第6章-杆系结构的非线性分析

第6章1第6章杆系结构的非线性分析第6章26.1 概述一.杆系结构非线性分析的关键问题¾非线性单元刚度矩阵的形成；¾非线性方程组的求解；¾结构破坏准则的确定。

第6章3二.杆元非线性单元刚度矩阵的形成1. 描述杆元物理非线性特征的数学模型¾集中塑性铰模拟z Giberson 单分量模型；z Clough 双分量模型；z Aoyama 三分量模型。

¾分布塑性区模型z 分段变刚度模型；z 连续变刚度模型；第6章42.集中塑性铰模型¾Giberson 单分量模型z 假定材料塑性仅在杆端出现，采用杆端无长度的塑性铰来刻划杆元的塑性。

杆端屈服前为线弹性杆，屈服后为梁端带塑性铰的杆单元。

MϕuϕyϕyM o杆端铰杆端铰线弹性部分z M.F.Giberson. Two Nonlinear Beams with Definition of Ductility. ASCE, ST2, 1969.第6章5¾Clough 双分量模型z 将实际的弹塑性杆视为1根线弹性杆和1根理想弹塑性杆的叠加。

z 同样假定材料塑性仅在弹塑性杆的杆端出现，采用杆端无长度的塑性铰来刻划杆元的塑性。

z R.W.Clough, Inelastic Earthquake Response of Tall Building , 3WCEE, 1965第6章6杆端铰杆端铰线弹性杆理想弹塑性杆非线性杆12,,1k pk k qk p q ==+=MϕuϕyϕyqM o2k M ϕuϕyϕyM uM o k1k M ϕo1k ypM ＝＋第6章7¾Aoyama 三分量模型z 将实际的弹塑性杆视为1根线弹性杆和2根理想弹塑性杆的叠加。

z 同样假定材料塑性仅在弹塑性杆的杆端出现，采用杆端无长度的塑性铰来刻划杆元的塑性。

z Aoyama H. , Analysis of the Behavior of R.C structure during strong Earthquake on the Empirical Estimation of inelastic Restoring Force characteristics of Members, 5WCEE, 1973第6章8非线性杆123234;k k k k k k k=+++=Mϕuϕyϕo4k ＝＋Mϕuϕyϕy M uM o cϕcM 2k M ϕo＋2k 1k k Mϕuϕyϕo3k 杆端铰杆端铰线弹性杆理想弹塑性杆第6章9¾杆元刚度矩阵的形成z 线弹性杆和弹塑性杆在塑性铰出现之前的刚度即为常规的线弹性单刚；z 弹塑性杆在杆端出现塑性铰后相应杆端即成铰接，相应该杆端的抗弯刚度取0。

第6章10323222032322000001260126064062[]000001260126022064EA lEA l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l K EA lEA l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l −⎡⎤⎢⎥−⎢⎥⎢⎥−=⎢⎥−⎢⎥⎢⎥−−−⎢⎥−⎣⎦ii ijjjuv uvθθi i i j j jN V M N V M 第6章11332033220000120126[]00001201200000000060206040EA lEA l EI l EI l EI l K EA lEA l EI l EI l EI l EI l EI l EI l −⎡⎤⎢⎥−⎢⎥⎢⎥=⎢⎥−⎢⎥⎢⎥−−⎢⎥−⎣⎦ ii i jjjuv uvθθi i i j j jN V M N V M z 当i 端出现塑性铰时，相应弹塑性杆的刚度矩阵第6章1232322032300000012601206406[]0000126000000000120EA lEA l EI l EI l EI l EI l EI l EI l K EA lEA l EI l EI l EI l −⎡⎤⎢⎥−⎢⎥⎢⎥−=⎢⎥−⎢⎥⎢⎥−−⎢⎥⎣⎦ii ijjjuv uvθθi i i j j jN V M N V M z 当j 端出现塑性铰时，相应弹塑性杆的刚度矩阵第6章1300 0 -00000000000000[]-0 00000000000 0000E A l E A l K E A lE A l⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ii ijjjuv uvθθi i i j j jN V M N V M z 当i 、j 两端出现塑性铰时，相应弹塑性杆的刚度矩阵第6章142.分布塑性区模型¾分段变刚度模型z 随杆内力的变化，杆元刚度大小即分布随之变化。

Mϕuϕyϕy M u M ocϕcM 0y crc u yu y uu yy cr rc cry y c c rrM M EI EI M EI M M EI EI EI M M M M M M M M ϕϕϕϕϕ−==<==≤−==<−≤≤−≤第6章15EI uEI cEI cEI yEI yEI yEI c EI c EI c M第6章16¾连续变刚度模型z 随杆内力的变化，杆元刚度大小即分布随之变化。

