2020年广东省高考数学(文科)模拟试卷(2) 含详细答案解析
意图， A 为 OB 的中点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分
的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（ 5 分）已知 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，当 x＞ 0 时， f（x）＝ 3﹣ 2x，则不等式 f（ x）
＞ 0 的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
5．（ 5 分）已知平面向量 、 的夹角为 135°，且 为单位向量，
19．（ 12 分）已知函数 f（x）＝ alnx ﹣ x2． （ 1）讨论 f（ x）的单调性； （ 2）求证：当 a＞ 0 时， f（ x）≤（ a﹣ sinx） x2﹣ax．
20．（ 12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 N：（ x﹣ 1） 2+y2＝1，圆心 N（ 1，0），点 E
）
A ．20， 0.15
B ．15， 0.015
C． 20， 0.015
D． 15，0.15
10．（5 分）将函数 y＝ cos（ 2x+φ）（﹣ ＜ φ＜ ）的图象向右平移
个单位长度单位
后得函数 f（x）图象，若 f（ x）为偶函数，则（
）
A ．f（x）在区间 [ ﹣ ， ] 上单调递减
B ． f（ x）在区间 [ ﹣ ， ] 匀上单调递增
在直线 x＝﹣ 1 上，点 P 满足 ∥ ， ?
，点 P 的轨迹为曲线 M ．
（ 1）求曲线 M 的方程． （ 2）过点 N 的直线 l 分别交 M 和圆 N 于点 A、B、C、D（自上而下） ，若|AC|、|CD|、|DB | 成等差数列，求直线 l 的方程． 21．（ 12 分）某学校因为寒假延期开学，根据教育部停课不停学的指示，该学校组织学生线
D．
7．（ 5 分）某程序框图如图所示，若 a＝4，则该程序运行后输出的结果是（
）
A．
B．
C．
D．
8．（ 5 分）约公元前 600 年，几何学家泰勒斯第一个测出了金字塔的高度．如图，金字塔是
正四棱锥，泰勒斯先测量出某个金字塔的底棱长约为
230 米；然后，他站立在沙地上，
请人不断测量他的影子， 当他的影子和身高相等时， 他立刻测量出该金字塔影子的顶点 A
．
15．（ 5 分）已知三棱锥 P﹣ABC 中， PA⊥平面 ABC， PA＝BC ＝2，∠ BAC＝ ，则三棱锥
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P﹣ABC 的外接球的表面积为
．
16．（ 5 分）已知
在 x∈（ 0， 1）上恰有一个零点，则正实数 a 的
取值范围为
．
三．解答题（共 5 小题，满分 60 分，每小题 12 分）
D． { x|﹣ 1＜ x≤ 2，或 x＝ 3}
2．（ 5 分）设 a∈R，若复数
在复平面内对应的点位于实轴上，则 a＝（
）
A ．2
B．1
C．﹣ 1
D．﹣ 2
3．（ 5 分）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面 书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示
A．
B．
C．
D．
二．填空题（共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分）
13．（ 5 分）在△ ABC 中，角 A， B，C 的对边分别为 a， b， c，则满足 a＝ 10，b＝ 18，A＝
30°的三角形解的个数是
．
14．（ 5 分）曲线 f（ x）＝（ x+1） ex 在点（ 0， f（ 0））处的切线的横纵截距之和为
17．（ 12 分）已知等差数列 { an} 的前 n 项和为 Sn， S4＝ 16， a3＝ 3a2． （ 1）求 { an} 的通项公式；
（ 2）设
，求 { bn} 的前 2n 项的和 T2n．
18．（ 12 分）如图，在四棱锥 P﹣ ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，其中 AB⊥BC ，AD ∥ BC，AD＝ 4，AP＝ AB ＝BC＝ 2，E 是 AD 的中点，AC 和 BE 交于点 O，且 PO⊥平面 ABCD ． （ 1）证明：平面 PAC⊥平面 PCD ； （ 2）求点 D 到平面 PCE 的距离．
2020 年广东省高考数学（文科）模拟试卷（ 2）
一．选择题（共 12 小题，满分 60 分，每小题 5 分）
1．（ 5 分）设集合 A＝ { x|﹣1＜ x≤ 2} ， B＝{ ﹣ 1，0， 1， 2， 3} ，则 A∩B＝（
）
A ．{ ﹣ 1， 0， 1， 2}
B． {0 ， 1， 2}
C． {0 ， 1}
的 15～65 岁市民进行随机抽样，各年龄段人数各组人数频率分布直方图
第 1 组 [15 ， 25）
10
第 2 组 [25 ， 35）
a
第 3 组 [35 ， 45）
b
第 4 组 [45 ， 55）
c
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第 5组
[55， 65]
d
根据以上图表中的数据可知图表中 a 和 x 的值分别为（
，则
＝
（）
A．
B．
C． 1
D．
6．（ 5 分）椭圆 C 的焦点为 F 1（﹣ c，0），F2（ c，0）（ c＞ 0），过 F 2 与 x 轴垂直的直线交椭
圆于第一象限的 A 点，点 A 关于坐标原点的对称点为
B ，且∠ AF 1B ＝ 120 °，
，则椭圆方程为（
）
A．
B．
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C．
与相应底棱中点 B 的距离约为 22.2 米．此时， 影子的顶点 A 和底面中心 O 的连线恰好与
相应的底棱垂直，则该金字塔的高度约为（
）
A ．115 米
B ．137.2 米
C． 230 米
D． 252.2 米
9．（ 5 分）为了宣传今年 9 月即将举办的“第十八届中国西部博览会” （简称“西博会” ）， 组委会举办了“西博会”知识有奖问答活动．在活动中，组委会对会议举办地参与活动
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上教学，高一年级在线上教学一个月后，为了了解线上教学的效果，在线上组织了数学 学科考试，随机抽取 50 名学生的成绩并制成频率分布直方图如图所示． （ 1）求 m 的值，并估计高一年级所有学生数学成绩在 [70， 100] 分的学生所占的百分比； （ 2）分别估计这 50 名学生数学成绩的平均数和中位数． （同一组中的数据以该组区间的 中点值作代表，结果精确到 0.1）
C． f（ x）在区间 [ ， ] 上单调递减
D ．f（x）在区间 [ ， ] 上单调递增
11．（ 5 分）已知双曲线 C：
的一条渐近线被圆（
x﹣
2
c） +
y2＝
2a2
截得的弦长为 2b（其中 c 为双曲线的半焦距） ，则双曲线 C 的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．2
12．（ 5 分）在棱长为 1 的正方体 ABCD ﹣ A1B1C1D 1 中， E、F 分别为 AB 和 DD 1 的中点，经 过点 B1， E，F 的平面 α交 AD 于 G，则 AG＝（ ）
2020年广东省深圳市高考数学二模试卷(文科) (含答案解析)
2020年广东省深圳市高考数学二模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A ={x|0<x <2}，B ={x|x ≥1}，则A ∩B =( )A. {x|0<x ≤1}B. {x|0<x <1}C. {x|1≤x <2}D. {x|0<x <2}2. 已知复数z 满足z(1+i)=(3+i)2，则|z|=( )A. √2B. √5C. 5√2D. 8 3. 已知a =2,b =log 132,c =log 1215，则( )A. a >b >cB. a >c >bC. c >a >bD. c >b >a4. 若x,y 满足约束条件{−3≤x −y ≤1,−9≤3x +y ≤3,则z =x +y 的最小值为( ) A. 1 B. −3 C. −5 D. −65. 已知l ，m ，n 是三条不同的直线，α，β是不同的平面，则下列条件中能推出α⊥β的是( )A. l ⊂α，m ⊂β，且l ⊥mB. l ⊂α，m ⊂β，n ⊂β，且l ⊥m ，l ⊥nC. m ⊂α，n ⊂β，m//n ，且l ⊥mD. l ⊂α，l//m ，且m ⊥β6. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦点为F 1、F 2，点P 是双曲线C 上的一点，∠PF 1F 2=15°，∠PF 2F 1=105°，则该双曲线的离心率为( )A. √6B. √3C. √2+√62 D. √627. 执行如图的程序框图，若输入的k =9，则输出的S =( )A. 10B. 15C. 21D. 288. 函数f(x)=x 2−2x +1的图象与函数g(x)=3cosπx 的图象所有交点的横坐标之和等于A. 2B. 4C. 6D. 89. 以正方体各面中心为顶点构成一个几何体，从正方体内任取一点P ，则P 落在该几何体内的概率为( ) A. 18 B. 56 C. 16 D. 78 10. 函数y =sin x ⋅1+2x 1−2x的部分图像大致为( ) A. B.C. D.11. 下面左图是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如下面右图所示，右图中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A ，B ，C ，D 是其中四个圆的圆心，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =A. 32B. 28C. 26D. 2412. 如图，在三棱锥A −BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，AD =AB =1，∠BCD =45°，且BD =DC =√2.给出下面四个命题：①AD ⊥BC ；②三棱锥A −BCD 的体积为√22； ③CD ⊥平面ABD ；④平面ABC ⊥平面ACD ．其中正确命题的序号是( )A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.从甲、乙、丙、丁这4名学生中随机选派2人参加植树活动，则甲、乙两人中恰有1人被选中的概率为______．14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为b2+c2−a24，bsinC=csin A+C2，则角C=________．15.已知如下等式：2+4=6；8+10+12=14+16；18+20+22+24=26+28+30；……以此类推，则2018出现在第____________个等式中．16.过椭圆x24+y2=1的左焦点F1作直线l交椭圆于A，B两点，F2是椭圆右焦点，则△ABF2的周长为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知各项都为正数的等比数列{a n}，a2=32，a3a4a5=8．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=log2a n，T n=|b1|+|b2|+|b3|+⋯+|b n|，求T n．18.为了比较两种治疗某病毒的药(分别称为甲药，乙药)的疗效，某医疗团队随机地选取了服用甲药的患者和服用乙药的患者进行研究，根据研究的数据，绘制了如图1等高条形图．(1)根据等高条形图，判断哪一种药的治愈率更高，不用说明理由；(2)为了进一步研究两种药的疗效，从服用甲药的治愈患者和服用乙药的治愈患者中，分别抽取了10名，记录他们的治疗时间(单位：天)，统计并绘制了如图2茎叶图，从茎叶图看，哪一种药的疗效更好，并说明理由；(3)标准差s除了可以用来刻画一组数据的离散程度外，还可以刻画每个数据偏离平均水平的程度，如果出现了治疗时间在(x−3s，x+3s)之外的患者，就认为病毒有可能发生了变异，需要对该患者进行进一步检查，若某服用甲药的患者已经治疗了26天还未痊愈，请结合(2)中甲药的数据，判断是否应该对该患者进行进一步检查？⋅[(x1−x)2+(x2−x)2+⋯+(x n−x)2]，参考公式：s=√1n参考数据：√2340≈48．19. 如图，已知四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 为菱形，且∠ABC =60°，AB =PC =2，PA =PB =√2．(Ⅰ)求证：平面PBA ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)求点D 到平面APC 的距离．20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知定点F(1,0)，点A 在x 轴的非正半轴上运动，点B 和y 轴上运动，满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF⃗⃗⃗⃗⃗ =0，A 关于点B 的对称点为M ，设点M 的轨迹为曲线C ． (1)求C 的方程；(2)已知点G(3,−2)，动直线x =t(t >3)与C 相交于P ，Q 两点，求过G ，P ，Q 三点的圆在直线y =−2上截得的弦长的最小值．21.已知f(x)=(x−1)e x−a(x2+1)，x∈[1,+∞)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)≥−2a+lnx，求实数a的取值范围．22.椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示，在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定的滑块A，B，它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M处用套管装上铅笔，使直尺转动一周，则点M的轨迹C是一个椭圆，其中|MA|=2，|MB|=1，如图，以两条导槽的交点为原点O，横槽所在直线为x轴，建立直角坐标系．(1)将以射线Bx为始边，射线BM为终边的角xBM记为φ(0≤φ<2π)，用φ表示点M的坐标，并求出C的普通方程；(2)已知过C的左焦点F，且倾斜角为α(0≤α<π2)的直线l1与C交于D，E两点，过点F且垂直于l1的直线l2与C交于G，H两点．当1|FE|，|GH|，1|FD|依次成等差数列时，求直线l2的普通方程．23.已知正实数x，y满足x+y=1．(1)解关于x的不等式|x+2y|+|x−y|≤52．(2)证明：(1x2−1)(1y2−1)≥9．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题主要考查了交集的运算，属于基础题.利用交集的定义求解即可．解：∵集合A={x|0<x<2}，B={x|x≥1}，∴A∩B={x|1≤x<2}，故选C．2.答案：C解析：本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．解：由z(1+i)=(3+i)2，得z=(3+i)21+i =8+6i1+i，∴|z|=|8+6i1+i |=|8+6i||1+i|=√2=5√2．故选C．3.答案：C解析：本题主要考查对数函数图像与性质的应用，属于基础题．解：由题意得：b=log132<log131=0，c=log1215>log1214=2=a，则c>a>b．故选C．。
2020年广东省深圳市高考(文科)数学二模测试试卷 (解析版)
2020年深圳市高考（文科）数学二模试卷一、选择题（共12小题）.1．已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜5}，B ＝{1，3，5}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，3} B ．{1，3，5} C ．{1，2，3，4} D ．{0，1，2，3，4，5}2．设z =1+i (1−i)2，则|z |＝（）A ．12B ．√22C ．1D ．√23．已知a =ln22，b ＝log 22e，c ＝22e ，则（ ） A ．a ＜b ＜c B ．b ＜c ＜a C ．c ＜b ＜a D ．b ＜a ＜c4．设x ，y 满足约束条件{x −y ≤1x +y ≤3x ≥0，则z ＝2x ﹣y 的最大值为（ ）A ．﹣3B ．1C ．2D ．35．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，有下列四个命题： ①若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ； ②若n ⊥α，m ⊥β，m ∥n ，则α∥β； ③若α⊥β，m ∥α，n ⊥β，则m ∥n ； ④若α∥β，m ⊂α，m ⊥n ，则n ⊥β． 其中，正确的命题个数是（ ） A ．3B ．2C ．1D ．06．已知双曲线C ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的焦点分别为F 1（﹣5，0），F 2（5，0），P 为C 上一点，PF 1⊥PF 2，tan ∠PF 1F 2=34，则C 的方程为（ ）A ．x 2−y 224=1B ．x 224−y 2＝1C ．x 29−y 216=1D ．x 216−y 29=17．执行如图的程序框图，如果输入的k ＝0.4，则输出的n ＝（ ）A．5B．4C．3D．28．函数f（x）＝x2﹣2x+1的图象与函数g（x）＝3cosπx的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．2B．4C．6D．89．已知正方体的六个面的中心可构成一个正八面体，现从正方体内部任取一个点，则该点落在这个正八面体内部的概率为（）A．12B．13C．16D．11210．函数f（x）=(1−4x)sinxx的部分图象大致为（）A．B．C．D．11．下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如图2所示，图2中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A，B，C，D是其中四个圆的圆心，则AB→•CD→=（ ）A ．32B ．28C ．26D ．2412．在三棱锥P ﹣ABC 中，平面PBC ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，BC ＝PC ＝2，若AC ＝PB ，则三棱锥P ﹣ABC 体积的最大值为（ ）A ．4√23B ．16√39C ．16√327D ．32√327二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足，医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援．若某医疗团队从甲，乙，丙，丁4名医生志愿者中，随机选取2名医生赴湖北支援，则甲被选中的概率为 ． 14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为b 2+c 2−a 24，b sin C＝c sinA+C 2，则角C ＝ ．15．《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只．以此类推，假设n 个月后共有老鼠a n 只，则a n ＝ ． 16．已知A ，F 分别是椭圆C ：x 2a +y 2b =l （a ＞b ＞0）的下顶点和左焦点，过A 且倾斜角为60°的直线l 分别交x 轴和椭圆C 于M ，N 两点，且N 点的纵坐标为35b ，若△FMN 的周长为6，则△FAN 的面积为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知各项都为正数的等比数列{a n }，a 2＝32，a 3a 4a 5＝8． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n ＝log 2a n ，T n ＝|b 1|+|b 2|+|b 3|+…+|b n |，求T n ．18．为了比较两种治疗某病毒的药（分别称为甲药，乙药）的疗效，某医疗团队随机地选取了服用甲药的患者和服用乙药的患者进行研究，根据研究的数据，绘制了如图1等高条形图．（1）根据等高条形图，判断哪一种药的治愈率更高，不用说明理由；（2）为了进一步研究两种药的疗效，从服用甲药的治愈患者和服用乙药的治愈患者中，分别抽取了10名，记录他们的治疗时间（单位：天），统计并绘制了如图2茎叶图，从茎叶图看，哪一种药的疗效更好，并说明理由；（3）标准差s除了可以用来刻画一组数据的离散程度外，还可以刻画每个数据偏离平均水平的程度，如果出现了治疗时间在（x−3s，x+3s）之外的患者，就认为病毒有可能发生了变异，需要对该患者进行进一步检查，若某服用甲药的患者已经治疗了26天还未痊愈，请结合（2）中甲药的数据，判断是否应该对该患者进行进一步检查？参考公式：s=√1⋅[(x1−x)2+(x2−x)2+⋯+(x n−x)2]，n参考数据：√2340≈48．19．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，AA1=√2AB，M，N分别为AB，AA1的中点．（1）求证：平面B1NC⊥平面CMN；（2）若AB＝2，求点N到平面B1MC的距离．20．在平面直角坐标系xOy中，已知定点F（1，0），点A在x轴的非正半轴上运动，点B在y轴上运动，满足AB→⋅BF→=0，A关于点B的对称点为M，设点M的轨迹为曲线C．（1）求C的方程；（2）已知点G（3，﹣2），动直线x＝t（t＞3）与C相交于P，Q两点，求过G，P，Q 三点的圆在直线y＝﹣2上截得的弦长的最小值．21．已知函数f（x）=xe xe−3，g（x）＝alnx﹣2x（a∈R）．（1）讨论g（x）的单调性；（2）是否存在实数a，使不等式f（x）≥g（x）恒成立？