2022年全国各省中考数学真题分类解析菱形
2022年全国数学中考真题(江苏河南广东四川湖南等)汇编专题02 整式与因式分解(解析版)
专题02 整式与因式分解一．选择题1．（2022·江苏宿迁）下列运算正确的是（ ）A ．21m m -=B ．236·m m a =C ．()222mn m n =D ．()235m m = 【答案】C【分析】由合并同类项可判断A ，由同底数幂的乘法可判断B ，由积的乘方运算可判断C ，由幂的乘方运算可判断D ，从而可得答案．【详解】解：2m m m -=， 故A 不符合题意；235m m m ⋅=， 故B 不符合题意；()222mn m n =， 故C 符合题意；()236m m =， 故D 不符合题意；故选：C【点睛】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方运算，幂的乘方运算，掌握以上基础运算是解本题的关键．2．（2022·湖南株洲）下列运算正确的是（ ）A ．235a a a ⋅=B ．()235a a =C ．22()ab ab = D ．632(0)a a a a =≠ 【答案】A【分析】根据同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，分式的化简，逐项判断即可求解．【详解】解：A 、235a a a ⋅=，故本选项正确，符合题意；B 、()236a a =，故本选项错误，不符合题意； C 、222()ab a b =，故本选项错误，不符合题意；D 、462(0)a a a a=≠，故本选项错误，不符合题意；故选：A 【点睛】本题主要考查了同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，分式的化简，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．3．（2022·陕西）计算：()2323x x y ⋅-=（ ） A ．336x y B ．236x y - C ．336x y - D ．3318x y【答案】C 【分析】利用单项式乘单项式的法则进行计算即可．【详解】解：()()23233323236x x y x x y x y ⋅-=⨯-⨯=-⋅⨯．故选：C ．【点睛】本题考查了单项式乘单项式的运算，正确地计算能力是解决问题的关键．4．（2022·浙江嘉兴）计算a 2·a （ ）A ．aB ．3aC ．2a 2D ．a 3【答案】D【分析】根据同底数幂的乘法法则进行运算即可．【详解】解：23,a a a 故选D 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，掌握“同底数幂的乘法，底数不变，指数相加”是解本题的关键． 5．（2022·四川眉山）下列运算中，正确的是（ ）A ．3515x x x ⋅=B ．235x y xy +=C ．22(2)4x x -=-D ．()2242235610x x y x x y ⋅-=-【答案】D【分析】根据同底数幂的乘法法则，合并同类项，完全平方公式，单项式乘多项式的法则分析选项即可知道答案．【详解】解：A. 3515x x x ⋅=，根据同底数幂的乘法法则可知：358⋅=x x x ，故选项计算错误，不符合题意；B. 235x y xy +=，2x 和3y 不是同类项，不能合并，故选项计算错误，不符合题意；C. 22(2)4x x -=-，根据完全平方公式可得：22(2)44-=+-x x x ，故选项计算错误，不符合题意；D. ()2242235610x x y x x y ⋅-=-，根据单项式乘多项式的法则可知选项计算正确，符合题意； 故选：D【点睛】本题考查同底数幂的乘法法则，合并同类项，完全平方公式，单项式乘多项式的法则，解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则，合并同类项，完全平方公式，单项式乘多项式的法则．6．（2022·江西）下列计算正确的是（ ）A ．236m m m ⋅=B ．()m n m n --=-+C ．2()m m n m n +=+D ．222()m n m n +=+【答案】B【分析】利用同底数幂的乘法，去括号法则，单项式乘多项式，完全平方公式对各选项依次判断即可．【详解】解：A 、2356m m m m ⋅=≠，故此选项不符合题意；B 、()m n m n --=-+，故此选项符合题意；C 、22()m m n m mn m n +=+≠+，故此选项不符合题意；D 、22222()2m m n m n m n n +=++≠+，故此选项不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了整式的混合运算，涉及到同底数幂的乘法，去括号法则，单项式乘多项式的运算法则，完全平方公式等知识．熟练掌握各运算法则和222()2a b a ab b +=++的应用是解题的关键．7．（2022·浙江宁波）将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形ABCD 内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）A ．正方形纸片的面积B ．四边形EFGH 的面积C ．BEF 的面积D ．AEH △的面积【答案】C 【分析】设正方形纸片边长为x ，小正方形EFGH 边长为y ，得到长方形的宽为x -y ，用x 、y 表达出阴影部分的面积并化简，即得到关于x 、y 的已知条件，分别用x 、y 列出各选项中面积的表达式，判断根据已知条件能否求出，找到正确选项．【详解】根据题意可知，四边形EFGH 是正方形，设正方形纸片边长为x ，正方形EFGH 边长为y ，则长方形的宽为x -y ，所以图中阴影部分的面积=S 正方形EFGH +2S △AEH +2S △DHG =2112()222y y x y xy +⨯-+⨯=2xy ，所以根据题意，已知条件为xy 的值，A.正方形纸片的面积=x 2，根据条件无法求出，不符合题意；B.四边形EFGH 的面积=y 2， 根据条件无法求出，不符合题意；C.BEF 的面积=12xy ，根据条件可以求出，符合题意； D.AEH △的面积=21()22xy y y x y --=，根据条件无法求出，不符合题意；故选 C ． 【点睛】本题考查整式与图形的结合，熟练掌握正方形、长方形、三角形等各种形状的面积公式，能正确用字母列出各种图形的面积表达式是解题的关键．8．（2022·浙江温州）化简3()()a b -⋅-的结果是（ ） A ．3ab - B ．3ab C ．3a b - D ．3a b【答案】D【分析】先化简乘方，再利用单项式乘单项式的法则进行计算即可．【详解】解：()()()333·a b a b a b -⋅-=--=，故选：D ．【点睛】本题考查单项式乘单项式，掌握单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式是解题的关键．9．（2022·江西）将字母“C ”，“H ”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H ”的个数是（ ） A ．9 B ．10 C ．11D ．12【答案】B 【分析】列举每个图形中H 的个数，找到规律即可得出答案．【详解】解：第1个图中H 的个数为4，第2个图中H 的个数为4+2，第3个图中H 的个数为4+2×2，第4个图中H 的个数为4+2×3=10，故选：B ．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H 的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H 是解题的关键．10．（2022·浙江绍兴）下列计算正确的是（ ）A ．2()a ab a a b +÷=+B ．22a a a ⋅=C ．222()a b a b +=+D ．325()a a =【答案】A【分析】根据多项式除以单项式、同底数幂的乘法、完全平方公式、幂的乘方法则逐项判断即可．【详解】解：A 、2()a ab a a b +÷=+，原式计算正确；B 、23a a a ⋅=，原式计算错误；C 、222()2a b a b ab +=++，原式计算错误；D 、326()a a =，原式计算错误；故选：A ．【点睛】本题考查了多项式除以单项式、同底数幂的乘法、完全平方公式和幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．11．（2022·云南）按一定规律排列的单项式：x ，3x ²，5x ³，7x 4，9x 5，……，第n 个单项式是（ ） A ．(2n -1)n xB ．(2n +1)n xC ．(n -1)n xD ．(n +1)n x【答案】A【分析】系数的绝对值均为奇数，可用(2n -1)表示；字母和字母的指数可用xn 表示．【详解】解：依题意，得第n 项为（2n -1）xn ，故选：A ．【点睛】本题考查的是单项式，根据题意找出规律是解答此题的关键．12．（2022·重庆）把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为（ ） A ．15 B ．13 C ．11 D ．9【答案】C【分析】根据第①个图案中菱形的个数：1；第②个图案中菱形的个数：123+=；第③个图案中菱形的个数：1225+⨯=；…第n 个图案中菱形的个数：()121n +-，算出第⑥个图案中菱形个数即可．【详解】解：∵第①个图案中菱形的个数：1；第②个图案中菱形的个数：123+=；第③个图案中菱形的个数：1225+⨯=；…第n 个图案中菱形的个数：()121n +-，∵则第⑥个图案中菱形的个数为：()126111+⨯-=，故C 正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律． 13．（2022·安徽）下列各式中，计算结果等于9a 的是（ ）A ．36+a aB ．36a a ⋅C ．10a a -D ．182÷a a【答案】B 【分析】利用整式加减运算和幂的运算对每个选项计算即可．【详解】A ．36+a a ，不是同类项，不能合并在一起，故选项A 不合题意；B ．36369a a a a +⋅==，符合题意；C ．10a a -，不是同类项，不能合并在一起，故选项C 不合题意；D ．11816282a a a a -==÷，不符合题意，故选B【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握整式的运算性质是解题的关键．14．（2022·四川成都）下列计算正确的是（ ）A ．2m m m +=B ．()22m n m n -=-C ．222(2)4m n m n +=+D ．2(3)(3)9m m m +-=-【答案】D【分析】根据合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式进行运算，即可一一判定．【详解】解：A.2m m m +=，故该选项错误，不符合题意；B.()222m n m n -=-，故该选项错误，不符合题意；C.2224(2)4m n m n mn ++=+，故该选项错误，不符合题意；D.2(3)(3)9m m m +-=-，故该选项正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式，熟练掌握和运用各运算法则和公式是解决本题的关键．15．（2022·山东滨州）下列计算结果，正确的是（ ）A ．352()a a =B C 2= D ．1cos302︒= 【答案】C【分析】根据幂的乘方、算术平方根的计算、立方根的化简和特殊角的三角函数值逐一进行计算即可．【详解】解：A 、23236()a a a ⨯==，该选项错误；B =C 2，该选项正确；D 、cos30=°，该选项错误；故选：C ． 【点睛】本题考查了幂的乘方、算术平方根的计算、立方根的化简和特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解题的关键．16．（2022·重庆）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（ ）A ．32B ．34C．37D．41【答案】C【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n个图形的算式，然后再解答即可．【详解】解：第1个图中有5个正方形；第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；．．．第n个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．故选：C．【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键．17．（2022·湖南湘潭）下列整式与2ab为同类项的是（）A．2a b B．22ab-C．ab D．2ab c【答案】B【解析】【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，结合选项求解．【详解】解：由同类项的定义可知，a的指数是1，b的指数是2．A、a的指数是2，b的指数是1，与2ab不是同类项,故选项不符合题意；B、a的指数是1，b的指数是2，与2ab是同类项,故选项符合题意；C、a的指数是1，b的指数是1，与2ab不是同类项,故选项不符合题意；D、a的指数是1，b的指数是2，c的指数是1，与2ab不是同类项,故选项不符合题意．故选：B．【点睛】此题考查了同类项，判断同类项只要两看，即一看所含有的字母是否相同，二看相同字母的指数是否相同．18．（2022·江苏苏州）下列运算正确的是（）A7=-B．2693÷=C．222a b ab+=D．235a b ab⋅=【答案】Ba=，判断A选项不正确；C选项中2a、2b不是同类项，不能合并；D选项中，单项式与单项式法则：把单项式的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式；B【详解】A. 7=，故A 不正确； B. 2366932÷=⨯=，故B 正确； C. 222a b ab +≠，故C 不正确；D. 236a b ab ⋅=，故D 不正确；故选B ．【点睛】本题考查二次根式的性质、有理数的除法及整式的运算，灵活运用相应运算法则是解题的关键． 19．（2022·重庆）对多项式x y z m n ----任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：()()x y z m n x y z m n ----=--++，()x y z m n x y z m n ----=--+-，…，给出下列说法： ①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．以上说法中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】D【分析】给x y -添加括号，即可判断①说法是否正确；根据无论如何添加括号，无法使得x 的符号为负号，即可判断②说法是否正确；列举出所有情况即可判断③说法是否正确．【详解】解：∵()x y z m n x y z m n ----=----∴①说法正确∵0x y z m n x y z m n -----++++=又∵无论如何添加括号，无法使得x 的符号为负号∴②说法正确∵当括号中有两个字母，共有4种情况，分别是()x y z m n ----、()x y z m n ----、()x y z m n ----、()x y z m n ----；当括号中有三个字母，共有3种情况，分别是()x y z m n ----、()x y z m n ----、()x y z m n ----；当括号中有四个字母，共有1种情况，()x y z m n ----∴共有8种情况∴③说法正确∴正确的个数为3故选D ．【点睛】本题考查了新定义运算，认真阅读，理解题意是解答此题的关键．二．填空题20．（2022·江苏苏州）已知4x y +=，6-=x y ，则22x y -=______．【分析】根据平方差公式计算即可．【详解】解：∵4x y +=，6-=x y ，∴22()()4624x y x y x y -=+-=⨯=，故答案为：24．【点睛】本题考查因式分解的应用，先根据平方差公式进行因式分解再整体代入求值是解题的关键． 21．（2022·四川乐山）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”，如图所示，“优美矩形”ABCD 的周长为26，则正方形d 的边长为______．【答案】5【分析】设正方形a 、b 、c 、d 的边长分别为a 、b 、c 、d ，分别求得b =13c ，c =35d ，由“优美矩形”ABCD 的周长得4d +2c =26，列式计算即可求解．【详解】解：设正方形a 、b 、c 、d 的边长分别为a 、b 、c 、d ，∵“优美矩形”ABCD 的周长为26，∴4d +2c =26，∵a =2b ，c =a +b ，d =a +c ，∴c =3b ，则b =13c ， ∴d =2b +c =53c ，则c =35d ，∴4d +65d =26， ∴d =5，∴正方形d 的边长为5，故答案为：5．【点睛】本题考查了整式加减的应用，认真观察图形，根据长方形的周长公式推导出所求的答案是解题的关键．22．（2022·四川乐山）已知221062m n m n ++=-，则m n -=______．【答案】4【分析】根据已知式子，凑完全平方公式，根据非负数之和为0，分别求得,m n 的值，进而代入代数式即可求解． 【详解】解：221062m n m n ++=-，2210620m n m n +-+∴+=，即()()22310m n -++=，3,1m n ∴==-，()314m n ∴-=--=，故答案为：4．【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．23．（2022·湖南邵阳）已知2310x x -+=，则2395x x -+=_________．【答案】2【分析】将2395x x -+变形为23(31)+2x x -+即可计算出答案．【详解】22239539323(31)+2x x x x x x -+=-++=-+∵2310x x -+=∴23950+2=2x x -+=故答案为：2．【点睛】本题考查代数式的性质，解题的关键是熟练掌握代数式的相关知识．24．（2022·天津）计算7m m ⋅的结果等于___________．【答案】8m【分析】根据同底数幂的乘法即可求得答案．【详解】解：7178m m m m +⋅==，故答案为：8m ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握计算方法是解题的关键．25．（2022·江苏扬州）掌握地震知识，提升防震意识．根据里氏震级的定义，地震所释放出的能量E 与震级n 的关系为 1.510n E k =⨯（其中k 为大于0的常数），那么震级为8级的地震所释放的能量是震级为6级的地震所释放能量的________倍．【答案】1000【分析】分别求出震级为８级和震级为6级所释放的能量，然后根据同底数幂的除法即可得到答案．【详解】解：根据能量E 与震级n 的关系为 1.510n E k =⨯（其中k 为大于0的常数）可得到， 当震级为8级的地震所释放的能量为： 1.58121010k k ⨯⨯=⨯，当震级为6级的地震所释放的能量为： 1.5691010k k ⨯⨯=⨯，12391010100010k k ⨯==⨯， ∴震级为8级的地震所释放的能量是震级为6级的地震所释放能量的1000倍．故答案为：1000．【点睛】本题考查了利用同底数幂的除法底数不变指数相减的知识，充分理解题意并转化为所学数学知识是解题的关键．26．（2022·山东泰安）观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n 的值为____________． 【答案】不存在【分析】首先根据n =1、2、3、4时，“•”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n 个图形中“•”的个数是3n ；然后根据n =1、2、3、4，“○”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n 个“○”的个数是()12n n +；最后根据图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022，列出方程，解方程即可求出n 的值是多少即可． 【详解】解：∵n =1时，“•”的个数是3=3×1； n =2时，“•”的个数是6=3×2； n =3时，“•”的个数是9=3×3； n =4时，“•”的个数是12=3×4； ……∴第n 个图形中“•”的个数是3n ； 又∵n =1时，“○”的个数是1=1(11)2⨯+； n =2时，“○”的个数是2(21)32⨯+=， n =3时，“○”的个数是3(31)62⨯+=，n =4时，“○”的个数是4(41)102⨯+=， ……∴第n 个“○”的个数是()12n n +， 由图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022 ()1320222n n n +∴-=①，()1320222n n n +-=② 解①得：无解解②得：12n n ==故答案为：不存在【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．27．（2022·四川遂宁）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为______．【答案】127【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数． 【详解】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个）， 第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），.....．∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个），故答案为：127．【点睛】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律． 28．（2022·山东滨州）若10m n +=，5mn =，则22m n +的值为_______． 【答案】90【分析】将22m n +变形得到()22m n mn +-，再把10m n +=，5mn =代入进行计算求解． 【详解】解：∵10m n +=，5mn =，∴22m n + ()22m n mn =+- 21025=-⨯ 10010=- 90=．故答案为：90．【点睛】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式的应用，灵活运用完全平方公式是解答关键． 29．（2022·山东泰安）地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米，地球的体积约是太阳体积的倍数是_____（用科学记数法表示，保留2位有效数字） 【答案】7.1×10-7【分析】直接利用整式的除法运算法则结合科学记数法求出答案．【详解】∵地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米， ∴地球的体积约是太阳体积的倍数是：1012÷(1.4×1018)≈7.1×10-7．故答案是：7.1×10-7．【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示数的除法与有效数字，正确掌握运算法则是解题关键． 30．（2022·四川德阳）已知（x+y ）2=25，（x ﹣y ）2=9，则xy=___． 【答案】4【分析】根据完全平方公式的运算即可. 【详解】∵()225x y +=，()29x y -= ∵()2x y ++()2x y -=4xy =16，∴xy =4.【点睛】此题主要考查完全平方公式的灵活运用，解题的关键是熟知完全平方公式的应用. 31．（2022·浙江嘉兴）分解因式：m 2－1＝_____． 【答案】()()11m m +-【分析】利用平方差公式进行因式分解即可．【详解】解：m 2－1＝11,m m 故答案为：()()11m m +-【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握“平方差公式的特点”是解本题的关键． 32．（2022·湖南怀化）因式分解：24-=x x _____．【答案】2(1)(1)+-x x x 【分析】根据提公因式法和平方差公式进行分解即可．【详解】解：()242221(1)(1)-=-=+-x x x x x x x ，故答案为：2(1)(1)+-x x x【点睛】本题考查了提公因式法和平方差公式，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解题的关键． 33．（2022·浙江绍兴）分解因式：2x x + ＝ ______． 【答案】(1)x x +【分析】利用提公因式法即可分解． 【详解】2(1)x x x x +=+， 故答案为：(1)x x +．【点睛】本题考查了用提公因式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解．34．（2022·浙江宁波）分解因式：x 2-2x +1=__________．【答案】（x -1）2【详解】由完全平方公式可得：2221(1)x x x -+=- 故答案为2(1)x -．【点睛】错因分析 容易题.失分原因是：①因式分解的方法掌握不熟练；②因式分解不彻底.35．（2022·江苏连云港）若关于x 的一元二次方程()2100mx nx m +-=≠的一个解是1x =，则m n +的值是___．【答案】1【分析】根据一元二次方程解的定义把1x =代入到()2100mx nx m +-=≠进行求解即可． 【详解】∵关于x 的一元二次方程()2100mx nx m +-=≠的一个解是1x =，∴10m n +-=，∴1m n +=，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键． 36．（2022·浙江丽水）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形PQMN ，已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5.,AE a DE b ==，且a b >．（1）若a ，b 是整数，则PQ 的长是___________；（2）若代数式222a ab b --的值为零，则ABCD PQMNS S 四边形矩形的值是___________．【答案】 -a b3+【分析】（1）根据图象表示出PQ 即可；（2）根据2220a ab b --=分解因式可得()()0a b a b --=，继而求得a b =，根据这四个矩形的面积都是5，可得55,EP EN a b==，再进行变形化简即可求解． 【详解】（1）①和②能够重合，③和④能够重合，,AE a DE b ==， PQ a b ∴=-，故答案为：-a b ；（2）2220a ab b --=，2222222()2()()0a ab b b a b b a b a b ∴-+-=--=---=，0a b ∴-=或0a b -=，即a b =（负舍）或a b =+这四个矩形的面积都是5，55,EP EN a b∴==， ()()()()()()()()22555555ABCD PQMNa b a b a b a b S b a ab a b S a b a b a b b a ab ⎛⎫++⋅++⋅⎪+⎝⎭∴===-⎛⎫----⋅⎪⎝⎭四边形矩形，2222222222222222a b ab a b a b a a b ab a b a b b ++++-===+-+-+，3=+ 【点睛】本题考查了代数式及其分式的化简求值，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的根据． 