ϕMO M()dMEI M d ϕ=第6章17MEI(M)第6章186.2 一般方法形成单元刚度矩阵－T.L 列式一.分析思路¾将各构件沿轴向分成多段，每段作为一个单元；¾当单元长度划分得较小时，每一单元视为等刚度单元，但每一加载时刻其刚度在变化；¾杆元每一加载时刻的截面刚度由相应此时刻的弯矩－曲率－轴力关系确定；¾单元刚度矩阵的推导方法同几何非线性分析部分，仅注意截面的刚度不同。

第6章19二.基本假定¾平截面假定成立；¾钢筋和混凝土完全粘结，两者间无滑移现象；¾忽略截面剪切变形的影响；¾每一单元视为等刚度单元。

第6章20三.单元刚度矩阵的推导1.截面的切线刚度矩阵00[] (1)A s T sI E E d d dN D dM E E d d εεϕϕ⎡⎤⎧⎫⎧⎫⎧⎫==⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎣⎦第6章211111112211cscscscsN N A cici skski k N N s icici k sk sk i k N N s icici k sk ski k N N I i ci ci k sk sk i k E GA GA E y G A y G A E y GA y G A E yG A y G A ========•=⋅Δ+⋅Δ=⋅Δ+⋅Δ=⋅Δ+⋅Δ=⋅Δ+⋅Δ∑∑∑∑∑∑∑∑式中：第6章222. 单元位移函数01230123 (2)u a a xv b b x b x b x=+⎧⎪⎨=+++⎪⎩第6章231423560000[]{}{}(3)N N u N N N N N δδν⎡⎤⎧⎫==⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦T111222{}{}u v u v δθθ=¾根据单元的边界条件可得：第6章24232312323223234562323221; 1; 32; ; x x x x x N N N x l l l l l x x x x x N N N l l l l l=−=−+=−+==−=−+第6章253. 单元的几何方程20221()2 (4)du dv dx dxd v dx εϕ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩第6章26o 2201()()20du dv x dv x dx v dx dx d dx εϕ⎡⎤⎢⎥⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫=+⎢⎥⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎢⎥⎩⎭⎩⎭⎢⎥⎣⎦{}[]{}o 21() (5)2A C F εδδφ⎧⎫⎡⎤=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭第6章27[][A]100100l l =−222223223266436623[]0()(1)0()()x x x x x x x x C l l l l l l l l ⎡⎤=−+−+−−+⎢⎥⎣⎦2322326124661226[]0()0()()x x x x F l l l l l l l l ⎡⎤=−+−+−−+⎢⎥⎣⎦()第6章284. 单元的增量几何方程{}{}[]{}[]{}[]{}[]{}[][]{}[]{}o l nl l nl () (6)A d d d C C d FB d B d B B d B d εεδδδφδδδδ⎧⎫⎡⎤==+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭=+=+⋅=⋅第6章29[][]l 1234nl 00000000000000A a a B F b c b d eC eC eC eC B −⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦第6章302322112132422212232223423216124626;;;6643; 16623; x x xa b c d l l l l l l l e C v C C v C x x x x C C l l l l x x x x C C l l l lθθ=−=−+=−+=−+=+++=−+=−+=−=−+第6章31[][][][]{}o T T l nl () (7)d dN D D B B d dM d εδφ⎧⎫⎧⎫==+⋅⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭5. 单元的增量物理方程第6章326. 求单元的总势能∏{}{}{}{}{}{}{}{}{}[]1([1([][][])2][][])2TT T T TT T v Tv U U B D B dV W W P P U WB P D B D dV δδδδδδΠ=−Π=−==−−−∫∫杆元的变形能，；－外力虚功，；杆元杆端力列向量；截面的切线刚度矩阵（材料的物理矩阵）。

第6章337. 根据势能驻值原理求单元刚度矩阵[k]{}{}l s nl 0[][K][][][][][][]Tvk P B D B dV K K K δδΠ===++∫由势能驻值原理知：则 ：＝有第6章34[][][][][][][][][][][][][][][]Tl l T l lTs VT T Tnl nl T nl l T nl nl T l l[][][]()K B D B dlK C C dVK B D B B D B B D B dlσ===++∫∫∫第6章35S S A A II I I 3232S S I I II 22l I II I 3232S S I I II 2200126126006462[]00126126006264SS A A E E E E l l l l E E E E l l l l E E E E E E l l l l l l K E E E E l l l l E E E E l l l l E E E E E E ll llll ⎡⎤−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎢⎥=⎢⎥⎢⎥−−⎢⎥⎢⎥−−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎢⎥⎣⎦第6章36s 0000000651100651100110215011030[]0000000651100651100110300110215N l l l l K N l l l l t ⎡⎤⎢⎥−⎢⎥⎢⎥−−=⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−⎢⎥−−⎣⎦式中：为时刻的轴力，受拉为正、受压为负。