南开区2019届高三二模数学(理)试题及答案
数 学 试 卷（理工类）
2019.05
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共 150 分，考试时间 120 分钟．第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 9 页．
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上； 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用
在如图所示的几何体中，△ABC 是边长为 2 的正三角形，AE＞1，AE⊥平面 ABC，平面 BCD⊥平面 ABC，BD=CD，且 BD⊥CD． （Ⅰ）若 AE=2，求证：AC∥平面 BDE； （Ⅱ）若二面角 ADEB 为 60°，求 AE 的长； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求直线 CD 与平面 BDE 所成角．
，
P(X=1)=
C21(C22
C21 C64
C21)=
2 3
，
P(X=2)=
C22 C64
=1 15
．
∴X 的分布列为： X0 1 2
42 1 P
15 3 15 EX=0× 4 +1×2 +2× 1 = 4 ．
15 3 15 5
…………11 分 …………13 分
（17）解：取 BC 的中点 M，连接 DM，AM，
解得 cosB= 2 ． 3
…………4 分
在△ABC 中，由余弦定理 b2=a2+c2–2accosB，
得 a2– 16 a+7=0，解得 a=3，或 a= 7 ．
3
3
∵a≠b，∴a= 7 ． 3
…………7 分
（Ⅱ）∵cosB= 2 ，∴sinB= 5 ，
3
3
∴sin2B=2sinBcosB= 4 5 ，cos2B=2cosB2–1=– 1 ，
将答案填在题中横线上。
（9）已知复数 z= 3 2i ，i 为虚数单位，则|z|2= 1i
（10）在(x2– 2 )7 的展开式中，含 x2 项的二项式系数为 x
． ．
（11）球 O 是正方体 ABCDA1B1C1D1 的外接球，若正方体 ABCDA1B1C1D1 的表面积
为 S1，球
O
的表面积为
（Ⅱ）设
cn=
2n(n
n(n 1) an )(n 1
an1)
，数列{cn}的前
n
项和为
Tn，求满足
Tn＜
124 63
（n∈N*）的 n 的最大值．
南开区高三年级模拟考试(二)数学试卷（理工类）第 7 页（共 9 页）
得 分 评卷人
（19）（本小题满分 14 分）
已知椭圆 x2 y 2 1（a＞b＞0）的左顶点为 A，右焦点为 F(c，0)，直线 l：x= a2 与
相等，q：A，B 在等高处的截面积不恒相等．根据祖暅原理可知，p 是 q 的（ ）．
（A）充分不必要条件
（B）必要不充分条件
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
（5）已知
a=
1
23
，b=
log2
1 3
，c=
log 1
2
1 3
，则（
）．
（A）a＞b＞c （B）a＞c＞b （C）c＞a＞b （D）c＞b＞a
．
南开区高三年级模拟考试(二)数学试卷（理工类）第 3 页（共 9 页）
三、解答题：（本大题共 6 个小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
得 分 评卷人
（15）（本小题满分 13 分）
在△ABC 中，a，b，c 分别是三个内角 A，B，C 的对边，若 b=3，c=4，C=2B，且 a ≠b． （Ⅰ）求 cosB 及 a 的值； （Ⅱ）求 cos(2B+ )的值．
=
4 9
．
…………2 分
∴甲乙两人获奖的概率为
P=1– C30
(
4 9
)0(
5 9
)3– C31
(
4 9
)1(
5 9
)2=
304 729
．
…………5 分
（Ⅱ）由题意可知从 6 人中选 4 人，双胞胎的对数 X 取值为 0，1，2． …………6 分
P(X=0)=
C21
C21 C22 C64
=4 15
因为 BD=CD，BD⊥CD，BC=2，M 为 BC 的中点，
所以 DM⊥BC，DM=1． 又因为平面 BCD⊥平面 ABC，
………………………1 分 E
z
所以 DM⊥平面 ABC，………………………2 分 因为△ABC 是边长为 2 的正三角形，
所以 AM⊥BC，AM= 3 ． 建立如图所示的空间直角坐标系 Mxyz． C
S2，则
S1 S2
=
．
（12）已知在直角坐标系
xOy
中，圆
C
的参数方程为
x
y
3 2cos 1 2sin
（为参数），以
坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为
cos(– ) = 2 ，直线 l 与圆 C 交于 M，N 两点，则|MN|=
9
9
…………11 分
∴cos(2B+ )= 1 cos2B– 3 sin2B=– 1 4 15 ．
32
2
18
…………13 分
南开区高三年级模拟考试(二)数学试卷参考答案（理工类）第 1 页（共 8 页）
（16）解：（Ⅰ）记事件 A 为甲乙两人一次竞猜成功，
则
P(A)=
652 C61 C61
南开区高三年级模拟考试(二)数学试卷（理工类）第 9 页（共 9 页）
2018—2019 学年度第二学期南开区高三年级模拟考试(二)
数学试卷（理工类）参考答案
2019.05
一、选择题：
题 号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）
答案 D
B
B
A
C
D
C
A
二、填空题：
（9） 13 ； 2
所以 cos60°= |n1 n2 | =
1
=1 ，
|n1||n2| 1 1 (1 h)2 2
3
………………………9 分
D
y
A
M
x B
则 M(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，0，1)，A(0， 3 ，0)，C(–1，0，0)，
AC =(–1，– 3 ，0)， BD =(–1，0，1)．
………………………4 分
南开区高三年级模拟考试(二)数学试卷参考答案（理工类）第 2 页（共 8 页）
（Ⅰ）因为 AE=2，所以 E(0， 3 ，2)， BE =(–1， 3 ，2)．
获奖． （Ⅰ）求甲乙两人玩此游戏获奖的概率；
（Ⅱ）现从 6 人组成的代表队中选 4 人参加此游戏；这 6 人中有且仅有 2 对双胞胎，记 选出的 4 人中含有双胞胎的对数为 X，求 X 的分布列和期望．
南开区高三年级模拟考试(二)数学试卷（理工类）第 5 页（共 9 页）
得 分 评卷人
（17）（本小题满分 13 分）
（Ⅱ）设 AE=h，则 E(0， 3 ，h)， BE =(–1， 3 ，h)．
设平面 BDE 的法向量 n1=(x，y，z)，
则
n1 n1
BD BE
x x
z
0， 3y zh
0，
令
x=1，所以
n1=(1，
1
h 3
，1)．
又平面 ADE 的法向量 n2=(1，0，0)，
．
4
（13）在等腰梯形 ABCD 中，已知 AB∥DC，AC 与 BD 交于点 M，AB=2CD=4．若
AC • BD =–1，则 cos∠BMC=
．
（14）已知函数
f(x)=ex–
1 ex
–2cos(
2
–x)，其中
e
为自然对数的底数，若
f(2a2)+f(a–3)
+f(0)＜0，则实数 a 的取值范围为
；
②若原点 O 到直线 TN 的距离为 20 41 ，求椭圆方程． 41
南开区高三年级模拟考试(二)数学试卷（理工类）第 8 页（共 9 页）
得 分 评卷人
（20）（本小题满分 14 分）
已知函数 f(x)=xlogax（a＞0），g(x)=(m+1)x–lnx–f(x)，函数 f(x)在点 x=e–1 处取得极 小值–e–1（e 为自然对数的底数）． （Ⅰ）若 g(x)恰有一个零点，求 m 的取值集合； （Ⅱ）若 g(x)有两零点 x1，x2（x1＜x2），求证：2＜x1+x2＜3em–1–1．
a2 b2
c
x 轴相交于点 T，且 F 是 AT 的中点．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）过点 T 的直线与椭圆相交于 M，N 两点，M，N 都在 x 轴上方，并且 M 在 N，T 之间，且 N 到直线 l 的距离是 M 到直线 l 距离的 2 倍．
①记△NFM，△NFA
的面积分别为
S1，S2，求
S1 S2
（A）[– 3 ，– 4 ) （B）[– 1 ，– 1 ) （C）[–1，– 1 ]
23
23
2
（D）[0，3]
南开区高三年级模拟考试(二)数学试卷（理工类）第 2 页（共 9 页）
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题；
2．本卷共 12 小题，共 110 分．
天津市南开区2019届高三下学期第二次模拟考试数学(理)试题(解析版)
A.