37．（2022·四川德阳）古希腊的毕达哥拉斯学派对整数进行了深入的研究，尤其注意形与数的关系，“多边形数”也称为“形数”，就是形与数的结合物．用点排成的图形如下：其中：图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是123+=，第三个三角形数是1236++=，……图②的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是1，第二个正方形数是134+=，第三个正方形数是1359++=，……由此类推，图④中第五个正六边形数是______．【答案】45【分析】根据题意找到图形规律，即可求解． 【详解】根据图形，规律如下表：(3)1m ⎪-⎬⎪⎭1+2+312(3)12m +⎫⎪-⎬⎪+⎭ 1+2+3+423(23m ++⎫⎪-⎬⎪++⎭ n +1n +1(1)n +-n +(1)n +-n +(1)n +- 2n ++2(1)n +++- 12(1)n +++-12(1)n +++-12(1)3)12(1)n n +++-⎪⎬⎪+++-⎭由上表可知第n 个M 边形数为：12)[12(1)]()(3S n n m +++++++-=-，整理得：1)(1)(3)2(2n n n n m S --+=+， 则有第5个正六边形中，n=5，m=6，代入可得：((1)(1)(3)15)55(51)(63)452222n n n S n m +--+--+=+==，故答案为：45．【点睛】本题考查了整式--图形类规律探索，理解题意是解答本题的关键． 38．（2022·湖南怀化）正偶数2，4，6，8，10，……，按如下规律排列， 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20……则第27行的第21个数是______． 【答案】744【分析】由图可以看出，每行数字的个数与行数是一致的，即第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数••••••••第n 行有n 个数，则前n 行共有(1)2n n +个数，再根据偶数的特征确定第几行第几个数是几．【详解】解：由图可知， 第一行有1个数， 第二行有2个数， 第三行有3个数， •••••••第n 行有n 个数． ∴前n 行共有1+2+3+⋯+n =(1)2n n +个数． ∴前26行共有351个数，∴第27行第21个数是所有数中的第372个数．∵这些数都是正偶数， ∴第372个数为372×2=744．故答案为：744．【点睛】本题考查了数字类的规律问题，解决这类问题的关键是先根据题目的已知条件找出其中的规律，再结合其他已知条件求解． 三．解答题39．（2022·江苏苏州）已知23230x x --=，求()2213x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的值．【答案】24213x x -+，3【分析】先将代数式化简，根据23230x x --=可得2213x x -=，整体代入即可求解．【详解】原式222213x x x x =-+++24213x x =-+．∵23230x x --=，∴2213x x -=．∴原式22213x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭211=⨯+3=．【点睛】本题考查了整式的乘法运算，代数式化简求值，整体代入是解题的关键．40．（2022·江苏宿迁）某单位准备购买文化用品，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该文化用品两家超市的标价均为10元/件，甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖；乙超市全部按标价的8折售卖．(1)若该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为 元；乙超市的购物金额为 元；(2)假如你是该单位的采购员，你认为选择哪家超市支付的费用较少？【答案】(1)300，240(2)当040x <≤时，选择乙超市更优惠，当50x =时，两家超市的优惠一样，当4050x <<时，选择乙超市更优惠，当50x >时，选择甲超市更优惠． 【分析】（1）根据甲、乙两家超市的优惠方案分别进行计算即可；（2）设单位购买x 件这种文化用品，所花费用为y 元， 可得当040x <≤时，10,y x 甲 100.88,y x x 乙 显然此时选择乙超市更优惠，当40x >时4000.610406100,y x x 甲 100.88,y x x 乙再分三种情况讨论即可．(1)解： 甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖； ∴该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为3010=300⨯（元），∵乙超市全部按标价的8折售卖，∴该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为30100.8240（元）， 故答案为：300,240(2)设单位购买x 件这种文化用品，所花费用为y 元，又当10x =400时，可得40,x = 当040x <≤时，10,y x 甲 100.88,y x x 乙 显然此时选择乙超市更优惠， 当40x >时，4000.610406100,y x x 甲 100.88,y x x 乙当y y =甲乙时，则86100,x x 解得：50,x = ∴当50x =时，两家超市的优惠一样， 当y y >乙甲时，则61008,x x 解得：50,x ∴当4050x <<时，选择乙超市更优惠， 当y y <乙甲时，则61008,x x 解得：50,x ∴当50x >时，选择甲超市更优惠．【点睛】本题考查的是列代数式，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，清晰的分类讨论是解本题的关键．41．（2022·湖南衡阳）先化简，再求值：()()()2a b a b b a b +-++，其中1a =，2b =-．【答案】2a 2ab +，3-【分析】利用平方差公式与多项式乘法法则进行化简，再代值计算． 【详解】解：原式222222a b ab b a ab =-++=+， 将1a =，2b =-代入式中得：原式()21212143=+⨯⨯-=-=-．【点睛】本题考查多项式乘法与平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．42．（2022·浙江金华）如图1，将长为23a +，宽为2a 的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．(1)用关于a 的代数式表示图2中小正方形的边长．(2)当3a =时，该小正方形的面积是多少？【答案】(1)3a +(2)36【分析】（1）分别算出直角三角形较长的直角边和较短的直角边，再用较长的直角边减去较短的直角边即可得到小正方形面积；（2）根据（1）所得的小正方形边长，可以写出小正方形的面积代数式，再将a 的值代入即可． (1)解：∵直角三角形较短的直角边122a a =⨯=，较长的直角边23a =+， ∴小正方形的边长233a a a =+-=+；(2)解：22(3)69S a a a =+=++小正方形，当3a =时，2(33)36S =+=小正方形．【点睛】本题考查割补思想，属性结合思想，以及整式的运算，能够熟练掌握割补思想是解决本题的关键． 43．（2022·安徽）观察以下等式：第1个等式：()()()22221122122⨯+=⨯+-⨯， 第2个等式：()()()22222134134⨯+=⨯+-⨯， 第3个等式：()()()22223146146⨯+=⨯+-⨯， 第4个等式：()()()22224158158⨯+=⨯+-⨯，……按照以上规律．解决下列问题：(1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第n 个等式（用含n 的式子表示），并证明． 【答案】(1)()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯(2)()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，证明见解析【分析】（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答；（2）观察相同位置的数变化规律可以得出第n 个等式为()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明．(1)解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯，故答案为：()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯；(2)解：第n 个等式为()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，证明如下：等式左边：()2221441n n n +=++， 等式右边：[][]22(1)21(1)2n n n n +⋅+-+⋅[][](1)21(1)2(1)21(1)2n n n n n n n n =+⋅+++⋅⋅+⋅+-+⋅[](1)411n n =+⋅+⨯2441n n =++，故等式()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅成立．【点睛】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键．44．（2022·浙江丽水）先化简，再求值：(1)(1)(2)x x x x +-++，其中12x =． 【答案】12x + ；2 【分析】先利用平方差公式，单项式与多项式乘法化简，然后代入12x =即可求解． 【详解】(1)(1)(2)x x x x +-++ 2212x x x =-++12x =+当12x =时， 原式12x =+11222=+⨯=． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，正确地把代数式化简是解题的关键．45．（2022·重庆）若一个四位数M 的个位数字与十位数字的平方和恰好是M 去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M 为“勾股和数”．例如：2543M =，∵223425+=，∴2543是“勾股和数”；。
2022年中考数学真题分项汇编(全国通用) ：视图与投影、尺规作图、命题与定理(解析版)
专题16 视图与投影、尺规作图、命题与定理一．选择题1．（2022·山东临沂）如图所示的三棱柱的展开图不可能．．．是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】三棱柱的表面展开图的特点，由三个长方形的侧面和上下两个三角形的底面组成．从而可得答案.【详解】解：选项A、B、C均可能是该三棱柱展开图，不符合题意，而选项D中的两个底面会重叠，不可能是它的表面展开图，符合题意，故选：D．【点睛】考查了几何体的展开图，动手折叠一下，有助于空间想象力的培养．2．（2022·江苏常州）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（）A．垂线段最短B．两点确定一条直线C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【答案】A【分析】根据垂线段最短解答即可．【详解】解：行人沿垂直马路的方向走过斑马线，体现的数学依据是垂线段最短，故选：A．【点睛】本题考查垂线段最短，熟知垂线段最短是解答的关键．3．（2022·广西贵港）下列命题为真命题的是（）A a=B．同位角相等C．三角形的内心到三边的距离相等D．正多边形都是中心对称图形【答案】C【分析】根据判断命题真假的方法即可求解．【详解】解：当0a<a-，故A为假命题，故A选项错误；当两直线平行时，同位角才相等，故B为假命题，故B选项错误；三角形的内心为三角形内切圆的圆心，故到三边的距离相等，故C为真命题，故C选项正确；三角形不是中心对称图形，故D为假命题，故D选项错误，故选：C．【点睛】本题考查了真假命题的判断，熟练掌握其判断方法是解题的关键．4．（2022·湖南邵阳）下列四个图形中，圆柱体的俯视图是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据俯视图是从上面看到的视图进而得出答案即可．【详解】解：竖直放置的圆柱体，从上面看是圆，所以俯视图是圆．故选∶D．【点睛】此题考查了简单几何体的三视图，解题的关键是熟练掌握圆柱体的三视图．5．（2022·湖北鄂州）如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体组成，它的主视图是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据从正面看到的图形是主视图，即可得．【详解】解：从前面看，第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，第三层左边1个小正方形，故选A．【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，解题的关键是掌握从正面看到的图形是主视图．6．（2022·辽宁锦州）下列命题不正确．．．的是（）A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行B．负数的立方根是负数C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．五边形的外角和是360︒【答案】C【分析】由平行线公理、立方根的定义、菱形的判定定理、多边形的外角和，分别进行判断，即可得到答案．【详解】解：A、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；故A正确；B、负数的立方根是负数；故B正确；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C错误；D、五边形的外角和是360︒，故D正确；故选：C【点睛】本题考查了判断命题的真假，以及考查了平行线公理、立方根的定义、菱形的判定定理、多边形的外角和，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行判断．7．（2022·内蒙古通辽）下列命题：①()3235m n m n⋅=；②数据1，3，3，5的方差为2；③因式分解()()3x x x x x-=+-；④平分弦的直径垂直于弦；则1 422x．其≥中假命题的个数是（）A．1B．3C．2D．4【答案】C【分析】根据积的乘方，方差的计算，多项的因式分解，垂径定理的推论，二次根式有意义的条件，逐项判断即可求解．【详解】解：①()3362m n m n ⋅=，故原命题是假命题； ②数据1，3，3，5的平均数为()1133534+++= ，所以方差为()()()()222211333335324⎡⎤-+-+-+-=⎣⎦，是真命题； ③()()()324422x x x x x x x -=-=+-，是真命题；④平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题是假命题；10x -≥，即1≥x ，是真命题；∴假命题的个数是2．故选：C【点睛】本题主要考查了积的乘方，方差的计算，多项的因式分解，垂径定理的推论，二次根式有意义的条件，熟练掌握相关知识点是解题的关键．8．（2022·山东威海）过直线l 外一点P 作直线l 的垂线PQ ．下列尺规作图错误的是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据线段垂直平分线的逆定理及两点确定一条直线一一判断即可．【详解】A 、如图，连接AP 、AQ 、BP 、BQ ，AP=BP，AQ=BQ，∴点P在线段AB的垂直平分线上，点Q在线段AB的垂直平分线上，∴直线PQ垂直平分线线段AB，即直线l垂直平分线线段PQ，本选项不符合题意；B、如图，连接AP、AQ、BP、BQ，AP= AQ，BP =BQ，∴点A在线段PQ的垂直平分线上，点B在线段PQ的垂直平分线上，∴直线AB垂直平分线线段PQ，即直线l垂直平分线线段PQ，本选项不符合题意；C、C项无法判定直线PQ垂直直线l，本选项符合题意；D、如图，连接AP、AQ、BP、BQ，AP= AQ，BP =BQ，∴点A在线段PQ的垂直平分线上，点B在线段PQ的垂直平分线上，∴直线AB垂直平分线线段PQ，即直线l垂直平分线线段PQ，本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段垂直平分线的逆定理及两点确定一条直线等知识，读懂图像信息是解题的关键，属于中考常考题型．9．（2022·湖南长沙）如图，在ABC中，按以下步骤作图：①分别过点A 、B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧交于P 、Q 两点； ②作直线PQ 交AB 于点D ；③以点D 为圆心，AD 长为半径画弧交PQ 于点M 、连接AM 、BM ．若AB =AM 的长为（ ）A ．4B ．2 CD【答案】B 【分析】根据作图可知PM 垂直平分AB ，12DM AB =，ABM 是等腰直角三角形，据此即可求解．【详解】解：由作图可得PM 垂直平分AB ，12AD DM AB ===则ADM 是等腰直角三角形∴由勾股定理得：2AM =故选：B ．【点睛】本题考查了作垂线，等腰直角三角形的性质，勾股定理，掌握基本作图理解题意是解题的关键．11．（2022·贵州毕节）在ABC 中，用尺规作图，分别以点A 和C 为圆心，以大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ．作直线MN 交AC 于点D ，交BC 于点E ，连接AE ．则下列结论不一定正确的是（ ）A ．AB AE =B ．AD CD =C ．AE CE =D ．ADE CDE ∠=∠【答案】A【分析】根据作图可知AM =CM ，AN =CN ，所以MN 是AC 的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，且平分此点到线段两端构成的夹角，分别对各选项进行判断．【详解】由题意得，MN 垂直平分线段AC ，∴AD CD =，AE CE =，ADE CDE ∠=∠所以B 、C 、D 正确，因为点B 的位置不确定，所以不能确定AB =AE ，故选 A【点睛】本题考查了线段垂直平分线，熟练掌握线段垂直平分线的作图方法和性质是解题的关键． 10．（2022·四川广安）下列说法正确的是（ ）A ．对角线相等的四边形是矩形．B ．相似三角形的面积的比等于相似比．C ．方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小．D ．过一点有且只有一条直线与已知直线平行．【答案】C【分析】根据矩形的判定，相似三角形的性质，方差的意义，平行公理逐项分析判断即可求解．【详解】解：A. 对角线相等的平行四边形是矩形，故该选项不正确，不符合题意；B. 相似三角形的面积的比等于相似比的平方，故该选项不正确，不符合题意；C. 方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，故该选项正确，符合题意；D. 同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项不正确，不符合题意； 故选C【点睛】本题考查了矩形的判定，相似三角形的性质，方差的意义，平行公理，掌握相关知识是解题的关键．12．（2022·山东烟台）如图，是一个正方体截去一个角后得到的几何体，则该几何体的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据左视图是从左面看到的图形判定则可．【详解】解：从左边看，可得如下图形：故选：A．【点睛】本题考查三视图、熟练掌握三视图的定义是解决问题的关键．13．（2022·山东聊城）如图，该几何图形是沿着圆锥体的轴切割后得到的“半个”圆锥体，它的左视图是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据左视图的定义及画法即可判定．【详解】解：从左边看该几何体是一个斜边在左侧的直角三角形，故选：B．【点睛】本题考查画简单几何的三视图，熟练掌握和运用简单几何三视图的画法是解决本题的关键．14．（2022·内蒙古赤峰）下面几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】俯视图是从物体的上面看得到的视图．【详解】圆台的俯视图是一个同心圆环．故选：B．【点睛】本题考查几何体的三视图，主要考查学生空间想象能力及对立体图形的认知能力．15．（2022·黑龙江）如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最多是（）A．7B．8C．9D．10【答案】B【分析】这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层小正方体的个数，由左视图可得第二层小正方体的最多个数，再相加即可．【详解】由俯视图可知最底层有5个小正方体，由左视图可知这个几何体有两层，其中第二层最多有3个，+=个．那么搭成这个几何体所需小正方体最多有538故选：B．【点睛】本题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．16．（2022·广西贵港）一个圆锥如右图所示放置，对于它的三视图，下列说法正确的是（）A．主视图与俯视图相同B．主视图与左视图相同C．左视图与俯视图相同D．三个视图完全相同【答案】B【分析】根据三视图的定义即可求解．【详解】解：主视图为等腰三角形，左视图为等腰三角形，俯视图为有圆心的圆，故主视图和左视图相同，主视图俯视图和左视图与俯视图都不相同，故选：B．【点睛】本题考查了几何体的三视图，掌握三视图的定义，会看得出三视图是解题的关键．17．（2022·山东青岛）如图①．用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”．图②“堑堵”的俯视图是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据几何体的俯视图是从上面看进行判断解答即可．【详解】解：由图可知，该“堑堵”的俯视图是，故选：C．【点睛】本题考查几何体的俯视图，理解俯视图的概念是解答的关键．18．（2022·辽宁）如图所示的几何体是由4个完全相同的小正方体搭成的，它的主视图是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据几何体的三视图可直接进行排除选项．【详解】解：由题意得：该几何体的主视图为；故选C．【点睛】本题主要考查三视图，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键．19．（2022·辽宁营口）如图是由五个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】左视图是从物体的左边观察得到的图形，结合选项进行判断即可．【详解】解：从左边看，有两列，从左到右第一列是两个正方形，第二列底层是一个正方形．故选：B．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，解答本题的关键是掌握左视图的定义．20．（2022·广西玉林）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是()A．B．C．D．【答案】B【分析】根据几何体的三视图可进行求解．【详解】解：由题意可知该几何体的主视图为；故选B．【点睛】本题主要考查三视图，熟练掌握三视图是解题的关键．21．（2022·四川广安）如图所示，几何体的左视图是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图形是俯视图判断即可．【详解】解：几何体的左视图是故选：B．【点睛】本题考查了几何体的三视图的知识，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图形是俯视图．掌握以上知识是解题的关键．22．（2022·内蒙古呼和浩特）图中几何体的三视图是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据图示确定几何体的三视图即可得到答案．【详解】由几何体可知，该几何体的三视图为故选C【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，掌握三视图的视图方位及画法是解题的关键，注意实际存在又没有被其他棱所挡，在所在方向看不到的棱应用虚线表示．23．（2022·贵州遵义）如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的左视图为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据左视图的意义和画法可以得出答案．【详解】解：∵该几何体为放倒的三棱柱，∴根据左视图的画法，从左往右看，看到的是一个直角在左边的直角三角形，故选：A．【点睛】本题考查简单几何体的三视图，熟练掌握简单几何体的三视图是解答本题的关键．从正面、上面和左面三个不同的方向看一个物体，并描绘出所看到的三个图形，即几何体的三视图．24．（2022·黑龙江哈尔滨）六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【详解】解：从左边看下面一层是两个小正方形，上面一层左边一个小正方形，故选：D．【点睛】本题主要考查左视图，掌握三视图是解题的关键．25．（2022·吉林）吉林松花石有“石中之宝”的美誉，用它制作的砚台叫松花砚，能与中国四大名砚媲美．下图是一款松花砚的示意图，其俯视图为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图）即可得．【详解】解：其俯视图是由两个同心圆（不含圆心）组成，即为，故选：C．【点睛】本题考查了俯视图，熟记定义是解题关键．26．（2022·江苏泰州）如图为一个几何体的表面展开图，则该几何体是()A．三棱锥B．四棱锥C．四棱柱D．圆锥【答案】B【分析】底面为四边形，侧面为三角形可以折叠成四棱锥．【详解】解：由图可知，底面为四边形，侧面为三角形，∴该几何体是四棱锥，故选：B．【点睛】本题主要考查的是几何体的展开图，熟记常见立体图形的展开图特征是解题的关键．27．（2022·贵州贵阳）如图，用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面的形状是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据圆锥体的立体图形判断即可．【详解】用平行底面的平面截圆锥体，截面是圆形，故选：B．【点睛】本题考查了截面图形的判断，具有一定的空间想象力是解答本题的关键．28．（2022·江苏常州）下列图形中，为圆柱的侧面展开图的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据题意，注意其按圆柱的侧面沿它的一条母线剪开，分析得到图形的性质，易得答案．【详解】解：根据题意，把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开展在一个平面上，得到其侧面展开图是对边平行且相等的四边形；又有母线垂直于上下底面，故可得是矩形．故选：D．【点睛】本题考查的是圆柱的展开图，解题的关键是需要对圆柱有充分的理解；难度不大．29．（2022·四川内江）如图是正方体的表面展开图，则与“话”字相对的字是（）A．跟B．党C．走D．