初中数学临界点问题与取值范围探究
初中数学临界点问题与取值范围探究
初中数学临界点问题与取值范围探究临界点和取值范围问题是中考数学常考内容之⼀，⼀般与⼏何、函数⼀起考查，⽽取值范围问题，可能涉及不等式和代数式有意义的问题。
我们今天简单看⼀下临界点问题和取值范围常考哪些内容。
（1）求取值范围：①根据判别式求取值范围：例：已知x²-2mx m 6=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围思路：显然有两个不相等的实数根需满⾜△=b²-4ac＞0，本式中a=1，b=-2m，c=m 6。
所以有（-2m）²-4（m 6）=4（m-3）（m 2）>0易知 m的取值范围为m<-2或m>3②有⽆数解问题：例：❶若ax² ax 1>0恒成⽴，求a的取值范围。
【⼀般不等式均有⽆数解，这⾥我们说是恒成⽴】思路：实际上是考查对⼆次函数图像的认识，因为不等⽅程是＞0，所以⼆次函数需满⾜开⼝向上即a>0,且与x轴⽆交点，即判别式△<0,易知0<a<4例：❷关于x的不等式2x 5-a>1-bx恒成⽴，试确定a，b的取值范围。
思路：对于任意的⽅程ax b=0，只有在a和b同时为0的时候，⽅程有⽆数解（为什么？因为a=0，则ax恒为0，与x的取值⽆关）。
⽽对于不等式ax b>0，则必须是在a=0，b>0，时才可能恒成⽴。
所以此题先移项化为（2 b）x 4-a>0，则有b=-2,a<4。
②⽆解问题（⼆次函数问题不再举例）：例：❶思路：不等式组⽆解的思路是让两个不等式解到的解⽆公共部分例如（不存在x>1且x<0的值）。
本题中x-3（x-2）≤4，解得x≥1，第⼆个分式不等式解得x＜a，所以只需保证a不⼤于1即可，即a≤1。
（注意对于a是否能取1，不熟练时单独拿出来分析⼀下）❷我们将上⼀题略微改动：思路：注意改动的位置，第⼀个不等式不等式改变，则解变为了x≤1，⽽整个不等式组的解也是x≤1，所以第⼆个不等式解到的解必须是x<b,且b需要时⼤于1的数。
数学中的临界值法解题技巧
数学中的临界值法解题技巧
在我们研究的许多数学问题中，相关的状态参量间存在着一定的制约变化关系，其中当变化到某一状态时出现极限或某种转折，这就是问题的临界状态，满足与此相对应的条件称为临界条件．在解题时，若能善于捕捉并巧妙运用临界条件，则会使解题思路敏捷，少走弯路，少出差错．这种解题方法称为临界值法．下面举例来说明临界值法在解决数学问题上的应用．
说明：数学思维不是静止不变的，而是变化的，解题时需要我们仔细观察，认真分析，注意观察条件的细节，特别是运动变化的临界状态，从而使我们在解题过程中少走弯路。
初中取值范围的解题技巧
初中取值范围的解题技巧各位小伙伴们，今天咱们聊聊那个让人头疼的问题——怎么在初中数学里搞定取值范围的题？别急，跟着我一起慢慢来，保证你也能成为数学小能手！你得明白，这取值范围啊，就像是一个神秘的宝藏地图，上面密密麻麻地标着各种数字和条件。
比如说吧，如果你要计算一个数的平方，结果得是168，那这个数就得在15到17之间，这就是一个取值范围。
怎么找到这个宝藏呢？秘诀就在于细心和耐心。
比如，当你看到一道题说“某数的平方大于24”，这时候，你就得仔细算算23的平方是多少，再看看24的平方是不是也超过了这个数字。
如果都没问题，那答案就是23和24之间的某个数。
再来说说“小于24”的情况，这时候你就要想想了，23的平方加上一点点会不会超过24？或者反过来，24的平方减去一点点会不会等于23？这样一对比，就能找出符合条件的数啦。
还有哦，有时候题目会告诉你一个范围，比如说“大于0且小于5”，这时候你就得用上你的小聪明了。
你可以把范围想象成一个大箱子，里面装的东西有正有负，你要找到那个既不是负数也不是零、却又比0大比5小的神奇东西。
举个例子，要是有个题目说“某数比5大且比5小”，那你可得好好琢磨琢磨了。
你可以试着往中间靠靠看，是不是能找到一个数，它既不是个负数也不只是个正数？对啦！这个数就是0！因为0既不是负数也不是正数，所以它就满足了题目的要求。
不过呢，有时候题目可能会让你头疼，因为它会让你找一些不在常规范围内的数。
这时候，你就得发挥你的想象力了。