[− 3 , − 4)23 NhomakorabeaB.
[− 1 , − 1)
23
二、填空题（本大题共 6 小题，共 30.0 分）
C.
[−1, − 1]
2
D. [0,3]
16. 甲、乙两人玩猜数字游戏，规则如下：①连续竞猜 3 次，每次相互独立；②每次竞猜时，先由甲写出 一个数字，记为 a，再由乙猜甲写的数字，记为 b，已知 a，b∈{0，1，2，3，4，5}，若|a-b|≤1，则本 次竞猜成功；③在 3 次竞猜中，至少有 2 次竞猜成功，则两人获奖． （Ⅰ）求甲乙两人玩此游戏获奖的概率； （Ⅱ）现从 6 人组成的代表队中选 4 人参加此游戏：这 6 人中有且仅有 2 对双胞胎，记选出的 4 人中 含有双胞胎的对数为 X，求 X 的分布列和期望．
第 1 页，共 9 页
18.
已知数列{an}的前
n
项和������������
=
−������������
−
(1)������−1
2
+
2(������
∈
������∗)，数列{bn}满足������������
=
2������������������．
（1）求证：数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
9. 已知复数������ = 3−2������，i 为虚数单位，则|z|2=______．
1−������
10.
在(������2 − 2)7的展开式中，含 x2 项的二项式系数为______．
������
11. 球 O 是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的外接球，若正方体 ABCD-A1B1C1D1 的表面积为 S1，球 O 的表面积为
南开区2019～2020学年度第二学期高三年级总复习质量检测(一)参考答案
（10）2；
（11）– 5 ； 2
（12）2∶3；
（13） 12 ， 63 ；（第一个空 2 分，第二个空 3 分） 5 64
（14）(1– 2 ，1)； （15） 13 ， 5 7 ．（第一个空 2 分，第二个空 3 分） 2 14
三、解答题：（其他正确解法请比照给分）
（16）解：（Ⅰ）由 3 acosC–csinA=0 得 3 sinAcosC–sinCsinA=0， …………1 分
∵sinA＞0，∴ 3 cosC–sinC=0，即 tanC= 3 ，
∵0＜C＜，∴C= ． 3
∴S△ABC=
3 ab= 3 3 ，即 ab=6，
4
2
又 a–b=1，解得 a=3，b=2．
由余弦定理得 c2=a2+b2–2abcosC=7，解得 c= 7 ，
…………2 分 …………3 分
…………6 分 …………7 分
∴g(x)＜g(1)=0．
综上，a≥2 时，f(x)是(1，+∞)内的减函数．
…………10 分
（Ⅲ）方程 f(x)=0方程 alnx–xa–1=0．
若 a=1，则 x=1 是方程 alnx–xa–1=0 的解，∴a≠1．
1
令 t=xa–1，则 x= t a1 ，
∴方程 alnx–xa–1=0方程 a lnt=t． a 1
南开区高三年级模拟考试(一)参考答案 第 5 页（共 7 页）
知 e–f(e)–e=0，即 f(e)=ae–ea=0，f(e)=2a–aea–1=1，
解得 a=1．
………5 分
（Ⅱ）若函数 f(x)是(1，+∞)内的减函数，
则 f(x)=a(lnx+1)–axa–1≤0 在(1，+∞)恒成立．
专题15 解三角形综合-2019年高考理数母题题源系列(天津专版)(原卷版)
【母题原题1】【2019年高考天津卷理数】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =．（1）求cos B 的值； （2）求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 【答案】（1）14-；（2） 【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =， 又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =． 由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-⋅⋅． （2）由（1）可得sin 4B ==，从而sin 22sin cos B B B ==，227cos 2cos sin 8B B B =-=-，故71sin 2sin 2cos cos 2sin 66682B B B πππ⎛⎫+=+=⨯= ⎪⎝⎭． 【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力．【母题原题2】【2018年高考天津卷理数】在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知专题15 解三角形综合sin cos()6b A a B π=-．（1）求角B 的大小；（2）设a =2，c =3，求b 和sin(2)A B -的值．【答案】（1）π3；（2）b sin(2)A B - 【解析】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．（1）在△ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B =，可得sin sin b A a B =， 又由πsin cos()6b A a B =-，得πsin cos()6a B a B =-，即πsin cos()6B B =-，可得tan B =又因为(0π)B ∈，，可得B =π3．（2）在△ABC 中，由余弦定理及a =2，c =3，B =π3，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故b ．由πsin cos()6b A a B =-，可得sin A =因为a <c ，故cosA =．因此sin 22sin cos A A A ==21cos 22cos 17A A =-=．所以，sin(2)sin 2cos cos 2sin A B A B A B -=-=11727214-⨯= 【名师点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．【母题原题3】【2017年高考天津卷理数】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =． （1）求b 和sin A 的值；（2）求πsin(2)4A +的值．【答案】（1）b sin A 的值为13；（2）26． 【解析】（1）在ABC △中，因为a b >，故由3sin 5B =，可得4cos 5B =． 由已知及余弦定理，有2222cos 13b a c ac B =+-=，所以b =由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin 13a B Ab ==．所以，b sin A（2）由（1）及a c <，得cos 13A =， 所以12sin 22sin cos 13A A A ==，25cos 212sin 13A A =-=-．故πππsin(2)sin 2cos cos 2sin 44426A A A +=+=． 【名师点睛】（1）利用正弦定理进行“边转角”可寻求角的关系，利用“角转边”可寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系可求角，利用两角和差的三角公式及二倍角公式可求三角函数值．（2）利用正、余弦定理解三角形是高考的高频考点，常与三角形内角和定理、三角形面积公式等相结合，利用正、余弦定理进行解题．【命题意图】主要考查利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题，常与同角三角函数的关系、诱导公式、和差角公式，甚至三角函数的图象和性质等交汇命题．主要考查考生的数学运算能力． 【命题规律】考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用．解三角形是高考的一个必考热点，多为解答题，试题难度不大，多为中低档题．主要命题角度有：（1）以斜三角形为背景求三角形的基本量、求三角形面积或判断三角形形状，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式的应用；（2）以实际生活为背景（如测量、航海、几何、天体运行和物理学上的应用等）考查解三角形问题，此类考题在近两年高考中虽没涉及，但此类题深受高考命题者的青睐，应给予关注；（3）解三角形与其他知识相交汇问题，常与三角恒等变换、不等式、平面向量等知识相交汇，这一直是高考考查的重点和热点．此类问题出现在解答题的第二问中，属于中档题．【知识总结】1．正弦、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则2．三角形中的常见结论在△ABC中，常有下列结论：（1）A+B+C=π．（2）大边对大角，大角对大边，如a>b⇔A>B⇔sin A>sin B．