13平面直角坐标系
江苏盐城2021年中考备战策略(13)《平面直角坐标系》专题强化提优
江苏盐城2021年中考备战策略（13）《平面直角坐标系》专题强化提优知识点扫描考点一平面内点的坐标1．(1)平面内的点可以用一对________来表示．例如点A在平面内可表示为A(a，b)，其中a 表示点A的横坐标，b表示点A的纵坐标．(2)平面内的点和有序实数对是_______的关系，即平面内的任何一个点可以用一对________来表示；反过来每一对有序实数都表示平面内的一个点．(3)有序实数对表示这一对实数是有________的，即(1,2)和(2,1)表示两个______的点．2．平面内点的坐标规律(1)各象限内点的坐标的特征点P(x，y)在第一象限⇔x＞0，y＞0；点P(x，y)在第二象限⇔x＜0，y＞0；点P(x，y)在第三象限⇔x＜0，y＜0；点P(x，y)在第四象限⇔x＞0，y＜0.(2)坐标轴上的点的坐标的特征点P(x，y)在x轴上⇔y＝0，x为任意实数；点P(x，y)在y轴上⇔x＝0，y为任意实数；点P(x，y)在坐标原点⇔x＝0，y＝0.考点二特殊点的坐标特征1．(1)平行于x轴(或垂直于y轴)的直线上点的___________相同，横坐标为不相等的实数．(2)平行于y轴(或垂直于x轴)的直线上点的__________相同，纵坐标为不相等的实数．2．各象限角平分线上的点的坐标特征(1)第一、三象限角平分线上的点，横、纵坐标________．(2)第二、四象限角平分线上的点，横、纵坐标__________________3．对称点的坐标的特征点P(x，y)关于x轴的对称点P1的坐标为(x，－y)；关于y轴的对称点P2的坐标为(－x，y)；关于原点的对称点P3的坐标为(－x，－y)．以上特征可归纳为：(1)关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标______________________(2)关于y轴对称的两点，横坐标___________________，纵坐标相同．(3)关于原点对称的两点，横、纵坐标均_____________．考点三。
中学数学第十三章 第1节 第1课时 坐标系
第1节 坐标系与参数方程第1课时 坐标系最新考纲 1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化；3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．知 识 梳 理1.平面直角坐标系中的伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λ·x (λ>0)，y ′＝μ·y (μ>0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换. 2.极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.点O 称为极点，射线Ox 称为极轴.平面内任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从射线Ox 到射线OM 的角度θ来刻画(如图所示).这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标.ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角.一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系.我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角.(2)极坐标与直角坐标的互化设M 为平面上的一点，它的直角坐标为(x ，y )，极坐标为(ρ，θ).由图可知下面的关系式成立：⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0)， 这就是极坐标与直角坐标的互化公式. 3.常见曲线的极坐标方程[微点提醒] 关于极坐标系1.极坐标系的四要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，四者缺一不可.2.由极径的意义知ρ≥0，当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系，约定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角可取任意角.3.极坐标与直角坐标的重要区别：多值性.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系.( )(2)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.( ) (3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的.( ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线.( )解析 (1)一般认为ρ≥0，当θ∈[0，2π)时，平面上的点(除去极点)才与极坐标建立一一对应关系；(4)极坐标θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条射线． 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2.(选修4－4P15习题T3改编)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( ) A.ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B.ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4 解析 ∵y ＝1－x (0≤x ≤1)， ∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)； ∴ρ＝1sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2.答案 A3.(选修4－4P15T4改编)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2C.(1，0)D.(1，π)解析 法一 由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，即x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2.法二 由ρ＝－2sin θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2，知圆心的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2，故选B. 答案 B4.(2015·湖南卷)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C 的直角坐标方程为________.解析 由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，即x 2＋(y －1)2＝1. 答案 x 2＋(y －1)2＝15.(2014·广东卷)在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ＝sin θ与ρcos θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为________.解析 将2ρcos 2 θ＝sin θ两边同乘以ρ，得2(ρcos θ)2＝ρsin θ，化为直角坐标方程为2x 2＝y ①，C 2：ρcos θ＝1化为直角坐标方程为x ＝1②，联立①②可解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，所以曲线C 1与C 2交点的直角坐标为(1，2)． 答案 (1，2)6.(2014·陕西卷)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin(θ－π6)＝1的距离是________. 解析 将极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6转化为直角坐标为(3，1)．极坐标方程ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1转化为直角坐标方程为x －3y ＋2＝0，则点(3，1)到直线x －3y ＋2＝0的距离d ＝|3－3×1＋2|1＋（－3）2＝1.答案 1考点一 平面直角坐标系中的伸缩变换易错警示【例1】 在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y 后的图形.(1)5x ＋2y ＝0；(2)x 2＋y 2＝1. 解 伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y则⎩⎨⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′.(1)若5x ＋2y ＝0，则5(2x ′)＋2(3y ′)＝0，所以5x ＋2y ＝0经过伸缩变换后的方程为5x ′＋3y ′＝0，为一条直线. (2)若x 2＋y 2＝1，则(2x ′)2＋(3y ′)2＝1，则x 2＋y 2＝1经过伸缩变换后的方程为4x ′2＋9y ′2＝1，为椭圆. 规律方法 伸缩变换后方程的求法平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0）的作用下的变换方程的求法是将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x )，得y ′μ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′λ，整理之后得到y ′＝h (x ′)，即为所求变换之后的方程．易错警示 应用伸缩变换时，要分清变换前的点坐标(x ，y )与变换后的点坐标(x ′，y ′)．【训练1】 在同一坐标系中，求将曲线y ＝12sin 3x 变为曲线y ＝sin x 的伸缩变换公式.解 将曲线y ＝12sin 3x ①经过伸缩变换变为y ＝sin x ，即y ′＝sin x ′②， 设伸缩变换公式是⎩⎨⎧x ′＝λx ，y ′＝μy(λ>0，μ>0)，把伸缩变换关系式代入②式得：μy ＝sin λx 与①式的系数对应相等得到⎩⎨⎧μ＝2，λ＝3，所以，变换公式为⎩⎨⎧x ′＝3x ，y ′＝2y .考点二 极坐标与直角坐标的互化【例2】 (2019·德阳诊断)已知极坐标系的极点为平面直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋2cos α，y ＝1＋2sin α(α为参数)，直线l 过点(－1，0)，且斜率为12，射线OM 的极坐标方程为θ＝3π4.(1)求曲线C 和直线l 的极坐标方程；(2)已知射线OM 与曲线C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，则线段PQ 的长.