比如，要是有个题目说“某数的平方比100大”，那你就得想想100的平方是多少，然后再找找有没有哪个数的平方会比它大一点点。
这时候，你可能会惊讶地发现，原来有一个数的平方正好就是100！最后再给大家分享一个小窍门：遇到难题不要急，先放一放，去做点别的事，比如吃个苹果、喝杯茶。
等心情平静下来，再回头看问题，说不定就能找到答案了呢！以上就是关于初中取值范围的一些解题技巧啦。
临界问题
临界和极值问题台前县第一高级中学刘庆真在处理临界问题时,一般用极限法,特别是当某些题目的条件比较隐蔽、物理过程又比较复杂时.1．在物体的运动状态发生变化的过程中，往往达到某一个特定状态时，有关的物理量将发生突变，此状态即为临界状态，相应的物理量的值为临界值．临界状态一般比较隐蔽，它在一定条件下才会出现．2．临界问题的解法一般有三种方法(1)极限法：在题目中如出现“最大”“最小”“刚好”等词语时，一般隐含着临界问题，处理这类问题时，应把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，达到尽快求解的目的．(2)假设法：有些物理过程中没有明显出现临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界问题，也可能不出现临界问题，解答这类题，一般用假设法．(3)数学方法：将物理过程转化为数学公式，根据数学表达式求解得出临界条件．3.具体思路：（1）.平衡方程（ 2）.临界方程（3）.位移方程1．如图所示，光滑水平面上静止放着长L＝1 m，质量为M＝3 kg 的木板(厚度不计)，一个质量为m＝1 kg的小物体放在木板的最右端，m和M之间的动摩擦因数μ＝0.1，今对木板施加一水平向右的拉力F.(g取10 m/s2)(1)为使小物体与木板恰好不相对滑动，F不能超过多少？(2)如果拉力F＝10 N恒定不变，求小物体所能获得的最大速率？思维点拨：找出使小物体不掉下去的临界条件，求出其加速度，应用牛顿运动定律即可求得F的值．再分别找出木板和木块间的位移关系，应用运动学公式即可得到小物块的最大速率．解：(1)为使小物体与木板恰好不相对滑动，必须是最大静摩擦力提供最大加速度，即μmg ＝ma ，把小物体和木板看作整体，则由牛顿第二定律得F ＝(M ＋m )a ，联立两个式子可得：F ＝μ(M ＋m )g ＝0.1×(3＋1)×10 N ＝4 N.(2)小物体的加速度a 1＝μmg m＝μg ＝0.1×10 m/s 2＝1 m/s 2，木板的加速度a 2＝F －μmg M ＝10－0.1×1×103 m/s 2＝3 m/s 2，由12a 2t 2－12a 1t 2＝L ，解得小物体滑出木板所用时间t ＝1 s ，小物体离开木板时的速度v 1＝a 1t ＝1 m/s.解答临界问题的关键是找临界条件，审题时一定要抓住特定的词语，如“恰好”、“至少”等来挖掘内含规律．有时，有些临界问题中并不显现上述常见的“临界术语”，但当发现某个物理量在变化过程中会发生突变，则该物理量突变时物体所处的状态即为临界状态．2.如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m 和2m 的四个木块，其中两个质量为m 的木块间用一不可伸长的轻绳相连，木块间的最大静摩擦力是μmg .现用水平拉力F 拉其中一个质量为2m 的木块，使四个木块以同一加速度运动，则轻绳对m 的最大拉力为( )A.3μmg 5B.3μmg 4C.3μmg 2D ．3μmg 解：选B.经过受力分析，A 、B 之间的静摩擦力给B 、C 、D 组成的系统提供加速度，加速度达到最大值的临界条件为A 、B 间达到最大静摩擦力，即a m ＝μmg 4m ＝μg 4，而绳子拉力F T 给C 、D 组成的系统提供加速度，因而拉力的最大值F Tm ＝3ma m ＝3μmg 4，故选B.3．如图所示，质量为m 的物体A 放在倾角为θ的质量为M 的斜面体B 上，并在图示的水平恒力F 作用下使它们之间刚好不发生相对滑动而向左运动．已知斜面和水平面均光滑，那么下列关于这个物理情境的讨论中正确的是( )A ．题目中描述的这种物理情境不可能发生B ．A 、B 只有向左匀速运动时才能发生这种可能C ．