矩阵论 第四章 矩阵的分解
矩阵论9稿第4章
s c
（ c2 + s2 = 1 ）
[Tij (c , s ) ] −1 = [Tij (c , s ) ] T = Tij (c ,− s ) ,
det Tij = 1 .
⎧η i = cξ i + sξ j ⎡η 1 ⎤ ⎡ξ 1 ⎤ ⎪ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2． x = ⎢ M ⎥ , Tij x = ⎢ M ⎥ ⇒ ⎨η j = − sξ i + cξ j ⎪η = ξ ( k ≠ i , j ) ⎢ ⎢ k ⎦ ⎩ k ⎣η n ⎥ ⎦ ⎣ξ n ⎥
( )
(i = 3,4)
⎡1 ⎢0 1 L2 = ⎢ ⎢0 c 32 ⎢ ⎣0 c 42 ⎡a11 ⎢ =⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥, 1 ⎥ ⎥ 0 1⎦ a12 (1) a 22
⎡1 ⎢0 1 −1 L2 = ⎢ ⎢0 − c 32 ⎢ ⎣0 − c 42 a13 (1) a 23 a14 ⎤ (1) ⎥ Δ a 24 (2 ) ⎥ (2 ) ⎥ = A a 34 (2 ) ⎥ a 44 ⎦
1 (2 ) L− 3 A
矩阵论 9 稿（张凯院）
第四章
矩阵分解
4-2
1 −1 −1 ( 3) 即 L− ⇒ A = L1 L2 L3 A ( 3 = L1 L2 L3 = ⎢ ⎢c 31 ⎢ ⎣c 41
1 c 32 c 42
1 c 43
⎡1 1 ⎢ 0 T = T13T12 = 2⎢ ⎢ ⎣− 1
1 ⎤ ⎡ 3 4 0⎤ ⎡ 3 1 1 ⎢ ⎥ ⎢ 2 0⎥ ⎥ ⋅ 5 ⎢ − 4 3 0⎥ = 5 2 ⎢ − 4 2 ⎢ 0 1⎥ ⎦ ⎢ ⎣ 0 0 5⎥ ⎦ ⎣ −3 0
Tx = 5 2e1
二、Householder 矩阵
矩阵论之矩阵的分解
矩阵的分解一、矩阵的三角分解 定义 3.1 设.n nA F⨯∈(1) 若,n n L U F ⨯∈分别为下三角矩阵和上三角矩阵，,A LU =则称A 可作LU 分解。
(2) 若,n n L U F ⨯∈分别是对角线元素为1的下三角矩阵和上三角矩阵，D 为对角矩阵。
,A LDU = 则称A 可作LDU 分解。
用Gauss 消去法，一个方阵总可以用行初等变换化为上三角矩阵，若只用第i 行乘以数k 加到第j 行（i j <）型初等变换就能把A 化为上三角矩阵U ，则有下三角形可逆矩阵,P 使,PA U =从而有LU 分解：1.A P U -=例1 设223477245A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，求A 的LU 分解和LDU 分解。
解 为求,P 对下面的矩阵做如下行初等变换：3223100223100()477010031210245001068101223100031210006521A I ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦因此 100223210,031521006P PA ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦. 令1100223210,031121006L P U -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦则223031.006A L LU ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦再利用初等变换，有31121002121030131216001A ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦就得到A LDU =其中 311210021210,3,0131216001L D U ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦一般来说，,LU LDU 分解一般不是惟一的。
下面讨论方阵的LU 和LDU 分解的 存在性和唯一性。
