2016_2017学年高中数学第2讲直线与圆的位置关系3圆的切线的性质及判定定理学案

三圆的切线的性质及判定定理1．掌握切线的性质定理及其推论，并能解决有关问题．(重点、难点) 2．掌握切线的判定定理，会判定直线与圆相切．(易错、易混点)[基础·初探]教材整理1 切线的性质定理及推论阅读教材P30倒数第2行以上部分，完成下列问题．1．性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．如图2­3­1，已知AB切⊙O于点A，则OA⊥AB.图2­3­12．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．3．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．AB是⊙O的切线，能确定CD⊥AB的条件是( )A．O∈CD B．CD过切点C．O∈CD，且CD过切点D．CD是⊙O的直径【解析】由切线的性质定理知，选项C正确．【答案】 C教材整理2 切线的判定定理阅读教材P30～P31，完成下列问题．判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．下列说法：①与圆有公共点的直线是圆的切线；②垂直于圆的半径的直线是圆的切线；③与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；④过直径的端点，垂直于此直径的直线是圆的切线．其中正确的有( ) 【导学号：07370037】A．①②B．②③C．③④D．①④【解析】根据切线的定义及判定定理知③④正确．【答案】 C[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]如图C，AC平分∠DAB，AD⊥CD.图2­3­2(1)求证：OC∥AD；(2)若AD＝2，AC＝5，求AB的长．【精彩点拨】(1)要证OC∥AD，只需证明OC⊥CD.(2)利用△ADC∽△ACB可求得．【自主解答】 (1)证明：如图所示，连接BC .∵CD 为⊙O 的切线，∴OC ⊥CD . 又AD ⊥CD ，∴OC ∥AD . (2)∵AC 平分∠DAB ， ∴∠DAC ＝∠CAB.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.又AD ⊥CD ，∴∠ADC ＝90°，∴△ADC ∽△ACB. ∴AD AC ＝AC AB，∴AC 2＝AD ·AB. ∵AD ＝2，AC ＝5，∴AB ＝52.1．利用圆的切线的性质来证明或进行有关运算时，常用连接圆心与切点的半径与切线垂直这一理论产生垂直关系．2．常作的辅助线(1)连接切点与圆心的半径． (2)构造直径所对的圆周角．[再练一题]1．如图2­3­3，已知AD 为⊙O 的直径，B 为AD 延长线上一点，BC 与⊙O 切于C 点，∠A ＝30°.图2­3­3求证：(1)BD ＝CD ； (2)△AOC ≌△BDC .【证明】 (1)因为AD 为⊙O 的直径，所以∠ACD ＝90°.又因为∠A ＝30°，OA ＝OC ＝OD ，所以∠ACO ＝30°，∠ODC ＝∠OCD ＝60°，又因为BC 与⊙O 切于C 点，所以∠OCB ＝90°， 所以∠BCD ＝30°，所以∠B ＝30°， 所以∠BCD ＝∠B ，所以BD ＝CD .(2)因为∠A ＝∠ACO ＝∠BCD ＝∠B ＝30°，所以AC ＝BC ， 在△AOC 和△BDC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠B ，OC ＝DC ，∠ACO ＝∠BCD ，所以△AOC ≌△BDC .如图2­3­4，AB 为⊙O 的直径，D 是的中点，DE ⊥AC 交AC 的延长线于E ，⊙O 的切线BF 交AD 的延长线于点F . 【导学号：07370038】图2­3­4(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)若DE ＝3，⊙O 的半径为5，求BF 的长． 