斜面体B 对物体A 不做功是由于它们之间的弹力方向垂直于斜面D ．A 、B 具有共同加速度时能发生，并且恒力F 大小为(M ＋m )g tan θ 解析：选D.A 、B 间的弹力始终垂直于斜面方向，与运动状态无关．不发生相对滑动即保持相对静止，具有共同的加速度和速度，经分析A 的加速度a ＝g tan θ时，即能出现这种情境．4．(2011年南京调研)如图所示，物块a 放在轻弹簧上，物块b 放在物块a 上静止不动．当用力F 使物块b 竖直向上做匀加速直线运动，在下面所给的四个图象中，能反映物块b 脱离物块a 前的过程中力F 随时间t 变化规律的是( )解析：选C.将a 、b 两物体作为一个整体来进行分析，设两物体的质量为m ，物体向上的位移为Δx ＝12at 2，受到向上的拉力F 、弹簧的支持力N 和竖直向下的重力G ，开始时kx 0＝mg ，运动Δx 后N ＝k (x 0－Δx )，得N ＝mg －k Δx ，由牛顿第二定律，F ＋N －mg ＝ma ，即F ＝mg ＋ma －(mg －k Δx )＝ma ＋k ×12at 2，故C 正确． 5．一有固定斜面的小车在水平面上做直线运动，小球通过细绳与车顶相连．小球某时刻正处于图示状态．设斜面对小球的支持力为N，细绳对小球的拉力为T，关于此时刻小球的受力情况，下列说法正确的是( )A．若小车向左运动，N可能为零 B．若小车向左运动，T可能为零C．若小车向右运动，N不可能为零 D．若小车向右运动，T不可能为零解析：选AB.对小球进行受力分析，小球受重力G、斜面对小球的支持力N、细绳对小球的拉力T.若N为零，小球受的合力一定为水平向右，小球可做向右加速或向左减速的变速运动；若T为零，小球受的合力一定为水平向左，小球可做向左加速或向右减速的变速运动，故A、B正确．6．(10分)如图所示，质量m＝2 kg的小球用细绳拴在倾角θ＝37°的斜面上，g取10 m/s2，求：(1)当斜面以a1＝5 m/s2的加速度向右运动时，绳子拉力的大小；(2)当斜面以a2＝20 m/s2的加速度向右运动时，绳子拉力的大小．解：当斜面对小球的弹力恰好为零时，小球向右运动的加速度为：a0＝g tan θ＝7.5 m/s2.(1)a1<a0，小球仍在斜面上，根据牛顿第二定律，有：F T sin θ＋F N cos θ＝mg，F T cos θ－F N sin θ＝ma1，得F T＝20 N.(2)a2>a0，小球离开斜面，设绳子与水平方向的夹角为α，则：F T cos α＝ma2，F T sin α＝mg，得F T＝20 5 N.7．如图5所示,质量为M的木板上放着一质量为m的木块,木块与木板间的动摩擦因数为μ1, 木板与水平地面间的动摩擦因数为μ2.若要将木板从木块下抽出,则加在木板上的力F至少为多大？图5解析 木板与木块通过摩擦力联系,只有当两者发生相对滑动时,才有可能将木板从木块下抽出.此时对应的临界状态是:木板与木块间的摩擦力必定是最大静摩擦力Ffm(Ffm=μ1mg),且木块运动的加速度必定是两者共同运动时的最大加速度am.以木块为研究对象, 根据牛顿第二定律得F fm =ma m . ①a m 也就是系统在此临界状态下的加速度,设此时作用在木板上的力为F 0,取木板、木块整体为研究对象, 则有F 0-μ2(M+m)g=(M+m) a m ②联立①、②式得F 0=(M+m)(μ1+μ2)g.当F ＞F 0时,必能将木板抽出,即F ＞[例3] 于静止状态。
初中取值范围的解题技巧
初中取值范围的解题技巧初中生们，你们好！今天我们要来聊聊一个很重要的话题：初中取值范围的解题技巧。
你们知道吗，这个技巧可是关系到你们考试成绩的关键哦！那么，我们就来一起看看吧。
我们来说说什么是取值范围。
取值范围就是题目中给出的一个数值区间，要求我们在这个区间内找到符合条件的答案。
比如说，一道题目问：“在1到10之间，哪个数是3的倍数？”这就是一个取值范围的问题。
那么，如何解决这类问题呢？其实，我们可以运用一些简单的方法。
我们要仔细阅读题目，看清楚题目中的条件和要求。
然后，我们可以根据这些条件和要求，列出方程或者不等式。
接下来，我们就要开始解这个方程或者不等式了。
这个过程可能会比较复杂，但是只要我们耐心地去思考，一定能找到答案的。