定理 3.1 设(),n nij n n A a F ⨯⨯=∈ 则A 有惟一LDU 分解A LDU =的充分必要条件是A 的顺序主子式1112121222012......0,1,2,...,;1,...............k k k k k kka a a a a a k n a a a ∆=≠=∆=其中 121,;1,2,...,...k k k n d d D d k n d -⎡⎤⎢⎥∆⎢⎥===⎢⎥∆⎢⎥⎣⎦证明：只证充分性：对A 的阶数n 进行归纳证明11111111,()(1)()(1)n A a a L DU ==== 所以定理对1n =成立，设定理对1n -成立，即 (1)(1)111()ij n n n n n A a L D U -⨯----== 则对,n 将A 分块成1n n Tnnn A A u a τ-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦其中 121,12,1(,,...,),(,,...,),TTn n n n n n n n n n a a a u a a a τ--==设111100,1001n n n n n n T T n nn nn A L D V v u a l d τ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 比较两边，则有1111,n n n n A L D U ----= (3.1)11n n n n L D v τ--= (3.2)11T Tn n n n u l D U --= (3.3) 1T nn n n n n a l D v d -=+ (3.4)由归纳假设（3.1）式成立。
矩阵论矩阵的分解演示文稿
结论：如果矩阵A能用两行互换以外的 初等行变换 化为阶梯形，则A有LU分解。
三角分解的存在性和惟一性
定理3.1 （P.62） ：
• 矩阵的k 阶主子式：取矩阵的前k行、前k列得到 的行列式，k=1，2， … ，n。
• 定理: AFnn有惟一LDV分解的充要条件是A的顺 序主子式Ak非零，k =1，2，…，n-1。
Hermite 矩阵的谱分解
定理3 .6（P.73）设A是秩为k的半正定的Hermite
矩阵，则A可以分解为下列半正定矩阵的和。
A=v1v1H+v2v2H+…vkvkH
§3.2 Schur 分解和正规矩阵
已知：欧氏空间中的对称矩阵A可以正交
相似于对角形。
讨论：一般方阵A ，在什么条件下可以
酉相似于对角矩阵？
对角矩阵 对称和反对称矩阵：AT=A，AT=–A。 Hermite矩阵和反Hermite矩阵：AH=A，AH=–A 正交矩阵和酉矩阵：ATA=AAT=I，AHA=AAH=I。
例题1 （P.78，eg 10）设A为正规矩阵，B酉相似于A，
证明B也是正规矩阵。
正规是酉相似的不变性质
例题2、AFmn，矩阵AHA 和矩阵AAH是正规矩阵。
证明：源于Schmidt正交化方法（P.18） 2 8 2
例题1
求矩阵A的UR分解，其中
ALeabharlann 17 1QR分解
2 2 1
定理3.8（P.76） ：设矩阵ACmn是列满秩的矩阵，则
矩阵A可以分解为A=QR，其中Q Cmn的列向量是标准 正交的向量组，R Cnn是主对角线上元素为正数的上三
角形矩阵。
2 、Schur 分解
定理3.7（P.74 ）对矩阵ACnn，存在酉矩
矩阵论-奇异值分解
0
0
1
0
0 0 0
2 13 3 13
3
13
-2
13
例：求A=
-1 2
0 0
1 -2
的奇异值分解.(课本例题)
1 2
解：令B=AH
0
1
0 2
,
则BH
B=
2 -4
-4
8
,
I BHB 2
4
( 10), =10, 0
4 8
故B的奇异值为
10，B H
1
例：A=
0
2
0
1 0
，则AH
A=
5 0
0 1
，奇异值为
5，1
1 0 2
而AAH
=
0
1
0 ，I-AAH =( 1)( 5).
2 0 4
定理1：若A与B酉相抵，则A与B有相同的奇异值.
证明：因A与B酉相抵，所以存在酉阵U与V，使B=UAV. 所以BH B=VH AH UH UAV=VH AH AV， 所以BH B与AH A相似， 所以它们的特征值相同， 所以A与B有相同的奇异值.
2
0
极分解：设A Cmr n，则A有以下分解，A=GU，G为半正定 Hermite矩阵，U为酉阵，特别地，当A 满秩时，G为正定 Hermite矩阵, 且分解唯一.
证明：由奇异值分解：
1
A=U1
0
r
0 0
V1H
=
U1
1
0
r
0
U1H
U1V1H
0
同理，r( AAH ) r( AH )=r( A).
