第四章 实数的运算
实数的定义及其运算
18．若∣a∣=6， =3，且ab 0，则a-b=______。
19．数轴上点A，点B分别表示实数 则A、B两点间的距离为______。
20．一个正数x的两个平方根分别是a+2和a-4，则a=_____，x=_____。
三、认真解一解
按整数、分数的关系分类：按正数、负数、零的关系分类：
三、数轴：
1.数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
注意：①数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；②数轴有三要素：原点、正方向、单位长度三者缺一不可；③原点的位置、正方向的取向、单位长度的大小的选定，都是根据实际需要而定的。
2.数轴的画法：①画一条水平的直线；②在直线的适当位置选取一点作为原点，并用0表示这点；③确定向右为正方向，用箭头表示出来；④选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次为1，2，3，…；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次为－1，－2，－3，…。如图1所示。
五、非负数
若数a≧0，则称a为非负数。
非负数的性质：任何非负数的和仍为非负数；如果几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0。
3.点A在数轴上表示的数为 ，点B在数轴上表示的数为 ，则A，B两点的距离为______
解析：在数轴上找到A、B两点，
例题：1、如图，数轴上表示1， 的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数是（）．
12． 的算术平方根是_______， =______。
13．____的平方根等于它本身，____的立方根等于它本身，____的算术平方根等于它本身。
14．已知∣x∣的算术平方根是8，那么x的立方根是_____。
实数的运算
3)形0.3030030003…类 （无限不循环小数）
整数 有理数 分数 (有限小数或无限循环小数） 小数 实数 1 ）含有 ∏ 的数 无理数 2）开不尽方的数
知识回顾
的小数
合作学习
请同学们总结有理数的运算律和运算法则 1.交换律 ： 加法 a+b=b+a 乘法a×b=b×a 2.结合律： 加法（a+b)+c=a+(b+c) 3.分配律： a× (b+c)= ab+ ac
1
1
)
2 1 4 (14 ) 5 13
3
1 11.
（4）
8- 9
3
（精确到0.01）
典型例题
例1 （ 1） 计算：
8 - 9 （精确到0.001）
3
（2） 9 - 2(4 +
3) (结果保留
4个有效数字)
计算：
（1） 4 -
18（精确到0.01） 3 7 （2） 10 - （结果保留 3个有效数字）
做一做： 1、
4 9 = 2× 3=6
4 9 = 36 = 6
2、利用计算器计算：
6 7 = 6.48
你发现了什么规律？
6 7 = 6.48
5 0, b ≥ 5 0 a b = aba ≥
做一做
3、
4 2 = 9 3
4 2 = 9 3
4、利用计算器计算：
6 = 7
注：有理数的运算律和运算法则在实数 范围内同样适用
乘法（a×b）c=a（b×c）
实数的运算顺序
先算乘方和开方，再算乘除， 最后算加减。如果遇到括号， 则 先进行括号里的运算
初中数学 实数的除法运算是什么
初中数学实数的除法运算是什么实数的除法运算是数学中常见的运算之一，它描述了一个实数被另一个实数除的过程。
除法运算在数学和日常生活中广泛应用，例如在计算比率、解决问题中的数学模型以及描述物体的分割等方面。
我们将详细介绍实数的除法运算的定义、性质以及一些常见的应用。
1. 除法运算的定义：对于两个实数a 和b，除法运算定义为a ÷ b = c，其中c 表示将a 被b 除得到的结果。
换句话说，除法运算描述了将一个实数被另一个实数除的过程。
除法运算的定义可以简单地理解为将一个实数的值被另一个实数的值除。
2. 除法运算的性质：-除法的定义：除法运算可以通过乘法运算来表示，即a ÷ b = a × (1/b)，其中1/b 表示b 的倒数。
-除法的交换律：对于任意非零实数a 和b，有a ÷ b = b ÷ a。
即，除法运算的结果与被除数和除数的顺序无关。
-除法的结合律：对于任意非零实数a、b 和c，有(a ÷ b) ÷ c = a ÷ (b × c)。
即，除法运算的结果不受除法的顺序和括号分组的影响。
-除数不为零：除数不能为零，即b ≠ 0。
因为在数学中，除以零是未定义的。
除法运算的性质使得我们能够在实数的运算和推导中使用除法运算。
3. 除法运算的应用：-计算比率：除法运算在计算比率时经常用到。
比率是两个数量之间的比较，可以通过将两个数量进行除法运算得到。
-数学模型：除法运算在解决问题时的数学模型中有重要的应用。