如果存在，求出a的值；如果不存在，请说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示，在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定的滑块A，B，它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M处用套管装上铅笔，使直尺转动一周，则点M的轨迹C是一个椭圆，其中|MA|＝2，|MB|＝1，如图，以两条导槽的交点为原点O，横槽所在直线为x轴，建立直角坐标系．（1）将以射线Bx为始边，射线BM为终边的角xBM记为φ（0≤φ＜2π），用φ表示点M的坐标，并求出C的普通方程；（2）已知过C的左焦点F，且倾斜角为α（0≤α＜π2）的直线l1与C交于D，E两点，过点F且垂直于l1的直线l2与C交于G，H两点．当1|FE|，|GH|，1|FD|依次成等差数列时，求直线l2的普通方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c为正实数，且满足a+b+c＝1．证明：（1）|a−12|+|b+c﹣1|≥12；（2）（a3+b3+c3）（1a2+1b2+1c2）≥3．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜5}，B ＝{1，3，5}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，3} B ．{1，3，5} C ．{1，2，3，4}D ．{0，1，2，3，4，5}【分析】进行交集的运算即可．解：∵A ＝{x |﹣1＜x ＜5}，B ＝{1，3，5}， ∴A ∩B ＝{1，3}． 故选：A ．【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题． 2．设z =1+i (1−i)2，则|z |＝（）A ．12B ．√22C ．1D ．√2【分析】把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解． 解：∵z =1+i (1−i)2=1+i −2i ，∴|z |＝|1+i−2i |=|1+i||−2i|=√22． 故选：B ．【点评】本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题． 3．已知a =ln22，b ＝log 22e，c ＝22e ，则（ ） A ．a ＜b ＜c B ．b ＜c ＜a C ．c ＜b ＜aD ．b ＜a ＜c【分析】容易得出0＜ln22＜1，log 22e ＜0，22e ＞1，从而可得出a ，b ，c 的大小关系．解：∵0＜ln22=ln √2＜lne =1，log 22e ＜log 21=0，22e ＞20=1， ∴b ＜a ＜c ． 故选：D ．【点评】本题考查了对数函数和指数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．4．设x ，y 满足约束条件{x −y ≤1x +y ≤3x ≥0，则z ＝2x ﹣y 的最大值为（ ）A ．﹣3B ．1C ．2D ．3【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z ＝2x ﹣y 表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最小值即可． 解：不等式组表示的平面区域如图所示，当直线z ＝2x ﹣y 过点A 点时，目标函数z ＝2x ﹣y 的纵截距最小，此时z 取得最大值， 由{x −y =1x +y =3，解得A （2，1）时， 在y 轴上截距最小，此时z 取得最大值3． 故选：D ．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题． 5．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，有下列四个命题： ①若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ； ②若n ⊥α，m ⊥β，m ∥n ，则α∥β； ③若α⊥β，m ∥α，n ⊥β，则m ∥n ； ④若α∥β，m ⊂α，m ⊥n ，则n ⊥β． 其中，正确的命题个数是（ ） A ．3B ．2C ．1D ．0【分析】直接利用线面平行和线面垂直的判定和性质的应用求出结果． 解：已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，①若m ∥α，n ∥α，则直线m 和n 可能相交也可能异面，故m ∥n 错误．②若n ⊥α，m ⊥β，m ∥n ，则直线m 和n 可以看成是平面α和β的法向量，由于m ∥n ，则α∥β，故正确；③若α⊥β，m ∥α，n ⊥β，则m ∥n 也可能m ⊥n ，故错误；④若α∥β，m ⊂α，m ⊥n ，没说明直线n 的位置，也有可能n ∥β，故n ⊥β错误． 故选：C ．【点评】本题考查的知识要点：线面垂直和线面平行的判定和性质的应用，主要考查学生的转换能力及思维能力，属于基础题型． 6．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的焦点分别为F 1（﹣5，0），F 2（5，0），P 为C 上一点，PF 1⊥PF 2，tan ∠PF 1F 2=34，则C 的方程为（ ）A ．x 2−y 224=1B ．x 224−y 2＝1C ．x 29−y 216=1D ．x 216−y 29=1【分析】由题可知，c ＝5，F 1F 2＝10，因为PF 1⊥PF 2，tan ∠PF 1F 2=34，所以cos ∠PF 1F 2=45=PF 1F 1F 2，于是可得PF 1＝8，PF 2＝6，再结合双曲线的定义，有PF 1﹣PF 2＝2a ，知a ＝1，所以b 2＝c 2﹣a 2＝25﹣1＝24，故而可得双曲线的方程． 解：∵F 1（﹣5，0），F 2（5，0），∴c ＝5，F 1F 2＝10，∵PF 1⊥PF 2，tan ∠PF 1F 2=34，∴cos ∠PF 1F 2=45=PF1F 1F 2，∴PF 1＝8，PF 2＝6，由双曲线的定义可知，PF 1﹣PF 2＝2＝2a ，∴a ＝1， ∴b 2＝c 2﹣a 2＝25﹣1＝24． ∴双曲线的方程为x 2−y 224=1． 故选：A ．【点评】本题考查双曲线方程的求法、双曲线的定义与性质，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．7．执行如图的程序框图，如果输入的k ＝0.4，则输出的n ＝（ ）A．5B．4C．3D．2【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S的值并输出相应变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得k＝0.4，S＝0，n＝1S=11×3=13，不满足条件S＞0.4，执行循环体，n＝2，S=11×3+13×5=12（1−13+13−15）=25，不满足条件S＞0.4，执行循环体，n＝3，S=11×3+13×5+15×7=12（1−13+13−15+15−17）=37，此时，满足条件S＞0.4，退出循环，输出n的值为3．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8．函数f（x）＝x2﹣2x+1的图象与函数g（x）＝3cosπx的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．2B．4C．6D．8【分析】直接利用三角函数的图象和性质的应用和二次函数性质的应用在同一坐标系内画出函数的图象，进一步利用对称性的应用求出结果．解：函数f （x ）＝x 2﹣2x +1的图象与函数g （x ）＝3cos πx 的图象在同一坐标系内的位置和交点坐标为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4）， 由于f （x ）＝（x ﹣1）2，的对称轴为x ＝1，函数的图象与x 轴相切， 函数g （x ）的图象的最小正周期为T =2ππ=2，函数的图象关于y 轴对称， 如图所示：所以x 1+x 42=1，x 2+x 32=1，则：x 1+x 2+x 3+x 4＝4， 故选：B ．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的图象和性质的应用，二次函数的图象和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9．已知正方体的六个面的中心可构成一个正八面体，现从正方体内部任取一个点，则该点落在这个正八面体内部的概率为（ ） A ．12B ．13C ．16D ．112【分析】设正方体的棱长是1，构成的八面体可以看作是由两个正四棱锥组成，一个正四棱锥的高等于正方体棱长的一半 12，正四棱锥的底面边长根据勾股定理可知是√22，求出正四棱锥的体积，得到正八面体的体积，得到比值． 解：设正方体的棱长是1，构成的八面体可以看作是由两个正四棱锥组成， 以上面一个正四棱锥为例， 它的高等于正方体棱长的一半 12，正四棱锥的底面边长根据勾股定理可知是 √22，∴这个正四棱锥的体积是13×√22×√22×12=112；∴构成的八面体的体积是2×112=16； ∴八面体的体积是V 1，正方体体积是V 2，V 1：V 2＝1：6故从正方体内部任取一个点，则该点落在这个正八面体内部的概率为：16；故选：C ．【点评】本题考查组合几何体的体积，面积，考查棱锥，正方体的体积，是一个计算题，这种题目可以作为选择和填空出现，这是一个结构非常规则的几何体，难度较小．10．函数f （x ）=(1−4x )sinx2x的部分图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【分析】先检验函数的奇偶性，结合选项中函数图象的对称性，先排除不符合题意的，然后结合特殊点函数值的正负即可判断．解：f （﹣x ）=(1−4−x )(−sinx)2−x =−(4x −1)sinx2x=f （x ）， 故f （x ）为偶函数，图象关于y 轴对称，排除选项B ，D ， 因为f （2）＜0，排除选项A ． 故选：B ．【点评】本题主要考查了函数图象与性质的对应关系的应用，排除法的应用是解决问题的关键．11．下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如图2所示，图2中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A ，B ，C ，D 是其中四个圆的圆心，则AB →•CD →=（ ）A ．32B ．28C ．26D ．24【分析】建立以a →，b →为一组基底的基向量，其中|a →|=|b →|=1且a →，b →的夹角为60°，根据平面向量的基本定理可知，向量AB →和CD →均可以用a →，b →表示，再结合平面向量数量积运算法则即可得解．解：如图所示，建立以a →，b →为一组基底的基向量，其中|a →|=|b →|=1且a →，b →的夹角为60°，∴AB →=2a →+4b →，CD →=4a →+2b →，∴AB →•CD →=(2a →+4b →)⋅(4a →+2b →)=8a →2+8b →2+20a →⋅b →=8+8+20×1×1×12=26． 故选：C ．【点评】本题考查平面向量的混合运算，观察图形特征，建立基向量是解题的关键，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题．12．在三棱锥P ﹣ABC 中，平面PBC ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，BC ＝PC ＝2，若AC ＝PB ，则三棱锥P ﹣ABC 体积的最大值为（ ）A ．4√23B ．16√39C ．16√327D ．32√327【分析】取PB 中点M ，连结CM ，推导出AC ⊥平面PBC ，设点A 到平面PBC 的距离为h ＝AC ＝2x ，则CM ⊥PB ，CM =√4−x 2，从而S △PBC =12×2x ×√4−x 2=x√4−x 2，V A ﹣PBC =13×(x√4−x 2)×2x =2x 2√4−x 23，设t =√4−x 2，（0＜t ＜2），则x 2＝4﹣t 2，从而V A ﹣PBC =2t(4−2)2=8t−2t 33，（0＜t ＜2），关于t 求导，得V′(t)=8−6t 23，利用导数性质能求出三棱锥P ﹣ABC 体积的最大值．解：如图，取PB 中点M ，连结CM ，∵平面PBC ⊥平面ABC ，平面PBC ∩平面ABC ＝BC ， AC ⊂平面ABC ，AC ⊥BC ， ∴AC ⊥平面PBC ，设点A 到平面PBC 的距离为h ＝AC ＝2x ，∵PC ＝BC ＝2，PB ＝2x ，（0＜x ＜2），M 为PB 的中点， ∴CM ⊥PB ，CM =√4−x 2，解得S △PBC =12×2x ×√4−x 2=x√4−x 2，V A ﹣PBC =13×(x√4−x 2)×2x =2x 2√4−x 23，设t =√4−x 2，（0＜t ＜2），则x 2＝4﹣t 2，∴V A ﹣PBC =2t(4−2)2=8t−2t 33，（0＜t ＜2），关于t 求导，得V′(t)=8−6t 23，令V ′（t ）＝0，解得t =2√33或t =−2√33（舍），由V （t ）单调性得当t =2√33时，（V A ﹣PBC ）max =32√327．故选：D ．【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间向量坐标运算、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足，医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援．若某医疗团队从甲，乙，丙，丁4名医生志愿者中，随机选取2名医生赴湖北支援，则甲被选中的概率为12．【分析】基本事件总数n =C 42=6，甲被选中包含的基本事件有m =C 11C 31=3，由此能求出甲被选中的概率．解：某医疗团队从甲，乙，丙，丁4名医生志愿者中，随机选取2名医生赴湖北支援，基本事件总数n =C 42=6，甲被选中包含的基本事件有m =C 11C 31=3，∴甲被选中的概率为p =36=12． 故答案为：12．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为b 2+c 2−a 24，b sin C＝c sinA+C 2，则角C ＝5π12．【分析】由已知结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简可求A ，然后结合二倍角公式化简可求B ，再结合三角形的内角和定理即可求解．解：由题意S =b 2+c 2−a 24，所以12bcsinA =14×2bccosA 即tan A ＝1，因为A 为三角形性内角，故A =π4， 又b sin C ＝c sinA+C 2=c sin （π2−B ×12）＝c cos B2由正弦定理可得，sin B sin C ＝sin C cos B 2， 因为sin C ≠0，所以sin B ＝cos B 2=2sin B 2cos B2，所以sinB2=12，即B =13π，C =π−π3−π4=5π12． 故答案为：5π12．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式，和差角公式，二倍角公式，诱导公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．15．《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只．以此类推，假设n 个月后共有老鼠a n 只，则a n ＝ 2×7n ．【分析】根据1个月后的老鼠为原来雌雄两只老鼠和新出生的小鼠有（1+6）×2＝2×7只，类似的方法得到2个月后有2（1+6）×7＝2×72只，3个月后有2×73只，根据以上分析进行归纳推理即可得n 个月后老鼠的只数a n ．解：由题意可得1个月后的老鼠的只数a 1＝（1+6）×2＝2×7，2个月后老鼠的只数a 2＝2（1+6）×7＝2×72，3个月后老鼠的只数a 3＝2（1+6）×72＝2×73，…，n 个月后老鼠的只数a n ＝2×7n ． 故答案为：2×7n ．【点评】本题主要考查归纳推理，掌握题目中的数量关系是解决本题的关键，属于基础题．16．已知A ，F 分别是椭圆C ：x 2a +y 2b =l （a ＞b ＞0）的下顶点和左焦点，过A 且倾斜角为60°的直线l 分别交x 轴和椭圆C 于M ，N 两点，且N 点的纵坐标为35b ，若△FMN 的周长为6，则△FAN 的面积为√35． 【分析】由题意得，A （0，﹣b ），F （﹣c ，0），直线MN 的方程为y =√3x −b ，把y =35b 代入椭圆方程可求得N （45a ，35b ），于是有35b =√3×45a −b ，解得ba=√32，结合a 2＝b 2+c 2，可得b =√3c ．令y =√3x −b =0，则M （√3，0），即M （c ，0），所以M 为椭圆的右焦点，|FM |＝2c ．由椭圆的定义可知，|NF |+|NM |＝2a ，由于△FMN 的周长为6，所以2a +2c ＝6，因此c ＝1，a ＝2，b =√3，所以S △FAN =12⋅|FM|⋅[35b −(−b)]=c ⋅85b =8√35． 解：如图所示，由题意得，A （0，﹣b ），F （﹣c ，0），直线MN 的方程为y =√3x −b ， 把y =35b 代入椭圆方程解得x =45a ，∴N （45a ，35b ），∵N 在直线MN 上，∴35b =√3×45a −b ，解得ba=√32． 又a 2＝b 2+c 2，∴(32=b 2+c 2，解得b =√3c ， 令y =√3x −b =0，则M （√3，0），即M （c ，0），∴M 为椭圆的右焦点，∴|FM |＝2c ，由椭圆的定义可知，|NF |+|NM |＝2a ， ∵△FMN 的周长为6，∴2a +2c ＝6，∵b a=√32，∴a ＝2c ，∴c ＝1，a ＝2，b =√3， ∴S △FAN =12⋅|FM|⋅[35b −(−b)]=c ⋅85b =8√35．故答案为：8√35．【点评】本题考查椭圆的定义与性质，熟练掌握椭圆中的基本关系式是解题的关键，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知各项都为正数的等比数列{a n }，a 2＝32，a 3a 4a 5＝8． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n ＝log 2a n ，T n ＝|b 1|+|b 2|+|b 3|+…+|b n |，求T n ．【分析】（1）设等比数列{a n }的公比为q ，由题设条件列出q 与首项a 1的方程组，解出q ，a 1，即可求得通项公式；（2）先由（1）中求得的a n 求出b n ，再求|b n |，最后求得T n ． 解：（1）设各项都为正数的等比数列{a n }的公比为q ，则q ＞0．∵a 2＝32，a 3a 4a 5＝8，∴{a 2=a 1q =32a 3a 4a 5=a 43=(a 1q 3)3=8，解得：a 1＝27，q =14，所以a n ＝29﹣2n ，n ∈N *；（2）由（1）知b n ＝log 2a n ＝9﹣2n ，|b n |={9−2n ，1≤n ≤42n −9，n ＞4，当1≤n ≤4时，T n ＝n ×7+9−2n 2=8n ﹣n 2；当n ＞4时，T n ＝（7+5+3+1）+1+2n−92×(n −4)=n 2−8n +32，所以T n={8n−n2，1≤n≤4n2−8n+32，n＞4．【点评】本题主要考查等比数列的通项公式、等比中项的性质、等差数列的前n项和公式、指数化简、分段函数等知识点，属于基础题．18．为了比较两种治疗某病毒的药（分别称为甲药，乙药）的疗效，某医疗团队随机地选取了服用甲药的患者和服用乙药的患者进行研究，根据研究的数据，绘制了如图1等高条形图．（1）根据等高条形图，判断哪一种药的治愈率更高，不用说明理由；（2）为了进一步研究两种药的疗效，从服用甲药的治愈患者和服用乙药的治愈患者中，分别抽取了10名，记录他们的治疗时间（单位：天），统计并绘制了如图2茎叶图，从茎叶图看，哪一种药的疗效更好，并说明理由；（3）标准差s除了可以用来刻画一组数据的离散程度外，还可以刻画每个数据偏离平均水平的程度，如果出现了治疗时间在（x−3s，x+3s）之外的患者，就认为病毒有可能发生了变异，需要对该患者进行进一步检查，若某服用甲药的患者已经治疗了26天还未痊愈，请结合（2）中甲药的数据，判断是否应该对该患者进行进一步检查？参考公式：s=√1n⋅[(x1−x)2+(x2−x)2+⋯+(x n−x)2]，参考数据：√2340≈48．【分析】（1）结合条形等高图即可直接判断；（2）从茎叶图的集中趋势，中位数，平均值方面分析即可判断；（3）分别求出x，s，然后代入公式即可求解，作出判断即可．解：（1）甲药的治愈率更高，（2）甲药的疗效更好， 理由一：从茎叶图可以看出，有910的叶集中在茎0，1上，而服用乙药患者的治疗时间有35的叶集中在茎1，2上，还有110的叶集中在茎3上，所以甲药的疗效更好．理由二：从茎叶图可以看出，服用甲药患者的治疗的时间的中位数为10天，而服用乙药患者的治疗时间的中位数为12.5天，所以甲药的疗效更好．理由三：从茎叶图可以看出，服用甲药患者的治疗的时间的平均值为10天，而服用乙药患者的治疗时间的平均值为15天，所以甲药的疗效更好．（3）由（2）中茎叶图可知，服用甲药患者的治疗时间的平均值和方差分别为x =4+5+6+8+10+10+11+12+12+2210=10，s =√36+25+16+4+0+0+1+4+4+14410=√23.4≈4.8，则x −3s ≈﹣4.4，x +3s ≈24.3，而26＞24.4，应该对该患者进行进一步检查． 【点评】本题主要考查了利用等高条形图，茎叶图，平均值，方差等知识，体现了数据分析，数学核心素养．19．如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为菱形，∠ABC ＝60°，AA 1=√2AB ，M ，N 分别为AB ，AA 1的中点． （1）求证：平面B 1NC ⊥平面CMN ；（2）若AB ＝2，求点N 到平面B 1MC 的距离．【分析】（1）推导出AA 1⊥平面ABCD ，AA 1⊥CM ，CM ⊥AB ，从而CM ⊥平面ABB 1A 1，进而CM ⊥B 1N ，推导出△A 1B 1N ∽△ANM ，从而∠A 1B 1N ＝∠ANM ，∠A 1NB 1＝∠AMN ，进而B 1N ⊥MN ，B 1N ⊥平面CMN ，由此能证明平面B 1NC ⊥平面CMN ．