四川省成都市石室中学2021届高三上期期末考试数学(理)试题 PDF版含答案
D．函数
f
x
的递增区间为
k 2
3
,
k 2
6
k
Z
9. 若函数 f (x), g(x) 的图象都是一条连续不断的曲线，定义: d f , g f x g x .若函数 min
f (x) x a 和 g(x) ln x 的定义域是 (0, ) ，则“ a 2 ”是“ d( f , g) 2 ”的（ ）
D．4
A． y 2
B． y 2
C． x 2
D． x 2
3．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ，且 S7 28, a2 a4 7 ，则 a6 （ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
4. 欧拉公式 ei cos i sin 把自然对数的底数 e ，虚数单位i ，三角函数 cos 和 sin 联系在一起，充分
sin B sin C 2 sin2 A sin B sin C 中任选一个，补充在横线上，并回答下面问题.在 ABC 中，已知内角
A, B,C 所对的边分别为 a,b, c 若 c ( 3 1)b ，______.
（Ⅰ）求 C 的值； （Ⅱ）若 ABC 的面积为 3 3 ，求 b 的值.
体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”，若复数 z 满足 ei i z i ，则 z （ ）
A．1
B． 2 2
C． 3 2
D． 2
5. 2020 年初，新型冠状病毒（COVID-19）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治 疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示：
2
②. 若 y ax a 1 为回旋函数，则 t 0 ；
③．函数 f (x) x2 不是回旋函数； ④．函数 y tan 1x( 1 0) ，函数 y sin 2x( 2 0) 是回旋函数，则 1, 2 的取值的集合是相等的.
三、解答题：共 70 分．（一）必考题：共 60 分
17．（本小题满分 12 分）在① c sin B C a sin C ；② 2cos A(bcosC c cos B) a ；③ 2
16．已知定义在 R 上的函数 f x 的图象连续不断，若存在常数 t(t R) ，使得 f (x t) tf (x) 0 对任意的实数 x 成立，则称 f x 是回旋函数.给出下列四个命题中，正确的命题是________ ①．若 f x 是 t 1 的回旋函数，则函数 f x 至少有一个零点；
个数为（ ）
A．1009
B．1010
C．1011
D．1012
12. 2020 年 12 月 17 日，嫦娥五号返回器在内蒙古安全着陆，激动人心！“切线数列”在航空航天中应用广
泛，若数列{xn} 满足 xn 1
xn
f f
(xn ) (xn )
，则数列 {xn } 为函数
f
(x)
的“切线数列”.若函数
f
2 2
D． ( 5, 2 1)
11.已知 x 为实数，[x] 表示不超过 x 的最大整数，若函数 f (x) 对定义域内任意 x ，有 f (x) f (2 x) 0 ，
f (x) f (2 x) 0 ，且 x [ 1,0]时， f (x) x [x] ，则函数 g(x) f (x) ex 在区间[1, 2021] 的零点 2 ex
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
10.
圆 C : x2
y2
10x
16
0
上有且仅有两点到双曲线
y2 a2
x2 b2
1(a 0, b 0) 的一条渐近线的距离为
1，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．
5 4
,
5 2
B． ( 2, 5)
C．
5 2
,
5
统计图如图所示，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的方差为________．
14．已知 a,b R ，若直线 a 1 x 2y 1 0 与直线 x by 7 0 互相垂直，则 ab 的最大值等于______.
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15．直三棱柱 ABC A1B1C1 内有一个体积为V 的球，若 ABC 是边长为 6 3 的等边三角形， AA1 5 ，则V 的 最大值为________
0,0
2
的图象关于点
6
,
0
成中心对称，且与直线
y
a 的两个
相邻交点间的距离为 ，则下列叙述正确的是（ ） 2
A．函数 f x 的最小正周期为
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B．函数
f
x
图象的对称中心为
k
6
,
0
k
Z
C．函数 f x 的图象可由 y tan 2x 的图象向左平移 得到 6
A． 5
B． 2 5
C． 15 3
D． 2 15 3
7. 已知直线 l 和两个不同的平面 、 ，则下列结论正确的是( )
A．若 l// ， l ，则 C．若 l// ， l // ，则 //
B．若 ， l ，则 l D．若 ， l//α ，则 l
8.
已知函数
f
x tan x
周数（x）
1
2
3
4
5
治愈人数（y） 2
7
9
13
14
由表格可得 y 关于 x 的线性回归方程为 yˆ 3x a ，则此回归模型第 4 周的残差（实际值与预报值之差）为
()
A．4
B． 1
C． 0
D． 1
6. 已知向量 a ， b 的夹角为 2 ， a 1,2 ， a a 2b 0 ，则 b 等于( ) 3
成都石室中学 2020—2021 学年度上期高 2021 届期末考试
理科数学试题
一、选择题（共 12 小题；共 60 分）
1．设集合 A {x 2 x 3}, B {x 2x a 0}，且 A B {x 2 x 1}，则 a=（ ）
A．–4
B．–2
2. 抛物线 y2 = 8x 的准线方程为（
C．2 ）
(x)
x2
3x 2 的
“切线数列”为{xn}，其中 xn
2 ，数列{an}满足 a1
2 ， an
ln xn xn
2 1
，数列
，则
S2020 （
）
A． ( 1 )2021 1 22
B． 2 ( 1)2021 2 2
C． 22021 2
D． 22021 1
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．在“成都大运会”知识问答竞赛中，“四川”代表队的七名选手的比赛成绩的茎叶
四川省成都市石室中学2021-2022学年高三上学期一诊考试数学(理)试题
数学（理科）试卷
（满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，只将答题卷交回）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．
1.已知 （ ， ，i为虚数单位），复数 ，则 （）
参考数据： ．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
选修4-4：坐标系与参数方程
22.已知在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 ．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）已知过点 ，倾斜角为 的直线l与曲线C交于A，B两点，若M为线段AB的三等分点，求 的值．
（1）三名业主参与抽奖，求恰有一名业主获得二等奖的概率；
（2）记某业主参加抽奖获得的装修基金为X，求X的分布列和数学期望．
19.如图，在四棱锥 中，四边形ABCD是边长为2的菱形， ， ，且 ．
（1）证明：平面 平面ABCD；
（2）若 ，且线段SD上一点E满足 平面AEC，求AE与平面SAB所成角的正弦值．
A.2B. C. D.
2.已知集合 ， ，则 （）
A B. C. D.