通过将问题抽象为实数的除法运算，我们可以建立数学模型，从而求解问题。
-描述物体的分割：除法运算在描述物体的分割时也有应用。
例如，如果一个物体被分成若干等分，我们可以使用除法运算来计算每一份的大小。
实数的除法运算是一种描述一个实数被另一个实数除的运算。
除法运算的定义简单明了，它的性质使得我们能够在解决问题时能够进行运算和推导。
实数的计算知识点总结
实数的计算知识点总结一、实数的四则运算实数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。
在进行实数的四则运算时，需要遵循基本的运算法则，包括交换律、结合律、分配律等。
具体来说，假设a、b、c为实数，则有以下计算规则：1. 实数的加法：a + b = b + a2. 实数的减法：a - b ≠ b - a3. 实数的乘法：a × b = b × a4. 实数的除法：a ÷ b ≠ b ÷ a在进行实数的四则运算时，需要先将实数转换为相同的形式，然后再按照各种运算法则进行计算。
例如，计算(-3) + 5，需要将-3转换为5的形式，得到(-3) + 5 = 5 + (-3) = 2。
二、实数的比较在实数的比较中，需要了解实数大小的比较规则，包括大于、小于、大于等于、小于等于等。
具体而言，假设a、b为实数，则有以下比较规则：1. 实数的大小比较：若a > b，则a称为大于b；若a < b，则a称为小于b；若a = b，则a 称为等于b。
2. 实数的大小顺序：对于任意两个实数a和b，它们之间具有大小顺序，即a > b、a = b 或a < b中的一种关系必定成立。
在实数的比较中，需要注意实数的符号、绝对值、小数点位数等因素，通过这些因素进行实数的大小比较。
例如，比较-3和5的大小关系时，由于5大于0且-3小于0，因此有-3 < 5。
三、实数的绝对值实数的绝对值是一个非负的数值，表示实数到原点的距离。
对于任意实数a，其绝对值记作|a|，具体定义为：1. 若a ≥ 0，则|a| = a；2. 若a < 0，则|a| = -a。
实数的绝对值可以理解为实数在数轴上的坐标到原点的距离，因此它是非负的。
在实数的计算中，经常需要对实数取绝对值，例如，计算|(-3)|，需将-3转换为3的形式，得到|(-3)| = 3。
四、实数的幂运算实数的幂运算是指对实数进行整数次幂的运算。
八年级数学上册 期末复习4(第四章 实数)
八年级数学上册期末复习+典型例题解析第四章实数1、平方根：⑴定义：一般地，如果x2=a(a≥0)，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。
⑵表示方法：正数a的平方根记做“a±”，读作“正、负根号a”。
⑶性质：①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；②零的平方根是零；③负数没有平方根。
2、开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
3、算术平方根：⑴定义：一般地，如果x2=a(a≥0)，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。
特别地，0的算术平方根是0。
⑵表示方法：记作“a”，读作“根号a”。
⑶性质：①一个正数只有一个算术平方根；②零的算术平方根是零；③负数没有算术平方根。
⑷注意a的双重非负性：.0,0≥≥aa⑸()()()()0,0,0222≤-=≥=≥=aaaaaaaaa4、立方根：⑴定义：一般地，如果x3=a那么这个数x就叫做a 的立方根（或三次方根）。
⑵表示方法：记作“3a”，读作“三次根号a”。
⑶性质：①一个正数有一个正的立方根；②一个负数有一个负的立方根；③零的立方根是零。
⑷注意：33aa-=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
⑸()aaa==33235、开立方：求一个数a的立方根的运算，叫做开立方。
6、实数定义与分类：⑴无理数：无限不循环小数叫做无理数。
理解：常见类型有三类：①开方开不尽的数：如7,39等；②有特定意义的数：如圆周率π，或化简后含有π的数，如π+8等；③有特定结构的数：如0.1010010001……等；(注意省略号)⑵实数：有理数和无理数统称为实数。
⑶实数的分类：①按定义来分②按符号性质来分整数(含0) 正有理数有理数分数正实数正无理数实数实数0无理数负实数负有理数负无理数7、实数比较大小法：理解：⑴正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；⑵数轴比较：数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；⑶绝对值比较法：两个负数，绝对值大的反而小。
⑷平方法：a、b是两负实数，若a2＞b2，则a＜b。
苏科版八上第四章实数复习(上课用)
例 1、 2 2 3 计算：［-3 ×2+3×(-2) -4×(-6)］÷［- ( 9) ］.