（2）求出点B 1到平面CMN 的距离为h 1=√6，设N 到平面B 1CM 的距离为h 2，由V B 1−CMN =V N−B 1CM =13×S △B 1CM ×h 2，能求出点N 到平面B 1MC 的距离．解：（1）证明：∵直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，∴AA 1⊥平面ABCD ， ∵CM ⊂平面ABCD ，∴AA 1⊥CM ，∵底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，M 是AB 的中点， ∴CM ⊥AB ，∵AA 1∩AB ＝A ，AA 1⊂平面ABB 1A 1，AB ⊂平面ABB 1A 1， ∴CM ⊥平面ABB 1A 1，∵B 1N ⊂平面ABB 1A 1，∴CM ⊥B 1N ，∵M 是AB 中点，N 为AA 1中点，AA 1=√2AB ， ∴A 1B 1AN =AB12AA 1=√2，A 1N AM=12AA 112AB =√2，∵∠B 1A 1N ＝∠NAM ＝90°，∴△A 1B 1N ∽△ANM ， ∴∠A 1B 1N ＝∠ANM ，∠A 1NB 1＝∠AMN ， ∴∠A 1NB 1+∠ANM ＝90°，∴B 1N ⊥MN ， ∵MN ∩CM ＝M ，∴B 1N ⊥平面CMN ， ∵B 1N ⊂平面B 1NC ，∴平面B 1NC ⊥平面CMN ．（2）∵在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为菱形，∠ABC ＝60°， AA 1=√2AB ，AB ＝2，M ，N 分别为AB ，AA 1的中点．∴MN =√AM 2+AN 2=√3，B 1M =√BM 2+B 1B 2=3，B 1C =√BC 2+B 1B 2=2√3， B 1N =√A 1B 12+A 1N 2=√6， ∵底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°， ∴CM =√3，CN =√AC 2+AN 2=√6，由（1）知B 1N ⊥平面CMN ，设点B 1到平面CMN 的距离为h 1，h 1=√6， ∵CN 2＝MN 2+CM 2，∴S △CMN =12×√3×√3=32，∴V B1−CMN=13×S △CMN ×h 1=√62， ∵B 1M ＝3，B 1C =2√3，CN =√3，∴S △B 1CM =12×√3×3=3√32，设N 到平面B 1CM 的距离为h 2，∵V B 1−CMN =V N−B 1CM =13×S △B 1CM ×h 2，∴13×3√32×h 2=√62， 解得h 2=√2．∴点N 到平面B 1MC 的距离为√2．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知定点F （1，0），点A 在x 轴的非正半轴上运动，点B 在y 轴上运动，满足AB →⋅BF →=0，A 关于点B 的对称点为M ，设点M 的轨迹为曲线C ． （1）求C 的方程；（2）已知点G （3，﹣2），动直线x ＝t （t ＞3）与C 相交于P ，Q 两点，求过G ，P ，Q 三点的圆在直线y ＝﹣2上截得的弦长的最小值．【分析】（1）设A （a ，0），B （0，b ），M （x ，y ），运用向量的数量积的坐标表示和中点坐标公式，结合代入法，化简可得所求曲线C 的方程；（2）设P （t ，2√t ），Q （t ，﹣2√t ），设E （m ，0），由|EG |＝|EP |，运用两点的距离公式，求得圆E 的方程，再令y ＝﹣2，求得圆在直线y ＝﹣2上截得的弦长，结合基本不等式，即可得到所求最小值．解：（1）设A （a ，0），B （0，b ），M （x ，y ），由点F （1，0），AB →•BF →=0，所以（﹣a ，b ）•（1，﹣b ）＝﹣a ﹣b 2＝0， 又B 为AM 的中点， 所以x+a 2=0，y2=b ，所以a ＝﹣x ，将a ＝﹣x ，b =y2代入a ＝﹣b 2，可得y 2＝4x ，所以C 的方程为y 2＝4x ；（2）由（1）可得抛物线C 的方程为y 2＝4x ，令x ＝t ，可得y ＝±2√t ， 设P （t ，2√t ），Q （t ，﹣2√t ），由P ，Q 关于x 轴对称， 所以过G ，P ，Q 三点的圆E 的圆心在x 轴上， 设E （m ，0），由|EG |＝|EP |，G （3，﹣2）， 可得√(m −3)2+(0+2)2=√(m −t)2+(0−2√t)2，化简整理可得m =t 2+4t−132t−6，圆E 的方程为（x ﹣m ）2+y 2＝（m ﹣3）2+4， 令y ＝﹣2，可得x 1＝2m ﹣3，x 2＝3，所以圆E 在直线y ＝﹣2上截得的弦长为|x 1﹣x 2|＝|2m ﹣3﹣3|＝|t 2+4t−132t−6−6|＝|t 2−2t+5t−3|，又因为t ﹣3＞0，且t 2﹣2t +5＞0， 所以t 2−2t+5t−3＞0，所以|x 1﹣x 2|=t 2−2t+5t−3=（t ﹣3）+8t−3+4≥2√(t −3)⋅8t−3+4＝4+4√2， 当且仅当t ﹣3=8t−3，即t ＝3+2√2（3﹣2√2舍去）时取得等号． 所以当t ＝3+2√2时，圆E 在直线y ＝﹣2上截得的弦长的最小值为4+4√2．【点评】本题以直线和抛物线、圆为载体，借助动圆在定直线截得的弦长为背景，利用函数与方程思想和基本不等式解决几何问题，主要考查抛物线的定义、几何性质、直线和抛物线的位置关系和圆的弦长及最值问题等知识，考查学生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思维能力． 21．已知函数f （x ）=xe xe−3，g （x ）＝alnx ﹣2x （a ∈R ）． （1）讨论g （x ）的单调性；（2）是否存在实数a ，使不等式f （x ）≥g （x ）恒成立？如果存在，求出a 的值；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对a 进行分类讨论即可求解； （2）要使不等式f （x ）≥g （x ）恒成立即xe x ﹣aelnx +2ex ﹣3e ≥0，构造函数u （x ）＝xe x ﹣aelnx +2ex ﹣3e ，结合函数的性质及导数即可求解．解：（1）g′(x)=a−2xx，x＞0，（i）当a≤0时，g′（x）＜0，函数在（0，+∞）上单调递减，（ii）当a＞0时，易得函数在（0，12a）上单调递增，在（12a，+∞）上单调递减，（2）要使不等式f（x）≥g（x）恒成立即xe xe−3≥alnx−2x恒成立，即xe x﹣aelnx+2ex﹣3e≥0，令u（x）＝xe x﹣aelnx+2ex﹣3e，则u（1）＝0，要使得原不等式成立，则u（x）在x＝1处取得极小值，因为u′(x)=(x+1)xe x+2ex−aex，所以u′（1）＝0可得a＝4，检验a＝4时，u′（x）=x(x+1)e x+2ex−4ex，设v（x）＝x（x+1）e x+2ex﹣4e，且v（1）＝0，显然v（x）在（0，+∞）上单调递增，当x∈（0，1）时，v（x）＜0，即u′（x）＜0，u（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，v（x）＞0，即u′（x）＞0，u（x）单调递增，故u（x）的最小值u（1）＝0，满足题意，综上a＝4．【点评】本题主要考查了导数在研究函数中的应用，用导数研究函数的单调性及不等式的恒成立为载体，综合考查分类讨论及转化思想的应用．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示，在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定的滑块A，B，它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M处用套管装上铅笔，使直尺转动一周，则点M的轨迹C是一个椭圆，其中|MA|＝2，|MB|＝1，如图，以两条导槽的交点为原点O，横槽所在直线为x轴，建立直角坐标系．（1）将以射线Bx为始边，射线BM为终边的角xBM记为φ（0≤φ＜2π），用φ表示点M的坐标，并求出C的普通方程；（2）已知过C的左焦点F，且倾斜角为α（0≤α＜π2）的直线l1与C交于D，E两点，过点F 且垂直于l 1的直线l 2与C 交于G ，H 两点．当1|FE|，|GH |，1|FD|依次成等差数列时，求直线l 2的普通方程．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用直线和椭圆的位置关系的应用和一元二次方程根和系数关系式的应用及等差数列的性质的应用求出结果．解：（1）设M （x ，y ）依题意得：x ＝2cos φ，y ＝sin φ， 所以M （2cos φ，sin φ）， 由于cos 2φ+sin 2φ＝1，整理得x 24+y 2=1．（2）由于直线l 1的倾斜角为α（0≤α＜π2），且l 1⊥l 2， 所以直线l 2的倾斜角为α+π2． 依题意易知：F （−√3，0）． 可设直线l 1的方程为{x =−√3+tcosαy =tsinα（t 为参数），代入x 24+y 2=1得到：(1+3sin 2α)t 2−2√3tcosα−1=0， 易知△＝12cos 2α+4（1+3sin 2α）＝16＞0． 点D 和点E 对应的参数为t 1和t 2， 所以t 1+t 2=2√3cosα1+3sin 2α，t 1t 2=−11+3sin 2α． 则|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=41+3sin 2α， 由参数的几何意义：1|EF|+1|FD|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1−t 2||t 1t 2|=4．设G 、H 对应的参数为t 3和t 4，同理对于直线l 2，将α换为α+π2， 所以|GH|=|t 3−t 4|=√(t 3+t 4)2−4t 3t 4=41+3cos 2α．由于1|FE|，|GH |，1|FD|依次成等差数列，所以1|EF|+1|FD|=2|GH|，则：41+3cosα=2，所以cos2α=13，解得tanα=√2，所以直线l2的斜率为−√22．所以直线l2的直角坐标方程为x+√2y+√3=0．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，一元二次方程根和系数关系式的应用，等差数列的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．一、选择题23．已知a，b，c为正实数，且满足a+b+c＝1．证明：（1）|a−12|+|b+c﹣1|≥12；（2）（a3+b3+c3）（1a+1b+1c）≥3．【分析】（1）由a，b，c为正实数，且满足a+b+c＝1，得到b+c﹣1＝﹣a＜0，由绝对值不等式的性质可得|a−12|+|b+c﹣1|＝|a−12|+|﹣a|≥|（a−12）+（﹣a）|=12；（2）（a3+b3+c3）（1a+1b+1c）≥3abc（1a+1b+1c）=32(2bc a+2ac b+2ab c)，拆项后再由基本不等式的性质证明．【解答】证明：（1）∵a，b，c为正实数，且满足a+b+c＝1，∴b+c﹣1＝﹣a＜0，∴|a−12|+|b+c﹣1|＝|a−12|+|﹣a|≥|（a−12）+（﹣a）|=12．当且仅当（a−12）（﹣a）≥0，即0≤a≤12时，等号成立．∴|a−12|+|b+c﹣1|≥12；（2）（a3+b3+c3）（1a2+1b2+1c2）≥3abc（1a2+1b2+1c2）=3bc a+3ac b+3ab c=32(2bc a+2ac b+2ab c) =32[a(c b+b c)+b(c a+a c)+c(a b+b a)]≥32(2a√c b⋅c b+2b√c a⋅a c+2c√a b⋅b a)＝3（a+b+c）＝3．当且仅当a＝b＝c=13时等号成立．∴（a3+b3+c3）（1a+1b+1c）≥3．【点评】本题考查绝对值不等式的应用，考查基本不等式性质的应用，考查灵活变形能力，是中档题．。
2020年广东省高考数学模拟试卷(文科)(4月份) (2)(含答案解析)
2020年广东省高考数学模拟试卷(文科)(4月份) (2)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈N+|x2−3x−4<0}，则集合A的真子集有()A. 7个B. 8个C. 15个D. 16个2.若复数z1,z2在复平面内对应点的坐标分别为(2,1)，(0,−1)，则z1⋅z2=()A. 2+iB. 1−2iC. −1−2iD. −i3.已知a⃗=(2,−1)，b⃗ =(x,2)，且a⃗||b⃗ ，则|a⃗+b⃗ |=()A. 4B. 3C. √5D. √104.f(x)=a+12x+1是奇函数，则a=()A. −12B. 12C. −1D. 15.如图是国家统计局今年4月11日发布的2018年3月到2019年3月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.(注：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比)，根据该折线图，下列结论错误的是()A. 2018年3月至2019年3月全国居民消费价格同比均上涨B. 2018年3月至2019年3月全国居民消费价格环比有涨有跌C. 2019年3月全国居民消费价格同比涨幅最大D. 2019年3月全国居民消费价格环比变化最快6.若抛物线C：y2=2px的准线经过双曲线x212−y24=1的左焦点，则抛物线C的焦点坐标为()A. (4,0)B. (−4,0)C. (0,−4)D. (0,4)7.已知函数f(x)=|x|−1x，则函数y=f(x)的大致图象为()A. B. C. D.8.某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积为()A. 4√3B. 4√33C. 8√3D. 8√339.设，b=315，c=(15)0.4，则有()A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. c<b<a10.在▵ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a=√2,c=√3,C=π3，则角A=()．A. π6B. π4C. π4或3π4D. π6或5π611.有一长方体木块，其顶点为ABCD−A1B1C1D1，AB=3，BC=2，AA1=1，一小虫从长方体木块的一顶点A绕其表面爬行到另一顶点C1，则小虫爬行的最短距离为()A. √14B. 3√2C. 2√5D. √2612.双曲线x2−y2=1的焦距为()A. √2B. 2√2C. 1D. 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知数列{a n}满足对任意的n∈N∗，都有a n+12=a n⋅a n+2，a1=1，a4=8，则a3=________．14.曲线y=f(x)=(x+1)e x在点(0,1)处的切线方程为________．15.函数f(x)=√3sinx+cosx在x=π3处有极______ 值．16.设函数f(x)=|2x−3|，则不等式f(x)<5的解集为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或骑单车方式通勤．分析显示：当S中x%(0<x<100)的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f(x)={30,0<x⩽302x+1800x−90,30<x<100(单位：分钟)，而骑单车群体的人均通勤时间为g(x)={310x+31,0<x⩽7052,70<x<100(单位：分钟).试根据上述分析结果回答下列问题：(1)试确定x的取值范围，使得自驾群体的人均通勤时间少于骑单车群体的人均通勤时间；(2)求该地上班族S的人均通勤时间p(x)的表达式，讨论p(x)的单调性，并说明其实际意义．18.已知数列{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=13，a n b n+1+b n+1=nb n，(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)求{a n b n}的前n项和．19.已知椭圆x216+y29=1的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆一点．若F1，F2，P为直角三角形的三个顶点，求点P到x轴的距离．20. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，△ABD 是边长为2√3的正三角形，∠CBD =∠CDB =30°，E 为棱PA 的中点．(Ⅰ)求证：DE//平面PBC ；(Ⅱ)若平面PAB ⊥平面ABCD ，PA =PB =2，求点E 到平面PBC 的距离．21. 已知函数f(x)=ax −ln(−x)，x ∈[−e,0)，其中e 为自然对数的底数．(1)当a =−1时，证明：f(x)+ln(−x)x >12． (2)是否存在实数a ，使f(x)的最小值为3，如果存在，求出a 的值；如果不存在，请说明理由．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是{x =t y =t +1(t 为参数)，曲线C 的参数方程是为参数)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求直线l 和曲线C 的极坐标方程；(Ⅱ)已知射线OP：θ1=α(其中0<α<π2)与曲线C交于O，P两点，射线OQ：θ2=α+π2与直线l交于Q点，若△OPQ的面积为1，求α的值和弦长|OP|．23.已知函数f(x)=|x|+|x−6|．(Ⅰ)求不等式f(x)≤10的解集；(Ⅱ)记f(x)的最小值为m，若正实数a，b，c满足a+b+c=m，求证：√a+√2b+√3c≤m．【答案与解析】1.答案：A解析：本题考查集合的真子集的个数的求法，考查真子集定义、性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．先求出集合A={1,2，3}，由此求出集合A的真子集个数即可．解：∵集合A={x|x2−3x−4<0,x∈N+}={x|−1<x<4,x∈N+}={1,2，3}，∴集合A的真子集有：23−1=7．故选：A．2.答案：B解析：解：由已知：复数z1=2+i，z2=−i，所以z1⋅z2=(2+i)(−i)=1−2i．故选：B．由已知求出复数z1=2+i，z2=−i，相乘即可．本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：C解析：本题考查向量共线的坐标运算，以及求向量的模，难度一般．由共线求出x，再求出a⃗+b⃗ =(−2,1)，计算出模即可．解：a⃗=(2,−1)，b⃗ =(x,2)，且a⃗||b⃗ ，所以4+x=0，则x=−4，则a⃗+b⃗ =(2+x,1)=(−2,1)，则|a⃗+b⃗ |=√4+1=√5．故选C．4.答案：A解析：解：∵f(x)=a+12x+1是奇函数，∴f(0)=a+12=0，解得a=−12．经过验证a=−12满足条件．故选：A．利用奇函数的性质f(0)=0即可得出．本题考查了奇函数的性质，属于基础题．5.答案：C解析：本题考查频率分布折线图，根据图中的数据逐一判断可得结果．解：由图中的数据可知：A，B，D三项判断都正确；对C.2019年全国居民消费价格同比涨幅最大是9月和10月，错误．故选C．6.答案：A解析：解：抛物线C：y2=2px的准线x=−p2经过双曲线x212−y24=1的左焦点(−4,0)，可得−p2=−4，即p=8，可得抛物线的焦点坐标为(4,0)，故选：A．求得抛物线的准线方程和双曲线的左焦点坐标，可得p，进而得到所求抛物线的焦点坐标．本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．7.答案：D解析：本题主要考查函数图象的识别和判断，属于较易题．根据函数值的符号以及函数零点个数进行排除即可．解析：解：当x <0时，f(x)>0，排除A ，C ，由f(x)=0，得|x|−1x =0，得|x|=1x ，当x >0时，x =1x ，得x =1，即函数f(x)存在一个零点x =1，排除B ， 故选：D ． 8.答案：B解析：由三视图可知该几何体是一个三棱锥，结合三棱锥的体积公式即可求解．【详解】解：三视图复原的几何体是以俯视图为底面，高为2的三棱锥，所以三棱锥的体积为：13×12×2×2√3×2=4√33． 故选：B ．本题主要考查由几何体的三视图求几何体的体积，需要先判断几何体的形状，再由体积公式即可求解，属于基础题型．9.答案：B解析：解：，b =315>30=1，0<c =(15)0.4<(15)0=1，∴a <c <b ．故选：B ．利用指数函数和对数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数和对数函数的性质的合理运用．10.答案：B解析：本题考查用正弦定理解三角形，是基础题.根据条件利用正弦定理可求sin A，再根据a与c的大小关系，确定A的范围，可求角A．解：由正弦定理可得：，所以sinA=√2，2又因为a<c，所以A<C，，所以A=π4故选B．11.答案：B解析：本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离，考查空间想象能力，运算求解能力，属于中档题．分三种情况，将两个平面展成一个平面后，对角线长最短，比较谁更小，即可．解：两点之间直线最短，可分三种情况：①当小虫沿表面经过棱BB1时，将平面A1ABB1和平面B1BCC1展成一个平面，则小虫沿对角线AC1爬，最短距离为√25+1=√26；②当小虫沿着表面经过棱A1B1时，将平面A1ABB1和平面A1B1C1D1展成一个平面，则小虫沿对角线AC1爬，最短距离为3√2；③当小虫沿着表面经过棱BC时，将平面ABCD和平面B1BCC1展成一个平面，则小虫沿对角线AC1爬，最短距离为2√5；比较√26，3√2，2√5的大小可知，3√2最小．故选：B．12.答案：B解析：解：双曲线x2−y2=1的a=b=1，c=√1+1=√2，可得双曲线的焦距为2√2．故选：B．求得双曲线的a，b，c，可得焦距2c．本题考查双曲线的方程和性质，考查运算能力，属于基础题．13.答案：4解析：本题考查了等比数列的通项公式，由题意得，数列{a n}为等比数列，设公比为q，由a4=a1q3=q3=8，得q的值，从而得出结果．