解 (1)∵曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋2cos α，y ＝1＋2sin α(α为参数)，∴曲线C 的普通方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入整理得ρ＋2cos θ－2sin θ＝0， 即曲线C 的极坐标方程为ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4.∵直线l 过点(－1，0)，且斜率为12，∴直线l 的方程为y ＝12(x ＋1)，∴直线l 的极坐标方程为ρcos θ－2ρsin θ＋1＝0. (2)当θ＝3π4时，|OP |＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π4＝22，|OQ |＝12×22＋22＝23， 故线段PQ 的长为22－23＝523.规律方法 1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式；x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0)．2．进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧.【训练2】 (1)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线上，求a 的值及直线的直角坐标方程. (2)把曲线C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0化为极坐标方程. 解 (1)∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 上，∴a ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π4＝2，所以直线的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2， 从而直线的直角坐标方程为x ＋y －2＝0. (2)将⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0，所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 考点三 曲线极坐标方程的应用【例3－1】 (2019·太原二模)点P 是曲线C 1：(x －2)2＋y 2＝4上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O 为中点，将点P 逆时针旋转90°得到点Q ，设点Q 的轨迹为曲线C 2. (1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)射线θ＝π3(ρ>0)与曲线C 1，C 2分别交于A ，B 两点，定点M (2，0)，求△MAB 的面积.解 (1)由曲线C 1的直角坐标方程(x －2)2＋y 2＝4可得曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ.设Q (ρ，θ)，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ，θ－π2，则有ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2＝4sin θ.所以曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ. (2)M 到射线θ＝π3(ρ>0)的距离d ＝2sin π3＝3，|AB |＝ρB －ρA ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－cos π3＝2(3－1)，所以S △MAB ＝12|AB |×d ＝12×2(3－1)×3＝3－ 3.【例3－2】 (2017·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)设点M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值.解 (1)设点P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0). 由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ.由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0). 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0). (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0). 由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α， 于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π3－32≤2＋ 3. 当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3. 所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.规律方法 求线段的长度有两种方法．方法一，先将极坐标系下点的坐标、曲线方程转化为平面直角坐标系下的点的坐标、曲线方程，然后求线段的长度．方法二，直接在极坐标系下求解，设A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ2)，则|AB |＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos （θ2－θ1）；如果直线过极点且与另一曲线相交，求交点之间的距离时，求出曲线的极坐标方程和直线的极坐标方程及交点的极坐标，则|ρ1－ρ2|即为所求．【训练3】 (1)在极坐标系中，求直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2被圆ρ＝4截得的弦长.(2)(2019·衡阳二模)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A ，B 为C 上两点，且OA ⊥OB ，设射线OA ：θ＝α，其中0<α<π2. (ⅰ)求曲线C 的极坐标方程； (ⅱ)求|OA |·|OB |的最小值.解 (1)由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2，得22(ρsin θ＋ρcos θ)＝2，可化为x ＋y －22＝0.圆ρ＝4可化为x 2＋y 2＝16，圆心(0，0)到直线x ＋y －22＝0的距离d ＝|22|2＝2， 由圆中的弦长公式，得弦长 l ＝2r 2－d 2＝242－22＝4 3. 故所求弦长为4 3.(2)(ⅰ)将曲线C 的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)化为普通坐标方程为x 22＋y2＝1.因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以曲线C 的极坐标方程为ρ2＝21＋sin 2 θ.(ⅱ)根据题意：射线OB 的极坐标方程为θ＝α＋π2或θ＝α－π2， 所以|OA |＝21＋sin 2 α，|OB |＝21＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π2＝21＋cos 2 α，所以|OA |·|OB |＝21＋sin 2 α·21＋cos 2 α＝4(1＋sin 2α)(1＋cos 2 α)≥21＋sin 2 α＋1＋cos 2 α2＝43. 当且仅当sin 2 α＝cos 2 α，即α＝π4时，|OA |·|OB |取得最小值为43.[思维升华]1.曲线的极坐标方程化成直角坐标方程：对于简单的我们可以直接代入公式ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同时乘以ρ等．2.直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)的步骤： (1)运用ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0)；(2)在[0，2π)内由tan θ＝yx (x ≠0)求θ时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限(即θ的终边位置)． [易错防范]1.确定极坐标方程，极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可．2．平面上点的直角坐标的表示形式是唯一的，但点的极坐标的表示形式不唯一．当规定ρ≥0，0≤θ＜2π，使得平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点．3．进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，应注意两点： (1)注意ρ，θ的取值范围及其影响．(2)重视方程的变形及公式的正用、逆用、变形使用.基础巩固题组 (建议用时：60分钟)1.求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y变换后所得曲线C ′的焦点坐标.解 设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)， 由上述可知，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入x 2－y 264＝1，得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1，即x 29－y 216＝1为曲线C ′的方程，可见仍是双曲线，则焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)为所求.2.(2018·武汉模拟)在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22.(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标. 解 (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝x ＋y ， 即x 2＋y 2－x －y ＝0， 直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为：y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎨⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2.3.以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝21－sin θ.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过极点O 作直线l 交曲线于点P ，Q ，若|OP |＝3|OQ |，求直线l 的极坐标方程. 