【精彩点拨】 (1)利用圆的切线判定定理证明． (2)作DG ⊥AB 于G ，利用△ADG ∽△AFB 求解． 【自主解答】 (1)证明：连接OD ，∵D 是中点，∴∠1＝∠2.∵OA ＝OD ，∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠3，∴OD ∥AE . ∵DE ⊥AE ，∴DE ⊥OD ， 即DE 是⊙O 的切线．(2)过D 作DG ⊥AB ，∵∠1＝∠2，∴DG ＝DE ＝3.在Rt △ODG 中，OG ＝52－32＝4，∴AG ＝4＋5＝9. ∵DG ⊥AB ，FB ⊥AB ，∴DG ∥FB ， ∴△ADG ∽△AFB ，∴DG BF ＝AGAB， ∴3BF ＝910，∴BF ＝103.1．解答本题(2)的关键是作出辅助线DG ⊥AB 于G ，然后利用三角形相似求解． 2．对圆的切线的性质与判定的综合考查往往是热点，其解答思路常常是先证明某直线是圆的切线，再利用切线的性质来求解相关结果．[再练一题]2．如图2­3­5，已知A 是 ⊙O 上一点，半径OC 的延长线与过点A 的直线交于B 点，OC ＝BC ，AC ＝12OB.图2­3­5(1)求证：AB 为⊙O 的切线；(2)若∠ACD ＝45°，OC ＝2，求弦CD 的长． 【解】 (1)证明：如图，连接OA ，∵OC ＝BC ，AC ＝12OB ，∴OC ＝BC ＝CA ＝OA ，∴△ACO 为等边三角形，∴∠O ＝60°，∴∠B ＝30°， ∴∠OAB ＝90°，∴AB 为⊙O 的切线．(2)作AE ⊥CD 于点E ，∵∠O ＝60°，∴∠D ＝30°. 又∵∠ACD ＝45°，AC ＝OC ＝2， ∴在Rt △ACE 中，CE ＝AE ＝2，在Rt△ADE中，∠D＝30°，∴AD＝22，∴DE＝ 6.∴CD＝DE＋CE＝6＋ 2.[探究共研型]探究【提示】判定直线与圆相切共有三种方法：(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；(2)到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线；(3)过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线．如图2­3­6，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF交⊙O于点E，过E作直线与AF 垂直，交AF的延长线于点D，且交AB的延长线于点C.求证：CD是⊙O的切线．图2­3­6【精彩点拨】利用圆的切线的判定定理进行切线的证明，关键是找出定理的两个条件：①过半径的外端；②该直线与某一条半径所在的直线垂直．【自主解答】如图，连接OE.∵OA＝OE，∴∠1＝∠2.又∵AE平分∠BAF，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴OE∥AD.∵AD⊥CD，∴OE⊥CD.∴CD与⊙O相切于点E，即CD是⊙O的切线．1．解答本题的关键是证明OE⊥CD，而已知AD⊥CD，故只需证明OE∥AD.2．判断一条直线是圆的切线时，常用辅助线的作法：(1)如果已知这条直线与圆有公共点，则连接圆心与这个公共点，设法证明连接所得到的半径与这条直线垂直，简记为“连半径，证垂直”；(2)若题目未说明这条直线与圆有公共点，则过圆心作这条直线的垂线，得垂线段，再证明这条垂线段的长等于半径，简记“作垂直，证半径”．[再练一题]3．(2016·郑州一模)如图2­3­7，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：DC是⊙O的切线．图2­3­7【证明】连接OD.因为OA＝OD，所以∠1＝∠2.因为AD∥OC，所以∠1＝∠3，∠2＝∠4，所以∠3＝∠4.在△OBC和△ODC中，OB＝OD，∠3＝∠4，OC＝OC，所以△OBC≌△ODC，所以∠OBC＝∠ODC.因为BC是⊙O的切线，所以∠OBC＝90°，所以∠ODC＝90°，所以DC是⊙O的切线．[构建·体系]1．如图2­3­8，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，AC 交⊙O 于D ，AB ＝6，BC ＝8，则BD 等于( )图2­3­8A ．