第七章 紊动扩散

（5）分子扩散系数 Dm 是由物质特性所决定的。 紊动扩散系数 Dt 则和流场特性密切相关。
（6）以上分析是以一维紊动扩散为例，所得结论可推广至二 维、三维问题。 3 举例 （P.119例4-1) 根据实测资料对紊动扩散系数、长度比尺和时间比尺计算。
7.2 紊动扩散的Euler方法
研究流场中扩散质的浓度分布，即求解浓度场。 1 紊流扩散方程 根据层流运动的移流扩散方程 考虑紊流脉动
M y 2U z 2U c ( x, y , z ) exp( ) 4 xDy 4 xDz 4x D y Dz M U ( y2 z2 ) exp[ ] 4Dx 4 xD


代入：
x 1200m,
2
y 0, z 50m

D 4m / s, M 250g / s, U 5m / s
Y22 (t ) 2 2 2 2 Dt v2 TL v2 v2 RL ( )d v2 L 0 2t
（3）拉格朗日扩散长度比尺
L v
2 2


0
RL ( )d
是流速尺度与时间尺度的乘积，是旋涡尺度的量度。 说明当扩散时间较长时，Dt 与 L 成比例。 所以可认为紊动扩散系数主要取决于大尺度的旋涡运动。
80 86
o
450
x
求浓度分布的形心 M 1 (cyy) 120 3 0.13 0
M0
(cy)
958 3
实测形心基本在河中心
求浓度分布的方差
2 ( cy y ) M 2 2 2 2 144.8 M0 (cy)
t x / v 450 / 0.3 1500
i j, Dij 0
（3）紊流扩散方程的简化： 紊动尺度远大于分子运动尺度，可忽略分子扩散项； 一般流场中无扩散质的发生与衰减； 不可压缩流体； 各向同性紊流。
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c c c ui Dt t xi xi xi
2
(4.55)
2 均匀紊流中的扩散求解 均匀紊流： 方程 建立动坐标 方程变为
（4）结论：在 t TL 的扩散后期，恒定均匀紊流的流速场 是接近正态分布的，质点位移亦是正态分布的。质点紊动运动 已成为随机运动，紊动扩散和分子扩散遵循相同的规律。扩散 质的浓度场满足分子扩散形式的方程： 2
c c Dt t x 2
不同的是以紊动扩散系数 Dt 代替分子扩散系数 Dm
c (cui ) c Dm Fc t xi xi xi
2
c c c
ui ui ui
2
代入后，对各项求时均，化简整理得
c (cui ) c (cui) Dm Fc t xi xi xi xi
时均运动产生 的移流扩散 脉动引起的 紊动扩散
2 2
（1）扩散张量 Dij 紊动扩散系数一般是随空间变化的， 实际上存在三个方向的扩散系数，记作 D11 D22 D33 Dx Dy Dz 在各向同性紊流中： D11 D22 D33 Dt （2）关于紊动扩散系数的雷诺比拟（Reynolds analogy)： 动量的扩散和热量、浓度等扩散之间存在比拟关系， 其紊动扩散系数相等。
2 2
M ( x1 Ut ) x2 c( x1 , x2 , t ) exp[ ] 4 D11t 4 D22t 4t D11 D22
c( x1 , x2 , x3 , t ) M (4t )
3 2
x32 ( x1 Ut) x2 exp[ ] 4 D11t 4 D22t 4 D33t D11 D22 D33
例4
z o
y x U=5m/s
50m
1200m
烟囱恒定排放废气中固体颗粒含量250g/s。忽略微粒降落 速度，完全被大气流动携带。微粒接触地面后被吸收（不 考虑反射）。求下游1200m处地面上单位面积的集尘器内 每小时收集的微粒。紊动扩散系数 D D 4m2 / s
y z
时间连续点源的三维扩散，
u1 U
u 2 u3 0
c c 2 c U Dii t x1 xi xi x1 Ut x1 c 2 c Dii t xixi
可应用静止流体中的分子扩散解。
（1）瞬时源在均匀紊流中的扩散解
c( x1 , t )
M ( x1 Ut) 2 exp[ ] 4 D11t 4D11t
计算浓度 每小时收集微粒
c 0.00216 g / m3 G c UA T 0.00216 5 1 3600 38.9 g
扩散理论
• 分子扩散、紊动扩散在规律上相似， 尺度上差异大。 • 扩散的根源在于物质（分子、质点） 的运动——L方法； • 扩散的结果造成浓度场中物质的分 布——E方法。
0 L
t
v2 为质点在 x2
坐标方向的流速。
RL ( ) 为 t 时刻和 (t ) 时刻的两个瞬时流速的相关系数。
积分求解： （1）扩散时间很短：
RL ( ) 1,
2 Y22 (t ) v2 t
扩散初期，扩散距离与时间 t 成比例。 （2）扩散时间很长：
令t t 时， RL ( ) 0 则t t 时， (t ) RL ( )d t RL ( )d tTL
0 0 t t