解：原式=［-9×2+3×(-8)+24］÷［-9］ =(-18-24+24)÷(-9) =2
例 2、 (2002年·北京海淀区)x、y是实数， 3x 4 +y2-6y+9=0， 若axy-3x=y,则实数a的值是( A ) A.1/4 B.-1/4 C.7/4 D.-7/4
(3 y )
解下列方程：
不 要 遗 漏
4 3 y 9
1 2 y 2 或y 3 3 3
9
3 2 3 125 (x ) 3 27
2 3 125 x 3 27
2 y 3 3
x 1
2 5 x 3 3
当方程中出现平方时，若有解，一般都有 两个解
A
)
A.x≤2
4.若 A.x≤4
3
B. x≥2 C. 0 ≤x ≤ 2
D.任意实数
D
(4 x)3
=4-x成立,则x的取值范围是( C. 0 ≤x ≤ 4
)
B. x≥4
D.任意实数
8、已知
a - 2 b 3 0,
2
则（a b) 25
;
2
9、 计算： 1 - x x 1 x 1 0 ;
性
质
0 负数
0
负数（一个）
开 方 是本身
求一个数的平方 求一个数的立方 根的运算叫开平 根的运算叫开立 方 方
0,1
0
0,1,-1
(1)4的算术平方根是±2. (2)4的平方根是2.
(3)8的立方根是2.
实数的运算(41张PPT)数学
14
15
16
17
答案
解析
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
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15
16
17
答案
解析
解析 由题意知b2－10＝0，2a＋b2＝0，
1
2
3
4
5
6
7
8
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2b
解析 由数轴知b＜0＜a，且|b|＞|a|，则a－b＞0，所以原式＝a－(a－b)＋b＝a－a＋b＋b＝2b.故答案为2b.
1
2
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②原式＝|－4|＝4，符合题意；③原式＝－3，不符合题意；④原式＝－0.8，不符合题意；⑤原式＝3，符合题意；⑥原式＝3，不符合题意.故选C.