（3）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．（4）有关三角形内角的三角函数关系式：sin （A+B ）=sin C ；cos （A+B ）=–cos C ；tan （A+B ）=–tanC ；sin2A B +=cos 2C ；cos 2A B +=sin 2C． （5）在△ABC 中，内角A ，B ，C 成等差数列⇔B=π3，A+C=2π3． （6）在斜△ABC 中，tan A+tan B+tan C=tan A ·tan B ·tan C ． 3．三角形的面积公式（1）已知三角形一边及该边上的高：S=12ah （h 表示边a 上的高）； （2）已知三角形的两边及其夹角：S=12ab sin C=12ac sin B=12bc sin A ；（3）已知三角形的三边：（p=12（a+b+c ））； （4）已知三角形的三边及内切圆半径：S=12r （a+b+c ）（r 表示三角形内切圆半径）．【方法总结】1．判断三角形的形状，主要有如下两种方法：（1）角化边．利用正弦、余弦定理把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，如：①若a=b ，则三角形为等腰三角形；②若c 2=a 2+b 2，则三角形为以角C 为直角的直角三角形； ③若c 2>a 2+b 2，则三角形为以角C 为钝角的钝角三角形；④若c 2<a 2+b 2，则只能得到三角形中角C 为锐角，如果同时有a 2<c 2+b 2，b 2<a 2+c 2都成立，此三角形为锐角三角形；⑤有时可能得到两个结论a=b ，且c 2=a 2+b 2，此时三角形为等腰直角三角形．化简过程中不能随便约分，要把关系找充分，从而正确判断三角形的形状．（2）边化角．利用正弦、余弦定理把已知条件转化为内角三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角的关系，常见的关系有： ①sin 2A=sin 2B ，即A=B 或A+B=π2，三角形为等腰三角形或直角三角形； ②A+B=π2，三角形为以角C 为直角的直角三角形； ③A=B=C ，三角形为等边三角形．在这里要注意应用A+B+C=π这个结论，从而判断出三角形的形状．注意：（1）判断三角形形状要对所给的边角关系式进行转化，使之变为只含边或只含角的式子然后判断．注意不要轻易两边同除以一个式子．（2）要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．2．与三角形面积有关的问题主要有两种：一是解三角形求出有关量，利用公式求面积；二是将面积作为已知条件之一，与正弦定理和余弦定理一起求解三角形中的其他量．解题时主要应用三角形面积公式S=12ab sin C ，此公式既与边长的乘积有关，又与角的三角函数值有关，因此可以将正弦定理和余弦定理综合起来求解问题．3．解与三角形中边角有关的量的取值范围时，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角取值范围等求解即可．注意：（1）涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．（2）注意题目中的隐含条件，如A+B+C=π，0<A<π，b –c<a<b+c ，三角形中大边对大角等．1．【天津市新华中学2019届高三下学期第八次统练（一模）数学】在ABC △中，46,cos ,54AC B C π===． （1）求AB 的长；（2）求cos 26A ⎛⎫- ⎪⎝⎭π的值．2．【天津市南开区2019届高三第二学期模拟考试（二）数学】在ABC △中，,,a b c 分别是三个内角,,A B C 的对边，若3,4,2b c C B ===，且a b ¹． （1）求cos B 及a 的值； （2）求cos 23B ⎛⎫+⎪⎝⎭π的值． 3．【天津市南开区2019届高三下学期模拟考试数学】在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，B =2C ，sin C =4（1）求cos A 的值；（2）设bc =24，求边a 的长．4．【天津市河西区2019届高三一模数学】在ABC △中，,,A B C 对应的边为,,a b c ．已知1cos 2a C cb +=． （1）求A ；（2）若4,6b c ==，求cos B 和()cos 2A B +的值．5．【天津市部分区2019届高三联考一模数学】在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2b A B A π===+． （1）求a 的值；（2）求cos2C 的值．6．【天津市河北区2019届高三一模数学】已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足a c -=，sin B C =．（1）求cos A 的值；（2）求πsin 26A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．7．【天津市红桥区2019届高三一模数学】在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知sin 3sin b A c B =，3a =，2cos 3B =． （1）求b 的值； （2）求πcos 23B ⎛⎫-⎪⎝⎭的值． 8．【2019年塘沽一中、育华中学高三毕业班第三次模拟考试数学】在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知5cos (cos cos )3A b C c B a +=，sin 62bc A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（1）求ABC △的面积； （2）若2c =，求cos 4B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值．9．【天津市实验中学2019届高三第六次阶段考数学】已知函数21()2cos 2f x x x =--．（1）求()f x 的最小正周期；（2）设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c =()0f C =，若s i n 2s i n B A =，求a ，b 的值．10．【天津市北辰区2019届高考模拟考试数学】在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知45B =，b =cos C =． （1）求边a ；（2）求()sin 2A B -．11．【天津市南开中学2019届高三模拟数学】已知在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且1c =，)()cos sin sin cos 0B C B A B +-+=．（1）求角C 的大小；（2）若3a b =，求()cos 2B C -的值．12．【天津市北辰区2019届高考模拟考试数学】在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知145tan 2B bC =︒==，．（1）求边a ； （2）求()sin 2A B -．13．【天津市河北区2019届高三二模数学】已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足sin 1sin sin b Ca c A B=-++． （1）求角A 的值；（2）若3a =，b =()sin 2B A +的值．14．【天津市红桥区2019届高三二模数学】在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin sin sin a b a c C A B+-=-． （1）求角B ；（2）若3b =，cos A =，求ABC △的面积． 15．【天津市和平区2019届高三下学期第一次质量调查数学】设ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3,1,2b c A B ===． （1）求a 的值；（2）求cos(2)6A π+的值．16．【天津市和平区2018–2019学年第二学期高三年级第二次质量调查数学】已知函数2()sin cos f x x x x =-．（1）求()f x 在[]0,π上的单调递增区间；（2）在ABC △中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，A 为锐角，若()sin(2)16f A A π+-=，且ABC △的面积为b c +的最小值．17．【天津市和平区2018–2019学年度第二学期高三年级第二次质量调查数学】已知三角形ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且)cos c B -=cos b C ． （1）求角B 的大小及πcos(2)3B +的值；（2）若ABC △的面积为a c +的最小值．18．【天津市十二重点中学2019届高三下学期毕业班联考（二）数学】在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且=tan 2sin a bA B． （1）求角A 的值；（2）若6a =，2b c =，求ABC △的面积．19．【天津市十二重点中学2019届高三下学期毕业班联考（二）数学】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2sin sin cos 2,a A B b A a += （1）求ab的值；（2）若c =，求πsin(2)3C -的值．20．【天津市2019年3月九校联考高三数学】已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若7a =，60A ∠=︒，且sin sin B C +=（1）求bc 的值；（2）若b c <，求cos(2)B A +的值．。