听【答案】C【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．【详解】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，“话”与“走”是对面，故答案为：C．【点睛】本题考查正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的特征是正确判断的前提．30．（2022·北京）下面几何体中，是圆锥的为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】观察所给几何体，可以直接得出答案．【详解】解：A选项为圆柱，不合题意；B选项为圆锥，符合题意；C选项为三棱柱，不合题意；D选项为球，不合题意；故选B．【点睛】本题考查常见几何体的识别，熟练掌握常见几何体的特征是解题的关键．圆锥面和一个截它的平面，组成的空间几何图形叫圆锥．31．（2022·广西）下列几何体中，主视图为矩形的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据常见几何体的主视图，依次判断即可．【详解】A．该三棱锥的主视图为中间有条线段的三角形，故不符合题意；B．该圆锥的主视图为三角形，故不符合题意；C．该圆柱的主视图为矩形，故符合题意；D．该圆台的主视图为梯形，故不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查常见几何体的三视图，掌握常见几何体的三视图是解答本题的关键．32．（2022·湖北恩施）下图是一个正方体纸盒的展开图，将其折叠成一个正方体后，有“振”字一面的相对面上的字是（）A．“恩”B．“乡”C．“村”D．“兴”【答案】D【分析】根据正方体的平面展开图的特点即可得．【详解】解：由正方体的平面展开图的特点得：“恩”字与“乡”字在相对面上，“施”字与“村”字在相对面上，“振”字与“兴”字在相对面上，故选：D．【点睛】本题考查了正方体的平面展开图，熟练掌握正方体的平面展开图的特点是解题关键．33．（2022·四川广元）如图是某几何体的展开图，该几何体是（）A．长方体B．圆柱C．圆锥D．三棱柱【答案】B【分析】根据几何体的展开图可直接进行排除选项．【详解】解：由图形可得该几何体是圆柱；故选B．【点睛】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握几何体的展开图是解题的关键．34．（2022·湖北武汉）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据从正面所看得到的图形为主视图，据此解答即可．【详解】解：从正面可发现有两层，底层三个正方形，上层的左边是一个正方形．故选：A．【点睛】本题主要考查了三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图成为解答本题的关键．35．（2022·四川凉山）如图所示的几何体的主视图是（）A．B．C．D．【分析】根据主视图的定义（从正面观察物体所得到的视图叫主视图）即可得．【详解】解：这个几何体的主视图是故选：C．【点睛】本题考查了主视图，熟记定义是解题关键．36．（2022·四川泸州）如图是一个由6个大小相同的正方体组成的几何体，它的俯视图是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据俯视图是从上面看到的图形即可判定．【详解】解：由俯视图的定义可知：从上往下观察发现∶故选C．【点睛】本题考查三视图，解题的关键是熟练掌握俯视图是从物体上面看所得到的图形．37．（2022·浙江湖州）如图是由四个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】主视图就是从主视方向看到的正面的图形，也可以理解为该物体的正投影，据此求解即可．【详解】解：观察该几何体发现：从正面看到的应该是三个正方形，上面左边1个，下面2个，【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是了解主视图的定义，属于基础题，难度不大．38．（2022·四川眉山）下列立体图形中，俯视图是三角形的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断得出物体的俯视图．【详解】解：A、圆锥体的俯视图是圆，故此选项不合题意；B、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项符合题意；C、球的俯视图是圆，故此选项不合题意；D、圆柱体的俯视图是圆，故此选项不合题意；故选：B．【点睛】本题考查了几何体的三视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．39．（2022·浙江台州）如图是由四个相同的正方体搭成的立体图形，其主视图是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】找到几何体的正面看所得到的图形即可．【详解】解：从几何体的正面看可得如下图形，故选：A．【点睛】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图是从正面所看到的图形．40．（2022·黑龙江绥化）下列命题中是假命题的是（）A．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半B．如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定相等C．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半【答案】B【分析】利用三角形的中位线定理、邻补角性质、切线长定理以及直角三角形斜边上的中线的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A. 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，是真命题，故此选项不符合题意；B. 如果两个角互为邻补角，那么这两个角不一定相等，故此选项是假命题，符合题意；C. 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，是真命题，故此选项不符合题意；D. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是真命题，故此选项不符合题意；故选：B【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形的中位线定理、邻补角性质、切线长定理以及直角三角形斜边上的中线的性质．41．（2022·广西河池）下列几何体中，三视图的三个视图完全相同的几何体是()A．B．C．D．【答案】D【分析】找到从物体正面、左面和上面看得到的图形全等的几何体即可．【详解】解：A.三棱柱的俯视图与主视图和左视图都不同，故此选项错误；B.圆柱的俯视图与主视图和左视图不同，故此选项错误；C.圆锥的俯视图与主视图和左视图不同，故此选项错误；D.球的三视图完全相同，都是圆，故此选项正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了三视图的有关知识，注意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体．42.（2022·辽宁锦州）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．【详解】解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体是圆锥．故选：C ．【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，主视图和左视图的大致轮廓为三角形的几何体为锥体． 43．（2022·内蒙古呼和浩特）以下命题：①面包店某种面包售价a 元/个，因原材料涨价，面包价格上涨10%，会员优惠从打八五折调整为打九折，则会员购买一个面包比涨价前多花了0.14a 元；②等边三角形ABC 中，D 是BC 边上一点，E 是AC 边上一点，若AD AE =，则3∠=∠BAD EDC ；③两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；④一列自然数0，1，2，3，55，依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数，则原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大．其中真命题的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据全等三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识逐项判断即可，【详解】解：①项，会员原来购买一个面包需要0.85a 元，现在需要a ×(1+10%)×0.9=0.99a ，则会员购买一个面包比涨价前多花了0.99a -0.85a =0.14a 元，故①项正确；②项，如图，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC，∠C+∠EDC=∠AED，又∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，∴∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC=∠C+∠EDC+∠EDC，∴∠BAD=∠EDC+∠EDC=2∠EDC，故②项错误；③项，如图，△ABC和△DEF，AB=DE，AC=DF，AM是△ABC的BC边上的中线，DN是△DEF的边EF上的中线，AM=DN，即有△ABC≌△DEF，理由如下：延长AM至G点，使得AM=GM，连接GC，延长DN至H点，使得DN=NH，连接HF，∵AM是中线，∴BM=MC，∵AM=MG，∠AMB=∠GMC，∴△AMB≌△GMC，∴AB=GC，同理可证DE=HF，∵AM=DN，∴AG=2AM=2DN=DH，∵AB =DE ，∴GC =HF ，∴结合AC =DF 可得△ACG ≌△DFH ，∴∠GAC =∠HDF ，同理可证∠GAB =∠HDE ，∴∠BAC =∠GAB +∠GAC =∠HDF +∠HDE =∠EDF ，∵AB =DE ，AC =DF ，∴△ABC ≌△DEF ，故③正确；④设原数为x ，则新数为21100x ，设原数与新数之差为y ， 即21100y x x =-，变形为：21(50)25100y x =--+， 将x 等于0、1、2、3、55分别代入可知，y 随着x 的增大而增大，故④正确；即正确的有三个，故选：C ，【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、二次函数的应用等知识，掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．44．（2022·吉林长春）如图，在ABC 中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）A ．AF BF =B ．12AE AC = C ．90DBF DFB ∠+∠=︒D ．BAF EBC ∠=∠【答案】B 【分析】根据尺规作图痕迹，可得DF 垂直平分AB ，BE 是ABC ∠的角平分线，根据垂直平分线的性质和角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质进行判断即可．【详解】根据尺规作图痕迹，可得DF 垂直平分AB ，BE 是ABC ∠的角平分线，,90,AF BF BDF ABF CBE ∴=∠=︒∠=∠，。
2022中考数学试题分类多边形与平行四边形(含解析)
2022中考数学试题分类多边形与平行四边形（含解析）多边形与平行四边形1．（2022衡阳,第9题3分）下列命题是真命题的是（）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相垂直的四边形是正方形考点：命题与定理．专题：计算题．分析：根据平行线四边形的判定方法对A进行判定；根据矩形的判定方法，对角线相等的平行四边形是矩形，则可对B进行判定；根据菱形的判定方法，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则可对C进行判定；根据正方形的判定方法，对角线互相垂直的矩形是正方形，则可对对D进行判定．解答：解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以A选项为真命题；B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项为假命题；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以C选项为假命题；D、对角线互相垂直的矩形是正方形，所以D选项为假命题．故选A．点评：本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．3．（2022宜昌，第8题3分）下列图形具有稳定性的是（）A．正方形B．矩形C．平行四边形D．直角三角形考点：三角形的稳定性；多边形．.分析：根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断．解答：解：直角三角形具有稳定性．故选：D．点评：此题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，正确掌握三角形的性质是解题关键．4.（2022江苏常州第5题2分）如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的是AOBDA．AO＝ODB．AO⊥ODC．AO＝OCD．AO⊥AB5.（2022江苏连云港第5题3分）已知四边形ABCD，下列说法正确的是A．当AD＝BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形B．当AD＝BC，AB＝DC时，四边形ABCD是平行四边形CC．当AC＝BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形D．当AC＝BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形【思路分析】平行四边形的判定，分别有两组对边分别平行，两组分别相等，一组对边平行且相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以B选项是正确的【答案】B【点评】本题考查平行四边形及特殊的平行四边形的判定.6、(2022年陕西省,9,3分)在ABCD中，AB=10，BC=14，E，F分别为边BC，AD上的点，若四边形AECF为正方形，则AE的长为（）A．7B．4或10C．5或9D．6或8考点：平行四边形的性质；勾股定理；正方形的性质．.专题：分类讨论．分析：设AE的长为某，根据正方形的性质可得BE=14﹣某，根据勾股定理得到关于某的方程，解方程即可得到AE的长．解答：解：如图：设AE的长为某，根据正方形的性质可得BE=14﹣某，222在△ABE中，根据勾股定理可得某+（14﹣某）=10，解得某1=6，某2=8．故AE的长为6或8．故选：D．点评：考查了平行四边形的性质，正方形的性质，勾股定理，关键是根据勾股定理得到关于AE的方程．7.（2022山东莱芜,第9题3分）一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（）A．27B．35C．44D．54考点：多边形内角与外角．.分析：设出题中所给的两个未知数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可，再进一步代入多边形的对角线计算方法，即可解答．解答：解：设这个内角度数为某，边数为n，∴（n﹣2）某180°﹣某=1510，180n=1870+某，∵n为正整数，∴n=11，∴=44，故选：C．点评：此题考查多边形的内角和计算公式以及多边形的对角线条数的计算方法，属于需要识记的知识．8．（2022怀化，第6题4分）一个多边形的内角和是360°，这个多边形是（）A．三角形B．四边形C．六边形D．不能确定考点：多边形内角与外角．分析：本题根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于360°，列出方程，解出即可．解答：解：设这个多边形的边数为n，则有（n﹣2）180°=360°，解得：n=4，故这个多边形是四边形．故选：B．点评：本题主要考查多边形的内角和定理，解题的关键是根据已知等量关系列出方程从而解决问题．9．（2022娄底，第5题3分）下列命题中错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．菱形的对角线互相垂直C．同旁内角互补D．矩形的对角线相等考点：命题与定理．分析：根据平行四边形的性质对A进行判断；根据菱形的性质对B进行判断；根据平行线的性质对C进行判断；根据矩形的性质对D进行判断．解答：解：A、平行四边形的对角线互相平分，所以A选项为真命题；B、菱形的对角线互相垂直，所以B选项为真命题；C、两直线平行，同旁内角互补，所以C选项为假命题；D、矩形的对角线相等，所以D选项为真命题．故选C．点评：本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．10．（2022长沙，第5题3分）下列命题中，为真命题的是（）A．六边形的内角和为360度B．多边形的外角和与边数有关C．矩形的对角线互相垂直D．三角形两边的和大于第三边考点：命题与定理．分析：根据六边形的内角和、多边形的外角和、矩形的性质和三角形三边关系判断即可．解答：解：A、六边形的内角和为720°，错误；B、多边形的外角和与边数无关，都等于360°，错误；C、矩形的对角线相等，错误；D、三角形的两边之和大于第三边，正确；故选D．点评：本题考查命题的真假性，是易错题．注意对六边形的内角和、多边形的外角和、矩形的性质和三角形三边关系的准确掌握11．（2022本溪，第8题3分）如图，ABCD的周长为20cm，AE平分∠BAD，若CE=2cm，则AB的长度是（）A．10cmB．8cmC．6cmD．4cm考点：平行四边形的性质．.分析：根据平行四边形的性质得出AB=CD，AD=BC，AD∥BC，推出∠DAE=∠BAE，求出∠BAE=∠AEB，推出AB=BE，设AB=CD=某cm，则AD=BC=（某+2）cm，得出方程某+某+2=10，求出方程的解即可．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，AD∥BC，∴∠DAE=∠BAE，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，设AB=CD=某cm，则AD=BC=（某+2）cm，∵ABCD的周长为20cm，∴某+某+2=10，解得：某=4，即AB=4cm，故选D．点评：本题考查了平行四边形的在，平行线的性质，等腰三角形的判定的应用，解此题的关键是能推出AB=BE，题目比较好，难度适中．12．（2022营口，第4题3分）ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠DAC=42°，∠CBD=23°，则∠COD是（）A．61°B．63°C．65°D．67°考点：平行四边形的性质．分析：由平行四边形的性质可知：AD∥BC，进而可得∠DAC=∠BCA，再根据三角形外角和定理即可求出∠COD的度数．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA=42°，∴∠COD=∠CBD+∠BCA=65°，故选C．点评：本题考查了平行四边形的性质以及三角形的外角和定理，题目比较简单，解题的关键是灵活运用平行四边形的性质，将四边形的问题转化为三角形问题．13.（2022年浙江衢州第4题3分）如图，在YABCD中，已知AD12cm,AB8cm,AE平分BAD交BC于点E，则CE的长等于【】A.8cmB.6cmC.4cmD.2cm【答案】C．【考点】平行线分线段成比例的性质．【分析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC,ADBC.∴DAEAEB.又∵AE平分BAD，∴DAEEAB.∴EABAEB.∴ABBE.∵AD12cm,AB8cm，∴BC12cm,BE8cm.∴CEBCCE4cm.故选C.5.（2022江苏连云港第5题3分）已知四边形ABCD，下列说法正确的是A．当AD＝BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形B．当AD＝BC，AB＝DC时，四边形ABCD是平行四边形C．当AC＝BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形D．当AC＝BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形【思路分析】平行四边形的判定，分别有两组对边分别平行，两组分别相等，一组对边平行且相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以B选项是正确的【答案】B【点评】本题考查平行四边形及特殊的平行四边形的判定.6、(2022年陕西省,9,3分)在ABCD中，AB=10，BC=14，E，F分别为边BC，AD上的点，若四边形AECF为正方形，则AE的长为（）A．7B．4或10C．5或9D．6或8考点：平行四边形的性质；勾股定理；正方形的性质．.专题：分类讨论．分析：设AE的长为某，根据正方形的性质可得BE=14﹣某，根据勾股定理得到关于某的方程，解方程即可得到AE的长．解答：解：如图：设AE的长为某，根据正方形的性质可得BE=14﹣某，222在△ABE中，根据勾股定理可得某+（14﹣某）=10，解得某1=6，某2=8．故AE的长为6或8．故选：D．点评：考查了平行四边形的性质，正方形的性质，勾股定理，关键是根据勾股定理得到关于AE的方程．7.（2022山东莱芜,第9题3分）一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（）A．27B．35C．44D．54考点：多边形内角与外角．.分析：设出题中所给的两个未知数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可，再进一步代入多边形的对角线计算方法，即可解答．解答：解：设这个内角度数为某，边数为n，∴（n﹣2）某180°﹣某=1510，180n=1870+某，∵n为正整数，∴n=11，∴=44，故选：C．点评：此题考查多边形的内角和计算公式以及多边形的对角线条数的计算方法，属于需要识记的知识．3．（2022江苏镇江，第8题，2分）如图，ABCD中，E为AD的中点，BE，CD的延长线相交于点F，若△DEF的面积为1，则ABCD的面积等于4．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．.分析：通过△ABE≌△DFE求得△ABE的面积为1，通过△FBC∽△FED，求得四边形BCDE的面积为3，然后根据ABCD的面积=四边形BCDE的面积+△ABE的面积即可求得．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD=BC，∵AB∥CD，∴∠A=∠EDF，在△ABE和△DFE中，，∴△ABE≌△DFE（SAS），∵△DEF的面积为1，∴△ABE的面积为1，∵AD∥BC，∴△FBC∽△FED，∴=（）2∵AE=ED=AD．∴ED=BC，∴=，∴四边形BCDE的面积为3，∴ABCD的面积=四边形BCDE的面积+△ABE的面积=4．故答案为4．点评：本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形全等的性质和三角形相似的性质是解题的关键．24．（2022营口，第14题3分）圆内接正六边形的边心距为2，则这个正六边形的面积为24cm．考点：正多边形和圆．分析：根据正六边形的特点，通过中心作边的垂线，连接半径，结合解直角三角形的有关知识解决．解答：解：如图，连接OA、OB；过点O作OG⊥AB于点G．在Rt△AOG中，OG=2，∠AOG=30°，∵OG=OAco30°，∴OA===4，∴这个正六边形的面积为6某某4某2=24cm．2故答案为：24．点评：此题主要考查正多边形的计算问题，根据题意画出图形，再根据正多边形的性质即锐角三角函数的定义解答即可．5.（2022江苏连云港第5题3分）已知四边形ABCD，下列说法正确的是A．当AD＝BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形B．当AD＝BC，AB＝DC时，四边形ABCD是平行四边形C．当AC＝BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形D．当AC＝BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形【思路分析】平行四边形的判定，分别有两组对边分别平行，两组分别相等，一组对边平行且相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以B选项是正确的【答案】B【点评】本题考查平行四边形及特殊的平行四边形的判定.6、(2022年陕西省,9,3分)在ABCD中，AB=10，BC=14，E，F分别为边BC，AD上的点，若四边形AECF为正方形，则AE的长为（）A．7B．4或10C．5或9D．6或8考点：平行四边形的性质；勾股定理；正方形的性质．.专题：分类讨论．分析：设AE的长为某，根据正方形的性质可得BE=14﹣某，根据勾股定理得到关于某的方程，解方程即可得到AE的长．解答：解：如图：设AE的长为某，根据正方形的性质可得BE=14﹣某，222在△ABE中，根据勾股定理可得某+（14﹣某）=10，解得某1=6，某2=8．故AE的长为6或8．故选：D．点评：考查了平行四边形的性质，正方形的性质，勾股定理，关键是根据勾股定理得到关于AE的方程．7.（2022山东莱芜,第9题3分）一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（）A．27B．35C．44D．54考点：多边形内角与外角．.分析：设出题中所给的两个未知数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可，再进一步代入多边形的对角线计算方法，即可解答．解答：解：设这个内角度数为某，边数为n，∴（n﹣2）某180°﹣某=1510，180n=1870+某，∵n为正整数，∴n=11，∴=44，故选：C．点评：此题考查多边形的内角和计算公式以及多边形的对角线条数的计算方法，属于需要识记的知识．14．（2022湖北,第17题3分）在ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高，∠EBD=20°，则∠A的度数为55°或35°．考点：平行四边形的性质．分析：首先求出∠ADB的度数，再利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质，得出∠A的度数．解答：解：情形一：当E点在线段AD上时，如图所示，∵BE是AD边上的高，∠EBD=20°，∴∠ADB=90°﹣20°=70°，∵AD=BD，∴∠A=∠ABD==55°．情形二：当E点在AD的延长线上时，如图所示，∵BE是AD边上的高，∠EBD=20°，∴∠BDE=70°，∵AD=BD，∴∠A=∠ABD=∠BDE=70°=35°．故答案为：55°或35°．点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的性质等知识，得出∠ADB的度数是解题关键．解答：解：（1）如图①，过A作AE⊥BC，∴四边形AECD为矩形，∴EC=AD=8，BE=BC﹣EC=12﹣8=4，在Rt△ABE中，∠ABE=60°，BE=4，∴AB=2BE=8，AE=则S△BMC=BCAE=24；=4，故答案为：24；（2）如图②，作点C关于直线AD的对称点C′，连接C′N，C′D，C′B交AD于点N′，连接CN′，则BN+NC=BN+NC′≥BC′=BN′+CN′，∴△BNC周长的最小值为△BN′C的周长=BN′+CN′+BC=BC′+BC，∵AD∥BC，AE⊥BC，∠ABC=60°，∴过点A作AE⊥BC，则CE=AD=8，∴BE=4，AE=BEtan60°=4，∴CC′=2CD=2AE=8，∵BC=12，∴BC′==4，∴△BNC周长的最小值为4+12；（3）如图③所示，存在点P，使得co∠BPC的值最小，作BC的中垂线PQ交BC于点Q，交AD于点P，连接BP，CP，作△BPC的外接圆O，圆O与直线PQ交于点N，则PB=PC，圆心O在PN上，∵AD∥BC，∴圆O与AD相切于点P，∵PQ=DC=4＞6，∴PQ＞BQ，∴∠BPC＜90°，圆心O在弦BC的上方，在AD上任取一点P′，连接P′B，P′C，P′B交圆O于点M，连接MC，∴∠BPC=∠BMC≥∠BP′C，∴∠BPC最大，co∠BPC的值最小，连接OB，则∠BON=2∠BPN=∠BPC，∵OB=OP=4﹣OQ，222在Rt△BOQ中，根据勾股定理得：OQ+6=（4﹣OQ），解得：OQ=∴OB=，，=，∴co∠BPC=co∠BOQ=则此时co∠BPC的值为．点评：此题属于四边形综合题，涉及的知识有：勾股定理，矩形的判定与性质，对称的性质，圆的切线的判定与性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．3、(2022年四川省广元市中考，5,3分)一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形的边数为（）A．5B．6C．7D．8考点：多边形内角与外角．.分析：多边形的外角和是360°，则内角和是2某360=720°．设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣2）180°，这样就得到一个关于n的方程组，从而求出边数n的值．解答：解：设这个多边形是n边形，根据题意，得（n﹣2）某180°=2某360，解得：n=6．即这个多边形为六边形．故选：B．点评：本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．4、(2022年四川省广元市中考，18,7分)求证：平行四边形的对角线互相平分（要求：根据题意先画出图形并写出已知、求证，再写出证明过程）．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．.专题：证明题．分析：首先根据题意画出图形，再写出命题的已知和求证，最后通过证明三角形全等即可证明命题是正确的．解答：已知：平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，求证：OA=OC，OB=OD证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠1=∠2，在△AOD和△COB中，∴△AOD≌△COB（AAS），∴OA=OC，OB=OD．点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟记平行四边形的各种性质以及全等三角形的各种判定的各种方法．5、(2022年浙江省义乌市中考,24,14分)在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC的顶点A在某轴的正半轴上，OA=4，OC=2，点P，点Q分别是边BC，边AB上的点，连结AC，PQ，点B1是点B关于PQ的对称点。