解 (1)∵ρ＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ， ∴ρ＝21－sin θ化为ρ－ρsin θ＝2，得ρ2＝(2＋ρsin θ)2，∴曲线的直角坐标方程为x 2＝4y ＋4. (2)设直线l 的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R )， 根据题意21－sin θ0＝3·21－sin(θ0＋π)，解得θ0＝π6或θ0＝5π6，直线l 的极坐标方程θ＝π6(ρ∈R )或θ＝5π6(ρ∈R ).4.(2019·安阳二模)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x ＋3y ＝53，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ. (1)求直线l 的极坐标方程和圆C 的直角坐标方程；(2)射线OP ：θ＝π6与圆C 的交点为O ，A ，与直线l 的交点为B ，求线段AB 的长. 解 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，直线l ：x ＋3y ＝53， 所以直线l 的极坐标方程为ρcos θ＋3ρsin θ＝53， 化简得2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝53，即为直线l 的极坐标方程.由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ， 所以x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4， 即为圆C 的直角坐标方程. (2)由题意得ρA ＝4sin π6＝2， ρB ＝532sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π6＝5，所以|AB |＝|ρA －ρB |＝3.5.(2019·福州四校期末联考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋cos α，y ＝2＋sin α(α为参数)，直线C 2的方程为y ＝3x .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C 1和曲线C 2的极坐标方程；(2)若直线C 2与曲线C 1交于A ，B 两点，求1|OA |＋1|OB |.解 (1)由曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋cos α，y ＝2＋sin α(α为参数)，得曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋(y －2)2＝1，则C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，由于直线C 2过原点，且倾斜角为π3，故其极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R ).(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，θ＝π3得ρ2－(23＋2)ρ＋7＝0，设A ，B 对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2＝23＋2，ρ1ρ2＝7，∴1|OA |＋1|OB |＝|OA |＋|OB ||OA |·|OB |＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝23＋27.6.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(其中φ为参数)，曲线C 2：x 2＋y 2－2y ＝0.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l ：θ＝α(ρ≥0)与曲线C 1，C 2分别交于点A ，B (均异于原点O ). (1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)当0<α<π2时，求|OA |2＋|OB |2的取值范围.解 (1)∵⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ，∴x 22＋y 2＝1，由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得曲线C 1的极坐标方程为ρ2＝21＋sin 2 θ；∵x 2＋y 2－2y ＝0，∴曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(2)设A ，B 对应的极径分别为ρ1，ρ2，则由(1)得|OA |2＝ρ21＝21＋sin 2α，|OB |2＝ρ22＝4sin 2α， ∴|OA |2＋|OB |2＝21＋sin 2α＋4sin 2 α＝21＋sin 2 α＋4(1＋sin 2α)－4， ∵0<α<π2，∴1<1＋sin 2α<2，∴6<21＋sin 2α＋4(1＋sin 2α)<9， ∴|OA |2＋|OB |2的取值范围为(2，5).能力提升题组 (建议用时：20分钟)7.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋2cos α，y ＝1＋2sin α(α为参数).以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C 的极坐标方程；(2)过原点O 的直线l 1，l 2分别与曲线C 交于除原点外的A ，B 两点，若∠AOB ＝π3，求△AOB 的面积的最大值.解 (1)曲线C 的普通方程为(x －3)2＋(y －1)2＝4， 即x 2＋y 2－23x －2y ＝0，所以，曲线C 的极坐标方程为ρ2－23ρcos θ－2ρsin θ＝0，即ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3.(2)不妨设A (ρ1，θ)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π3，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2. 则ρ1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，ρ2＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋2π3，△AOB 的面积S ＝12|OA |·|OB |sin π3 ＝12ρ1ρ2sin π3＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋2π3＝23cos 2θ＋3≤3 3.所以，当θ＝0时，△AOB 的面积取最大值3 3.8.(2018·厦门外国语中学模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)；在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2 θ＝sin θ.(1)求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若射线l ：y ＝kx (x ≥0)与曲线C 1，C 2的交点分别为A ，B (A ，B 异于原点)，当斜率k ∈(1，3]时，求|OA |·|OB |的取值范围.解 (1)曲线C 1的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2－2x ＋y 2＝0，将⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入并化简得曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ. 由ρcos 2θ＝sin θ两边同时乘ρ，得ρ2cos 2θ＝ρsin θ，结合⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得曲线C 2的直角坐标方程为x 2＝y .(2)设射线l ：y ＝kx (x ≥0)的倾斜角为φ，则射线的极坐标方程为θ＝φ，且k ＝tan φ∈(1，3].联立⎩⎨⎧ρ＝2cos θ，θ＝φ，得|OA |＝ρA ＝2cos φ，联立⎩⎨⎧ρcos 2θ＝sin θ，θ＝φ，得|OB |＝ρB ＝sin φcos 2 φ，所以|OA |·|OB |＝ρA ·ρB ＝2cos φ·sin φcos 2 φ＝2tan φ＝2k ∈(2，23]，即|OA |·|OB |的取值范围是(2，23].。
平面直角坐标系和直角坐标方程
平面直角坐标系和直角坐标方程一、平面直角坐标系的定义与构成1.平面直角坐标系是由两条互相垂直的数轴（横轴和纵轴）组成的平面图形。
2.横轴（x轴）与纵轴（y轴）相交于原点（O点），原点是坐标的起点。
3.坐标轴上的点用数值表示，横轴上的点用x表示，纵轴上的点用y表示。
二、坐标值的表示方法1.点的坐标值用一对有序实数（x, y）表示，其中x为横坐标，y为纵坐标。
2.坐标值可以是正数、负数或零。
3.坐标轴上的点，其坐标值有一个为零，另一个为无穷大。
三、坐标系的性质与特点1.坐标系具有原点、轴、象限、坐标轴正方向等基本元素。
2.任意一点在坐标系中的位置都可以用其坐标值（x, y）来表示。
3.坐标系将平面分成四个部分，称为象限，每个象限具有特定的坐标符号特征。
四、直角坐标方程的概念1.直角坐标方程是描述平面直角坐标系中点的位置关系的方程，形式为f(x, y)=0。
2.直角坐标方程可以表示直线、圆、椭圆、双曲线等平面图形。
3.直角坐标方程由函数、变量、常数等数学符号组成。
五、直角坐标方程的分类1.线性方程：最高次项为一次的方程，如ax + by + c = 0。
2.二次方程：最高次项为二次的方程，如ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey +f = 0。
3.三次方程：最高次项为三次的方程，如ax^3 + bx^2y + cx2y2 + dx^3+ ey^3 + f = 0。
4.函数方程：含有自变量和因变量的方程，如y = f(x)。
六、直角坐标方程的求解方法1.线性方程的求解：通过解析式求出x、y的值。
2.二次方程的求解：利用求根公式、配方法、图像法等求解。
3.三次方程的求解：利用代数方法、因式分解、图像法等求解。
4.函数方程的求解：通过代入法、图像法、解析法等求解。
七、直角坐标方程的应用1.描述几何图形的位置和形状。
2.解决实际问题，如物体的运动轨迹、平面几何题等。
3.数学分析、物理学、工程学等领域的建模和求解。
2020年中考数学一轮复习练习题 第13课时 平面直角坐标系(含答案)