2019届天津市南开区高三基础训练数学(理)试题(解析版)
2019届天津市南开区高三基础训练数学（理）试题一、单选题1．设集合，，则等于（）. A．B．C．D．【答案】D【解析】所以，故选D2．若变量满足约束条件则的最小值为（）. A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：画出约束条件表示的可行域，如图，平移直线，直线经过点时，取得最大值，故选C．【考点】线性规划．3．下列判断错误的是（）A．若为假命题，则至少之一为假命题B．命题“，”的否定是“”C．若向量且，则是真命题D．若，则否命题是假命题【答案】C【解析】, 若为假命题，则，至少之一为假命题，正确；，命题“，”的否定是“，”，正确；，且，则是真命题，不一定正确，例如当时；，若，则的否命题是，则是假命题，时，大小关系是任意的； 故答案选4．下列函数中，即是奇函数又是增函数的为（ ） A ．3ln y x = B ．2y x =- C ．y x x = D ．1y x -=【答案】C【解析】根据奇函数定义域的特点，奇函数、偶函数的定义，二次函数、分段函数，及反比例函数的单调性便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项． 【详解】A ．y=lnx 3的定义域为（0，+∞），不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误；B ．y=-x 2为偶函数，不是奇函数，∴该选项错误；C ．y=x|x|的定义域为R ，且（-x ）|-x|=-x|x|；∴该函数为奇函数；y x x =22,0,0x x x x ⎧≥=⎨-<⎩,∴该函数在[0，+∞），（-∞，0）上都是增函数，且02=-02；∴该函数在R 上为增函数，∴该选项正确； D.1y x=在定义域上没有单调性，∴该选项错误． 故选：C ． 【点睛】考查奇函数、偶函数的定义，奇函数定义域的对称性，以及二次函数、分段函数，和反比例函数的单调性．5．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A ． B． C ． D ．【答案】A【解析】几何体为一个四棱锥（高为，底面为长位，宽为3的矩形）与一个半圆柱（半圆半径为2，高为3）的组合体，所以条件为选A.6．关于x 的方程20ax x a -+=有四个不同的解，则实数a 的值可能是（ ）. A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】A【解析】首先将原问题转化为两个函数有四个交点的问题，然后结合函数的性质得到a 的取值范围即可确定a 的可能的值. 【详解】将方程20ax x a -+=整理变形可得：2||1x a x =+， 则方程20ax x a -+=有四个不同的解等价于函数y a =与函数2||1x y x =+有四个不同的交点，注意到函数2||1x y x =+是定义在R 上的偶函数，且0x >时，2111x y x x x==++，结合对勾函数的性质和复合函数的性质可知函数2||1x y x =+在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减， 当1x =时，2||112x y x ==+， 据此绘制函数图像如图所示，结合函数图像可知满足题意的实数a 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭， 结合选项可知：实数a 的值可能是14. 故选：A . 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的单调性，由函数零点个数确定参数的取值范围的方法，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 7．以双曲线上一点为圆心作圆，该圆与轴相切于的一个焦点，与轴交于两点，若，则双曲线的离心率是（ ）.A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】首先确定点M 的坐标，然后利用几何关系得到a ,b ,c 的齐次方程，最后由离心率的方程可得双曲线的离心率. 【详解】不妨设点M 位于第一象限，由双曲线的性质可得，由圆的弦长公式可得：，结合可得， 整理变形可得：，即，双曲线中，故.故选：B.【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．8．已知，，若对，，使得成立，若在区间上的值域为，则实数的取值不可能是（）. A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意首先确定函数的值域，然后数形结合得到关于的不等式，求解不等式可得的取值范围，据此可得选项.【详解】，其中，由题意可知：，即：，则函数的值域为的子集，设函数的最小正周期为，在区间上的值域为，则：，即：，解得.结合选项可知实数的取值不可能是.故选：D.【点睛】本题主要考查双量词问题的处理方法，三角函数的图像与性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题9．随机抽取100名年龄在年龄段的市民进行问卷调査，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，则在年龄段抽取的人数为__________．【答案】2.【解析】分析：根据频率分布直方图，求出样本中不小于40岁的人的频率与频数，再求用分层抽样方法抽取的人数.详解：根据频率分布直方图，得样本中不小于40岁的人的频率是，所以不小于40岁的人的频数是；从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，在年龄段抽取的人数为，故答案为2.点睛：该题考查的是有关频率分布直方图的问题，在解题的过程中，需要时刻关注直方图的意义，以及相关的公式，注意频率、频数以及样本容量之间的关系，再者就是抽样过程中每个个体被抽到的概率是相等的，从而求得结果.10．若为实数，且，则____________.【答案】4【解析】由题意结合复数的运算法则和复数相等的充分必要条件确定a的值即可.【详解】由题意可得：，结合复数相等的充分必要条件可得：.故答案为：4．【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数相等的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为________________。
2018—2019学年度第二学期南开区高三年级模拟考试(二)(理科)数学 参考答案
D
y
A
M
x B
则 M(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，0，1)，A(0， 3 ，0)，C(–1，0，0)，
AC =(–1，– 3 ，0)， BD =(–1，0，1)．
………………………4 分
南开区高三年级模拟考试(二)数学试卷参考答案（理工类）第 2 页（共 8 页）
（Ⅰ）因为 AE=2，所以 E(0， 3 ，2)， BE =(–1， 3 ，2)．
∵bn=2nan，∴bn=bn–1+1，即当 n≥2 时，bn–bn–1=1．…………………5 分
又 b1=2a1=1，
∴数列{bn}是首项和公差均为 1 的等差数列．
于是
bn=1+(n–1)·1=n=2nan，∴an=
n 2n
．
（Ⅱ）∵cn=
2n(n
n(n 1) an )(n 1
an1)
=
4 9
．
…………2 分
∴甲乙两人获奖的概率为
P=1– C30
(
4 9
)0(
5 9
)3– C31
(
4 9
)1(
5 9
)2=
304 729
．
…………5 分
（Ⅱ）由题意可知从 6 人中选 4 人，双胞胎的对数 X 取值为 0，1，2． …………6 分
P(X=0)=
C21
C21 C22 C64
=4 15
2018—2019 学年度第二学期南开区高三年级模拟考试(二)
数学试卷（理工类）参考答案
2019.05
一、选择题：
题 号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）
