单缝夫琅和费衍射
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夫琅禾费单缝衍射
中央明纹线宽度
x
xk
中央 O 明纹
k2
k 1
(a , )
其他明纹宽度
a sin k k xk tg k f tg k sin k
f
f xk k a
x k f a
中央亮纹的边缘对应的衍射角1，称为
中央亮纹的半角宽
sin 1
总结： ——中央明纹(中心) a sin 0 a sin k，k 1,2,3„ ——暗纹(中心) （注意k 0）
0.017 0.047
1
I / I0
0.047
0.017
-2( /a) -( /a) 0 /a 2( /a)
sin
中央极大值对应的明条纹称 中央明纹。 中央极大值两侧的其他明条纹称 次极大。
sin Δ x / f
明纹暗纹的图示
中央亮纹的半角宽
1
f
x
（1）明纹宽度
中央明纹：两个一级暗纹间的距离，
b sin ( 2k 1)
——暗纹
2
, ( k 1,2)
——明纹(中心) ——中央明纹中心
b sin 0 0
上述暗纹和中央明纹(中心)的位置是准确的，其余 明纹中心的实际位置较上稍有偏离。
四、衍射图样的特点
衍射图样中各级条纹的相对光强如图所示.
相对光强曲线
惠更斯-菲涅尔积分公式
K ( ) E dE C dS cos(wt ) r
P
Hale Waihona Puke a
为衍射角
f
P点的光强取决于狭缝上各子波源 到此的光程差。光强分布？
为缝边缘两条光线在 p 点的光程差
夫琅禾费单缝衍射和半波带法
与狭缝平行方向分成 一系列宽度相等的窄
A
条，对于衍射角为 的 各条光线，相邻窄条 对应点发出的光线到 达观察屏的光程差为 半个波长，这样等宽
A1 a
A2 C
B
的窄条称为半波带。
• 这种分析方法称为菲涅耳半波带法。
asin
2
1.2 菲涅耳半波带法
• 对应于衍射角为θ 的屏上P 点，缝上下边缘两条光线之间的 光程差为
asin
• 下面分两种情况用菲涅耳 半波带法讨论P 处是明纹 或暗纹。 • （1）BC 的长度恰等于 两个半波长，即
a sin 2 暗条纹
2
1.2 菲涅耳半波带法
• （2）BC 的长度恰为三个半波长，即 a sin 3 明纹
明纹条件：
2
a sin (2k 1) (k 1, 2, ...)
1.2 菲涅耳半波带法
• 例4-1 在单缝夫琅禾费衍射实验中，波长为λ1 的单色光 的第三级明纹与波长为 λ2 = 630 nm 的单色光的第二级明 纹恰好重合，求前一单色光的波长 λ1 。
• 分析：采用比较法来确定波长．对应于同一观察点，两次
衍射的光程差相同，明纹重合时θ 角相同，由于衍射明纹
条件 • 故有
行光，相当于光源位于无限远处。 • 透镜 L的作用是把平行光会聚
到置于焦平面的光屏上， • 相当于观察屏位于无限远处。 • 实验会发现在观察屏上形成
衍射条纹。
1.1 单缝夫琅禾费衍射的装置 以及光强分布
• AB为单缝的截面，其宽度为 a。
• 当单色平行光垂直照射单缝时，根据惠更斯—菲涅耳原理， AB上的各点都是子波源。
2
θ=0 对应中央明纹.
暗纹条件：
a sin k (k 1, 2, ...) k 为衍射级次.