1
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5.以下是小明的计算过程，请你仔细观察，错误的步骤是( )
解析 若围成长方形，设长为20厘米，则宽为10厘米，长方形面积为200平方厘米；若围成正方形，正方形边长为60÷4＝15(厘米)，面积为225平方厘米；
1
2
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3.4 实数的运算
合作学习
请同学们总结有理数的运算律和运算法则
1.交换律 ： 加法 a+b=b+a 乘法 a×b=b×a 2.结合律： 加法（a+b)+c=a+(b+c) 乘法（a×b）×c=a×（b×c） 3.分配律： a× (b+c)= a×b+ a×c
注：有理数的运算律和运算法则在实数范围内同样适用
判断题 （1） 7 3 7 3 2 × （2） ( 3) 2 3 （3）( 11)2 11 （4） ( 7) 7
3 3
×
√
√
探究
（1）利用计算器对2进行开平方运算， 对所得的结果再进行开平方运算…… 随着开方次数的增加，你发现了什么？ 发现了这个数越来越接近于1. （2）改用其他的正数试一试， 看看是否仍有类似的规律。
③
0.1 0.001
原式= 0.1 0.001 0.0001 =0.01
（1）计算:（精确到0.001 ） 0.414
1 2 3 3
☞
一起探究（2）
≈1.414 2 ≈1.732
3
0.414 2 ____, 2 1 ____; 你发现有什么规 律？
0.318 ____,
3
2
0.318 ____;
4 0.268 _____, 4
0.268 3 ______;
（２）利用上面规律，你能计算下题吗？
①
1 2
2 3
3 4
=
4 1 =1
②
1 2 2 3 3 4 ...... 2003 2004 2004 2005
6 2 2 小数部分是______. （2） 6 的整数部分是___,
实数的概念及运算法则
实数的概念及运算法则实数的概念实数是指包括有理数和无理数在内的数的集合。
有理数是可以表示为两个整数的比值的数，而无理数则不能被表示为两个整数的比值。
实数包括了所有的整数、分数和无限不循环小数。
实数的运算法则1. 加法法则：实数的加法满足交换律和结合律。
即对于任意实数a、b和c，有：- 交换律：a + b = b + a- 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)2. 减法法则：实数的减法可以视为加法的逆运算。
即对于任意实数a、b和c，有：- 减法定义：a - b = a + (-b)3. 乘法法则：实数的乘法满足交换律和结合律。
即对于任意实数a、b和c，有：- 交换律：a * b = b * a- 结合律：(a * b) * c = a * (b * c)4. 除法法则：实数的除法可以视为乘法的逆运算。
即对于任意实数a、b和c，有：- 除法定义：a / b = a * (1 / b)5. 分配律：实数的乘法对加法具有分配律。
即对于任意实数a、b和c，有：- 左分配律：a * (b + c) = (a * b) + (a * c)- 右分配律：(a + b) * c = (a * c) + (b * c)6. 幂的法则：实数的幂运算满足以下法则：- a^0 = 1，其中a是非零实数- a^n * a^m = a^(n + m)，其中a是非零实数，n和m是整数这些实数的运算法则可以帮助我们在数学计算中正确地进行加减乘除等运算。
通过熟练掌握这些法则，我们可以更好地理解和应用实数的运算概念。
高中数学实数的性质与运算总结
高中数学实数的性质与运算总结在高中数学中，实数是一个基础且重要的概念。
实数包括有理数和无理数两部分，它们在数轴上占据了所有的位置。
实数的性质和运算规则是我们学习数学的基础，下面我将对实数的性质和运算进行总结。
一、实数的性质1. 实数的有序性：对于任意两个实数a和b，它们之间必定满足a<b、a=b或a>b的关系。
这个性质使得实数可以在数轴上有序排列。
2. 实数的稠密性：在任意两个实数之间，总存在一个实数。
也就是说，无论两个实数之间的距离多小，总可以找到一个实数填补它们之间的空隙。
3. 实数的区间性：实数可以表示为一个区间，包括开区间、闭区间和半开半闭区间。
例如，(a,b)表示一个开区间，[a,b]表示一个闭区间，[a,b)或(a,b]表示一个半开半闭区间。
4. 实数的无限性：实数集合是无限的，没有最大值和最小值。
无论给定一个实数，总可以找到比它更大或更小的实数。
二、实数的运算规则1. 实数的加法运算：对于任意两个实数a和b，它们的和记作a+b。
实数的加法满足交换律、结合律和分配律。
2. 实数的减法运算：对于任意两个实数a和b，它们的差记作a-b。
实数的减法可以转化为加法运算，即a-b=a+(-b)。
3. 实数的乘法运算：对于任意两个实数a和b，它们的乘积记作a*b。
实数的乘法满足交换律、结合律和分配律。
4. 实数的除法运算：对于任意两个非零实数a和b，它们的除法记作a/b。
实数的除法可以转化为乘法运算，即a/b=a*(1/b)。
5. 实数的幂运算：对于任意实数a和自然数n，它们的幂记作a^n。
实数的乘方满足乘方的乘法规则和指数的加法规则。