2022年全国数学中考真题(江苏河南广东四川湖南等)汇编专题12 平行四边形与中位线(解析版)
专题12 平行四边形与中位线一．选择题1.（2022·四川乐山）如图，在平行四边形ABCD 中，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ⊥AC ，垂足为F ．若AB =6，AC =8，DE =4，则BF 的长为（ ）A ．4B ．3C ．52D ．2【答案】B【分析】利用平行四边形ABCD 的面积公式即可求解．【详解】解：⊥DE ⊥AB ，BF ⊥AC ，⊥S 平行四边形ABCD =DE ×AB =2×12×AC ×BF ， ⊥4×6=2×12×8×BF ，⊥BF =3，故选：B ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，利用平行四边形ABCD 的面积公式求垂线段的长是解题的关键． 2．（2022·浙江宁波）如图，在Rt ABC 中，D 为斜边AC 的中点，E 为BD 上一点，F 为CE 中点．若AE AD =，2DF =，则BD 的长为（ ）A ．22B ．3C ．23D ．4【答案】D【分析】根据三角形中位线可以求得AE 的长，再根据AE ＝AD ，可以得到AD 的长，然后根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，可以求得BD 的长．【详解】解：⊥D 为斜边AC 的中点，F 为CE 中点，DF ＝2，⊥AE ＝2DF ＝4，⊥AE ＝AD ，⊥AD ＝4，在Rt ⊥ABC 中，D 为斜边AC 的中点，⊥BD ＝12AC ＝AD ＝4，故选：D ．【点睛】本题考查直角三角线斜边上的中线和斜边的关系、三角形的中位线，解答本题关键是求出AD 的长． 3．（2022·四川眉山）在ABC 中，4AB =，6BC =，8AC =，点D ，E ，F 分别为边AB ，AC ，BC 的中点，则DEF 的周长为（ ）A ．9B ．12C ．14D ．16【答案】A【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可得出△ABC 的周长=2△DEF 的周长．【详解】⊥D ，E ，F 分别为各边的中点，⊥DE 、EF 、DF 是△ABC 的中位线， ⊥DE =12BC =3，EF =12AB =2，DF =12AC =4，⊥△DEF 的周长=3+2+4=9．故选：A ． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理．解题的关键是根据中位线定理得出边之间的数量关系． 4．（2022·浙江绍兴）如图，在平行四边形ABCD 中，22AD AB ==，60ABC ∠=︒，E ，F 是对角线BD 上的动点，且BE DF =，M ，N 分别是边AD ，边BC 上的动点．下列四种说法：①存在无数个平行四边形MENF ；②存在无数个矩形MENF ；③存在无数个菱形MENF ；④存在无数个正方形MENF ．其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后逐一分析即可．【详解】如图，连接AC 、与BD 交于点O ，连接ME，MF，NF，EN，MN ，⊥四边形ABCD 是平行四边形⊥OA =OC ，OB =OD⊥BE =DF ⊥OE =OF ⊥点E，F 时BD 上的点，⊥只要M，N 过点O ，那么四边形MENF 就是平行四边形⊥存在无数个平行四边形MENF ，故①正确；只要MN =EF ，MN 过点O ，则四边形MENF 是矩形，⊥点E 、F 是BD 上的动点，⊥存在无数个矩形MENF ，故②正确；只要MN ⊥EF ，MN 过点O ，则四边形MENF 是菱形；⊥点E 、F 是BD 上的动点，⊥存在无数个菱形MENF ，故③正确；只要MN =EF ，MN ⊥EF ，MN 过点O ，则四边形MENF 是正方形，而符合要求的正方形只有一个，故④错误；故选：C【点睛】本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定、解答本题的关键时明确题意，作出合适的辅助线．5．（2022·浙江嘉兴）如图，在ABC 中，8AB AC ==，点E ，F ，G 分别在边AB ，BC ，AC 上，EF AC ∥，GF AB ∥，则四边形AEFG 的周长是（ ）A ．32B ．24C ．16D ．8【答案】C【分析】根据EF AC ∥，GF AB ∥，可得四边形AEFG 是平行四边形，从而得到FG =AE ，AG =EF ，再由EF AC ∥，可得⊥BFE =⊥C ，从而得到⊥B =⊥BFE ，进而得到BE =EF ，再据四边形AEFG 的周长是2（AE +EF ），即可求解．【详解】解⊥⊥EF AC ∥，GF AB ∥，⊥四边形AEFG 是平行四边形，⊥FG =AE ，AG =EF ，⊥EF AC ∥，⊥⊥BFE =⊥C ，⊥AB =AC ，⊥⊥B =⊥C ，⊥⊥B =⊥BFE ，⊥BE =EF ，⊥四边形AEFG 的周长是2（AE +EF ）=2（AE +BE ）=2AB =2×8=16．故选：C【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键．6．（2022·四川达州）如图，在ABC 中，点D ，E 分别是AB ，BC 边的中点，点F 在DE 的延长线上．添加一个条件，使得四边形ADFC 为平行四边形，则这个条件可以是（ ）A ．B F ∠=∠ B ．DE EF =C ．AC CF=D ．AD CF =【答案】B【分析】利用三角形中位线定理得到DE ⊥AC 且DE =12AC ，结合平行四边形的判定定理进行选择．【详解】解：⊥在⊥ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，⊥DE 是⊥ABC 的中位线，⊥DE ⊥AC 且DE =12AC ，A 、根据⊥B =⊥F 不能判定CF ⊥AD ，即不能判定四边形ADFC 为平行四边形，故本选项错误．B 、根据DE =EF 可以判定DF =AC ，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC 为平行四边形，故本选项正确．C 、根据AC =CF 不能判定AC ⊥DF ，即不能判定四边形ADFC 为平行四边形，故本选项错误．D 、根据AD =CF ，FD ⊥AC 不能判定四边形ADFC 为平行四边形，故本选项错误．故选：B ．【点睛】本题主要考查了三角形的中位线的性质和平行四边形的判定．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．7．（2022·浙江丽水）如图，在ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 的中点．若6AB =，8BC =，则四边形BDEF 的周长是（ ）A ．28B ．14C ．10D ．7【答案】B 【分析】首先根据D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 的中点，可判定四边形BDEF 是平行四边形，再根据三角形中位线定理，即可求得四边形BDEF 的周长． 【详解】解：D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 的中点，EF ∴、ED 分别是ABC △的中位线，EF BC ∴∥，ED AB ∥且11==8=422EF BC ⨯，11==6=322ED AB ⨯， ∴四边形BDEF 是平行四边形，=4BD EF ∴=，3BF ED ==，∴四边形BDEF 的周长为：=3434=14BF BD ED EF ++++++，故选：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，三角形中位线定理，判定出四边形BDEF 是平行四边形是解决本题的关键．8．（2022·湖南怀化）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（ ）A ．七边形B ．八边形C ．九边形D ．十边形【答案】A【分析】根据n 边形的内角和是（n ﹣2）•180°，列出方程即可求解．【详解】解：根据n 边形的内角和公式，得（n ﹣2）•180°=900°，解得n =7，⊥这个多边形的边数是7，故选：A ．【点睛】本题考查了多边形的内角和，解题的关键是熟记内角和公式并列出方程．9．（2022·四川南充）如图，在正五边形ABCDE 中，以AB 为边向内作正ABF ，则下列结论错误的是（ ）A ．AE AF =B ．EAF CBF ∠=∠C ．F EAF ∠=∠D ．CE ∠=∠【答案】C 【分析】利用正多边形各边长度相等，各角度数相等，即可逐项判断．【详解】解：⊥多边形ABCDE 是正五边形，⊥该多边形内角和为：5218540(0)-⨯︒=︒，AB AE =， ⊥5401085C E EAB ABC ︒∠=∠=∠=∠==︒，故D 选项正确； ⊥ABF 是正三角形，⊥60FAB FBA F ∠=∠=∠=︒，AB AF FB ==，⊥1086048EAF EAB FAB ∠=∠-∠=︒-︒=︒，1086048CBF ABC FBA ∠=∠-∠=︒-︒=︒，⊥EAF CBF ∠=∠，故B 选项正确；⊥AB AE =，AB AF FB ==，⊥AE AF =，故A 选项正确；⊥60F ∠=︒，48EAF ∠=︒，⊥F EAF ∠≠∠，故C 选项错误，故选：C ．【点睛】本题考查正多边形的性质以及多边形内角和公式，熟练掌握正多边形“各边长度相等，各角度数相等”是解题的关键．10．（2022·湖南湘潭）在ABCD 中（如图），连接AC ，已知40BAC ∠=︒，80ACB ∠=︒，则BCD ∠=（ ）A ．80︒B ．100︒C ．120︒D ．140︒【答案】C【分析】根据平行四边形的对边平行和两直线平行内错角相等的性质，再通过等量代换即可求解．【详解】解：⊥四边形ABCD 为平行四边形，⊥AB ∥CD ⊥⊥DCA ＝⊥CAB ，⊥BCD ∠=⊥DCA +⊥ACB ，40BAC ∠=︒，80ACB ∠=︒⊥BCD ∠=40º+80º=120º，故选：C ．【点睛】此题考查了平行四边形的性质和平行线的性质，解题的关键是熟记性质并熟练运用．11．（2022·河北）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据平行四边形的判定及性质定理判断即可；【详解】解：平行四边形对角相等，故A 错误；一组对边平行不能判断四边形是平行四边形，故B 错误；三边相等不能判断四边形是平行四边形，故C 错误；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D 正确；故选：D ．【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质，掌握平行四边形的判定及性质是解题的关键． 12．（2022·湖南岳阳）下列命题是真命题的是（ ）A ．对顶角相等B ．平行四边形的对角线互相垂直C ．三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交D ．三角分别相等的两个三角形是全等三角形【答案】A【分析】根据对顶角性质判断A ，根据平行四边形的性质判断B ，根据三角形的内心定义判断C ，根据全等三角形的判定定理判断D ．【详解】A.对顶角相等是一个正确的命题，是真命题，故A 符合题意；B.菱形的对角线互相垂直，非菱形的平行四边形的对角线不垂直，所以平行四边形的对角线互相垂直是一个假命题，故B 不符合题意；C.三角形的内心是三角形内角平分线的交点，不一定是三边的垂直平分线的交点，则三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点是一个假命题，故C 不符合题意；D.三角分别相等的两个三角形不一定全等，故D 不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了真命题与假命题的判断，对顶角的性质，平行四边形的性质，三角形的内心定义，全等三角形的判定，熟练掌握这些性质、定义、定理是解决问题的关键．13．（2022·河北）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC 与四边形BCDE 的外角和的度数分别为α，β，则正确的是（ ）A ．0αβ-=B ．0αβ-<C ．0αβ->D ．无法比较α与β的大小【答案】A【分析】多边形的外角和为360︒，△ABC 与四边形BCDE 的外角和均为360︒，作出选择即可．【详解】解：⊥多边形的外角和为360︒，⊥△ABC 与四边形BCDE 的外角和α与β均为360︒，⊥0αβ-=，故选：A ．【点睛】本题考查多边形的外角和定理，注意多边形的外角和为360︒是解答本题的关键．14．（2022·河南）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 为CD 的中点．若OE ＝3，则菱形ABCD 的周长为（ ）A ．6B ．12C ．24D ．48【答案】C【分析】由菱形的性质可得出BO =DO ，AB =BC =CD =DA ，再根据中位线的性质可得26BC OE ==，结合菱形的周长公式即可得出结论．【详解】解：⊥四边形ABCD 为菱形，⊥BO =DO ，AB =BC =CD =DA ，⊥OE =3，且点E 为CD 的中点，OE ∴是BCD △的中位线，⊥BC =2OE =6．⊥菱形ABCD 的周长为:4BC =4×6=24．故选：C ．【点睛】本题考查了菱形的性质以及中位线的性质，解题的关键是求出AD =6．15．（2022·山东泰安）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ．点E 为BC 的中点，连接EO 并延长交AD 于点F ，60ABC ∠=︒，2BC AB =．下列结论：①AB AC ⊥；②4AD OE =；③四边形AECF是菱形；④14BOE ABC S S =△△．其中正确结论的个数是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A 【分析】通过判定ABE ∆为等边三角形求得60=︒∠BAE ，利用等腰三角形的性质求得30EAC ∠=︒，从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱形的性质和含30直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④．【详解】解：点E 为BC 的中点，22BC BE CE ∴==，又2BC AB =，AB BE ∴=，60ABC ∠=︒，ABE ∴∆是等边三角形，60BAE BEA ∴∠=∠=︒，30EAC ECA ∴∠=∠=︒，90BAC BAE EAC ∴∠=∠+∠=︒，即AB AC ⊥，故①正确；在平行四边形ABCD 中，//AD BC ，AD BC =，AO CO =，CAD ACB ∴∠=∠，在AOF ∆和COE ∆中，CAD ACB OA OC AOF COE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()AOF COE ASA ∴∆≅∆，AF CE ∴=，∴四边形AECF 是平行四边形，又AB AC ⊥，点E 为BC 的中点，AE CE ∴=，∴平行四边形AECF 是菱形，故③正确；AC EF ∴⊥，在Rt COE ∆中，30ACE ∠=︒，111244OE CE BC AD ∴===，故②正确； 在平行四边形ABCD 中，OA OC =，又点E 为BC 的中点，ΔΔΔ1124BOE BOC ABC S S S ∴==，故④正确； 综上所述：正确的结论有4个，故选：A ．【点睛】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，含30的直角三角形的性质，掌握菱形的判定是解题关键．16．（2022·山东滨州）下列命题，其中是真命题的是（ ）A ．对角线互相垂直的四边形是平行四边形B ．有一个角是直角的四边形是矩形C ．对角线互相平分的四边形是菱形D ．对角线互相垂直的矩形是正方形【答案】D【分析】分别根据平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理进行判断即可．【详解】对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A 错误，不符合题意；有三个角是直角的四边形是矩形，故B 错误，不符合题意；对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C 错误，不符合题意；对角线互相垂直的矩形是正方形，故D 正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理，熟练掌握知识点是解题的关键．二、填空题17．（2022·江苏扬州）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片ABC ，第1次折叠使点B 落在BC 边上的点B '处，折痕AD 交BC 于点D ；第2次折叠使点A 落在点D 处，折痕MN 交AB '于点P ．若12BC =，则MP MN +=_____________． 【答案】6【分析】根据第一次折叠的性质求得12BD DB BB ''==和AD BC ⊥，由第二次折叠得到AM DM =，MN AD ⊥，进而得到MN BC ，易得MN 是ADC 的中位线，最后由三角形的中位线求解．【详解】解：⊥已知三角形纸片ABC ，第1次折叠使点B 落在BC 边上的点B '处，折痕AD 交BC 于点D ，⊥12BD DB BB ''==，AD BC ⊥． ⊥第2次折叠使点A 落在点D 处，折痕MN 交AB '于点P ，⊥AM DM =，AN ND =，⊥MN AD ⊥，⊥MN BC ．⊥AM DM =，⊥MN 是ADC 的中位线，⊥12MP DB '=，12MN DC =． ⊥12BC =，2BD DC CB BD BC +=+'=，⊥()111162222MP MN DB DC DB DB B C BC +=+=+='+''='． 故答案为：6．【点睛】本题主要考查了折叠的性质和三角形中位线的性质，理解折叠的性质，三角形的中位线性质是解答关键．18．（2022·江苏连云港）如图，在ABCD 中，150ABC ∠=︒．利用尺规在BC 、BA 上分别截取BE 、BF ，使BE BF =；分别以E 、F 为圆心，大于12EF 的长为半径作弧，两弧在CBA ∠内交于点G ；作射线BG 交DC于点H ．若1AD =，则BH 的长为_________． 【答案】2【分析】如图所示，过点H 作HM ⊥BC 于M ，由作图方法可知，BH 平分⊥ABC ，即可证明⊥CBH =⊥CHB ，得到1CH BC ==，从而求出HM ，CM 的长，进而求出BM 的长，即可利用勾股定理求出BH 的长．【详解】解：如图所示，过点H 作HM ⊥BC 于M ，由作图方法可知，BH 平分⊥ABC ，⊥⊥ABH =⊥CBH ，⊥四边形ABCD 是平行四边形，⊥1BC AD AB CD ==∥，，⊥⊥CHB =⊥ABH ，⊥C =180°-⊥ABC =30°，⊥⊥CBH =⊥CHB ，⊥1CH BC ==，⊥12HM CH ==⊥CM ==，⊥BM BC CM =-=⊥BH ==【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等等，正确求出CH 的长是解题的关键．19．（2022·四川南充）数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的A ，B 两点的距离，同学们在AB 外选择一点C ，测得,AC BC 两边中点的距离DE 为10m （如图），则A ，B 两点的距离是_______________m ．【答案】20【分析】根据题意得出DE 为∆ABC 的中位线，然后利用其性质求解即可．【详解】解：⊥点D 、E 为AC ，BC 的中点，⊥DE 为∆ABC 的中位线，⊥DE =10，⊥AB =2DE =20，故答案为：20．【点睛】题目主要考查三角形中位线的判定和性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解题关键． 20．（2022·湖南株洲）如图所示，已知60MON ∠=︒，正五边形ABCDE 的顶点A 、B 在射线OM 上，顶点E 在射线ON 上，则AEO ∠=_________度．【答案】48【分析】EAO ∠是正五边形的一个外角，利用多边形外交和360°算出一个外角EAO ∠，再利用OAE △的内角和180°，即可算出【详解】⊥四边形ABCDE 是正五边形，EAO ∠是一个外角 ⊥360725EAO ︒∠==︒ 在OAE △中：180180726048AEO EAO MON ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒故答案为：48【点睛】本题考查多边形外角和和三角形内角和，注意多边形外角和均为360°21．（2022·四川遂宁）如图，正六边形ABCDEF 的顶点A 、F 分别在正方形BMGH 的边BH 、GH 上．若正方形BMGH 的边长为6，则正六边形ABCDEF 的边长为______．【答案】4【分析】连接BE ，根据正六边形的特点可得//BE AF ，根据含30度角的直角三角形的性质即可求解．【详解】如图，连接BE ，正六边形ABCDEF 的顶点A 、F 分别在正方形BMGH 的边BH 、GH 上 正六边形每个内角为360180=1202︒-︒，BE 为对称轴 180ABE BAF ∴∠+∠=︒//AF BE ∴则60ABE HAF ∠=∠=︒=FEB ∠则30AFH ∠=︒，正方形BMGH 的边长为66BH ∴=， 12AH AF =设AH x =，则26x x += 解得2x =24BA x ∴==故答案为：4 【点睛】本题考查了正多边形的性质，正方形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．22．（2022·浙江舟山）正八边形的一个内角的度数是____ 度．【答案】135【分析】根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为正整数）求出内角和，然后再计算一个内角的度数即可.【详解】正八边形的内角和为：（8﹣2）×180°=1080°，每一个内角的度数为：1080°÷8=135°，故答案为135.23．（2022·江西）正五边形的外角和等于_______◦．【答案】360【详解】试题分析：任何n边形的外角和都等于360度.考点：多边形的外角和.24．（2020·湖南湘西）一个正多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数是______．【答案】6【分析】利用正多边形的外角和以及正多边形的内角和定理即可解决问题．【详解】解：∵正多边形的外角和是360度，正多边形的内角和是外角和的2倍，则内角和是720度，720÷180+2=6，∴这个多边形的边数为6．故答案为：6．【点睛】本题主要考查了正多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．25．（2022·湖南常德）剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；……；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为________．【答案】6【分析】根据多边形的内角和进行即可求解．【详解】解：根据题意用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，则每剪一次，所有的多边形的内角和增加360°，10张纸片，则剪了9次，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，设还有一张多边形纸片的边数为n，()()()∴-⨯︒+⨯︒+-⨯︒⨯+-⨯︒=︒+︒⨯，52180318042180521803603609n解得6n =．故答案为：6．【点睛】本题考查了多边形内角和公式，理解题意是解题的关键．26．（2022·浙江台州）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 的中点．