2-d 连续-离散系统的稳定性、可控性与可观测性判据
2-D连续-离散系统的迭代学习控制
，
］ ∈Ｒ ， Ｙ＝［ Ｙ １ ， Ｙ ２ ， …， Ｙ ］ Ｅ Ｒ ， 若 有 ≤
（ ｉ ＝１ ， ２， …， ｎ ） ， 定 义为 ＜ｙ ． 对 给定 的 Ａ＞ ０， 定 义
（ Ｉ ￡ ， ２ ／ ） Ｉ ＾ ＝ｍ ａ ｘｅ Ｉ （ ｔ ， ２ ／ ） ｌ ， ２＝ ／ ０， １ ， ２ ， …， Ⅳ，
ｆ 苎
：。 （ ， ｎ＋１ ）＋
｛口 （ ｔ ， ｎ ） ＋ ｂ ｕ （ ｔ ， ｎ ） ，
Ｌ ｙ （ ｔ ， ２ ／ ） ＝ｃ （ ｔ ， ｎ ）＋ｄ ｕ （ ｔ ， ｎ ） ，
（ ）
间内， 用 Ｄ型学 习律 或 Ｐ型 学 习 律进 行 控 制 设 计 ．
Ｄ型学习律构建得到迭代学习控制律 ， 利用迭代收敛原 理 ， 证 明这 ２种学习律 都能使 得系统 的输 出跟踪误
差沿迭代轴方 向收敛． 关键词 ： Ｐ型学 习律 ； Ｄ型 学 习 律 ； 迭 代 学 习控 制 ； ２一 Ｄ 连 续 一离 散 系 统
中 图分 类 号 ： Ｔ Ｐ １ ３ 文献标志码 ： Ａ 文章编号 ： １ ０ ０ １— ８ ３ ９ ５ （ ２ ０ １ ５ ） ０ ２— ０ ２ １ １— ０ ７ ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ Ｏ Ｏ １— ８ ３ ９ ５ ． ２ ０ １ ５ ． ０ ２ ． ０ １ ２
边值 条 件为 ： （ ｔ ， ０ ）＝ － 厂 （ ｔ ） ， ｘ （ ｏ， ｎ ）＝ ｇ （ ｎ ） ．
本文 提 出 ２一Ｄ连续 一离散 系统 的迭 代 学 习控 制 问题 ， 并 针 对 一类 ２一Ｄ线性 连 续 一离 散 系 统进
行 控 制器 设 计 ． 当系统 的输入 、 输 出有 直 输通 道 时 ，
离散系统能控性判据
对任意的 x0和x f 取：u(t) BT e AT (t f t)Wc1(t f )[e At f x0 x f ]
x(t f ) eAtf x0
t f e A(t f ) Bu( )d
0
e Atf x0
tf 0
e A(t f
BB e )
T AT (t f
2019/8/24
北京科技大学信息工程学院自动化系
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线性系统的能控性与能观性-问题的提出
例1
(1)求系统状态空间表达式
1 R
(u(t)
uc1
(t)
RC
duc1 (t) dt
)
C
duc1 (t) dt
C
duc2 (t) dt
1 R
(u(t)
uc2
(t)
RC
duc2 (t) ) dt
C
duc1 (t) dt
2 4 Uc 0 1
1 1
detUc 72 0 系统能控
6 7 12
结论3：(PHB秩判据)系统(A, B)能控的充要条件是n (n p)维矩阵
[A iI, B]，对A的所有特征根都是行满秩。
证明：( A, B)能控 [ A i I , B]满秩(反证法)。[ A i I , B]不满秩，则存在 及n维非零列向量，使得： T [ A I , B] 0 T A T , T B 0
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线性系统的能控性与能观性-问题的提出
例2
取：x1 iL1 x2 iL2
现代控制理论3 第三章 线性系统的可控性和可观测性
A'
0
0
0
a0 a1 a2
0
0 可
0
0
B'
控 标
1
an1
0 1
准 形
AT=A’
BT=B’
0 0 0 1 0 0 A 0 1 0
a0
a1
C 0
0 1
0 0
a2
可观标准形
1 an1
结论：状态方程具有可观测标准形的系统一定可观测。
C 0 0
CA
0
0
V
CA2
3.2线性定常系统的可观测性
1．线性定常离散系统状态可观测性
(1) 离散系统可观测定义
x(k 1) Gx(k) Hu(k ) y(k) Cx(k) Du(k)
已知输入u(0)，…，u(n－1)的情况下，通过在
有限个采样周期内测量到的输出y(0)，y(1)，…， y(n-1)，能唯一地确定任意初始状态x(0)的n个分量， 则称系统是完全可观测的，简称系统可观测。
(2) 线性定常连续系统可控性判据
若线性定常连续系统的状态方程为
x Ax Bu