2=a n⋅a n+2，解：∵数列{a n}满足对任意的n∈N∗，都有a n+1∴数列{a n}为等比数列，设公比为q，∴a4=a1q3=q3=8，得q=2，∴a3=a1q2=1×22=4，故答案为为4．14.答案：y=2x+1解析：本题考查利用导数求曲线的切线问题，属基础题．求出f(0)，f′，0)，利用点斜式可得切线方程．解：因为f(x)=(x+1)e x,得f′′(x)=(x+2)e x，f(0)=1，所以f′′(0)=2，所以切线方程为y−1=2x，即y=2x+1．15.答案：大解析：解：∵函数f(x)=√3sinx+cosx=2(√32sinx+12cosx)=2sin(x+π6)，∴f(π3)=2sin(π3+π6)=2，取得极大值．∴函数f(x)在x=π3处有极大值．故答案为：大．利用两角和差的正弦公式和正弦函数的单调性即可得出．本题考查了两角和差的正弦公式和正弦函数的单调性，属于基础题．16.答案：(−1,4)解析：解：∵f(x)=|2x−3|，∴f(x)<5，即|2x−3|<5，∴−5<2x−3<5，解得：−1<x<4，故答案为：(−1,4)．问题转化为|2x−3|<5，解出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，是一道基础题．17.答案：解：(1)当0<x≤30时，30<310x+31恒成立，所以0<x≤30，当30<x≤70时，由2x+1800x −90<310x+31，得17x 2−1210x+18000<0，解得36017<x<50，所以30<x<50，当70<x<100时，2x+1800x−90<52，即x 2−71x+900<0，又不等式在70<x<100无解，所以不存在这样的x，综上所述，0<x <50，故当x ∈(0,50)时，自驾群体的人均通勤时间少于骑单车群体的人均通勤时间；(2)依题意可得p(x)=f(x)·x%+g(x)·(1−x%)，= { −31000x 2+29100x +31,0<x ≤30171000x 2−91100x +49,30<x ≤70150x 2−7150x +70,70<x ≤100， 所以p(x)在区间(0,30)上单调递增，在[30,70]上单调递增，在[70,100)上单调递增，即函数p(x)在(0,100)上为增函数，实际意义：该地上班族S 人均通勤时间随自驾成员占比的增加而增加．解析：本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．(1)分段求出x 的范围，即可求出自驾群体的人均通勤时间少于骑单车群体的人均通勤时间．(2)分段求出p(x)的解析式，判断p(x)的单调性，再说明其实际意义．18.答案：解：(I)b 1=1，b 2=13，a n b n+1+b n+1=nb n ，可得a 1b 2+b 2=b 1，即a 1=2， 所以数列数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为a n =2+3(n −1)=3n −1；(II)由(I)和a n b n+1+b n+1=nb n ，可得b n+1=13b n ，因此{b n }是首项为1，公比为13的等比数列，所以b n =(13)n−1，所以a n b n =(3n −1)⋅(13)n−1，前n 项和S n =2⋅(13)0+5⋅(13)1+⋯+(3n −1)⋅(13)n−1，13S n=2⋅(13)1+5⋅(13)2+⋯+(3n −1)⋅(13)n ， 相减可得23S n =2+3[(13)+(13)2+⋯+(13)n−1]−(3n −1)⋅(13)n=2+3⋅13(1−13n−1)1−13−(3n −1)⋅(13)n ， 化简可得前n 项和S n =214−6n+74⋅(13)n−1．解析：(I)由等差数列的通项公式可得所求；(II)由等比数列的通项公式可得b n =(13)n−1，即有a n b n =(3n −1)⋅(13)n−1，由数列的错位相减法求和可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，化简整理的运算能力，属于中档题．19.答案：解：由题意，得a=4，b=3，则c=√a2−b2=√7．)，又由题意，可知当以F1或F2为三角形的直角顶点时，点P的坐标为(±√7,±94；则点P到x轴的距离为94>3，舍去．当以点P为三角形的直角顶点时，点P的纵坐标为9√77解析：本题主要考查了椭圆的性质，由椭圆的标准方程求出c，分别以F1，F2，P为直角顶点进行求．20.答案：(Ⅰ)证明：取AB中点F，连接EF、DF，∴EF//PB，DF⊥AB．∵∠CBD=∠FDB=30°，∴∠ABC=90°，即CB⊥AB，∴DF//BC，∵EF、DF⊂平面DEF，PB、BC⊂平面PBC，∴平面DEF//平面PBC，∵DE⊂平面DEF，∴DE//平面PBC．(Ⅱ)解：∵平面PAB⊥平面ABCD，BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，∵BC⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC．∴在△PAB中，过E作EG⊥PB交BP的延长线于G点，则EG的长为点E到平面PBC的距离，设点A到PB的距离为h，则12×PB ×ℎ=12×AB ×PF ⇒12×2×ℎ=12×2√3×1，即ℎ=√3，∴EG =12ℎ=√32，即点E 到平面PBC 的距离为√32．解析：(Ⅰ)取AB 中点F ，连接EF 、DF ，利用三角形中位线定理、等边三角形的性质可得：EF//PB ，DF ⊥AB.进而得到DF//BC.于是平面DEF//平面PBC ，即可证明DE//平面PBC ．(Ⅱ)由平面PAB ⊥平面ABCD ，BC ⊥AB ，可得BC ⊥平面PAB ，平面PAB ⊥平面PBC.在△PAB 中，过E 作EG ⊥PB 交BP 延长线于G 点，则EG 的长为点E 到平面PBC 的距离，设点A 到PB 的距离为h ，利用S △PAB =12PF ⋅AB =12ℎ⋅PB ，即可得出．本题考查了空间位置关系、线面面面判平行与垂直的判定与性质定理、三角形中位线定理、平行线的判定方法、，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 21.答案：(1)证明：由题意可知：所证不等式为f(x)>12−ln(−x)x ，(x ∈[−e,0))， ∵f′(x)=−1−1x −x+1x ，故−e ≤x <−1时，f′(x)<0，此时f(x)递减，当−1<x <0时，f′(x)>0，f(x)递增，故f(x)在[−e,0)上有唯一极小值f(−1)=1，即f(x)在[−e,0)上的最小值是1，令ℎ(x)=12−ln(−x)x ，x ∈[−e,0)， 则ℎ′(x)=ln(−x)−1x 2，当−e ≤x <0时，ℎ′(x)≤0，ℎ(x)在[−e,0)递减，故ℎ(x)max =ℎ(−e)=1e +12<12+12=1=f(x)min ，故a =−1时，f(x)+ln(−x)x >12； (2)解：假设存在实数a ，使得f(x)=ax −ln(−x)的最小值是3，f′(x)=a −1x ，x ∈[−e,0)，①若a ≥−1e ，由于x ∈[−e,0)，则f′(x)=a −1x ≥0，故函数f(x)=ax −ln(−x)在[−e,0)上递增，故f(x)min =f(−e)=−ae −1=3，解得：a =−4e <−1e 与a ≥−1e 矛盾，舍，②若a <−1e ，则当−e ≤x <1a 时，f′(x)=a −1x <0，此时f(x)=ax −ln(−x)递减，当1a <x <0时，f′(x)=a −1x >0，此时f(x)递增，故f(x)min =f(1a )=1−ln(−1a )=3，解得：a =−e 2，综上，由①②知：存在实数a =−e 2，使得f(x)的最小值是3．解析：(1)求出f(x)的最小值，令ℎ(x)=12−ln(−x)x ，x ∈[−e,0)，根据函数的单调性求出ℎ(x)的最大值，从而证明结论；(2)通过讨论a 的范围，求出f(x)的最小值，求出a 的值即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题． 22.答案：解：(Ⅰ)直线l 的参数方程是{x =ty =t +1(t 为参数)，转换为直角坐标方程为：x −y +1=0．转换为极坐标方程为：ρcosθ−ρsinθ+1=0．曲线C 的参数方程是为参数)， 转换为直角坐标方程为：(x −2)2+y 2=4，转换为极坐标方程为：ρ=4cosθ．(Ⅱ)由于0<α<π2，所以|OP|=4cosα，，|OQ|=1sinα+cosα，所以S △OPQ =12|OP||OQ|=2cosαcosα+sinα=1，所以tanα=1，由于0<α<π2，故α=π4，=2√2．所以|OP|=4cosπ4解析：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换；(Ⅱ)利用三角函数关系式的恒等变换和三角形的面积公式的应用求出结果．23.答案：解：(Ⅰ)当x⩽0时，由−2x+6⩽10，解得−2⩽x⩽0；当0<x⩽6时，因为6<10，所以0<x⩽6；当x>6时，由2x−6⩽10，解得6<x⩽8，综上可知，不等式f(x)⩽10的解集为[−2,8]．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)的最小值为6，即m=6，所以a+b+c=6，由柯西不等式可得(a+b+c)(1+2+3)=((√a)2+(√b)2+(√c)2)((√1)2+(√2)2+(√3)2)⩾(√a+√2b+√3c)2，因此√a+√2b+√3c⩽6=m．解析：本题考查了绝对值不等式的解法及柯西不等式的应用，属于中档题．(Ⅰ)利用绝对值的意义，写出分段函数，即可求不等式f(x)⩽10的解集；(Ⅱ)利用绝对值不等式，求出m，再利用柯西不等式进行证明．。
2020年广东省深圳市高考数学二模试卷(文科) (含答案解析)
2020年广东省深圳市高考数学二模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|0<x ≤1}，B ={x|x 2<1}，则(∁R A)∩B =( )A. (0,1)B. [0,1]C. (−1,1]D. (−1,0]2. 若复数(x 2−1)+(x −1)i 对应的点在虚轴上，则实数x 的值为( )A. −1或1B. 0C. 1D. −13. 已知点(−3,−1)和点(4,−6)在直线3x −2y −a =0的两侧，则a 的取值范围为( )A. (−24,7)B. (−7,24)C. (−∞,−7)∪(24,+∞)D. (−∞,−24)∪(7,+∞)4. 已知函数f(x)={(1−2a)x ,x ≤1log a x +13,x >1，当x 1≠x 2时，f(x1)−f(x 2)x 1−x 2<0，则a 的取值范围是()A. (0,13]B. [13,12] C. (0,12] D. [14,13]5. 容量为20的样本数据，分组后的频数如下表所示：分组 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70)频数 2 3 4 5 4 2则样本数据落在[20,50)的频率为( )A. 0.4B. 0.5C. 0.6D. 0.756. 如图，在ΔABC 中，，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. √3B. √32C. √33 D. 2√37. cos50°cos20°+sin130°sin20°的值为( )A. 12B. 13C. √32D. √338.已知抛物线y2=4x，直线x+2y−1=0与该抛物线交于A，B两点，则弦AB的长为()A. 24B. 20C. 16D. 129.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E在棱CC1上，且CE=2EC1，则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A. √72B. √52C. √132D. √13310.已知ω>0，|φ|<π2，若x=π6和x=7π6是函数f(x)=cos(ωx+φ)的两个相邻的极值点，将y=f(x)的图象向左平移π6个单位得到函数y=g(x)的图象，则下列说法正确的是()A. y=g(x)是奇函数B. y=g(x)的图象关于点(−π2,0)对称C. y=g(x)的图象关于直线x=π2对称D. y=g(x)的周期为π11.已知函数y=f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)=x2−3x+1，则f(3)=()A. 17B. −17C. 19D. −1912.设F1，F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1的左、右焦点．若双曲线上存在点M，使∠F1MF2=60°，且|MF1|=2|MF2|，则双曲线离心率为()A. √2B. √3C. 2D. √5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线f(x)=ax3+2x−1在点(1,f(1))处的切线过点(3,4)，则a=______．14.已知数列{a n}的前n项积为T n=5n2，n∈N∗，则a2009=____。
2020年广东省汕头市高考数学二模试卷(文科)含答案解析
2020年广东省汕头市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x2+x﹣2≥0}，则A∩B=（）A．（0，1]B．[1，2）C．[﹣2，2）D．（0，2）2．已知复数z=是纯虚数，则实数a=（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣3．设S n是等差数列{a n}的前n项和，且满足等式S7=a5+a6+a8+a9，则的值为（）A．B．C．D．4．学校开展运动会活动，甲、乙两同学各自报名参加跳高、跳远、游泳三个项目中的一个，每位同学参加每个项目的可能性相同，则这两位同学参加同一个体育项目的概率为（）A．B．C．D．5．已知一个锥体挖去一个柱体后的三视图如图所示，网格上小正方形的边长为1，则该几何体的体积等于（）A．11πB．5πC．π D．3π6．已知圆C：x2+y2=3，从点A（﹣2，0）观察点B（2，a），要使视线不被圆C挡住，则a 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣∞，2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）7．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，E为CD的中点，则•的值是（）A．B．5 C． D．68．某程序框图如图所示，则输出的结果S=（）A．26 B．57 C．120 D．2479．已知实数x、y满足条件，若目标函数z=3x+y的最小值为5，则a的值为（）A．﹣17 B．﹣2 C．2 D．1710．已知直线x=是函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）图象的一条对称轴，则y=f（x）取得最小值时x的集合为（）A．{x|x=+kπ，k∈Z}B．{x|x=+kπ，k∈Z}C．{x|x=+kπ，k∈Z}D．{x|x=+kπ，k∈Z}11．函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可以是（）A．f（x）=x+sinx B．C．f（x）=xcosx D．12．已知函数f（x）=，若方程f（x）﹣mx﹣1=0恰有两个不同实根，则正实数m的取值范围为（）A．（，1）∪（1，e﹣1） B．（，1）∪（1，e﹣1]C．（，1）∪（1，e﹣1）D．（，1）∪（1，e﹣1]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数f（x）=在点（1，f（1））处的切线方程是_______．14．已知数列{a n}的前n项和为S n，首项a1=1，且满足：2S n=a n+1﹣1，则a3+a4+a5=_______．15．三棱锥D﹣ABC内接于表面积为100π的球面，DA⊥平面ABC，且AB=8，AC⊥BC，∠BAC=30°，则三棱锥D﹣ABC的体积为_______．16．已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，C的准线和对称轴交于点M，点P是C上一点，且满足|PM|=λ|PF|，当λ取最大值时，点P恰好在以M、F为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为_______．三、解答题（共70分）17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足c=，ccosB=（2a﹣b）cosC．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求△ABC的周长的最大值．18．已知四棱锥P﹣ABCD中，PA垂直于直角梯形ABCD所在的平面，BA⊥AD，BC∥AD，M是PC的中点，且AB=AD=AP=2，BC=4．（1）求证：DM∥平面PAB；（2）求三棱锥M﹣PBD的体积．19．菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害，但采集上市时蔬菜仍存有少量的残留农药，使用时需要用清水清洗干净，如表是用清水x（单位：千克）清洗该蔬菜1千克后，蔬菜上残留的农药y（单位：微克）的统计表：x 1 2 3 4 5y 58 54 39 29 10（Ⅰ）在如图的坐标系中，描出散点图，并判断变量x与y的相关性；（Ⅱ）若用解析式=cx2+d作为蔬菜农药残量与用水量x的回归方程，令ω=x2，计算平均值和，完成如下表格，求出与x回归方程．（c，d精确到0.01）ω 1 4 9 16 25y 58 54 39 29 10ωi﹣y i﹣（Ⅲ）对于某种残留在蔬菜上的农药，当它的残留量低于20微克时对人体无害，为了放心食用该蔬菜，请估计需要多少千克的清水洗一千克蔬菜？（精确到0.1，参考数据≈2.236）．（附：线性回归方程=x+中系数计算公式分别为：=，=﹣．）20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的焦距为2，左、右顶点分别为A、B，P是椭圆上一点，记直线PA、PB的斜率为k1，k2，且k1k2=﹣．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于M、N两点，以M、N为直径的圆经过原点，且线段MN的垂直平分线在y轴上的截距为﹣，求直线l的方程．21．已知函数f（x）=alnx﹣x2，g（x）=（λ﹣1）x2+2（λ﹣1）x﹣2．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）a=2时，有f（x）≤g（x）恒成立，求整数λ的最小值．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，割线PAB交于圆O于A、B两点，PO交于圆O于C，D在AB上，且满足CD2=DA•DB．（Ⅰ）求证：OD⊥CD；（Ⅱ）若PA=6，AB=，PO=12，求PC的长．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，若倾斜角为的直线l经过点P（4，2）．（Ⅰ）写出直线l的参数方程，并将曲线C的极坐标方程化为直角坐标系方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于不同的两点A、B，求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|．（Ⅰ）当a=2时，解不等式：f（x）≥5；（Ⅱ）若存在x0∈R，使得f（x0）＜2，试求实数a的取值范围．2020年广东省汕头市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x2+x﹣2≥0}，则A∩B=（）A．（0，1]B．[1，2）C．[﹣2，2）D．（0，2）【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式变形得：（x﹣1）（x+2）≥0，解得：x≤﹣2或x≥1，即B=（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞），∵A=（0，2），∴A∩B=[1，2），故选：B．2．已知复数z=是纯虚数，则实数a=（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部为0且虚部不为0求得a值．【解答】解：∵z==是纯虚数，∴，解得：a=3．故选：A．3．设S n是等差数列{a n}的前n项和，且满足等式S7=a5+a6+a8+a9，则的值为（）A．B．C．D．【考点】等差数列的前n项和．【分析】根据题意，等差数列{a n}中，有S7=a5+a6+a8+a9，=4a7，进而由等差数列前n项和公式可得S7==7a4，则易求的值．【解答】解：∵S7==7a4，a5+a6+a8+a9=4a7，∴7a4=4a7，∴=．故选：A．4．学校开展运动会活动，甲、乙两同学各自报名参加跳高、跳远、游泳三个项目中的一个，每位同学参加每个项目的可能性相同，则这两位同学参加同一个体育项目的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出这两位同学参加同一个体育项目包含的基本事件个数，由此能求出这两位同学参加同一个体育项目的概率．【解答】解：甲、乙两同学各自报名参加跳高、跳远、游泳三个项目中的一个，每位同学参加每个项目的可能性相同，基本事件总数n=3×3=9，这两位同学参加同一个体育项目包含的基本事件个数m=3，∴这两位同学参加同一个体育项目的概率p==．故选：B．5．已知一个锥体挖去一个柱体后的三视图如图所示，网格上小正方形的边长为1，则该几何体的体积等于（）A．11πB．5πC．π D．3π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何题是一个圆锥挖去一个圆柱以后剩下的几何体．利用体积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何题是一个圆锥挖去一个圆柱以后剩下的几何体．∴该几何体的体积=×3﹣π×12×1=3π，故选：D．6．