引理2：设A Cmn，则 1）AH A与AAH的特征值均为非负实数. 2）AH A与AAH的非零特征值相同且非零特征值的个数为r(A).
矩阵的分解
§9. 矩阵的分解矩阵分解是将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积，这是矩阵理论及其应用中常见的方法。
由于矩阵的这些特殊的分解形式，一方面反映了原矩阵的某些数值特性，如矩阵的秩、特征值、奇异值等；另一方面矩阵分解方法与过程往往为某些有效的数值计算方法和理论分析提供了重要的依据，因而使其对分解矩阵的讨论和计算带来极大的方便，这在矩阵理论研究及其应用中都有非常重要的理论意义和应用价值。
这里我们主要研究矩阵的三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解及特殊矩阵的分解等。
一、矩阵的三角分解——是矩阵的一种有效而应用广泛的分解法。
将一个矩阵分解为酉矩阵（或正交矩阵）与一个三角矩阵的乘积或者三角矩阵与三角矩阵的乘积，这对讨论矩阵的特征、性质与应用必将带来极大的方便。
首先我们从满秩方阵的三角分解入手，进而讨论任意矩阵的三角分解。
定义1 如果(1,2,,)ii a i n =均为正实数，()(,1,2,1;∈<=-ij a C R i j i n1,2,),=++j i i n 则上三角矩阵11121222000⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭n n nn a a a a a R a 称为正线上三角复（实）矩阵，特别当1(1,2,,)ii a i n ==时，R 称为单位上三角复（实）矩阵。
定义2如果(1,2,,)ii a i n =均为正实数，()(,1,2,1;∈>=-ij a C R i j i n1,2,),=++j i i n 则下三角矩阵11212212000⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭n n nn a a a L a a a称为正线下三角复（实）矩阵，特别当1(1,2,,)ii a i n ==时，L 称为单位下三角复（实）矩阵。
定理1设,⨯∈n nnA C 则A 可唯一地分解为 1=A U R其中1U 是酉矩阵，R 是正线上三角复矩阵；或者A 可唯一地分解为2=A LU其中2U 是酉矩阵，L 是正线下三角复矩阵。
西北工业大学矩阵论课件PPT第四章例题矩阵分解
u1
a3 e~1 a3 e~1 2
1 2
1 0 1
于是
0 0 1
H~1
I
2u1u1T
0
1
0
1 0 0
令
H1
1 0
0T H~1
1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
2 1 0 0
则
H1AH1
1 0
1 3
3 1
4 2
0 4 2 1
对 a2 (3,4)T，取 2 a2 2 5，则
1
0
0 0 0 2
例
试求矩阵
A
0 0
3 4
1 2
的QR分解。
2 1 2
解
将列向量
a1
0
0
，a2
3 4 ，a3
1 2
正交化得
2
1
2
p1
a1
0
0
，
p2
2
a2
2 4
p1
3 4
，p3
0
a3
4 4
p1
5 25
p2
8 5
6 5
0
单位化得
0
q1
1 2
p1
0 ， 1
证 因为
I O A B I O A B B I I B A I I O A B 取行列式即得。
例 设A, B, C, D为同阶方阵，A可逆, 且AC = CA。
证明 证 因为
det A C
B det(AD CB) D
I CA1
O A I C
B A D O
(2 )4
4!
A4
某211高校研究生课程《矩阵论》第4章l矩阵的因子分解剖析
(4.6.1)
引理4.6.2 设A C mn ,则
(1) AH A与AAH的特征值均为非负实数 ； (2) AH A与AAH的非零特征值相同，并且非零特征
值的个数(重特征值按重数计算)等于rank ( A).
定义4.6.1 设ACmn ,如果存在非负实数和非零向量
u Cn, v Cm使得
Au v, AH v u
定理4.6.1 若A是正规矩阵，则 A的奇异值是A的特征 值的模。
定理4.6.2 设 A是 m n 矩阵，且rank(A) = r，则存在 m阶酉矩阵V 和 n 阶酉矩阵U使得
V
H
AU
0
0 0
(4.6.5)
其中 diag(1,, r )，且1 r 0.
