动物集群运动行为模型-16

动物集群运动行为研究

摘要

以集群现象为研究对象的群体系统是一个由大量自治个体组成的集合，在无集中式控制和全模型的情况下，一般通过个体的局部感知作用和相应的反应行为使得整体呈现出复杂的涌现行为。本文着重解决了动物群的迁徙、逃避捕食者以及觅食等群体行为。

针对问题一，研究群体迁徙行为，在考虑靠近规则、对齐规则、避免碰撞规则的基础上，建立了一个个体自身运动受视野范围内其他个体共同作用的模型。在模型中主要考虑了个体的位置变化、瞬时速度大小和方向。通过每一时间间隔的变化，观察最后的运动趋势。

通过计算机仿真得到个体运动行为图，经过一段时间，各个个体运动趋向于同一方向，并向集群质心靠拢。

针对问题二，研究逃避捕食者的运动行为，通过分析个体与捕食者间的相对位置变化，来判断每个个体的运动速度大小和方向，模拟出动物群躲避捕食者的运动路线图。

针对问题三，研究觅食行为，在迁徙模型的基础上，当种群中出现一些带有引导信息的个体时，研究对整个种群的影响，考虑带信息的个体运动是不受其他个体影响的。

通过仿真，对误差数据进行分析，研究领导者占不同比例时，觅食行为的结果，当领导者比例至少为12%时，才能成功觅食。

关键字：集群运动迁徙模型躲避模型觅食模型智能仿真

一、问题重述

1.1 问题背景

自然界中存在着大量的群体运动现象，在宏观上，天体（恒星，行星，星云等）之间的聚集形成星系的运动，大气层中的水汽聚集形成大气运动，以及生物界中的鸟群、鱼群、蚁群等的运动。在微观上，细菌等微生物以及人类的黑色素细胞也会进行群体运动，奇怪的是，尽管生物群体中的个体具有有限的感知能力和智力水平，整个群体却能表现出复杂的运动行为，例如保持群体成员间在运动速度和方向上的同步，朝同一目标（食物、栖息地等）行进，这些群体还可以形成特殊的空间结构以应对紧急情况（如躲避障碍物或逃避抵御捕食者）等。

以集群现象为研究对象的群体系统是一个由大量自治个体组成的集合，在无集中式控制和全模型的情况下，一般通过个体的局部感知作用和相应的反应行为使得整体呈现出复杂的涌现行为。如何对这种集群行为进行数学建模，并将其应用与人工世界，是目前复杂性科学的前沿课题。

研究群集系统具有实际意义，一方面，它是理解生物复杂性的一个途径，另一方面，可以借鉴生物的智慧，把分布式策略用在自治多代理系统（如多机器人或自治飞行器系统）的控制、协调以及编队控制中。这些系统的共同特点是：个体自治、无全局通讯、无集中式控制。通过设计一定的控制规律，可以使系统整体呈现出所期望的涌现行为。群集的研究还有可能用来解释群集智能的产生，每一个个体并不是非常智慧的主体，但它们之间通过协作却可以展现出一定的智能行为，因此在工程上具有潜在的应用价值。

1.2 目标任务

观察给出的图片和视频资料，或者在网上搜索相关资料观察，思考动物集群运动的机理，建立数学模型刻画动物集群运动、躲避威胁等行为，例如，可以考虑以下问题的分析建模：

(1). 建立数学模型模拟动物的集群运动。

(2). 建立数学模型刻画鱼群躲避黑鳍礁鲨鱼的运动行为。

(3). 假定动物群中有一部分个体是信息丰富者(如掌握食物源位置信息，掌握迁徙路线信息) ，请建模分析它们对于群运动行为的影响，解释群运动方向决策如何达成。

二、模型假设

（1）、假设个体运动只受其视野范围内其它个体运动的影响。

（2）、假设不考虑个体形状的差别。

（3）、假设不考虑个体转弯需要的时间。

（4）、假设领导者的运动是不受其它个体影响的。

（5）、假设迁徙和觅食的过程中，忽略虑捕食者的存在。

三、符号说明

四、模型的建立与求解

4.1 迁徙模型建立与求解

4.1.1问题分析

为了模拟动物的集群运动，考虑物体的运动规律，在群体运动中每个个体的行为会受到其他个体的影响。根据这种影响，建立一个位置和速度的改变模型，通过对不同时刻不同个体的位置以及运动方向等信息的描述就可以判断整个群体的运动规律，进而分析集群运动的一致性。