下面，我就给大家举几个例子，让大家更好地理解这个技巧。
例子一：在5到8之间，哪个数是素数？这个问题看起来有点难，但是我们可以通过一些简单的方法来解决它。
我们要知道什么是素数。
素数就是只能被1和它本身整除的大于1的整数。
比如说2、3、5、7等都是素数。
现在题目给出了一个范围：5到8。
我们要在这个范围内找到素数。
我们可以这样想：既然5到8之间的数都是奇数(因为偶数都可以被2整除),那么我们就可以从最小的奇数开始判断了。
首先判断5是否是素数，发现5不能被除了1和5以外的其他数整除，所以5是素数。
接下来判断6、7、8是否是素数，发现它们都不能被除了1和它们本身以外的其他数整除，所以它们也是素数。
因此，在5到8之间有3个素数：5、7、8。
例子二：在1到20之间，有多少个偶数？这个问题也很简单吧？我们只需要知道偶数是可以被2整除的整数就可以了。
现在题目给出了一个范围：1到20。
我们要在这个范围内找出所有的偶数。
我们可以这样想：既然偶数可以被2整除，那么我们就可以用2去除每一个数，看结果是否为整数。
如果结果为整数，那么这个数就是偶数。
例如，用2去除1得到1,是整数；用2去除2得到2,也是整数；用2去除3得到1.5,不是整数；用2去除4得到2,是整数；以此类推。
二次函数临界问题(教师版)
二次函数临界问题一、内容分析：函数临界问题是中考数学代数综合经常涉及的考点，培养学生通过静态位置体会动态过程，数形结合分析和解决问题，对学生能力有比较高的要求。
重点考察的是学生的快速作图能力、简单计算能力、二次函数与几何图形结合的数形结合能力。
本节内容为题型解题技巧的探究，形成解决此类问题的数学经验是核心。
二、典型例题例1. 在平面直角坐标系中，已知A（3,2），B（-1,2），完成下面问题：（1）若一次函数y=-x+b的图象与线段AB有交点，则b的取值范围为___1≤b≤5__.（2）若一次函数y=kx+3的图象与线段AB有交点，则k的取值范围为_k≤-1/3或k≥1（3）若二次函数y=ax2的图象与线段AB有交点，则a的取值范围为___a≥2/9______.（4）若二次函数y=x2+c的图象与线段AB有交点，则c的取值范围为__-7≤c≤2___.小结：以上四个问题具有什么共同点？区别又是什么?解题过程中有哪些相同的步骤？都有线段AB（不动图形），都含一个待定系数（直接影响图形运动方式），所求为此待定系数范围。
相同步骤：1、画出不动图形 2、确定动图形运动方式 3、画出临界状态4、代入临界点求出范围5、检验临界点合理性思考：以上各小题若改变交点个数，结论将如何变化？例2：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=m(x-1)2-1（m＞0）与x轴的交点为A，B．定义横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若线段AB上（包括端点）恰有5个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．分析：临界位置（1）与x轴两交点为x=-1或x=3，可以取到x=3时,y=4m-1≤0, m≤1/4（2）与x轴两交点为x=-2或x=4，不可以取到x=3时,y=9m-1>0, m>1/9 综上，1/9<m ≤1/4例3：抛物线 y=x 2-4x+3 与 y 轴交于点D ，与x 轴交于点E 、F （点E 在点F 的左侧），记抛物线在D 、F 之间的部分为图象G （包含D 、F 两点），若直线y=kx -1与图象G 有两个公共点，请结合函数图象，求k 的值或取值范围.分析：临界位置（1） 平行于x 轴，k=0, 不可以取到 （2） 过点（3,0），k=1/3，可以取到 综上：0<k ≤1/3变式：抛物线 y=x 2-4x+3 与 y 轴交于点D ，与x 轴交于点E 、F （点E 在点F 的左侧），将抛物线对称轴右侧函数值大于0的部分沿x 轴翻折，得到一个新的函数图象，若直线y =x +b 与新图象有一个公共点，请结合函数图象，求b 的值或取值范围.b<-13/4或 b>-3例4：（1）已知：21223,y x x y kx b =--=+，若只有当22x -<<时，12y y <，则2y 解析式为 __2y = -2x+1________．