《运筹学》线性规划的对偶问题
《运筹学》线性规划的对偶问题
3、资源影子价格的性质
z y b1w1 b2w2 bi wi bmwm z z b1w1 b2w2 (bi bi )wi bmwm z bi wi
w
o i
z o bi
最大利润的增量 第i种资源的增量
第i种资源的边际利润
■影子价格越大，说明这种资源越是相对紧缺 ■影子价格越小，说明这种资源相对不紧缺 ■如果最优生产计划下某种资源有剩余，这种资源的影子 价格一定等于0
总利润（元）
单位产品的利润（元/件）
产品产量（件）
max z c1x1 c2 x 2 c2 x 2
s.t.
a11x1 a12x 2 a1n x n x n1
a 21x1 a 22x 2 a 2n x n
x n2
b1
b2
a m1x1 a m2 x 2 a mn x n
差额成本=机会成本 ——利润
5、互补松弛关系的经济解释
wix ni
0xwni
0 x ni i 0 wi
0 0
x jwmj
0xwjm j
0 0
w m x
j j
0 0
在利润最大化的生产计划中 （1）边际利润大于0的资源没有剩余 （2）有剩余的资源边际利润等于0 （3）安排生产的产品机会成本等于利润 （4）机会成本大于利润的产品不安排生产
4、产品的机会成本
增加单位资源可以增加的利润
max z c1x1 c2x2 c jx j cn xn
s.t.
a11x1 a12x 2 a1jx j a1nx n b1 w1
a 21x1 a 22x 2 a 2jx j a 2nx n b2 w2
a m1 x1 a m2 x 2 a mj x j a mn x n bm wm
运筹学04-线性规划的对偶问题
生产计划问题
总结词
生产计划问题是线性规划对偶问题的另一个重要应用，主要研究如何安排生产 计划，以满足市场需求并实现利润最大化。
详细描述
在生产过程中，企业需要合理安排生产计划，以最小化生产成本并最大化利润。 通过线性规划对偶问题，可以确定最优的生产计划，使得生产过程中的资源得 到充分利用，同时满足市场需求。
对偶理论的发展趋势与未来研究方向
1 2 3
混合整数对偶
随着混合整数规划问题的日益增多，对偶理论在 处理这类问题中的研究将更加深入。
大数据优化
随着大数据技术的不断发展，如何利用对偶理论 进行大规模优化问题的求解将成为一个重要研究 方向。
人工智能与优化
人工智能和机器学习方法为优化问题提供了新的 思路，与对偶理论的结合将有助于开发更高效的 算法。
THANKS
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线性规划问题的数学模型
目标函数
通常是一个线性函数，表示要优化的目标。
约束条件
通常是一组线性等式或不等式，表示决策变 量所受到的限制。
可行解集合
满足所有约束条件的解的集合，称为可行解 集合。
02
对偶问题概念
对偶问题的定义
线性规划的对偶问题是通过将原问题 的约束条件和目标函数进行转换，形 成与原问题等价的新问题。
对偶理论与实际问题的结合
01
02
03
供应链管理
在供应链优化问题中，对 偶理论可以用于协调供应 商和零售商之间的利益， 实现整体最优。
金融风险管理
在金融领域，对偶理论可 以用于评估和管理投资组 合的风险，提高投资效益。
交通调度
在交通调度问题中，对偶 理论可以用于优化车辆路 径和调度计划，提高运输 效率。
运筹学对偶问题的直观描述
运筹学对偶问题的直观描述
运筹学中的对偶问题是指原始线性规划问题和对应的对偶线性规划问题之间的关系。
直观描述对偶问题可以从几个方面来理解。
首先，可以从成本和效益的角度来理解。
原始线性规划问题通常涉及最小化成本或者最大化利润，而对偶线性规划问题则涉及最大化成本或者最小化利润。
这种对偶关系可以被解释为在资源有限的情况下，通过最小化成本来实现最大化效益，或者通过最大化效益来实现最小化成本。