则该系统可控的充分必要条件为其可控性矩阵
Sc B AB
满秩，即 rankSc n
An1B
示例
(3) 可控标准形
结论：状态方程具有可控标准形的系统一定可控。
x1 0
x2
0
xn
1
0
xn a0
使上述方程组有解的充分必要条件是
Sc' Gn1H
GH H
满秩，且 rankSc' n
亦即 Sc H GH
Gn1H 且rankSc n
离散可控性例题
连续离散控制系统课件第3章控制系统的稳定性
• 研究稳定性包含两个目的：
– 判定控制系统是否具有稳定性及其稳定的程度； – 如果系统不稳定或稳定程度较差如何使其稳定及
如何提高稳定程度。
2020/11/12
稳定性的定义（续1）
• 控制系统受到外界扰动而偏离了原来的平 衡状态，当扰动消失后，若系统能够逐渐 地恢复到平衡状态，则称系统是渐近稳定 的，简称稳定。
系统是否 s6 1 稳定？ s5 1
s4 1
s3 1
s2 3 s1 1 s0 8
• 系统具有正实部的闭环极点个数等于劳斯 表第一列诸值符号改变次数的总和。
• 在例3.1中第一列所有值均为正数，故系统 是稳定的。在例3.2中由于出现了一行各列 值全为零，故系统是不稳定的。由于第一 列值变号次数为1，该系统有一个闭环极点 在S平面的右半平面(s1=1)。
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劳斯判据举例一
2. 某行所有单元值为零：此种情况系统肯定 是不稳定的，但若为其它目的可按下述方 法处理。用该行的上一行对应单元值建立 一个辅助方程。对辅助方程求一次导数获 得一降阶方程。用降阶方程对应幂次的系 数代替全零行各单元值并继续计算。
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几种情况的处理方法（续1）
• 重要性质：若某行所有单元值全为零，则 该系统必然具有关于[S]平面原点对称的闭 环极点存在。其辅助方程的根一定是闭环 极点。
• 例3.3已知系统特征多项式如下，判定稳定性和闭
环极点分布的状况：
2s7+3s6+s47s5+32s4+5s34+s2+5s5+3 5
胡寿松《自动控制原理》笔记和课后习题(含考研真题)详解(线性系统的状态空间分析与综合)【圣才】
具有非正（负或零）实部，且具有零实部的特征值为 A 的最小多项式单根。
（2）系统的唯一平衡状态 xe＝0 是渐近稳定的充分必要条件：A 的所有特征根均具有
3．线性定常连续系统状态方程的解 （1）齐次方程求解方法：幂级数法；拉普拉斯变换法。 （2）非齐次方程求解方法：积分法；拉普拉斯变换法。
4．传递函数矩阵 表达式：G（s）＝C（sI－A）－1B＋D
二、线性系统的可控性与可观测性 1．可控性 如果系统的每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制，而由任意的始点达到原点， 则该系统是完全可控系统，简称为系统可控。 （1）可控标准形
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的任意初始态 x0 出发的运动轨迹 x（t；x0，t0），在 t→∞都满足：||x（t；x0，t0）－xe||≤ε，
t≥t0，则称 xe 是李雅普诺夫意义下稳定的。
（3）渐近稳定
系统不仅满足李氏意义下的稳定，且
（2）可观测性判据
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《自动控制原理》 线性离散系统的可控性和可观测性
于n个采样周期。
例9-19 设单输入线性定常离散系统状态方程为
1 0 0
1
x(k
+ 1)
=
0
2 − 2 x(k) + 0u(k)
−1 1 0
1
试判断其可控性；若初始状态 x(0) = 2 1 0T ，确定使 x(3) = 0 的控
制序列 u(0),u(1),u(2); 研究使 x(2) = 0 的可能性。
3）如果离散时间系统（9－135）或（9－136）是相应连续时间
系统的时间离散化模型，则其可控性和可达性是等价的。
上述等价条件的简单证明可参阅有关参考文献，此处不在详述。
(3)线性定常离散系统的可控性判据
设单输入线性定常离散系统的状态方程为
x(k +1) = Gx(k) + hu(k)
（9－137）
系统在时刻 l 是完全可观测的.