（2）将223(0)y x x y =--≤的函数图象记为图象A ，图象A 关于x 轴对称的图象记为图象B ．已知一次函数y kx b =+.设点H(m,0)是x 轴上一动点，过点H 作x 轴的垂线，交图象A 于点P ，交图象B 于点Q ，交一次函数图象于点 N ．若只有当13m <<时，点Q 在点N 上方，点N 在点P 上方，直接写出b 的值____6或-6______________．（3）已知：221223,(0)y x x y ax bx c a =--=++≠，设点H(m,0)是x 轴上一动点，过点H 作x 轴的垂线，交1y 于点P ，交2y 于点Q ．若只有当13m -<<时，点P 在点Q 下方，请写出一个符合题意的2y 解析式_2y _= -x 2+2x+3__（满足y=a(x+1）(x-3),其中a<0开口向下或者0<a<1开口大于y 1即可)． （4）已知：1221,y x y x m =+=+，若当1x >时，12y y >，请写出一个符合题意的m 的值__m=0 (只需交点横坐标m-1≤1即可，即m ≤2)_________．小结解题策略：1、根据已知条件画出确定的图形；2、对于不确定的图形，确定其运动方式；3、在图形的运动中先直观找到符合条件的各临界状况（移图）；4、由临界点时的参数值确定符合条件的参数的取值范围（代入计算）；5、检验边界合理性.三、真题演练1（2016北京27题）27. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与x 轴的交点为A ,B .(1)求抛物线的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点。
初中取值范围的解题技巧
初中取值范围的解题技巧在学习初中的数学时，取值范围的问题可能让很多同学觉得头疼。
别担心，今天咱们就来聊聊怎么巧妙搞定这些问题。
希望这些小技巧能帮助你轻松掌握取值范围的奥秘！1. 了解取值范围的基本概念1.1 什么是取值范围？取值范围，简单来说，就是一个变量可能取到的所有值的集合。
举个例子，就像你从一堆糖果中挑选，糖果的种类和数量就是你挑选的“范围”。
1.2 取值范围的意义理解取值范围，可以让你知道一个表达式或方程式中，变量的值大概在哪儿，能够帮助你更好地解决实际问题。
比如，如果你知道一个数的取值范围是0到10，那就意味着这个数永远不会小于0，也不会大于10。
2. 解题技巧一览2.1 代入法代入法就是把已知的条件代入到方程中，看看能得到什么结果。
比如，有个问题说x的范围是2到5，咱们就可以把这些值代进去，看看结果会是什么样的。
2.2 不等式的应用不等式就是用来表示范围的利器。
比如，x > 3 并且 x < 7，这就表示x的取值范围在3到7之间。
这种方法简单直接，很容易上手。
3. 实战练习3.1 例题分析假设有个方程 x^2 4x + 3 = 0。
要找到x的取值范围，我们可以先解这个方程，得到x的具体值。
然后再看这些值如何影响取值范围。
3.2 常见陷阱有时候，问题可能会设置一些陷阱，比如把范围变得更复杂。
记住，在遇到这种情况时，先理清楚问题的条件，再逐步求解。
比如，如果问题涉及到绝对值或者平方根，可能就需要更仔细地处理。
4. 小贴士和总结4.1 画图法有时候，画图能帮助你更直观地理解取值范围。
比如画一个数轴，把取值范围标出来，就能一目了然地看到哪些值是符合条件的。
4.2 多做练习最后，做题是最好的学习方法。
通过不断地练习，慢慢你会发现自己对取值范围的理解越来越透彻，也能够更自信地面对各种问题。
希望这些小技巧能帮助你在取值范围的问题上游刃有余。
记住，解题的过程中保持耐心，多做练习，你一定能够把这块内容搞得明明白白！加油吧！。
专题临界和极值问题优秀课件
A
速度向左运动时，小球对滑块的压力为零？
450
⑵.当滑块以加速度a=2g向左运动时，线 中张力多大？
解：（1）根据牛顿第二定律得
T a0
450
mgtan450m0aa0gta4n05g
mg
因此当滑块至少以加速度g向左运动时，小球对滑块的压力为零.
