cos ()sin x a y b θ θθ =??=?为参数； 双曲线2222-1x y a b =的参数方程是sec ()tan x a y b φθφ =?? =?为参数； 抛物线22y px =的参数方程是2 2()2x pt t y pt ?=? =?为参数 (二)有关圆的题型 题型一：圆与直线的位置关系（圆与直线的交点个数问题）----利用圆心到直线的距离与半径比较 相离，无交点；:r d >个交点；相切，1:r d =个交点；相交，2:r d < 用圆心（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离2 2 00B A C By Ax d +++= ，算出d ，在与半径
比较。 题型二：圆上的点到直线的最值问题（不求该点坐标，如果求该点坐标请参照距离最值求法） 思路：第一步：利用圆心（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离2 2 00B A C By Ax d +++= 第二步：判断直线与圆的位置关系 第三步：相离：代入公式：r d d +=max ，r d d -=min 相切、相交：r d d +=max min 0d = 题型三：直线与圆的弦长问题 弦长公式2 22 d r l -=，d 是圆心到直线的距离 延伸：直线与圆锥曲线（包括圆、椭圆、双曲线、抛物线）的弦长问题 （弦长：直线与曲线相交两点，这两点之间的距离就是弦长） 弦长公式21t t l -=,解法参考“直线参数方程的几何意义” (三）距离的最值： ---用“参数法” 1.曲线上的点到直线距离的最值问题 2.点与点的最值问题 “参数法”：设点---套公式--三角辅助角 ①设点： 设点的坐标，点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设 ②套公式：利用点到线的距离公式 ③辅助角：利用三角函数辅助角公式进行化一 例如：在直角坐标系xOy 中，曲线1 C 的参数方程为()sin x y α αα?=?? =?? 为参数，以坐标原 点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为
极坐标与参数方程高考题含答案
极坐标与参数方程高考题 1.在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()2 2 2:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （I ）求12,C C 的极坐标方程. （II ）若直线3C 的极坐标方程为()π R 4 θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ? 的面积. 解：（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=. （Ⅱ）将= 4 π θ代入2 2cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得 240 ρ-+=，解得1ρ=， 2ρ，|MN|=1ρ－2ρ，因为2C 的半径为1，则2C MN V 的面积o 1 1sin 452 ?=12 . 2.已知曲线194:2 2=+y x C ，直线???-=+=t y t x l 222:（t 为参数） （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程； （2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值. 解：(1)曲线C 的参数方程为(θ为参数).直线l 的普通方程为2x+y-6=0. (2)曲线C 上任意一点P(2cos θ,3sin θ)到l 的距离为 |4cos θ+3sin θ-6|,
则|PA|==|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tan α= 43 . 当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,.当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小 值,. 3.在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐 标方程为ρ=2cos θ02πθ?? ∈???? ，, (1)求C 的参数方程;(2)设点D 在C 上,C 在D 处的切线与直线x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D 的坐标. 解：(1)C 的普通方程为(x-1)2+y 2=1(0≤y ≤1).可得C 的参数方程为: x 1cos sin y θ θ=+??=? (0≤θ ≤π). (2)设D(1+cos θ,sin θ).由(1)知C 是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆. 因为C 在点D 处的切线与l 垂直,所以直线GD 与l 的斜率相同,tan θ,θ= 3 π .故D 的 直角坐标为32（. 4.将圆x 2+y 2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C. (1)写出C 的参数方程; (2)设直线l:2x+y-2=0与C 的交点为P 1,P 2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.