其次，可以从约束条件的角度来理解。
原始线性规划问题的约束条件对应着对偶线性规划问题的变量，而对偶线性规划问题的约束条件对应着原始线性规划问题的变量。
这种对偶关系可以被理解为在资源分配和利用的过程中，对约束条件和变量之间的转换和对应关系。
另外，可以从几何图形的角度来理解。
原始线性规划问题的最优解和对偶线性规划问题的最优解之间存在着一种对偶关系，即原始问题的最优解和对偶问题的最优解分别对应着凸集的两个相对的极值点，它们之间的距离可以被理解为对偶问题的最优值和原始问
题的最优值之间的关系。
总的来说，对偶问题在运筹学中具有重要的意义，它不仅可以帮助我们理解原始问题和对偶问题之间的关系，还可以为我们寻找最优解提供了一种新的视角和方法。
通过对偶问题的研究和理解，我们可以更好地解决实际生产和管理中的复杂问题。
运筹学--第二章 线性规划的对偶问题
习题二2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题(1) max z ＝10x1＋x2＋2x3(2) max z ＝2x1＋x2＋3x3＋x4st. x1＋x2＋2 x3≤10 st. x1＋x2＋x3 ＋x4≤54x1＋x2＋x3≤20 2x1－x2＋3x3＝－4x j≥0 （j＝1,2,3）x1－x3＋x4≥1x1，x3≥0，x2，x4无约束(3) min z ＝3x1＋2 x2－3x3＋4x4(4) min z ＝－5 x1－6x2－7x3st. x1－2x2＋3x3＋4x4≤3 st. －x1＋5x2－3x3≥15x2＋3x3＋4x4≥－5 －5x1－6x2＋10x3≤202x1－3x2－7x3 －4x4＝2＝x1－x2－x3＝－5 x1≥0，x4≤0，x2，，x3无约束x1≤0，x2≥0，x3无约束2.2 已知线性规划问题max z＝CX，AX=b，X≥0。
分别说明发生下列情况时，其对偶问题的解的变化：（1）问题的第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）；（2）将第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）后加到第r个约束条件上；（3）目标函数改变为max z＝λCX（λ≠0）；'x代换。
（4）模型中全部x1用312.3 已知线性规划问题min z＝8x1＋6x2＋3x3＋6x4st. x1＋2x2＋x4≥33x1＋x2＋x3＋x4≥6x3 ＋x4＝2x1 ＋x3 ≥2x j≥0（j＝1,2,3,4）(1) 写出其对偶问题；(2) 已知原问题最优解为x*＝（1，1，2，0），试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。
2.4 已知线性规划问题min z＝2x1＋x2＋5x3＋6x4 对偶变量st. 2x1 ＋x3＋x4≤8 y12x1＋2x2＋x3＋2x4≤12 y2x j≥0（j＝1,2,3,4）对偶问题的最优解y1*=4；y2*=1，试对偶问题的性质，求出原问题的最优解。
2.5 考虑线性规划问题max z＝2x1＋4x2＋3x3st. 3x1＋4 x2＋2x3≤602x1＋x2＋2x3≤40x1＋3x2＋2x3≤80x j≥0 （j＝1,2,3）４７４８（1）写出其对偶问题（2）用单纯形法求解原问题，列出每步迭代计算得到的原问题的解与互补的对偶问题的解；（3）用对偶单纯形法求解其对偶问题，并列出每步迭代计算得到的对偶问题解及与其互补的对偶问题的解；（4）比较（2）和（3）计算结果。
运筹学课件第二章线性规划的对偶理论及其应用
– 原问题为基础可行解，对偶问题为非可行解，但满足
互补松弛条件；则当对偶问题为可行解时，取得最优 解
13
2.2.5 原问题检验数与对偶问题的解