第五章函数及其图象第13课时平面直角坐标系(65分)一、选择题(每题5分，共35分)1．[2018·扬州]在平面直角坐标系的第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点M的坐标是()A．(3，－4) B．(4，－3)C．(－4,3) D．(－3,4)2．[2018·成都]在平面直角坐标系中，点P(－3，－5)关于原点对称的点的坐标是()A．(3，－5) B．(－3,5)C．(3,5) D．(－3，－5)3．[2019·滨州]在平面直角坐标系中，将点A(1，－2)向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点B，则点B的坐标是()A．(－1,1) B．(3,1) C．(4，－4) D．(4,0)4．[2019·嘉兴]如图，在平面直角坐标系中，已知菱形OABC的顶点A(1,2)，B(3,3)．作菱形OABC关于y轴的对称图形OA′B′C′，再作图形OA′B′C′关于点O的中心对称图形OA″B″C″，则点C的对应点C″的坐标是()A．(2，－1) B．(1，－2)C．(－2,1) D．(－2，－1)5．[2018·广安]已知点P(1－a,2a＋6)在第四象限，则a的取值范围是()A．a<－3 B．－3<a<1 C．a>－3 D．a>16．[2019·金华]如图是雷达屏幕在一次探测中发现的多个目标，其中对目标A的位置表述正确的是()A．在南偏东75°方向处B．在5 km处C．在南偏东15°方向5 km处D．在南偏东75°方向5 km处7．[2019·荆州]如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，3)，以原点为中心，将点A顺时针旋转30°得到点A′，则点A′的坐标为()A．(3，1) B．(3，－1)C．(2,1) D．(0,2)二、填空题(每题4分，共20分)8．[2019·陇南]中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点(0，－2)，“马”位于点(4，－2)，则“兵”位于点____________．9．[2019·广安]点M(x－1，－3)在第四象限，则x的取值范围是____________．10．[2019·济宁]已知点P(x，y)位于第四象限，并且x≤y＋4(x，y为整数)，写出一个符合上述条件的点P的坐标________________．11．[2019·泸州]在平面直角坐标系中，点M(a，b)与点N(3，－1)关于x轴对称，则a ＋b的值是________．12．[2019·福建]如图，在平面直角坐标系xOy中，已知▱OABC的三个顶点O(0,0)，A(3,0)，B(4,2)，则第四个顶点是________．三、解答题(共10分)13．(10分)[2018·南宁]如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1,1)，B(4，1)，C(3,3)．(1)将△ABC向下平移5个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；(2)将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；(3)判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状．(无须说明理由)(15分)14．(15分)[2018·枣庄]如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．(1)在图①中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；(2)在图②中，画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形；(3)在图③中，画出△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后的三角形．(20分)15．(10分)[2019·菏泽]如图，在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2，……，第n次移动到点A n，则点A2 019的坐标是()A．(1 010,0) B．(1 010,1)C．(1 009,0) D．(1 009,1)16．(10分)[2019·广安]如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为(1,0)，以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以OA2为直角边作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3＝60°，再以OA3为直角边作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4＝60°……按此规律进行下去，则点A2的坐标为____________．019参考答案1．C 2.C 3.A 4.A 5.A 6.D7.A8．(－1,1)9.x>110．答案不唯一，如(1，－1)11．412.(1,2)13．(1)略(2)略(3)△OA1B为等腰直角三角形14．(1)略(2)略(3)略15．C16.(－22 017,22 0173)。
平面直角坐标系的13个知识点
平面直角坐标系的13个核心知识点哎，说起平面直角坐标系，那可是数学里头相当重要的一个板块儿。
咱们今天就来摆一摆它的13个核心知识点。
首先呢，平面直角坐标系就是由两条互相垂直的数轴组成，水平方向的叫x轴，垂直方向的叫y轴，它们交在一块儿的那个点叫原点。
然后啊，平面上的每个点都可以用一对有序实数来表示，比如(x,y)，x就是横坐标，y就是纵坐标。
再说说象限，根据点的坐标的正负，平面被分成了四个部分，叫象限。
第一象限的点坐标都是正数，第二象限的x坐标为负，y坐标为正，第三象限的点坐标都是负数，第四象限的x坐标为正，y坐标为负。
还有啊，关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标，都是有规律的。
比如关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标变相反数。
另外，平面直角坐标系里头还可以搞平移、缩放这些变换。
平移的时候，点的坐标会跟着变，比如向右平移，横坐标就变大，向左平移，横坐标就变小。
缩放的时候，比如横坐标变为原来的k倍，那图形就跟着放大或缩小了。
再来说说直线、圆这些图形，它们都可以用方程来表示。
比如直线y=2x+3，圆的方程是(x-h)^2+(y-k)^2=r^2。
最后啊，还有中点公式、斜率公式、距离公式这些工具，它们可以用来求线段的中点、直线的斜率和两点间的距离。
总之啊，平面直角坐标系的知识点虽然多，但只要掌握了规律，学起来也就不那么难了。
2022年初中数学同步 7年级下册 第13课 坐标方法的简单应用(教师版含解析)
第13课坐标方法的简单应用目标导航课程标准1．能建立适当的平面直角坐标系描述物体的位置.2. 能在同一坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化.知识精讲知识点01 用坐标表示地理位置根据已知条件，建立适当的平面直角坐标系，是确定点的位置的必经过程，只有建立了适当的直角坐标系，点的位置才能得以确定，才能使数与形有机地结合在一起.利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况的过程：(1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴，y轴的正方向；(2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；(3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．注意：(1)建立坐标系的关键是确定原点和坐标轴的位置，我们一般选择那些使点的位置比较容易确定的方法，例如借助于图形的某边所在直线为坐标轴等，而建立平面直角坐标系的方法是不唯一的.所建立的平面直角坐标系也不同，得到的点的坐标不同．(2)应注意比例尺和坐标轴上的单位长度的确定．知识点02 用坐标表示平移1.点的平移：在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点(x＋a，y)或(x－a，y)；将点(x，y)向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y＋b)或(x，y－b).注意：(1)在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：右加左减；(2)在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：上加下减；(3)在坐标系内，平移的点的坐标规律：沿x轴平移纵坐标不变,沿y轴平移横坐标不变．2.图形的平移：在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．注意：(1)平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决.(2)平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化.能力拓展考法01 用坐标表示地理位置【典例1】小明写信给他的朋友介绍学校的有关情况：校门正北方100米处是教学楼，从校门向东50米，再向北50米是科教楼，从校门向西100米，再向北150米是宿舍楼……请画出适当的平面直角坐标系表示校门、教学楼、科技楼、宿舍楼的位置，并写出这四个点的坐标．【分析】选取校门所在的位置为原点，并以正东，正北方向为x轴、y轴的正方向，可以容易地写出三个建筑物的坐标．否则就较复杂．【答案与解析】解：(1)平面直角坐标系及学校的建筑物位置如图所示，比例尺为1:10000．(2)校门的坐标为(0，0)；教学楼的坐标为(0，100)；科技楼的坐标是(50，50)；宿舍楼的坐标为(-100，150)．【点睛】选取的坐标原点不同，各个据点的坐标也不同，不论是哪个点表示原点，都要让人一听一看就清楚所描述的位置．【即学即练】一个探险家在日记上记录了宝藏的位置，从海岛的一块大圆石O出发，向东1000m，向北1000m，向西500m，再向南750m，到达点P，即为宝藏的位置．(1)画出坐标系确定宝藏的位置；(2)确定点P的坐标．【答案】解：根据数据的特点，选择250作为单位长度，以大圆石O为原点，建立平面直角坐标系．(1)如图，中心带有箭头的线是行动路线，点P的位置如图所示．(2)点P的坐标是(500，250)【典例2】如图是一所学校的平面示意图，已知国旗杆的坐标为(-1，1)，写出其他几个建筑物位置的坐标．若国旗杆的坐标为(3，1)，则其他几个建筑物位置的坐标是否发生改变?若改变，请写出坐标，若不改变，请说明理由．【答案与解析】解：当国旗杆的坐标是(-1，1)时，校门的坐标是(-4，1)，实验楼的坐标是(2，-2)，教学楼的坐标是(2，1)，图书馆的坐标是(1，4)；若国旗杆的坐标是(3，1)，则校门的坐标是(0，1)，实验楼的坐标是(6，-2)，教学楼的坐标是(6，1)，图书馆的坐标是(5，4)．【点睛】根据已知点确定平面直角坐标系，进一步求得要求点的坐标．【即学即练】如图，是象棋棋盘的一部分．若位于点(1，﹣2)上，位于点(3，﹣2)上，则位于点上．【答案】(﹣2，1)．解：∵位于点(1，﹣2)上，位于点(3，﹣2)上，∴位于点(﹣2，1)上．考法02用坐标表示平移【典例3】如如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，C点坐标为(1，2)．(1)写出点A、B的坐标：A(，)、B(，)(2)将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A′B′C′，则A′B′C′的三个顶点坐标分别是A′(，)、B′(，)、C′(，)．(3)△ABC的面积为．【分析】(1)A在第四象限，横坐标为正，纵坐标为负；B的第一象限，横纵坐标均为正；(2)让三个点的横坐标减2，纵坐标加1即为平移后的坐标；(3)△ABC的面积等于边长为3，4的长方形的面积减去2个边长为1，3和一个边长为2，4的直角三角形的面积，把相关数值代入即可求解．