(4.6.5)称为矩阵 A的奇异值分解.
d1 a11 ,
dk
k k 1
,
k 2,, n
分解式 A LDU称为矩阵A的LDU分解。
一般说来，即使A是n阶非奇异矩阵， A未必 能作LU分解和LDU分解。
定义4.3.1 设ei是n 阶单位矩阵的第i列(i=1,2,…n)， 以e1, e2,, en为列作成的矩阵[ei1 , ei2 , , ein ] 称为 n 阶 排列矩阵，其中 i1, i2 ,, in 是1,2,…n的一个排列。
推论4.5.2 若 A是n 阶实对称矩阵，则 A正交相似于实 对角矩阵，即存在n 阶正交矩阵 Q 使得
QT AQ
(4.5.13)
其中 diag(1,, n )，i (i 1,, n)是A的实
特征值。
4.6 奇异值分解
引理4.6.1 设A C mn ,则
rank( AH A) rank( AAH ) rank( A)
第4章 矩阵分解-1
3 1 2
H2H1A
0
1
1
R
0
0
0
矩阵分析简明教程
Q
H
H 1
21
1 3
1
2 2
2 1 2
2
2 1
所求的QR分解为
A QR
8
0 1 1
矩阵分析简明教程
1 5
x1 2x2 x3 5x2 3x3
0 1
12 5
x3
4 5
(
5 12
)
3 5
x1
2x2 x2
1 3 0
x3
1 3
(2)
x1 x2
1 3 0
x3 1 3
(II )
矩阵分析简明教程
用矩阵形式表示，系数矩阵
1 2 1 r12 (3) 1 2 1
角方阵 R ，使得
A QR
当 m = n 时 ，Q 就 是 酉 矩 阵 或 正 交 矩 阵 。
矩阵分析简明教程
例 1 将下列矩阵进行QR分解：
1 2 2
A
1 0
0 1
2 1
4
矩阵分析简明教程
解： 1 (1,1，0, )T， 1 1 (1,1，0)T
1
||
1 1
||
1 (1,1, 0)T 2
定理4.2.3 设 e1 1, 0,, 0T C n ,
x1 , x2 ,, xn T C n , 0
令
x1
x1 ,
,
x1
0 ，u
e1
x1 0
e1
H E 2uuH是n 阶Householder矩阵，且
H -e1
矩阵分析简明教程
定理4.2.4（QR分解）设 A为 任 一 n 阶 矩 阵 则必存在 n 阶酉矩阵 Q 和 n 阶上三角方
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
α2
2 2 6 2 0
α 3 ] = [η 1
2 − 2 6 6 = UR 2 3 3
3×3
η2
η3]
（2）首先判断出 A ∈ C3 ） ，由定理可 3×3 知必存在 U ∈ U ，以及三阶线正上三角 矩阵 R 使得 A = UR .