6. 实数的开方运算：对于任意非负实数a和自然数n，它们的开方记作√a。
实数的开方满足开方的乘法规则和指数的除法规则。
三、实数的应用实数的性质和运算规则在数学中有广泛的应用。
例如，在代数中，我们可以通过实数的运算规则解决方程和不等式；在几何中，我们可以利用实数的性质和运算计算图形的面积和体积；在概率论中，我们可以使用实数的运算规则计算概率。
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第四章 实数的运算
一．填空题：
1．如果162=x ，那么_____=x ；
2．144的平方根是______，64的立方根是_______；
3．_____2516=±，_____81
4=-，____104=，_____106=-； 4．
______287169=，_____8333=，_____643=--； 5．要切一面积为16平方米的正方形钢板，它的边长是__________米；
6．5-的相反数是__________，绝对值是_________，倒数是_________；
7． 化简: 8125= , 810--= , 5
1= ； 8． ____________数和数轴上的点一一对应；
9．=0144.0_________;=-327
102__________;=+∙632__________， =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2323____________，()()_______2525=+-；
10．比较大小
5-______6-，14.3_______π， 213-______ 21； 11．如右上图，CA ⊥AB ，AB=12，BC=13，DC=3，AD=4，则四边形ABCD 的面积为__________；
12．若492=x ，则x =______，若64)1(3=-x ，则x =______；
13．______的倒数是21
-.
14．如果0)6(42=++-y x ，那么=+y x ；
15．若a 、b 互为相反数，c 、d 互为负倒数，则______3=++cd b a ；
16．已知x 、y 满足0242422=+-++y x y x ，则_______16522=+y x ；
二．选择题：
17．81的平方根是 （ ）
A. 9
B. ±9
C. 3
D. ±3
18．下列说法正确的是 （ ）
A. 无限小数都是无理数
B. 带根号的数都是无理数
C
A B
D
C. 开方开不尽的数是无理数
D. π是无理数, 故无理数也可能是有限小数
19．立方根等于本身的数是 （ ）
A. –1
B. 0
C. ±1
D. ±1或0
20．ππ--14.3的值是 （ ）
A. 3.14-π2
B. 3.14
C. –3.14
D. 无法确定
21．a 为大于1的正数, 则有 （ ） A. a a = B. a a > C. a a < D. 无法确定
22．16的正的平方根的平方根是 （ ）
A 4±
B 4
C 2±
D 2
23．下列运算中，错误的是 （ ） ①1251144251=，②4)4(2±=-，③22222-=-=-，④20
95141251161=+=+ A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
24．2)5(-的平方根是 （ ）
A 5±
B 5
C 5-
D 5±
25．下列运算正确的是 （ ） A 3311--=- B 3333=- C 3311-=- D 3311-=-
26．若a 、b 为实数，且47
112
2++-+-=a a a b ，则b a +的值为 （ ） A 1± B 4 C 3或5 D 5
三．解答题：
27．222318+-
28．71428-
29．33122a a a ∙ 30．)15)(15(-+
31．101015
40+- 32．()225+
33．
25520-+ 34．8322
121332-+-
35．102)121()52()
21(1)2(2--+--++－
36．已知322+-+-=
x x y ，求x y 的平方根；
37．已知实数x 、y 满足022132=+-+--y x y x ，求y x 542-
的值；
38．对于题目“化简并求值：21122-++a a
a ，其中51=a ”,甲、乙人的解答不同． 甲的解答是：54921111211222=-=-+=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+=-++a a a a a a a a a a a ; 乙的解答是：5111112112
22==-+=⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+=-++a a a a a a a a a a ． 谁的解答是错误的？为什么？
39．观察下列分分母有理化的计算： 121
21
-=+, 232
31
-=+, 343
41
-=+, 45451
-=+...从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：
（121++231++341++...+200120021+）(12002+) ;。