【答案与解析】解：(1)写出点A、B的坐标：A(2，﹣1)、B(4，3)(2)将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A′B′C′，则A′B′C′的三个顶点坐标分别是A′(0，0)、B′(2，4)、C′(﹣1，3)．(3)△ABC的面积=3×4﹣2××1×3﹣×2×4=5．【点睛】用到的知识点为：左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加；格点中的三角形的面积通常用长方形的面积减去若干直角三角形的面积表示．【即学即练】已知三角形ABC三个顶点的坐标为A(-2，3)，B(-4，-1)，C(2，0)．三角形ABC中任意一点P(x0，y0)经平移后对应点为P1(x0+5，y0+3)．将三角形ABC作同样的平移得到三角形A1B1C1：(1)求A1B1C1的坐标．(2)求三角形ABC和△A1B1C1的面积大小．【答案】解：(1)A 1(3，6)，B 1(1，2)，C 1(7，3)．(2)ABC A B C S S '''=△△11124246143222=-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯＝24-4-3-6＝11． 考法03 综合应用【典例4】在A 市北300km 处有B 市，以A 市为原点，东西方向的直线为x 轴，南北方向的直线为y 轴，并以50km 为1个单位建立平面直角坐标系．根据气象台预报，今年7号台风中心位置现在C (10，6)处，并以40千米/时的速度自东向西移动，台风影响范围半径为200km ，问经几小时后，B 市将受到台风影响?并画出示意图．【分析】当台风中心移动到据B 点200千米时，B 市将受到台风影响，从而求出台风中心的移动距离，除以速度，即可求出所需时间．【答案与解析】解：∵台风影响范围半径为200km ，∴当台风中心移动到点(4，6)时，B 市将受到台风的影响．所用的时间为：50×(10-4)÷40=7.5(小时)．所以经过7.5小时后，B市将受到台风的影响．(注：图中的单位1表示50km)【点睛】考查类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．解决此类问题需要先确定原点的位置，再求未知点的位置．或者直接利用坐标系中的移动法则“右加左减，上加下减”来确定坐标．【即学即练】一长方形住宅小区长400m，宽300m，以长方形的对角线的交点为原点，过原点和较长边平行的直线为x轴，和较短边平行的直线为y轴，并取50m为1个单位．住宅小区内和附近有5处违章建筑，它们分别是A(3，3．5)，B(－2，2)，C(0，3．5)，D(－3，2)，E(－4，4)．在坐标系中标出这些违章建筑位置，并说明哪些在小区内，哪些不在小区内．【答案】在小区内的违章建筑有B、D；不在小区内的违章建筑有A、E、C.题组A 基础过关练1．在平面直角坐标系中，将点A(1，﹣2)向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是()A．(﹣1，1)B．(﹣1，﹣2)C．(﹣1，2)D．(1，2)【答案】A【解析】【详解】试题分析：已知将点A(1，﹣2)向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加可得点A′的横坐标为1﹣2=﹣1，纵坐标为﹣2+3=1，即A′的坐标为(﹣1，1)．故选A．分层提分考点：坐标与图形变化-平移．的值为()2．如图，点A，B的坐标分别为(2，0)，(0，1)，若将线段AB平移至A1B1，则a bA．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】【分析】先根据点A、B及其对应点的坐标得出平移方向和距离，据此求出a、b的值，继而可得答案．【详解】解：由点A(2，0)的对应点A1(4，b)知向右平移2个单位，由点B(0，1)的对应点B1(a，2)知向上平移1个单位，△a=0+2=2，b=0+1=1，△a+b=2+1=3，故答案为：B．【点睛】本题主要考查坐标与图形的变化-平移，解题的关键是掌握横坐标的平移规律为：右移加，左移减；纵坐标的平移规律为：上移加，下移减．3．已知线段CD是由线段AB平移得到的，点A(–1，4)的对应点为C(4，7)，则点B(–4，–1)的对应点D的坐标为()A．(1，2)B．(2，9)C．(5，3)D．(–9，–4)【答案】A【解析】【详解】△线段CD是由线段AB平移得到的，而点A(−1,4)的对应点为C(4,7)，△由A平移到C点的横坐标增加5，纵坐标增加3，则点B(−4,−1)的对应点D的坐标为(1,2).4．如图， ,A B 的坐标为()()1,0,0,2,若将线段AB 平移至11A B ，则-a b 的值为( )A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】【分析】 直接利用平移中点的变化规律求解即可．【详解】解：由B 点平移前后的纵坐标分别为2、4，可得B 点向上平移了2个单位，由A 点平移前后的横坐标分别是为1、3，可得A 点向右平移了2个单位，由此得线段AB 的平移的过程是：向上平移2个单位，再向右平移2个单位，所以点A 、B 均按此规律平移，由此可得a=0+2=2，b=0+2=2，△a -b=2-2=0，故选：B ．【点睛】本题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．5．已知A (3，﹣2)，B (1，0)，把线段AB 平移至线段CD ，其中点A 、B 分别对应点C 、D ，若C (5，x )，D (y ，0)，则x ＋y 的值是( )A ．﹣1B ．0C ．1D ．2【答案】C【解析】由对应点坐标确定平移方向，再由平移得出x，y的值，即可计算x+y．【详解】△A(3，﹣2)，B(1，0)平移后的对应点C(5，x)，D(y，0)，△平移方法为向右平移2个单位，△x＝﹣2，y＝3，△x+y＝1，故选：C．【点睛】本题考查坐标的平移，掌握点坐标平移的性质是解题的关键，点坐标平移：横坐标左减右加，纵坐标下减上加．6．在平面直角坐标系中，将三角形各点的纵坐标都减去3，横坐标保持不变，所得图形与原图形相比()A．向右平移了3个单位B．向左平移了3个单位C．向上平移了3个单位D．向下平移了3个单位【答案】D【解析】【分析】根据向下平移，纵坐标相减，横坐标不变解答．【详解】△将三角形各点的纵坐标都减去3，横坐标保持不变，△所得图形与原图形相比向下平移了3个单位．故选D.【点睛】本题考查了坐标与图形的变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．7．在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为(0，0)，(0，－5)，(－2，－2)，以这三点为平行四边形的三个顶点，则第四个顶点不可能在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【分析】已知线段AB ，BC ，AC ，分别以三条线段为平行四边形的对角线，进行分类讨论，结合图形进行判断．【详解】如果以线段AB 为对角线，AC ，BC 为边，作平行四边形，则第四个顶点在第四象限；如果以线段AC 为对角线，AB ，BC 为边，作平行四边形，则第四个顶点在第二象限；如果以线段CB 为对角线，AC ，BA 为边，作平行四边形，则第四个顶点在第三象限．故不可能在第一象限．故选A.【点睛】考查了平行四边形的性质，建立平面直角坐标系，数形结合，分类讨论是解题的关键．8．如图，一个质点在第一象限及x 轴、y 轴上运动，在第一秒钟，它从原点(00)，运动到(0)1，，然后接着按图中箭头所示方向运动，即(00)(01)(11)(10)→→→→，，，，…，且每秒移动一个单位，那么第80秒时质点所在位置的坐标是( )A ．(0，9)B ．(9，0)C ．(0，8)D ．(8，0)【答案】C【解析】【详解】 【分析】由题目可以知道，质点每秒运动一次，(0，0)→(0，1)→(1，1)→(1，0)用的秒数分别是1秒钟，2秒钟，3秒钟，到(1，1)用2秒，到(2，2)用6秒，到(3，3)用12秒，到(4，4)用20秒，依此类推：到点(n ，n)，用n 2+n 秒，这样可以先确定，第80秒钟时所在的点所在正方形，然后就可以进一步推得点的坐标．【详解】质点每秒运动一次，(0，0)→(0，1)→(1，1)→(1，0)用的秒数分别是1秒钟，2秒钟，3秒钟，到(1，1)用2秒，到(2，2)用6秒，到(3，3)用12秒，到(4，4)用20秒，依此类推：到点(n ，n)，用n 2+n 秒， △当n=8时，n 2+n=82+8=72，△当质点运动到第72秒时到达(8，8)，△质点接下来向左运动，运动时间为80-72=8秒，△此时质点的横坐标为8-8=0，△此时质点的坐标为(0，8)，△第80秒后质点所在位置的坐标是(0，8)，故选C.【点睛】本题考查了规律题——点的坐标，解决本题的关键是读懂题意，并总结出一定的规律，难度较大．题组B 能力提升练9．将点()1,24P m m -+向上平移2个单位后落在x 轴上，则m =___．【答案】-3【解析】【分析】点坐标向上平移2个单位，就是纵坐标加上2，落在x 轴上，就是纵坐标为0，求出m 的值．【详解】解：点()1,24P m m -+向上平移2个单位得()1,26P m m '-+，△平移后落在x 轴上，△260m +=，解得3m =-．故答案是：-3．【点睛】本题考查点坐标的平移，解题的关键是掌握点坐标平移的方法．10．已知直线AB△x 轴，点A 的坐标为(1，2)，并且线段AB ＝3，则点B 的坐标为________【答案】(4，2)或(﹣2，2).【解析】【详解】分析：AB△x 轴，说明A ，B 的纵坐标相等为2，再根据两点之间的距离公式求解即可．详解：△AB△x 轴，点A 坐标为(1，2)，△A ，B 的纵坐标相等为2，设点B 的横坐标为x ，则有AB=|x -1|=3，解得：x=4或-2，△点B 的坐标为(4，2)或(-2，2)．故本题答案为：(4，2)或(-2，2)．点睛：本题主要考查了平行于x 轴的直线上的点的纵坐标都相等．注意所求的点的位置的两种情况，不要漏解．11．已知点A(a ，0)和点B(0，5)两点，且直线AB 与坐标轴围成的三角形的面积等于10，则a 的值是______.【答案】±4【解析】【详解】试题分析：根据坐标与图形得到三角形OAB 的两边分别为|a|与5，然后根据三角形面积公式有：15102a ⋅⋅=， 解得a=4或a=-4，即a 的值为±4．考点：1.三角形的面积；2.坐标与图形性质．12．在平面直角坐标系中，若点M (1，3)与点N (x ，3)之间的距离是5，则x 的值是____________．【答案】－4或6【解析】【详解】分析：点M 、N 的纵坐标相等，则直线MN 在平行于x 轴的直线上，根据两点间的距离，可列出等式|x -1|=5，从而解得x 的值．解答：解：△点M(1，3)与点N(x ，3)之间的距离是5，△|x -1|=5，解得x=-4或6．故答案为-4或6．13．如图，点,A B 的坐标分别为(2,0),(0,1)，若将线段AB 平移至11A B ，则a b +的值为_____．【答案】2【解析】【分析】由图可得到点B的纵坐标是如何变化的，让A的纵坐标也做相应变化即可得到b的值；看点A的横坐标是如何变化的，让B的横坐标也做相应变化即可得到a的值，相加即可得到所求．【详解】由题意可知：a=0+(3-2)=1；b=0+(2-1)=1；△a+b=2．故答案为：2.【点睛】此题考查坐标与图形的变化-平移，解题的关键是得到各点的平移规律．14．把点A(a，-2)向左平移3个单位，所得的点与点A关于y轴对称，则a等于____.