3.若f(x)是幂函数，且满足 ＝3，则f 等于（）
A. 3B.－3C. D.－
4.函数 是
A.最小正周期为 偶函数B.最小正周期为 的奇函数
C.最小正周期为 的偶函数D.最小正周期为 的奇函数
5.某同学在只听课不做作业的情况下，数学总不及格 后来他终于下定决心要改变这一切，他以一个月为周期，每天都作一定量的题，看每次月考的数学成绩，得到5个月的数据如下表：
2021届四川省成都市石室中学高三一模数学(理)试题及答案
2021届四川省成都市石室中学高三一模数学（理）试题一、单选题1．已知集合x y z xyzM mm x y z xyz⎧⎪==+++⎨⎪⎩∣，x 、y 、z 为非零实数} ，则M 的子集个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8答案：D分,,x y z 都是正数，,,x y z 都是负数，,,x y z 中有一个是正数，另两个是负数，,,x y z 中有两个是正数，另一个是负数四种情况分别得出m 的值，从而求得集合M 的元素的个数，由此可得出集合M 的子集的个数.解：因为集合x y z xyz M m m x y z xyz ⎧⎪==+++⎨⎪⎩∣，x 、y 、z 为非零实数} ，所以当,,x y z 都是正数时，4m =； 当,,x y z 都是负数时，4m =-；当,,x y z 中有一个是正数，另两个是负数时，0m =， 当,,x y z 中有两个是正数，另一个是负数时，0m =， 所以集合M 中的元素是3个，所以M 的子集个数是8， 故选：D.2．若复数z 满足2021(1)1i z i +⋅=-，则其共轭复数z 的模为（ ）A ．1B ．1-C D ．2答案：A由复数的四则运算得出z ，再由模长公式得出共轭复数z 的模. 解：()1010202121010(1)i i i i i =⋅=⋅-=21(1)1211(1)(1)2i i i z i i i i ----====-++-,||1z i z ∴==故选：A3．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与MN最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48） A ．1033 B ．1053 C ．1073 D ．1093答案：D 解：试题分析：设36180310M x N == ，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即M N 最接近9310，故选D.【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令36180310x =，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=，log log log a a aM M N N-=，log log na a M n M =. 4．设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项的和为n S ，则“0q ＞”是“2132S S S ⋅＜”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：C由2132S S S ⋅＜可得出0q >，利用等价性即可判断.解：11S a =，()211S a q =+，()2311S a q q =++，故()()222222131111S S S a q q q a q ⎡⎤-⋅=+-++=⎣⎦，因为在等比数列{}n a 中，10a ≠，故21320S S S q ⋅<⇔>,故“0q ＞”是“2132S S S ⋅＜”的充要条件.故选：C ．点评：本题考查充要条件的判断，涉及等比数列的性质，属于基础题.5．某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（ ）个 A ．242610AB ．242610A AC ．()2142610CD ．()2142610C A先求从26个英文字母中选出2个英文字母的方法数，再求出后接4个数字组成的方法数，由分步计数原理即可得结论．解：解：先从26个英文字母中选出2个英文字母的方法数为()2126C，后接4个数字组成的方法数为410A，所以由分步计数原理可得不相同的牌照号码共有()2126C410A个.故选：D．6．已知圆柱形石材，底面圆半径为125-，高为5log9，若此石材可加工成体积最大的球体，则此球表面积为（）A．45πB．()254log3πC．()254log9πD．425π答案：A比较圆柱的底边直径与高的大小，从而确定此石材可加工成体积最大的球体的半径，再由表面积公式得出此球表面积.解：1255log9log51,251->=⋅=<，125log925-∴>⋅即1523log5->故此石材可加工成体积最大的球体的半径为125-即此球表面积为2124 455ππ-⎛⎫=⎪⎝⎭故选：A7．已知圆C的半径为2，在圆C内随机取一点M，则过点M的所有弦的长度都大于为（）A．1πB．34C．14D．12答案：C当M是弦中点时，弦长最短，利用垂径定理,得只要M点到圆心C的距离不大于1即可满足要求，由此可得M点所在区域，计算出该区域面积及已知圆面积后可得概率．解：当M是弦中点时，弦长最短，弦长为1CM=，所以过点M的所有弦的长度都大于M落在以点C为圆心，半径为1的圆内．则所求概率为221124Pππ⨯==⨯．点评：本题考查几何概型，解题关键是确定点M 所在的区域．利用弦长公式及垂径定理可确定．8．已知函数()sin (0)f x x x ωωω=>的零点依次构成一个公差为π2的等差数列，把函数()f x 的图象沿x 轴向右平移π6个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x （ ） A ．是偶函数B ．其图象关于直线π2x =对称C ．在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数D ．在区间π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为2⎡⎤⎣⎦ 答案：D利用辅助角公式得出()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由已知条件求得ω的值，再利用函数图象变换求得函数()y g x =的解析式，利用正弦型函数的基本性质可判断各选项的正误.解：()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，由于函数()y f x =的零点构成一个公差为2π的等差数列，则该函数的最小正周期为π， 0ω>，则22πωπ==，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数()y f x =的图象沿x 轴向右平移6π个单位， 得到函数()2sin 22sin 263g x x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象. 对于A 选项，函数()y g x =的定义域为R ，()()()2sin 22sin 2g x x x g x -=-=-=-， 函数()y g x =为奇函数，A 选项错误；对于B 选项，2sin 022g ππ⎛⎫==≠± ⎪⎝⎭，所以，函数()y g x =的图象不关于直线2x π=对称，B选项错误； 对于C 选项，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22x ππ≤≤，则函数()y g x =在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，C 选项错误；对于D 选项，当263x ππ≤≤时，4233x ππ≤≤，则sin 212x -≤≤，()2g x ≤≤.所以，函数()y g x =在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为2⎡⎤⎣⎦，D 选项正确. 故选：D. 9．在ABC 中，a ，b ，c 分别为A ∠，B ，C ∠所对的边，若函数()32221()13f x x bx a c ac x =+++-+有极值点，则cos 2cos B B +的取值范围是（ ）A ．9,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．9,08⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．9,08⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．