4B ．4.8C ．5.2D ．6【解析】 ∵AB 是⊙O 的直径，∴BD ⊥AC . ∵BC 是⊙O 的切线，∴AB ⊥BC . ∵AB ＝6，BC ＝8，∴AC ＝10. ∴BD ＝AB ·BCAC＝4.8. 【答案】 B2.如图2­3­9所示，直线l 与⊙O 相切，P 是l 上任一点，当OP ⊥l 时，则( ) 【导学号：07370039】图2­3­9A ．P 不在⊙O 上B ．P 在⊙O 上C ．P 不可能是切点D ．OP 大于⊙O 的半径【解析】 由切线性质定理的推论1，经过圆心O 垂直于切线l 的直线必过切点，故P 为切点，应选B.【答案】 B3．如图2­3­10，AP 为圆O 的切线，P 为切点，OA 交圆O 于点B ，若∠A ＝40°，则∠APB 等于( )图2­3­10A ．25°B ．20°C ．40°D ．35°【解析】 如图，连接OP ，∵AP 为圆O 的切线，∴∠OPA ＝90°， ∵∠A ＝40°，∴∠AOP ＝90°－40°＝50°.∵OP ＝OB ，∴∠OPB ＝12×(180°－50°)＝65°.∴∠APB ＝∠OPA －∠OPB ＝90°－65°＝25°. 【答案】 A4．如图2­3­11，⊙O 的半径为3 cm ，B 为⊙O 外一点，OB 交⊙O 于点A ，AB ＝OA ，动点P 从点A 出发，以π cm/s 的速度在⊙O 上按逆时针方向运动一周回到点A 立即停止．当点P 运动的时间t 为________s 时，BP 与⊙O 相切．图2­3­11【解析】 连接OP .当OP ⊥PB 时，BP 与⊙O 相切．因为AB ＝OA ，OA ＝OP ，所以OB ＝2OP ，又因为∠OPB ＝90°，所以∠B ＝30°，所以∠O ＝60°. 因为OA ＝3 cm ， 所以＝60×π×3180＝π，圆的周长为6π，所以点P 运动的距离为π或6π－π＝5π.所以当t ＝1 s 或5 s 时，BP 与⊙O 相切． 【答案】 1或55.如图2­3­12，AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，AC 经过圆心O ，且BC ＝2OC .求证：AC ＝2AD .图2­3­12【证明】 连接OD .因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ， 所以∠ADO ＝∠ACB ＝90°. 又因为∠A ＝∠A ， 所以Rt △ADO ∽Rt △ACB ， 所以BC OD ＝AC AD.又BC ＝2OC ＝2OD ，故AC ＝2AD .我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评(八) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．AB 是⊙O 的切线，在下列给出的条件中，能判定AB ⊥CD 的是( ) A ．AB 与⊙O 相切于直线CD 上的点C B ．CD 经过圆心O C ．CD 是直径D ．AB 与⊙O 相切于C ，CD 过圆心O【解析】 圆的切线垂直于过切点的半径或直径． 【答案】 D2．已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为30°，过C 点的切线PC 与AB 的延长线交于P ，PC ＝5，则⊙O 的半径是( )A.533B.536C ．10D ．5【解析】 如图，连接OC ，∠PAC ＝30°， 由圆周角定理知， ∠POC ＝2∠PAC ＝60°， 由切线性质知∠OCP ＝90°. ∴在Rt △OCP 中，tan ∠POC ＝PCOC. ∴OC ＝PCtan ∠POC ＝5tan 60°＝533.【答案】 A3．如图2­3­13，CD 切⊙O 于B ，CO 的延长线交⊙O 于A ，若∠C ＝36°，则∠ABD 的度数是( )图2­3­13A ．72°B ．63°C ．54°D ．36°【解析】 连接OB.∵CD 为⊙O 的切线，∴∠OBC ＝90°.∵∠C ＝36°，∴∠BOC ＝54°. 