已知圆C：x2+y2=3，从点A（﹣2，0）观察点B（2，a），要使视线不被圆C挡住，则a 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣∞，2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出设过点A（﹣2，0）与圆C：x2+y2=3相切的直线，由此能求出a的取值范围．【解答】解：设过点A（﹣2，0）与圆C：x2+y2=3相切的直线为y=k（x+2），则=，解得k=，∴切线方程为（x+2），由A点向圆C引2条切线，只要点B在切线之外，那么就不会被遮挡，B在x=2的直线上，在（x+2）中，取x=2，得y=，从A点观察B点，要使视线不被圆C挡住，需a＞4，或a＜﹣4．∴a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）．故选：D．7．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，E为CD的中点，则•的值是（）A．B．5 C． D．6【考点】平面向量数量积的运算．【分析】将表示为，代入•，展开后利用向量数量积运算得答案．【解答】解：∵E为CD的中点，∴=，又ABCD为菱形，且AB=2，∠DAB=60°，∴•====．故选：B．8．某程序框图如图所示，则输出的结果S=（）A．26 B．57 C．120 D．247【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量S的值，并输出K＞4时，变量S的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环k S循环前/1 1第一圈是 2 4第二圈是 3 11第三圈是 4 26第四圈是 5 57第五圈否故选B．9．已知实数x、y满足条件，若目标函数z=3x+y的最小值为5，则a的值为（）A．﹣17 B．﹣2 C．2 D．17【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z=3x+y的最小值为5，建立条件关系即可求出a的值即可．【解答】解：目标函数z=3x+y的最小值为5，∴y=﹣3x+z，要使目标函数z=3x+y的最小值为5，作出不等式组对应的平面区域如图：则目标函数经过点B截距最小，由，解得，即B（2，﹣1），同时B也在直线ax+y+5=0，即2a﹣1+5=0，解得a=﹣2，故选：B．10．已知直线x=是函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）图象的一条对称轴，则y=f（x）取得最小值时x的集合为（）A．{x|x=+kπ，k∈Z}B．{x|x=+kπ，k∈Z}C．{x|x=+kπ，k∈Z}D．{x|x=+kπ，k∈Z}【考点】正弦函数的图象．【分析】根据直线x=是函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）图象的一条对称轴，求得φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的最值以及最值条件，求得y=f（x）取得最小值时x的集合．【解答】解：∵直线x=是函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）图象的一条对称轴，∴2•+φ=kπ+，求得φ=，故f（x）=sin（2x+），故当2x+=2kπ+，k∈Z，即x=kπ+时，函数f（x）取得最小值为﹣1，故当y=f（x）取得最小值时x的集合为{x|x=kπ+，k∈Z}，故选：C．11．函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可以是（）A．f（x）=x+sinx B．C．f（x）=xcosx D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】通过函数的图象的奇偶性、定义域、验证函数的表达式，排除部分选项，利用图象过（，0），排除选项，得到结果．【解答】解：依题意函数是奇函数，排除D，函数图象过原点，排除B，图象过（，0）显然A不正确，C正确；故选C12．已知函数f（x）=，若方程f（x）﹣mx﹣1=0恰有两个不同实根，则正实数m的取值范围为（）A．（，1）∪（1，e﹣1） B．（，1）∪（1，e﹣1]C．（，1）∪（1，e ﹣1）D．（，1）∪（1，e﹣1]【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】方程f（x）﹣mx﹣1=0恰有两个不同实根可转化为函数f（x）=与直线y=mx+1的图象有且只有两个不同的交点，从而结合图象求解．【解答】解：∵方程f（x）﹣mx﹣1=0恰有两个不同实根，∴函数f（x）=与直线y=mx+1的图象有且只有两个不同的交点，作函数f（x）=与直线y=mx+1的图象如下，，易知直线y=mx+1恒过点C（0，1），且点A（1，e），B（3，e）；故=k AC==e﹣1，=k BC==；f′（x）=e x，f′（0）=e0=1；故=1；故结合函数的图象可知，＜m＜1或1＜m≤e﹣1，故选D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数f（x）=在点（1，f（1））处的切线方程是y=．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：函数f（x）=的导数为f′（x）==，可得在点（1，f（1））处的切线斜率为k=0，切点为（1，），即有切线的方程为y﹣=0，即为y=．故答案为：y=．14．已知数列{a n}的前n项和为S n，首项a1=1，且满足：2S n=a n+1﹣1，则a3+a4+a5=117．【考点】数列递推式．【分析】化简可得a n+1=2S n+1，从而依次求数列的前5项即可．【解答】解：∵2S n=a n+1﹣1，∴a n+1=2S n+1，∴a1=1，a2=2×1+1=3，a3=2×（1+3）+1=9，a4=2×（1+3+9）+1=27，a5=2×（1+3+9+27）+1=81，故a3+a4+a5=9+27+81=117，故答案为：117．15．三棱锥D﹣ABC内接于表面积为100π的球面，DA⊥平面ABC，且AB=8，AC⊥BC，∠BAC=30°，则三棱锥D﹣ABC的体积为16．【考点】球的体积和表面积．【分析】由已知得棱锥D﹣ABC的四个顶点在以AC=4、BC=4、AD为长、宽、高的长方体的外接球上，球的半径为5，由此能求出三棱锥D﹣ABC的体积．【解答】解：∵三棱锥D﹣ABC内接于表面积为100π的球面，DA⊥平面ABC，且AB=8，AC⊥BC，∠BAC=30°，∴三棱锥D﹣ABC的四个顶点在以AC=4、BC=4、AD为长、宽、高的长方体的外接球上，球的半径为5∴AC2+BC2+AD2=（2×5）2，即48+16+AD2=100，解得AD=6，∴三棱锥D﹣ABC的体积：==16．V D﹣ABC故答案为：16．16．已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，C的准线和对称轴交于点M，点P是C上一点，且满足|PM|=λ|PF|，当λ取最大值时，点P恰好在以M、F为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为+1．【考点】抛物线的简单性质．【分析】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义，结合|PM|=λ|PF|，可得=，设PA的倾斜角为α，则当λ取得最大值时，sinα最小，此时直线PM与抛物线相切，求出P的坐标，利用双曲线的定义，即可求得双曲线的离心率．【解答】解：过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PF|，∵|PM|=λ|PF|，∴|PM|=λ|PN|，则=，设PM的倾斜角为α，则sinα=，当λ取得最大值时，sinα最小，此时直线PM与抛物线相切，设直线PM的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，∴P（2，1），∴双曲线的实轴长为|PM|﹣|PF|=2（﹣1），∴双曲线的离心率为=+1．故答案为： +1．三、解答题（共70分）17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足c=，ccosB=（2a﹣b）cosC．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求△ABC的周长的最大值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理结合两角和差的正弦公式进行化简即可求角C 的大小；（Ⅱ）根据余弦定理结合基本不等式的应用求出a +b 的范围即可求△ABC 的周长的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵ccosB=（2a ﹣b ）cosC=2acosC ﹣bcosC ， ∴ccosB +bcosC=2acosC ，即sinCcosB +sinBcosC=2sinAcosC ， 即sin （B +C ）=2sinAcosC ， 则sinA=2sinAcosC ， 得cosC=，即C=；（Ⅱ）∵c 2=a 2+b 2﹣2abcosCc=，∴a 2+b 2﹣ab=3， 即（a +b ）2=3ab +3， ∵a +b ≥2， ∴ab ≤（）2，∴（a +b ）2=3ab +3≤（a +b ）2+3，得（a +b ）2≤12，则a +b ≤2，当且仅当a=b=时取等号， ∴△ABC 的周长的最大值是3． 18．已知四棱锥P ﹣ABCD 中，PA 垂直于直角梯形ABCD 所在的平面，BA ⊥AD ，BC ∥AD ，M 是PC 的中点，且AB=AD=AP=2，BC=4． （1）求证：DM ∥平面PAB ； （2）求三棱锥M ﹣PBD 的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定． 【分析】（1）取PB 的中点N ，连结AN ，MN ，则MN，又ADBC ，故四边形MNAD 是平行四边形，于是MD ∥AN ，所以MD ∥平面PAB ； （2）分别求出棱锥P ﹣ABCD ，棱锥P ﹣ABD ，棱锥M ﹣BCD 的体积，则V M ﹣PBD =V P ﹣ABCD ﹣V P ﹣ABD ﹣V M ﹣BCD ． 【解答】解：（1）取PB 的中点N ，连结AN ，MN ， ∵M ，N 是PC ，PB 的中点， ∴MN，又ADBC ，∴四边形MNAD 是平行四边形，∴MD ∥AN ，又MD ⊄平面PAB ，AN ⊂平面PAB ， ∴MD ∥平面PAB ．（2）∵PA ⊥平面ABCD ， ∴V P ﹣ABD ===，V P ﹣ABCD ===4． ∵M 是PC 的中点，∴M 到平面ABCD 的距离h==1．∴V M ﹣BCD ===．∴V M ﹣PBD =V P ﹣ABCD ﹣V P ﹣ABD ﹣V M ﹣BCD =4﹣=．19．菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害，但采集上市时蔬菜仍存有少量的残留农药，使用时需要用清水清洗干净，如表是用清水x （单位：千克）清洗该蔬菜1千克后，蔬菜上残留的农药y （单位：微克）的统计表： x 1 2 3 4 5 y 58 54 39 29 10 （Ⅰ）在如图的坐标系中，描出散点图，并判断变量x 与y 的相关性；（Ⅱ）若用解析式=cx 2+d 作为蔬菜农药残量与用水量x 的回归方程，令ω=x 2，计算平均值和，完成如下表格，求出与x 回归方程．（c ，d 精确到0.01）ω 1 4 9 16 25 y 58 54 39 29 10ωi ﹣y i ﹣（Ⅲ）对于某种残留在蔬菜上的农药，当它的残留量低于20微克时对人体无害，为了放心食用该蔬菜，请估计需要多少千克的清水洗一千克蔬菜？（精确到0.1，参考数据≈2.236）． （附：线性回归方程=x +中系数计算公式分别为：=， =﹣．）【考点】线性回归方程．【分析】（I）以x为横坐标，以y为纵坐标描点，根据散点图的特点判断正相关还是负相关；（II）先计算表格中的数据，使用回归系数公式求出y关于ω的回归方程，再用x2替换回归方程中的ω；（III）令y＜20解不等式即可．【解答】解：（I）作出散点图如图：由散点图可知变量x与y负相关．（II）==11，==38．填写表格如下：ω 1 4 9 16 25y 58 54 39 29 10﹣10 ﹣7 ﹣2 5 14y i﹣20 16 1 ﹣9 ﹣28∴=（﹣10）×20+（﹣7）×16+（﹣2）×1+5×（﹣9）+14×（﹣28）=﹣751，=100+49+4+25+196=374．∴c=≈﹣2.01，d=38﹣（﹣2.01）×11=60.11．∴=﹣2.01ω+60.11=﹣2.01x2+60.11．（III）令＜20，得﹣2.01x2+60.11＜20，解得x＞≈4.5．∴为了放心食用该蔬菜，估计需要4.5千克的清水洗一千克蔬菜．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的焦距为2，左、右顶点分别为A、B，P是椭圆上一点，记直线PA、PB的斜率为k1，k2，且k1k2=﹣．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于M、N两点，以M、N为直径的圆经过原点，且线段MN的垂直平分线在y轴上的截距为﹣，求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可得c=1，设P（m，n），代入椭圆方程，运用直线的斜率公式，化简整理，计算可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）将直线l：y=kx+m（k≠0）代入椭圆x2+2y2﹣2=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），运用韦达定理和中点坐标公式，以及两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，化简整理，解方程可得k，m，进而得到所求直线的方程．【解答】解：（1）由题意可得c=1，即a2﹣b2=1，设P（m，n），可得+=1，即=﹣，由题意可得A（﹣a，0），B（a，0），即有k1k2=•=﹣=﹣，解得a=，b=1，可得椭圆的方程为+y2=1；（2）将直线l：y=kx+m（k≠0）代入椭圆x2+2y2﹣2=0，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，判别式为16k2m2﹣8（1+2k2）（m2﹣1）＞0，即有1+2k2＞m2，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得x1+x2=﹣，x1x2=，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2，由题意OM⊥ON，可得x1x2+y1y2=0，即为（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，即（1+k2）•+km（﹣）+m2=0，化简可得3m2=2+2k2，①又MN的中点为（﹣，），由MN的垂直平分线经过点（0，﹣），可得垂直平分线的方程为y=﹣x﹣，代入中点坐标可得=﹣•（﹣）﹣，化简可得5m=1+2k2，②由①②解得m=（负的舍去），k=±，检验判别式大于0成立，直线l的方程为y=±x+．21．已知函数f（x）=alnx﹣x2，g（x）=（λ﹣1）x2+2（λ﹣1）x﹣2．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）a=2时，有f（x）≤g（x）恒成立，求整数λ的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，可得a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，求出导函数的零点，由函数零点对定义域分段，结合导函数的符号可得原函数的单调区间；（Ⅱ）当a=2时，由f（x）≤g（x），得2lnx﹣x2≤（λ﹣1）x2+2（λ﹣1）x﹣2，分离参数λ，得在x∈（0，+∞）上恒成立．构造函数g（x）=，两次求导可得g（x）max∈（1，2）．由此求得整数λ的最小值为2．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），f′（x）=．当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；a＞0时，令f′（x）=0，得x=（舍去负值），当x∈（0，）时，f′（x）＞0；x∈（，+∞）时，f′（x）＜0．故f（x）在（0，）上单调递增；在（，+∞）上单调递减；（Ⅱ）当a=2时，由f（x）≤g（x），得2lnx﹣x2≤（λ﹣1）x2+2（λ﹣1）x﹣2，即（x2+2x）λ≥2lnx+2x+2．∵x＞0，∴在x∈（0，+∞）上恒成立．令g（x）=，则．令h（x）=﹣2lnx﹣x，∵，∴h（x）在（0，+∞）上递减，且x→0时，h（x）→+∞，x→+∞时，h（x）→﹣∞．∴h（x）在（0，+∞）必存在唯一零点，不妨设h（x0）=0，即2lnx0=﹣x0．∴当x∈（0，x0）时，h（x）＞0，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x∈（x0，+∞）时，h（x）＜0，g′（x）＜0，g（x）单调递减．因此，=．∵，，∴，1．即g（x）max∈（1，2）．依题意有λ≥2，即整数λ的最小值为2．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，割线PAB交于圆O于A、B两点，PO交于圆O于C，D在AB上，且满足CD2=DA•DB．（Ⅰ）求证：OD⊥CD；（Ⅱ）若PA=6，AB=，PO=12，求PC的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）延长CD，交圆O于E，证明D是CE的中点，即可证明：OD⊥CD；（Ⅱ）延长PO交圆O于F，由割线定理得PC•PF=PA•PB，代入数据求PC的长．【解答】（Ⅰ）证明：延长CD，交圆O于E，由相交弦定理得CD•DE=DA•DB，∵CD2=DA•DB，∴CD=DE，∴D是CE的中点，∴OD⊥CD；（Ⅱ）解：延长PO交圆O于F，由割线定理得PC•PF=PA•PB，设圆O的半径为r，则（12﹣r）（12+r）=6×（6+），∴r=8，∴PC=4．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，若倾斜角为的直线l经过点P（4，2）．（Ⅰ）写出直线l的参数方程，并将曲线C的极坐标方程化为直角坐标系方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于不同的两点A、B，求|PA|+|PB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）直线l的参数方程为：，化简即可得出（t为参数）．曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ代入可得直角坐标方程．（II）把直线l的参数方程代入曲线C的方程可得：t2+t+4=0．由于A，B两点在点P的同侧，可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|．【解答】解：（I）直线l的参数方程为：，即（t为参数）．曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=4x，配方为：（x ﹣2）2+y2=4．（II）把直线l的参数方程（t为参数）代入曲线C的方程可得：t2+t+4=0．∴t1+t2=﹣．∵A，B两点在点P的同侧，∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|．（Ⅰ）当a=2时，解不等式：f（x）≥5；（Ⅱ）若存在x0∈R，使得f（x0）＜2，试求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，去掉绝对值号，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）根据绝对值的性质得到|x+1|+|x﹣a|＞|a+1|＜2，解不等式即可．【解答】解：（Ⅰ）|x+1|+|x﹣2|≥5，x≤﹣1时，﹣x﹣1﹣x+2≥5，x≤﹣2，﹣1＜x＜2时，x+1﹣x+2≥5，x∈∅，x＞2时，x+1+x﹣2＞5，x＞3，∴x∈{x|x≤﹣2或x≥3}；（Ⅱ）∵|x+1|+|x﹣a|＞|（x+1）﹣（x﹣a）|=|a+1|，∴|a+1|＜2，∴﹣3＜a＜1．2020年9月8日。
2020年广东省韶关市高考数学二模试卷(文科) (含解析)
