吴望一《流体力学》第一章部份习题参考答案(p48-p50).

吴望一《流体力学》第一章部份习题参考答案（p48-p50）1(2) 11, id r rgrad gradr gradr r dr x ⎛⎫ ⎪∂⎝⎭=⋅=∂直角坐标系下12()j j r x x =故1122311()()()2221i j j j j j j i i i x r gradr x x x x x x x x x r r r r grad r r-∂∂=====∂∂=- 若使用球坐标系r r r rgradr e e r r∂===∂ （3）()()j j j j j ij j i ix grad c r c x c c c c x x δ∂∂⋅=====∂∂ (5)()2()()()()22()2()ijk j k imn m n jm kn jn km j m k n k j k k j j k k j k k j j j j k l l ll j j l k k j l j grad c r c x c x c c x x x x x x c c x x c c x x c c c c x x x x c c c c x c c c r c c c c r εεδδδδ⎡⎤⨯=∇=∇-⎣⎦∂∂∂=-=-∂∂∂=--=⋅-⋅2.设x 和y 代表两个函数111111()()()m n n m m n n m m n mngrad x y y mx gradx nx y grady mgradx y x x y mx y gradx x y ------=+=+=+()0.m my gradx grad y x n nmy x const n ⇒-=⇒-=grad =3．00x x y yφϕφϕφϕ∂∂∂∂+=⇒∇⋅∇=⇒∂∂∂∂等φ线的法向n φ与等ϕ线的法向n ϕ满足0n n φϕ⋅=。

即两者正交。

考虑到等φ线与等ϕ线分别与各点的n φ和n ϕ正交，可知等φ线和等ϕ线正交。

4. cos cos MK MN grad grad s sφαφαφ∂==⋅=⋅=∂（设MN 与MK 夹角α=，s 为MK 方向的单位向量）5. 设椭圆焦距c ，则1212121221222221221111221112(), ()11()1cos 1cos r x c i yj r x c i yj r r n r r r r r n r r r r r r r r r n r r r r r r r r φφφφαφβφ=-+=++⎛⎫∇==∇+∇=+ ⎪∇∇∇⎝⎭⎛⎫⋅⋅⋅==+ ⎪∇⎝⎭⎛⎫⋅⋅⋅==+ ⎪∇⎝⎭显然cos cos αβ=，二者皆为锐角必然相等。