若EF 的长为10，则CD 的长为________．【答案】10【分析】根据三角形中位线定理求出AB ，根据直角三角形的性质解答．【详解】解：∵E 、F 分别为BC 、AC 的中点，∴AB ＝2EF ＝20，∵∠ACB ＝90°，点D 为AB 的中点， ∴1102CD AB ==， 故答案为：10．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．27．（2022·湖北荆州）如图，点E ，F 分别在□ABCD 的边AB ，CD 的延长线上，连接EF ，分别交AD ，BC 于G ，H ．添加一个条件使⊥AEG ⊥⊥CFH ，这个条件可以是______．（只需写一种情况）【答案】AE CF =（答案不唯一）【分析】由平行四边形的性质可得：,A C ∠=∠ 证明,E F ∠=∠ 再补充两个三角形中的一组相对应的边相等即可． 【详解】解： ABCD ，,,AB CD A C ∥,F E 所以补充：,AE CF =∴ ⊥AEG ⊥⊥CFH ，故答案为：AE CF =（答案不唯一）【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握“平行四边形的性质与利用ASA证明三角形全等”是解本题的关键．28．（2022·江苏苏州）如图，在平行四边形ABCD 中，AB AC ⊥，3AB =，4AC =，分别以A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，过M ，N 两点作直线，与BC 交于点E ，与AD 交于点F ，连接AE ，CF ，则四边形AEC F 的周长为______．【答案】10【分析】根据作图可得MN AC ⊥，且平分AC ，设AC 与MN 的交点为O ，证明四边形AECF 为菱形，根据平行线分线段成比例可得AE 为ABC 的中线，然后勾股定理求得BC ，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得AE 的长，进而根据菱形的性质即可求解．【详解】解：如图，设AC 与MN 的交点为O ，根据作图可得MN AC ⊥，且平分AC ，AO OC ∴=，四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴∥，FAO OCE ∴∠=∠，又AOF COE ∠=∠，AO CO = ，AOF COE ∴≌，AF EC ∴=，AF CE ∥，∴四边形AECF 是平行四边形， MN 垂直平分AC ，EA EC ∴=，∴四边形AECF 是菱形，AB AC ⊥，MN AC ⊥，EF AB ∴∥，1BE OCEC AO∴==，E ∴为BC 的中点，Rt ABC △中， 3AB =，4AC =，5BC ∴，1522AE BC ==， ∴四边形AEC F 的周长为410AE =．故答案为：10．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，菱形的性质与判定，勾股定理，平行线分线段成比例，平行四边形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．29．（2022·湖南邵阳）如图，在等腰ABC 中，120A ∠=︒，顶点B 在ODEF 的边DE 上，已知140∠=︒，则2∠=_________．【答案】110º【分析】先根据等腰三角形的性质求出⊥ABC 的度数；再根据平行四边形对边平行和两直线平行同旁内角互补的性质，得出⊥2+⊥ABE =180º，代入求解即可．【详解】解：⊥ABC 是等腰三角形，⊥A =120º，⊥⊥ABC =⊥C =(180º-⊥A )÷2=30º，⊥四边形ODEF 是平行四边形，⊥OF ∥DE ，⊥⊥2+⊥ABE =180º，即⊥2+30º+40º=180º，⊥⊥2=110º．故答案为：110º．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质和平行四边形的性质，解题的关键是数形结合，熟练运用上述知识求解．30．（2022·甘肃武威）如图，在四边形ABCD 中，AB DC ，AD BC ∥，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD 成为一个矩形，只需添加的一个条件是_______________．【答案】90A ∠=︒（答案不唯一）【分析】】先证四边形ABCD 是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论．【详解】解：需添加的一个条件是⊥A =90°，理由如下：⊥AB ⊥DC ，AD ⊥BC ，⊥四边形ABCD 是平行四边形，又⊥⊥A =90°，⊥平行四边形ABCD 是矩形，故答案为：⊥A =90°（答案不唯一）．【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．31．（2022·山东滨州）如图，在矩形ABCD 中，5,10AB AD ==．若点E 是边AD 上的一个动点，过点E 作EF AC ⊥且分别交对角线AC ，直线BC 于点O 、F ，则在点E 移动的过程中，AF FE EC ++的最小值为________． 【答案】25552+ 【分析】过点D 作BM EF ∥交BC 于M ，过点A 作AN EF ∥，使AN EF =，连接NE ，当N 、E 、C 三点共线时，AF FE EC CN AN ++≥+，分别求出CN 、AN 的长度即可．【详解】过点D 作DM EF ∥交BC 于M ，过点A 作AN EF ∥，使AN EF =，连接NE ，∴四边形ANEF 是平行四边形，∴,AN EF AF NE ==，∴当N 、E 、C 三点共线时，AF CE +最小，四边形ABCD 是矩形，5,10AB AD ==，10,5,,90AD BC AB CD AD BC ABC ∴====∠=︒∥，AC ∴=∴四边形EFMD 是平行四边形，DM EF ∴=，DM EF AN ∴==，EF AC ⊥，,DM AC AN AC ∴⊥⊥，90CAN ∴∠=︒，90MDC ACD ACD ACB ∴∠+∠=︒=∠+∠，MDC ACB ∴∠=∠，tan tanMDC ACB∴∠=∠，即MC ABCD BC=，52MC∴=，在Rt CDM中，由勾股定理得DM AN===，在Rt ACN中，由勾股定理得252CN==，AF FE EC CN AN ++≥+，∴AF FE EC++≥，AF FE EC ∴++【点睛】本题考查了利用轴对称求最短距离问题，勾股定理，矩形的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，熟练掌握知识点，准确作出辅助线是解题的关键．三、解答题32．（2022·浙江嘉兴）小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．【答案】赞成小洁的说法，补充,OA OC=证明见解析【分析】先由OB＝OD，,OA OC=证明四边形ABCD是平行四边形，再利用对角线互相垂直，从而可得结论．【详解】解：赞成小洁的说法，补充.OA OC=证明：⊥OB＝OD，,OA OC=∴四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，⊥四边形ABCD是菱形．【点睛】本题考查的是平行四边形的判定，菱形的判定，掌握“菱形的判定方法”是解本题的关键． 33．（2022·浙江温州）如图，在ABC 中，AD BC ⊥于点D ，E ，F 分别是,AC AB 的中点，O 是DF 的中点，EO 的延长线交线段BD 于点G ，连结DE ，EF ，FG ．(1)求证：四边形DEFG 是平行四边形．(2)当5AD =，5tan 2EDC ∠=时，求FG 的长． 【答案】(1)见解析【分析】（1）根据E ，F 分别是AC ，AB 的中点，得出EF BC ∥，根据平行线的性质，得出FEO DGO ∠=∠，EFO GDO ∠=∠，结合O 是DF 的中点，利用“AAS”得出EFO GDO △≌△，得出EF GD =，即可证明DEFG 是平行四边形；（2）根据AD BC ⊥，E 是AC 中点，得出12DE AC EC ==，即可得出5tan tan 2C EDC =∠=，即52AD DC =，根据5AD =，得出CD =2，根据勾股定理得出AC 的长，即可得出DE ，根据平行四边形的性，得出FG DE ==(1)解：（1）⊥E ，F 分别是AC ，AB 的中点，⊥EF BC ∥，⊥FEO DGO ∠=∠，EFO GDO ∠=∠，⊥O 是DF 的中点，⊥FO DO =，⊥()EFO GDO AAS ≌，⊥EF GD =，⊥四边形DEFG 是平行四边形．(2)⊥AD BC ⊥，E 是AC 中点， ⊥12DE AC EC ==，⊥EDC C ∠=∠， ⊥5tan tan 2C EDC =∠=， ⊥52AD DC =， ⊥5AD =，⊥2CD =，⊥1122DE AC ====． ⊥四边形DEFG 为平行四边形，⊥FG DE == 【点睛】本题主要考查了平行线四边形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，三角形全等的判定和性质，三角函数的定义，平行线的性质，中位线的性质，根据题意证明EFO GDO △≌△，是解题的关键．34．（2022·云南）如图，在平行四边形ABCD 中，连接BD ，E 为线段AD 的中点，延长BE 与CD 的延长线交于点F ，连接AF ，⊥BDF =90°(1)求证：四边形ABDF 是矩形；(2)若AD =5，DF =3，求四边形ABCF 的面积S ．【答案】(1)见解析；(2)18．【分析】（1）根据平行四边形的性质及全等三角形的判定证得ABE △⊥DFE △，即可得到AB =DF ，从而证明四边形ABDF 是平行四边形，再根据⊥BDF =90°即可证明四边形ABDF 是矩形；（2）根据全等的性质、矩形性质及勾股定理得到AB =DF =3，AF =4，由平行四边形性质求得CF =6，最后利用梯形的面积公式计算即可．(1)证明：⊥四边形ABCD 是平行四边形，⊥AB ⊥CD ，即AB ⊥CF ，⊥⊥BAE =⊥FDE ，⊥E 为线段AD 的中点，⊥AE =DE ，又⊥⊥AEB =⊥DEF ，⊥ABE △⊥DFE △（ASA ），⊥AB =DF ，又⊥AB ⊥DF ，⊥四边形ABDF 是平行四边形，⊥⊥BDF =90°，⊥四边形ABDF 是矩形；(2)解：由（1）知，四边形ABDF 是矩形，⊥AB =DF =3，⊥AFD =90°，⊥在Rt ADF 中，4AF =，⊥四边形ABCD 是平行四边形，⊥AB =CD =3，⊥CF =CD +DF =3+3=6， ⊥()()113641822S AB CF AF =+=⨯+⨯=． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握各性质及判定定理进行推理是解题的关键．35．（2022·四川凉山）在Rt ⊥ABC 中，⊥BAC ＝90°，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作AF ⊥BC 交CE 的延长线于点F ．(1)求证：四边形ADBF 是菱形；(2)若AB ＝8，菱形ADBF 的面积为40，求AC 的长．【答案】(1)见解析(2)10【分析】（1）证△AEF ⊥⊥DEC （AAS ），得△AEF ⊥⊥DEC （AAS ），再证四边形ADBF 是平行四边形，然后由直角三角形斜边中线等于斜边的一半得证AD =BD =12BC ，即可由菱形判定定理得出结论；（2）连接DF 交AB 于O ，由菱形面积公式S 菱形ADBF =12AB DF ⋅=40，求得OD 长，再由菱形性质得OA =OB ，证得OD 是三角形的中位线，由中位线性质求解可．(1)证明：⊥E 是AD 的中点，⊥AE =DE⊥AF ∥BC ，⊥⊥AFE =⊥DCE ，在△AEF 和△DEB 中，AFE DCE AEF DEC AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥AEF ⊥⊥DEC （AAS ），⊥AF =CD ，⊥D 是BC 的中点，⊥CD =BD ，⊥AF =BD ，⊥四边形ADBF 是平行四边形，⊥⊥BAC =90°，⊥D 是BC 的中点，⊥AD =BD =12BC ，⊥四边形ADBF 是菱形；(2)解：连接DF 交AB 于O ，如图 由（1）知：四边形ADBF 是菱形，⊥AB ⊥DF ，OA =12AB =12×8=4， S 菱形ADBF =12AB DF ⋅=40，⊥182DF ⨯=40， ⊥DF =10，⊥OD =5，⊥四边形ADBF 是菱形，⊥O 是AB 的中点,⊥D 是BC 的中点，⊥OD 是⊥BAC 的中位线，⊥AC =2OD =2×5=10．答：AC 的长为10．【点睛】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线的性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．36．（2022·四川自贡）如图，用四根木条钉成矩形框ABCD ，把边BC 固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．(1)通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段EB 由AB 旋转得到，所以EB AB =．我们还可以得到FC ＝ ， EF ＝ ；(2)进一步观察，我们还会发现EF ⊥AD ，请证明这一结论；(3)已知BC 30,DC 80==cm cm ，若BE 恰好经过原矩形DC 边的中点H ，求EF 与BC 之间的距离．【答案】(1)CD ，AD ；(2)见解析；(3)EF 于BC 之间的距离为64cm ．【分析】（1）由推动矩形框时，矩形ABCD 的各边的长度没有改变，可求解；（2）通过证明四边形BEFC 是平行四边形，可得结论；（3）由勾股定理可求BH 的长，再证明△BCH ⊥⊥BGE ，得到BH CH BE EG=，代入数值求解EG ，即可得到答案． (1)解：⊥ 把边BC 固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．。
2022年全国中考数学真题分类汇编专题12：四边形
2022年全国中考数学真题分类汇编专题12：四边形一．选择题（共18小题）1．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，∠ABC ＝60°，BD＝4 ，则OE＝（）A．4B．2 C．2D．2．如图，四边形ABCD的内角和等于（）A．180°B．270°C．360°D．540°3．如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上，且CE＝1，∠ABE的平分线交AD 于点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为（）A． B． C．2 D．4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中错误的是（）A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠DAC＝∠BAC 5．正多边形的每个内角为108°，则它的边数是（）A．4B．6C．7D．56．一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1，则这个正多边形是（）A．正方形B．正六边形C．正八边形D．正十边形7．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，动点E在AB边上（与点A，B均不重合），点F在对角线AC上，CE与BF相交于点G，连接AG，DF，若AF＝BE，则下列结论错误的是（）A．DF＝CE B．∠BGC＝120°C．AF2＝EG•EC D．AG的最小值为8．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是（）A．4B．8C．12D．169．如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形．若AB＝2，则OE 的长度为（）A． B． C． D．10．要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是（）A．测量两条对角线是否相等B．度量两个角是否是90°C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等D．测量两组对边是否分别相等11．如图，将菱形纸片沿着线段AB剪成两个全等的图形，则∠1的度数是（）A．40°B．60°C．80°D．100°12．如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，点E是DA中点，F是对角线AC上一点，且∠DEF＝45°，则AF：FC的值是（）A．3B． 1C．2 1D．213．如图，在▱ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM的长为（）A．2B．4C．6D．814．如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形，这个五边形的内角和是（）A．900°B．720°C．540°D．360°15．如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，点E，F分别在AD，BC边上，EF∥AB，AE＝AB，AF与BE相交于点O，连接OC．若BF＝2CF，则OC与EF之间的数量关系正确的是（）A．2OC EF B． OC＝2EF C．2OC EF D．OC＝EF 16．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD，其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（）A．四边形ABCD周长不变B．AD＝CDC．四边形ABCD面积不变D．AD＝BC17．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10cm，BC＝8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（）A．当t＝4s时，四边形ABMP为矩形B．当t＝5s时，四边形CDPM为平行四边形C．当CD＝PM时，t＝4sD．当CD＝PM时，t＝4s或6s18．如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在E处．若∠1＝56°，∠2＝42°，则∠A的度数为（）A．108°B．109°C．110°D．111°二．填空题（共19小题）19．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线交AD，BC于点E，F，若AB ＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为．20．如图，在▱ABCD中，AD＝10，对角线AC与BD相交于点O，AC+BD＝22，则△BOC 的周长为．21．如图所示，在▱ABCD中，AC，BD交于点O， R ， ，则 ．22．图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中∠ABC的度数是°．23．如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，只需添加一个条件即可证明四边形ABED 是菱形，这个条件可以是．（写出一个即可）24．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝80°，延长BC到E，在∠DCE内作射钱CM，使得∠ECM＝30°，过点D作DF⊥CM，垂足为F．若DF ，则BD的长为（结果保留根号）．25．如图，CD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC，BC的平行线，交BC于点E，交AC于点F．若∠ACB＝60°，CD＝4 ，则四边形CEDF的周长是．26．如图，在正六边形ABCDEF中，M，N是对角线BE上的两点．添加下列条件中的一个：①BM＝EN；②∠FAN＝∠CDM；③AM＝DN；④∠AMB＝∠DNE．能使四边形AMDN是平行四边形的是（填上所有符合要求的条件的序号）．27．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且AF AC，连接EF．若AC＝10，则EF＝．28．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在OB上，连接AE，点F为CD的中点，连接OF．若AE＝BE，OE＝3，OA＝4，则线段OF的长为．29．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，AE＝AF，∠EAF＝30°，则∠AEB＝°；若△AEF的面积等于1，则AB的值是．30．在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，点E在边CD上，且CE＝4，点P是直线BC上的一个动点．若△APE是直角三角形，则BP的长为．31．正六边形的一个外角的度数为°．32．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点P为BC边上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ长度的最小值为．33．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．若AC＝10，则四边形OCED的周长是．34．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BAD＝60°，AD＝3，AH是∠BAC的平分线，CE⊥AH于点E，点P是直线AB上的一个动点，则OP+PE的最小值是．35．如图，折叠边长为4cm的正方形纸片ABCD，折痕是DM，点C落在点E处，分别延长ME、DE交AB于点F、G，若点M是BC边的中点，则FG＝cm．36．如图，在正方形ABCD中，AB＝4 ，对角线AC，BD相交于点O．点E是对角线AC 上一点，连接BE，过点E作EF⊥BE，分别交CD，BD于点F，G，连接BF，交AC于点H，将△EFH沿EF翻折，点H的对应点H′恰好落在BD上，得到△EFH′．若点F 为CD的中点，则△EGH′的周长是．37．四边形的外角和度数是．三．解答题（共7小题）38．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD，A在y轴的正半轴上，B，C在x轴上，AD∥BC，BD平分∠ABC，交AO于点E，交AC于点F，∠CAO＝∠DBC．若OB，OC 的长分别是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，且OB＞OC．请解答下列问题：（1）求点B，C的坐标；（2）若反比例函数y （k≠0）图象的一支经过点D，求这个反比例函数的解析式；（3）平面内是否存在点M，N（M在N的上方），使以B，D，M，N为顶点的四边形是边长比为2：3的矩形？若存在，请直接写出在第四象限内点N的坐标；若不存在，请说明理由．39．如图，点A，F，C，D在同一直线上，AB＝DE，AF＝CD，BC＝EF．（1）求证：∠ACB＝∠DFE；（2）连接BF，CE，直接判断四边形BFEC的形状．40．【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形ABCD 为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中AD AB．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在AD上，点B的对应点为点E，折痕为AF；再沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上，点C的对应点为点H，折痕为FG；然后连结AG，沿AG所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想△ADG≌△AFG．【问题解决】小亮对上面△ADG≌△AFG的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．由折叠可知，∠BAF ∠BAD＝45°，∠BFA＝∠EFA．∴∠EFA＝∠BFA＝45°．∴AF AB＝AD请你补全余下的证明过程．【结论应用】（1）∠DAG的度数为度， 的值为；（2）在图①的条件下，点P在线段AF上，且AP AB，点Q在线段AG上，连结FQ、PQ，如图②．设AB＝a，则FQ+PQ的最小值为．（用含a的代数式表示）41．如图，在▱ABCD中，AB＝4，AD＝BD ，点M为边AB的中点．动点P从点A 出发，沿折线AD﹣DB以每秒 个单位长度的速度向终点B运动，连结PM．作点A 关于直线PM的对称点A'，连结A'P、A'M．设点P的运动时间为t秒，（1）点D到边AB的距离为；（2）用含t的代数式表示线段DP的长；（3）连结AD，当线段A'D最短时，求△DPA'的面积；（4）当M、A'、C三点共线时，直接写出t的值．42．已知点E在正方形ABCD的对角线AC上，正方形AFEG与正方形ABCD有公共点A．（1）如图1，当点G在AD上，F在AB（2）将正方形AFEG绕A点逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），如图2，求 的值为多少；（3）AB＝8 ，AG ，将正方形AFEG绕A逆时针方向旋转α（0°＜α＜360°），当C，G，E三点共线时，请直接写出DG的长度．43．如图，在▱ABCD中，DF平分∠ADC，交AB于点F，BE∥DF，交AD的延长线于点E．若∠A＝40°，求∠ABE的度数．44．（1）发现：如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交CD边于G点．求证：△BFG≌△BCG；（2）探究：如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD＝8，AB＝6．将△AEB 沿BE翻折到△BEF处，延长EF交BC边于G点，延长BF交CD边于点H，且FH＝CH，求AE的长．（3）拓展：如图③，在菱形ABCD中，AB＝6，E为CD边上的三等分点，∠D＝60°．将△ADE沿AE翻折得到△AFE，直线EF交BC于点P，求PC的长．。
2022年山西省中考数学真题(含解析答案)
问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N，猜想证明：
（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；
A. B. C. D.
10.如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在 上的点C处，图中阴影部分的面积为（）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11.计算 的结果是________．
12.根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强 是它的受力面积 的反比例函数，其函数图象如图所示，当 时，该物体承受的压强p的值为_________Pa．
13.生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多，为了解甲、乙两个品种大豆的光合作用速率，科研人员从甲、乙两个品种的大豆中各选五株，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率（单位： ），结果统计如下：
品种
第一株
第二株
第三株
第四株
第五株
平均数
甲
32
30
25
18
20
25
乙
28
25
26
问题解决：
