直线和平面垂直的定义与判定和斜线、射影、直线与平面所成的角讲义
直线与平面垂直的判定与性质(共26张PPT)
目 录
• 直线与平面垂直的判定 • 直线与平面垂直的性质 • 直线与平面垂直的证明 • 直线与平面垂直的应用 • 总结与展望 • 参考文献
01
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的定义
01
直线与平面垂直是指直线与平面 内的任意一条直线都垂直。
02
如果一条直线与平面内的任意一 条直线都垂直，则这条直线与该 平面垂直。
建筑设计
在建筑设计中，直线与平面垂直的应用非常重要， 如确定建筑物的垂直度和水平面等。
机械制造
在机械制造中，直线与平面垂直的应用可以帮助 制造出精确的机械部件。
道路建设
在道路建设中，直线与平面垂直的应用可以帮助 确保道路的平直度和坡度等。
05
总结与展望
总结直线与平面垂直的判定与性质
判定方法 通过直线与平面内两条相交直线垂直来判定直线与平面垂直。
通过直线与平面内无数条直线垂直来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
• 通过直线与平面垂直的性质定理来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
01
性质定理
02
03
04
直线与平面垂直，则该直线与 平面内任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直，则该直线所 在的所有直线都与该平面垂直
证明
假设有一条直线l与平面α垂直，那么直线l与平面α内的任意一条直线m都垂直。 由于直线l与平面α内的直线m都垂直，所以它们之间的夹角为90°，即直线l与平 面α内的任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直的性质推论
推论1
证明
推论2
证明
如果一条直线与平面内的两 条相交直线都垂直，那么这
直线与平面垂直的判定PPT课件
例题二：求点到直线的距离
方法一
利用点到直线的距离公式，通过计算 点到直线上任意一点的向量在直线方 向向量上的投影长度，从而得出点到 直线的距离。
方法二
利用向量的叉积，通过计算点到直线上 两个点的向量与直线方向向量的叉积的 模，再除以直线方向向量的模，从而得 出点到直线的距离。
例题三：解决实际问题中的应用
方法三：结合图形进行判断
• 步骤 • 观察图形中已知直线与平面的位置关系； • 如果看起来垂直，则可以直接判断已知直线与平面垂直。 • 注意：以上三种方法都可以用来判断一条直线是否与一个平
面垂直，但具体使用哪种方法需要根据题目的具体情况来决 定。同时，在实际应用中，还需要注意一些特殊情况的处理， 例如当已知直线在平面内或与平面平行时，需要采用其他方 法进行判断。
点到直线距离公式可以用来辅助判断直线与平面是否垂直。
03
直线与平面垂直的判定方 法
方法一：利用定义直接判断
定义：如果一条直线与一个平面内的任意 一条直线都垂直，那么这条直线与这个平 面垂直。
如果都垂直，则已知直线与平面垂直。
步骤
验证已知直线与这两条相交直线是否垂直；
在平面内任意取两条相交直线；
方法二：利用判定定理进行判断
直线与平面垂直 的判定PPT课件
目录
• 直线与平面垂直的基本概念 • 直线与平面垂直的判定定理 • 直线与平面垂直的判定方法 • 直线与平面垂直的应用举例 • 直线与平面垂直的拓展延伸
01
直线与平面垂直的基本概 念
直线与平面的位置关系
01
02
03
直线在平面内
直线上的所有点都在平面 内。
直线与平面相交
步骤
验证这两条直线是否垂直；
8.5直线、平面垂直的判断与性质
AD⊥CD ⇒CD⊥平面 PAD ⇒CD⊥PD PA∩AD＝A PD∥NE
ME∩NE＝E
⇒CD⊥NE ⇒CD⊥NE ⇒CD⊥NE ⇒CD⊥平面MNE ME⊥CD ⇒CD⊥平面MNE ⇒CD⊥平面MNE MN⊂平面MNE ME⊥CD ME⊥CD ME∩NE＝EMN⊂平面MNE ⇒MN⊥CD ⇒MN⊥CD MN⊥PC ⇒MN⊥平面 PCD. MN⊥PC ⇒MN⊥平面 PCD. ⇒MN⊥CD PC∩CD＝C PC∩CD＝C
二、平面与平面垂直 1．平面与平面垂直的判定定理
2.平面与平面垂直的性质定理
3．几个常用的结论 (1)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直； (2)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直； (3)垂直于同一平面的两条直线互相平行； (4)垂直于同一直线的两个平面互相平行．
1．(课本习题改编)给出下列四个命题：
有____________．(填序号) ③ ①平面ABC⊥平面ABD； ②平面ABD⊥平面BCD； ③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE； ④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE.