【答案】1.5【解析】【详解】试题解析：由题意，得a+(a-3)=0，解得a=1.5.点睛：对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．15．(1)把点P(2，-3)向右平移2个单位长度到达点P'，则点P'的坐标是_______．(2)把点A(-2，-3)向下平移3个单位长度到达点B，则点B的坐标是_______．(3)把点P(2，3)向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度到达点P'，则点P'的坐标是_______．【答案】(4，-3) (-2，-6) (-2，7)【解析】【分析】(1)根据点向右平移2个单位即横坐标加2，纵坐标不变求解即可；(2)根据点向下平移3个单位即横坐标不变，纵坐标减3求解即可；(3)根据点向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位即横坐标减4，纵坐标加4求解即可．【详解】解：(1)△把点P(2，-3)向右平移2个单位长度到达点P'，△横坐标加2，纵坐标不变，△点P'的坐标是(4，-3)；(2)△把点A(-2，-3)向下平移3个单位长度到达点B，△横坐标不变，纵坐标减3，△点B 的坐标是(-2，-6)；(3)△把点P (2，3)向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度到达点P '，△横坐标减4，纵坐标加4，△点P '的坐标是(-2，7)．故答案为：(4，-3)；(-2，-6)；(-2，7)．【点睛】此题考查了平面直角坐标系中点的平移规律，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中点的平移规律．向左平移，点的横坐标减小，纵坐标不变；向右平移，点的横坐标增大，纵坐标不变；向上平移，点的横坐标不变，纵坐标增大；向下平移，点的横坐标不变，纵坐标减小．16．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为(-1，0)，(3，0)，现同时将点A ，B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A ，B 的对应点C ，D ，则D 的坐标为_______，连接AC ，BD ．在y 轴上存在一点P ，连接P A ，PB ，使PAB S =△S 四边形ABDC ，则点P 的坐标为_______．【答案】 (4，2) (0，4)或(0，-4)【解析】【分析】根据B 点的平移方式即可得到D 点的坐标；设点P 到AB 的距离为h ，则S △P AB =12×AB ×h ，根据S △P AB =S 四边形ABDC ，列方程求h 的值，确定P 点坐标；【详解】解：由题意得点D 是点B (3，0)先向上平移2个单位，再向右平移1个单位的对应点，△点D 的坐标为(4，2)；同理可得点C 的坐标为(0，2)，△OC =2，△A (-1，0)，B (3，0)，△AB =4，△=8ABDC S AB OC ⋅=四边形，设点P 到AB 的距离为h ，△S △P AB =12×AB ×h =2h ，△S △P AB =S 四边形ABDC ，得2h =8，解得h =4，△P 在y 轴上，△OP =4，△P (0，4)或(0，-4)．故答案为：(4，2)；(0，4)或(0，-4)．【点睛】本题主要考查了根据平移方式确定点的坐标，坐标与图形，解题时注意：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个整数a ，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a 个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个整数a ，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a 个单位长度． 题组C 培优拔尖练17．在平面直角坐标系中，P(1，4)，点A 在坐标轴上，且S 三角形PAO ＝4，求点A 的坐标．【答案】A(2，0)或(－2，0)或(0，8)或(0，－8)【解析】【详解】试题分析：由于点A 的坐标不能确定，故应分点A 在x 轴上和点在y 轴上两种情况进行讨论．试题解析：当点A 在x 轴上时，设A(x ，0)，△S △PAO =4，A(1，4) △12|x|×4=4，解得x=±2，△A(-2，0)或(2，0)；当点A 在y 轴上时，设A(0，y)，△S △PAO =4，A(1，4)△12|y|×1=4，解得x=±8，△A(-8，0)或(8，0)．综上所述，A 点坐标为(-2，0)或(2，0)或(-8，0)或(8，0)．点睛：本题考查的是平面直角坐标系中的三角形的面积，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 18．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，3)，B(－5，1)，C(－2，0)，P(a ，b)是△ABC 的边AC 上任意一点，△ABC 经过平移后得到△A 1B 1C 1，点P 的对应点为P 1(a ＋6，b －2)．(1)直接写出点C 1的坐标；(2)在图中画出△A 1B 1C 1；(3)求△AOA 1的面积．【答案】(1)(4，-2)；(2)作图见解析，(3)6.【解析】【分析】(1)根据点P 的对应点为P 1(6,2a b +-)确定出平移规律为向右6个单位，向下2个单位，，由此规律和C(－2，0)即可求出C 1的坐标；(2)根据(1)中的平移规律确定点A 、B 、C 平移后的对应点A 1、B 1、C 1的位置，然后顺次连接即可；(3)利用△AOA 1所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解．【详解】(1)△点P(a ，b)的对应点为P 1(a+6，b -2)，△平移规律为向右6个单位，向下2个单位，△C(-2，0)的对应点C 1的坐标为(4，-2)；(2)△A 1B 1C 1如图所示；(3)△AOA1的面积=6×3-12×3×3-12×3×1-12×6×2=18-92-32-6=18-12=6．考点：图形的平移变换.19．如图，一只甲虫在5×5的方格(每小格边长为1)上沿着网格线运动，它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．例如从A到B记为：A→B(+1，+4)，从D到C记为：D→C(﹣1，+2)，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．(1)图中A→C(______，_____)，B→C(______，_____)，D→_____(﹣4，﹣2)；(2)若这只甲虫从A处去P处的行走路线依次为(+2，+2)，(+2，﹣1)，(﹣2，+3)，(﹣1，﹣2)，请在图中标出P的位置；(3)若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程．【答案】(1) (3，4)；(2，0)；A；(2)答案见解析；(3)10．【解析】【分析】(1)根据规定及实例可知A→C记为(3，4)B→C记为(2，0)D→A记为(﹣4，﹣2)；(2)按题目所示平移规律分别向右向上平移2个格点，再向右平移2个格点，向下平移1个格点；向左平移2个格点，向上平移3个格点；向左平移1个向下平移两个格点即可得到点P的坐标，在图中标出即可；(3)根据点的运动路径，表示出运动的距离，相加即可得到行走的总路径长．(1)规定：向上向右走为正，向下向左走为负△A →C 记为(3，4)B →C 记为(2，0)D →A 记为(﹣4，﹣2)；(2)P 点位置如图所示．(3)据已知条件可知：A →B 表示为：(1，4)，B →C 记为(2，0)C →D 记为(1，﹣2)；该甲虫走过的路线长为1+4+2+1+2=10．故答案为(3，4)；(2，0)；A ；【点睛】本题主要考查了正数与负数，利用坐标确定点的位置的方法．解题的关键是正确的理解从一个点到另一个点移动时，如何用坐标表示．20．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为(－1，0)，(3，0)，现同时将点A ，B 分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，分别得到点A ，B 的对应点C ，D ．连接AC ，BD ．(1)写出点C ，D 的坐标及四边形ABDC 的面积.(2)在y 轴上是否存在一点P ，连接PA ，PB ，使S 三角形PAB ＝S 四边形ABDC ？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，试说明理由；(3)点Q 是线段BD 上的动点，连接QC ，QO ，当点Q 在BD 上移动时(不与B ，D 重合)，给出下列结论：①DCQ BOQ CQO +∠∠∠的值不变；②DCQ CQO BOQ+∠∠∠的值不变，其中有且只有一个正确，请你找出这个结论并求值.【答案】(1)C(0，2)，D(4，2)，S 四边形ABCD ＝8；(2)存在，点P 的坐标为(0，4)或(0，－4)；(3)结论①正确，DCQ BOQ CQO+∠∠∠=1. 【解析】(1)根据点平移的规律：左减右加，上加下减，即可得到点C、D的坐标，利用平行四边形的面积公式计算面积即可；(2)设点P的坐标为(0，y)，根据三角形的面积公式底乘以高的一半列式计算即可得到答案；(3)结论①正确.过点Q作QE△AB，交CO于点E，利用平行线的性质：两直线平行内错角相等证得△DCQ＋△BOQ ＝△CQO，由此得到结论①正确【详解】(1)△将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，△C(0，2)，D(4，2)，AB△CD且AB=CD=4，△四边形ABDC是平行四边形，△S四边形ABCD＝4×2＝8.(2)存在，设点P的坐标为(0，y)，根据题意，得12×4×|y|＝8.解得y＝4或y＝－4.△点P的坐标为(0，4)或(0，－4).(3)结论①正确.过点Q作QE△AB，交CO于点E.△AB△CD，△QE△CD.△△DCQ＝△EQC，△BOQ＝△EQO.△△EQC＋△EQO＝△CQO，△△DCQ＋△BOQ＝△CQO.△DCQ BOQCQO∠∠∠＝1.【点睛】此题考查点平移的坐标规律，利用面积求点的坐标，平行线的性质，(2)中利用面积求点坐标时，高度为点纵坐标的绝对值，得到纵坐标为两个值，这是题中易错点。
人教版平面直角坐标系(13)
C（1，－1）. 若四边形ABCD为平行四
边形，那么点D的坐标是
．
Ｙ
· ·Ａ
·Ｘ
·Ｂ
·Ｃ
·
已知：在直角坐标系中， A、 B两点的坐
标为A（4，0），B（0，3），O为坐标原 点．若有一个直角三角形与Rt△ABO全等， 且它们有一条公共边．请写出这个直角三 角形未知顶点的坐标（不必写出计算过 程）．
y
（-，+）(C-2,3)45 3
（+，+）
B (5,3)
F(-7,2)
2
A(3,2)
1
- 9 - 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1-1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x
（-，-）
-2 -3
（+，-）
G(-5,-4) -4
E(5,-4)
D(-7,-5)
-5
H (3,-5)
B（-a,b）在第四象限.（ √ ）
３．若点P（x，y）在第四象限，|x|=2， |y|=3，则P点的坐标为 .