7. 1MM =1s ∂∂φ,22MM s φ∂=∂，在1M 和2M 点分别作与垂直于1s 和2s 的直线，二者交于0M 点。

0MM 向量即为φ∇。

8(1) 12121212()()i i i ii i ia a a a div a a a a x x x ∂+∂∂+==+=∇⋅+∇⋅∂∂∂(2) ()()i i i i i ia div a a a a a x x x φφφφφφ∂∂∂==+=⋅∇+∇⋅∂∂∂ (3)()()()()()()()c c c c c div a b a b a b a b b a b a b rota a b b rota a rotb⨯=∇⋅⨯=∇⋅⨯+∇⋅⨯=-∇⋅⨯+⋅∇⨯=⋅-⋅∇⨯=⋅-⋅ 附：证明()()()()()c c ic ijk j ki i j jkiijk j k ka b a b a b b a b a x b ba b a a x x εεε∇⋅⨯=-⨯∇⋅=-⋅∇⨯∂⨯∇⋅=∂∂∂⋅∇⨯==∂∂1s2s本题亦可用张量表示法证明如下：()()()()()j kijk j k ijk k ijk j i i ij kkijk j jik iia b a b a b b a x x x a b b a b a a b x x εεεεε∂∂∂∇⋅⨯==+∂∂∂∂∂=+-=⋅∇⨯+⋅-∇⨯∂∂(4) 3iix divr x ∂==∂ (5) ()()i i i i r r rc rc c c r c x x r∂∂∇⋅===⋅∇=⋅∂∂ (7)()()()()()()()()()3212121211223122()13232222j j i j j i i ii i j jj j j j i j j i j j i i j jj j j jjj jj x x x x x x x x xr r x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x rxx xx --∂∂-⎡⎤∂∂∂⎢⎥∇⋅==⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦--=====或23131312c c c r r r r grad r r r r r r r r r r r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∇⋅=∇⋅+∇⋅=+⋅=+-⋅=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（附：2)(vv u v u v u '-'='） (8)()()()()()()()2j i ij i i jjji i ii jj jki i j ki i j kj kjb x a b r a b a x r r a x x a x ax a r a xx d i v a r a r a a x δεεδ∂⎡⎤∇⋅⋅==⎣⎦∂∂∇⋅⋅==+=⋅⎡⎤⎣⎦∂∂⨯=-⋅∇⨯=-=-∂ （附：ij jix x σ=∂∂） （9）()444434()347c rdiv r r r r r r r r r r r=∇⋅+∇⋅=+⋅=(10)()()()()()ijk j k i rr w r r w r w r r rw x w r x rε∂∇⋅⨯=∇⋅⨯+⨯⋅∇=+⨯⋅⎡⎤⎣⎦∂ 00ijk j ik r w εδ=+=(11)()()()()a r b r a b b a r a b r a b ⎡⎤⎡⎤∇⋅⨯⨯=∇⋅⋅-⋅=⋅∇⋅-⋅⎣⎦⎣⎦()()32a b a b a b =⋅-⋅=⋅ (12) 参见（10）9. (2) ()()()()c c ijkk ja a a a a x φφφφεφ∂∇⨯=∇⨯+∇⨯=+∇⨯∂grad a rota φφ=⨯+ (3) ()()00f r r gradf r f r f gradr r f '∇⨯=⨯+∇⨯=⨯+⋅= 附：0,rr r r∇⨯=∇=(4)()()()ijkk m m ijk k m mj jb r a b x a b a x εεδ∂∇⨯⋅==∂ijk j k a b a b ε==⨯ (5) ()rra r a a r a r∇⨯=∇⨯+⨯∇=⨯(6)见讲义10以下各式中下角标c 代表对该矢量或标量不求导基本公式： ()()(), ()()()a b c b a c c a b a b c c a b b c a ⨯⨯=⋅-⋅⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯，ijk imn jm kn jn mk εεδδδδ=-方法1——矢量运算方法（1）()()()()()()()c c c c v a v a v a a v v a a v v a φφφφφφφ⋅∇=⋅∇+⋅∇=⋅∇+⋅∇=⋅∇+⋅∇ （2）()()()()()()()()c c c c c a b c a b c a b a c b b c a ⋅∇⨯=⋅∇⨯+⋅∇⨯=⨯⋅∇-⨯⋅∇()()b c a a c b =-⨯⋅∇+⨯⋅∇（3）()()()()()()()()c c c c c c c c a b rotc a b c a b c a b b a c b a c a b c⎡⎤⨯⋅=⨯⋅∇⨯=⨯⨯∇⋅⎣⎦⎡⎤=-⋅∇+⋅∇=⋅⋅∇-⋅⋅∇⎣⎦（4）()()(), c a b a b a b ⨯∇⨯=-∇⋅+∇⋅()()()c a b a b a b ⨯∇⨯=∇⋅-⋅∇两式相减得到()()()()a b a b a b a b ⨯∇⨯=-∇⋅+⋅∇+⨯∇⨯（5）()()()()3,0,()()2a r a r a r a r r r a r aa r a⨯∇⨯=-∇⋅+⋅∇+⨯∇⨯∇⋅=∇⨯=⋅∇=⨯∇⨯=-（6）()()()()()()()c c c c c c a b a b a b a b b a a b a b ∇⨯⨯=∇⨯⨯+∇⨯⨯=-∇⋅+⋅∇+∇⋅-∇⋅利用()()()c a b a b a b ⨯∇⨯=∇⋅-⋅∇将()c a b ∇和()c a b ∇换掉得到()()()()()()()()c c a b b a b a b a a b a b a ba b a rotb rota b adivb∇⨯⨯=-⨯∇⨯-⋅∇+⋅∇+∇⋅-⨯∇⨯-⋅∇=-⋅∇-⨯+⨯+方法2——张量代数方法 （1）()()()()j i j i j i i i ia v a v a v a v a v v a x x x φφφφφφ∂∂∂⋅∇==+=⋅∇+⋅∇∂∂∂ （2）()()()()()()()m n ilmn m n lmn i n lmn i m i i ilmn n i m lmn m i n i ia b c a b c a b c b c a x x x b c a a c b b c a a c bx x εεεεε∂∂∂∇⨯==+∂∂∂∂∂=+=-⨯⋅∇+⨯⋅∇∂∂（3）()()()()n n ijk j k lmnil ijk lmn j k m mj n k jm kn jn km j k j k j k c c c c m j kc ca b rotc a b a b x x c c ca b a b a b b a c a b cx x x εεδεεδδδδ∂∂⨯⋅==∂∂∂∂∂=-=-=⋅⋅∇-⋅⋅∇∂∂∂（4）()m m mlim ijk j ilm ijk j lk mj lj mk j k k kj j k l l k jlj j j l lk j j l kjl j j l n n lji j imnilj imn j m b b b (a )b a a a x x x b b b b b b a a a a a a x x x x x x b b (a )b a ()a(b )x x b b a rotb a a x x εεεεδδδδεεεε∂∂∂⨯∇⨯==-=-∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-=-+-∂∂∂∂∂∂∂∂=∇---∇∂∂∂∂⨯==∂∂注意到()j n llm jn ln jm j j j m m l jb b ba a a x x x δδδδ∂∂∂=-=-∂∂∂可得证。