天津市南开区2019届高三下学期一模考试数学(理)试题参考答案
又 0≤t≤1，求得 t=
南开区高三年级模拟考试(一)数学试卷参考答案（理工类）第 3 页（共 6 页）
（18）解： （Ⅰ）设等差数列{an}的公差是 d． 由 a5=3a2 得 d=2a1， ………①
由 S7=14a2+7 得 d=a1+1，………② 由①②解得 a1=1，d=2． 所以数列{an}的通项公式为 an=2n–1． （Ⅱ）由数列{an+bn}是首项为 1，公比为 2 的等比数列， 得 an+bn=2n–1，即 2n–1+bn=2n–1， 所以 bn=2n–1–2n+1． …………………6 分 …………………4 分
°
cos30° =
|n2 n3 | | t ( 1) 1 1 (t 1) 0 | 3 = = ，化简得 2t2–5t+2=0， 2 2 |n2 ||n3 | 2 2 ( t ) 1 (t 1)
1 1 ．于是满足条件的点 G 存在，且 DG= ．…………13 分 2 2
1 ， e2
…………① ……………………12 分
1 –1． e2
由（Ⅱ）知 lnx–x≤–1．…………② ①× ②得(lnx–x)(g(x)–1)＞1– 即(f(x)–1)(g(x)–1)＞1–
1 ， e2
1 ， e2 1 ∴f(x)(g(x)–1)＞g(x)– 2 ． e
………………………………14 分
2 2 2 2 2 2 n2 AF (x2，y2，z2 )( ， ， ) x2 y2 z2 0， 3 3 3 3 3 3 则 n AG (x ，y ，z )(1，t，0) x ty 0， 2 2 2 2 2 2
取 y2=1，得 x2=–t，z2=t–1，即 n2=(–t，1，t–1)． 设平面 AFE 的法向量为 n3=(x3，y3，z3)，
【百强名校】天津市南开区2019届高三下学期第二次模拟考试数学(理)试题(PDF版) 参考答案
……………………13 分 ……………………14 分
（20）解：（Ⅰ）由
f(x)=logax
+
1 lna
=0，解得
x=e–1，
当 x∈(0，e–1)时，f(x)＜0，f(x)单调递减；
当 x∈(e–1，+∞)时，f(x)＞0，f(x)单调递增．
∴函数 f(x)在点 x=e–1 处取得极小值，
Sn=–an–(
1 2
)n–1+2
中，令
n=1，
可得
S1=–a1–1+2，即
a1=
1 2
．
当
n≥2
时，Sn–1=–an–1–(
1 2
)n–2+2，
∴an=Sn–Sn–1=–an+an–1+(
1 2
)n–1，
∴2an=an–1+(
1 2
)n–1，即
2nan=2n–1an–1+1．
…………………1 分
…………………3 分 …………………4 分
ln
t，解得
x1=
t t
ln
1 t
．
x1x2
所以，x1+x2=x1+tx1=
t2 t ln
1 t
，x1+x2–2=
t
设(x)=x– 1 –2lnx，x＞1． x
∵(x)=1+
1 x2
–
2 x
=
(
x
1)2 x2
＞0，
1 2 ln t
t
．
ln t
∴(x)在(1，+∞)单调递增．
∴x＞1 时，(x)＞(1)=0，即 t– 1 –2lnt＞0． t
【精品高考数学试卷】2019天津市高考数学二模试卷(理科)+答案
2019年天津市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（3分）已知全集U ＝{x ∈N |0≤x ≤4}，集合A ＝{﹣1，2，3}，B ＝{2，3}，则∁U （A ∩B ）＝（ ） A ．{0，4}B ．{0，1，4}C ．{1，4}D ．{0，1}2．（3分）设变量x ，y 满足约束条件{2x +y −2≥0x −y −1≤0x +2y −4≤0，则目标函数z ＝x +y 最小的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．13．（3分）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为（ ）A ．3B ．1C ．0D ．﹣14．（3分）若a ＝﹣log 215，b ＝log 24.5，c ＝20.6，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞a ＞c D ．c ＞a ＞b5．（3分）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（4，3），则此双曲线的方程为（ ） A ．x 23−y 24=1 B ．x 24−y 23=1 C ．x 29−y 216=1D ．x 216−y 29=16．（3分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a 、b 、c ，则“sin A ＞sin B ”是“a ＞b ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．（3分）如图，AB ，CD 是半径为1的圆O 的两条直径，AE →=3EO →，则EC →⋅ED →的值是（ ）A ．−45B ．−1516C ．−14D ．−588．（3分）已知函数f （x ）={log 12(x +1)，−1＜x ＜0−x 2+2x ，x ≥0，若关于x 的方程f （x ）＝m （m ∈R ）恰有三个不同的实数根a ，b ，c ，则a +b +c 的取值范围是（ ） A ．（12，1）B ．（34，1）C ．（34，2）D ．（32，2）二、填空题．9．（3分）已知i 是虚数单位，则1−i 3+i= ．10．（3分）某工厂生产A ，B ，C 三种不同型号的产品，产量分别为400，800，600件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取90件进行检验，则应从C 种型号的产品中抽取 件．11．（3分）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为√6，则四棱锥的体积为 ． 12．（3分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为2x ﹣y +1＝0，在以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝2sin θ，则直线l 与圆C 的位置关系为 ．13．（3分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B =π3，b ＝2√3，则△ABC 周长的最大值是 ．14．（3分）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有两个空盒的不同放法共有 种．三、解答题（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15．已知函数f （x ）＝cos x （sin x −√3cos x ），x ∈R ． （1）求f （x ）的最小正周期和最大值； （2）讨论f （x ）在区间[π3，2π3]上的单调性．16．某闯关游戏共有两关，游戏规则：先闯第一关，当第一关闯过后，才能进入第二关，两关都闯过，则闯关成功，且每关各有两次闯关机会．已知闯关者甲第一关每次闯过的概率均为12，第二关每次闯过的概率均为23．假设他不放弃每次闯关机会，且每次闯关互不影响．（1）求甲恰好闯关3次才闯关成功的概率；（2）记甲闯关的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望．．17．如图，DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，AC ＝BC ＝EB ＝2DC ＝4，∠ACB ＝90°，P 、Q 分别为AE ，AB 的中点．（1）证明：PQ ∥平面ACD ．（2）求异面直线AB 与DE 所成角的余弦值； （3）求平面ACD 与平面ABE 所成锐二面角的大小．18．各项均为正数的等比数列{a n }满足a 2＝3，a 4﹣2a 3＝9． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n ＝（2n ﹣1）•log 3a 2n +2（n ∈N *），数列{1b n}的前n 项和为T n ，证明：T n ＜12．19．已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的一个焦点为F 1（﹣1，0），上顶点为B 1，原点O 到直线B 1F 1的距离为√32． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点T 在圆x 2+y 2＝2上，点A 为椭圆的右顶点，是否存在过点A 的直线l 交椭圆C于点B （异于点A ），使得OT →=√147（OA →+OB →）成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．20．设a ∈R ，函数f （x ）＝lnx ﹣ax ．（1）若a ＝2，求曲线y ＝f （x ）在点P （1，﹣2）处的切线方程； （2）若f （x ）无零点，求a 的取值范围；（3）若f （x ）有两个相异零点x 1、x 2，求证：x 1+x 2＞2a ．