（2）如图②，在三角板旋转过程中，当 时，求线段CN的长；
（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长．
23.综合与探究
如图，二次函数 的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线 轴于点D，作直线BC交PD于点E
2022年全国各省中考数学真题分类解析矩形
（2022•舟山中考）如图，在Rt △ABC 和Rt △BDE 中，∠ABC ＝∠BDE ＝90°，点A 在边DE 的中点上，若AB ＝BC ，DB ＝DE ＝2，连结CE ，则CE 的长为（ ）A ．√14B ．√15C ．4D ．√17【解析】选D ．作EF ⊥CB 交CB 的延长线于点F ，作EG ⊥BA 交BA 的延长线于点G ， ∵DB ＝DE ＝2，∠BDE ＝90°，点A 是DE 的中点， ∴BE =√BD 2+DE 2=√22+22=2√2，DA ＝EA ＝1， ∴AB =√BD 2+AD 2=√22+12=√5， ∵AB ＝BC ，∴BC =√5， ∵AE⋅BD 2=AB⋅EG 2，∴1×22=√5⋅EG2，解得EG =2√55，∵EG ⊥BG ，EF ⊥BF ，∠ABF ＝90°， ∴四边形EFBG 是矩形，∴EG ＝BF =2√55，∵BE ＝2√2，BF =2√55， ∴EF =√BE 2−BF 2=√(2√2)2−(2√55)2=6√55，CF ＝BF +BC =2√55+√5=7√55， ∵∠EFC ＝90°，∴EC =√EF 2+CF 2=√(6√55)2+(7√55)2=√17.（2022·安徽中考）两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝（ ）A ．α﹣90°B ．α﹣45°C ．180°﹣αD ．270°﹣α 【解析】选C ．由图可得， ∠1＝90°+∠3，∵∠1＝α，∴∠3＝α﹣90°，∵∠3+∠2＝90°，∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣（α﹣90°）＝90°﹣α+90°＝180°﹣α.（2022•连云港中考）如图，将矩形ABCD 沿着GE 、EC 、GF 翻折，使得点A 、B 、D 恰好都落在点O 处，且点G 、O 、C 在同一条直线上，同时点E 、O 、F 在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF ∥EC ；②AB =4√35AD ；③GE =√6DF ；④OC ＝2√2OF ；⑤△COF ∽△CEG ．其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．①④⑤D ．②③④【解析】选B ．由折叠性质可得：DG ＝OG ＝AG ，AE ＝OE ＝BE ，OC ＝BC ， ∠DGF ＝∠FGO ，∠AGE ＝∠OGE ，∠AEG ＝∠OEG ，∠OEC ＝∠BEC ， ∴∠FGE ＝∠FGO +∠OGE ＝90°，∠GEC ＝∠OEG +∠OEC ＝90°， ∴∠FGE +∠GEC ＝180°， ∴GF ∥CE ，故①正确；设AD ＝2a ，AB ＝2b ，则DG ＝OG ＝AG ＝a ，AE ＝OE ＝BE ＝b ， ∴CG ＝OG +OC ＝3a ，在Rt △CGE 中，CG 2＝GE 2+CE 2，（3a ）2＝a 2+b 2+b 2+（2a ）2，解得：b =√2a ，∴AB =√2AD ，故②错误； 在Rt △COF 中，设OF ＝DF ＝x ，则CF ＝2b ﹣x ＝2√2a ﹣x ， ∴x 2+（2a ）2＝（2√2a ﹣x ）2，解得：x =√22a ，∴√6DF =√6×√22a =√3a ，2√2OF ＝2√2×√22a ＝2a ，在Rt △AGE 中，GE =√AG 2+AE 2=√3a ， ∴GE =√6DF ，OC ＝2√2OF ，故③④正确；无法证明∠FCO ＝∠GCE ，∴无法判断△COF ∽△CEG ，故⑤错误； 综上，正确的是①③④.（2022•泰安中考）如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝4，点P 是线段BC 上一动点，点M 为线段AP 上一点，∠ADM ＝∠BAP ，则BM 的最小值为（ ）A ．52B ．125C ．√13−32D ．√13−2【解析】选D ．如图，取AD 的中点O ，连接OB ，OM ．∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠BAD ＝90°，AD ＝BC ＝4， ∴∠BAP +∠DAM ＝90°， ∵∠ADM ＝∠BAP ， ∴∠ADM +∠DAM ＝90°， ∴∠AMD ＝90°， ∵AO ＝OD ＝2， ∴OM =12AD ＝2，∴点M 的运动轨迹是以O 为圆心，2为半径的⊙O ． ∵OB =√AB 2+AO 2=√32+22=√13， ∴BM ≥OB ﹣OM =√13−2， ∴BM 的最小值为√13−2（2022•达州中考）如图，点E 在矩形ABCD 的AB 边上，将△ADE 沿DE 翻折，点A 恰好落在BC 边上的点F 处，若CD ＝3BF ，BE ＝4，则AD 的长为（ ）A ．9B ．12C ．15D ．18【解析】选C ．∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ＝BC ，∠A ＝∠EBF ＝∠BCD ＝90°， ∵将矩形ABCD 沿直线DE 折叠， ∴AD ＝DF ＝BC ，∠A ＝∠DFE ＝90°， ∴∠BFE +∠DFC ＝∠BFE +∠BEF ＝90°， ∴∠BEF ＝∠CFD ， ∴△BEF ∽△CFD ，（2022•湖州中考）如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BE，DF．将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结GF．则下列结论不正确的是（）A．BD＝10B．HG＝2C．EG∥FH D．GF⊥BC【解析】选D．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，BC＝AD，∵AB＝6，BC＝8，∴BD=√AB2+AD2=√62+82=10，故A选项不符合题意；∵将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，∴AB＝BG＝6，CD＝DH＝6，∴GH＝BG+DH﹣BD＝6+6﹣10＝2，故B选项不符合题意；∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝90°，∵将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，∴∠A＝∠BGE＝∠C＝∠DHF＝90°，∴EG∥FH．故C选项不符合题意；（2022•黄冈中考）如图，在矩形ABCD 中，AB ＜BC ，连接AC ，分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧交于点M ，N ，直线MN 分别交AD ，BC 于点E ，F ．下列结论： ①四边形AECF 是菱形； ②∠AFB ＝2∠ACB ； ③AC •EF ＝CF •CD ；④若AF 平分∠BAC ，则CF ＝2BF ． 其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【解析】选B.根据题意知，EF 垂直平分AC ，在△AOE 和△COF 中，{∠EAO =∠FCO∠AOE =∠COF =90°AO =CO ，∴△AOE ≌△COF （AAS ），∴OE ＝OF ，∴AE ＝AF ＝CF ＝CE ，即四边形AECF 是菱形，故①结论正确； ∵∠AFB ＝∠FAO +∠ACB ，AF ＝FC ，∴∠FAO ＝∠ACB ， ∴∠AFB ＝2∠ACB ，故②结论正确；2901 （2022•宜宾中考）如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，将△BCD 沿BD 折叠到△BED 位置，DE 交AB 于点F ，则cos ∠ADF 的值为（ ）A ．817B ．715C ．1517D ．815【解析】选C ．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝90°，AB ∥CD ，AD ＝BC ＝3，AB ＝CD ＝5，∴∠BDC ＝∠DBF ， 由折叠的性质可得∠BDC ＝∠BDF ， ∴∠BDF ＝∠DBF ，∴BF ＝DF ， 设BF ＝x ，则DF ＝x ，AF ＝5﹣x ， 在Rt △ADF 中，32+（5﹣x ）2＝x 2， ∴x =175，∴cos ∠ADF =3175=1517.（2022•陕西中考）在下列条件中，能够判定▱ABCD 为矩形的是（ ）A ．AB ＝ACB ．AC ⊥BDC ．AB ＝ADD ．AC ＝BD【解析】选D ．A 、▱ABCD 中，AB ＝AC ，不能判定▱ABCD 是矩形，故选项A 不符合题意；B 、∵▱ABCD 中，AC ⊥BD ，∴▱ABCD 是菱形，故选项B 不符合题意；C 、∵▱ABCD 中，AB ＝AD ，∴▱ABCD 是菱形，故选项C 不符合题意；D 、∵▱ABCD 中，AC ＝BD ，∴▱ABCD 是矩形，故选项D 符合题意；【解析】选B ．如图，该垃圾填埋场外围受污染土地的面积＝80×3×2+60×3×2+32π＝（840+9π）m 2（2022•荆州中考）如图，已知矩形ABCD 的边长分别为a ，b ，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD 各边的中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1；第二次，顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边的中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2；…如此反复操作下去，则第n 次操作后，得到四边形A n B n ∁n D n 的面积是（ ）A ．ab 2nB ．ab2n−1C ．ab2n+1D ．ab22n【解析】选A ．如图，连接A 1C 1，D 1B 1，∵顺次连接矩形ABCD 各边的中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1， ∴四边形A 1BCC 1是矩形，∴A 1C 1＝BC ，A 1C 1∥BC ， 同理，B 1D 1＝AB ，B 1D 1∥AB ， ∴A 1C 1⊥B 1D 1，∴S 1=12ab ，∵顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边的中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2， ∴C 2D 2=12A 1C 1，A 2D 2=12B 1D 1， ∴S 2=12A 1C 1×12B 1D 1=14ab ， …… 依此可得S n =ab2n .A ．3B ．175C ．72D ．185【解析】选D ．连接BF ，交AE 于O 点，∵将△ABE 沿AE 折叠得到△AFE ，∴BE ＝EF ，∠AEB ＝∠AEF ，AE 垂直平分BF ，∵点E 为BC 的中点，∴BE ＝CE ＝EF ＝3，∴∠EFC ＝∠ECF ， ∵∠BEF ＝∠ECF +∠EFC ，∴∠AEB ＝∠ECF ，∴AE ∥CF ， ∴∠BFC ＝∠BOE ＝90°，在Rt △ABE 中，由勾股定理得，AE =√AB 2+BE 2=√32+42=5， ∴BO =AB×BE AE =3×45=125，∴BF ＝2BO =245， 在Rt △BCF 中，由勾股定理得， CF =√BC 2−BF 2=√62−(245)2=185． （2022•绥化中考）如图，在矩形ABCD 中，P 是边AD 上的一个动点，连接BP ，CP ，过点B 作射线，交线段CP 的延长线于点E ，交边AD 于点M ，且使得∠ABE ＝∠CBP ，如果AB ＝2，BC ＝5，AP ＝x ，PM ＝y ，其中2＜x ≤5．则下列结论中，正确的个数为（ ） （1）y 与x 的关系式为y ＝x −4x ； （2）当AP ＝4时，△ABP ∽△DPC ； （3）当AP ＝4时，tan ∠EBP =35．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【解析】选C ．（1）过点P 作PF ⊥BC 于点F ，如图，∵四边形ABCD 是矩形，PF ⊥BC ，∴四边形ABFP 是矩形， ∴PF ＝AB ＝2，BF ＝AP ＝x ，∴AM ＝AP ＝PM ＝x ﹣y ． ∵∠ABE ＝∠CBP ，∠A ＝∠PFB ＝90°，∴△ABM ∽△FBP ，∴AM PF=AB BF，∴x−y 2=2x．∴x 2﹣xy ＝4．∴y ＝x −4x ．∴（1）的结论正确； （2）当AP ＝4时，DP ＝AD ﹣AP ＝5﹣4＝1， ∵AB AP=24=12，DB CD=12，∴AB AP=DP DC．∵∠A ＝∠D ＝90°，∴△ABP ∽△DPC ．∴（2）的结论正确； （3）由（2）知：当AP ＝4时，△ABP ∽△DPC ，∴∠ABP ＝∠DPC ．∵∠BP A +∠ABP ＝90°，∴∠APB +∠DPC ＝90°．∴∠CPB ＝90°．∴∠BPE ＝90°．∴tan ∠EBP =PEPB ． 由（1）知：PM ＝AP −4AP =3，BP =√AP 2+AB 2=2√5，CP =√CD 2+DP 2=√5．∵AD ∥BC ，∴PMBC =PEEC ．∴35=PEPE+√5，解得：PE =3√52，∴tan ∠EBP =PE PB =3√522√5=34，∴（3）的结论错误，综上，正确的结论为：（1）（2）．（2022•武威中考）如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ∥BC ，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD成为一个矩形，只需添加的一个条件是 ∠A ＝90°（答案不唯一） ．【解析】需添加的一个条件是∠A ＝90°，理由如下： ∵AB ∥DC ，AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形， 又∵∠A ＝90°，∴平行四边形ABCD 是矩形， 答案：∠A ＝90°（答案不唯一）．【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6cm，∠ABC＝∠C＝90°，AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC，∵AE＝2cm，∴BE＝AB﹣AE＝6﹣2＝4（cm），∵G是EF的中点，∴EG＝BG=12EF，∴∠BEG＝∠ABD，∴∠BEG＝∠BDC，∴△EBF∽△DCB，∴EBDC =BFCB，∴46=BF9，∴BF＝6，∴EF=√BE2+BF2=√42+62=2√13（cm），∴BG=12EF=√13（cm）.答案：√13．（2022•滨州中考）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10．若点E是边AD上的一个动点，过点E作EF⊥AC且分别交对角线AC、直线BC于点O、F，则在点E移动的过程中，AF+FE+EC的最小值为252+5√52．【解析】如图，过点E作EH⊥BC于点H．∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠BAD＝∠BHE＝90°，∴四边形ABHE是矩形，∴EH＝AB＝5，∵BC＝AD＝10，∴AC=√AB2+BC2=√52+102=5√5，∵EF⊥AC，∴∠COF＝90°，∴∠EFH+∠ACB＝90°，∵∠BAC+∠ACB＝90°，∴∠EFH＝∠BAC，∴△EHF∽△CBA，∴EHCB =FHAB=EFAC，∴510=FH5=EF5√5，∴FH=52，EF=5√52，设BF＝x，则DE＝10﹣x−52=152−x，∵EF是定值，∴AF+CE的值最小时，AF+EF+CE的值最小，∵AF +CE =√52+x 2+√(152−x)2+52，∴欲求AF +CE 的最小值相当于在x 轴上找一点P （x ，0），使得P 到A （0，5），B （152，5）的距离和最小，如图1中，作点A 关于x 轴的对称点A ′，连接BA ′交xz 轴于点P ，连接AP ，此时PA +PB 的值最小，最小值为线段A ′B 的长，∵A ′（0，﹣5），B （152，5），∴A ′B =√102+(152)2=252，∴AF +CE 的最小值为252，∴AF +EF +CE 的最小值为252+5√52． 解法二：过点C 作CC ′∥EF ，使得CC ′＝EF ，连接C ′F ．∵EF ＝CC ′，EF ∥CC ′，∴四边形EFC ′C 是平行四边形， ∴EC ＝FC ′，∴AF +EC ＝AF +FC ′≥AC ′=252，∴AF +EF +CE 的最小值为252+5√52．答案：252+5√52． （2022•自贡中考）如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝2，G 是AD 的中点，线段EF 在边AB 上左右滑动，若EF＝1，则GE +CF 的最小值为 3√2 ．【解析】如图，作G 关于AB 的对称点G '，在CD 上截取CH ＝1，然后连接HG '交AB 于E ，在EB 上截取EF ＝1，此时GE +CF 的值最小，∵CH ＝EF ＝1，CH ∥EF ， ∴四边形EFCH 是平行四边形，（2022•丽水中考）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形PQMN ．已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5．AE ＝a ，DE ＝b ，且a ＞b ． （1）若a ，b 是整数，则PQ 的长是 4 ； （2）若代数式a 2﹣2ab ﹣b 2的值为零，则S 四边形ABCDS矩形PQMN的值是 3+2√2 ．【解析】（1）由图可知：PQ ＝a ﹣b ， ∵a ，b 是整数，四个矩形的面积都是5， ∴①的另一条边也是整数，即5a 是整数，∴a ＝5， 同理b ＝1，∴PQ ＝5﹣1＝4， 答案：4；（2）∵a 2﹣2ab ﹣b 2＝0， ∴a 2﹣b 2＝2ab ，（a ﹣b ）2＝2b 2， ∴a ＝b +√2b （负值舍），∵四个矩形的面积都是5．AE ＝a ，DE ＝b ，∴EP =5a ，EN =5b ， 则S 四边形ABCDS矩形PQMN=(a+b)(5a +5b )(a−b)(5b −5a)=(a+b)⋅5b+5a ab (a−b)⋅5a−5bab=a 2+2ab+b 2a 2−2ab+b2=a 2b 2=(√2+1)2b 2b 2=3+2√2．答案：3+2√2．（2022•十堰中考）“美丽乡村”建设使我市农村住宅旧貌变新颜，如图所示为一农村民居侧面截图，屋坡AF ，AG 分别架在墙体的点B ，C 处，且AB ＝AC ，侧面四边形BDEC 为矩形．若测得∠FBD ＝55°，则∠A ＝ 110 °．【解析】∵四边形BDEC 为矩形，∴∠DBC ＝90°，（2022•宜昌中考）如图，在矩形ABCD 中，E 是边AD 上一点，F ，G 分别是BE ，CE 的中点，连接AF ，DG ，FG ，若AF ＝3，DG ＝4，FG ＝5，矩形ABCD 的面积为 48 ．【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAE ＝∠CDE ＝90°，AD ∥BC ， ∵F ，G 分别是BE ，CE 的中点，AF ＝3，DG ＝4，FG ＝5， ∴BE ＝2AF ＝6，CE ＝2DG ＝8，BC ＝2FG ＝10，∴BE 2+CE 2＝BC 2， ∴△BCE 是直角三角形，∠BEC ＝90°， ∴S △BCE =12⋅BE ⋅CE =12×6×8=24，∵AD ∥BC ，∴S 矩形ABCD ＝2S △BCE ＝2×24＝48. 答案：4816．（2022•苏州中考）如图，在矩形ABCD 中，AB BC=23．动点M 从点A 出发，沿边AD 向点D 匀速运动，动点N 从点B 出发，沿边BC 向点C 匀速运动，连接MN ．动点M ，N 同时出发，点M 运动的速度为v 1，点N 运动的速度为v 2，且v 1＜v 2．当点N 到达点C 时，M ，N 两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形MABN 沿MN 翻折，得到四边形MA ′B ′N ．若在某一时刻，点B 的对应点B ′恰好与CD 的中点重合，则v 1v 2的值为35．【解析】如图，设AD 交AB ′于点Q ．设BN ＝NB ′＝x ．∵AB CB=23，∴可以假设AB ＝2k ，CB ＝3k ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ＝3k ，CD ＝AB ＝2k ，∠C ＝∠D ＝90°， 在Rt △CNB ′中，CN 2+CB ′2＝NB ′2， ∴（3k ﹣x ）2+k 2＝x 2，∴x =53k ， ∴NB ′=53k ，CN ＝3k −53k =43k ，由翻折的性质可知∠A ′B ′N ＝∠B ＝90°，∴∠DB ′Q +∠CB ′N ＝90°，∠CB ′N +∠CNB ′＝90°， ∴∠DB ′Q ＝∠CNB ′，∵∠D ＝∠C ＝90°，∴△DB ′Q ∽△CNB ′， ∴DQ ：DB ′：QB ′＝CB ′：CN ：NB ′＝3：4：5， ∵DB ′＝k ，∴DQ =34k ，∵∠DQB ′＝∠MQA ′，∠D ＝∠A ′， ∴△DQB ′∽△A ′QM ，∴A ′Q ：A ′M ：QM ＝DQ ：DB ′：QB ′＝3：4：5， 设AM ＝MA ′＝y ，则MQ =54y ，∵DQ +QM +AM ＝3k ，∴34k +54y +y ＝3k ，∴y ＝k ，∴v 1v 2=AM BN=k53k =35，答案：35（2022•眉山中考）如图，点P 为矩形ABCD 的对角线AC 上一动点，点E 为BC 的中点，连接PE ，PB ，若AB ＝4，BC ＝4√3，则PE +PB 的最小值为 6 ．【解析】如图，作点B 关于AC 的对称点B '，交AC 于点F ，连接B ′E 交AC 于点P ，则PE +PB 的最小值为B ′E 的长度，∵四边形ABCD 为矩形， ∴AB ＝CD ＝4，∠ABC ＝90°， 在Rt △ABC 中，AB ＝4，BC ＝4√3， ∴tan ∠ACB =ABBC =√33， ∴∠ACB ＝30°，由对称的性质可知，B 'B ＝2BF ，B 'B ⊥AC ， ∴BF =12BC ＝2√3，∠CBF ＝60°， ∴B ′B ＝2BF ＝4√3， ∵BE ＝BF ，∠CBF ＝60°， ∴△BEF 是等边三角形， ∴BE ＝BF ＝B 'F ， ∴△BEB '是直角三角形，∴B ′E =√B′B 2−BE 2=√(4√3)2−(2√3)2=6， ∴PE +PB 的最小值为6， 答案：6．（2022•雅安中考）如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，若BC ＝9，CD ＝3，那么阴影部分的面积为152．【解析】根据翻折的性质可知：∠FBD ＝∠DBC ， 又∵AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠DBC ， ∴∠ADB ＝∠FBD ，∴BF ＝DF ， 设BF ＝DF ＝x ，∴AF ＝9﹣x ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝90°， ∴AF 2+AB 2＝BF 2，（9﹣x ）2+32＝x 2， 解得x ＝5，∴S △FDB =12×5×2=152． 答案：152．交AB 于点G ，点P 是线段DG 上的一个动点，则△PEF 的周长最小值为 5+√37 ．【解析】如图，在DC 上截取DT ，使得DT ＝DE ，连接FT ，过点T 作TH ⊥AB 于点H ．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠ADT ＝90°， ∵∠AHT ＝90°，∴四边形AHTD 是矩形， ∵AE ＝DE =12AD ＝3．AF ＝FB =12AB ＝4，∴AH ＝DT ＝3，HF ＝AF ﹣AH ＝4﹣3＝1，HT ＝AD ＝6， ∴FT =√FH 2+TH 2=√12+62=√37，∵DG 平分∠ADC ，DE ＝DT ，∴E 、T 关于DG 对称，∴PE ＝PT ， ∴PE +PF ＝PF +PT ≥FT =√37， ∵EF =√AE 2+AF 2=√32+42=5， ∴△EFP 的周长的最小值为5+√37. 答案：5+√37．（2022•龙东中考）在矩形ABCD 中，AB ＝9，AD ＝12，点E 在边CD 上，且CE ＝4，点P 是直线BC 上的一个动点．若△APE 是直角三角形，则BP 的长为313或154或6 ．【解析】若△APE 是直角三角形，有以下三种情况： ①如图1，∠AEP ＝90°，∴∠AED +∠CEP ＝90°，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠C ＝∠D ＝90°，∴∠CEP +∠CPE ＝90°，∴∠AED ＝∠CPE ， ∴△ADE ∽△ECP ，∴AD CE=DECP ，即124=9−4CP，∴CP =53，∵BC ＝AD ＝12，∴BP ＝12−53=313；②如图2，∠P AE ＝90°，∵∠DAE +∠BAE ＝∠BAE +∠BAP ＝90°，∴∠DAE ＝∠BAP ， ∵∠D ＝∠ABP ＝90°，∴△ADE ∽△ABP ，∴AD AB=DE PB，即129=5BP，∴BP =154； ③如图3，∠APE ＝90°，设BP ＝x ，则PC ＝12﹣x ，同理得：△ABP ∽△PCE ，∴AB PC=BP CE，即912−x=x4，∴x 1＝x 2＝6，∴BP ＝6，综上，BP 的长是313或154或6．答案：313或154或6．（2022•内江中考）如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝4，点E 、F 分别是AB 、DC 上的动点，EF ∥BC ，则AF +CE 的最小值是 10 ．【解析】延长BC 到G ，使CG ＝EF ，连接FG ，∵EF ∥CG ，EF ＝CG ， ∴四边形EFGC 是平行四边形， ∴CE ＝FG ， ∴AF +CE ＝AF +FG ，∴当点A 、F 、G 三点共线时，AF +CE 的值最小为AG ， 由勾股定理得，AG =√AB 2+BG 2=√62+(4+4)2=10， ∴AF +CE 的最小值为10. 答案：10．（2022•遂宁中考）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF．（1）求证：△AOE≌△DFE；（2）判定四边形AODF的形状并说明理由．【解析】（1）证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∵DF∥AC，∴∠OAD＝∠ADF，∵∠AEO＝∠DEF，∴△AOE≌△DFE（ASA）．（2）四边形AODF为矩形．理由：∵△AOE≌△DFE，∴AO＝DF，∵DF∥AC，∴四边形AODF为平行四边形，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，即∠AOD＝90°，∴平行四边形AODF为矩形.（2022•云南中考）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°．（1）求证：四边形ABDF是矩形；（2）若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BA∥CD，∴∠BAE＝∠FDE，∵点E是AD的中点，∴AE＝DE，在△BEA和△FED中，{∠BAE=∠FDE AE=DE∠BEA=∠FED，∴△BEA≌△FED（ASA），∴EF＝EB，又∵AE＝DE，∴四边形ABDF是平行四边形，∵∠BDF＝90°．