%98%A5高等数学期末考试试题A评分标准

3
九、本题 4 分 因为
an =
∫
π
0
sin( nπ + t ) n π sin t d t = ( −1) ∫ dt 0 nπ + t nπ + t
π π 1 sin t 1 ， dt ≤ ∫ d t = → 0(n → ∞ ) 0 nπ + t nπ n
（1 分）
且
0 < un = ∫
0
u n +1 ≤ u n，
得驻点 M (2,2,4) ， （1 分）
且 u( M ) = 128 由于非负连续函数 u = x 2 yz 2 在平面 2 x + y + z = 10 位于第一卦限部分的边 界上为零，故 u 在第一卦限内取最大值，所以是 M 最大点，也是极大点， 因此函数 u 在点 M 取极大值 u(2,2,4) = 128 . （1 分）
z−
π
2 ; 3、 1 ; 1 2
4、 μ(x,y)dσ(或 μ(x,y)dxdy); 5、0. 二、本大题共 5 小题，每小题 4 分，总计 20 分 1、B; 2、D; 3、D; 4、D； 5、C. 三、本大题共 2 小题，每小题 6 分，总计 12 分 1、 z x =
x a − x2 − y 2
沈阳建筑大学考试评分标准专用纸
2010 年春季学期 科目高等数学 1（2）A卷 适用年级、专业
土木学院、环境学院、信息学院、 材料学院 09 级各专业
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一、本大题共 5 小题，每小题 4 分，总计 20 分 1、 x ≥
y 且y≥0
x −1 y = = ; 2、 0 −1
L
= ∫ 2 xydx + ( x 2 − y 2 )dy
OB
（2 分）
= 0.
2、由高斯公式
Ω
（1 分）
I = ∫∫∫ ( y 2 + x 2 + 1) d v
=∫
2π 0 1 0
（2 分)
1
d θ ∫ r (1 + r 2 ) d r ∫ d z （2 分)
0
3 = π . （1 分) 2 六、本大题共 2 小题，每小题 5 分，总计 10 分 K K K i j k K K K 1、平面法向量 n = a × b = 3 1 0 = {−4,12,2}
（3 分)
1 1 −4
K K K K n = −2c ， n 与 c 平行， 2、设平面方程为
（2 分)
x +ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱy − z −1 + λ （x − y + z + 1 ）=0 ,
即 (1 + λ ) x + (1 − λ ) y + (−1 + λ ) z − 1 + λ =0 ， 由已知条件知 (1 + λ ) + (1 − λ ) + ( −1 + λ )=0 ， 解得 λ = −1 , 故平面方程为 y − z − 1=0 . (1 分)
2
（2 分)
（2 分)
七、本大题共 2 小题，每小题 5 分，总计 10 分 ( n + 1) n +1 un +1 1 = , = lim a 1、 lim n →∞ u n →∞ n a n an 当 a > 1 时，级数收敛 , 当 a < 1 时，级数发散 , 当 a = 1 时，比值判别法失效，但此时 un = n，
n =1
当 x = −2 时，原级数为 ∑ (-1)n ( 2n − 1) 发散，
n =1
∞
故收敛域为 ( −2, 2) . 八、本题 4 分 令 F = x 2 yz 2 + λ (2 x + y + z − 10)
（2 分）
（2 分）
⎧ Fx ⎪ ⎪ Fy 由⎨ ⎪ Fz ⎪F ⎩ λ
= 2 xyz 2 + 2λ = 0 = x2z2 + λ = 0 = 2 x 2 yz + λ = 0 = 2 x + y + z − 10 = 0
所以原级数收敛, 又由 n → ∞ 时， ⎛ ⎞ π ⎜ sin t ⎟ π sin t an 2 =∫ ⎜ dt = > 0, ⎟ dt → ∫ 0 0 1 π π ⎜π+ t ⎟ ⎝ n⎠ n 知 ∑ a n 发散,
n =1 ∞
（1 分）
（1 分）
因此原级数条件收敛.
（1 分）
4
∂2 z = f12 e x + e x f 2 + e2 x yf 22 ∂x∂y
四、本大题共 2 小题，每小题 5 分，总计 10 分 1、 21 2x I = ∫ dx ∫ ydy （3 分） 1 x x 2 3 （1 分） = ∫ xdx 2 1 9 （1 分） = . 4
1
2、 I = ∫ (1 − z 2 )dz ∫∫ dσ
0 Dz
1
（3 分）
= π ∫ (1 − z 4 )dz
0
1
（1 分）
4 = π 5
（1 分）
五、本大题共 2 小题，每小题 5 分，总计 10 分 1、 因为 P = 2 xy, Q = x 2 − y 2 , 所以积分与路径无关， 因此 ∂Q ∂P = = 2 x, ∂x ∂y （2 分）
I = ∫ 2 xydx + ( x 2 − y 2 )dy
（2 分） （1 分） （1 分）
un → / 0(n → ∞) ，故而级数发散. 2、
由于 ρ = lim
n →∞
（1 分）
an +1 1 2n + 1 1 = lim ⋅ = ，从而 R = 2 . n →∞ 2 2n − 1 2 an
（3 分）
即 x < 2 时，级数收敛；
∞
当 x = 2 时，原级数为 ∑ ( 2n − 1) 发散，
2
, y
（2 分）
z y = a y ⋅ ln a +
a − x2 − y 2
2
（3 分）
dz =
⎛ y d x + ⎜ a y ⋅ ln a + 2 2 2 2 ⎜ a −x −y a − x2 − y 2 ⎝ x
（3 分） （3 分）
⎞ ⎟ d y （1 分） ⎟ ⎠
2、 ∂z = f1 + e x yf 2 , ∂x