解析： 因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，
同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面 所以平面ACD⊥平面BDE.故只有③正确．
PA⊥平面 ABCD⇒PA⊥AD，
∠PDA＝45° ⇒PA＝AD＝BC， ∠PDA＝45°⇒PA＝AD＝BC， ⇒PA＝AD＝BC， ∠PDA＝45° ⇒PA＝AD＝BC， ∠PDA＝45° ⇒PA＝AD＝BC， 又 M 是 AB 的中点， 又 M 是 AB 的中点， 是 AB 的中点， 的中点， 又 M 是 AB 的中点， Rt△PAM≌Rt△CBM Rt△PAM≌Rt△CBM 所以 Rt△PAM≌Rt△CBM Rt△PAM≌Rt△CBM Rt△PAM≌Rt△CBM Rt△PAM≌Rt△CBM
6.1平面与平面垂直讲义
平面与平面垂直讲义复习引入：一、斜线,垂线,射影1、垂线 自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影. 这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.2、斜线 一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线3、射影 过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,垂足和斜足间线段叫这点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影直线与平面平行，直线在平面由射影是一条直线直线与平面垂直射影是点二、直线和平面所成角1、定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角 说明：（1（2）一直线平行于平面或在平面内，所成角为0︒角.（3）直线和平面所成角范围： [0，2π]2、定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角 三、公式：已知平面α的斜线a 与α内一直线b 相交成θ角，且a 与α相交成ϕ1a 在α上的射影c 与b 相交成ϕ2角，则有θϕϕcos cos cos 21=.知识要点：一、二面角的概念：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面棱为l ，两个面分别为,αβ的二面角记为l αβ--； 二、二面角的平面角：1、过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角l αβ--的平面角2、一个平面垂直于二面角l αβ--的棱l ，且与两半平面交线分别为,,OA OB O 为垂足，则AOB ∠也是l αβ--的平面角说明：（1）二面角的平面角范围是[0,180]；（2三、两个平面垂直的定义：四、两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 五、两平面垂直的性质定理：题型讲解：例1 在正四面体ABCD 中，求相邻两个平面所成的二面角的平面角的大小解：取BC 的中点E ，连接,AE DE ，∵正四面体ABCD ，∴,BC AE BC ED ⊥⊥于E ， ∴AED ∠为二面角A BC D --的平面角， 设正四面体的棱长为1，则1AE DE AD ===，由余弦定理得1cos 3AED ∠=例2 在棱长为1的正方体1AC 中， （1）求二面角11A B D C --的大小；（2）求平面1C BD 与底面ABCD 所成二面角1C BD C --解：（1）取11B D 中点1O ，连接11,AO CO ，∵正方体1AC ， ∴111111,B D AO CO B D ⊥⊥， ∴1AO C ∠即为二面角11A B D C --的平面角， 在AOC ∆中，11AO CO AC ===， 可以求得11cos 3AO C ∠=即二面角11A B D C --的大小为1arccos 3．（2）过1C 作1C O BD ⊥于点O，∵正方体1AC ， ∴1CC ⊥平面ABCD ，∴1COC ∠为平面1C BD 与平面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角， 可以求得：1tan COC ∠=所以，平面1C BD 与底面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角大小为DCBAE1A 1A例3 已知：二面角l αβ--且,A A α∈到平面β的距离为A 到l 的距离为4，求二面角l αβ--的大小解：作AO l ⊥于点O ，AB ⊥平面β于点B ，连接BO ，∵AB β⊥于点B ，AO l ⊥于点O ， ∴l OB ⊥，∴AOB ∠即为二面角l αβ--的平面角，易知，4AB AO ==， ∴60AOB ∠=即二面角l αβ--的大小为60．