单缝夫琅禾费衍射强度
单缝夫琅禾费衍射强度摘要：1.单缝衍射概述2.夫琅禾费衍射原理3.衍射强度的计算方法4.夫琅禾费衍射的应用正文：1.单缝衍射概述单缝衍射是一种光的波动现象，当光线通过一个缝隙时，会在其后方形成一系列明暗交替的条纹。
这些条纹是由于光波在传播过程中遇到缝隙，发生衍射现象而产生的。
单缝衍射的研究对于理解光的波动性质以及发展光纤通信、光学仪器等技术具有重要意义。
2.夫琅禾费衍射原理夫琅禾费衍射，又称为夫琅禾费衍射公式，是由德国物理学家夫琅禾费（Fraunhofer）在19 世纪初提出的。
夫琅禾费衍射原理描述了单缝衍射条纹的亮度分布规律，其基本公式为：I = (b / a) * (L / d)^2 * sin^2(α)其中，I 表示衍射强度，b 表示光源到缝的距离，a 表示缝到观察屏的距离，L 表示光源到观察屏的距离，d 表示缝的宽度，α表示入射光线与缝的中心线的夹角。
3.衍射强度的计算方法根据夫琅禾费衍射原理，我们可以通过测量衍射条纹的亮度来计算衍射强度。
具体方法是，在实验中改变光源到缝的距离、缝到观察屏的距离以及入射光线与缝的中心线的夹角，观察不同条件下衍射条纹的亮度变化，然后利用夫琅禾费衍射公式计算衍射强度。
4.夫琅禾费衍射的应用夫琅禾费衍射在实际应用中具有重要价值。
例如，在光纤通信中，夫琅禾费衍射原理可以用于计算光纤的传输性能，以提高通信质量和传输距离；在光学仪器的研制中，夫琅禾费衍射可以用于评估仪器的分辨率和成像质量。
此外，夫琅禾费衍射还在物理、光学等领域的科研和教学中具有广泛的应用。
总之，夫琅禾费衍射作为一种重要的光学现象，对于理解光的波动性质以及发展光纤通信、光学仪器等技术具有重要意义。
光的衍射夫琅禾费单缝衍射
k
0
1
-1
-2
-3
2
3
f
sin
0.047
0.017
1
I / I0
0
相对光强曲线
0.047
0.017
四. 光强：
中央明纹最亮，其它明纹光强迅速下降。
条纹间距
五、讨论
波长对衍射条纹的影响
缝宽对衍射条纹的影响
单缝位置对衍射条纹的影响
光源位置对衍射条纹的影响
ห้องสมุดไป่ตู้
Single slit Double slit Three slit Seven slit More slit Double hole Square aperture
惠更斯- 菲涅耳原理：波前S上每一个面元dS都可以看成是发射球面子波的新波源，波场中P点的强度由各个子波在该点的相干叠加决定。
菲涅耳在惠更斯子波假说的基础上补充了子波相干叠加的概念。
波在前进过程中引起前方某点的总振动，为面 S 上各面元 dS 所产生子波在 P 点引起分振动的总和，即这些子波在 P 点的相干叠加。
夫琅禾费单缝衍射
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01
夫琅禾费 (Joseph von Fraunhofer 1787—1826)
夫琅禾费是德国物理学家。1787年3月6日生于斯特劳宾，父亲是玻璃工匠，夫琅禾费幼年当学徒，后来自学了数学和光学。1806年开始在光学作坊当光学机工，1818年任经理，1823年担任慕尼黑科学院物理陈列馆馆长和慕尼黑大学教授，慕尼黑科学院院士。夫琅禾费自学成才，一生勤奋刻苦，终身未婚，1826年6月7日因肺结核在慕尼黑逝世。
（3）当 时会出现明显的衍射现象。 a <λ时条纹太暗。
单缝的夫琅禾费衍射
同学们好
缝平面
透镜L2
透镜L1
A
S
*
a
Bδ f
f
观察屏
·p
0
§17－9 单缝的夫琅禾费衍射
一. 装置
O
*
f
A
BC
P·x
0 f
缝宽a：其上每一点均为子波源发出衍射光
衍射角θ：衍射光线与波面法线夹角
P:
0
0
θ＝0衍射光线汇集于L2的焦点 δ＝0 中央明纹中心
θ≠0衍射光线汇集于L2的焦平面上某点P δ≠0 P处光强可由菲涅耳公式计算
零
三级 暗纹
二级 一级 中央明纹 暗纹 暗纹
一级 明纹
二级 明纹
3
2
a
a
a
0
3 a 2a
sin
5 2a
2
2
2
22
2
暗纹公式中k＝0，δ＝0，为中央明纹中心，
不是暗纹
明纹公式中可k＝0， δ＝λ/2，仍在中央明纹区不 是明纹中心
（3暗纹和中央明纹位置精确其他明纹位置只 是 近似
1 I / I0 相对光强曲线
屏幕
讨论：
（1单缝衍射明暗纹条件是否与双缝干涉明暗纹条 件矛盾
双缝干涉 单缝衍射