4．如xy＞0，且x+y＜0，那么P(x,y) （ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
5.点Ａ（２，３）到x轴的距离为 ；点 Ｂ（-４，０）到y轴的距离为 ；点C到x 轴的距离为1，到y轴的距离为3，且在第三 象限，则C点坐标是 ．
平面直角坐标系
y
20
10
o x -20 -10
10 20 30
-10
平面上有公共原点且互相垂直 -20
的2条数轴构成平面直角坐标系，-30 -40
简称直角坐标系。
-50
音乐喷泉
13平面直角坐标系中的距离公式
教学课题：1.5 平面直角坐标系中的距离公式 三维目标：1．知识与技能：⑴探究并掌握两点间的距离公式；⑵掌握点到直线的距离公式，会推导并掌握两平行直线间的距离公式； ⑶初步掌握运用坐标法（解析法）解决与距离有关的平面几何问题. 2．过程与方法：⑴通过数轴上两点间的距离公式推导两点间的距离公式；⑵经历从具体的求点到直线距离的方法抽象概括出点到直线的距离，并自主探究两平行直线间的距离的求法；⑶通过具体实例，体会坐标法解决几何问题的方法. 3．情感、态度与价值观：体会数形结合、算法思想，学会用代数思想解决几何问题. 教学重点：两点间的距离公式，点到直线的距离公式及其应用 教学难点：求点到直线距离的思想和方法；解析法的思想. 教学课时：2课时 教学过程：第1课时：两点间的距离公式及应用一．引入情景引入（投影）：1．如图，已知数轴上两点B A ,，求||AB .2．如图，在直角坐标系中，点()2,5--A ，()4,3B ，求||AB .二．新知一般地，若两点B A ,的坐标分别为()()2211,,,y x B y x A ，则有两点B A ,间的距离公式：()()212212||y y x x AB -+-=例（教材例15） 求下列两点间的距离：⑴()0,1-A ，()3,2B ； ⑵()4,3A ，()1,7-B .例（教材例16） 已知ABC ∆的三个顶点是()0,1-A ，()0,1B ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,21C ，试判断ABC ∆的形状.例（教材例17） ABC ∆中，D 是BC 边上任意一点（D 与C B ,不重合），且||||||||22DC BD AD AB ⋅+=. 求证：ABC ∆为等腰三角形.三．练习：1．求下列两点的距离： ⑴()0,3-A ，()0,2B ； ⑵()1,2C ，()1,5-D ；⑶⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2,23E ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-23,2F . 2．已知点()5,-x A 和()10,0B 的距离为17，求x 的值. 四．小结：两点间的距离公式. 五．作业：习题A 12-组第12、13题.第2课时：点到直线的距离公式一．复习引入复习提问：两点间的距离公式. 情景导入（投影）：计算点()5,3-P 到直线0543:=--y x l 的距离. 师生共同求解，强调求解点到直线的距离的步骤. 二．新知根据上面具体的点线距离的求解步骤，师生共同推导点()00,y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离公式.点()00,y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离记为d ，则有：2200||BA C By Ax d +++=说明：⑴在利用点线的距离公式求解点线距离时，要将直线议程先化为一般式； ⑵点()00,y x P 到直线1y y =的距离||10y y d -=； ⑶点()00,y x P 到直线1x x =的距离||10x x d -=.⑷两条平行直线0:11=++C By Ax l 与0:22=++C By Ax l ()21C C ≠间的距离2221||BA C C d +-=，在应用时，两条直线方程均要化为一般式，而且y x ,的系数要化相同.例（教材例18） ⑴求原点到直线09125:1=--y x l 的距离； ⑵求点()2,1-P 到直线0102:2=-+y x l 的距离.例（教材例19） 用解析法证明：等腰三角形底边延长线上一点到两腰的距离之差等于一腰上的高.例（教材例20） 两平行直线21,l l 分别过()0,1A 与()5,0B . 若1l 与2l 的距离为5，求这两直线方程. 三．练习：1．求下列点到直线的距离：⑴()0,0，0423=+-y x ；⑵()2,1-，033=--y x ； ⑶()3,2-，y x =.2．求下列两条平行直线的距离：⑴0123=--y x ，0623=+-y x ；⑵02=+y x ，0742=-+y x . 四．小结：点线距离公式和两平行直线间的距离公式. 五．作业：习题B 12-组第1题.。
《平面直角坐标系》核心考点B【教师版】
13．勤学早第7章《平面直角坐标系》核心专题一点通B——核心题型及方法专题核心题型一点的坐标特征1．点P（2m+4，m－1），试分别根据下列条件，求出P点的坐标．（1）点P在y轴上；（2）点P在x轴上；（3）点P的纵坐标比横坐标大3；（4）点P在过A（2，－3）点且与x轴平行的直线上．答案：（1）（0，-3）（2）（6，0）；（3）（-12，-9）；（4）（0，-3）2．已知平面直角坐标系内点M（4a－8，a＋3），分别根据下列条件，求出点M的坐标．（1）点M到x轴的距离为2；（2）点N的坐标为（3，－6），并且直线MN∥x轴．答案：（1）M（2，5.5）或（-2，4.5）；（2）M（-44，-6）3．已知点M（3|a|－9，4－2a）在y轴的负半轴上．（1）求M点的坐标；（2）求(2－a)2018＋1的值．答案：（1）M（0，-2）；（2）2核心题型二坐标与规律4．平面直角坐标系中，一蚂蚁从A出发，沿着A-B-C-D-A…循环爬行，其中A的坐标为（1，－1），B的坐标为（－1，－1），C的坐标为（－1，3），D的坐标为（1，3）．当蚂蚁爬了2018个单位时，蚂蚁所处位置的坐标为（）A．（2，2）B．（－1，－1）C．（1，－1）D．（－2，2）答案：B5．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A18的坐标为（）A．（8，0）B．（8，1）C．（9，0）D．（9，1）答案：D6．在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点，且规定：正方形内部不包含边界上的点．观察如图所示的中心在原点、一边平行于x轴的正方形：边长为1的正方形内部有1个整点，边长为2的正方形内部有1个整点，边长为3的正方形内部有9个整点，…，则边长为8的正方形内的整点个数有（）A．64个B．49个C．36个D．81个答案：B第6题图第7题图7．如图，长方形BCDE的各边分别平行于轴或y轴，物体甲和物体乙由点A（2，0）同时出发，沿长方形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，第2018次相遇地点的坐标是__________．答案：（-1，-1）核心题型三坐标与位置8．如图，小明从点O出发，先向西走40米，再向南走30米到达点M，如果点M的位置用（－40，－30）表示，那么（10，20）表示的位置是（）A．点A B．点B C．点C D．点D答案：B9．如图所示的是小刚的一张脸，他对妹妹说“如果我用（0，2）表示左眼，用（2，2）表示右眼，那么嘴的位置可以表示成”（）A．（1，0）B．（－1，0）C．（－1，1）D．（1，－1）答案：A第8题图第9题图10．如图，围棋盘放置在某个平面直角坐标系内，白旗②的坐标为（－3，－2），白旗④的坐标为（－2，－6），那么黑棋的坐标应该是__________．答案：（1，-5）第10题图第11题图11．如图，游艇A和B在湖中作直线运动，已知游艇B的速度是游艇A的1.5倍，出发时，游艇A 的位置为（50，20），当B追上A时，此时的位置为（110,20），求出发时游艇B的位置．（游艇的大小忽略不计）答案：（20，20）核心题型四坐标与平移12．将点P向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到P′（－1，3），则点P的坐标是__________．答案：（1，2）13．在平面直角坐标系中，点M（1，－2）可由点N（1，0）向____平移____个单位长度得到．答案：下14．在平面直角坐标系中，已知线段MN的两个端点的坐标分别是M（－4，－1）、N（0，1），将线段MN平移后得到线段M′N′（点M、N分别平移到点M′、N′的位置），若点M′的坐标为（－2，2）。