例4 如图，AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，若2AB BC BD ==，求二面角B AC D --的正弦值解：过D 作DE AC ⊥于E ，过E 作EF AC ⊥交BC 于F ，连结DF ， 则C 垂直于平面DEF ，FED ∠为二面角B AC D --的平面角， ∴AC DF ⊥， 又AB ⊥平面BCD ， ∴AB DF ⊥，AB CD ⊥， ∴DF ⊥平面ABC ， ∴DF EF ⊥，DF BC ⊥，又∵AB CD ⊥，BD CD ⊥， ∴CD ⊥平面ABD ，∴CD AD ⊥， 设BD a =，则2AB BC a ==，在Rt BCD ∆中， 1122BCD S BC DF BD CD ∆=⋅=⋅，∴DF =， 同理，Rt ACD ∆中，DE =，∴sin DF FED DE ∠=== 所以，二面角B AC D --． 例 5 如图，已知AB 是圆O 的直径，PA 垂直于O 所在的平面，C 是圆周上不同于,A B 的任一点，求证：平面PAC ⊥平面PBC ．解：∵AB 是圆O 的直径， ∴AC BC ⊥， 又∵PA 垂直于O 所在的平面， ∴PA BC ⊥，∴BC ⊥平面PAC ，又BC 在平面PBC 中，所以，平面PAC ⊥平面PBC ． 例6 已知,,a αβαγβγ=⊥⊥，求证：a γ⊥． 证明：设,AB AC αγβγ==，在γ内取点P ，过P 作PM AB ⊥于M ，PN AC ⊥于点N ， ∵αγ⊥， ∴PM α⊥，又∵a αβ=， ∴PM a ⊥，同理可得PN a ⊥， ∴a γ⊥．lBOAβαA B C DEF NM PCBA aγβαPOA BCDCFHBAE 例7 已知在一个60的二面角的棱长有两点,A B ，,AC BD 分别是在这个二面角的两个平面内，且垂直于线段AB ，又知4,6,8AB cm AC cm BD cm ===，求CD 的长解：由已知,,,18060120CA AB AB BD CA BD ⊥⊥<>=-=，∴22||()CD CA AB BD =++222||||||268cos120CA AB BD =+++⨯⨯⨯22216482682=++-⨯⨯⨯68=， ||217()CD cm =随堂演练：1、如图所示，已知PA ⊥面ABC ，,PBC ABC S S S S ∆∆'==，二面角P BC A --的平面角为θ， 求证：cos S S '⋅=证明：过P 作BC 的垂线，垂足为D ，连接AD∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，BC PD ⊥ ∴BC AD ⊥ ∴PDA ∠为二面角P BC A --的平面角， 即PDA θ∠= ∵PA ⊥面ABC ∴PA AD ⊥∵PAD ∆是直角三角形 ∴cos ADPAD PD∠=又∵11,22PBC ABC S BC PD S S BC AD S ∆∆'=⋅==⋅=∴cos S PAD S '∠= ∴cos S Sθ'=即cos S S θ'⋅=2、如图，在空间四边形ABCD 中，BCD ∆是正三角形，ABD ∆是等腰直角三角形，且90BAD ∠=，又二面角A BD C --为直二面角，求二面角A CD B --解：过A 作AH BD ⊥于H∵二面角A BD C --为直二面角 ∴AH ⊥面BCD取CD 中点E ，F 为DE 中点，连接,HF AF ∵BE CD ⊥ ∴//HF BE ∴EF CD ⊥ ∴HF CD ⊥∴AFH ∠为二面角A BD C --的平面角 令AB a=，则,222AH a BE a ===∴HF =∴在Rt AHF ∆中tan AH AFH HF ∠== D CBPADCBA3、设A 在平面BCD 内的射影是直角三角形BCD 的斜边BD 的中点O，1,AC BC CD === 求（1）AC 与平面BCD 所成角的大小；（2）二面角A BC D --的正切值；（3）异面直线AB 和CD 解：（1）∵AO ⊥面BCD ∴AO CO ⊥ ∴ACO ∠为AC 与面BCD所成角∵1,BC CD =∴BD = ∴122CO BD ==∴cos 2ACO ∠= ∴6ACO π∠=即AC 与平面BCD 6（2）取BC 中点E ，连接,OE AE ∴//OE CD∵CD BC ⊥ ∴OE BC ⊥ 又∵AO ⊥面BCD ∴AE BC ⊥∴AEO ∠为二面角A BC D --的平面角又∵11222OE CD AO ===∵AO OE ⊥ ∴tan 2AO AEO OE ∠==（3）取AC 