∴四边形ABDF是矩形；（2）由（1）得四边形ABDF是矩形，∴∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD，（2022•绍兴中考）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点E从点A出发，沿边AD，DC向点C运动，A，D关于直线BE的对称点分别为M，N，连结MN．（1）如图，当E在边AD上且DE＝2时，求∠AEM的度数．（2）当N在BC延长线上时，求DE的长，并判断直线MN与直线BD的位置关系，说明理由．（3）当直线MN恰好经过点C时，求DE的长．【解析】（1）∵DE＝2，∴AE＝AB＝6，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∴∠AEB＝∠ABE＝45°．由对称性知∠BEM＝45°，∴∠AEM＝90°．（2）如图2，∵AB＝6，AD＝8，∴BD＝10，∵当N落在BC延长线上时，BN＝BD＝10，∴CN＝2．由对称性得，∠ENC＝∠BDC，∴cos∠ENC=2EN =610，得EN=103，∴DE＝EN=103．∵BM＝AB＝CD，MN＝AD＝BC，∴Rt△BMN≌Rt△DCB（HL），∴∠DBC＝∠BNM，∴MN∥BD．（3）如图3，当E在边AD上时，∴∠BMC＝90°，∴MC=√BC2−BM2=2√7．∵BM＝AB＝CD，∠DEC＝∠BCE，∴△BCM≌△CED（AAS），∴DE＝MC=2√7．如图4，点E在边CD上时，∵BM＝6，BC＝8，∴MC=2√7，CN＝8−2√7．∵∠BMC＝∠CNE＝∠BCD＝90°，∴△BMC∽△CNE，∴BMCN =MCEN，∴EN=MC⋅CNBM=8√7−143，∴DE＝EN=8√7−143．综上所述，DE的长为2√7或8√7−143．（2022•德阳中考）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2√3cm，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于点H．点F从点B出发沿BD方向以2cm/s向点D匀速运动，同时，点E从点H出发沿HD方向以1cm/s 向点D匀速运动．设点E，F的运动时间为t（单位：s），且0＜t＜3，过F作FG⊥BC于点G，连结EF．（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）连结FC，EC，点F，E在运动过程中，△BFC与△DCE是否能够全等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．【解析】（1）证明：∵EH⊥BC，FG⊥BC，∴EH∥FG，由题意知BF＝2tcm，EH＝tcm，∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴∠CBD＝30°，（2022•南充中考）如图，在矩形ABCD中，点O是AB的中点，点M是射线DC上动点，点P在线段AM上（不与点A重合），OP=12 AB．（1）判断△ABP的形状，并说明理由．（2）当点M为边DC中点时，连接CP并延长交AD于点N．求证：PN＝AN．（3）点Q在边AD上，AB＝5，AD＝4，DQ=85，当∠CPQ＝90°时，求DM的长．【解析】（1）△ABP是直角三角形，理由如下：∵点O是AB的中点，∵OP=12 AB，∴OP＝OA＝OB，∴∠OBP＝∠OPB，∠OAP＝∠APO，∵∠OAP+∠APO+∠OBP+∠BPO＝180°，∴∠APO+∠BPO＝90°，∴∠APB＝90°，∴△ABP是直角三角形；（2）证明：如图1，延长AM，BC交于点Q，∵M是CD的中点，∴DM＝CM，∵∠D＝∠MCQ＝90°，∠AMD＝∠QMC，∴△ADM≌△QCM（ASA），∴AD＝CQ＝BC，∵∠BPQ＝90°，∴PC=12BQ＝BC，∴∠CPB＝∠CBP，∵∠OPB＝∠OBP，∴∠OBC＝∠OPC＝90°，∴∠OPN＝∠OP A+∠APN＝90°，∵∠OAP+∠P AN＝90°，∠OAP＝∠OP A，∴∠APN＝∠P AN，∴PN＝AN；（3）分两种情况：①如图2，点M在CD上时，过点P作GH∥CD，交AD于G，交BC于H，设DM ＝x ，QG ＝a ，则CH ＝a +85，BH ＝AG ＝4−85−a =125−a ， ∵PG ∥DM ，∴△AGP ∽△ADM ，∴PGDM =AG AD ，即PG x =125−a 4， ∴PG =35x −14ax ， ∵∠CPQ ＝90°，∴∠CPH +∠QPG ＝90°，∵∠CPH +∠PCH ＝90°，∴∠QPG ＝∠PCH ，∴tan ∠QPG ＝tan ∠PCH ，即QG PG =PH CH ， ∴PH •PG ＝QG •CH ，同理得：∠APG ＝∠PBH ，∴tan ∠APG ＝tan ∠PBH ，即AG PG =PH BH ， ∴PG •PH ＝AG •BH ＝AG 2，∴AG 2＝QG •CH ，即（125−a ）2＝a （85+a ）， ∴a =910， ∵PG •PH ＝AG 2，∴（35x −940x ）•（5−35x +940x ）＝（125−910）2， 解得：x 1＝12（舍），x 2=43， ∴DM =43；②如图3，当M 在DC 的延长线上时，同理得：DM ＝12，综上，DM 的长是43或12（2022•十堰中考）如图，▱ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别是OA ，OC 的中点．（1）求证：BE ＝DF ；（2）设ACBD =k ，当k 为何值时，四边形DEBF 是矩形？请说明理由．【解析】（1）证明：如图，连接DE ，BF ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BO ＝OD ，AO ＝OC ，∵E ，F 分别为AO ，OC 的中点，∴EO =12OA ，OF =12OC ，∴EO ＝FO ，∵BO ＝OD ，EO ＝FO ，∴四边形BFDE 是平行四边形，∴DE ＝BF ；（2）当k ＝2时，四边形DEBF 是矩形；理由如下：当BD ＝EF 时，四边形DEBF 是矩形，∴当OD ＝OE 时，四边形DEBF 是矩形，∵AE ＝OE ，∴当k ＝2时，四边形DEBF 是矩形．答案：2．（2022•苏州中考）如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 的对应点为点E ，AE 与CD 交于点F ．（1）求证：△DAF ≌△ECF ；（2）若∠FCE ＝40°，求∠CAB 的度数．【解析】（1）将矩形ABCD 沿对角线AC 折叠，则AD ＝BC ＝EC ，∠D ＝∠B ＝∠E ＝90°，在△DAF 和△ECF 中，{∠DFA =∠EFC∠D =∠E DA =EC，∴△DAF ≌△ECF （AAS ）；（2）∵△DAF ≌△ECF ，∴∠DAF ＝∠ECF ＝40°，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DAB ＝90°，（2022•天津中考）将一个矩形纸片OABC 放置在平面直角坐标系中，点O （0，0），点A （3，0），点C （0，6），点P 在边OC 上（点P 不与点O ，C 重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P ，并与x 轴的正半轴相交于点Q ，且∠OPQ ＝30°，点O 的对应点O ′落在第一象限．设OQ ＝t ．（Ⅰ）如图①，当t ＝1时，求∠O ′QA 的大小和点O ′的坐标；（Ⅱ）如图②，若折叠后重合部分为四边形，O ′Q ，O ′P 分别与边AB 相交于点E ，F ，试用含有t 的式子表示O ′E 的长，并直接写出t 的取值范围；（Ⅲ）若折叠后重合部分的面积为3√3，则t 的值可以是 3或103 （请直接写出两个不同的值即可）．【解析】（Ⅰ）如图①中，过点O ′作O ′H ⊥OA 于点H ．在Rt △POQ 中，∠OPQ ＝30°，∴∠PQO ＝60°，由翻折的性质可知QO ＝QO ′＝1，∠PQO ＝∠PQO ′＝60°，∴∠O ′QH ＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴QH ＝QO ′•cos60°=12，O ′H =√3QH =√32，∴OH ＝OQ +QH =32，∴O ′（32，√32）； （Ⅱ）如图②中，∵A （3，0），∴OA ＝3，∵OQ ＝t ，∴AQ ＝3﹣t ．∵∠EQA ＝60°，∴QE ＝2QA ＝6﹣2t ，∵OQ ′＝OQ ＝t ，∴EO ′＝t ﹣（6﹣2t ）＝3t ﹣6（2＜t ＜3）；（Ⅲ）如图③中，当点Q 与A 重合时，重叠部分是△APF ，过点P 作PG ⊥AB 于点G ．在Rt △PGF 中，PG ＝OA ＝3，∠PFG ＝60°，∴PF =PG sin60°=2√3， ∵∠OPA ＝∠APF ＝∠PAF ＝30°，∴FP ＝FA ＝2√3，∴S △APF =12•AF •PG =12×2√3×3＝3√3， 观察图象可知当3≤t ＜2√3时，重叠部分的面积是定值3√3，∴满足条件的t 的值可以为3或103（答案不唯一）． 答案：3或103 （2022•玉林中考）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝4，点E 是DC 边上的任一点（不包括端点D ，C ），过点A 作AF ⊥AE 交CB 的延长线于点F ，设DE ＝a ．（1）求BF 的长（用含a 的代数式表示）；（2）连接EF 交AB 于点G ，连接GC ，当GC ∥AE 时，求证：四边形AGCE 是菱形．【解析】（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ADE ＝∠ABF ＝∠BAD ＝90°，∴∠DAE +∠BAE ＝90°，∵AF ⊥AE ，∴∠BAF +∠BAE ＝90°，∴∠DAE ＝∠BAF ，∴△ADE ∽△ABF ，∴ADAB =DEBF ，即48=a BF ，∴BF ＝2a ，（2）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AG ∥CE ，∵GC ∥AE ，∴四边形AGCE 是平行四边形．∴AG ＝CE ＝8﹣a ，∴BG ＝AB ﹣AG ＝8﹣（8﹣a ）＝a ，在Rt △BGF 中，GF 2＝a 2+（2a ）2＝5a 2，在Rt △CEF 中，EF 2＝（2a +4）2+（8﹣a ）2＝5a 2+80，在Rt△ADE中，AE2＝42+a2＝16+a2，如图，过点G作GM⊥AF于点M，∴GM∥AE，∴△MGF∽△AEF，∴GMAE=GFEF，∴GM2AE2=GF2EF2，∴GM216+a2=5a25a2+80，∴GM＝a，∴GM＝BG，又∵GM⊥AF，GB⊥FC，∴GF是∠AFB的角平分线，∴EA＝EC，∴平行四边形AGCE是菱形．（2022•无锡中考）如图，已知四边形ABCD为矩形，AB＝2√2，BC＝4，点E在BC上，CE＝AE，将△ABC 沿AC翻折到△AFC，连接EF．（1）求EF的长；（2）求sin∠CEF的值．【解析】（1）∵CE＝AE，∴∠ECA＝∠EAC，根据翻折可得：∠ECA＝∠FCA，∠BAC＝∠CAF，∵四边形ABCD是矩形，∴DA∥CB，∴∠ECA＝∠CAD，∴∠EAC＝∠CAD，∴∠DAF＝∠BAE，∵∠BAD＝90°，∴∠EAF＝90°，设CE＝AE＝x，则BE＝4﹣x，在△BAE中，根据勾股定理可得：BA2+BE2＝AE2，即：(2√2)2+(4−x)2=x2，解得：x＝3，在Rt△EAF中，EF=√AF2+AE2=√17．（2）过点F作FG⊥BC交BC于点G，设CG＝x，则GB＝3﹣x，∵FC＝4，FE=√17，∴FG2＝FC2﹣CG2＝FE2﹣EG2，即：16﹣x2＝17﹣（3﹣x）2，解得：x=4 3，∴FG=√FC2−CG2=8√2 3，∴sin∠CEF=FGEF=8√3451．（2022•哈尔滨中考）已知矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD上一点，连接BE，CE，OE，且BE＝CE．（1）如图1，求证：△BEO≌△CEO；（2）如图2，设BE与AC相交于点F，CE与BD相交于点H，过点D作AC的平行线交BE的延长线于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（△AEF除外），使写出的每个三角形的面积都与△AEF的面积相等．【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC=12AC，OB＝OD=12BD，AC＝BD，∴OB＝OC＝OA＝OD，∵BE＝CE，OE＝OE，∴△BEO≌△CEO（SSS）；（2）△DHE，△CHO，△DEG，△BFO都与△AEF的面积相等，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠CDA＝90°AB∥CD，AB＝DC，∵BE＝CE，∴Rt△BAE≌Rt△CDE（HL），∴∠AEB＝∠DEC，AE＝DE，∵OA＝OD，∴∠OEA＝∠OED＝90°，∴∠BAD＝∠OED＝90°，∠ADC＝∠AEO＝90°，∴AB∥OE，DC∥OE，∴S△AEO＝S△BEO，S△DEO＝S△COE，（2022•鄂州中考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠CDF＝∠BDC、∠DCF＝∠ACD．（1）求证：DF＝CF；（2）若∠CDF＝60°，DF＝6，求矩形ABCD的面积．【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴OC=12AC，OD=12BD，AC＝BD，∴OC＝OD，∴∠ACD＝∠BDC，∵∠CDF＝∠BDC，∠DCF＝∠ACD，∴∠CDF＝∠DCF，∴DF＝CF；（2）由（1）可知，DF＝CF，∵∠CDF＝60°，∴△CDF是等边三角形，∴CD＝DF＝6，∵∠CDF＝∠BDC＝60°，OC＝OD，∴△OCD是等边三角形，∴OC＝OD＝6，∴BD＝2OD＝12，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∴BC=√BD2−CD2=√122−62=6√3，∴S矩形ABCD＝BC•CD＝6√3×6＝36√3．（2022•泰州中考）如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线．（1）求证：AF与DE互相平分；（2）当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由．【解析】（1）∵点D是AB的中点，∴AD=12AB，∵点E是AC的中点，点F是BC的中点，（2022•威海中考）（1）将两张长为8，宽为4的矩形纸片如图1叠放．①判断四边形AGCH的形状，并说明理由；②求四边形AGCH的面积．（2）如图2，在矩形ABCD和矩形AFCE中，AB＝2√5，BC＝7，CF=√5，求四边形AGCH的面积．【解析】（1）①四边形AGCH是菱形，理由如下：∵四边形ABCD和四边形AFCE是矩形，∴∠B＝∠F＝90°，AD∥BC，AF∥CE，∴四边形AGCH是平行四边形，∵S平行四边形AGCH＝GC•AB＝AG•CF，AB＝CF，∴GC＝AG，∴平行四边形AGCH是菱形；②由①可知，GC＝AG，设GC＝AG＝x，则BG＝8﹣x，在Rt△ABG中，AB＝4，由勾股定理得：42+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝5，∴GC＝5，∴S菱形AGCH＝GC•AB＝5×4＝20；（2）设GC＝a，则BG＝7﹣a，（2022•海南中考）如图1，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点P在边BC上，且不与点B、C重合，直线AP 与DC的延长线交于点E．（1）当点P是BC的中点时，求证：△ABP≌△ECP；（2）将△APB沿直线AP折叠得到△APB'，点B'落在矩形ABCD的内部，延长PB'交直线AD于点F．①证明F A＝FP，并求出在（1）条件下AF的值；②连接B'C，求△PCB'周长的最小值；③如图2，BB'交AE于点H，点G是AE的中点，当∠EAB'＝2∠AEB'时，请判断AB与HG的数量关系，并说明理由．【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠BAP＝∠E，∠B＝∠BCE，∵点P是BC的中点，∴BP＝CP，∴△ABP≌△ECP（AAS）；（2）①∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠APB＝∠F AP，由折叠得∠APB＝∠APF，∴∠F AP＝∠APF，∴F A＝FP，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，∴BC＝AD＝8，∵点P是BC的中点，∴BP＝CP＝4，由折叠得AB′＝AB＝6，PB′＝PB＝4，∠B＝∠AB′P＝∠AB′F＝90°，设F A＝x，则FP＝x，∴FB′＝x﹣4，在Rt△AB′F中，AF2＝B′F2+B′A2，∴x2＝（x﹣4）2+62，解得x=132，即AF=132；②由折叠得AB′＝AB＝6，PB′＝PB＝4，∴△PCB'的周长＝CP+PB′+CB′＝CB+CB′＝8+CB′，连接B'C，AC，∵AB′+B′C＞AC，∴当点B′恰好位于对角线AC上时，CB′+AB′最小，在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，∴AC=√62+82=10，∴CB′的最小值＝AC﹣AB′＝4，∴△PCB'周长的最小值＝8+CB′＝8+4＝12；③AB与HG的数量关系是AB＝2HG．理由：如图，由折叠可知∠1＝∠6，AB'＝AB，BB'⊥AE，过点B'作B'M∥DE，交AE于点M，∴AB∥DE，∴AB∥DE∥B'M，∴∠l＝∠6＝∠5＝∠AED，∴AB'＝B'M＝AB，∴点H是AM中点，∵∠EAB'＝2∠AEB'，即∠6＝2∠8，∴∠5＝2∠8．∵∠5＝∠7+∠8，∴∠7＝∠8．∴B'M＝EM．∴B'M＝EM＝AB'＝AB．∵点G为AE中点，点H是AM中点，∴AG=12AE，AH=12AM．∴HG＝AG﹣AH=12（AE﹣AM）=12EM．∴HG=12AB．∴AB＝2HG．【解析】（1）∵F 为BE 的中点， ∴BF ＝EF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD∴∠BMF ＝∠ECF ，∵∠BFM ＝∠EFC ，∴△BMF ≌△ECF （AAS ），∴BM ＝CE ，∵点E 为CD 的中点，∴CE ＝DE ，∴BM ＝CE ＝DE ，∵AB ＝CD ，∴AM ＝CE ；（2）∵∠BMF ＝∠ECF ，∠BFM ＝∠EFC ， ∴△BMF ∽△ECF ，∴BFEF =BMCE =12， ∵CE ＝3，∴BM =32，∴AM =92，∵CM ⊥MN ，∴∠CMN ＝90°，∴∠AMN +∠BMC ＝90°，∵∠AMN +∠ANM ＝90°，∴∠ANM ＝∠BMC ，∵∠A ＝∠MBC ，∴△ANM ∽△BMC ，。
2022年全国中考试卷解析版分类汇编-图形的镶嵌与图形的设计
2022年全国中考试卷解析版分类汇编-图形的镶嵌与图形的设计1.下列多边形中，不能够单独铺满地面的是（）A、正三角形B、正方形C、正五边形D、正六边形【答案】B【考点】平面镶嵌（密铺）．【分析】由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角和为360°．【解答】解：∵用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正方形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．∴不能铺满地面的是正五边形．故选C．【点评】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．2.（2011湖北十堰，8，3分）现有边长相同的正三角、正方形和正六边形纸片若干张，下列拼法中不能镶嵌成一个平面图案的是（）A．正方形和正六边形B．正三角形和正方形C．正三角形和正六边形D．正三角形、正方形和正六边形考点：平面镶嵌（密铺）。
专题：几何图形问题。
分析：正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．解答：解：A、正方形和正六边形内角分别为90°、120°，由于90m+120n=360，得m=4﹣n，明显n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满；B、正三角形和正方形内角分别为60°、90°，由于60°×3+90°×2=360°，故能铺满；C、正三角形和正六边形内角分别为60°、120°，由于60°×2+120°×2=360°，故能铺满；D、正三角形、正方形和正六边形内角分别为60°、90°、120°，由于60°+90°+90°+120°=360°，故能铺满．故选A．点评：考查了平面镶嵌（密铺），解决此类题，能够记住几个常用正多边形的内角，及能够用两种正多边形镶嵌的几个组合．3.（2011湖南岳阳，6，3）小芳家房屋装修时，选中了一种漂亮的正八边形地砖．建材店老总告诉她，只用一种八边形地砖是不能密铺地面的，便向她举荐了几种形状的地砖．你认为要使地面密铺，小芳应选择另一种形状的地砖是（）A、 B、 C、 D、【答案】B【考点】平面镶嵌（密铺）．【专题】几何图形问题．【分析】正八边形的一个内角为135°，从所给的选项中取出一些进行判定，看其所有内角和是否为360°，并以此为依据进行求解．【解答】解：A、正八边形、正三角形内角分别为135°、60°，明显不能构成360°的周角，故不能铺满正；B、正方形、八边形内角分别为90°、135°，，由于135×2+90=360，故能铺满；C、正六边形和正八角形内角分别为120°、135°，明显不能构成360°的周角，故不能铺满；D、正八边形、正五边形内角分别为135°、108°，明显不能构成360°的周角，故不能铺满．故选B．【点评】本题考查平面镶嵌（密铺），解决此类题，能够记住几个常用正多边形的内角，及能够用两种正多边形镶嵌的几个组合．4.（2010福建泉州，6，3分）下列正多边形中，不能铺满地面的是（）A．正三角形B．正方形C．正六边形D．正七边形考点平面镶嵌（密铺）分析分别求出所给图形的内角，依照密铺的性质进行判定即可．解答解：A、∵正三角形的内角是60°，6×60°=360°，∴正三角形能铺满地面，故本选项正确；B、∵正方形的内角是90°，4×90°=360°，∴正方形能铺满地面，故本选项正确；C、∵正六边形的内角是120°，3×120°=360°，∴正六形能铺满地面，故本选项正确；D、∵正七形的内角是，，同任何一个正整数相乘都不等于360°，∴正，七边形不能铺满地面，故本选项错误．故选D．点评本题考查的是平面镶嵌的性质，解这类题目时要依照组成平面镶嵌的条件，逐个排除求解．5.（2011•贵阳9,3分）有下列五种正多边形地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤正八边形，现要用同一种大小一样、形状相同的正多边形地砖铺设地面，其中能做到此之间不留间隙、不重叠地铺设的地砖有（）A、4种B、3种C、2种D、1种考点：平面镶嵌（密铺）。
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（2022•武威中考）如图1，在菱形ABCD中，∠A＝60°，动点P从点A出发，沿折线AD→DC→CB方向匀速运动，运动到点B停止．设点P的运动路程为x，△APB的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则AB的长为（）A．√3B．2√3C．3√3D．4√3【解析】选B．在菱形ABCD中，∠A＝60°，∴△ABD为等边三角形，设AB＝a，由图2可知，△ABD的面积为3√3，∴S△ABD=√34a2＝3√3，解得：a＝2√3.（2022•自贡中考）如图，菱形ABCD对角线交点与坐标原点O重合，点A（﹣2，5），则点C的坐标是（）A．（5，﹣2）B．（2，﹣5）C．（2，5）D．（﹣2，﹣5）【解析】选B.∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，即点A与点C关于原点对称，∵点A（﹣2，5），∴点C的坐标是（2，﹣5）.（2022•株洲中考）如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E，下列结论不一定正确的是（）A．OB=12CE B．△ACE是直角三角形C．BC=12AE D．BE＝CE【解析】选D．∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO=12，AC⊥BD，∵CE∥BD，∴△AOB∽△ACE，∴∠AOB＝∠ACE＝90°，AOAC=OBCE=ABAE=12，∴△ACE是直角三角形，OB=12CE，AB=12AE，（2022•河南中考）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 为CD 的中点．若OE ＝3，则菱形ABCD 的周长为（ ）A ．6B ．12C ．24D ．48【解析】选C ．∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∴△COD 为直角三角形．∵OE ＝3，点E 为线段CD 的中点，∴CD ＝2OE ＝6．∴C 菱形ABCD ＝4CD ＝4×6＝24．（2022•赤峰中考）如图，菱形ABCD ，点A 、B 、C 、D 均在坐标轴上．∠ABC ＝120°，点A （﹣3，0），点E是CD 的中点，点P 是OC 上的一动点，则PD +PE 的最小值是（ ）A ．3B ．5C ．2√2D ．32√3【解析】选A ．根据题意得，E 点关于x 轴的对称点是BC 的中点E '，连接DE '交AC 与点P ，此时PD +PE 有最小值为DE '，∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC ＝120°，点A （﹣3，0），∴OA ＝OC ＝3，∠DBC ＝60°，∴△BCD 是等边三角形，∴DE '＝OC ＝3，即PD +PE 的最小值是3．（2022•海南中考）如图，菱形ABCD 中，点E 是边CD 的中点，EF 垂直AB 交AB 的延长线于点F ，若BF ：CE ＝1：2，EF =√7，则菱形ABCD 的边长是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．45√7【解析】选B ．过点D 作DH ⊥AB 于点H ，如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝CD，AB∥CD．∵EF⊥AB，DH⊥AB，∴DH∥EF，∴四边形DHFE为平行四边形，∴HF＝DE，DH＝EF=√7．∵点E是边CD的中点，∴DE=12CD，∴HF=12CD=12AB．∵BF：CE＝1：2，∴设BF＝x，则CE＝2x，∴CD＝4x，DE＝HF＝2x，AD＝AB＝4x，∴AF＝AB+BF＝5x．∴AH＝AF﹣HF＝3x．在Rt△ADH中，∵DH2+AH2＝AD2，∴(√7)2+(3x)2=(4x)2．解得：x＝±1（负数不合题意，舍去），∴x＝1．∴AB＝4x＝4．即菱形ABCD的边长是4.A ．52 B ．5 C ．10 D ．20 【解析】选C ．由作图过程可得：PQ 为BD 的垂直平分线，∴BM ＝MD ，BN ＝ND ．设PQ 与BD 交于点O ，如图，则BO ＝DO ．∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠MDO ＝∠NBO ，∠DMO ＝∠BNO ，在△MDO 和△NBO 中，{∠MDO =∠NBO∠DMO =∠BNO OD =OB，∴△MDO ≌△NBO （AAS ），∴DM ＝BN ，∴四边形BNDM 为平行四边形，∵BM ＝MD ，∴四边形MBND 为菱形，∴四边形MBND 的周长＝4BM ．