• 在主对偶定理的证明中我们有：对偶(min型)变量的最 优解等于原问题松弛变量的机会成本，或者说原问题松 弛变量检验数的绝对值
• 容易证明，对偶问题最优解的剩余变量解值等于原问题 对应变量的检验数的绝对值
1
1/2 5/2
1
1
0
1/2 3/2
0
0
0
1/2 3/2
OBJ=
39
9/2
3
6
6
0
3/2
3/2
cj - zj
1/2
0
0
0
0
3/2 -M-3/2
0
x4
4
0
0
1
1
1
1
3
5
x1
6
1
0
2
2
0
1
1
3
x2
4
0
1
1
(1)
0
1
2
OBJ=
42
5
3
7
7
0
2
1
cj - zj
0
0
1
1
0
2 -M+1
0
x4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
8
0
1
0
0
1
0
1
5
x1
数值，
g(Y0)=Y0b= CBB1 b
而原问题最优解的目标函数值为
f(X0)=CX0= CBB1 b 故由最优解判别定理可知Y0 为对偶问题的最优解。证毕。
运筹学线性规划的对偶问题
例5 已知线性规划问题 minω = 2x1 + 3x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 x1 + x2 + 2x3 + x4 + 3x5 ≥ 4 2x1 - x2 + 3x3 + x4 + x5 ≥ 3 xj ≥ 0,j = 1,2,3,4,5
已知其对偶问题的最优解为y1* = 4/5, y2* = 3/5；z = 5。试用对偶理论找 出原问题的最优解.
试用对偶理论证明上述线性规划问题无最优解。
证: 首先看到该问题存在可行解，例如X = (0,0,0) 而上述问题的对偶问题为
minω = 2y1 + y2 -y1 - 2y2 ≥ 1 y1 + y2 ≥ 1 y1 - y2 ≥ 0 y1 ,y2 ≥ 0
由第一约束条件可知对偶问题无可行解，因而无最优解。由此 原问题也无最优解。
0 0
无约束
m个
约束条件
=
约束条件右端项 目标函数变量的系数
对偶问题（或原问题） 目标函数 min
n个
约束条件
=
m个
0 0
变量
无约束
目标函数变量的系数
约束条件右端项
原问题中的价值向量与对偶问题中的资源向量对换（上下对换） 原问题: X在C和A的右边;
xj yi
y1 y2 ┇ ym
对偶关系 maxZ
x1 x2 ┅ xn
a11 a12 ┅ a1n a21 a22 ┅ a2n ┇┇ ┇ am1 am2 ┅ amn ≥≥┅≥ c1 c2 ┅ cm
原关 minω 系
≤
运筹学：第1章 线性规划 第3节 对偶问题与灵敏度分析
s.t.
4x1 3x1
5x2 200 10x2 300
x1, x2 0
9x1 4x2 360
s.t.
34xx11
5x2 10 x
200 2 300
3x1 10x2 300
x1, x2 0
则D为
min z 360y1 200y2 300y3 300y4
9 y1 4 y2 3y3 3y4 7 s.t.4 y1 5y2 10 y3 10 y4 12
amn xn bm ym xn 0
机会成本 a1 j y1 a2 j y2 aij yi amj ym
表示减少一件产品所节省的可以增加的利润
（3）对偶松弛变量的经济解释——产品的差额成本
机会成本
利润
min w b1 y1 b2 y2 bm ym
a11 y1
st
a12
y1
a1n y1
max z CX
（P）
AX b
s
.t
.
X
0
（D）
min w Yb
s.t.
YA C Y 0
• （2）然后按照（D）、（P）式写出其对偶
例：写出下面线性规划的对偶规划模型：
max z 2x1 3x2
min w 3 y1 5y2 1y3
x1 2x2 3 y1 0
s.t.