的中点E ，连接,EF OF ，则//,//EF AB OE CD ∴OE 与EF 所成的锐角或直角即为异面直线AB 和CD 所成角 易求得45OEF ∠=即异面直线AB 和CD 所成角为454、直角ABC ∆的斜边AB 在平面α内，,AC BC 与α所成角分别为30,45，CD 是斜边AB 上的高线，求CD 与平面α所成角的正弦值解：过点C 作CH α⊥于点H ，连接,,AH BH OH ，则30CAH ∠=，45CBH ∠=，CDH ∠为所求CD 与α所成角，记为θ， 令CH a =，则2,AC a BC ==，则在Rt ABC ∆中，有AC BC CD a AB ⋅== 在Rt CDH ∆中，sin 2CH CD θ==∴CD 与平面α所成角的正弦值2. O EDCFBA αHDCBA5、如果二面角l αβ--的平面角是锐角，点P 到,,l αβ的距离分别为分析：点P 可能在二面角l αβ--内部，也可能在外部，应区别处理解：如图1是点P 在二面角l αβ--的内部时，图2是点P 在二面角l αβ--外部时， ∵PA α⊥ ∴PA l ⊥ ∵AC l ⊥ ∴面PAC l ⊥ 同理，面PBC l ⊥ 而面PAC 面PBC PC = ∴面PAC 与面PBC 应重合 即,,,A C P B 在同一平面内，则ACB ∠是二面角l αβ--的平面角 在Rt APC ∆中，1sin 2PA ACP PB ∠=== ∴30ACP ∠= 在Rt BPC ∆中，sin PB BCP PC ∠===∴45BCP ∠= 故304575ACB ∠=+=（图1）或453015ACB ∠=-=（图2） 即二面角l αβ--的大小为75或156、如图，正方体的棱长为1，'B C BC O '=，求：（1）AO 与A C ''所成角；（2）AO 与平面ABCD所成角的正切值；（3）平面AOB 与平面AOC 所成角解：（1）∵//A C AC '' ∴AO 与A C ''所成角就是OAC ∠ ∵,OC OB AB ⊥⊥平面BC ' ∴OC OA ⊥（三垂线定理）在Rt AOC ∆中，2OC AC ==∴30OAC ∠=（2）作OE BC ⊥，平面BC '⊥平面ABCD∴OE ⊥平面ABCD ，OAE ∠为OA 与平面ABCD 所成角在Rt OAE ∆中，1,2OE AE ===∴tan OE OAE AE ∠==（3）∵,OC OA OC OB ⊥⊥ ∴OC ⊥平面AOB 又∵OC ⊂平面AOC ∴平面AOB ⊥平面AOC 即平面AOB 与平面AOC 所成角为90βαlP CB图1AβαlPCB图2AED'B'C'A'ODACB。
高考数学考点回归总复习《第四十七讲 直线平面垂直的判定及其性质》课件 新人教
A.4对
B.3对
C.2对
D.1对
答案:B
3.菱形ABCD中,∠BAD=60°,如图所示沿对角线BD将△BCD向上折起, 使AC=AB,则二面角C—BD—A的余弦值的大小为( )
A .1 3
答案:A
B .1 6
C .1 9
D .1 1 2
•1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 •5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 •6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/302022/1/302022/1/301/30/2022 •7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/302022/1/30January 30, 2022 •8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/302022/1/302022/1/302022/1/30
第四十七讲 直线､平面垂直的判定及其性质
回归课本
1.直线与平面所成的角
(1)平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角叫做这条直线和
这个平面所成的角.一条直线垂直于平面,就说它们所成的角是直角;一 条直线和平面平行或在平面内,就说它们所成的角是0°的角,可见,直
线和平面所成的角的范围是
0
,
ABC为 正 四 面 体 ,设 棱 长 为 a,则 AB1 3a,棱 柱 的 高A1O a2 AO 2
(完整版)《直线与平面垂直的判定》ppt课件
符号表示：
P
m ,n
mn
m nP
l
l m, l n
定理补充 “平面内”，“相交”，“垂直”三个条件必不可少
简记为：线线垂直
线面垂直
例1 如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.