2 Y22 (t ) v2 2tTL
扩散时间很长时，扩散距离与
t 成比例。
2 分析 （1）拉格朗日积分时间比尺
TL RL ( )d
0
t
是质点摆脱历史影响所必需经历时间的度量。 与这一特征时间相比， 2 t TL , Y22 (t ) v2 t t
2
2
（2）时间连续源在均匀紊流中的扩散解
x Ut c( x, t ) c0 [1 erf ( )] 4 Dx t M y 2U c ( x, y ) exp( ) 4 Dy x U 4D y x / U M y 2U z 2U c ( x, y , z ) exp( ) 4 xDy 4 xDz 4x D y Dz
紊动扩散项的模化：
cui 表示通过 xi 方向的单位面积上单位时间内的紊动扩散量。
比拟分子扩散的Fick定律
c cui Dij x j
扩散张量
则紊流扩散方程为
c ( cui ) c c Dij Dm Fc t xi xi x j xi xi
t TL ,
2 Y22 (t ) v2 2tTL t
（2）紊动扩散与分子扩散的比较： 随机的分子扩散服从正态分布， 2 Dmt , x 2 2 Dmt t
紊流中 t TL 时，扩散的均方差 Y 2 (t ) t 2
所以，可定义一个与分子扩散系数 Dm 类似的紊动扩散系数：

2M 502U 岸边浓度（考虑同岸反射） y 50, cb U 4D x / U exp( 4D x ) y y
今岸边为中心的40%，
cb 2500 U 2 exp( ) 0.4 cm 4 Dy x 2500 U 1.609 4 Dy x x 2500 0.3 2428 m 4 0.048 1.609
第七章
紊动扩散
紊流运动中脉动引起的物质传递，在数量上远大于分 子扩散，故一般在紊流情况下可忽略分子扩散的作用。
7.1紊动扩散的Lagrange方法
1 单个质点的紊动扩散——Taylor理论 分析质点的随机紊动，得到一维扩散中质点位移的均方值
Y (t ) 2v
2 2
2 2
(t )R ( )d

7.3紊动扩散求解实例
例1 P.147例4.3 例2 矩形断面明渠宽度w=100m，水深h=5m，流速v=0.3m/s。 在x=0断面中心瞬时投入示踪剂，在下游450m处测得横向浓度 分布如表示，求横向紊动扩散系数。
y c 27 17 24 16 y v 21 22 18 31 15 42 12 55 9 6 3 86 0 87 -3 87 -6 74 -9 66 12 60 15 52 18 45 21 30 24 22
2 2 Dt
横向扩散系数
144.8 D 0.048m 2 / s 2t 2 1500
2
例3 上例中，在x=0断面中心以等强度时间连续源投放，求 在下游多远处岸边浓度为中心浓度的 40%？ 二维连续源 中心浓度
y 0, cm M U 4Dy x / U
M y 2U c( x, y) exp( ) 4 Dy x U 4Dy x / U