（2）a=2g > a0 ,小球离开斜面，设此时绳与竖直方向的夹角为
FA(mM)a ①
mgMa②
A mm
BM
A mm FmA
BM
联立①②两式解出 FAm(mM M)g
量变积累到一定程度，发生质变，出现临界状态．
⑵设保持A、B相对静止施于B的最大拉力为FB ,此时A、B之间达 到最大静摩擦力μmg，对于整体和物体A，分别应用牛顿第二定
律
FB(mM)a①
mg如图示
k1xmsgin①
kx1
k xmsginmcao ②s
θ
mcgo sNmsa in③
随a 增大，弹簧伸长，弹力F增
mg
向右加速运动时 大，支持力N减小，直到N=0时， 为最大加速度。
mg
kx2 sin
④
联立①④两式解出小物块在斜面体 上相对于斜面体移动的最大距离
mgco2s x2x1 ksin
第二定律
aAaBmAF mB3.3m/s2
(2)当F=20N＞15N时, A、B一定相对滑动，对于A和B分别应用
牛顿第二定律
aA
fm mA
5m/s2
aBFm Bfm7.5m/s2
两个物体之间发生相对滑动的临界条件是（1）它们之间的摩擦力达到最
大静摩擦力（刚好滑动）（2）它们的加速度相等（刚好不滑动）。
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临界点和取值范围问题是中考数学常考内容之一，一般与几何、函数一起考查，而取值范围问题，可能涉及不等式和代数式有意义的问题。
我们今天简单看一下临界点问题和取值范围常考哪些内容。
（1）求取值范围：
①根据判别式求取值范围：
例：已知x2-2mx+m+6=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围
思路：显然有两个不相等的实数根需满足△=b2-4ac＞0，本式中a=1，b=-2m，c=m+6。
所以有（-2m）2-4（m+6）=4（m-3）（m+2）>0
易知 m的取值范围为m<-2或m>3
②有无数解问题：
例：?若ax2+ax+1>0恒成立，求a的取值范围。
【一般不等式均有无数解，这里我们说是恒成立】
思路：实际上是考查对二次函数图像的认识，因为不等方程是＞0，所以二次函数需满足开口向上即a>0,且与x轴无交点，即判别式△<0,易知0<a<4
例：?关于x的不等式2x+5-a>1-bx恒成立，试确定a，b的取值范围。
思路：对于任意的方程ax+b=0，只有在a和b同时为0的时候，方程有无数解（为什么？因为a=0，则ax恒为0，与x的取值无关）。
而对于不等式ax+b>0，则必须是在a=0，b>0，时才可能恒成立。
所以此题先移项化为（2+b）x+4-a>0，则有b=-2,a<4。
②无解问题（二次函数问题不再举例）：
例：?