2021年极坐标与参数方程含答案经典39题整理版
*欧阳光明*创编 2021.03.07 *欧阳光明*创编 2021.03.07 高考极坐标参数方程(经典 39题) 1． 欧阳光明（2021.03.07） 2．在极坐标系中，以点(2,)2 C π 为圆心，半径为3的 圆C 与直线:()3 l R π θρ=∈交于,A B 两点. （1）求圆C 及直线l 的普通方程. （2）求弦长AB . 2．在极坐标系中，曲线2:sin 2cos L ρθθ=，过点A （5，α） （α为锐角且3 tan 4 α=）作平行于()4 R π θρ=∈的直 线l ，且l 与曲线L 辨别交于B ，C 两点. (Ⅰ)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐 标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L 和直线l 的普通方程； (Ⅱ)求|BC|的长. 3．在极坐标系中，点M 坐标是)2 ,3(π，曲线C 的方程 为)4 sin(22 π θρ+ =； 以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求 ||||MB MA ?的值． 4．已知直线l 的参数方程是)(242222 是参数t t y t x ??? ??? ?+== ，圆C 的极坐标方程为)4 cos( 2π θρ+=． （1）求圆心C 的直角坐标； （2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最 小值． 5．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为
()为参数t t y t a x ,3? ? ?=+=.在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为θρcos 4=. （Ⅰ）求圆C 在直角坐标系中的方程； （Ⅱ）若圆C 与直线l 相切，求实数a 的值. 6．在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为 (2, ) 3 π ，半径r=1，P 在圆C 上运动。 （I ）求圆C 的极坐标方程； （II ）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴）中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方程。 7．在极坐标系中，极点为坐标原点 O ，已知圆C 的 圆心坐标为 ) 4,2(C π ，半径为2，直线l 的极坐标方程为 22 )4sin(= θ+πρ. （1）求圆 C 的极坐标方程； （2）若圆C 和直线l 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长. 8．平面直角坐标系中，将曲线?? ?==αα sin cos 4y x （α为参数） 上的每一点纵坐标不变，横坐标变成原来的一半， 然后整个图象向右平移1个单位，最后横坐标不变，纵坐标变成原来的2倍获得曲线1C ．以坐标原点为极点，x 的非负半轴为极轴，建立的极坐标中的曲线 2C 的方程为θ ρsin 4=，求1C 和2C 公共弦的长度． 9．在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程 是θρcos 4=，直线l 的参数方程是??? ??? ?=+-=. 21, 23 3t y t x （t 为
高考极坐标与参数方程常见题型
极坐标与参数方程 一、基础知识点梳理 （一）极坐标 极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示 ,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再 选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标 (,)ρθ表示的点也是唯一确定的. 3、极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:
(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 点M 直角坐标(,)x y 极坐标(,)ρθ 互化公式 cos sin x y ρθ ρθ =?? =? 222 tan (0) x y y x x ρθ=+=≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4、常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径 为r 的圆 (02)r ρθπ=≤< 圆心为(,0)r ,半径 为r 的圆 2cos ()2 2 r π π ρθθ=- ≤< 圆心为(, )2 r π ,半 径为r 的圆 2sin (0)r ρθθπ≤< 过极点,倾斜角为 α的直线 (1)()()R R θαρθπαρ=∈=+∈或 (2)(0)(0)θαρθπαρ=≥=+≥和
最新极坐标与参数方程测试题(有详解答案)
2017高二文科极坐标与参数方程测试题 一、选择题 1.直线12+=x y 的参数方程是（ ） A 、???+==1 22 2 t y t x （t 为参数） B 、???+=-=1412t y t x （t 为参数） C 、 ???-=-=121 t y t x （t 为参数） D 、? ? ?+==1sin 2sin θθy x （t 为参数） 2.极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ） A ．一条射线和一个圆 B ．两条直线 C ．一条直线和一个圆 D ．一个 3.已知??? ? ? -3,5πM ，下列所给出的不能表示点的坐标的是( ) A 、?? ? ? ?- 3,5π B 、?? ? ? ?34, 5π C 、?? ? ? ?- 32,5π D 、?? ? ? ?- -35,5π 4.极坐标系中，下列各点与点P （ρ，θ）（θ≠k π，k ∈Z ）关于极轴所在直线 对称的是（ ） A ．（-ρ，θ） B ．（-ρ，-θ） C ．（ρ，2π-θ） D ．（ρ，2π+θ） 5.点() 3,1-P ，则它的极坐标是 ( ) A 、?? ? ??3, 2π B 、?? ? ? ?3 4, 2π C 、?? ? ? ?- 3,2π D 、?? ? ? ?- 3 4,2π 6.直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A,B 分别在曲 线13cos :sin x C y θθ =+??=? （θ为参数）和曲线2:1C ρ=上，则AB 的最小值为( ). A.1 B.2 C.3 D.4 7.参数方程为1()2 x t t t y ? =+ ???=?为参数表示的曲线是（ ） A ．一条直线 B ．两条直线 C ．一条射线 D ．两条射线 8.( )124123x t t x ky k y t =-?+==?=+?若直线为参数与直线垂直，则常数（ ）