91,82⎡⎤-⎢⎥⎣⎦答案：B先求出()'f x ，根据条件可得()0f x '=有两个不同的实数根，从而其0∆>，得到222a c b ac +-<，由余弦定理得出cos B 的范围，再由余弦的二倍角公式结合二次函数的性质可得答案.解：由()222()2f x x bx a c ac '=+++-，根据()f x 有极值点，则()222()20f x x bx a c ac '=+++-=有两个不同的实数根.所以222440b a c ac，即222a c b ac +-<由余弦定理可得2221cos 22a cb B ac +-=<，由0B π<<，所以11cos 2B -<<，2219cos 2cos 2cos cos 12cos 48B B B B B ⎛⎫+=+-=+- ⎪⎝⎭由11cos 2B -<<，则21992cos ,0488B ⎛⎫⎡⎫+-∈- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭所以cos 2cos B B +的范围是9,08⎡⎫-⎪⎢⎣⎭故选：B点评：关键点睛：本题考查导数与极值点的关系和余弦定理的应用、余弦的二倍角公式的应用，解答本题的关键是由条件得出()0f x '=有两个不同的实数根，从而其0∆>，得到222a c b ac +-<，由余弦定理得出11cos 2B -<<的范围，属于中档题. 10．已知圆()221:21C x y ++=，()222:249C x y -+=，动圆C 满足与1C 外切且2C 与内切，若M 为1C 上的动点，且10CM C M ⋅=，则CM 的最小值为（ ） ABC ．2D答案：B求出点C 的轨迹为椭圆，可知1C 为该椭圆的左焦点，利用椭圆的几何性质求出1minCC ，再利用勾股定理可求得CM 的最小值.解：易知圆1C 的圆心()12,0C -，圆1C 的半径为11r =，圆2C 的圆心()22,0C ，半径为27r =，12124C C r r =<-，所以，圆1C 内含于圆2C ，设圆C 的半径为R ，则1217CC R CC R ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，故121284CC CC C C +=<=，故圆心C 的轨迹为椭圆，且该椭圆的焦点为1C 、2C ，设该椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，焦距为()20c c >，则28a =，可得4a =，24c =，可得2c =，b ∴==所以，点C 的轨迹方程为2211612x y +=.10CM C M ⋅=，则1CM C M ⊥且11C M =，由椭圆的几何性质可得1min2CC a c =-=，故2211min3CMCC C M=-=故选：B.点评：方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程； （3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.11．设函数()x a f x e x +=+，()ln(3)4x a g x x e --=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x ，使得()()200022x f x g x x -=--成立，则实数a 值为（ ）A ．2ln 2-+B ．1ln 2+C ．1ln 2--D ．2ln 2+答案：D 将问题转化为002000ln(3)243x ax ax ex x e +++--+=在()03x ∈-+∞，上有解，由均值不等式可得0044x ax aee +++≥，设()2ln(3)32x g x x x -=+-，求出其导数，得出单调区间，从而得出()()24g x g ≤-=，由等号成立的条件得出0ln 22x a =-=-，从而得出答案.解：由题意当03x >-时()()2000022x f x g x x -=--有解即0020000ln(43)22x ax a x ex x e x +++=--++-在()03x ∈-+∞，上有解. 即002000ln(3)243x ax ax ex x e +++--+=在()03x ∈-+∞，上有解.由0044x a x ae e+++≥=, 当且仅当004x ax aee++=，即0ln 2x a =-时取得等号.设()2ln(3)32x g x x x -=+-，则()()()()()231333243168333x x x x x x x g x x x x x x ++-+-+++---'=--===-++ 由()0g x '<，得2x >-，由()0g x '>，得32x -<<-， 所以()g x 在()3,2--上单调递增，在 ()2,-+∞上单调递减. 所以()()24g x g ≤-=要使得002000ln(3)243x ax ax ex x e +++--+=在()03x ∈-+∞，上有解. 则0ln 22x a =-=-时成立，即ln 22a =+ 故选：D点评：关键点睛：本题考查导数求最值，利用均值不等式求最值，解答本题的关键是由均值不等式得到0044x ax aee +++≥，当且仅当004x ax aee ++=时取得等号，设()2ln(3)32x g x x x -=+-，求出其导数，得出单调区间，从而得出()()24g x g ≤-=，由等号成立的条件得出0ln 22x a =-=-，属于中档题.12．已知棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -，棱1DD 中点为M ，动点P 、Q 、R 分别满足：点P 到异面直线BC 、11C D 的距离相等，点Q 使得异面直线1AQ 、BC 所成角正弦值为定值2121，点R 使得134A RB π∠=．当动点P 、Q 两点恰好在正方体侧面11CDD C 内时，则多面体1RMPC Q 体积最小值为（ ）A ．5212B ．24C ．22D ．26答案：A由题意1M P C Q ，，，都在平面11DD C C 内，其中1M C ，为定点，由条件可得动点P 的轨迹是为以C 为焦点，以11C D 为准线的抛物线在正方体侧面11CDD C 内的部分．动点Q 的轨迹是为以1D 为圆心，5为半径的14圆，先求出1MC QS 的最小值，1PC MS面积最小值，从而得出四边形1MPC Q 面积的最小值，再得出点R 到侧面11CDD C 的距离是最小值，从而得出答案. 解：由题意1M P C Q ，，，都在平面11DD C C 内，其中1M C ，为定点.点P 到异面直线BC 、11C D 的距离相等，在正方体中，BC ⊥平面11DD C C , 故连接PC ,有PC BC ⊥,所以PC 为点P 到直线BC 的距离. 所以在平面11DD C C 上，点P 满足到点C 的距离等于到直线11C D 的距离.所以动点P 的轨迹是为以C 为焦点，以11C D 为准线的抛物线在正方体侧面11CDD C 内的部分． 由11//A D BC ，所以异面直线1AQ 、BC 所成角为11QA D ∠（或其补角） 在正方体中，11A D ⊥平面11DD C C ,又1D Q ⊂平面11DD C C ，所以111A D D Q ⊥ 所以111121sin 21QD QA D AQ ∠==,又112A D = 所以114105cos 21QA D ∠=，则1111111tan 225QD QD QA D A D ∠=== 所以115QD =，即动点Q 的轨迹是为以1D 为圆心，15为半径的14圆．在四边形1MPC Q 中，111MPC Q MC Q MC P S S S =+,又21125MC =+=在平面11DD C C 内，取1CC 的中点O ，连接MO ,以1CC 为x 轴，MO 为y 轴 则直线1MC 的方程为：12yx +=-，即220x y ++=，()11,2D -- 则点Q 到直线1MC 222255512r --+-==+ 所以1MC QS的最小值为115225=. 动点P 的轨迹方程为：()240y x y =<，设2,4y P y ⎛⎫⎪⎝⎭所以点P 到直线1MC 的距离()2213212225525y y y d ++++==≥（当1y =-时取得等号）所以1PC MS面积最小值113352425MC P S ∆=⨯⨯=所以四边形1MPC Q 面积111MPC Q MC Q MC P S S S =+≥54点R 满足134A RB π∠=，又122A B =所以点R 在以1A B 为弦的劣弧上，由134A RB π∠=，则圆心角为2π. 其半径为2，圆心到1A B 的2所以圆弧上的点到1A B 的距离的最大值为22当劣弧所在的平面垂直于平面11DD C C 时，圆弧上的点到平面11DD C C 2所以动点R 到面11DD C C 2 所以多面体1RMPC Q 体积最小值为1552234⨯=故选：A点评：关键点睛：本题考查立体几何中的轨迹问题，体积的最值问题，异面直线成角，解答本题的关键是由条件得出动点P 的轨迹是为以C 为焦点，以11C D 为准线的抛物线在正方体侧面11CDD C 内的部分．