明纹条件
k
(2k1)
2
暗纹条件 (2k1) k
max
2
条纹级次 k 0 、 1 、 2 、 k1 、 2 、
不矛盾单缝衍射δ不是两两相干光线的光程差而 是衍射角为θ的一束光线的最大光程差
（2单缝衍射明暗纹条件中 k 值为什么不能取
衍射屏 透镜
观测屏 x2
角宽度为：
λ
x1 Δx
缝平面
透镜L2
透镜L1
A
S
*
a
Bδ f
f
观察屏
·p
0
§17－9 单缝的夫琅禾费衍射
一. 装置
O
*
f
A
BC
P·x
0 f
缝宽a：其上每一点均为子波源发出衍射光
衍射角θ：衍射光线与波面法线夹角
P:
0
0
θ＝0衍射光线汇集于L2的焦点 δ＝0 中央明纹中心
θ≠0衍射光线汇集于L2的焦平面上某点P δ≠0 P处光强可由菲涅耳公式计算
零
三级 暗纹
二级 一级 中央明纹 暗纹 暗纹
一级 明纹
二级 明纹
3
2
a
a
a
0
3 a 2a
sin
5 2a
2
2
2
22
2
暗纹公式中k＝0，δ＝0，为中央明纹中心，
不是暗纹
明纹公式中可k＝0， δ＝λ/2，仍在中央明纹区不 是明纹中心
（3暗纹和中央明纹位置精确其他明纹位置只 是 近似
1 I / I0 相对光强曲线
屏幕
讨论：
（1单缝衍射明暗纹条件是否与双缝干涉明暗纹条 件矛盾
双缝干涉 单缝衍射
明纹条件
k
(2k1)
2
暗纹条件 (2k1) k
max
2
条纹级次 k 0 、 1 、 2 、 k1 、 2 、
不矛盾单缝衍射δ不是两两相干光线的光程差而 是衍射角为θ的一束光线的最大光程差
（2单缝衍射明暗纹条件中 k 值为什么不能取
衍射屏 透镜
观测屏 x2
角宽度为：
λ
x1 Δx
夫琅禾费单缝衍射
焦距 f 为：
(A) 2m (B) 1m (C) 0.5m (D) 0.2m (E) 0.1m
[B]
矩形孔的夫琅禾费衍射
两个正交迭置的狭缝（设宽度分别为a、b） 衍射光在x, y方向的衍射角分别为
x, y
衍射光场：两个按正交方向展开的单缝衍射场的乘积
I(P)
I
0
s i n
2
s i n
2
远去的汽车头灯
最小分辨角：
S1
D
*
1
1.22
D
* S2
0 I
表达式中的波长 是指衍射光场在像方空间所处介质
中的波长
眼睛（正常人眼） a=D/2=1mm，n=1，n'=1.336，
0=550nm，f '=2.2cm
角分辨极限： m=0.610/n'a ≈2.511×10-4 rad
线分辨极限：
0m=0.610/na ≈3.355×10-4 rad
分辨本领:
1 R
min
光学系统对被观察对象微小细节的分辨能力
These photographs of an automobile’s headlights were taken at the greater and greater distances from the camera.
远去的汽车头灯
两个按正交方向展开的单缝衍射场的乘积衍射光在xy方向的衍射角分别为其中矩形远场衍射振幅三维图矩形孔的夫琅禾费衍射图样矩形远场衍射强度三维图24设圆孔的直径为d与p点对应的衍射角为衍射屏观察屏中央亮斑爱里斑变小第一暗圈所包围的中央亮斑叫做爱里斑airydisk线半径
2.3 夫琅禾费单缝衍射
bsin j
(A) 2m (B) 1m (C) 0.5m (D) 0.2m (E) 0.1m
[B]
矩形孔的夫琅禾费衍射
两个正交迭置的狭缝（设宽度分别为a、b） 衍射光在x, y方向的衍射角分别为
x, y
衍射光场：两个按正交方向展开的单缝衍射场的乘积
I(P)
I
0
s i n
2
s i n
2
远去的汽车头灯
最小分辨角：
S1
D
*
1
1.22
D
* S2
0 I
表达式中的波长 是指衍射光场在像方空间所处介质
中的波长
眼睛（正常人眼） a=D/2=1mm，n=1，n'=1.336，
0=550nm，f '=2.2cm
角分辨极限： m=0.610/n'a ≈2.511×10-4 rad
线分辨极限：
0m=0.610/na ≈3.355×10-4 rad
分辨本领:
1 R
min
光学系统对被观察对象微小细节的分辨能力
These photographs of an automobile’s headlights were taken at the greater and greater distances from the camera.