思路：不等式组无解的思路是让两个不等式解到的解无公共部分例如（不存在x>1且x<0的值）。
本题中x-3（x-2）≤4，解得x≥1，第二个分式不等式解得x＜a，所以只需保证a不大于1即可，即a≤1。
（注意对于a是否能取1，不熟练时单独拿出来分析一下）
?我们将上一题略微改动：
思路：注意改动的位置，第一个不等式不等式改变，则解变为了x≤1，而整个不等式组的解也是x≤1，所以第二个不等式解到的解必须是x<b,且b需要时大于1的数。
而第二个不等式移项化简后未（3a-2）x<a。
所以必须有3a-2>0，且a/（3a-2）>1，解得2/3<a<1【同样，临界点a=1可以单独拿出来分析】
③代数式有意义问题（定义域）：
一般情况下初中阶段代数式有意义的问题主要是偶次（初中一般就是根号）根下代数式需大于等于0，分式中分母不等于0。
例：
显然此题即有根号又有分式需满足x-2>0,3-x≥0，则2<x≤3。
④给定x的范围求y的范围（值域）：
最简单的问题是一次函数：若y=-2x+4，且x>4，试求y的取值范围。
因为x>4,则-2x<-8,所以y=-2x+4<-8+4=-4，但对于二次函数问题则变得稍微复杂一些：
例?：求关于x的函数y=x2-4x+9在实数范围内y的取值范围
显然可以进行配方或直接应用顶点公式，这里举例是非常简单的所以进行配方（根据（a+b）2=a2+2ab+b2，一对一的凑出来，这里把x看成a，2b应该对应-4，则b=-2，b2=4）：
y=x2-4x+4+5=（x-2）2+5≥5
?：还是上面的题目，关于x的函数y=x2-4x+9在0<x<3时y的取值范围。
有的同学非常聪明，直接将x=0和x=3，代入后y=9或y=6，所以6<y<9。
注意：这样做未考虑其他取值情况，而实际上当x=2时y取最小值5，故y的取值范围是5≤y＜9。
（2）临界问题：
一般情况下在确定某代数式的取值范围时均会考虑临界问题，以上举例中的各边界点均是临界，但在几何中和二次函数或反比例函数找交点时略有不同，常常与动点一起考查。
①几何相关
例?：Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点（不包括点B、C），PE ⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的取值范围是？
思路：我们能看出来的是AFPE是个矩形，这样求EF其实就演变成了求AP。
P点在移动过程中当AP垂直BC时最小，当移动到C点时最大。
当垂直时：5×AP=3×4，AP=12/5,而移动到C时最大为4，显而易见。
例?：如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点A、B、C的坐标分别是（3，3）、（2，-2）、（0，c），则当△ABC成为锐角三角形时，c的取值范围是_________________.
如图左图是给出的图形，有图我们找临界点，首先C向上移动不能超过上红线、向下移动不能超过下红线同时，移动过程中∠ACB还会经历一个从小变大再变小的过程，我们还要找到中间的临界点，这道题对于高中阶段解答起来要比初中容易的多（斜率相乘等于-1），也不是不可解。
首先距离公式推导（按下图，AD和BD均用AB坐标来表示出来，不推导出公式也可以，但要会计算d2=（x1-x2）2+（y1-y2）2：
AB2=AD2+BD2=1+25=26
上方临界点：（c-3）2+9+26=4+（c+2）2解得c=3.6
下方临界点：26+4+（c+2）2=（c-3）2+9解得c=-1.6
验证中间临界点：（c-3）2+9+4+（c+2）2=26解得c=2或c=-1。
则可知c点的取值范围被分成了两段-1.6到-1,2到3.6。
几何题先举例此两题
②函数问题
例：
这是某年北京市中考压轴题，其中第二问的第二小题便是临界问题，需要画图：
蓝线便是临界（一般解题思路是一点点的平移）
k值已计算得4，而实际上直线平移过程中与y轴的交点便是（0，b），简单理一下思路：
例：已知点A，B的坐标分别为（1，0），（2，0），若二次函数y=x2+（a-3）x+3的图像与线段AB只有一个交点，则a的取值范围是（）。
一定要画一画：
明确一点：此二次函数开口向上：那么如果二次函数与x轴只有一个交点，那么此时
（a-3）2-12=0，解得
显然当a=3+2√3时满足题意。
另外：若另一个交点在右侧，一个在其中则有当x=2时y<0,当x=1时，y≥0，即-1≤a ＜-1/2;
若另个一交点在x轴左侧，一个在其中则有当x=2时y≥0,当x=1时，y＜0，此时无解。
所以a的取值范围是a=3-2√3或-1≤a＜-1/2。
返回头再看此题实际上需满足x=1和x=2时y的取值异号或其中一个为0即可，
即求（2a+1）（a+1）≤0,且判别式大于等于。