2019年天津市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．【解答】解：U ＝{0，1，2，3，4}，A ∩B ＝{2，3}； ∴∁U （A ∩B ）＝{0，1，4}． 故选：B ．2．【解答】解：作变量x ，y 满足约束条件{2x +y −2≥0x −y −1≤0x +2y −4≤0的可行域，如图：由：{2x +y −2=0x −y −1=0解得A （1，0），则直线z ＝x +y 过点A （1，0）时，z 取最小值1， 故选：D ．3．【解答】解：经过第一次循环得到s ＝3，i ＝2，不满足i ＞4， 执行第二次循环得到s ＝4，i ＝3，不满足i ＞4， 执行第三次循环得到s ＝1，i ＝4，不满足i ＞4， 经过第四次循环得到s ＝0，i ＝5，满足判断框的条件 执行“是”输出S ＝0． 故选：C ．4．【解答】解：−log 215=log 25＞log 24.5＞log 24=2，20.6＜21＝2； ∴a ＞b ＞c ． 故选：A ．5．【解答】解：∵双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，∴以|F 1F 2|为直径的圆的方程为x 2+y 2＝c 2，∵以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（4，3）， ∴{16+9=c 23=ba ×4，解得a ＝4，b ＝3，∴双曲线的方程为x 216−y 29=1．故选：D ．6．【解答】解：在三角形中，若a ＞b ，由正弦定理asinA=b sinB，得sin A ＞sin B ．若sin A ＞sin B ，则正弦定理a sinA=b sinB，得a ＞b ，则“sin A ＞sin B ”是“a ＞b ”的充要条件． 故选：C ．7．【解答】解：AB ，CD 是半径为1的圆O 的两条直径，AE →=3EO →， 可得OD →=−OC →，EO →=14AO →，EC →⋅ED →=（EO →+OC →）•（EO →+OD →）＝（EO →+OC →）•（EO →−OC →） =EO →2−OC →2=116−1=−1516． 故选：B ．8．【解答】解：作图可得，a ∈(−12，0)，b +c ＝2，所以a +b +c ∈（32，2），故选：D ． 二、填空题． 9．【解答】解：1−i 3+i =(1−i)(3−i)(3+i)(3−i)=2−4i 10=15−25i ．故答案为：15−25i ．10．【解答】解：由题意得从C 种型号的产品中抽取90400+800+600×600＝30件．故填：30．11．【解答】解：正四棱锥的底面边长为2，底面面对角线的一半为√2，所以棱锥的高为h =√6−2=2，∴V =13Sh =13×22×2=83． 故答案为：83．12．【解答】解：因为圆C 的方程为ρ＝2sin θ，所以x 2+y 2＝2y ，x 2+（y ﹣1）2＝1， 因此圆心到直线距离为√5＜1，所以直线l 与圆C 相交．故答案为：相交13．【解答】解：因为b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos π3，B =π3，b ＝2√3，所以12＝a 2+c 2﹣ac ＝（a +c ）2﹣3ac ≥（a +c ）2﹣3（a+c2）2=(a+c)24，当且仅当a ＝c时取等号， 因此（a +c ）2≤48， 可得：a +c ≤4√3，可得：a +b +c ≤6√3，即△ABC 周长的最大值是6√3． 故答案为：6√3．14．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，在4个盒子中任选2个，作为“空盒”，有C 42＝6种不同的情况，②，将4个不同的小球放进剩下的2个盒子中，每个盒子中至少放一个，有24﹣2＝14种不同的放法，则恰有2个空盒的放法共6×14＝84种； 故答案为：84．三、解答题（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15．【解答】解：（1）由题意，得f （x ）＝cos x sin x −√3cos 2x =12sin2x −√32（1+cos2x ）=12sin2x −√32cos2x −√32 ＝sin （2x −π3）−√32．所以f （x ）的最小正周期T =2π2=π，其最大值为1−√32． （2）令z ＝2x −π3则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是[−π2+2k π，π2+2k π]，k ∈Z ．由−π2+2k π≤2x −π3≤π2+2k π，得−π12+k π≤x ≤5π12+k π，k ∈Z 设A ＝[π3，2π3]，B ＝{x |−π12+k π≤x ≤512π+k π，k ∈Z }， 易知A ∩B ＝[π3，5π12]．所以，当x ∈[π3，2π3]时，f （x ）在区间[π3，5π12]上单调递增；在区间[5π12，2π3]上单调递减．16．【解答】解：（1）设事件A 为“甲恰好闯关3次才闯关成功的概率”，则有 ，P （A ）=12×（1−23）×23+（1−12）×12×23=518（2）由已知得：随机变量ξ的所有可能取值为2，3，4， 所以，P （ξ＝2）=12×23+12×12=712，P （ξ＝3）=12×（1−23）×23+（1−12）×12×23+12×13×13=13， ．P （ξ＝4）＝（1−12）×12×（1−23）=112 从而ξ2 3 4P71213112E （ξ）＝2×712+3×13+4×112=52．17．【解答】（1）证明：∵P 、Q 分别是AE 、AB 的中点， ∴PQ ∥BE ，PQ =12BE ， 又DC ∥BE ，DC =12BE ， ∴PQ ∥DC ，∵PQ ⊄平面ACD ，DC ⊂平面ACD ， ∴PQ ∥平面ACD ；（2）解：∵DC ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，以点C 为坐标原点，分别以CD →，CA →，CB →的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．则C （0，0，0），A （0，4，0），B （0，0，4），D （2，0，0），E （4，0，4）， AB →=(0，−4，4)，DE →=(2，0，4)， ∴cos ＜AB →，DE →＞=AB →⋅DE→|AB →|⋅|DE →|=√105，∴异面直线AB 与DE 所成角的余弦值√105； （3）解：由（Ⅱ）可知AB →=(0，−4，4)，AE →=(4，−4，4)， 设平面ABE 的法向量为n →=(x ，y ，z)．则{n →⋅AB →=−4y +4z =0n →⋅AE →=4x −4y +4z =0，取z ＝1，得n →=(0，1，1)． 由已知可得平面ACD 的法向量为CB →=（0，0，4）， ∴cos ＜n →，CB →＞=n →⋅CB →|n →|⋅|CB →|=√22． 故所求平面ACD 与平面ABE 所成锐二面角的大小为45°．18．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，q＞0，由a2＝3，a4﹣2a3＝9得3（q2﹣2q）＝9，解得q＝3或q＝﹣1．因为数列{a n}为正项数列，所以q＝3，所以，首项a1=a2q=1，故其通项公式为a n＝3n﹣1，n∈N*；（2）证明：由（1）得b n＝（2n﹣1）•log3a2n+2＝（2n﹣1）log332n+1＝（2n﹣1）（2n+1），所以1b n =1(2n−1)(2n+1)═12（12n−1−12n+1），即有前n项和S n=12（1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1）=12（1−12n+1）＜1 2．19．【解答】解：（1）由椭圆的一个焦点为F1（﹣1，0）知：c＝1，即a2﹣b2＝1．①．又因为直线B1F1的方程为bx﹣y+b＝0，即√b2+1=√32，所以b=√3．由①解得a2＝4．故所求椭圆C的标准方程为x24+y23=1．（2）假设存在过点A的直线l适合题意，则结合图形易判断知直线l的斜率必存在，于是可设直线l的方程为y＝k（x﹣2），由{x24+y23=1y=k(x−2)，得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12＝0．（*）因为点A是直线l与椭圆C的一个交点，且x A＝2．所以x A •x B =16k 2−123+4k 2，所以x B =8k 2−63+4k 2，即点B （8k 2−63+4k 2，−12k 3+4k 2）． 所以OA →+OB →=（16k 23+4k 2，−12k 3+4k 2），即OT →=√147（16k 23+4k 2，−12k 3+4k 2）． 因为点T 在圆x 2+y 2＝2上，所以27•[(16k 23+4k 2)2+(−12k3+4k 2)2]＝2，化简得48k 4﹣8k 2﹣21＝0，解得k 2=34，所以k ＝±√32． 经检验知，此时（*）对应的判别式△＞0，满足题意．