远去的汽车头灯
两个按正交方向展开的单缝衍射场的乘积衍射光在xy方向的衍射角分别为其中矩形远场衍射振幅三维图矩形孔的夫琅禾费衍射图样矩形远场衍射强度三维图24设圆孔的直径为d与p点对应的衍射角为衍射屏观察屏中央亮斑爱里斑变小第一暗圈所包围的中央亮斑叫做爱里斑airydisk线半径
2.3 夫琅禾费单缝衍射
bsin j
12-8单缝的夫琅禾费衍射
f
x0
2f
tan 1
2 f 12f来自aaB. 次极大
x
f
a
1 2
x0
前提仍然是很小
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缝宽变化对条纹的影响
由
x
f
a
1 2
x0
知，缝宽越小，条纹宽度越宽
I
0
sin
当 a 时，
当 a 时，0
x ，此时屏幕呈一片明亮；
，x此时0屏幕上只显出单
一的明条纹单缝的几何光学像。
∴几何光学是波动光学在/a0时的极限情形
b
b
b
3 f 2 f f
bbb
f 2 f 3 f x
b
上页
下页b
返回
退b 出
衍射图样 衍射图样中各级条纹的相对光强如图所示.
1 I / I0 相对光强曲线
0.017 0.047
0.047 0.017
-2( /a) -( /a) 0 /a 2( /a) sin
中央极大值对应的明条纹称 中央明纹。 中央极大值两侧的其他明条纹称 次极大。 中央极大值两侧的各极小值称暗纹。
(P处干涉相消形成暗纹)
上页 下页 返回 退出
2.明暗纹条件
由半波带法可得明暗纹条件为：
a sin 2k k 1，2，3，L ——暗纹
2
a sin 2k 1 k 1，2，3，L
2
——明纹(中心)
asin 0
——中央明纹(中心)
上述暗纹和中央明纹(中心)的位置是准确的，其余 明纹中心的实际位置较上稍有偏离。
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明纹宽度
A. 中央明纹
当 a 时 ， 1 级暗纹对应的衍射角
《夫琅禾费单缝衍射》课件
在未来的教学中，应更注重理论与实 践的结合，提高学生的实际操作能力
。
引入新技术与新方法
随着科技的发展，可以引入新的技术 和方法来研究衍射现象，例如计算机
模拟和人工智能等。
THANKS 感谢观看
05 结论与展望
本课程的主要结论
衍射现象的描述
详细解释了夫琅禾费单缝衍射的物理现象，包括 衍射波的分布、衍射角与波长的关系等。
数学模型的建立
介绍了如何通过波动光学理论建立夫琅禾费单缝 衍射的数学模型，并进行了数值模拟。
实验验证
通过实验手段验证了数学模型的准确性，并分析 了实验误差。
对未来研究的建议
分析了缝宽变化对衍射图样和光强分布的影响，得出了缝宽 增大时，衍射现象越明显的结论。
理论预测与实验结果的比较
将实验结果与理论预测进行了比较，验证了理论模型的正确 性。
结果与理论的比较
理论模型介绍
介绍了衍射的理论模型，包括波动理论和光的衍射公式等。
实验结果与理论预测的符合程度
详细分析了实验结果与理论预测的符合程度，证明了实验结果的可靠性和准确性 。
深入研究多缝衍射
可以进一步研究多缝衍射的现象，探索其与单缝衍射的异同点。
引入非线性效应
考虑在衍射过程中引入非线性效应，研究其对衍射结果的影响。
提高实验精度
通过改进实验设备和方法，提高衍射实验的精度和可靠性。
课程展望
拓展应用领域
探讨夫琅禾费单缝衍射在光学、信息 处理和其他相关领域的应用前景。
加强理论与实践结合
根据实验数据，分析夫琅禾费单 缝衍射的规律和特点，并与理论 值进行比较。
04 结果与讨论
实验结果展示
实验数据记录
详细记录了实验过程中测量的数据，包括不同缝宽下的衍射图样和对应的测量 结果。
。
引入新技术与新方法
随着科技的发展，可以引入新的技术 和方法来研究衍射现象，例如计算机
模拟和人工智能等。
THANKS 感谢观看
05 结论与展望
本课程的主要结论
衍射现象的描述
详细解释了夫琅禾费单缝衍射的物理现象，包括 衍射波的分布、衍射角与波长的关系等。
数学模型的建立
介绍了如何通过波动光学理论建立夫琅禾费单缝 衍射的数学模型，并进行了数值模拟。