分析：在平面内作两条相交直线.
证明：在平面 内作两条相交 a
b
直线m，n．
因为直线 a ，
根据直线与平面垂直的定义知 m
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
BD,CD都在桌面内，BD∩CD=D， AD⊥CD,AD⊥BD,
直线AD所在的A直线与桌面垂直
l
B
D
C
P
mn
直线和平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直．
直线也是垂直的.
C1 C
α
B1 B
直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.
l
平面α的垂线
A
直线l的垂面 垂足
直线和平面垂直的画法 注：画直线与水平平面垂直时，通常把直线画成 与表示P
α
思考2 若直线与平面内的无数条直线垂直，则直
直线、平面垂直的判定及其性质(一)(讲义及答案)
直线、平面垂直的判定及其性质（一）（讲义）＞知识点睛一、直线与平面垂直（线面垂直）1定义：如果直线/与平面内的____________ 直线都垂直，我们就说直线/与平面&互相垂直,其中直线/叫做平面C（的_______ , 平面a叫做直线/的 ___________ ,直线与平面的交点叫做直线/与平面a垂直记作，/丄久2 判定定理：一条直线与一个平面内的两条_ 直线与此直线都垂直，则该平面垂直.,/丄⑴•；/丄a.二、直线与平面所成的角（简称线面角）1.平面的一条斜线和它在平面上的—这条直线和这个平面所成的角.2.若直线垂直于平面，则它们所成的角是________ ；若直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是________ .3.线面角0的取值范ffl：____________ .所成的叫做三、二面角1.定义：从一条直线出发的 _______面角.这条直线叫做二面角的所组成的图形叫做二•右图记作二面角2.二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，在两个半平面内分别作 _____________ 的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.右图二面角的平面 _____________ .角记作3.二面角0的取值范ffl：___________ .四、平面与平面垂直（面面垂直）1. 定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是 就说这两个平面互相垂直.2. 判定定理：一个平面过另一个平面的,ABr\0=B,ABua,,则这两个平面垂直.精讲精练下列命题中正确的是（）A若一条直线和平面内的一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直B若平面外的一条直线与平面内的两条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直C若平面外的一条直线与平面内的无数条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直D和一个三角形两边同时垂直的直线也和第三边垂直2 . 已知平面Ct与平面0相交，直线用丄Ct,贝y（）0内必存在直线与切平行，且存在直线与加垂直〃内不一定存在直线与/ft平行，不一定存在直线与m垂直〃内不一定存在直线与,11平行，但必存在直线与m垂直 0内必存在直线与加平行，不一定存在直线与加垂直ABC.D・3 . 有以下四个命题：①a〃a, b丄a,贝g a丄”；②e丄”，b丄a,③《〃/?, b丄a,则《丄6（；（/丄久其中正确的是（A.①②B.③④④d丄/?〃a,C.①③D.②④PB 丄 AE平面ABCDEF 丄平面PAD直线DE 丄平面PAE直线PD 与平面ABCDEF 所成的角为30。
直线与平面垂直判定完整版课件
绘制图表，将实验数据 可视化展示，便于分析 和比较。
03
分析实验数据，总结直 线与平面垂直的判定方 法和规律。
04
根据实验结果，评估实 验方法的准确性和可靠 性，并提出改进意见。
06
课程总结与回顾
知识点梳理
01
直线与平面垂直的定义
如果直线$l$与平面$alpha$内的任意一条直线都垂直，那么我们就说
角的范围
异面直线所成角的取值范围是 (0, 90°]。
异面直线所成角求解方法
01
02
03
平移法
将两条异面直线平移到同 一个起点上，然后用余弦 定理或三角函数求解。
向量法
建立空间直角坐标系，将 异面直线的方向向量表示 出来，然后通过向量的夹 角公式求解。
投影法
将一条直线投影到另一条 直线上，通过投影长度和 原长度之间的关系，利用 三角函数求解。
易错点提示