又∵∠BOC ＝2∠A ，∴∠A ＝27°， ∴∠ABD ＝∠A ＋∠C ＝27°＋36°＝63°. 【答案】 B4.如图2­3­14所示，⊙O 是正△ABC 的内切圆，切点分别为E ，F ，G ，点P 是弧EG 上的任意一点，则∠EPF ＝( )图2­3­14A ．120°B ．90°C ．60°D ．30°【解析】 如图所示，连接OE ，OF .∵OE ⊥AB ，OF ⊥BC ，∴∠BEO ＝∠BFO ＝90°， ∴∠EOF ＋∠ABC ＝180°，∴∠EOF ＝120°，∴∠EPF ＝12∠EOF ＝60°.【答案】 C5．如图2­3­15所示，AC 切⊙O 于D ，AO 的延长线交⊙O 于B ，且AB ⊥BC ，若AD ∶AC ＝1∶2，则AO ∶OB ＝( )图2­3­15A ．2∶1B ．1∶1C ．1∶2D ．1∶1.5【解析】 如图所示，连接OD ，OC ，则OD ⊥AC .∵AB ⊥BC ，∴∠ODC ＝∠OBC ＝90°.∵OB ＝OD ，OC ＝OC ， ∴△CDO ≌△CBO ，∴BC ＝DC .∵AD AC ＝12，∴AD ＝DC ， ∴BC ＝12AC .又OB ⊥BC ，∴∠A ＝30°， ∴OB ＝OD ＝12AO ，∴AO OB ＝21.【答案】 A 二、填空题6.如图2­3­16，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝5，BC ＝12，⊙O 分别与边AB ，AC 相切，切点分别为E ，C .则⊙O 的半径是________．图2­3­16【解析】 连接OE ，设OE ＝r ， ∵OC ＝OE ＝r ，BC ＝12，则BO ＝12－r ，AB ＝122＋52＝13， 由△BEO ∽△BCA ，得BO AB ＝OE AC， 即12－r 13＝r 5，解得r ＝103. 【答案】1037．如图2­3­17，在半径分别为5 cm 和3 cm 的两个同心圆中，大圆的弦AB 与小圆相切于点C ，则弦AB 的长为______cm.图2­3­17【解析】 连接OA ，OC ， ∵AB 是小圆的切线， ∴OC ⊥AB ，∴AC ＝12AB.∵在Rt △AOC 中，AC ＝52－32＝4(cm)，∴AB ＝8 cm. 【答案】 88．如图2­3­18所示，圆O 的半径为1，A ，B ，C 是圆周上的三点，满足∠ABC ＝30°，过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ，则PA ＝________.图2­3­18【解析】 连接OA .∵AP 为⊙O 的切线，∴OA ⊥AP .又∠ABC ＝30°，∴∠AOC ＝60°.∴在Rt △AOP 中，OA ＝1，PA ＝OA ·tan 60°＝ 3. 【答案】 3三、解答题9.如图2­3­19，已知D 是△ABC 的边AC 上的一点，AD ∶DC ＝2∶1，∠C ＝45°，∠ADB ＝60°，求证：AB 是△BCD 的外接圆的切线. 【导学号：07370040】图2­3­19【证明】 如图，连接OB ，OC ，OD ，设OD 交BC 于E .因为∠DCB 是所对的圆周角，∠BOD 是所对的圆心角，∠BCD ＝45°， 所以∠BOD ＝90°.因为∠ADB 是△BCD 的一个外角，所以∠DBC ＝∠ADB －∠ACB ＝60°－45°＝15°， 所以∠DOC ＝2∠DBC ＝30°， 从而∠BOC ＝120°.因为OB ＝OC ，所以∠OBC ＝∠OCB ＝30°. 在△OEC 中，因为∠EOC ＝∠ECO ＝30°， 所以OE ＝EC .在△BOE 中，因为∠BOE ＝90°，∠EBO ＝30°，所以BE ＝2OE ＝2EC ，所以CE BE ＝CD DA ＝12，所以AB ∥OD ，所以∠ABO ＝90°， 故AB 是△BCD 的外接圆的切线．10．如图2­3­20，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，弦CD ⊥AB 于E ，∠POC ＝∠PCE .图2­3­20(1)求证：PC 是⊙O 的切线；(2)若OE ∶EA ＝1∶2，PA ＝6，求⊙O 半径． 