含定性变量的回归模型

含定性变量的回归模型

一、自变量中含有定性变量的回归模型

在回归分析中，对一些自变量是定性变量的情形先量化处理，引入只取0和1 两个值的虚拟自变量。例如，在研究粮食产量问题，需考虑正常年份和干旱年份，对这个问题就可以引入虚拟变量D ，令D=1表示正常年份，D=0表示干旱年份。当在某些场合定性自变量可能取多类值时，例如考虑销售量的季节性影响，季节因素分为春、夏、秋、冬4种情况。为了用定性自变量反映四个季度，可以引入自变量⎩⎨

⎧==，其他

，春季0111x x ，⎩⎨

⎧==，其他

，夏季0122x x ，⎩⎨

⎧==，其他

，秋季0133x x ，⎩⎨

⎧==，其他

，冬季0144x x ，如

果这样引入会出现一个问题，即自变量4321,,,x x x x 之和恒等于1，构成了完全多重共线性。所以，一个定性变量有k 类可能的取值时，只需要引入k-1个0-1型自变量。所以在分析季节因素的时候，引入3个0-1自变量即可。

例1 某经济学家想调查文化程度对家庭储蓄的影响，在一个中等收入的样本框中，随机调查了13户高学历家庭与14户中低学历的家庭，因变量y 为上一年家庭储蓄增加额，自变量x1为上一年家庭总收入，自变量x2表示家庭学历，高学

建立y 对x1,x2的线性回归模型，回归方程为：y

ˆ=-7976+3826x1-3700x2 这个结果表明，中等收入的家庭每增加1万元收入，平均拿出3826元作为储蓄。高学历家庭每年的平均储蓄额少于低学历的家庭，平均少3700元。 如果不引入家庭学历定性变量x2，仅用y 对家庭年收入x1做一元线性回归，得判定系数R^2=0.618，拟合效果不好。

家庭年收入x1是连续型变量，它对回归的贡献也是不可缺少的。如果不考虑家庭年收入这个自变量，13户高学历家庭的平均年储蓄增加额为3009.31元，14户低学历家庭的平均年储蓄增加额为5059.36元，这样会认为高学历家庭每年的储蓄额比低学历的家庭平均少5059.36-3009.31=2050.05元，而用回归法算

出的数值是3824元，两者并不相等。

用回归法算出的高学历家庭每年的平均储蓄额比低学历的家庭平均少3824元，这是在假设两者的家庭年收入相等的基础上的储蓄差值，或者说是消除了家庭年收入的影响后的差值，因而反映了两者储蓄额的真实差异。而直接由样本计算的差值2050.05元是包含有家庭年收入影响在内的差值，是虚假的差值。所调查的13户高学历家庭的平均年收入额为3.8385万元，14户低学历家庭的平均年收入额为3.4071万元，两者并不相等。

需要指出的是，虽然虚拟变量取某一数值，但这一数值没有任何数量大小的意义，它仅仅用来说明观察单位的性质或属性。 二、单因素方差模型

推断统计中的单因素方差分析、无交互作用的双因素方差分析和有交互作用的双因素方差分析模型，都可以转化为0-1型自变量的回归分析模型。下面以单因素方差为例。下面给出的先是单因素方差分析的结果。

单因素方差分析：行业因素是否影响投诉次数

零售业 旅游业 航空公司 家电制造业

57 68 31 44 66 39 49 51 49 29 21 65 40 45 34 77 34 56 40 58 53 51 44

方差分析：单因素方差分析

SUMMARY

组 观测数 求和 平均 方差 零售业 7 343 49 116.6667 旅游业 6 288 48 184.8 航空公司 5 175 35 108.5 家电制造业 5 295 59

162.5

方差分析

差异源 SS df MS F P-value F crit 组间 1456.609 3 485.536232 3.406643 0.038765 3.12735 组内 2708 19 142.526316 总计 4164.609 22

将上面的单因素方差分析转化为0-1型自变量的回归分析模型。

设ij y ),,2,1(j n i =是正态总体),(2σμj N ),,2,1(c j =的样本，原假设为

c H μμμ=== 210:，记j

ij ij y μ

ε-=，则有),0(~2σεN ij ，进而有ij j ij y εμ+=，

)

,,2,1(j n i =，),,2,1(c j =，

记∑==c

j j

c

1

1

μμ，μ

μ-=j j

a ，则有ij j ij a y εμ++=，

引入0-1型自变量ij x ，将上式表示为ij ic c i i ij x a x a x a y εμ++++= 2211，其中

⎩⎨

⎧≠===1,01,111j x j x i i 当当，⎩⎨⎧≠===2,02,122j x j x i i 当当……. ⎩⎨⎧≠===c j x c j x ic

ic 当当,0,1，即为多元线性回归模型。但其中存在一个问题，就是c 个自变量之和恒等于1，存在完全的多重共线性。为此需要删除ic x 建立回归模型ij ic c i i ij x a x a x a y εμ++++=--112211 即可。这个回归方程的显著性检验的原假设为：0:1210====-c a a a H ，由μμ-=j j a 可知。方差分析的原假设和回归方程的假设是等价的。作回归方程的F 检验与单因

素方差分析的F 检验是等价的。下面将刚才的例子转化为0-1型自变量的回归分析模型。将例子的数据整理如下。

投诉次数(y ) 行业 x1

x2 x3 57 零售业 1 0 0 66 零售业 1 0 0 49 零售业 1 0 0 40 零售业 1 0 0 34 零售业 1 0 0 53 零售业 1 0 0 44 零售业 1 0 0 68 旅游业 0 1 0 39 旅游业 0 1 0 29 旅游业 0 1 0 45 旅游业 0 1 0 56 旅游业 0 1 0 51 旅游业 0 1 0 31 航空公司 0 0 1 49 航空公司 0 0 1 21 航空公司 0 0 1 34 航空公司 0 0 1 40 航空公司 0 0 1 44 家电制造业 0 0 0 51 家电制造业 0 0 0 65 家电制造业 0 0 0 77 家电制造业 0 0 0 58 家电制造业 0

对上面数据进行回归分析，得到结果如下所示。