动点Q 的轨迹是为以1D 5为半径的14圆，由解析几何可得出点Q 到直线1MC的距离的最值，从而得出1MC QS的最小值，点P 到直线1MC的距离d =，从而得出1PC MS面积最小值，从而得出四边形1MPC Q 面积的最小值，属于难题.二、填空题13．已知方程()2221m x my -+=表示双曲线，则m 的取值范围是_______________________．答案：()0,2利用方程表示双曲线的充要条件，列出不等式求解即可. 解：解：因为方程()2221m x my -+=表示双曲线，所以()20m m -<，即02m <<， 所以m 的取值范围是()0,2， 故答案为：()0,2.14．若12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式只有第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项为_________．（用数字作答） 答案：52-利用已知条件求出n 的值，写出二项展开式的通项，令x 的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得出常数项的值.解：由于12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式只有第4项的二项式系数最大，则展开式中共有7项，故17n +=，解得6n =，所以，612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式通项为6621661122r rr r r rr T C x C x x --+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令620r -=，解得3r =，因此，展开式中的常数项为33461522T C ⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭.故答案为：52-. 15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(),n n a 在y x =上，[]x 表示不超过x 的最大整数，则122021202120212021222S S S ⎡⎤++⋯+=⎢⎥⎣⎦_______________________． 答案：2020先求得n a n =，再求得n S ，进而求得20212nS ，然后用裂项求和求得122021202120212021+++222S S S ，最后根据其范围求得结果.解：依题意可得n a n =，所以数列{}n a 的前n 项和(1)2n n n S +=， 因此202120211120212(1)1n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以， ()122021202120212021111111+++2021222122320212022120212021120212020,202120222022S S S ⎛⎫=⋅-+-++- ⎪⎝⎭⎛⎫=-=-∈ ⎪⎝⎭，故122021202120212021+++2020222S S S ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 故答案为：2020.点评：方法点睛： 本题考查的核心是裂项求和，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．16．拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个正三角形，则这三个正三角形的中心恰为另一个正三角形的顶点.”利用该定理可为任意形状的市区科学地确定新的发展中心区位置，合理组织人流､物流，使城市土地的利用率，建筑的使用效率达到最佳，因而在城市建设规划中具有很好的应用价值.如图，设ABC 代表旧城区，新的城市发展中心123,,O O O ，分别为正ACD △，正ABE △，正BCF △的中心､现已知2,30AB ACB ∠==，123O O O 则ABC 的面积为___________.答案：233连接12,CO CO ，易得122133,,30,3033CO AC CO BC O CB O CA ==∠=∠=，进而得到1290O CO ∠=，利用勾股定理得到2212AC BC +=，然后再利用余弦定理求得AC BC ⋅即可. 解：如图所示：连接12,CO CO ，由题意得：122133,,30,30CO CO O CB O CA =∠=∠=， 又因为30ACB ∠=， 所以1290O CO ∠=，12321233O O O S O ==， 解得122O O =，由勾股定理得2221212CO CO O O +=，即2221233AC O O ⎫⎫+=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 即2212AC BC +=，由余弦定理得2222cos30AB AC BC AC BC =+-⋅， 解得83AC BC ⋅=所以三角形ABC 的面积为123sin 3023ABCSAC BC =⋅=点评：关键点点睛：本题关键是证得1290O CO ∠=，再利用勾股定理和余弦定理求得AC BC ⋅而得解. 三、解答题17．在ABC 中，232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-． （1）求cosA 的值：（2）若a =5b =，求BA 在AC 方向上的投影． 答案：（1）3cos 5A =-；（2）35． （1）利用二倍角的余弦公式以及两角差的正弦公式将已知式化简，即可得到cos A 的值； （2）先利用余弦定理求出c ，也即是BA ，再根据投影的定义，求BA 在AC 方向上的投影，其中需要注意的是BA 和AC 的夹角是A 的补角. 解：解：（1）由232coscos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=- 可得3cos()cos sin()sin 5A B B A B B ---=-， 即3cos()5A B B -+=-， 即3cos 5A =-，（2）由余弦定理可知2223525()5c c =+-⨯⨯-，解得1c =，7c =-（舍去）．向量BA 在AC 方向上的投影：3||cos()cos 5BA A c A π-=-=． 18．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别是1B B ，BC 的中点，（1）证明：1A E ，AB ，DF 三线共点；（2）线段CD 上是否存在一点G ，使得直线FG 与平面11A EC ，3若存在，请旨出点G 的位置，并求二面角11E AC G --的平面角的余弦值大小；若不存在，请说明理由． 答案：（1）证明见解析；（2）存在；点G 为CD 6（1）由公理二证明1A E ，DF 共面，再结合公理三得出1A E ，AB ，DF 三线共点；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求出a 的值，再由向量法得出二面角11E AC G --的平面角的余弦值.解：（1）证明：1//EF A D 且1EF A D ≠1A E ∴，DF 共面∴设1A E DF P ⋂=则1P A E ∈，而1A E ⊂面11AA B BP ∴∈面11AA B B ；同理可得P ∴∈面ABCD∴点P 在面ABCD 与面11AA B B 的公共直线AB 上即1A E ，AB ，DF 三线共点（2）解：根据题意可知，1AA ，AB ，AD 两两垂直，以AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：11(0,0,2),(2,0,1),(2,2,2),(2,1,0)A E C F故111(2,0,1),(2,2,0)A E AC =-= 假设满足条件的点G 存在设(,2,0),(0,2)G a a ∈，则(2,1,0)FG a =- 设平面11A EC 的法向量为(,,)m x y z =则由111m A E m A C ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩得，20220x z x y -=⎧⎨+=⎩不妨取2z =，则1x =，1y =-所以平面11A EC 的一个法向量为(1,1,2)m =- 设直线FG 与平面11A EC 的平面角为θ 则222222(2)1(1)1203sin cos ,(2)101(1)2m FGm FGa m FG a θ⋅-⨯+-⨯+⨯====-++⨯+-+化简得2210a a -+=，解得1a =．