故存在满足条件的直线l ，其方程为y ＝±√32（x ﹣2）． 20．【解答】解：（1）当a ＝2时，f （x ）＝lnx ﹣2x ，所以f ′（x ）=1x −2． 故切线的斜率k ＝f ′（1）＝﹣1，则切线方程为y +2＝﹣（x ﹣1），即x +y +1＝0．（2）f ′（x ）=1x −a ，①当a ＝0时，f （x ）＝lnx 有唯一零点x ＝1，不合题意； ②当a ＜0时，则f ′（x ）＞0，f （x ）在区间（0，+∞）上的增函数，因为f （1）＝﹣a ＞0，f （e a ）＝a ﹣ae a ＝a （1﹣e a ）＜0，所以函数f （x ）在区间（0，+∞）有唯一零点，不合题意；③当a ＞0时，令f ′（x ）＝0得x =1a ，所以，当x ∈（0，1a ）时，f ′（x ）＞0，函数f （x ）在（0，1a ）上是增函数； 当x ∈（1a ，+∞）时，f ′（x ）＜0，函数f （x ）在（1a ，+∞）上是减函数． 所以在区间（0，+∞）上，函数f （x ）有极大值为f （1a ）＝ln 1a −1＝﹣lna ﹣1， ∵e a ＞a ＞0，故1e ＜1a，且e a ＞1， ∴f （1e ）＝﹣a −a e a =−a （1+1e a）＜0，且当x →+∞时，f （x ）→﹣∞， 若f （x ）无零点，则f （1a ）＜0，即﹣lna ﹣1＜0，解得a ＞1e ，故所求实数a 的取值范围是（1e ，+∞）． （3）设x 1＞x 2＞0，由f （x 1）＝f （x 2）＝0可得lnx 1﹣ax 1＝0，lnx 2﹣ax 2＝0，∴lnx 1﹣lnx 2＝a （x 1﹣x 2），即a =ln x 1x 2x 1−x 2， 要证：x 1+x 2＞2a ，只需证a （x 1+x 2）＞2，即证：lnx 1x 2＞2(x 1−x 2)x 1+x 2． 令t =x 1x 2＞1，于是ln x 1x 2＞2(x 1−x 2)x 1+x 2⇔lnt ＞2(t−1)t+1． 设函数h （t ）＝lnt −2(t−1)t+1（t ＞1），求导得h ′（t ）=1t −4(t+1)2=(t−1)2t(t+1)2＞0， 所以函数h （t ）在（1，+∞）上是增函数，所以h （t ）＞h （1）＝0，即不等式lnt ＞2(t−1)t+1在（1，+∞）上恒成立， 故所证不等式x 1+x 2＞2a 成立．。
天津市南开区2019届高三数学下学期一模考试试卷理(含解析)
∴∠������������������ = ∠������������������
由双曲线的的渐近线的性质可得∠������������������ = ∠������������������
∴∠������������������ = ∠������������������ = ∠������������������ = 60°
+
1
2������������
=
������������������
+
3
4������������，且
C，P，D
三点共线，可知������
+
3 4
=
1，即������
=
1
4，
1
3
故������������ = 4������������ + 4������������.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合
，
，那么
（ ）.
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
ห้องสมุดไป่ตู้【分析】
首先解出集合 ,再根据集合的交集运算得到结果.
【详解】已知集合
，
，根据集合的交集的
运算得到
������ ∩ ������ = {������|−2 ≤ ������ < 1}.
图是解题关键．
������2 ������2
7.过双曲线������2−������2 = 1 (������ > 0,������ > 0)的左焦点������作直线交双曲线的两天渐近线于������,������两点，若������
2019年最新(统考)天津市高三第二次模拟考试数学试题(理)及答案解析
高二模考试 数学试卷(理工类)第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数i t z +=21,i z 212-=,若21z z 为实数,则实数t 的值是( ) A ．41-B ．-1C ．41D ．1 2. 设集合}01{2<-=x x A ,},2{A x y y B x∈==,则=B A ( )A ．(0,1)B ．(-1,2)C ．),1(+∞-D ．)1,21(3. 已知函数⎩⎨⎧<≥∙=-0,20,2)(x x a x f x x (R a ∈).若1)]1([=-f f ,则=a ( )A ．41 B ．21C ．2D ． 1 4. 若a ,R b ∈，直线l :b ax y +=,圆C :122=+y x .命题p :直线l 与圆C 相交；命题q ：12->b a .则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件5. 为丰富少儿文体活动，某学校从篮球，足球，排球，橄榄球中任选2种球给甲班学生使用，剩余的2种球给乙班学生使用，则篮球和足球不在同一班的概率是( ) A ．31 B ．21 C. 32 D ．656. 已知抛物线x y 82=的准线与双曲线116222=-y a x 相交于A ，B 两点，点F 为抛物线的焦点，ABF ∆为直角三角形，则双曲线的离心率为( )A ．3B ．12+ C.2 D ．37. 若数列}{n a ，}{n b 的通项公式分别为a a n n ∙-=+2016)1(，nb n n 2017)1(2+-+=，且n n b a <，对任意*∈N n 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．)21,1[-B ．[-1,1） C.[-2,1) D ．)23,2[-8. 已知函数⎩⎨⎧≤++<+=a x x x ax x x f ,25,2)(2，若函数x x f x g 2)()(-=恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[-1,1)B ．[-1,2) C. [-2,2) D ．[0,2]第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.函数xe x xf )3()(-=的单调递增区间为 ．10.执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b 值分别为0和9，则输出的i 值为 ．11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．12.已知0>a ，0>b ，且42=+b a ，则ab1的最小值是 ． 13.已知0>ω，在函数x y ωsin =与x y ωcos =的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为3，则ω值为 ．14.如图，已知ABC ∆中，点M 在线段AC 上，点P 在线段BM 上，且满足2==PBMPMC AM ，2=3=，︒=∠120BAC ，则∙的值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 已知函数+-=)32cos()(πx x f )4sin()4sin(2ππ+-x x . （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期和图象的对称轴方程； （Ⅱ）讨论函数)(x f 在区间]2,12[ππ-上单调性求出的值域. 16. 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为21与P ，且乙投球2次均未命中的概率为161. （Ⅰ）求乙投球的命中率P ；（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望. 17. 如图，直三棱柱111C B A ABC -中，4=AC ，3=BC ，41=AA ，BC AC ⊥，点D 在线段AB 上.（Ⅰ）证明C B AC 1⊥；（Ⅱ）若D 是AB 中点，证明//1AC 平面CD B 1；（Ⅲ）当31=AB BD 时，求二面角1B CD B --的余弦值. 18. 已知数列}{n a 的前n 项和n n S n 832+=，}{n b 是等差数列，且1++=n n n b b a . （Ⅰ）求数列}{n b 的通项公式；（Ⅱ）令nn n n n b a c )2()1(1++=+，求数列}{n c 的前n 项和n T . 19. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为23，直线x y =被椭圆C 截得的线段长为5104. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不是椭圆C 的顶点），点D 在椭圆C 上，且AB AD ⊥.直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点.