4.1.2模型原则

以集群形式为生存策略的群居性动物组成的群体系统是一个由大量自治个体组成的集合。这种系统的特点是其每个个体进行集中式控制并建立全局模型。而Vicsek 模型通过个体的局部感知作用和周围其他个体对其影响形成对个体的位置和速度的确定，最终完成对整体的描述。

每个个体的行为由下面的三条简单规则控制：

（1）靠近规则的实现：每个个体都有向邻居中心靠拢的特性，邻居中心观察范围内各个体所在位置的平均值()i

p p i N N =∈∑，010

arctan y y D x x -=-，(,)p x y 为邻居平均值，000(,)p x y 为当前个体的位置，i p 为当前各个邻居的位置，1D 为当前个体的方向。

（2）对齐规则的实现：个体会和它的邻居朝同一个方向游动。公式表示为2()i

Q D i N N =∈∑，i Q 为各个邻居的方向，N 为邻居的个数，2D 为邻居的平均方向。

（3）避免碰撞规则的实现：当个体和它的邻居靠的太近的时（距离小于碰撞距离），应自动避开。公式表示为030arctan ()i

i y y D M i M x x -=∈-∑，3D 为小于碰撞

距离的邻居到当前个体方向的平均值，M 为邻居中小于碰撞距离的邻居个数。

这三条规则是按照优先级从高到低排列的。碰撞避免具有最高优先级而聚合 具有最低优先级。因此，通过定义静态优先级避免了可能的行为冲突。

4.1.3二维空间模型

陆生动物中的群居性动物，如鹿群通常在平坦的地面运动。通常可将其运动看作是二维空间的运动。因此，先在二维空间建立集群运动的数学模型。

4.1.3.1坐标更新原则

首先，本文将一个动物群体中的个体视为一个具有速度和初始位置的个体。由于个体的运动不会发生突变，因此假设个体在很短的一段时间内遵循匀速直线运动。所以本文将时间进行离散化处理。当采样频率比较高时，离散的模型造成

的误差可忽略不计。在平面坐标系中，可知(1)t +时刻个体i 的位置(1)i x t +u u u u u u u r 可由

式(1)确定：

()(1)()()1i i i x t x t v t t +=+?u u u u u u u r u u u u r u u u u r

其中，()i v t u u u u r 为个体i 在时刻t 时的速度；t ?是采样周期，用来减小个体运动

时的步长，它的引入会使个体的运动轨迹更加平滑。个体的初始位置是已知的，因此只要知道个体每一采样时刻对应的速度大小和方向，就可根据上式递推求出其运动轨迹。最终，所有个体的轨迹都求得后，整个群体的集群运动便由模型求出。

4.1.3.2速度方向更新原则

速度方向的确定：在二维空间内，个体的运动方向是会发生改变。而集群动物中的个体聚集性很强，总尽可能地保持运动方向和速度大小一致。所以，个体的运动不仅受自身意愿控制，还受周围临近的其他个体的运动状态影响。因此在模型中，个体在某时刻的运动方向不仅与自身上一时刻的方向有关，还与其周围个体的运动方向有关。首先分析周围个体的运动方向对其速度方向的影响。个体对周围同伴的感知是局部范围的，他们只能与距离较近的同伴交换信息。

自然界中的动物主要依靠视觉和听觉感知和获取来自邻近同伴的运动方向，并且这种感知是有一定范围的。根据生物学知识可知，动物的视觉范围是半径为0r ，角度为α的扇形（不同物种的r 和α取值不同），听觉的感知范围是一个半径为1r 的圆形区域（一般10r r >）。所以定义一个以个体自身为圆心的，半径为1r 的圆形区域为感知范围。也就是说，只有处在这个圆形的感知区域中的同伴才会对本个体的运动产生影响。对个体i 产生影响的其他个体可构成下面这个集合。

{}

1()()i ij t j d t r λ=<

受距离影响，两个体的距离越近，互相影响的程度越大。因此定义当个体i 与个体j 的距离为ij d 时，个体j 对个体i 的速度方向改变影响力大小为1()j ij t d θ，n 为集合()i t λ中元素的个数。因此，整个感知区域内的个体对个体i 运动方向的影响力大小为： 111()1n

j j ij

ij t d d θ=∑∑。 考虑到个体的运动方向还受自身上一时刻运动方向的影响，所以个体i 在(1)t +时刻的速度方向(1)i t θ+可由式(2)确定：

()111(1)()()21n i i j j ij

ij t t t d d θαθβθ=+=+∑∑

其中，()i t θ为个体i 在t 时刻的速度方向。α和β为赋予两个不同影响因素的权值，有1αβ+=。关于α和β值的确定比较复杂。因为个体行为由初始状态（初始角度和位置）、邻域半径r 和运动速率v 确定，进一步每个个体的邻居由其他个体的位置决定，每个个体的角度由邻居的角度决定，同样角度也会影响位置，因此所有个体之间的位置和角度之间形成复杂的非线性关系。下面对这两各参数取不同的值进行比较，观察其变化对个体方向变化的影响。下图是根据一个由四个个体组成的集群的运动方向的改变过程。