则1(1,0,2)GC =，设平面11AGC 的法向量为(,,)n x y z =由111n GC n AC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，得+20220x z x y =⎧⎨+=⎩，取2x =-则平面11AGC 的一个法向量为(2,2,1)n =- 222cos ,636n n n m m m ⋅--+===⨯二面角11E AC G --的平面角的余弦值69点评：思路点睛：向量方法求解二面角的余弦值的步骤：（1）建立合适空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中相应点的坐标；（2）设出法向量，根据法向量垂直于平面中任意方向向量，求解出半平面的一个法向量；（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量亦可）（3）计算（2）中两个法向量夹角的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是钝角还是锐角，从而得到二面角的余弦值.19．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，P 为C 上的动点，Q 为P 在动直线(0)y t t =<上的投影.当PQF △为等边三角形时，其面积为43 （1）求C 的方程；（2）设O 为原点，过点P 的直线l 与C 相切，且与椭圆22142x y +=交于,A B 两点，直线OQ 与AB 交于点M .试问：是否存在t ，使得AM BM =恒成立？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由.答案：（1）C 的方程为24x y =；（2）存在，1t =.（1）根据正三角形得三角形的边长，再根据抛物线的定义列方程组，解方程即可；（2）根据导数的几何意义得到直线l 的切线方程，切线与椭圆联立，根据韦达定理得,A B 的纵坐标的关系，再根据直线方程联立得点M 的纵坐标，由AM BM =可知点M 为,A B 的中点，根据中点坐标公式列方程，解方程即可求得结果.解：（1）设()00,P x y ，0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，∵PQF △为等边三角形时，其面积为∴21sin 23PQ π⨯=4PQ =， ∵Q 为P 在动直线(0)y t t =<上的投影，∴()0,Q x t ， 当PQF △为等边三角形时，PQ PF FQ ==，由抛物线的定义知，2pt =-， ∴0220200+42162p y x p x py ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎪⎩，解得2p =， ∴C 的方程为24x y =；（2）设()00,P x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，则2004x y =，()0,Q x t∵214y x =，∴12y x '=， ∴切线0001:2l yy x x x ，即001:2l yx x y ，00222000022112122242401y x x y x x x x y x y y ⎧=-⎪⎪⎛⎫⇒+⎨ ⎪⎝⎭⎪++⎪--⎩==， ∴0012201122x y x x x +=+， ∴000120100200022001112122242212x y y x x x x x y y y y y x x +=-+-=⨯-=++；∵()0,Q x t ，∴0:OQ tl y x x =-， 0020002212M t y x y t x y x t y x x y⎧=-⎪-⎪⇒=⎨-⎪=-⎪⎩， ∵AM BM =，且A ，M ，B 在同一条直线上，则点M 为AB 的中点，∴122M y y y =+，即0022004422t x t y y x =--+，则1t =.综上，存在t ，使得AM BM =恒成立，1t =. 点评：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.20．某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg 的包裹收费10元；重量超过1kg 的包裹，除1kg 收费10元之外，超过1kg 的部分，每超出1kg （不足1kg ，按1kg 计算）需再收5元．该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如表：公司对近60天，每天揽件数量统计如表：以上数据已做近似处理，并将频率视为概率．（1）计算该公司未来3天内恰有2天揽件数在101～400之间的概率； （2）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；②公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用．目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，工资100元．公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利？ 答案：(1)48125；(2)(i)15元；(ii)答案见解析.解：试题分析：()1先计算出包裹件数在101400~之间的天数为48，然后得到频率，估计出概率，运用二项分布求出结果(2)运用公式求出每件包裹收取的快递费的平均值(3)先将天数转化为频率，分别计算出不裁员和裁员两种情况的利润，从而作出比较 解析：（1）样本包裹件数在101400~之间的天数为48，频率484605f ==， 故可估计概率为45， 显然未来3天中，包裹件数在101400~之间的天数X 服从二项分布，即4~35X B ，⎛⎫ ⎪⎝⎭，故所求概率为223414855125C ⎛⎫⨯⨯=⎪⎝⎭. （2）（i ）样本中快递费用及包裹件数如下表：故样本中每件快递收取的费用的平均值为15100=（元），故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元.（ii ）根据题意及（2）（i ），揽件数每增加1，可使前台工资和公司利润增加11553⨯=（元）， 将题目中的天数转化为频率，得若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为260531001000⨯-⨯=（元）； 若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为23552100975⨯-⨯=（元）. 因9751000<，故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利.点睛：本题考查了频率和概率、平均值的实际应用，计算出频率来估计概率的取值，运用二项分布求出事件概率，在比较裁员与不裁员的情况下分别算出期望值，来比较利润的大小，从而为作出决策提供依据．21．已知函数2()x x f x xe ae =-（a ∈R ）在定义域内有两个不同的极值点. （1）求实数a 的取值范围；（2）若()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，且12x x <，若不等式120x x λ+>恒成立.求正实数λ的取值范围.答案：（1）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）1λ≥.（1）求导得到120x x ae +-=有两个不相等实根，令12()x x a h x e+==，计算函数单调区间得到值域，得到答案.（2）1x ，2x 是方程12xx a e +=的两根，故()11x h x h λ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，化简得到()111ln 1ln 1(1)0x x x λλλλ⎛⎫+---+< ⎪⎝⎭，设函数，讨论范围，计算最值得到答案.解：（1）由题可知2()(1)20x x f x x e ae '=+-=有两个不相等的实根， 即：120x x ae +-=有两个不相等实根，令12()xx a h x e +==， ()2(1)()x xx x e x e xh x e e -+-'==，x ∈R ，(,0)x ∈-∞，()0h x '>；(0,,)x ∈+∞，()0h x '<，故()h x 在(,0)-∞上单增，在(0,)+∞上单减，∴max ()(0)1h x h ==. 