忽略直线与平面内两条相交直线 都垂直的条件，只考虑与其中一
条直线垂直或平行的情况。
在证明直线与平面垂直时，未明 确说明平面内的两条相交直线， 或者错误地认为只要与平面内无
数条直线垂直即可。
符号使用不规范，如将直线与平 面垂直的符号误写为平行或相交
等。
下一讲预告
下一讲我们将继续深入学习空间几何中的直线与平面的位置关系，包括直线与平面 平行的判定和性质等内容。
确定未知量
根据题目要求，确定需要求解 的未知量。
建立方程
利用已知条件和几何性质，建 立关于未知量的方程。
求解方程
解方程得到未知量的值，注意 解的合理性。
解答题规范步骤和答案
画出图形
根据题意画出相应 的图形，标注已知 量和未知量。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
直线和平面垂直的定义与判定和斜线、射影、直线与平面所成的角讲义
考点一：直线和平面垂直的定义与判定
1.直线和平面垂直定义
如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作.直线叫平面的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足.
2.直线和平面垂直的判定定理
判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
符号语言：
特征：线线垂直线面垂直
3.基本性质
一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.
符号语言：
图形语言：
4.性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行.
符号语言：
图形语言：
5.平面与平面垂直的性质
性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
符号语言：
图形语言：
对应练习：
1.平面外的一条直线与内的两条平行直线垂直，那么( ).
A. B. C.与相交 D.与的位置关系不确定
2.已知直线a、b和平面，下列推论错误的是( ).
A. B.
C. D.
3.若直线a⊥直线b，且a⊥平面，则有( ).
A. B. C. D.或
4.若P是平面外一点，则下列命题正确的是( ).
A.过P只能作一条直线与平面相交
B.过P可作无数条直线与平面垂直
C.过P只能作一条直线与平面平行
D.过P可作无数条直线与平面平行
5.设是直二面角，直线，直线，且a不垂直于，b不垂直于，那么( ).
A.a与b可能垂直，但不能平行
B.a与b可能垂直，也可能平行
C.a与b不可能垂直，但可能平行
D.a与b不可能平行，也不能垂直
6.设、为两个不同的平面，、m为两条不同的直线，且，有如下两个命题：①若
，则；②若，则届那么( ).
A.①是真命题，②是假命题
B.①是假命题，②是真命题
C.①②都是真命题
D.①②都是假命题
7.关于直线m、n与平面与，有下列四个命题：
①若且，则m∥n；②若且，则；
③若且，则；④若且，则m∥n.
其中真命题的序号是( ).
A.①②
B.③④
C.①④
D.②③
8.已知直线m⊥平面，直线，给出下列四个命题，其中正确的命题是( ).
①若，则；②若，则m∥n；③若m∥n，则；④若，则.
A.③④
B.①③
C.②④
D.①②
9.下面四个命题：
①两两相交的三条直线只可能确定一个平面；
②经过平面外一点，有且仅有一个平面垂直这个平面；
③平面内不共线的三点到平面的距离相等，则；
④两个平面垂直，过其中一个平面内一点作它们交线的垂线，则此垂线垂直于另一个平面其中真命题
的个数是( ).
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
10.设有不同的直线a、b和不同的平面、、，给出下列三个命题：
①若，，则；②若，，则；③若，则.
其中正确的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
11．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则()．
A．α∥γB．α⊥γ
C．α与γ相交但不垂直D．以上都有可能
12．已知直线l⊥平面α，直线m⊂α，则()．
A．l⊥m B．l∥m
C．l，m异面D．l，m相交而不垂直
13.已知直线⊥平面，直线平面，有四个命题：①；②；
③；④.
其中正确的命题是__________.(把所有正确命题的序号都填上)
14．若a，b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的有________个．
①a⊥α，b∥α⇒a⊥b; ②a⊥α，a⊥b⇒b∥α；
③a∥α，a⊥b⇒b⊥α；④a⊥α，b⊥α⇒a∥b.