()0.3a β=图 ()1b β=图

图1：速度方向收敛示意图

β取值的大小反映出其他个体对个体的影响力大小。β值越大，个体的速度方向改变决策越依赖于其他个体的运动状态。但由上面两图可以看出，不管β的取值是多少，集群中的个体最终都会聚合到同一个运动方向。但当β的值增加时，个体的运动方向振荡比较严重。

4.1.3.3速度大小更新原则

速度大小的确定：考虑到集群运动过程中，个体运动要尽量聚合到一起，但

在聚合过程中速度控制不好可能会发生碰撞。因此要避免碰撞并尽量聚合，则每个个体的运动速度要实现匹配。当两个体距离较远时，后面的个体会加快速度，以缩短距离，提高聚合度。而距离太近时，为防止某以个体速度突然改变而造成碰撞，后面的个体又会降低速度，以保持安全距离。如下图所示： v ?????????0d 安全距离图2：速度大小更新示意图

个体的速度方向确定后，速度大小可由以下分析得出，在一维方向上单纯分析速度时，定义个体i 的速度i v 为：

()0()3i v k d d v v =-+

其中，0d 为前后两物体的安全距离，d 为两物体的实际距离，v 为前者的速度。现假设安全距离00.2d =，则若两个体在一维空间同向运动，当前面的个体以1/m s 的速度运动时，后面的个体运动速度随两者的距离变化如下图所示。

图3：速度大小随距离变化示意图

可见，当距离较大时，后者会以较高的速度接近前者，但随着两者距离的减小，后者的速度也会随之减小。而前者的速度一直不变主要是因为后者并不再其

视觉的感知区域。

()0.05a d =图 ()0.8b d =图

图4：距离变化示意图

由图(a)可知，当两个体的距离0.05d =时，后者会通过调节速度，最终平稳地使两者的距离增大到安全距离以避免发生碰撞；相应地由图(b)可知，当两个体的距离0.8d =时，后者会通过调节速度，最终平稳地使两者的距离减小到安全距离以提高聚合。

在二维空间内，速度可由两个不同向的一维空间速度合成，最终二维空间内的速度大小便可确定。在二维空间中，为确定不同个体的位置，建立一个平面直角坐标系。则个体i 的位置坐标为((),())i i x t y t 。由此可知，两个体的距离为：

()ij d t =

而个体i 在时刻(1)t +时的位置可由式(4)确定：

()(1)()cos 4(1)()sin i i i i i i i i

x t x t v y t y t v θθ+=+??+=+?

4.1.4模型仿真 根据上文建立的模型，本文选择一个21010m ?的区域，在其中随机投放100个位置和速度不同的个体形成一个集群。通过matlab 软件对其进行仿真检验，

得到不同时刻的集群中各个体的运动状态和所处位置，如下图所示。图中的黑点代表集群中的个体，红线代表其运动方向。下面得到的是在运动过程中的4个中间状态的示意图。

()a

图

图()b

()c

图()d

图

图5：迁徙模型仿真

（a）图为初始时刻，集群中各个体处于随机无序的状态，各点的运动方向差别很大。（b）、（c）和（d）图依次为其调整期间先后的采样图像。可以看出，各个体的运动方向随时间的推移渐趋一致，但各点的运动趋势并没有表现出聚集靠拢的特征。

为了便于观察集群的运动规律，对各点的运动轨迹进行记录，并且形成了下图所示的情况。

图6：迁徙模型仿真轨迹图

由图可以看出，各个体在最初的时间段内运动轨迹是杂乱的，表明其速度方向有很大差别。而随后速度方向很快趋于一致，所以运动轨迹基本形成了一个平行线簇。可见，集群最终虽然达到了速度匹配和方向一致，但并没有形成一个紧密的聚集群体。