又(1)0h -=，(,1)x ∈-∞-时，()0h x <；(1,)x ∈-+∞时，()0h x >，∴2(0,1)a ∈，即10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（2）由（1）知，1x ，2x 是方程12x x a e+=的两根， ∴1210x x -<<<，则112200x x x x λλ+>⇔>->因为()h x 在(0,)+∞单减，∴()12x h x h λ⎛⎫<-⎪⎝⎭，又()()21h x h x =，∴()11x h x h λ⎛⎫<- ⎪⎝⎭即111111x x x x e eλλ--++<，两边取对数，并整理得：()111ln 1ln 1(1)0x x x λλλλ⎛⎫+---+< ⎪⎝⎭对1(1,0)x ∈-恒成立， 设()ln(1)ln 1(1)x F x x x λλλλ⎛⎫=+---+ ⎪⎝⎭，(1,0)x ∈-， 1(1)(1)()(1)1(1)()1x x F x xx x x λλλλλλ++-'=+-+=++--，当1λ≥时，()0F x '>对(1,0)x ∈-恒成立，∴()F x 在(1,0)-上单增，故()(0)0F x F <=恒成立，符合题意； 当(0,1)λ∈时，1(1,0)λ-∈-，(1,0)x λ∈-时()0F x '<， ∴()F x 在(1,0)λ-上单减，()(0)0F x F >=，不符合题意. 综上，1λ≥.点评：本题考查了根据极值点求参数，恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩，(t ，α中的一个为参数)，以O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线:sin 13l πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （1）当t 为参数，3πα=时，判断曲线1C 与直线l 的位置关系；（2）当α为参数，2t =时，直线l 与曲线1C 交于不同的两点A ，B ，若2(0)P ，，求11||||PA PB +的值答案：（1）曲线1C 与直线l 平行；（2）1．（1）首先将曲线1C 和直线l 的方程化简为直角坐标方程，再判断位置关系；（2）首先得到曲线1C 的普通方程，再得将直线l 的参数方程，利用t 的几何意义求11||||PA PB +的值. 解：（1）当t 为参数，3πα=时，曲线1C表示直线：1)y x =-由:sin()13l πρθ-=，得1:sin cos 12l ρθθ=， 将cos ,sin x y ρθρθ==代入方程得2y =+ 因为斜率相等，所以曲线1C 与直线l 平行； （2）当α为参数，2t =时，曲线1C 的参数方程12cos ()2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数消去参数得曲线1C 的普通方程22(1)4x y，易知直线过(0,2)P ，故设直线l的参数方程为12()2x t t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数 联立直线l 的参数方程与曲线1C 的普通方程，得2(231)10t t设,A B 对应的参数为12,t t ，则1212123,1t t t t故12121212121111231t t t t PA PBt t t t t t ．点评：方法点睛：本题考查弦长公式，一般求弦长的方法包含以下几点： 1.直角坐标系下的弦长公式()22121214AB k x x x x =++-或是()212122114y y y y k ++-；2.利用直线参数方程的几何意义可知12AB t t =-；3.极坐标系下，过原点的直线与曲线相交的弦长12AB ρρ=-.23．已知a ＞0，b ＞0，且a +b ＝1．（1）求12a b+的最小值； （2）证明：2221+++ab b a b ＜5． 答案：（1）322+；（2）证明见解析. （1）利用基本不等式即可求得最小值；（2）关键是配凑系数，进而利用基本不等式得证． 解：（1）121222()332322a b a b a b z a b a b b a b a ⎛⎫+=++=+++⋅=+ ⎪⎝⎭， 当且仅当“2b a =”时取等号，故12a b+的最小值为322+ （2）证明：222222241155ab bab bb b a b a ++=+++++ )22225242221555ab ab b b b ab b a +==+⋅+⋅，当且仅当15,2a b ==时取等号，此时a +b ≠1． 故2221+++ab b a b 5． 点评：本题主要考查利用基本不等式求和的最小值，以及利用基本不等式证明不等式，属基础题.。
四川省成都石室中学2021届高三数学上学期开学考试试题理 【含答案】
y kx m
由
x
2
4y2
4
可得
(1
4k 2 )x2
8kmx
4m2
4
0
，…………5分
因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个交点，
所以△ 1 (8km)2 4(1 4k 2 )(4m2 4) 0 ，即 m2 1 4k 2 ，…………6分
B．既不充分也不必要条件
C．必要不充分条件
6 ．已知 ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，若 a 2 3 ， b 2 ， A 60 ，则 B 为（
）
A．60°
B．60°或120° C．30°
D．30°或150°
7．下列函数中，既是奇函数又在 (0, ) 单调递减的函数是（ ）
bx
i 1
i 1
18．已知三次函数 f (x) x3 ax2 4x 1 ( a 为常数).
（1）当 a 1 时，求函数 f (x) 在 x 2 处的切线方程；
（2）若
a
0
，讨论函数
f
(x)
在
x
0,
的单调性.
19.如图，四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形， FA FC ，且 DAB DBF 60 ． （1）求证： AC 平面 BDEF ； （2）求直线 AD 与平面 AEF 所成角的正弦值．
18．（1）当 a 1 时，函数 f (x) x3 x2 4x 1 Q f (x) 3x2 2x 4 f (2) 20 即切线的斜率 k 20 ..................2分 Q f (2) 21 切线方程为 20(x 2) y 21即切线为： 20x y 19 0 ..................4分
四川省成都市石室中学(文庙校区)2020-2021学年高三数学理下学期期末试卷含解析
四川省成都市石室中学(文庙校区)2020-2021学年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱长为（）A. B. C. 6 D.参考答案：C由题可得立体图形：则,所以最长棱为6点睛：三视图还原为立体图形最好将其放在长方体中考虑，这样计算和检验都会比较方便，首先根据题目大致估计图形形状，然后将其准确的画出求解即可2. “数列为递增数列”的一个充分不必要条件是（）A．B．C．D．参考答案：D略3. 不等式3≤l5 - 2xl<9的解集是A．（一∞，-2)U(7,+co) B．C．[-2,1】U【4,7】 D．参考答案：D由得，或，即或，所以不等式的解集为，选D.4. 已知是定义在上的奇函数, 且,则函数的零点个数为（）A． B．C． D．参考答案：D考点：函数的图像和零点的计算．【易错点晴】分类整合思想是高考命题中最受青睐的数学思想,也解答许多数学问题的法宝,本题设置的目的是考查分类整合的数学思想和分析问题解决问题的能力以及运算求解能力.本题在解答时充分借助题设条件,先将函数的解析式表示出来,在分类求出方程的解析式,通过解方程确方程根的个数,从而使问题简捷获解.5. 设则的大小关系是（）A．B．C．D．参考答案：A略6. 执行如图所示的程序框图，如果输入n＝3，则输出的S＝（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】列出循环过程中与的数值,满足判断框的条件即可结束循环.【详解】判断前,第1次循环,,第2次循环,,第3次循环,,,此时,,满足判断框的条件,结束循环,输出结果:故选:B 【点睛】本题考查程序框图中的循环结构,考查裂项求和,难度较易.7. 已知四棱锥P﹣ABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥底面ABCD，△PAD为正三角形，AB=2AD=4，则球O的表面积为（）A．B．C．24πD．参考答案：B【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】求出△PAD所在圆的半径，利用勾股定理求出球O的半径R，即可求出球O的表面积．