考点13 平面直角坐标系—备战2021年《中考数学》(全国通用)夯实基础训练题(解析版)
考点13 平面直角坐标系真题回顾1.（2019·广东）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，﹣3）所在的象限是（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【考点】点的坐标【解析】【解答】解：点P（﹣2，﹣3）所在的象限是第三象限．故选C．【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．2.（2019·湘西）在平面直角坐标系中，将点（2，1）向右平移3个单位长度，则所得的点的坐标是（）A. （0，5）B. （5，1）C. （2，4）D. （4，2）【答案】B【考点】点的坐标，平面直角坐标系的构成，点的坐标与象限的关系【解析】【解答】将点（2，1）向右平移3个单位长度，则所得的点的坐标是（5，1）.故答案为：B.【分析】将点向右移动，变化的为横坐标，根据点平移的左加右减方法，即可得到新的点的坐标。
3.（2019·梧州）在平面直角坐标系中，下面的点在第一象限的是（）A. （1，2）B. （﹣2，3）C. （0，0）D. （﹣3，﹣2）【答案】A【考点】点的坐标【解析】【解答】解：因为第一象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标也是正数，而各选项中符合纵坐标为正，横坐标也正的只有A（1，2）．故选：A．【分析】满足点在第一象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标也是正数，结合选项进行判断即可．4.（2019·金华）如图是雷达屏幕在一次探测中发现的多个目标，其中对目标A的位置表述正确的是（）A. 在南偏东75°方向处B. 在5km处C. 在南偏东15°方向5km处D. 在南偏东75°方向5km处【答案】 D【考点】用坐标表示地理位置【解析】【解答】解：依题可得：90°÷6=15°，∴ 15°×5=75°，∴目标A的位置为：南偏东75°方向5km处.故答案为：D.【分析】根据题意求出角的度数，再由图中数据和方位角的概念即可得出答案.5.（2017·邵阳）如图所示，三架飞机P，Q，R保持编队飞行，某时刻在坐标系中的坐标分别为（﹣1，1），（﹣3，1），（﹣1，﹣1），30秒后，飞机P飞到P′（4，3）位置，则飞机Q，R的位置Q′，R′分别为（）A. Q′（2，3），R′（4，1）B. Q′（2，3），R′（2，1）C. Q′（2，2），R′（4，1）D. Q′（3，3），R′（3，1）【答案】A【考点】用坐标表示地理位置【解析】【解答】解：由点P（﹣1，1）到P′（4，3）知，编队需向右平移5个单位、向上平移2个单位，∴点Q（﹣3，1）的对应点Q′坐标为（2，3），点R（﹣1，﹣1）的对应点R′（4，1），故选：A．【分析】由点P（﹣1，1）到P′（4，3）知，编队需向右平移5个单位、向上平移2个单位，据此可得．6.（2017·桂林）若点P（a，a﹣2）在第四象限，则a的取值范围是（）A. ﹣2＜a＜0B. 0＜a＜2C. a＞2D. a＜0【答案】B【考点】点的坐标【解析】【解答】解：∵点P（a，a﹣2）在第四象限，∴a＞0，a﹣2＜0，0＜a＜2．故选B．【分析】根据第四象限点的坐标符号，得出a＞0，a﹣2＜0，即可得出0＜a＜2，选出答案即可．7.（2019·桂林）若点A（a+1，b﹣2）在第二象限，则点B（﹣a，b+1）在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【考点】点的坐标【解析】【解答】解：由A（a+1，b﹣2）在第二象限，得a+1＜0，b﹣2＞0．解得a＜﹣1，b＞2．由不等式的性质，得﹣a＞1，b+1＞3，点B（﹣a，b+1）在第一象限，故选：A．【分析】根据第二象限内的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得关于a、b的不等式，再根据不等式的性质，可得B点的坐标符号．8.（2017·贵港）在平面直角坐标系中，点P（m﹣3，4﹣2m）不可能在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【考点】点的坐标【解析】【解答】解：①m﹣3＞0，即m＞3时，﹣2m＜﹣6，4﹣2m＜﹣2，所以，点P（m﹣3，4﹣2m）在第四象限，不可能在第一象限；②m﹣3＜0，即m＜3时，﹣2m＞﹣6，4﹣2m＞﹣2，点P（m﹣3，4﹣2m）可以在第二或三象限，综上所述，点P不可能在第一象限．故选A．【分析】分点P的横坐标是正数和负数两种情况讨论求解．9.（2020·钦州）在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点（x，y），若规定以下两种变换：①f（x，y）=（y，x）．如f（2，3）=（3，2）；②g（x，y）=（﹣x，﹣y），如g（2，3）=（﹣2，﹣3）．按照以上变换有：f（g（2，3））=f（﹣2，﹣3）=（﹣3，﹣2），那么g（f（﹣6，7））等于（）A. （7，6）B. （7，﹣6）C. （﹣7，6）D. （﹣7，﹣6）【答案】C【考点】点的坐标【解析】【解答】解：∵f（﹣6，7）=（7，﹣6），∴ g（f（﹣6，7））=g（7，﹣6）=（﹣7，6）．故选C．【分析】由题意应先进行f方式的变换，再进行g方式的变换，注意运算顺序及坐标的符号变化．10. （2020·扬州）在平面直角坐标系中有三个点A（1，﹣1）、B（﹣1，﹣1）、C（0，1），点P（0，2）关于A的对称点为P1，P1关于B的对称点P2，P2关于C的对称点为P3，按此规律继续以A、B、C 为对称中心重复前面的操作，依次得到P4，P5，P6，…，则点P2015的坐标是（）A. （0，0）B. （0，2）C. （2，﹣4）D. （﹣4，2）【答案】A【考点】点的坐标【解析】【解答】设P1（x，y），∵点A（1，﹣1）、B（﹣1，﹣1）、C（0，1），点P（0，2）关于A的对称点为P1，P1关于B的对称点P2，∴=1，=﹣1，解得x=2，y=﹣4，∴P1（2，﹣4）．同理可得，P1（2，﹣4），P2（﹣4，2），P3（4，0），P4（﹣2，﹣2），P5（0，0），P6（0，2），P7（2，﹣4），…，…，∴每6个数循环一次．∵=335…5，∴点P2015的坐标是（0，0）．故选A．【分析】设P1（x，y），再根据中点的坐标特点求出x、y的值，找出规律即可得出结论．11.（2020·成都）如图：观察中国象棋的棋盘，其中红方“马”的位置可以用一个数对（3，5）来表示，红“马”走完“马3进四”后到达B点，则表示B点位置的数对是： ________【答案】（4，7）【考点】用坐标表示地理位置【解析】【解答】如图所示，B点位置的数对是（4，7）．故答案为：（4，7）．【分析】根据图示，写出点B的位置的数对即可．12.（2020·连云港）如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点M、N的坐标分别为、，则顶点的坐标为________.【答案】(15,3)【考点】坐标与图形性质【解析】【解答】解：设正方形的边长为，则由题设条件可知：解得：点A的横坐标为：，点A的纵坐标为：故点A的坐标为.故答案为：.【分析】先根据条件，算出每个正方形的边长，再根据坐标的变换计算出点A的坐标即可.13.（2019·成都）如图，在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”.已知点的坐标为，点在轴的上方，的面积为，则内部（不含边界）的整点的个数为________.【答案】4或5或6【考点】平面直角坐标系的构成【解析】【解答】设B（m,n）∵点A的坐标为（5,0）∴OA=5，∵△OAB的面积= ×5×n=∴n=3，结合图像可知：当2＜m＜3时，有6个整点；当2＜m＜时，有5个整数点；当m=3时，有4个整数点，故答案为4或5或6.【分析】根据三角形在直角坐标系的位置关系可写出整点的个数。