4.1.5模型仿真的改进

设定个体总是趋向于向集群质心的位置运动。这种设定也符合集群动物的特性，即尽力向集群中心靠近，以免遭受天敌的攻击。基于以上考虑，在模型中的运动方向确定公式中加入一个变量，即0101

arctan

y y x x γ--（集群的质心坐标为00(,)x y ）。 集群质心的坐标可由式(5)求得：

()0101151N i i N i i x x N y y N ==?=????=??∑∑

由此可修正个体i 在时刻（t+1）时的速度方向为：

()0110111(1)()()arctan 61n i i j j ij ij y y t t t d x x d θαθβθγ=-+=++-∑∑

其中，1αβγ++=。

在将模型改进后，可得集群运动的轨迹为下图中的（b ）图。

()a 图改进前 ()b 图改进后

图7：距离变化示意图

图（a ）是未改进的集群轨迹图，图（b ）是加入集群质心影响因素后的轨迹图。可见，改进模型后，在运动方向基本一致后，个体会产生聚拢的运动趋势，并在取得较高的聚集度后转为运动方向平行。总之，改进的模型更逼近于真实的集群动物运动特征。

4.1.6三维空间模型

水中的鱼类，空中的鸟类的集群运动是在三维空间中的运动，所以它们的位置及运动轨迹可以在确定的三维立体坐标系中描述。定义在这个立体坐标系中，个体i 在时刻t 的位置坐标为((),(),())i i i x t y t z t 。在三维空间研究此问题时，我们将二维空间的模型拓展到三维空间。而在时刻(1)t +，个体i 的位置变化可由式(7)确定：

()(1)()cos cos (1)()cos sin 7(1)()s i i i i i i i i i i i

i i i x t x t v y t y t v z t z t v in ?θ?θ?+=+??+=+??+=+?

其中：?表示位置向量与水平面的夹角。 关于速度大小和方向的确定，首先要确定个体在三维空间中的感知范围。在此，以鱼类为例进行说明。经过科学实验证明，鱼类的感觉是靠眼睛的视觉，耳的听觉和侧线的触觉联合作用的。在这些感觉中，听觉的感知范围最大。因此可以认为其感知区域是以个体自身为球心，半径为r 的球形区域。也就是说，只有以个体i 为球心，半径为r 的球体区域内的其他个体会对个体i 的运动造成影响。两个个体间的距离变为：

()ij d t =依旧沿用上述在二维空间建立的模型，对个别变量进行调整，同样可以模拟仿真出动物种群的集聚运动。

4.2躲避模型的建立与求解

4.2.1问题分析

集群生活的动物之所以选择这种生活生存策略，其很重要的原因之一就是降低天敌对其伤害。本文将建立数学模型刻画鱼群躲避黑鳍礁鲨鱼的运动行为。从而展现集群动物躲避天敌的优势所在。

4.2.2初始状态分析

通过查阅一些文字以及视频资料，可以发现鱼群不在迁徙或觅食状态时，整个群体的轮廓形状不断变化，但其质心基本保持不变，整体上没有明显的移动。从速度的角度分析，此时鱼群整体没有表现出一致的速度方向和大小。所以鱼群

只是内部的各个小部分存在规律游动或内部呈现无序状态。内部的状态在整体宏观上表现为静止。在模型建立过程中，考虑到这个问题，要保证下面两式始终成立。

11

00i i N

x i N y i v v ==?=????=??∑∑ 当捕食者鲨鱼靠近鱼群时，鱼群并没有四散逃离，也没有整体迁移躲避，而是始终保持与鲨鱼在一定的安全距离之外。当鲨鱼深入鱼群内部时，鱼群会形成一个变化的包围圈，个体之间联系紧密。

4.2.3躲避原则

下面分析鱼群对鲨鱼形成包围圈后，鱼群内部的运动状态。假设鱼群形成的包围圈是以鲨鱼为圆心的圆形。在鲨鱼游动过程中，鱼群个体为保持与鲨鱼的安全距离，总是向背离鲨鱼的方向逃离，而鲨鱼始终保持着一个前进的速度。因此，鲨鱼周围的鱼移动速度就相对与鲨鱼的移动速度存在一个相对速度。这个相对速度随鱼个体与鲨鱼相对位置的不同而有所变化。根据运动学的知识，包围圈上的鱼个体相对鲨鱼的初始运动规律如下图所示。 0

v u

图8：躲避方向示意图

设定包围圈上的鱼群个体与鲨鱼前进的垂直方向的夹角为θ。由于鲨鱼前进方向上的鱼最危险，所以假定其游动的速度最大，为0v 。而由于鲨鱼转弯相对于前进困难，所以在其他方向上的鱼游动速度会随夹角θ的减小而降低。而在鲨鱼后方的鱼群，一方面受攻击的可能性比较小，另一方面受到从鲨鱼前方运动到后方的鱼群的挤压，所以后方的鱼群不可避免地向着鲨鱼运动。由此得出包围圈上鱼群个体的相对速度为：

2v v θπ=?