【解答】解：令△PAD所在圆的圆心为O1，则圆O1的半径r=，因为平面PAD⊥底面ABCD，所以OO1=AB=2，所以球O的半径R==，所以球O的表面积=4πR2=．故选B．【点评】本题考查球O的表面积，考查学生的计算能力，比较基础．8. 已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）的导函数f′（x）＜，则f（x）＜+的解集为（）A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|＜﹣1} C．{x|x＜﹣1或x＞1} D．{x|x＞1}参考答案：D【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】根据条件，构造函数g（x）=f（x）﹣﹣，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．【解答】解：设g（x）=f（x）﹣﹣，则函数的g（x）的导数g′（x）=f′（x）﹣，∵f（x）的导函数f′（x）＜，∴g′（x）=f′（x）﹣＜0，则函数g（x）单调递减，∵f（1）=1，∴g（1）=f（1）﹣﹣=1﹣1=0，则不等式f（x）＜+，等价为g（x）＜0，即g（x）＜g（1），则x＞1，即f（x）＜+的解集{x|x＞1}，故选：D9. 的值为( )A． B．C．D．参考答案：B10. 在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2， =，则λ=（）A．B．C．﹣D．﹣参考答案：A【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】本题要求字母系数，办法是把表示出来，表示时所用的基底要和题目中所给的一致，即用和表示，画图观察，从要求向量的起点出发，沿着三角形的边走到终点，把求出的结果和给的条件比较，写出λ．【解答】解：在△ABC中，已知D是AB边上一点∵=2， =，∴=，∴λ=，故选A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 有一名同学在书写英文单词“error”时，只是记不清字母的顺序，那么他写错这个单词的概率是 .参考答案：【知识点】古典概型的概率求法. K2解析：五个位置的全排列为5！，其中三个r位置无论如何互换都正确，即在5！种排法中，有3！种正确排法，所以所求概率为：.【思路点拨】先求正确排法种数及所有排法种数，再用减法得所求概率.12. 过动点P作圆：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的切线PQ，其中Q为切点，若|PQ|=|PO|（O为坐标原点），则|PQ|的最小值是．参考答案：【考点】J3：轨迹方程；J7：圆的切线方程．【分析】根据题意，设P的坐标为（m，n），圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心为N，由圆的切线的性质可得|PN|2=|PQ|2+|NQ|2=|PQ|2+1，结合题意可得|PN|2=|PO|2+1，代入点的坐标可得（m﹣3）2+（n﹣4）2=m2+n2+1，变形可得：6m+8n=24，可得P的轨迹，分析可得|PQ|的最小值即点O到直线6x+8y=24的距离，由点到直线的距离公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，设P的坐标为（m，n），圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心为N，则N（3，4）PQ为圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的切线，则有|PN|2=|PQ|2+|NQ|2=|PQ|2+1，又由|PQ|=|PO|，则有|PN|2=|PO|2+1，即（m﹣3）2+（n﹣4）2=m2+n2+1，变形可得：6m+8n=24， 即P 在直线6x+8y=24上，则|PQ|的最小值即点O 到直线6x+8y=24的距离，且d==；即|PQ|的最小值是；故答案为：．13. 在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则＝________.参考答案：-1614. 已知，则的最小值是 ．参考答案：3215. 已知圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=2，若等边△PAB 的一边AB 为圆C 的一条弦，则|PC|的最大值为 ．参考答案：2【考点】圆的标准方程．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】得到圆心坐标和半径．等边△PAB 的一边AB 为圆C 的一条弦，可得|PC|的最大值为直径，即可得出结论．【解答】解：由圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=2， ∴圆心坐标C （1，2），半径r=．∵等边△PAB 的一边AB 为圆C 的一条弦， ∴|PC|的最大值为直径2．故答案为：2．【点评】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定|PC|的最大值为直径是关键． 16. 已知双曲线经过点，其一条渐近线方程为y=2x ，则该双曲线的标准方程为 ．参考答案：﹣x 2=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的渐近线方程，可以设其方程为x 2﹣=m ，又由其过点，将点的坐标代入方程计算可得m 的值，即可得其方程，最后将求得的方程化为标准方程即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为y=2x ，则可以设其方程为x 2﹣=m ，（m≠0），又由其经过点，则有1﹣=m ，解可得m=﹣1，则其方程为：x 2﹣=﹣1，其标准方程为：﹣x 2=1，故答案为：﹣x 2=1．【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意最后的答案要检验其是否为标准方程的形式．17. 设函数,则, 方程的解集 ．参考答案：试题分析:因,故.由可得或,即或.故,应填答案.考点：分段函数的求值和指数对数方程的求解．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2021届四川省成都石室中学高三上学期开学考试数学(文)试题 PDF版
文科数学试卷
一、选择题（共 12 小题；共 60 分）
1.已知集合 A x, y x y 0, x, y R, B x, y x y+1 0, x, y R ，则集合 A I B 的元素个
数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
2．i 为虚数单位， z 5i ， 则 z 的共轭复数为 （ ） 1 2i
（Ⅱ）求 y 关于 x 的线性回归方程，并估计如果 B 考生参加了这次物理考试（已知 B 考生的
数学成绩为125 分），物理成绩是多少？n Nhomakorabean
(xi x)( yi y)
xi yi nx y
附：回归方程 $y a$ b$x 中, b$ i1 n
(xi x)2
=
i 1 n
xi 2
2
nx
第 1 页 共 4 页 命题人：
A． y 2x 2x B． y x tan x
C． y x sin x
D． y 1 2x x
8．抛物线 C : y2 4x 的焦点为 F ，其准线 l 与 x 轴交于点 A ，点 M 在抛物线 C 上，
MA
当 MF
2 时， AMF 的面积为（
）
A．1
i 1
i 1
n
又因为
42
xi
i 1
x 2
16940 ，所以 bˆ
xi
i 1 n
x yi y xi x 2
8470 16940
0.5 ，
i 1
a$ y b$x 74 0.5110 19 ，所以 $y 0.5x 19 ，................10 分
四川省成都市石室蜀都中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试卷含解析