(2)线性定常离散系统的可观测性判据
设线性定常离散系统的动态方程为
x(k +1) = Gx(k) + Hu(k), y(k) = Cx(k) + Du(k) （9－153）
其中 x(k) 为n维状态向量， y(k)为q维输出向量，其解为
k −1
x(k) = G k x(0) + G k−1−i Hu(i) i=0
由 x(1) = Gx(0) + Hu(0) = 0 可得
0 − 2 1 0 0
−1 2
x(0) = −G −1Hu(0) = −0 1
−1 2 3
0 0 − 21
1 0
u1 u2
(0) (0)
=
0 2
1 u1(0) −23u2 (0)
自动控制理论智慧树知到答案章节测试2023年山东大学
第一章测试1.自动控制系统的工作原理是检测{偏差}，再以{偏差}为控制作用，从而消除偏差。
（）A:对B:错答案:A2.自动控制装置由{测量元件}，{比较元件}，调节元件，{执行元件}四部分组成。
（）A:错B:对答案:B3.连续系统是指系统中各部分的输入和输出信号都是连续变化的模拟量。
（）A:对B:错答案:A4.线性定常系统是用线性常系数微分方程描述的系统。
（）A:对B:错答案:A5.给定输入是对系统输出量的要求值。
（）A:对B:错答案:A6.被控量是指被控系统所要控制的物理量。
（）A:对B:错答案:A7.被控对象是指被控制的机器，设备和生产过程。
（）A:对B:错答案:A8.下列选项中，开环控制系统是指系统的输出量对系统（）。
A:无控制作用B:其他选项都包括C:有无控制作用答案:A9.闭环控制系统是系统的输出量对系统有控制作用。
（）A:对答案:A10.开环控制系统的特点是结构简单，无反馈，不能纠正偏差。
闭环控制系统的特点是能自动纠正偏差，需要考虑稳定性问题。
（）A:错B:对答案:B第二章测试1.求图示系统的传递函数（）A:B:C:D:答案:B2.下列选项中，求图示无源网络的传递函数G(S)==（）A:B:C:D:答案:B3.下列选项中，求图示无源网络的传递函数G(S)==（）A:B:C:D:答案:D4.下列选项中，求图示无源网络的传递函数G(S)=（）A:B:C:D:答案:C5.用解析法列写线性系统的微分方程有哪些步骤？（）。
A:确定输入输出、根据物理定律列元件各变量的微分方程、消中间变量、标准化B:确定输入、根据物理定律列元件各变量的微分方程、标准化C:确定输入输出、根据物理定律列元件各变量的微分方程、消中间变量D:确定输入、根据物理定律列元件各变量的微分方程、消中间变量、标准化答案:A6.传递函数与输入和初始条件无关。
（）A:错答案:B7.物理性质不同的系统，完全可以有相同的传递函数。
（）A:错B:对答案:B8.状态向量是以状态变量为元所组成的向量。
东电考研大纲841、842、843、844、845、846
（1）841 自动控制原理一、考试形式与试卷结构1、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟2、考试方式考试方式为闭卷、笔试3、试卷的题型结构选择填空题，分析计算题，综合设计题二、考察的知识及范围第一章自动控制系统导论内容：（1）自动控制系统的一般性概念和基本工作原理；（2）反馈控制系统的基本组成、分类及对控制系统的基本要求；（3）《自动控制原理》课程研究的主要内容及其发展现状。