2xx11
例如，在前面的练习中已知
max z 2.5x1 x2 的终表为
3x1 5x2 15 s.t.5x1 2x2 10
x1, x2 0
0 x3 9 2.5 x1 2
0 19 1 - 3
5
5
1
2
0
1
5
运筹学笔记4、5-特殊线性规划(整数规划、对偶问题)
每个线性规划问题都有一个与之对应的对偶问题。
简单考虑如下的生产分配问题我们有下面的对偶问题：该问题的任意一个可行解对应的目标函数值都不小于原问题的目标函数值，但是两个问题的最优目标函数值（有限）相同。
一般而言：1、每个对偶变量对应原问题的一个约束条件2、原问题是等式约束则对偶变量无不等式约束（非负约束）3、原问题是不等式约束则对偶变量有不等式约束4、原问题变量和对偶问题约束条件同样具有如上规律任何原问题和对偶问题之间都存在下述相互关系：弱对偶性：原对偶问题任何可行解的目标值都是另一问题最优目标值的界（推论：原对偶问题目标值相等的一对可行解是各自的最优解）强对偶性：原对偶问题只要有一个有最优解，另一个就有最优解，并且最优目标值相等互为对偶的线性规划问题解之间关系有如下四种：原问题与对偶问题之间存在互补松弛性：一般形式的线性规划互补松弛定理：经济学中有所谓影子价格的概念：如果增加某些约束条件的数值，原问题的最优目标值应该增加，增加单位约束使得原问题最优值的增加量为该约束条件的影子价格。
影子价格可以由对偶线性规划问题清楚地描述：对偶单纯形法：当线性规划问题中地某个约束条件或价值变量中含有参数时，原问题称之为参数线性规划，它有如下的处理方法：1）固定λ的数值解线性规划问题2）确定保持当前最优基不变的λ的区间3）确定λ在上述区间附近的最优基，回2）如以下问题：在实际问题中，许多变量以及它们的约束条件往往是离散的，或者说限定在整数域上，这便引入了整数线性规划的概念。
具体而言，整数线性规划包含纯整数线性规划（所有变量是整数变量）、混合整数线性规划（同时包含整数和非整数变量）、0-1型整数线性规划（变量等于0或1）去除整数规划的整数约束后的问题称为其松弛问题。
一般情况，原问题的解并不一定是其松弛问题的最优解附近的整数解，例如：通常的解决办法是在松弛问题的基础上出发，不断地引入整数的约束条件，从而求出整数规划的解。
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w
o i
z o b i
最大利润的增量
min w 4 y1 12 y 2 18 y 3
Ⅰ
Ⅱ
D
车间1
1
0
4
车间2
0
2
12
车间3
3
2
18
利润（元） 300 500
原
max z 300 x1 500 x 2
问
s.t. 1x1 0 x 2 4
题
0 x1 2 x 2 12
3x1 2 x 2 18
x1, x 2 0
一对对偶问题
w1
w2
wm
w m1
w m2
w mn 0
对偶问题是资源定价问题，对偶问题的最优解w1、w2、...、 wm称为m种资源的影子价格（Shadow Price）
3、资源影子价格的性质
z y b1w1 b2 w2 bi wi bm wm z z b1w1 b2 w2 (bi bi )wi bm wm z bi wi
max z 300x1 500x2 s.t. 2x1 0x2 4 0x1 2x2 12
min w 4 y1 12 y 2 18 y 3 1 y1 0 y 2 3 y 3 300 0 y1 2 y 2 2 y 3 500
3x1 2x2 18
x1, x2 0
原问题是求极小值，非规范形式的对应关系是： ①约束条件是“≤”符号 对偶变量y≤0 ②约束条件是“＝”符号 对偶变量y无约束 ③变量x≤0 对偶约束是“≥”符号 ④变量x无约束 对偶约束是“＝”符号
线性规划的对偶问题
一、对偶问题的提出
二、原问题与对偶问题的数学模型
继续
三、对偶的经济解释
返回
一、对偶问题的提出
某工厂要生产两种新产品：门和窗。 问该工厂如何 安排这两种新产品的生产计划，可使总利润最大？
车间
单位产品的生产时间 （小时）
门
窗
1
1
0
2
0
2
3
3
2
单位利润（元） 300
500
每周可获得的 生产时间（小
资源限量（吨）
min y b1w1 b 2 w 2 b m w m
s.t.