【解】 (1)证明：在△OCP 与△CEP 中， ∵∠POC ＝∠PCE ，∠OPC ＝∠CPE ， ∴∠OCP ＝∠CEP .∵CD ⊥AB ，∴∠CEP ＝90°， ∴∠OCP ＝90°.又∵C 点在圆上，∴PC 是⊙O 的切线． (2)法一：设OE ＝x ，则EA ＝2x ，OC ＝OA ＝3x . ∵∠COE ＝∠AOC ，∠OEC ＝∠OCP ＝90°， ∴△OCE ∽△OPC ， ∴OC OE ＝OP OC，即(3x )2＝x (3x ＋6)，∴x ＝1， ∴OA ＝3x ＝3，即圆的半径为3.法二：由(1)知PC 是⊙O 的切线， ∴∠OCP ＝90°.又∵CD ⊥OP ，由射影定理知OC 2＝OE ·OP ，以下同法一．[能力提升]1．如图2­3­21，在⊙O 中，AB 为直径，AD 为弦，过B 点的切线与AD 的延长线交于C ，若AD ＝DC ，则sin ∠ACO 等于( )图2­3­21A.1010 B.210 C.55D.24【解析】 连接BD ，则BD ⊥AC . ∵AD ＝DC ，∴BA ＝BC ， ∴∠BCA ＝45°.∵BC 是⊙O 的切线，切点为B ， ∴∠OBC ＝90°. ∴sin ∠BCO ＝OB OC＝OB 5OB ＝55， cos ∠BCO ＝BCOC＝2OB5OB＝255.∴sin ∠ACO ＝sin(45°－∠BCO )＝sin45°cos ∠BCO －cos 45°sin ∠BCO ＝22×255－22×55＝1010. 【答案】 A2．如图2­3­22所示，已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，PA ＝2，AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于B 点，PB ＝1，则圆O 的半径R ＝__________.图2­3­22【解析】 AB ＝AP 2－PB 2＝ 3. 由AB 2＝PB ·BC ， ∴BC ＝3，Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝23，∴R ＝ 3. 【答案】33．圆O 的直径AB ＝6，C 为圆周上一点，BC ＝3，过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l ，圆交于点D ，E ，则∠DAC ＝__________，DC ＝__________.【解析】 连接OC ， ∵OC ＝OB ，∴∠OCB ＝∠OBC . 又∠DCA ＋∠ACO ＝90°， ∠ACO ＋∠OCB ＝90°， ∴∠DCA ＝∠OCB. ∵OC ＝3，BC ＝3， ∴△OCB 是正三角形，∴∠OBC ＝60°，即∠DCA ＝60°， ∴∠DAC ＝30°.在Rt △ACB 中，AC ＝AB 2－BC 2＝33，DC ＝AC sin 30°＝323.【答案】 30°3324．如图2­3­23，AD 是⊙O 的直径，BC 切⊙O 于点D ，AB ，AC 与圆分别相交于点E ，F .【导学号：07370041】图2­3­23(1)AE ·AB 与AF ·AC 有何关系？请给予证明；(2)在图中，如果把直线BC 向上或向下平移，得到图2­3­24(1)或图(2)，在此条件下，(1)题的结论是否仍成立？为什么？图2­3­24【解】(1)AE·AB＝AF·AC.证明：连接DE.∵AD为⊙O的直径，∴∠DEA＝90°.又∵BC与⊙O相切于点D，∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°，∴∠ADB＝∠DEA. 又∵∠BAD＝∠DAE，∴△BAD∽△DAE，∴ABAD＝ADAE，即AD2＝AB·AE.同理AD2＝AF·AC，∴AE·AB＝AF·AC.(2)(1)中的结论仍成立．因为BC在平移时始终与AD垂直，设垂足为D′，则∠AD′B＝90°.∵AD为圆的直径，∴∠AED＝∠AD′B＝90°.又∵∠DAE＝∠BAD′，∴△ABD′∽△ADE，∴ABAD＝AD′AE，∴AB·AE＝AD·AD′.同理AF·AC＝AD·AD′，故AE·AB＝AF·AC.。