实验验证
通过实验手段验证了数学模型的准确性，并分析 了实验误差。
对未来研究的建议
分析了缝宽变化对衍射图样和光强分布的影响，得出了缝宽 增大时，衍射现象越明显的结论。
理论预测与实验结果的比较
将实验结果与理论预测进行了比较，验证了理论模型的正确 性。
结果与理论的比较
理论模型介绍
介绍了衍射的理论模型，包括波动理论和光的衍射公式等。
实验结果与理论预测的符合程度
详细分析了实验结果与理论预测的符合程度，证明了实验结果的可靠性和准确性 。
深入研究多缝衍射
可以进一步研究多缝衍射的现象，探索其与单缝衍射的异同点。
引入非线性效应
考虑在衍射过程中引入非线性效应，研究其对衍射结果的影响。
提高实验精度
通过改进实验设备和方法，提高衍射实验的精度和可靠性。
课程展望
拓展应用领域
探讨夫琅禾费单缝衍射在光学、信息 处理和其他相关领域的应用前景。
加强理论与实践结合
根据实验数据，分析夫琅禾费单 缝衍射的规律和特点，并与理论 值进行比较。
04 结果与讨论
实验结果展示
实验数据记录
详细记录了实验过程中测量的数据，包括不同缝宽下的衍射图样和对应的测量 结果。
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8
6. 以波长为 = 500 nm (1 nm = 10-9 m)的单色平行光斜入射在光栅常数为 d = 2.10 mm、缝宽为a = 0.700 mm的光栅上，入射角为i = 30.0°，求能看 到哪几级光谱线．
光栅
解：(1) 斜入射时的光栅方程
G
透镜
L2
C
屏
d sin d sin i k
5 3 2a 2a
I
A
3 2a
5 2a
a
3λ 2 a a a
a
2 a
3λ a
sin
a sin (2k 1)
B
λ λ λ 2 2 2
a sin 2k
λ (k 1,2,3...), 暗纹, 2
λ (k 1,2,3...), 明纹。 2
计算缺级的基本公式。
4. 设天空中两颗星对于一望远镜的张角为4.84×10-6 rad，它们都发出波 长为550 nm的光，为了分辨出这两颗星，望远镜物镜的口径至少要等于 _____________ cm．(1 nm = 10-9 m) 参考解答：根据光学仪器的最小分辨角公式 0 令
0 4.8410
大学物理
教师：郑采星
课程指导课七
第7章 光的衍射
7.1 光的衍射现象、惠更斯-菲涅耳原理
7.2 夫琅和费单缝衍射
7.3 光栅衍射 7.4 光学仪器分辨率 7.5 X射线的衍射
1
第7章 光的衍射
基本要求 理解惠更斯――菲涅耳原理。掌握确定单缝衍射条纹位置和宽度的计 算。理解光栅、光栅衍射与光栅方程。理解光学仪器的分辩率。了解 伦琴射线的衍射，布喇格公式。 教学基本内容、基本公式 1. 单缝夫琅和费衍射、半波带法、
取整数 kmax1 = 2． 取整数 kmax1 = 6．
(3) 对应于i = 30°，设 = 90°， k = kmax2，则有
d sin(90) d sin 30 k max 2
k max 2 (d / )[sin(90) d sin 30]
(4) 但因 d / a = 3，所以，第 -6，-3，… 级谱线缺级． (5) 综上所述，能看到以下各级光谱线：
-5，-4，-2，-1，0，1，2，共7条光谱．
两侧主极大最高级次不再对称！
9
7. 用每毫米300条刻痕的衍射光栅来检验仅含有属于红和蓝的两种单色成 分的光谱．已知红谱线波长R在 0.63─0.76 mm范围内，蓝谱线波长B在 0.43─0.49 mm范围内．当光垂直入射到光栅时，发现在衍射角为24.46° 处，红蓝两谱线同时出现． (1) 在什么角度下红蓝两谱线还会同时出现？ (2) 在什么角度下只有红谱线出现？ 1 解： a b mm 3.33 μm 300 (1) (a + b) siny =k， ∴ k= (a + b) sin24.46°= 1.38 mm ∵ R=0.63─0.76 mm； B＝0.43─0.49 mm
参考解答：根据半波带法讨论，单缝处波阵面可分成的半波带数目取决 于asin 的大小，本题中
a 4, 300.