设MB ＝x ，则MD ＝BM ＝x ，∴AM ＝AD ﹣DM ＝4﹣x ，在Rt △ABM 中，∵AB 2+AM 2＝BM 2，∴22+（4﹣x ）2＝x 2，解得：x =52，∴四边形MBND 的周长＝4BM ＝10．（2022•武威中考）如图，菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若AB ＝2√5cm ，AC ＝4cm ，则BD 的长为8 cm ．【解析】∵四边形ABCD 是菱形，AC ＝4cm ，∴AC ⊥BD ，BO ＝DO ，AO ＝CO ＝2cm ，∵AB ＝2√5cm ，∴BO =√AB 2−AO 2=4cm ，∴DO ＝BO ＝4cm ，∴BD ＝8cm.答案：8．（2022•温州中考）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝1，∠BAD ＝60°．在其内部作形状、大小都相同的菱形AENH和菱形CGMF ，使点E ，F ，G ，H 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，点M ，N 在对角线AC 上．若AE ＝3BE ，则MN 的长为 √32 ．【解析】连接DB 交AC 于点O ，作MI ⊥AB 于点I ，作FJ ⊥AB 交AB 的延长线于点J ，如图所示，∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，AB ＝1，∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝1，∠BAC ＝30°，AC ⊥BD ，∵△ABD 是等边三角形，∴OD =12，∴AO =√AD 2−DO 2=√12−(12)2=√32， ∴AC ＝2AO =√3，∵AE ＝3BE ，∴AE =34，BE =14，∵菱形AENH 和菱形CGMF 大小相同，∴BE ＝BF =14，∠FBJ ＝60°，∴FJ ＝BF •sin60°=14×√32=√38， ∴MI ＝FJ =√38，∴AM =MI sin30°=√3812=√34， 同理可得，CN =√34， ∴MN ＝AC ﹣AM ﹣CN =√3−√34−√34=√32. 答案：√32．DQ ﹣P 'Q 的最大值为 16√23．【解析】如图，连接BD 交AC 于点O ，过点D 作DK ⊥BC 于点B ，延长DE 交AB 于点R ，连接EP ′交AB 于点J ，作EJ 关于AC 的对称线段EJ ′，则DP ′的对应点P ″在线段EJ ′上．当点P 是定点时，DQ ﹣QP ′＝AD ﹣QP ″，当D ，P ″，Q 共线时，QD ﹣QP ′的值最大，最大值是线段DP ″的长，当点P 与B 重合时，点P ″与J ′重合，此时DQ ﹣QP ′的值最大，最大值是线段DJ ′的长，也就是线段BJ 的长．∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO ＝OC ，∵AE ＝14．EC ＝18，∴AC ＝32，AO ＝OC ＝16，∴OE ＝AO ﹣AE ＝16﹣14＝2，∵DE ⊥CD ，∴∠DOE ＝∠EDC ＝90°，∵∠DEO ＝∠DEC ，∴△EDO ∽△ECD ，∴DE 2＝EO •EC ＝36，∴DE ＝EB ＝EJ ＝6，∴CD =√EC 2−DE 2=√182−62=12√2，∴OD =√DE 2−OE 2=√62−22=4√2，∴BD ＝8√2，∵S △DCB =12×OC ×BD =12BC •DK ， ∴DK =12×16×8√212√212×16×8√26√2=323， ∵∠BER ＝∠DCK ，∴sin ∠BER ＝sin ∠DCK =DK CD =32312√2=4√29， ∴RB ＝BE ×4√29=8√23，3（2022•达州中考）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝24，BD＝10，则菱形ABCD的周长为52．【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，∵AC＝24，BD＝10，∴AO=12AC＝12，BO=12BD＝5，在Rt△AOB中，AB=√AO2+BO2=√122+52=13，∴菱形的周长为13×4＝52．答案：52（2022•娄底中考）菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，点P、Q分别是BC、BD上的动点，CQ+PQ的最小值为√2．【解析】连接AQ，作AH⊥BC于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CB，∠ABQ＝∠CBQ，∵BQ＝BQ，∴△ABQ≌△CBQ（SAS），（2022•天津中考）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，F为CE的中点，AF与DE相交于点G，则GF的长等于√194．【解析】如图，过点F作FH∥CD，交DE于H，过点C作CM⊥AB，交AB的延长线于M，连接FB，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD＝BC＝2，AB∥CD，∴FH∥AB，∴∠FHG＝∠AEG，∵F是CE的中点，FH∥CD，∴H是DE的中点，∴FH是△CDE的中位线，∴FH=12CD＝1，∵E是AB的中点，∴AE＝BE＝1，∴AE＝FH，∵∠AGE＝∠FGH，∴△AEG≌△FHG（AAS），∴AG＝FG，∵AD∥BC，4（2022•陕西中考）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，BD＝7．若M、N分别是边AD、BC上的动点，且AM＝BN，作ME⊥BD，NF⊥BD，垂足分别为E、F，则ME+NF的值为√152．【解析】连接AC交BD于O，∵四边形ABCD为菱形，∴BD⊥AC，OB＝OD=72，OA＝OC，由勾股定理得：OA=√AB2−OB2=√42−(72)2=√152，∵ME⊥BD，AO⊥BD，∴ME∥AO，∴△DEM∽△DOA，∴MEOA=DMAD，即ME√152=4−AM4，解得：ME=4√15−√15AM8，同理可得：NF=√15AM8，∴ME+NF=√15 2，答案：√152．（2022•台州中考）如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，AB ＝6．折叠该菱形，使点A 落在边BC 上的点M 处，折痕分别与边AB ，AD 交于点E ，F ．当点M 与点B 重合时，EF 的长为 3√3 ；当点M 的位置变化时，DF 长的最大值为 6﹣3√3 ．【解析】如图1中，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝AB ＝BC ＝CD ，∠A ＝∠C ＝60°，∴△ADB ，△BDC 都是等边三角形，当点M 与B 重合时，EF 是等边△ADB 的高，EF ＝AD •sin60°＝6×√32=3√3．如图2中，连接AM 交EF 于点O ，过点O 作OK ⊥AD 于点K ，交BC 于点T ，过点A 作AG ⊥CB 交CB 的延长线于点G ，取AD 的中点R ，连接OR ．∵AD ∥CG ，OK ⊥AD ，∴OK ⊥CG ，∴∠G ＝∠AKT ＝∠GTK ＝90°，∴四边形AGTK 是矩形，∴AG ＝TK ＝AB •sin60°＝3√3，∵OA ＝OM ，∥AOK ＝∠MOT ，∠AKO ＝∠MTO ＝90°，（2022•黔东南州中考）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．若AC＝10，则四边形OCED的周长是20．【解析】∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，∴OC＝DE，OD＝CE，∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴OC=12AC＝5，OD=12BD，BD＝AC，∴OC＝OD＝5，∴OC＝OD＝CE＝DE，∴平行四边形OCED是菱形，∴C菱形OCED＝4OC＝4×5＝20.答案：20．（2022•哈尔滨中考）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在OB上，连接AE，点F为CD 的中点，连接OF．若AE＝BE，OE＝3，OA＝4，则线段OF的长为2√5．【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO＝4，BO＝DO，∴AE=√AO2+EO2=√9+16=5，∴BE＝AE＝5，∴BO＝8，∴BC=√BO2+CO2=√64+16=4√5，∵点F为CD的中点，BO＝DO，∴OF=12BC＝2√5.答案：2√5．【解析】添加的条件是AB ＝CD ，理由如下：∵AB ∥CD ，AB ＝CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，又∵AC ⊥BD ，∴平行四边形ABCD 是菱形.答案：AB ＝CD （答案不唯一）．（2022•龙东中考）如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠BAD ＝60°，AD ＝3，AH 是∠BAC的平分线，CE ⊥AH 于点E ，点P 是直线AB 上的一个动点，则OP +PE 的最小值是 32√6 ．【解析】连接OE ，过点O 作OF ⊥AB ，垂足为F ，并延长到点O ′，使O ′F ＝OF ，连接O ′E 交直线AB 于点P ，连接OP ，∴AP 是OO ′的垂直平分线，∴OP ＝O ′P ，∴OP +PE ＝O ′P +PE ＝O ′E ，此时，OP +PE 的值最小，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝AB ＝3，∠BAC =12∠BAD ，OA ＝OC =12AC ，OD ＝OB =12BD ，∠AOD ＝90°， ∵∠BAD ＝60°，∴△ADB 是等边三角形，∴BD ＝AD ＝3，∴OD =12BD =32，∴AO =√AD 2−DO 2=√32−(32)2=32√3，∴AC ＝2OA ＝3√3， ∵CE ⊥AH ，∴∠AEC ＝90°，∴OE ＝OA =12AC =32√3，∴∠OAE ＝∠OEA ，∵AE 平分∠CAB ，∴∠OAE ＝∠EAB ，∴∠OEA ＝∠EAB ，∴OE ∥AB ，∴∠EOF ＝∠AFO ＝90°，在Rt △AOF 中，∠OAB =12DAB ＝30°，∴OF =12OA =34√3，∴OO ′＝2OF =32√3， 在Rt △EOO ′中，O ′E =√EO 2+OO ′2=√(32√3)2+(32√3)2=32√6，∴OE +PE =32√6，∴OP +PE 的最小值为32√6. 答案：32√6．（2022·安徽中考）已知四边形ABCD 中，BC ＝CD ，连接BD ，过点C 作BD 的垂线交AB 于点E ，连接DE ．【解析】（1）证明：设CE 与BD 交于点O ，∵CB ＝CD ，CE ⊥BD ，∴DO ＝BO ，∵DE ∥BC ，∴∠DEO ＝∠BCO ，∵∠DOE ＝∠BOC ，∴△DOE ≌△BOC （AAS ），∴DE ＝BC ，∴四边形BCDE 是平行四边形，∵CD ＝CB ，∴平行四边形BCDE 是菱形；（2）（i ）解：∵DE 垂直平分AC ，∴AE ＝EC 且DE ⊥AC ，∴∠AED ＝∠CED ，又∵CD ＝CB 且CE ⊥BD ，∴CE 垂直平分DB ，∴DE ＝BE ，∴∠DEC ＝∠BEC ，∴∠AED ＝∠CED ＝∠BEC ，又∵∠AED +∠CED +∠BEC ＝180°，∴∠CED =13×180°=60°；（ii ）证明：由（i ）得AE ＝EC ，又∵∠AEC ＝∠AED +∠DEC ＝120°，∴∠ACE ＝30°，同理可得，在等腰△DEB 中，∠EBD ＝30°，∴∠ACE ＝∠ABF ＝30°， 在△ACE 与△ABF 中，{∠ACE =∠ABF∠CAE =∠BAF AE =AF，∴△ABF ≌△ACE （AAS ），∴AC ＝AB ，又∵AE ＝AF ，∴AB ﹣AE ＝AC ﹣AF ，即BE ＝CF ．（2022•连云港中考）如图，四边形ABCD 为平行四边形，延长AD 到点E ，使DE ＝AD ，且BE ⊥DC ．（1）求证：四边形DBCE 为菱形；（2）若△DBC 是边长为2的等边三角形，点P 、M 、N 分别在线段BE 、BC 、CE 上运动，求PM +PN 的最小值．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∵DE ＝AD ，∴DE ＝BC ，∵E 在AD 的延长线上，∴DE ∥BC ，∴四边形DBCE是平行四边形，∵BE⊥DC，∴四边形DBCE是菱形；（2）解：作N关于BE的对称点N'，过D作DH⊥BC于H，如图：由菱形的对称性知，点N关于BE的对称点N'在DE上，∴PM+PN＝PM+PN'，∴当P、M、N'共线时，PM+PN'＝MN'＝PM+PN，∵DE∥BC，∴MN'的最小值为平行线间的距离DH的长，即PM+PN的最小值为DH的长，在Rt△DBH中，∠DBC＝60°，DB＝2，=√3，∴PM+PN的最小值为√3．∴DH＝DB•sin∠DBC＝2×√32（2022•滨州中考）如图，菱形ABCD的边长为10，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点O，点E在对角线BD 上，连接AE，作∠AEF＝120°且边EF与直线DC相交于点F．（1）求菱形ABCD的面积；（2）求证AE＝EF．【解析】（1）作AG⊥BC交BC于点G，如图所示，∵四边形ABCD是菱形，边长为10，∠ABC＝60°，=5√3，∴BC＝10，AG＝AB•sin60°＝10×√32∴菱形ABCD的面积是：BC•AG＝10×5√3=50√3，即菱形ABCD的面积是50√3；（2）证明：连接EC，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴EO垂直平分AC，∠BCD＝120°，∴EA＝EC，∠DCA＝60°，∴∠EAC＝∠ECA，∠ACF＝120°，∵∠AEF＝120°，∴∠EAC+∠EFC＝360°﹣∠AEF﹣∠ACF＝360°﹣120°﹣120°＝120°，∵∠ECA+∠ECF＝120°，∴∠EFC＝∠ECF，∴EC＝EF，∴AE＝EF．（2022•舟山中考）小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．小惠：证明：∵AC⊥BD，OB＝OD，∴AC垂直平分BD．∴AB＝AD，CB＝CD，∴四边形ABCD是菱形．小洁：这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明．若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．【解析】赞成小洁的说法，补充条件：OA＝OC，证明如下：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形．（2022•凉山州中考）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADBF是菱形；（2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40．求AC的长．【解析】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFC＝∠FCD，∠F AE＝∠CDE，∵点E是AD的中点，∴AE＝DE，∴△F AE≌△CDE（AAS），∴AF＝CD，∵点D是BC的中点，∴BD＝CD，∴AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形，（2022•南充中考）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，BE＝BF，DE，DF分别与AC交于点M，N．求证：（1）△ADE≌△CDF．（2）ME＝NF．【证明】（1）∵四边形ABCD是菱形，∴DA＝DC，∠DAE＝∠DCF，AB＝CB，∵BE＝BF，∴AE＝CF，在△ADE和△CDF中，{DA=DC∠DAE=∠DCF AE=CF，∴△ADE≌△CDF（SAS）；（2）由（1）知△ADE≌△CDF，∴∠ADM＝∠CDN，DE＝DF，∵四边形ABCD是菱形，∴∠DAM＝∠DCN，∴∠DMA＝∠DNC，∴∠DMN＝∠DNM，∴DM＝DN，∴DE﹣DM＝DF﹣DN，∴ME＝NF．（2022•广元中考）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连结CE．（1）求证：四边形AECD为菱形；（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．【解析】（1）证明：∵E为AB中点，∴AB＝2AE＝2BE，∵AB＝2CD，∴CD＝AE，又∵AE∥CD，∴四边形AECD是平行四边形，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠EAC，∵AB∥CD，∴∠DCA＝∠CAB，∴∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，∴平行四边形AECD是菱形；（2）∵四边形AECD是菱形，∠D＝120°，∴AD＝CD＝CE＝AE＝2，∠D＝120°＝∠AEC，∴AE＝CE＝BE，∠CEB＝60°，∴∠CAE＝30°＝∠ACE，△CEB是等边三角形，∴BE＝BC＝EC＝2，∠B＝60°，∴∠ACB＝90°，∴AC=√3BC＝2√3，∴S△ABC=12×AC×BC=12×2×2√3=2√3．【解析】（1）①证明：∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠BEC＝∠DFC＝90°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，BC＝CD，∴△BEC≌△DFC（AAS），∴CE＝CF；②连接AC，如图1，∵E是边AB的中点，CE⊥AB，∴BC＝AC，∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝AC，∴△ABC是等边三角形，∠EAC＝60°，在Rt△ACE中，AE＝2，∴CE＝AE•tan60°＝2×√3=2√3；（2）方法一：如图2，延长FE交CB的延长线于M，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AB＝BC，∴∠AFE＝∠M，∠A＝∠EBM，∵E是边AB的中点，∴AE＝BE，∴△AEF≌△BEM（AAS），∴ME＝EF，MB＝AF，∵AE＝3，EF＝2AF＝4，∴ME＝4，BM2，BE＝3，∴BC＝AB＝2AE＝6，∴MC＝8，∴MBME =24=12，MEMC=48=12，∴MBME=MEMC，∵∠M为公共角，∴△MEB∽△MCE，∴BEEC =MBME=24，∵BE＝3，∴CE＝6；方法二：如图3，延长FE 交CB 的延长线于M ，过点E 作EN ⊥BC 于点N ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，AB ＝BC ，∴∠AFE ＝∠M ，∠A ＝∠EBM ，∵E 是边AB 的中点，∴AE ＝BE ，∴△AEF ≌△BEM （AAS ），∴ME ＝EF ，MB ＝AF ，∵AE ＝3，EF ＝2AF ＝4，∴ME ＝4，BM 2，BE ＝3，∴BC ＝AB ＝2AE ＝6，∴MC ＝8，在Rt △MEN 和Rt △BEN 中，ME 2﹣MN 2＝EN 2，BE 2﹣BN 2＝EN 2，∴ME 2﹣MN 2＝BE 2﹣BN 2，∴42﹣（2+BN ）2＝32﹣BN 2，解得：BN =34，∴CN ＝6−34=214， ∴EN 2＝BE 2﹣BN 2＝32﹣（34）2=13516，在Rt △ENC 中，CE 2＝EN 2+CN 2=13516+44116=57616=36，∴CE ＝6.（2022•娄底中考）如图，以BC 为边分别作菱形BCDE 和菱形BCFG （点C ，D ，F 共线），动点A 在以BC 为直径且处于菱形BCFG 内的圆弧上，连接EF 交BC 于点O ．设∠G ＝θ．（1）求证：无论θ为何值，EF 与BC 相互平分；并请直接写出使EF ⊥BC 成立的θ值．（2）当θ＝90°时，试给出tan ∠ABC 的值，使得EF 垂直平分AC ，请说明理由．【解析】（1）∵四边形BCFG ，四边形BCDE 都是菱形，∴CF ∥BG ，CD ∥BE ，CB ＝CF ＝CD ＝BG ＝BE ，∵D ，C ，F 共线，∴G ，B ，E 共线，∴DF ∥EG ，DF ＝GE ，∴四边形DEGF 是平行四边形，∴EF 与BC 互相平分．当EF ⊥FG 时，∵GF ＝BG ＝BE ，∴EG ＝2GF ，∴∠GEF ＝30°，∴θ＝90°﹣30°＝60°；（2）当tan ∠ABC ＝2时，EF 垂直平分线段AC ．理由：如图（2）中，设AC 交EF 于点J ．∵四边形BCFG 是菱形，∴∠G ＝∠FCO ＝90°，∵EF 与BC 互相平分，∴OC ＝OB ，∴CF ＝BC ，∴FC ＝2OC ，∴tan ∠FOC ＝tan ∠ABC ，∴∠ABC ＝∠FOC ，∴OJ ∥AB ，∵OC ＝OB ，∴CJ ＝AJ ，∵BC 是直径，∴∠BAC ＝∠OJC ＝90°，∴EF 垂直平分线段AC.（2022•岳阳中考）如图，点E ，F 分别在▱ABCD 的边AB ，BC 上，AE ＝CF ，连接DE ，DF ．请从以下三个条件：①∠1＝∠2；②DE ＝DF ；③∠3＝∠4中，选择一个合适的作为已知条件，使▱ABCD 为菱形． （1）你添加的条件是 ① （填序号）；（2）添加了条件后，请证明▱ABCD 为菱形．【解析】（1）添加的条件是∠1＝∠2，答案：①；（2）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A ＝∠C ，在△ADE 和△CDF 中，{∠1=∠2∠A =∠C AE =CF，∴△ADE ≌△CDF （AAS ），∴AD ＝CD ，∴▱ABCD 为菱形.【解析】（1）M 与B 重合时，如图1，∵PQ ⊥AB ，∴∠PQA ＝90°，∴PA =12AB ＝2，∴t ＝2；（2）①当0≤t ≤2时，∵AM ＝2t ，∴BM ＝4﹣2t ，∵△APQ ≌△BMF ，∴AP ＝BM ，∴t ＝4﹣2t ，∴t =43；②当2＜t ≤4时，∵AM ＝2t ，∴BM ＝2t ﹣4，∵△APQ ≌△BMF ，∴AP ＝BM ，∴t ＝2t ﹣4，∴t ＝4；综上所述，t 的值为4或43； （3）①0≤t ≤2时，如图2，在Rt △APQ 中，PQ =√32t ，∴MQ =32t ，∴S =12PQ ⋅MQ =12×√32t ×32t =3√38t 2； ②当2＜t ≤4时，如图3，∵BF ＝t ﹣2，MF =√3（t ﹣2），∴S △BFM =12BF •MF =√32(t −2)2，∴S ＝S △PQM ﹣S △BFM =−√38t 2+2√3t −2√3；∴S ={3√38t 2(0≤t ≤2)−√38t 2+2√3t −2√3(2＜t ≤4)； （4）连接AE ，如图4，∵△PQE 为等边三角形，∴PE =√32t ，在Rt △APE 中，tan ∠PAE =PE PA =√32t t =√32， ∴∠PAE 为定值，∴点E 的运动轨迹为直线，∵AP ＝t ，∴AE =√AP 2+PE 2=√t 2+(√32t)2=√72t ，当t ＝2时，AE =√7，（2022•荆州中考）如图，在10×10的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中△ABC为格点三角形．请按要求作图，不需证明．（1）在图1中，作出与△ABC全等的所有格点三角形，要求所作格点三角形与△ABC有一条公共边，且不与△ABC重叠；（2）在图2中，作出以BC为对角线的所有格点菱形．【解析】（1）如图1中，△ABD1，△ABD2，△ACD3，△ACD4，△CBD5即为所求；（2）如图2中，菱形ABDC，菱形BECF即为所求．（2022•长沙中考）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝AD．（1）求证：AC⊥BD；（2）若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，EF=32，AO＝2，求BD的长及四边形ABCD的周长．【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，∴▱ABCD是菱形，∴AC⊥BD；（2）∵点E，F分别为AD，AO的中点，∴EF是△AOD的中位线，∴OD＝2EF＝3，由（1）可知，四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，BD＝2OD＝6，在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD=√AO2+OD2=√22+32=√13，∴C菱形ABCD＝4AD＝4√13．（2）若AE＝BE＝2，求BF的长．【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，四边形HEFG是菱形，∴AD＝CD，ED＝GD，∠ADB＝∠CDB，∠EHB＝∠GHB，∴∠ADB﹣∠EHB＝∠CDB﹣∠GHB，即∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，{AD=CD∠ADE=∠CDG ED=GD，∴△ADE≌△CDG（SAS）；（2）过E作EQ⊥DF于Q，则∠EQB＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，AD＝AB＝AE+EF＝2+2＝4，∠EBQ＝∠CBD＝45°，∴∠QEB＝45°＝∠EBQ，∴EQ＝BQ，∵BE＝2，∴2EQ2＝22，∴EQ＝BQ=√2（负数舍去），在Rt△DAE中，由勾股定理得：DE=√AD2+AE2=√42+22=2√5，∵四边形EFGH是菱形，∴EF＝DE＝2√5，∴QF=√EF2−EQ2=√(2√5)2−(√2)2=3√2，∴BF＝QF﹣QB＝3√2−√2=2√2．【解析】（1）作PE⊥AC于点E，在Rt△APE中，cos30°=AE AP，∴AE＝AP•cos30°=√3x，∵∠APQ＝120°，∴∠AQP＝180°﹣120°﹣30°＝30°，∴AP＝PQ，∴点E为AQ中点，∴AQ＝2√3x（cm），答案：2√3x．（2）如图，∵∠APQ＝120°，∴∠MNB＝∠PQB＝60°，∵∠B＝60°，∴△MNB为等边三角形，∴AP＝PQ＝PN＝MN＝NB，即AP+PN+NB＝3AP＝AB，∴3×2x＝6，解得x＝1．（3）当0≤x≤1时，作QF⊥AB于点F，∵∠A ＝30°，AQ ＝2√3x ，∴QF =12AQ =√3x ，∵PN ＝PQ ＝AP ＝2x ，∴y ＝PN •QF ＝2x •√3x ＝2√3x 2．当1＜t ≤32时，QM ，NM 交BC 于点H ，K ，∵AB ＝6cm ，∠A ＝30°，∴AC =√32AB ＝3√3cm ，∴CQ ＝AC ﹣AQ ＝3√3−2√3x ，∴QH =2√3CQ =2√3（3√3−2√3x ）＝6﹣4x ， ∴HM ＝QM ﹣QH ＝2x ﹣（6﹣4x ）＝6x ﹣6， ∵△HKM 为等边三角形，∴S △HKM =√34HM 2＝9√3x 2﹣18√3x +9√3， ∴y ＝2√3x 2﹣（9√3x 2﹣18√3x +9√3）＝﹣7√3x 2+18√3x ﹣9√3． 当32＜x ≤3时，重叠图形△PQM 为等边三角形，PQ ＝PB ＝AB ﹣AP ＝6﹣2x ，∴y =√34PB 2=√34（6﹣2x ）2=√3x 2﹣6√3x +9√3．综上所述，y ={ 2√3x 2(0≤x ≤1)−7√3x 2+18√3x −9√3(1＜x ≤32)√3x 2−6√3x +9√3(32＜x ≤3)。