15.如图所示，四边形ABCD为正方形，SA垂直于四边形ABCD所在的平面，过
点A 且垂直于SC 的平面分别交SB ，SC ，SD 于点E ，F ，G . 求证：AE ⊥SB ，AG ⊥SD .
考点二：斜线、射影、直线与平面所成的角
一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线.过斜线上斜足外的一点间平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
1、正方体中,(1)求1BD 和底面ABCD 所成的角 (2)求1BD 和面11AA D D 所成的角
2、正方体中,,E F 分别是11D C 和BC 中点,O 是BD 的中点
1A 1
B 1
C 1
D A
B
C
D 1A 1
B 1
C 1
D
(1)求EF 和底面ABCD 所成的角 (2) 求EF 和侧面11BCC B 所成的角, (3)求1B O 和底面ABCD 所成的角 (4)求1B O 和侧面11BCC B 所成的角
3、正方体中,,M N 分别是1AD 和BD 的中点,(1)求1AC 和上底面1111A B C D 所成的角 (2)求MN 和底面ABCD 所成的角
4、空间四边形ABCD 中,AC BC ⊥, PA ⊥平面ABC ,2AC BC ==,4PA =
(1)求PB 与平面PAC 所成的角 (2)求PC 和平面PAB 所成的角
5、正三棱柱的各棱长相等,是D 侧面11BCC B 的中心, (1)求ＡＤ和平面11BCC B 所成角的大小 (2)求ＡＤ和平面ＡＢＣ所成的角的大小
A B
C
D
1
A 1
B 1
C 1
D M
N
A B
C
P
1A 1
B 1
C
课后练习：
1、已知a，b，c是直线，α，β是平面，下列条件中，能得出直线a⊥平面α的是（）
A、a⊥c,a⊥b，其中b⊂α,c⊂α
B、a⊥b,b∥α
C、α⊥β，a∥β
D、a∥b,b⊥α
2、如果直线l⊥平面α，①若直线m⊥l,则m∥α；②若m⊥α,则m∥l；③若m∥α,则m⊥l；④若m∥l,则m⊥α, 上述判断正确的是（）
A、①②③
B、②③④
C、①③④
D、②④
3、直角△ABC的斜边BC在平面α内，顶点A在平面α外，则△ABC的两条直角边在平面α内的射影与斜边BC 组成的图形只能是（）
A、一条线段
B、一个锐角三角形
C、一个钝角三角形
D、一条线段或一个钝角三角形
4、下列命题中正确的是（）
A、过平面外一点作这个平面的垂面有且只有一个
B、过直线外一点作这条直线的平行平面有且只有一个
C、过直线外一点作这条直线的垂线有且只有一条
D、过平面外的一条斜线作这个平面的垂面有且只有一个
5、给出下列命题：
①若平面α的两条斜线段PA、PB在α内的射影长相等，那么PA、PB的长度相等；
②已知PO是平面α的斜线段，AO是PO在平面α内的射影，若OQ⊥OP，则必有OQ⊥OA；
③与两条异面直线都平行的平面有且只有一个；
④平面α内有两条直线a、b都与另一个平面β平行，则α∥β、
上述命题中不正确的命题是（）
A、①②③④
B、①②③
C、①③④
D、②③④
6、如果△ABC的三个顶点到平面 的距离相等且不为零，那么△ABC的( )
A、三边均与 平行
B、三边中至少有一边与 平行
C、三边中至多有一边与 平行
D、三边中至多有两边与 平行
7、下列命题正确的是()
A、一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行
B、平行于同一个平面的两条直线平行
C 、与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面
D 、平面外的两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线也与此平面平行
8、下列命题正确的是 ( )
(A)
αα////b a b a ⇒⎭⎬⎫⊥ (B)a b b a //⇒⎭
⎬⎫
⊥⊥αα (C)
αα//b a b a ⇒⎭⎬⎫⊥⊥ (D)αα////b b a a ⇒⎭
⎬⎫⊥
9、正方体中，求1AB 和平面11A B CD 所成的角
答案：DBDDC BDB
A B
C
D 1
A 1
B 1
C 1
D。