比较单缝衍射明暗条纹的公式：
a sin 2 4 , 2
a sin 2k
a sin (2k 1)
2
, (k 1,2...)
2
, (k 1,2...)
2
2. 衍射光栅
光栅明纹公式： (a b) sin k , k＝ 0， 1， 2...
缺级公式:
光栅暗纹公式
ab k k a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（k 1， 2， 3， ...；k取整数）
(m Nk , k 0)
d sin
R
m N
光栅的分辨本领
kN
3
3. 光学仪器分辨率
最小分辨角。
0.610
1
R
分辨率
4
1. 单缝夫琅禾费衍射实验中，波长为的单色光垂直入射在宽度为 a＝4的单缝上，对应于衍射角为30°的方向，单缝处波阵面可分 成的半波带数目为 (A) 2 个．
答案：(B)
(B) 4 个．
(C) 6 个．
(D) 8 个．
显然在对应于衍射角为30°的方向，屏上出现第2极暗条纹，单缝处波阵 面可分成4个半波带。
5
2. 设光栅平面、透镜均与屏幕平行．则当入射的平行单色光从垂直于 光栅平面入射变为斜入射时，能观察到的光谱线的最高级数k (A) 变小； (B) 变大； (C) 不变； (D) 的改变无法确定。 答案：(B) 参考解答： 平行单色光从垂直于光栅平面入射时
(a b) sin k (1).
斜入射时,如图所示有两种情况需要考虑，
显然，按公式(2)解出的 最高级次k大于按公式(1) 解出的最高级次k.
( AC AD) (a b)(sin sin ) k (2),
( AC BD) (a b)(sin sin ) k (3).
6
3. 一束平行单色光垂直入射在光栅上,当光栅常数(a+b)为下列哪种情况 时（a代表每条缝的宽度）, k=3,6,9等极次的主极大均不出现？ (A) a+b=2a . (C) a+b=4a . (B) a+b=3a . (D) a+b=6a .
[ B ]
k
ab k （k 1， 2， 3， ...；k只能取整数 ） a
6
1.22 D
D
1.22
0
1.22 550109 1.39101 (m) 13.9(cm) 6 4.8610
7
5. 如图所示，设波长为的平面波沿与单缝平面法线成角的方向入射， 单缝AB的宽度为a，观察夫琅禾费衍射．试求出各极小值(即各暗条纹)的 衍射角． 解：1、2两光线的光程差，在如图情况下为
k = 0，±1，±2，… 分析在900 < < 900 之间，可呈现的主极大： (2) 对应于i = 30°，设 = 90°，
d sin i
n
i
第k 级谱线
n
k = kmax1，则有
d sin
d sin 90 d sin 30 k max1
kmax1 (d / )(sin90 d sin 30) 2.10
A
CA BD a sin a sin
由单缝衍射极小值条件
B
a(sin －sin ) = k k = 1,2,……
得 = sin—1( k / a+sin ) k = 1,2,……(k 0)
A
1
E
C
B D
1
2
1、2两光线的光程差，
2
CA AE a sin a sin