2020年广东省韶关市高考数学二模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若全集U=R，集合A={x|−1<x<1}，B={x|x(2−x)≤0}，则A∩(∁U B)为()A. {x|0<x<2}B. {x|0<x<1}C. {x|0≤x<1}D. {x|−1<x<0}2.已知i为虚数单位，设z=1+2+ii，则复数z在复平面内对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知函数f(x)={−x 2+2x+1,x≥0−x+1,x<0，则函数g(x)=f(x)−e−x的零点个数是()A. 4B. 3C. 2D. 14.为了了解某同学的数学学习情况，对他的6次数学测试成绩(满分100分)进行统计，作出的茎叶图如图所示，则下列关于该同学数学成绩的说法正确的是()A. 中位数为83B. 平均数为85C. 众数为85D. 方差为195.已知一个几何体的三视图如图所示，则其体积为()A. 12πB. 16πC. 32π3D. 40π36.若数列{a n}为各项不相等的等差数列，a1=−5，且a3，a4，a8成等比数列，则S7=()A. 18B. 28C. 44D. 497.已知x>0,y>0,且1x+1+1y=12，则x+y的最小值为()A. 3B. 5C. 7D. 88.设x∈R，则“x2<1”是“lgx<0”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9.要得到函数y=2√3cos2x+sin2x−√3的图象，只需将函数y=2sin2x的图象()A. 向左平移π3个单位 B. 向右平移π3个单位C. 向左平移π6个单位 D. 向右平移π6个单位10.如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(−5,0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|=|OF|且|PF|=6，则椭圆C的方程为()A. x236+y216=1B. x240+y215=1C. x249+y224=1D. x245+y220=111.已知函数f(x)=|x|，则下列说法正确的是()．A. f(x)是奇函数，且在(0,+∞)上是增函数B. f(x)是奇函数，且在(0,+∞)上是减函数C. f(x)是偶函数，且在(0,+∞)上是增函数D. f(x)是偶函数，且在(0,+∞)上是减函数12.如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则异面直线PM与BD所成的角为()A. 900B. 600C. 300D. 450二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知λ∈R ，函数f(x)={x +1,x ≤λ−x 2+2x,x >λ，当λ=0时，不等式f(x)>0的解集为______，若函数f(x)与x 轴恰有两个交点，则λ的取值范围是______．14. 已知向量a ⃗ =(m,m −1)，b ⃗ =(2,1)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，则|a ⃗ |= ______ ． 15. 以双曲线x 24−y 212=1右焦点为圆心，且被双曲线的渐近线截的弦长等于4的圆的方程是______．16. 已知数列{a n }满足a n =1+2+3+⋯+nn，则数列{1an a n+1}的前n 项和为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，．(1)求角A 的大小；(2)若a =√3, S =√32，b +c 的值．18. 国务院召开青少年校园足球工作电视电话会议，提出教育部将主导校园足球“足球进校园”活动．某市教育部门未了解学生喜欢足球是否与性别有关，在某学校该校50名学生进行了问卷调查，得到了如下的列联表： 喜欢足球 不喜欢足球 合计 男生 20 5 25 女生 10 15 25 合计302050(Ⅰ)按性别用分层抽样的方法在喜欢足球的学生中抽取6人，求这6人中男生的人数； (Ⅱ)在上述抽取的6人中随机抽取2人做进一步调查，求恰有1名女生的概率；(Ⅲ)根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为喜欢足球与性别有关系？下面的临界值表供参考：P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001 K 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 (参考公式：K2=n(ad−bc)2，其中n=a+b+c+d)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图，四棱锥S−ABCD的底面为平行四边形，DA=DS，DA⊥DS，AB=BS=SA=BD=2．(1)求证：平面ASD⊥平面ABS；(2)求四棱锥S−ABCD的体积．20.平面内动点P(x,y)与两定点A(−2,0)，b(2,0)连线的斜率之积等于−1，若点P的轨迹为曲线E，3过点Q(−1,0)作斜率不为零的直线CD交曲线E于点C，D(1)求曲线E的方程；(2)求证：AC⊥AD．21. 已知函数f(x)=x −alnx(a ∈R)．(Ⅰ)当a =2时，求曲线y =f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程； (Ⅱ)求函数y =f(x)的极值．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =−1+2cosφy =2sinφ(φ为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系.已知点P 的直角坐标为(−2,0)，过P 的直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点．(1)若l 的斜率为2，求l 的极坐标方程和曲线C 的普通方程； (2)求PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．23. 设函数f(x)=|x +1|．(Ⅰ)求不等式f(x)≤5−f(x−3)的解集；(Ⅱ)已知关于x的不等式2f(x)+|x+a|≤x+4在[−1,1]上有解，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：B={x|x≤0，或x≥2}；∴∁U B={x|0<x<2}；∴A∩(∁U B)={x|0<x<1}．故选：B．可先求出集合B，然后进行交集、补集的运算即可．考查一元二次不等式的解法，描述法表示集合的概念，以及交集、补集的运算．2.答案：D解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算化简求出z的坐标得答案．解：∵z=1+2+ii =1+(2+i)(−i)−i2=2−2i，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为(2,−2)，位于第四象限．故选：D．3.答案：C解析：本题主要考查函数零点个数的判定，将方程转化为两个函数的相交个数问题是解决本题问题的基本方法．由g(x)=0，利用方程和函数之间的关系，转化为函数f(x)和y=e−x的交点个数问题，即可得到结论．解：由g(x)=0，得f(x)=e−x，分别作出函数f(x)和y=e−x的图象如图：由图象可知，两个图象的交点个数为2个，即函数g(x)的零点个数为2个，故选：C．4.答案：B解析：解：根据茎叶图，得；该同学数学成绩的中位数是83+852=84，∴A错误；平均数是16(78+83+83+85+90+91)=85，∴B正确；众数是83，∴C错误；方差是16[(−7)2+(−2)2+(−2)2+02+52+62]=1186=593，∴D错误．故选：B．根据茎叶图中的数据，求出中位数、平均数、众数与方差即可．本题考查了求中位数、平均数、众数与方差的应用问题，是基础题目．5.答案：D解析：本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式的应用求出结果．解：根据几何体得三视图转换为几何体为：一个底面半径为2，高为4的圆柱挖去一个16的几何体．故：V=56×π×22×4=40π3，故选：D．6.答案：B解析：本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，以及等比中项的性质，属于基础题．由等比中项的性质列出方程，由等差数列的通项公式列出关于d的方程，由题意求出d，代入通项公式、前n项和公式化简，再求出S7.解：设等差数列{an}的公差为d，则a3=−5+2d，a4=−5+3d，a8=−5+7d．因为a3，a4，a8成等比数列，所以a42=a3a8，即(−5+3d)2=(−5+2d)(−5+7d)．解得d=3或d=0(舍去)．所以S7=7×(−5)+7×62×3=28．故选B．7.答案：C解析：本题主要考查基本不等式，先化简再求最值，属于中档题．解：因为1x+1+1y=12，所以2x+1+2y=1，因为x>0，则x+1>0，又因为y>0，所以x+y=[(x+1)+y]−1=[(x+1)+y]×(2x+1+2y)−1=[2yx+1+2(x+1)y]+3≥2√2yx+1×2(x+1)y+3=7，当且仅当{1x+1+1y=122y x+1=2(x+1)y，即x=3,y=4时等号成立，所以x+y的最小值为7，故选C8.答案：B。
2020年广东省广州市天河区高考数学二模试卷(文科)(有解析)
2020年广东省广州市天河区高考数学二模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2<1}，B={x|x2+3x<0}，则A∪B=()A. (−1,0)B. (0,1)C. (−3,1)D. (−∞,1)2.设复数z满足|z−i|=1，z在复平面内对应的点为(x,y)，则x，y满足的关系是()A. (x+1)2+y2=1B. (x−1)2+y2=1C. x2+(y−1)2=1D. x2+(y+1)2=13.若sin(π+α)=23，则cos2α的值为()A. 19B. 29C. 13D. −134.若等比数列{a n}满足2a4=a6−a5，则公比为()A. 1B. 1或−2C. −1或2D. −1或−25.某学校随机抽取100名学生，调查其平均一周使用互联网的时间(单位：小时)，根据调查结果制成了如图所示的频率分布直方图，其中使用时间的范围是[0,16]，样本数据分组区间为[0,4)，[4,8)，[8,12)，[12,16].根据直方图，这100名学生中平均一周使用互联网的时间不少于12小时的人数为()A. 5B. 10C. 20D. 806.设a=log123.b=ln4，c=(13)0.2，则()A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. b<c<a7.在我国南北朝时期，数学家祖暅在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”.其意思是，用一组平行平面截两个几何体，若在任意等高处的截面面积都对应相等，则两个几何体的体积必然相等．根据祖暅原理，“两几何体A、B的体积不相等”是“A、B在等高处的截面面积不恒相等”的()条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要8. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 、F 满足BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，EF 与AC 交于点G ，设AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =λGC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ=( )A. 97B. 74C. 72D. 929. 已知正三棱柱ABC −A 1B 1C 1的底面边长和侧棱长相等，D 为A 1A 的中点，则直线BD 与B 1C 所成的角为( )A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘10. 已知函数f (x )=2sin x2(cos x2−√3sin x2)+√3，先将y =f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再沿x 轴向右平移θ(θ>0)个单位长度，得到函数y =g(x)，若g(x)的图象关于直线x =3π4对称，则θ的最小值为( )A. π6B. π4C. π3D. 2π311. 已知以双曲线C:x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点F 为圆心，以a 为半径的圆与直线y =ba x 交于A,B 两点，若|AB |=√2a ，则双曲线C 的离心率为( )A. 2B. √3C. √2D. √6212. 已知点A(a,b)在y =−x 2+3lnx 的图象上，点B(m,n)在y =x +2的图象上，则(a −m)2+(b −n)2的最小值为( )A. √2B. 2C. 2√2D. 8二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数f(x)={2x −5(x ⩾2)f(x +2)(x <2)，则f(−2)=_________________．14. 抛物线y 2=4x 上横坐标为3的点P 到焦点F 的距离为___________．15. △ABC 中，A =120°，AB =4，点M 是边BC 上一点，且CM =4MB ，AM =8√35，则BC 的长为______．16.四棱锥P−ABCD的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥ABCD，PA=√2，则该球的体积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等比数列{a n}的各项都是正数，前n项和为S n，且a3=4，S4=S2+12，求：(1)首项a1及公比q的值；(2)若b n=na n，求数列{b n}的前n项和T n．18.在如图所示的多面体ABCDE中，AB//DE，AB⊥AD，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB=2，BC=√5，F是CD的中点．(Ⅰ)求证AF//平面BCE；(Ⅱ)求多面体ABCDE的体积．19.某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(2)若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y =bx +a ；(附：b ̂=ni=1i −x)(y i −y)∑(n x −x)2=∑x i ni=1y i −nxy ∑x i2n i=1−nx2)20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为√22，P 是C 上的一个动点．当P 是C 的上顶点时，△F 1PF 2的面积为1． (1)求C 的方程；(2)设斜率存在的直线PF 2与C 的另一个交点为Q.若存在点T(t,0)，使得|TP|=|TQ|，求t 的取值范围．21.已知函数f(x)=xe x−ae x−1，且f′(1)=e．(1)求a的值及f(x)的单调区间；(2)若关于x的方程f(x)=kx2−2(k>2)存在两个不相等的正实数根x1，x2，证明：|x1−x2|>ln4．e22.选修4−4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数)，以坐标原点为极点，)，将直线l1绕极点O x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为θ=α(0<α<π2个单位得到直线l2．逆时针旋转π3(1)求C和l2的极坐标方程；(2)设直线l1和曲线C交于O,A两点，直线l2和曲线C交于O,B两点，求|OA|+|OB|的最大值．23.已知函数f(x)=|x+1|，(1)解不等式f(x)≥2x+1；(2)∃x∈R，使不等式f(x−2)−f(x+6)<m成立，求m的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查并集及其运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题．化简集合A，B，进而利用并集的定义即可求得结果．解：因为A={x|−1<x<1},B={x|−3<x<0},所以A∪B={x|−3<x<1}，故选C．2.答案：C解析：本题主要考查复数的模与四则运算，属于一般题．解析：解：设z=a+bi则|a+(b−1)i|=1，则√a2+(b−1)2=1则x，y满足的关系是.x2+(y−1)2=1故选C．3.答案：A解析：本题主要考查诱导公式，二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．利用诱导公式求得sinα，再利用二倍角的余弦公式求得cos2α的值．解：若sin(π+α)=23=−sinα，∴sinα=−23，则cos2α=1−2sin2α=1−2×49=19，故选：A．4.答案：C解析：本题考查等比数列的公比的求法，由已知条件利用等比数列的通项公式推导出q2−q−2=0，由此能求出q=−1或q=2.是基础题．解：∵等比数列{a n}满足2a4=a6−a5，∴2a1q3=a1q5−a1q4，整理，得：q2−q−2=0，解得q=−1或q=2．故选C．5.答案：C解析：本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目．根据已知中的频率分布直方图，先计算出平均一周使用互联网的时间不少于12小时的频率，进而可得使用互联网的时间不少于12小时的频数．解：一周使用互联网的时间不少于12小时的频率为：0.05×4=0.2，故一周使用互联网的时间不少于12小时的频数为：0.2×100=20．故选C．6.答案：B解析：解：∵a=log123<0，b=ln4>1，c=(13)0.2∈(0,1)．∴a<c<b．故选：B．利用指数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.答案：A解析：本题考查了阅读能力、原命题与其逆否命题的真假及充分必要条件，属中档题．先阅读题意，再由原命题与其逆否命题的真假及充分必要条件可得解．解：由已知有”在任意等高处的截面面积都对应相等”是“两个几何体的体积必然相等“的充分不必要条件，结合原命题与其逆否命题的真假可得：“两几何体A 、B 的体积不相等”是“A 、B 在等高处的截面面积不恒相等”的充分不必要条件， 故选：A ．8.答案：C解析：本题考查了平面向量的线性运算，及三点共线的充要条件，属于中档题． 根据向量的加减的几何意义和三点共线即可求出答案．解：∵BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =32BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD⃗⃗⃗⃗⃗ =32CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由向量加法的平行四边形法则可知，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =32CF ⃗⃗⃗⃗⃗ −32BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =λGC ⃗⃗⃗⃗⃗ 得， GC⃗⃗⃗⃗⃗ =11+λAC⃗⃗⃗⃗⃗ =32(1+λ)(BE ⃗⃗⃗⃗⃗ −CF⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴GF ⃗⃗⃗⃗⃗ =GC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF⃗⃗⃗⃗⃗ =32(1+λ)(BE ⃗⃗⃗⃗⃗ −CF ⃗⃗⃗⃗⃗ )+CF⃗⃗⃗⃗⃗ =32(1+λ)BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +2λ−12(1+λ)CF⃗⃗⃗⃗⃗ ， GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =GC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE⃗⃗⃗⃗⃗ =11+λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =32(1+λ)(BE⃗⃗⃗⃗⃗ −CF ⃗⃗⃗⃗⃗ )−12BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−λ−22(1+λ)BE ⃗⃗⃗⃗⃗ −32(1+λ)CF⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由E ，F ，G 三点共线， 可得−λ−22(1+λ)32(1+λ)=−32(1+λ)2λ−12(1+λ)，解得λ=7或−1(舍去)．2故选C．9.答案：D解析：本题主要考查了异面直线所成的角，属于基础题.设各棱长为2，取BB1的中点E，BC的中点F，连结EF，A1E，A1F，则EF//B1C，A1E//DB，则∠A1EF(或其补角)即为异面直线BD与B1C所成的角，计算出对应线段的长，可得结论；解：设各棱长为2，取BB1的中点E，BC的中点F，如图所示：，连结EF，A1E，A1F，则EF//B1C，A1E//DB，则∠A1EF(或其补角)即为异面直线BD与B1C所成的角，B1C=2√2，EF=√2，A1E=√5，AF=√22+(√3)2=√7，1故A1E2+EF2=A1F2，故A1E⊥EF，故异面直线BD与B1C所成的角为90∘．故选D．10.答案：A解析：本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及函数图象变换，同时考查辅助角公式，属于一般题．将f(x)化简，利用平移法则求出变换以后的函数解析式，然后由正弦函数的性质求解即可．解：因为，所以将y=f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)得到函数的图象，再将得到的图象上所有点向右平行移动θ个单位长度，得到函数的图象，又得到的图象关于直线x=3π4对称，所以，即，又θ>0，所以当k=1时，θ的最小值为π6．故选A．11.答案：D解析：本题主要考查双曲线离心率的计算，根据直线和圆相交的弦长公式建立方程关系是解决本题的关键．根据直线和圆相交时的弦长公式结合双曲线离心率的公式进行转化求解即可．解：∵双曲线的一个焦点为F(c,0)，双曲线的一条渐近线为y=bax，即bx−ay=0，∴焦点到渐近线的距离d=√a2+b2=bcc=b，∵|AF|=|BF|=a，∴|AD|=√AF2−DF2=√a2−b2，则|AB|=2|AD|=2√a2−b2=√2a，平方得2(a2−b2)=a2，a2=2b2，即a2=2(c2−a2)则2c2=3a2，所以e2=c2a2=32，所以e=√62．故选D．12.答案：D解析：解：∵点A(a,b)在y=−x2+3lnx 的图象上，点B(m,n)在y=x+2的图象上，又∵(a−m)2+(b−n)2的几何意义是点A(a,b)与点B(m,n)两点间距离的平方；∴(a−m)2+(b−n)2的几何意义是y=−x2+3lnx的图象上的点与y=x+2的图象上的点的距离的平方；∵y=−x2+3lnx，∴y′=−2x+31x =3−2x2x，(x>0)故y max=−32+32ln32<0，故y=−x2+3lnx的图象始终在y=x+2的图象的下方，令y′=−2x+31x=1得，x=1；此时y=−1+0=−1，故切线方程为y=x−2；y=x−2与y=x+2的距离为4√2=2√2；故(a−m)2+(b−n)2的最小值为(2√2)2=8，故选D．