角线元素为正的上三角矩阵，由前面的结论 上三角矩阵， 上三角矩阵 可知
% −1U = I , RR −1 = I % U
因此有
% % U =U , R = R
因为有 A ∈ Cn n×n ，所以 照分解的存在性可知
T
A ∈ Cn
T
n ×n
，按
%% A = UR 其中 U ∈ U n×n , R 是对角线元素为正的 % %
λi = µi > 0, i = 1, 2,L , r
同时， 同时，我们称
αi = λi = µi > 0, i = 1, 2,L , r
β1 , β 2 , L, β n
再单位化， 再单位化，这样得到一组标准正交向量组
η1 , η2 , L , ηn
并且向量组之间有如下关系
α1 = c11η1 α 2 = c21η1 + c22η2 α 3 = c31η1 + c32η2 + c33η3
LLLL
α n = cn1η1 + cn 2η2 + LL + cnnηn
第四章
矩阵的分解
本章我们主要讨论矩阵的五种分解： 本章我们主要讨论矩阵的五种分解：矩 阵的满秩分解，正交三角分解，奇异值分解， 阵的满秩分解，正交三角分解，奇异值分解， 极分解，谱分解。 矩阵的满秩分解 定理： 定理：设 A ∈ Cr
m ×n
为任意矩阵， 为任意矩阵，则存在
m×r
B ∈ Cr
, C ∈ Cr
其中 是有
cii = β i > 0, i = 1, 2,L , n ，于
A = [α1 α 2 L α n ] = [η1 η2 = UR
其中
c11 c21 L cn1 c22 L cn 2 L ηn ] O 0 cnn
n×n n
U = [η1 η2 L ηn ] ∈ U
三角矩阵。 三角矩阵。于是
% TU T = R U A=R % 1 1
其中 而U
R1 是对角线元素为正的三角矩阵， 角矩阵， 角矩阵 n ×n .此结论也可以被推广为 ∈ U 此结论也可以被推广为 1
定理： 定理：设 解为
A ∈ Cr
m×r
，则
A 可以唯一地分
A = UR
r 三角矩阵， 其中 R 是×r 阶对角线元素为正的三角矩阵， 三角矩阵 m U ∈ U r ，即U 是一个次酉矩阵。 是一个次酉矩阵。
且此矩阵的第三， 所以 Rank ( A) = 1 ，且此矩阵的第三，第 第五列任意一列都是线性无关的， 四，第五列任意一列都是线性无关的，所以 选取哪一列构成列满秩矩阵均可以。 选取哪一列构成列满秩矩阵均可以。
选取
1 2×1 B = ∈ C1 , 2 1×5 C = [ 0 0 1 2 3] ∈ C1
−1
C = [Ir
例
D ] Q ∈ Cr
−1
r ×n
分别求下面三个矩阵的满秩分解
1 1 (1) 2 4
2 2 2 1 3 3 4 3 1 4 5 8 6 2 8 10 2 1 0 1
0 0 1 2 3 (2) 0 0 2 4 6
0 1 0 −1 1 0 2 0 1 −1 (3) 0 3 0 2 −2
推论： 推论：设 A ∈ Cr
m ×n
，则
A 可分解为
A = U1R1L2U 2 m×r r ×n 其中 U1 ∈ U r , U 2 ∈ U r ， R1 是 r 阶线正上三角矩阵， 阶线正上三角矩阵， L2 是 r 阶线正下三角
矩阵。 矩阵。 矩阵的奇异值分解 引理 1 ：对于任何一个矩阵 A 都有
Rank ( AA ) = Rank ( A A) = Rank ( A)
H H
引理 2 ：对于任何一个矩阵 A 都有 AA 与 H 都是半正定的Hermite-矩阵。 矩阵。 矩阵 A A 都是半正定的
H
µ A ∈ Cr ， λi 是 AA 的特征值， i 的特征值， H 是 A A 的特征值，它们都是实数。如果记 的特征值，它们都是实数。
(1) 1 1 A = 0 0 1 0 1 0 − 1 0 0 1
H
(2)
2 2 1 0 2 2 A= 2 1 2
4×3
解： （1）容易判断出 A ∈ C3 ） ，即 A 是一个列满秩矩阵。按照定理的证明过程， 是一个列满秩矩阵。按照定理的证明过程， 将 A = α1 α 2 α 3 的三个列向量正交 化与单位化。 化与单位化。先得到一个正交向量组
2 2 − 6 6 3 6