a 11w1 a 21w 2 a m1w m w m1
资源价格（元/吨） c1
a12w1 a 22w 2 a m2 w m
w m2
c2
a1n w1 a 2n w 2 a mn w m
w mn cn
x n2
b1 b2
a m1x1 a m2 x 2 a mn x n
消耗的资源（吨） x1
x2
xn
x n1
x nm bm
x n2
x nm 0
单位产品消耗的资源（吨/件）
剩余的资源（吨） 资源限量（吨）
2、对偶问题
原始和对偶问题都取得最优解时，最大利润 max z=min y
总利润（元）
付出的代价最小， 且对方能接受。
出让代价应不低于
用同等数量的资源
收
自己生产的利润。
购
厂家能接受的条件：
1 y 1 出 用0让 同y代 等2 价数应量3不的y 3低资于源300 0 y 1 自 己2 生y 2产的2利y润3 。 500 收购方的意愿：
单位产品门出租 收入不低于300元
单位产品窗出租 收入不低于500元
max z 5x1 3x2 2x3 4x4
5x1 x2 x3 8x4 8
s.t 2x1 4x2 3x3 2x4 10
x1,x2 0
x 3 ,x 4无约束
对偶问题为
min w 8y1 10 y2
5 y1 2 y2 0
s.t.
y1 4 y2 3 y1 3 y2 2
8 y1 2 y 2 4
y1 0, y2无约束
三、对偶的经济解释
1、原始问题是利润最大化的生产计划问题
总利润（元）
单位产品的利润（元/件）
产品产量（件）
max z c1x1 c 2 x 2 c 2 x 2
s.t.
a 11x 1 a 12 x 2 a 1n x n x n1
a 21x1 a 22x 2 a 2n x n
厂 家
对 偶 问 题
收
min w 4 y 1 12 y 2 18 y 3
购
厂 1 y 1 0 y 2 3 y 3 300
家 0 y 1 2 y 2 2 y 3 500
原问题
对偶问题
max
s.t.
z CX AX b X 0
min s.t.
w Yb YA C
Y0
一 3个约束 般 2个变量
W ≤0
关键口诀：对偶问题约束符号由原问题变量符号确 定，对偶问题变量符号由原问题约束符号确定。
非规范型模型的“非”无非有4个方面: ①约束条件是“≥”符号 对偶变量y≤0 ②约束条件是“＝”符号 对偶变量y无约束 ③变量x≤0 对偶约束是“≤”符号 ④变量x无约束 对偶约束是“＝”符号
2个约束 3个变量
规
律
C (c1, c2 )
Y (y1,y 2 ,y3 )
A (aij )
X
x1 x2
b1
b b2
b
3
特点：
1． max min 2．限定向量b 价值向量C
其它形式 的对偶
?
（资源向量）
3．一个约束 一个变量。
4． max z的LP约束“ ” min z 的
时）
4 12 18
设 门产量––––– x1
窗产量––––– x2
如何安排生产， 使获利最多？
max z 300 x1 500 x2s.t. ຫໍສະໝຸດ x142 x2 12
3x1 2 x2 18
x1, x2 0
厂 家
设： 车间1 —— y1 元／时 车间2 –––– y 2 元／时 车间3 –––– y 3 元／时
二、原问题与对偶问题的对应关系
原问题
目 标 函 数 M ax
约
m个
束
条
件
=
决
n个
策
0
变
0
量
无约束
资源系数 b 价值系数 C 约束条件系数矩阵 A
对偶问题
目 标 函 数 M in
m个
决
0
策
0
变
无约束
量
n个
约
束
条
=
件
价 值 系 数 bT 资 源 系 数 CT 约 束 条 件 系 数 矩 阵 AT
例:
LP是“ ”的约束。
5．变量都是非负限制。
其他形式问题的对偶
min z=CTX s.t. AX≥b
X ≥0
min z=CTX s.t. AX=b
X ≥0
min z=CTX
s.t. AX≤b
X ≥0
max y=bTW s.t. ATW≤C
W ≥0
max y=bTW s.t. ATW≤C
W ：unr
max y=bTW s.t. ATW≤C