(a−m)2+(b−n)2的几何意义是y=−x2+3lnx的图象上的点与y=x+2的图象上的点的距离的平方；从而求导，求出切线，求平行线间的距离即可．本题考查了导数的综合应用及转化的思想应用，属于中档题．13.答案：−1解析：本题主要考查分段函数求值，属于基础题．解：f(−2)=f(0)=f(2)=2×2−5=−1，故答案为−1．14.答案：4解析：本题主要考查抛物线的性质，属于基础题．先求出焦点坐标和对应点的坐标，再求出两点间的距离即可．解：抛物线的焦点坐标为(1,0)，横坐标为3的对应点坐标为(3,±√12)，∴PF=√(3−1)2+(±√12)2=4，故答案为4．15.答案：4√7解析：解：过点B作BD//AC，交AM的延长线于点D，如图所示：则△BDM∽△CAM，可得AM=4MD=8√35，即有AD=2√35+8√35=2√3，由∠ABD=180°−120°=60°，可得AD2=AB2+BD2−2AB⋅BD⋅cos∠ABD=16+BD2−2×4BD×12=12，解得BD=2，由AB2=AD2+BD2，可得∠ADB=90°，∠BAD=30°，在三角形MAB中，可得MB2=AM2+AB2−2AB⋅AM⋅cos∠BAM=19225+16−2×4×8√35×√32=4√75，则BC=5BM=4√7．故答案为：4√7．过点B作BD//AC，交AM的延长线于点D，可得△BDM∽△CAM，求得AD，分别在三角形ABD和三角形ABM中，运用余弦定理可得BM，BC．本题考查三角形的余弦定理的运用，运用三角形的相似和性质是解题的关键，属于中档题．16.答案：4π3解析：本题考查棱锥的外接球，几何体的扩展，确定四棱锥与扩展的长方体的外接球是同一个，以及正方体的体对角线就是球的直径是解好本题的前提．由题意四棱锥P−ABCD，扩展为长方体，长方体的对角线的长就是外接球的直径，求出对角线长，则球的体积可得．解：四棱锥P−ABCD，扩展为长方体，长方体的对角线的长就是外接球的直径，所以R=12√12+12+(√2)2=1，所以球的体积为：4π3×13=4π3．故答案为4π3．17.答案：解：(1)∵a3=4，S4=S2+12，∴a1q2=4，a1q2(q+1)=12，解得a1=1，q=2．(2)由(1)可得：a n=2n−1．∴b n=na n=n⋅2n−1．∴数列{b n}的前n项和T n=1+2×2+3×22+⋯+n⋅2n−1，2T n=2+22+⋯+(n−1)⋅2n−1+n⋅2n，∴−T n=1+2+22+⋯+2n−1−n⋅2n=2n−12−1−n⋅2n，化为：T n=(n−1)⋅2n+1．解析：(1)a3=4，S4=S2+12，可得a1q2=4，a1q2(q+1)=12，解出即可得出．(2)由(1)可得：a n=2n−1.b n=na n=n⋅2n−1.利用错位相减法即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：(Ⅰ)证明：取CE中点P，连接FP、BP，∵F为CD的中点，∴FP//DE，且FP=12DE．又AB//DE，且AB=12DE．∴AB//FP，且AB=FP，∴ABPF为平行四边形，∴AF//BP．又∵AF⊄平面BCE，BP⊂平面BCE，∴AF//平面BCE；(II)解：∵直角梯形ABED的面积为1+22×2=3，C到平面ABED的距离为√32×2=√3，∴四棱锥C−ABED的体积为V=13×3×√3=√3．即多面体ABCDE的体积为√3．解析：(Ⅰ)取CE中点P，连接FP、BP，证明ABPF为平行四边形，可得AF//BP，利用线面平行的判定，可以证明AF//平面BCE；(Ⅱ)求出直角梯形ABED的面积和C到平面ABED的距离，则多面体ABCDE的体积可求．本题考查线面平行，考查几何体体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19.答案：解：(1)由题意知本题是一个古典概型，设抽到相邻两个月的数据为事件A试验发生包含的事件是从6组数据中选取2组数据共有C62=15种情况，每种情况都是等可能出现的其中，满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有5种∴P(A)=P(A)=515=13(2)由数据求得x=11,y=24，由公式求得b=187，再由a=y−b x求得a=−307∴y关于x的线性回归方程为y^=187x−307解析：(1)本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从6组数据中选取2组数据共有C62种情况，满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有5种，根据古典概型的概率公式得到结果．(2)根据所给的数据，求出x，y的平均数，根据求线性回归方程系数的方法，求出系数b，把b和x，y的平均数，代入求a的公式，做出a的值，写出线性回归方程．本题考查线性回归方程的求法，考查等可能事件的概率，考查线性分析的应用，考查解决实际问题的能力，是一个综合题目，这种题目可以作为解答题出现在高考卷中20.答案：解：(1)∵椭圆的离心率为√22，当P为C的上顶点时，△F1PF2的面积为1．由题意得{ca=√22,12×b×2c=1, b2+c2=a2,∴{a=√2 b=1 c=1,故椭圆C的方程为x22+y2=1．(2)设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，线段PQ的中点为N(x0,y0)，设直线PQ的方程为y=k(x−1)，当k=0时，t=0符合题意，当k≠0时，y=k(x−1)代入x22+y2=1，得(1+2k2)x2−4k2x+2k2−2=0．则x1+x2=4k21+2k2，∴x0=x1+x22=2k21+2k2，y0=k(x0−1)=−k1+2k2．即N(2k21+2k2,−k1+2k2).∵|TP|=|TQ|，∴直线TN为线段PQ的垂直平分线，∴TN⊥PQ，则k TN·k PQ=−1．所以−k1+2k22k21+2k2−t×k=−1,t=k21+2k2=12+1k2∈(0,12).综上，t的取值范围为[0,12).解析：本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．(1)利用椭圆的离心率，三角形的面积的值列出方程，解方程即可求出椭圆方程．(2)设直线PQ的方程为y=k(x−1).联立{x22+y2=1 y=kx−k,得(1+2k2)x2−4k2x+2k2−2=0.设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，利用韦达定理求出PQ的中点N(x0,y0)，由|TP|=|TQ|，可得直线TN是线段PQ的垂直平分线，由k TN·k QP=−1，建立关于t的函数即可．21.答案：解：(1)解：f′(x)=(1+x)e x−ae x−1，∴f′(1)=2e−a=e，解得：a=e，故f(x)=xe x−e x，f′(x)=xe x，令f′(x)>0，解得：x>0，令f′(x)<0，解得：x<0，∴f(x)在(−∞,0)递减，在(0,+∞)递增；(2)证明：方程f(x)=kx2−2，即为(x−1)e x−kx2+2=0，设g(x)=(x−1)e x−kx2+2，g′(x)=x(e x−2k)，令g′(x)>0，解得：x>ln(2k)，令g′(x)<0，解得：0<x<ln(2k)，∴g(x)在(0,ln(2k))递减，在(ln(2k),+∞)递增，由k>2，得ln(2k)>ln4>1，∵g(1)=−k+2<0，∴g(ln(2k))<0，不妨设x1<x2，(其中x1，x2为f(x)的两个不相等的正实数根)，∵g(x)在(0,ln(2k))递减，且g(0)=1>0，g(1)=−k+2<0∴0<x1<1，同理根据函数g(x)在(ln(2k),+∞)上递增，且g(ln(2k))<0，得：x2>ln(2k)>ln4，∴|x1−x2|=x2−x1>ln4−1=ln4e，即：|x1−x2|>ln4e．解析：(1)求出函数的导数，根据f′(1)=e，求出a的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(2)问题转化为求函数g(x)=(x−1)e x−kx2+2的单调性，得到x1，x2的范围，从而证出结论．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．22.答案：解：(1)将C的参数方程化为普通方程得(x−1)2+(y−√3)2=4，将代入，并化简得C的极坐标方程为．l2的极坐标方程为θ=α+π3(ρ∈R)．(2)依题意可得，即，，即，，因为0<α<π2，所以π3<α+π3<5π6，当α+π3=π2，即时，|OA|+|OB|取得最大值4√3.解析：本题考查了参数方程化为普通方程、直角坐标方程化为极坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)先将参数方程化为普通方程，再化为极坐标方程可得C的极坐标方程，由旋转的性质可得l2的极坐标方程；(2)利用极坐标的几何意义，得出A，B坐标，利用三角函数求出最值．23.答案：解：(1)当x+1≥0即x≥−1时，x+1≥2x+1，∴−1≤x≤0；当x+1<0即x<−1时，−x−1≥2x+1，∴x<−1，∴不等式的解集为{x|x≤0}；(2)∵f(x−2)=|x−1|，f(x+6)=|x+7|，∴|x−1|−|x+7|<m，∵∃x∈R，使不等式|x−1|−|x+7|<m成立，∴m>(|x−1|−|x+7|)min，∵|x−1|−|x+7|≥|x−1−x−7|=−8，∴m>−8．解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道基础题．(1)通过讨论x的范围，去掉绝对值，求出不等式的解集即可；(2)得到|x−1|−|x+7|<m，问题转化为求m>(|x−1|−|x+7|)min，求出m的范围即可．。
2020年广东省深圳市高考数学二模试卷(文科)(有答案解析)
2020年广东省深圳市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合，，则A. B. C. D.2.棣莫弗公式为虚数单位是由法国数学家棣莫弗发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知点和在直线的两侧，则a的取值范围是A. 或B. 或C. D.4.已知是上的减函数，那么实数a的取值范围是A. B. C. D.5.组别频数1213241516137则样本数据落在上的频率为A. B. C. D.6.如图，在中，，，，则的值为A. B. C. D.7.等于A. B. C. D.8.已知抛物线，过点作倾斜角为的直线l，若l与抛物线交于B、C两点，弦BC的中垂线交x轴于点P，则线段AP的长为A. B. C. D.9.如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，现有下列结论：截面PQMN异面直线PM与BD所成的角为其中所有正确结论的编号是A.B.C.D.10.已知函数的最小正周期是，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则下列结论正确的是A. 函数的图象关于直线对称B. 函数的图象关于点对称C. 函数在区间上单调递减D. 函数在上有3个零点11.已知函数是R上的奇函数，函数是R上的偶函数，且，当时，，则的值为A. B. C. D.12.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，点P是双曲线在第一象限内的点，直线PO，分别交双曲线C的左、右支于另一点M，N，若，且，则双曲线的离心率为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知x轴为曲线的切线，则a的值为______．14.已知为数列的前n项和，若，则______．15.在中，若，则的值为______．16.已知球O的半径为r，则它的外切圆锥体积的最小值为______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列的首项，，，2，求证数列为等比数列；求数列的前n项和．18.随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润万元，未售出的商品，每1吨亏损万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品．现以单位：吨，表示下一个销售季度的市场需求量，单位：万元表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．将T表示为x的函数，求出该函数表达式；根据直方图估计利润T不少于57万元的概率；根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量x的平均数与中位数的大小保留到小数点后一位．19.如图所示，四棱锥中，平面ABCD，，，，M为SB的中点．求证：平面SCD；求点B到平面SCD的距离．20.已知椭圆，、分别是椭圆C的左、右焦点，M为椭圆上的动点．求的最大值，并证明你的结论；若A、B分别是椭圆C长轴的左、右端点，设直线AM的斜率为k，且，求直线BM的斜率的取值范围．21.已知函数为自然对数的底数，其中．在区间上，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．若函数的两个极值点为，，证明：．22.在平面直角坐标系xOy中，直线：为参数，，曲线：为参数，与相切于点A，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．求的极坐标方程及点A的极坐标；已知直线：与圆：交于B，C两点，记的面积为，的面积为，求的值．23.已知．当时，解不等式；若存在实数，使得关于x的不等式有实数解，求实数m 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：集合，，，．故选：C．求函数的定义域得集合B，再根据补集与交集的定义运算即可．本题考查了求函数的定义域和集合的运算问题，是基础题．2.答案：C解析：解：由，得，复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第三象限．故选：C．由题意可得，再由三角函数的符号得答案．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查三角函数值的符号，是基础题．3.答案：C解析：解：点与，在直线的两侧，两点对应式子的符号相反，即，即，解得，故选：C．根据二元一次不等式组表示平面区域，以及两点在直线两侧，建立不等式即可求解．题主要考查二元一次不等式表示平面区域，利用两点在直线的两侧得对应式子符号相反是解决本题的关键．4.答案：C解析：解：是上的减函数，满足，即，解得，故选：C．根据分段函数单调性的性质，列出不等式组，求解即可得到结论．本题主要考查函数的单调性的应用，根据复合函数单调性的性质是解决本题的关键．5.答案：B解析：解：由频率分布表知，样本数据落在上的频率为：．故选：B．由频率分布表计算样本数据落在上的频率值．本题考查了利用频率分布表计算样本数据的频率问题，是基础题．6.答案：D解析：解：在中，，故选：D．将转化成，化简后得，然后转化成，再进行化简可得结论．本题主要考查了向量在几何中的应用，以及平面向量数量积的运算，同时考查了转化的思想，属于中档题．7.答案：B解析：解：原式．通过两角和公式化简，转化成特殊角得出结果．本题主要考查了正弦函数的两角和与差．要熟练掌握三角函数中的两角和公式．8.答案：A解析：解：由题意，直线l方程为：，代入抛物线整理得：，，设、，，弦BC的中点坐标为，弦BC的中垂线的方程为，令，可得，，，．故选：A．先表示出直线方程，代入抛物线方程可得方程，利用韦达定理，可求弦BC的中点坐标，求出弦BC的中垂线的方程，可得P的坐标，即可得出结论．本题以抛物线为载体，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，解题的关键是联立方程，利用韦达定理．9.答案：B解析：解：在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，由，可得：截面PQMN．由，，，．，，，，可得：，AC与BD不一定相等．，PM与QM所成的角为，异面直线PM与BD所成的角为．其中所有正确结论的编号是．故选：B．在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，由，可得：截面由，，，可得进而判断出结论．本题考查了正方形的性质、空间位置关系、空间角、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解析：解：函数的最小正周期是，，解得．，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，，可得，，，取，可得．，验证：，，因此AB不正确．若，则，因此函数在区间上单调递减，正确．若，则，因此函数在区间上只有两个零点，不正确．故选：C．函数的最小正周期是，，解得，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，，可得，可得，利用三角函数的图象与性质即可判断出结论．本题考查了三角函数的图象与性质、方程的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.答案：D解析：解：由题意可得：因为函数是R上的奇函数，并且，所以，即．又因为函数是R上的偶函数，所以，所以，所以，所以，所以函数是周期函数，并且周期为8．所以．故选：D．根据函数是R上的奇函数，并且，得到结合是R上的偶函数，得到，进而推出函数的周期为8，再结合函数的奇偶性与解析式可得答案．解决此类问题的关键是熟练掌握函数的有关性质，即奇偶性，单调性，周期性等性质．解析：【分析】由题意，，，可得，，由，可得，由余弦定理可得，即可求出双曲线C的离心率．本题考查双曲线C的离心率，注意运用双曲线的定义和三角形的余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．【解答】解：由题意，，由双曲线的定义可得，，可得，由四边形为平行四边形，又，可得，在三角形中，由余弦定理可得，即有，即，可得，即．故选：B．13.答案：解析：解：由，得，轴为曲线的切线，的切线方程为，设切点为，则，又，由，得，，的值为．故答案为：．先对求导，然后设切点为，由切线斜率和切点在曲线上得到关于和a的方程，再求出a的值．本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了方程思想，属基础题．14.答案：32解析：解：因为为数列的前n项和，若，则；则，得：数列是首项为2，公比为2的等比数列；故；．故答案为：32．根据数列的递推关系，求出数列的通项公式，然后即可求解结论．本题主要考查利用数列的递推关系求解通项公式，属于基础题目．15.答案：解析：解：在中，若，则，故答案为．在中，若，利用诱导公式、二倍角公式把要求的式子化为，运算求得结果．本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．16.答案：解析：解：作出截面图如图，设圆锥的高为h，圆锥的底面半径为R，，，又，∽，，即，．圆锥体积，．令，得．．故答案为：．由题意画出截面图，设圆锥的高为h，圆锥的底面半径为R，利用三角形相似可得R，h，r的关系，写出圆锥的体积公式，再由导数求最值．本题考查球外接圆锥体积最值的求法，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用导数求最值，是中档题．17.答案：证明：，，，又，．数列为等比数列；解：由可得：，化为，．设，，，，数列的前n项和．解析：由，变形为，可得，即可证明；由可得：，设，利用“错位相减法”可得，即可得出数列的前n项和．本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．18.答案：解：当时，；分当时，，分所以，分根据频率分布直方图及Ⅰ知，当时，由，得，分当时，由，分所以，利润T不少于57万元当且仅当，于是由频率分布直方图可知市场需求量的频率为，所以下一个销售季度内的利润T不少于57万元的概率的估计值为；分估计一个销售季度内市场需求量x的平均数为吨；分由频率分布直方图易知，由于时，对应的频率为，而时，对应的频率为，分因此一个销售季度内市场需求量x的中位数应属于区间，于是估计中位数应为吨分解析：计算和时T的值，用分段函数表示T的解析式；计算利润T不少于57万元时x的取值范围，求出对应的频率值即可；利用每一小组底边的中点乘以对应的频率求和得出平均数，根据中位数两边频率相等求出中位数的大小．本题考查了分段函数以及频率、平均数和中位数的计算问题，是基础题目．19.答案：解：取SC的中点N，连结MN和DN，为SB的中点，，且，，，，，且，平行且等于MN，四边形AMND是平行四边形，，平面SCD，平面SCD，平面SCD．，M为SB中点，，平面ABCD，，，，平面SAB，，平面SBC，由可知，平面SBC，平面SCD，平面平面SBC，作交SC于E，则平面SCD，在直角三角形SBC中，，，即点B到平面SCD的距离为．解析：取SC的中点N，连结MN和DN，可证明得到四边形AMND是平行四边形，进而平面SCD；先证明得到平面SBC，进而得到平面平面SBC，作交SC于E，则平面SCD，在直角三角形中利用等面积法即可求出距离本题考查线面平行的证明，考查求点到平面距离，数形结合思想，转化思想，等面积法，属于中档题20.答案：解：由椭圆的定义可知：，在中，由余弦定理可得：，，的最大值为，此时，即点M为椭圆C的上、下顶点时取最大值，其最大值为；设直线BM的斜率为，，则，，，又，，，，，故直线BM的斜率的取值范围为解析：由题意可知，在中，利用余弦定理可得：，再利用基本不等式得到，当且仅当时等号成立，再结合以及余弦函数的图象，即可得到的最大值；设直线BM的斜率为，，则，再根据k的范围即可得到的范围．本题主要考查了椭圆的定义，考查了余弦定理和基本不等式的应用，是中档题．21.答案：解：由条件可知，函数在上有意义，，，令可得，，，时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，由，可得，当时，，当时，，因为，所以，又函数在上单调递减且，所以在上有最小值，由可知时，存在两个极值点为，，故，是的根，所以，且，因为，同理，，，，又，由知，，设，，令，，则，所以在上单调递增，，即，令则从而．解析：先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可求函数的单调性，进而可求最值；由极值存在的条件及方程的根与系数关系，把不等式的左面式子进行变形后构造函数，结合导数研究新函数的范围可证．本题主要考查了导数与函数性质的综合应用，还考查了考生的逻辑推理与运算的能力，属于中档题．22.答案：解：曲线：为参数，转换为直角坐标方程为．将代入得到．直线：为参数，，转换为极坐标方程为．将代入得到，由于，解得，故此时，所以点A的极坐标为由于圆：，转换为直角坐标方程为．所以圆心坐标为设，，将代入，得到，所以，．由于，．所以．解析：直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换求出结果．利用三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：当时，即解不等式，当时，原不等式等价为，所以，则原不等式的解集为；当时，原不等式等价为，解得，综上可得原不等式的解集为；，显然等号可取，由，故原问题等价为关于a的不等式在有解，又因为，当且仅当取得等号，即，即m的范围是．解析：由绝对值的定义，讨论，，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；运用绝对值不等式的性质可得的最小值，由题意可得m大于这个最小值，解不等式可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法，以及不等式有解的条件，考查分类讨论思想和转化思想，以及运算能力、推理能力，属于中档题．。