重点掌握：自动控制系统的一般性概念和基本工作原理；反馈控制系统的基本组成、分类及对控制系统的基本要求第二章控制系统的数学模型内容：（1）复数和复变函数的基本概念，拉普拉斯变换和拉普拉斯反变换；（2）控制系统研究中几种主要数学模型：微分方程、传递函数和频率特性的内在联系；（3）典型环节的数学模型；（4）常见电气系统和一般机械系统的数学建模；（5）方块图的化简法则；（6）利用梅逊公式求取系统的传递函数。
重点掌握：传递函数的概念、结构图的建立与等效变换、梅逊公式第三章自动控制系统的时域分析内容：（1）系统阶跃响应性能指标；（2）一阶、二阶系统阶跃响应的特点及一阶、二阶系统动态性能；（3）高阶系统动态性能（4）线性系统稳定的充要条件；（5）利用劳斯判剧判别系统的稳定性；（6）稳态误差的定义；（7）稳态误差系数的求取及减小或消除系统稳态误差的方法；重点掌握：稳定性、稳态误差、系统阶跃响应的特点及动态性能与系统参数间的关系等有关概念，有关的计算方法。
第四章根轨迹法内容：（1）根轨迹的定义、幅值和相角条件；（2）根轨迹的绘制法则；（3）利用根轨迹分析系统的特性。
重点掌握：根轨迹的绘制方法，利用根轨迹分析系统的特性。
第五章线性系统的频域分析法内容：（1）频率特性的定义、求法及性质；（2）线性系统极坐标图画法；Nyquist图稳定判据的应用；（3）线性系统伯德图的画法；最小相位系统的定义及性质；（4）利用Bode图求取系统稳态误差；增益裕量和相位裕量的定义、物理意义和求取；重点掌握：正确理解频率响应、频率特性的概念及特点，明确频率特性的物理意义；熟练掌握运用奈奎斯特稳定判据和对数频率判据判定系统稳定性的方法；熟练掌握计算稳定裕度的方法。
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2-d 连续-离散系统的稳定性、可控性与可观测性判据
一、稳定性
连续离散系统稳定性是指系统状态值不断变化，但随着时间的推移，系统的解不会离开某一区域或范围，满足系统的平衡。
可以用Lyapunov准则来判断一个系统的稳定性，即找出一个函数V，系统的长期行为是满足V的进行，且由此可以确定系统的长期行为的变化趋势。
此外，系统稳定性还可以通过极点分析方法来判断，即系统极值处被定义为极点，并从中探索该系统在极点上是否稳定，以及该极点处系统解是否存在漂移和消失。
二、可控性
可控性是指系统的响应是通过控制器实现的，系统可以通过增加输入电压或输出力量来改变系统的输出响应，从而达到预期的解决方案。
可控性分析要求系统具有足够的响应能力，可以通过增加输入电压来改变系统的行为，但它的响应有限制，不能随意增加，而且可能受外界环境约束。
三、可观测性
可观测性是指系统的特性是可以通过测量来获取的，即可以观察系统的特性，推断出它是如何变化的，并且根据以往所观察到的特征来推测它在将来的变化趋势。
可观测性分析可以使用状态空间方程，用于获得关于系统的当前及未来设计状态的量化描述，从而确定系统的特征及其变化趋势。