而在包围圈外围的鱼相对比较安全，但受其他鱼的影响以及位置变动可能带来的危险增大，所以这些个体也会以相同的规律运动，只是速度大小会有所降低。所以增加个体与鲨鱼的距离为影响因素，进而鱼群个体的相对运动速度公式改进为公式(8)：

()0

28v R

v θπρ=??

其中，R 为鱼群个体为确保安全而必须与鲨鱼保持的安全距离。

以上分析仅是针对鱼群个体面临鲨鱼威胁的初始反应速度。但当初始反应后，鱼群个体的运动会受周围同伴较大的影响，可能会对其逃离鲨鱼造成一定的阻碍。此时，鱼群个体的运动更多受到同类的影响，所以其运动规律符合问题一中的模型。其后续运动仍沿用问题一的模型，在此不再做过多分析。 u

v 相对

图9：相对速度示意图

图(9)显示的是鱼群个体和鲨鱼相对运动的示意图。u r 是鲨鱼前进的速度，v

r 是鱼群个体的绝对速度，根据运动学知识，可知此鱼群个体相对鲨鱼的运动速度

是v u u u u r 相对。而由于鱼群个体与鲨鱼的相对位置不同，所以相对速度也不尽相同。通

过对实际情况的分析和模型建立，鲨鱼和鱼群的运动轨迹模拟图如图(10)所示：

4.2.4模型的仿真

基于问题二建立的模型，利用软件matlab对其进行仿真检验，可得图(11)。由于该模型左右对称，因此只模拟了右方鱼群的运动轨迹。中间的圆形表示鲨鱼的攻击范围，而鱼群的运动轨迹基本是沿着图中的曲线的。可见模型基本可以模拟出鱼群躲避鲨鱼攻击的集群运动规律。

u

4.3觅食模型的建立与求解

4.3.1问题分析

在动物种群进行大量迁徙或者进行捕食时，往往在一个群体中会有部分个体掌握某种信息（如食物来源、迁徙路线等）。这部分个体对整个种群的影响是十分大的。

4.3.2模型建立

前面的模型中都是没有领导者的情况，而且每个个体的地位都相同，下面建立领导者模型来引导群体达到同步，由于领导者知道某些信息，从而他会沿着固定的轨迹进行运动，在整个运动过程中不受其他个体的影响，但他的行为会影响其他个体，从而可能使得群体中其他个体与领导者同步。假设系统中只有少数个体带有信息，其他个体并不知道谁是领导者，即在不改变系统中原有个体局部规则的前提下加入几个领导者来达到期望的集体行为，对于原群体的个体而言，领导者也只是一个是普通的个体， 它只会影响到其邻居中的其他个体，对于带有信息的个体，它们的运动规则是周围平均方向与一有限方向的合作下作为下一时刻的方向。

在问题一中研究的迁徙模型基础上，我们研究有部分信息者的捕食或者迁徙模型。

对于不知道信息的个体，它们的运动行为和问题中的模型是一样的，运动同时受自身运动方向和视野范围内其它个体的运动方向决定。即

111(1)()()1n

i i j j ij

ij t t t d d θαθβθ=+=+∑∑ 对于知道信息的个体，它们的运动方向决策取决于食物源的位置或者是固定的迁徙路线，所以对于它们运动方向为：

(1)()=k k t t C θθ+=

k θ为种群中第k 个带信息者，因此带信息者的位置坐标变化为：

(1)()cos (1)()sin k k k k k k k k

x t x t v y t y t v θθ+=+??+=+? 从上面的模型，可以猜测出随着种群中带信息者个体的增加，对不带信息者

的影响作用越来越大，也会缩短种群达到一致性的时间，

其他个体视野范围内带

信息者比重越大，这部分带信息的个体对其他不带信息的个体的引导效果会越明显。

4.3.3模型仿真

假定种群可视范围半径为5，下面分别模拟在有100个个体的情况下，随着领导者个数的变化，整个种群趋向于稳定和一致的规律。假设食物在觅食者的

4

π方向上。通过计算以下几个误差值来判断领导者在种群中所占比例对种群最终觅食结果的情况。

角度误差：()

1

1

9

4

n

i

i

N

π

δω

=

=-

∑

角度

角度方差：()

22

1

1

()10

4

N

i

i

s

N

π

ω

=

=-

∑

角度

距离误差：()

22

1111

()()11

i k i k

x x y y

m N m m N m

δ=-+-

--

∑∑∑∑

距离

通过计算几个参数值来判断种群中有多少个领导者才能实现准确的觅食。

下面分别作出在100个个体的种群中，领导者个数分别为2、4、6、8、10、12的情况。

领导者个数为2 领导者个数为4