2020年广东省广州市高考数学二模试卷(文科) (含答案解析)
2020年广东省广州市高考数学二模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|−1≤x ≤1}，B ={x|x 2−2x ≤0}，则A ∩B =( )A. [0,1]B. [−1,2]C. [−1,0]D. (−∞,1]∪[2,+∞)2. 已知i 为虚数单位，若z ·(1+i)=2i ，则|z|=( )A. 2B. √2C. 1D. √223. 已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点A (2sinα,3)，则cosα=( )A. 12B. −12C. √32 D. −√324. 若x,y 满足约束条件{−3≤x −y ≤1,−9≤3x +y ≤3,则z =x +y 的最小值为( )A. 1B. −3C. −5D. −65. 已知函数f(x)=x 3+x +1(x ∈R)，若f(a)=2，则f(−a)的值为( )A. 3B. 0C. −1D. −26. 设函数f(x)=sin(2x −π4)，则下列结论正确的是( )A. 函数y =f(x)的递减区间为[−π8,3π8]B. 函数y =f(x)的图象可由y =sin2x 的图象向左平移π8得到 C. 函数y =f(x)的图象的一条对称轴方程为x =π8D. 若x ∈[7π24,π2]，则y =f(x)的取值范围是[√22,1]． 7. 《周髀算经》中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”.我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想．现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为r ，正方形的边长为a(0<a <r)，若在圆内随机取点，得到点自阴影部分的概率是p ，则圆周率π的值为( )A. a 2(1−p)r 2B. a 2(1+p)r 2C. a(1−p)rD. a(1+p)r8. 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，E 是棱AB 的中点，动点F 是侧面ACC 1A 1(包括边界)上一点，若EF//平面BCC 1B 1，则动点F 的轨迹是( )A. 线段B. 圆弧C. 椭圆的一部分D. 抛物线的一部分9. 不等式log 2(x −1)<−1的解集是( )A. {x|x >1}B. {x|x <32}C. {x|1<x <32}D. {x|0<x <32}10. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c =√3+1,b =2,A =π3，则B =( )A. 3π4B. π6C. π4D. π4或3π411. 函数f(x)=x 2−7x −4lnx 的最小值为( )A. 3ln3−12B. −4ln2−10C. −8ln2−12D. −8ln2−1612. 已知双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，过F 作双曲线C 渐近线的垂线，垂足为A ，且交y 轴于B ，若BA⃗⃗⃗⃗⃗ =3AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线的离心率为( ) A. √63B. √32C. 2√33D. √62二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(1,1)，b ⃗ =(−1,0)，若向量k a ⃗ +b 与向量c ⃗ =(2,1)共线，则实数k 等于________． 14. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 1=1，S 3=3，则S n =______；15. 斜率为√33的直线l 过抛物线y 2=2px(p >0)的焦点，若直线l 与圆(x −2)2+y 2=4相切，则p =________．16. 正四棱锥P −ABCD 的底面边长为2，侧棱长为2√2，过点A 作一个与侧棱PC 垂直的平面α，则平面α被此正四棱锥所截的截面面积为________，平面α将此正四棱锥分成的两部分体积的比值为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=2，a n+1=2+S n (n ∈N ∗).(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设b n =na n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．18.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AC=AB1，B1C∩BC1=O．(1)求证：B1C⊥AB；(2)若∠CBB1=60°，AC=BC，三棱锥A−BB1C的体积为1，且点A在侧面BB1C1C上的投影为点O，求三棱锥A−BB1C的表面积．19.全民健身旨在全面提高国民体质和健康水平，倡导全民做到每天参加一次以上的健身活动，学会两种以上健身方法，每年进行一次体质测定．为响应全民健身号召，某单位在职工体测后就某项健康指数(百分制)随机抽取了30名职工的体测数据作为样本进行调查，具体数据如茎叶图所示，其中有1名女职工的健康指数的数据模糊不清(用x表示)，已知这30名职工的健康指数的平均数为76.2．(1)根据茎叶图，求样本中男职工健康指数的众数和中位数；(2)根据茎叶图，按男女用分层抽样从这30名职工中随机抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求抽取的2人都是男职工的概率；(3)经计算，样本中男职工健康指数的平均数为81，女职工现有数据(即剔除x)健康指数的平均数为69，方差为190，求样本中所有女职工的健康指数的平均数和方差(结果精确到0.1)．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(2,0)，且离心率为12．(1)求椭圆C的方程；(2)若斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过点(18,0)，求k的取值范围．21.已知函数f(x)=lnx−sinx，记f(x)的导函数为fˈ(x)．−f′(x)是(0,+∞)上的单调递增函数，求实数a的取值范围；(1)若ℎ(x)=ax+1x(2)若x∈(0,2π)，试判断函数f(x)的极值点个数，并说明理由．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=cosα,(α为参数).以坐标原点O为极点，y=2+sinαx轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2=4．1+3sin2θ(1)写出曲线C1和C2的直角坐标方程；(2)已知P为曲线C2上的动点，过点P作曲线C1的切线，切点为A，求|PA|的最大值．23.已知函数f(x)=x2−x+1，且a，b，c∈R．(Ⅰ)若a+b+c=1，求f(a)+f(b)+f(c)的最小值；(Ⅱ)若|x−a|<1，求证：|f(x)−f(a)|<2(|a|+1)．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：B={x|x2−2x≤0}={x|0≤x≤2}，则A∩B={x|0≤x≤1}=[0,1]，故选：A求出集合B，根据交集定义进行求解．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.答案：B解析：本题考查复数的模的求法，考查计算能力，是基础题．直接利用复数的模的运算法则化简求解即可．解：i为虚数单位，复数z满足z·(1+i)=2i，∴|z|=|2i||i+1|=√2=√2，故选B．3.答案：A解析：本题考查任意角的三角函数的定义，利用任意角的定义是解题的关键，属于基础题．根据题意任意角三角函数的定义即可求出．解：由三角函数定义得tanα=32sinα，即sinαcosα=32sinα，得3cosα=2sin2α=2(1−cos2α)，解得cosα=12或cosα=−2(舍去)．4.答案：C解析：【试题解析】解：作出x ，y 满足约束条件{−3≤x −y ≤1−9≤3x +y ≤3，表示的平面区域，如图所示的阴影部分：由z =x +y 可得y =−x +z ，则z 表示直线y =−x +z 在y 轴上的截距，截距越小，z 越小，由题意可得，{1=x −y−9=3x +y ，解得A(−2,−3)，当y =−x +z 经过点A 时，z 最小， 由A(−2,−3)，此时z =x +y =−5． 故选：C ．作出不等式组表示的平面区域，由z =x +y 可得y =−x +z ，则z 表示直线y =−x +z 在y 轴上的截距，截距越小，z 越小，结合图象可求z 的最小值．本题主要考查了线性目标函数在线性约束条件下的最值的求解，解题的关键是明确z 的几何意义．5.答案：B解析：解：∵f(a)=2∴f(a)=a 3+a +1=2，a 3+a =1，则f(−a)=(−a)3+(−a)+1=−(a 3+a)+1=−1+1=0． 故选：B ．把α和−α分别代入函数式，可得出答案． 本题主要考查函数奇偶性的运用．属基础题．6.答案：D解析：解：对于函数f(x)=sin(2x −π4)， 令2kπ+π2≤2x −π4≤2kπ+3π2(k ∈Z)，解得kπ+3π8≤x ≤kπ+7π8(k ∈Z)，所以函数y =f(x)的递减区间为[kπ+3π8,kπ+7π8](k ∈Z)，故选项A 错误；由于sin(2x −π4)=sin[2(x −π8)]，所以函数y =f(x)的图象是由y =sin2x 的图象向右平移π8得到的，故选项B 错误；。
2020年广东省梅州市高考数学二模试卷(文科) (含解析)
2020年广东省梅州市高考数学二模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数2i1+i的共轭复数是()A. −1−iB. −1+iC. 1−iD. 1+i2.设集合M={0,1，2}，N={x∈N|x−1≥0}，则M∩N=()A. {1}B. {2}C. {0,1}D. {1,2}3.设向量a⃗=(2,1),b⃗ =(0,−2)，则与a⃗+2b⃗ 垂直的向量可以是()A. (4,−6)B. (3,−2)C. (4,6)D. (3,2)4.已知命题p：∃x∈R，sinx≤1，则￢p为()A. ∃x∈R，sinx≥1B. ∀x∈R，sinx≥1C. ∀x∈R，sinx>1D. ∃x∈R，sinx>15.从3男1女4位同学中选派2位同学参加某演讲比赛，那么选派的都是男生的概率是()A. 34B. 14C. 23D. 126.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=√3x，它的一个焦点坐标为(2,0)，则双曲线的方程为()A. x22−y26=1 B. x26−y22=1 C. x2−y23=1 D. x23−y2=17.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. 2πB. 5π2C. 3πD. 7π28.已知sin(π2+α)=35，则cos2α等于()A. 925B. −925C. 725D. −7259.若1b <1a<0，则下列不等式不成立的是()A. 1a−b >1aB. a<bC. |a|>|b|D. a2>b210.已知抛物线方程为y2=4x，直线l的方程为x−y+4=0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，点P到直线l的距离为d2，则d1+d2的最小值为()A. 5√22B. 5√22+1 C. 5√22−2 D. 5√22−111.祖暅是南北朝时代的伟大科学家，五世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体；图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则由祖暅原理可推导出体积相等的两个几何体为()A. ①④B. ①③C. ③④D. ②④12.已知函数f(x)，若在其定义域内存在实数x满足f(−x)=−f(x)，则称函数f(x)为“局部奇函数”，若函数f(x)=4x−m·2x−3是定义在R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是()A. [−√3,3]B. [−2,+∞)C. (−∞,2√2]D. [−2√2,√3]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.书架上有3本数学书，2本物理书，从中任意取出2本，则取出的两本书都是数学书的概率为．14..已知函数f(x)=lnx+4x，则曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为________．15.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y=e kx+b(e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是小时．16.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cos C=−14，3sin A=2sin B，则c=________．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17.已知{a n}为等差数列，且a1+a3=8，a2+a4=12．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记的{a n}前n项和为S n，若a1，a k，S k+2成等比数列，求正整数k的值．18.如图所示，已知长方形ABCD，AD=2CD=4，M、N分别为AD、BC的中点，将长方形ABCD沿MN折到MNFE位置，且使平面MNFE⊥平面ABCD．(1)求证：直线CM⊥面DFN；(2)求点C到平面FDM的距离．19.城市发展面临生活垃圾产生量逐年剧增的困扰，为了建设宜居城市，2019年1月，某市制定《生活垃圾分类和减量工作方案》，到2022年，生活垃圾无害化处理率达到100%.图是该市2013--2018年生活垃圾年产生量(单位：万吨)的柱状图；表是2018年年初与年末对该市四个社区各随机抽取1000人调查参与垃圾分类人数的统计表：2018年初2018年末社区A539568社区B543585社区C568600社区D496513注1：年份代码t：1～6分别对应年份2013--2018．注2：参与度参与度的年增加值=年末参与度−年初参与度(1)由图可看出，该市年垃圾生产量y与年份代码t之间具有较强的线性相关关系，运用最小二乘法可得回归直线方程为ŷ=14.8t+â，预测2022年该年生活垃圾的产生量；(2)已知2018年该市生活垃圾无害化年处理量为120万吨，且全市参与度每提高一个百分点，都可使该市的生活垃圾无害化处理量增加6万吨，用样本估计总体的思想解决以下问题：①由表的数据估计2018年该市参与度的年增加值，假设2019年该市参与度的年增加值与2018年大致相同，预测2019年全市生活垃圾无害化处理量；②在2019年的基础上，若2020年至2022年的参与度逐年增加5个百分点，则到2022年该市能否实现生活垃圾无害化处理率达到100%的目标？20. 已知两动圆F 1：(x +√3)2+y 2=r 2和F 2：(x −√3)2+y 2=(4−r)2(0<r <4)，把它们的公共点的轨迹记为曲线C ，若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，且曲线C 上的相异两点A 、B 满足：MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0．(1)求曲线C 的方程；(2)若A 的坐标为(−2,0)，求直线AB 和y 轴的交点N 的坐标；(3)证明直线AB 恒经过一定点，并求此定点的坐标．21. 已知函数f(x)=(x −1)2e x −ax ．(1)若x =1是函数f(x)的极值点，求实数a 的值，并求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)有两个零点，求实数a 的取值范围．22. 极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的非负半轴，两种坐标系中的长度单位相同；已知曲线C 的极坐标方程为ρ=2(cosθ+sinθ)，直线l 过点M(0,1)，且直线l 的参数方程为{x =12t y =1+√32t(t 为参数)． (1)求C 的直角坐标方程；(2)直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求|MA|+|MB|．23. 已知函数f(x)=|x +4|−|x −1|．(1)求不等式f(x)>3的解集；(2)若不等式f(x)+1≤4a −5×2a 有解，求实数a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：2i1+i =2i(1−i)(1−i)(1+i)=1+i，其共轭复数为1−i．故选：C．直接由复数代数形式的乘除运算化简复数2i1+i，则其共轭复数可求．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2.答案：D解析：解：集合M={0,1，2}，N={x∈N|x−1≥0}={x∈N|x≥1}，则M∩N={1,2}，故选：D．求出集合N，然后求解M∩N．本题考查集合的求法，交集的运算，考查计算能力．3.答案：D解析：解：∵向量a⃗=(2,1),b⃗ =(0,−2)，∴a⃗+2b⃗ =(2,−3)，在A中，(2,−3)⋅(4,−6)=26，故A错误；在B中，(2,−3)⋅(3,−2)=12，故B错误；在C中，(2,−3)⋅(4,6)=−10，故C错误；在D中，(2,−3)⋅(3,2)=0，故D正确．故选：D．推导出a⃗+2b⃗ =(2,−3)，由此利用向量垂直的性质能求出结果．本题考查与已知向量垂直的向量的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量的坐标运算法则、向量垂直的性质的合理运用．4.答案：C解析：本题考查特称命题的否定，属于基础题.由特称命题的否定是全称命题求解即可．解：命题p：∃x∈R，sinx≤1，则￢p为∀x∈R，sinx>1，故ABD错误，C正确．故选C．5.答案：D解析：本题考查等可能事件的概率，解题的关键是求出所有的基本事件数与所研究的事件“选派的都是男生”包含的基本事件数，正确理解题意，找出计数方法很关键．先求出四位同学中先两位参加比赛的方法种数，再计算出只有男生参加的方法种数，由公式计算出概率，选出正确选项．解：由题意3男1女4位同学中选派2位同学参加某演讲比赛，总的选法有C42=6种，两位选手都是男生的选法种数是C32=3种，故从3男1女4位同学中选派2位同学参加某演讲比赛，那么选派的都是男生的概率是36=12，故选D．6.答案：C解析：解：双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=√3x，可得ba=√3，它的一个焦点坐标为(2,0)，可得c=2，即a2+b2=4，解得a=1，b=√3，所求双曲线方程为：x2−y23=1．故选：C．直接利用双曲线的渐近线方程以及焦点坐标，得到关系式，求出a、b，即可得到双曲线方程．本题考查双曲线的方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．7.答案：C解析：解：由题意可知几何体的直观图如图：所以几何体的体积为：34×12×π×4=3π．故选：C．画出三视图对应的几何体的直观图，利用三视图的数据求解即可．本题考查三视图求解几何体的体积，考查计算能力．8.答案：D解析：解：∵sin(π2+α)=cosα=35，∴cos2α=2cos2α−1=2×925−1=−725．故选：D．由诱导公式及已知可求cosα，利用二倍角的余弦函数公式即可求值．本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式的应用，属于基础题．9.答案：A解析：本题主要考查了不等关系、不等式的性质以及利用性质比较大小，属于基础题．解题的关键由1b <1a<0，得a<b<0，进而判断B，C，D的正确性，再利用作差法判断出A不正确，也可以利用特值法判断四个答案的正确性．解：通解：由1b <1a<0，得a<b<0，所以可得|a|>|b|，a2>b2，B，C，D中不等式成立.对于A，1 a−b −1a=ba(a−b)<0，所以1a−b<1a，A中不等式不成立.故选A．秒杀法：取b=−2，a=−3，满足1b <1a<0，逐一代入A，B，C，D四个选项，可知A中不等式不成立.故选A．。