0 0 6 3 3 6
T
0
T
3 2
T
这样， 这样，原来的向量组与标准正交向量之间 的关系可表示成
α1 = 2η1
6 2 α2 = η2 + η1 2 2 2 3 6 2 α3 = η3 − η 2 − η1 3 6 2
将上面的式子矩阵化， 将上面的式子矩阵化，即为
r
r
P ∈ Cm
且满足
m ×m
, Q ∈ Cn
n ×n
Ir PAQ = 0
从而
D 0
D −1 Q = 0 D ]Q
−1
Ir A= P 0 I −1 r P [Ir 0 = BC
−1
其中
Ir m ×r B = P ∈ Cr , 0
证明：分解的存在性证明， 证明：分解的存在性证明，同上面的例题完 全一样。 全一样。 分解的唯一性证明。 分解的唯一性证明。设
A = U1R1 = U 2 R2
则
A A = R1 R1 = R2 R2
H H H
是正定的Hermite 矩阵（为什 矩阵（ 因为 A A 是正定的 ？），由正定二次型的等价定理可知 由正定二次型的等价定理可知， 么？），由正定二次型的等价定理可知，其 三角分解是唯一的， 三角分解是唯一的，故 R1 = R2 ，进一步 有 U1 = U 2 。 例1 ：求下列矩阵的正交三角分解
且该矩阵第一列， 由此可知 Rank ( A) = 2 ，且该矩阵第一列， 第三列是线性无关的。 第三列是线性无关的。选取
1 1 B= 2 4
1 2 4× 2 ∈ C2 3 6
1 2 0 −1 −1 1 2×6 C= ∈ C2 0 0 1 1 2 1
同样， 同样，我们也可以选取
H
m ×n
设
λ1 ≥ λ2 ≥ L ≥ λr > λr +1 = λr + 2 = L = λm = 0 µ1 ≥ µ2 ≥ L ≥ µr > µ r +1 = µ r + 2 = L = µn = 0
特征值
λi
之间有如下关系。 与 µi 之间有如下关系。
定理： 定理：设
A ∈ Cr
m ×n
，那么
[
]
β1 = α1 = [1 1 0 0]
T
(α 2 , β1 ) 1 β2 = α2 − β1 = α 2 − β1 ( β1 , β1 ) 2 1 = 2 −1 1 0 2 (α 3 , β1 ) (α 3 , β 2 ) β 2 = α3 − β1 − β2 = ( β1 , β1 ) ( β2 , β2 )
0 0 0 0 1 −1 0 0 0
所以 Rank ( A) = 2 ，且容易看出此矩阵的 第二列和第四列是线性无关的， 第二列和第四列是线性无关的，选取
1 −1 2 1 ∈ C 3×2 , B= 2 3 2 0 1 0 0 0 2×5 C= ∈ C2 0 0 0 1 −1
解 （1）对此矩阵只实施初等行变换可以 ） 得到
1 1 2 4
2 3 4 3 1 4 5 8 6 2 8 10 2 1 0 1 2 2 1 3 2 0 −1 −1 1 0 1 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 → 0 0
A
B = B1G , C = G C1
−1
H H −1 H
H
H −1
H
−1
H −1 H
= C1 (C1C1 ) ( B1 B1 ) B1
矩阵的正交三角分解
定理 设 A ∈ C
或 A = R1U1 A = UR R 其中 U ,U1 ∈ U n×n 为酉矩阵 ， 是对角线元 素为正的上三角矩阵， 素为正的上三角矩阵， R1 是对角线元素为正 下三角矩阵。 下三角矩阵。
r ×n
使得
A = BC
为列满秩矩阵， 为行满秩矩阵(我 其中 A 为列满秩矩阵， B 为行满秩矩阵 我 们称此分解为矩阵的满秩分解 。 们称此分解为矩阵的满秩分解)。 矩阵的满秩分解 证明：假设矩阵 A 的前 个列向量是线性 证明： 无关的， 只实施初等变行 无关的，对矩阵 A 只实施初等变行换可以 将其化成
T
1 1 −1 1 α 3 + β1 + β 2 = 2 3 3 3
1 1 3
T
再将其单位化， 再将其单位化，得到一组标准正交向量组
2 η1 = β1 = β1 2 1 6 η2 = β2 = β2 6 1 − 3 η3 = β3 = β3 6 1
r