设直线BD ，AM 的斜率分别为1k ，2k ，证明存在常数λ使得21k k λ=，并求出λ的值.20.选修4-4：坐标系与参数方程 设函数xmx x f +=ln )(，R m ∈. （Ⅰ）当e m =时，求函数)(x f 的极小值； （Ⅱ）讨论函数3)()(xx f x g -'=零点的个数； （Ⅲ）若对任意的0>>a b ，1)()(<--ab b f a f 恒成立，求m 的取值范围.数学试卷（理工类）参考答案一、选择题1-5:ADABC 6-8:ADB二、填空题9. ),2(+∞ 10.3 11. 335 12. 21 13. π14.-2三、解答题15.解：（Ⅰ）+-=)32cos()(πx x f )4sin()4sin(2ππ+-x x++=x x 2sin 232cos 21 )cos )(sin cos (sin x x x x +- x x x x 22cos sin 2sin 232cos 21-++= x x x 2cos 2sin 232cos 21-+= )62sin(π-=x .∴周期ππ==22T . 由)(262Z k k x ∈+=-πππ，得)(32Z k k x ∈+=ππ. ∴函数图象的对称轴方程为)(32Z k k x ∈+=ππ. （Ⅱ）∵]2,12[ππ-∈x ，∴]65,3[62πππ-∈-x . )62sin()(π-=x x f 在区间]3,12[ππ-上单调递增，在区间]2,3[ππ上单调递减，当3π=x 时，)(x f 取最大值1.∵21)2(23)12(=<-=-ππf f . ∴12π-=x ，23)(max -=x f . 所以值域为]1,23[-. 16.解：（Ⅰ）设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B . 由题意得161)1())(1(22=-=-p B P ， 解得43=p 或45=p （舍去），所以乙投球的命中率为43.（Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知21)(=A P ，21)(=A P ，43)(=B P ，41)(=B P . ξ可能的取值为0,1,2,3，故P A P P )()0(==ξ321)41(21)(2=⨯=∙B B ， )()()1(B B P A P P ∙==ξ)()()(12A P B P B P C +3272141432)41(212=⨯⨯⨯+⨯=， )()()3(B B P A P P ∙==ξ329)43(212=⨯=， 3215)3()0(1)2(==-=-==ξξξP P P . ξ分布列为：所以321320++⨯=ξE 2323322=⨯+⨯+. 17. 解：（Ⅰ）证明：如图，以C 为原点建立空间直角坐标系xyz C -.则)0,0,3(B ，)0,4,0(A ，)4,4,0(1A ，)4,0,3(1B ，)4,0,0(1C .)0,4,0(-=，)4,0,3(1--=B ，01=∙B ，所以C B AC 1⊥.（Ⅱ）解法一：)4,4,0(1-=设平面CD B 1的法向量),,(z y x =，由)4,0,3(1--=∙B 043),,(=--=∙y x z y x ， 且∙=∙)0,2,23(m CD 0223),,(=+=y x z y x ， 令4=x 得)3,3,4(--=m ，所以0)3,3,4()4,4,0(1=--∙-=∙m AC ， 又⊄1AC 平面CD B 1，所以//1AC 平面CD B 1； 解法二：证明：连接1BC ，交1BC 于E ，DE . 因为直三棱柱111C B A ABC -，D 是AB 中点， 所以侧面C C BB 11为矩形，DE 为1ABC ∆的中位线. 所以1//AC DE ，因为⊂DE 平面CD B 1，⊄1AC 平面CD B 1， 所以//1AC 平面CD B 1. （Ⅲ）由（Ⅰ）知BC AC ⊥， 设)0,0)(0,,(>>b a b a D ， 因为点D 在线段AB 上，且31=AB BD ，即=31. 所以2=a ，34=b ，=BD )0,34,1(-. 所以)4,0,3(1--=C B ，)0,34,2(=. 平面BCD 的法向量为)1,0,0(1=n . 设平面CD B 1的法向量为)1,,(2y x n =，由021=∙n C B ，02=∙n CD ，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+0342043y x x ，所以34-=x ，2=y ，=2n )1,2,34(-. 设二面角1B CD B --的大小为θ， 所以613cos ==θ. 所以二面角1B CD B --的余弦值为61613. 18. 解：（Ⅰ）由题知，当2≥n 时，561+=-=-n S S a n n n ；当1=n 时，1111==S a ，符合上式.所以56+=n a n .设数列}{n b 的公差d ，由⎩⎨⎧+=+=,,322211b b a b b a 即为⎩⎨⎧+=+=,3217,21111d b d b ，解得41=b ，3=d ，所以13+=n b n .（Ⅱ）112)1(3)33()66(+++=++=n nn n n n n c ，n n c c c T +++=...21，则 +⨯+⨯⨯=322322[3n T ]2)1(...1+⨯++n n ，+⨯+⨯⨯=432322[32n T ]2)1(...2+⨯++n n ，两式作差，得+++⨯⨯=-4322222[3n T ]2)1(2...21++⨯+-+n n n]2)1(21)21(44[32+⨯+---+⨯=n n n223+∙-=n n .所以223+∙=n n n T .19. 解：（Ⅰ）∵23=e ，∴23=a c ，4322222=-=a b a a c ，∴224b a =.①设直线x y =与椭圆C 交于P ，Q 两点，不妨设点P 为第一象限内的交点.∴5104=PQ ，∴)552,552(P 代入椭圆方程可得222245b a b a =+.② 由①②知42=a ，12=b ，所以椭圆的方程为：1422=+y x . （Ⅱ）设)0)(,(1111≠y x y x A ),(22y x D ，则),(11y x B --，直线AB 的斜率为11x y k AB =，又AD AB ⊥，故直线AD 的斜率为11x y k -=.设直线AD 的方程为m kx y +=，由题知 0≠k ，0≠m 联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x m kx y ，得mkx x k 8)41(22++0442=-+m . ∴221418k mk x x +=+，)(2121x x k y y +=+24122k m m +=+，由题意知021≠+x x ， ∴1121211441x y k x x y y k =-=++=，直线BD 的方程为)(41111x x x y y y +=+. 令0=y ，得13x x =，即)0,3(1x M ，可得=2k 112x y -，∴2121k k -=，即21-=λ. 因此存在常数21-=λ使得结论成立. 20. 解：（1）由题设，当e m =时，x e x x f +=ln )(，易得函数)(x f 的定义域为),0(+∞， 221)(xe x x e x xf -=-='.∴当),0(e x ∈时，0)(<'x f ，)(x f 在),0(e 上单调递减； ∴当),(+∞∈e x 时，0)(>'x f ，)(x f 在),(+∞e 上单调递增；所以当e x =时，)(x f 取得极小值2ln )(=+=ee e ef ，所以)(x f 的极小值为2.（2）函数=-'=3)()(x x f x g 312x x m x --)0(>x ，令0)(=x g ，得x x m +-=231)0(>x . 设)0(31)(2≥+-=x x x x ϕ，则=+-='1)(2x x ϕ)1)(1(+--x x . ∴当)1,0(∈x 时，0)(>'x ϕ，)(x ϕ在（0,1）上单调递增；∴当),1(+∞∈x 时，0)(<'x ϕ，)(x ϕ在),1(+∞上单调递减；所以)(x ϕ的最大值为32131)1(=+-=ϕ，又0)0(=ϕ，可知： ①当32>m 时，函数)(x g 没有零点； ②当32=m 时，函数)(x g 有且仅有1个零点； ③当320<<m 时，函数)(x g 有2个零点； ④当0≤m 时，函数)(x g 有且只有1个零点.综上所述： 当32>m 时，函数)(x g 没有零点；当32=m 或0≤m 时，函数)(x g 有且仅有1个零点；当320<<m 时，函数)(x g 有2个零点. （3）对任意0>>a b ，1)()(<--ab a f b f 恒成立，等价于a a f b b f -<-)()(恒成立. )(*. 设=-=x x f x h )()()0(ln >-+x x x m x ，∴)(*等价于)(x h 在),0(+∞上单调递减. ∴011)(2≤--='xm x x h 在),0(+∞上恒成立， ∴=+-≥x x m 241)21(2+--x )0(>x 恒成立，∴41≥m （对41=m ，0)(='x h 仅在21=x 时成立）. ∴m 的取值范围是),41[+∞.。