四川省成都市石室蜀都中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数满足，且的导函数，则的解集为A. B. C. D.参考答案：D设, 则，，对任意，有，即函数在R上单调递减，则的解集为，即的解集为，选D.2. 若函数在为单调函数，则实数a的取值范围是( )A.(－∞,－1]∪[1,+∞)B. (－∞,－1]C. [1,+∞)D. [－1,1]参考答案：A3. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向左平移个单位参考答案：C略4. 若=2，则sin（α﹣5π）?sin（﹣α）等于（）A．B．C．±D．﹣参考答案：B【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】计算题．【分析】利用商的关系先对所给的齐次式，分子和分母同除以cosα进行转化，求出正切值，再根据诱导公式对所求的式子进行化简，再由商的关系转化为正切的式子，把求出的正切值代入进行求解．【解答】解：由题意知， =2，分子和分母同除以cosα得，=2，解得tanα=3，∵sin（α﹣5π）?sin（﹣α）=﹣sinα?（﹣cosα）=sinαcosα===，故选B．【点评】本题考查了诱导公式以及商和平方的关系的应用，对于含有正弦和余弦的齐次式的处理，常用平方关系进行“1”的代换，再利用商的关系转化为有关正切的式子．5. 下列给出的赋值语句中正确的是 ( ）A．4=MB．M=-MC．B=A=3D．x+y=0参考答案：B6. （08年全国卷Ⅰ理）若直线通过点，则（）A． B． C． D．参考答案：【解析】D．（两种方法均为构造法）（方法一）：利用点（利用坐标原点到直线的距离与圆的半径的关系）由题意知直线与圆有交点，则.（方法二）：设向量，由题意知由可得7. 设、是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点，若，且轴，则（）A. B. C.D.参考答案：C8. 执行如图的程序框图，则输出S的值为（）A．2016 B．2 C．D．﹣1参考答案：B【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出前几次循环得到的s，k的值，观察规律可知，s的取值以3为周期，由k等于2015=3*671+2时，满足条件k＜2016，s=2，k=2016时不满足条件k＜2016，退出循环，输出s的值为2．【解答】解：模拟执行程序框图，可得s=2，k=0满足条件k＜2016，s=﹣1，k=1满足条件k＜2016，s=，k=2满足条件k＜2016，s=2．k=3满足条件k＜2016，s=﹣1，k=4满足条件k＜2016，s=，k=5…观察规律可知，s的取值以3为周期，由2015=3*671+2，有满足条件k＜2016，s=2，k=2016不满足条件k＜2016，退出循环，输出s的值为2．故选：B．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出前几次循环得到的s，k的值，观察规律得到s 的取值以3为周期是解题的关键，属于基本知识的考查．9.已知图①中的图象对应函数为，则图②中的图象对应的函数可能是（） A． B．C． D．参考答案：答案:D10. 如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是( )A. 平面ABD⊥平面ABCB. 平面ADC⊥平面BDCC. 平面ABC⊥平面BDCD. 平面ADC⊥平面ABC参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.参考答案：设数学书为A，B，语文书为C，则不同的排法共有（A，B，C），（A，C，B），（B，C，A），（B，A，C），（C，A，B），（C，B，A）共6 种排列方法，其中2 本数学书相邻的情况有4 种情况，故所求概率为.12. （理科）对任意x∈R，|2－x|＋|3＋x|≥a2－4a恒成立，则a满足的范围是参考答案：[－1,5]13. 若等比数列{a n}的前n项和为S n，a3=，S3=，则公比q=．参考答案：1或【分析】根据等比数列的前n项和建立等式，利用a3和q表示出a1与a2，然后解关于q的一元二次方程，即可求出所求．【解答】解：∵∴a1+a2+a3=则a1+a2=3∴化简得2q2﹣q﹣1=0解得q=1或故答案为：1或【点评】本题主要考查了等比数列的前n项和，以及等比数列的通项，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．14. 已知双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m=参考答案：415. 函数的定义域是;参考答案：略16. 在△ABC中,内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,已知,且，则b= .参考答案：417. 已知向量与的夹角是，，.若，则实数 .参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
四川省成都市石室中学2023-2024学年高一下学期竞赛班期末考试数学试题 Word版含答案
成都石室中学2023-2024学年度下期高2026届竞赛班期末考试数学试题(满分150分,考试时间120分钟)注意事项：1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.作答时,务必将答案写在答题卡上,写在试卷及草稿纸上无效.一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数()()()221i z a a a =-+-∈R 为纯虚数,则复数z a +在复平面上的对应点的位置在( )A.第一象限内B.第二象限内C.第三象限内D.第四象限内2.数据1210,,,x x x 的方差20S =,则下列数字特征一定为0的是( )A.平均数B.中位数C.众数D.极差3.某中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛.经统计,得到前200名学生分布的扇形图200名中高一学生排名分布的频率条形图(如图),则下列命题错误的是( ) A.成绩前200名的学生中,高一人数比高二人数多30人B.成绩前100名的学生中,高一人数不超过50人C.成绩前50名的学生中,高三人数不超过32人D.成绩第51名到第100名的学生中,高二人数比高一人数多4.命题”[]1,2x ∃∈,320x x a +->”为假命题的一个必要不充分条件是( )A.11a ≥B.11a ≤C.12a ≥D.12a ≤5.在ABC ∆中,,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边,且sin 2sin A B =,2cos 0a C b +=,则cos A =( ) A.154 B.104 C.64 D.146.如图,在菱形ABCD 中,3DAB π∠=,且CF CD λ=,CE CB μ=,若3677AC AF AE =+,则λμ+=( ) A.23 B.1 C.43D.2 7.如图，AC 是圆O 的直径，∠DCA =45∘，DA 垂直于圆O 所在的平面，B 为圆周上不与点A,C 重合的点， AM ⊥DC 于M,AN ⊥DB 于N ，则下列结论不正确的是( ) A.平面ABC ⊥平面DAC B.CB ⊥平面BAD C.CD ⊥平面AMN D.平面 AMN ⊥平面DAB8.美国数学家Jack Kiefer 于1953年提出0.618优选法,又称黄金分割法,是在优选时把尝试点放在黄金分割点上来寻找最优选择.我国著名数学家华罗庚于20世纪60、70年代对其进行简化、补充,并在我国进行推广,广泛应用于各个领域.黄金分割比510.6182t -=≈,现给出三倍角公式cos3α=4cos 3α−3cosα,则t 与sin18∘的关系式正确的为( )A.2t =3sin18∘B.t =2sin18∘C.t =√5sin18∘D.t =√6sin18∘ABCDEF二、选择题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分. 9.已知向量()()1,2,,1a b λ=-=，则下列说法中正确的是( )A.若//a b ，则12λ=B.若a b ⊥，则2λ=C.若2λ<，则a 与b 的夹角为钝角D.当1λ=时，则a 与b 上的投影向量的坐标为11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭10.设12,z z 为复数,则下列结论中正确的是( ) A.若11z 为虚数,则1z 也为虚数 B.若11z i +=,则1z 的最大值为2 C.1212z z z z = D.1212z z z z -≤+11.在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知c =2且()()()sin sin sin sin a c A C b A B +-=-，则下列结论正确的是( )A.C =π3 B.a 的取值范围为(0,2]C.ab 的最大值为4D.若D 为AB 的中点,则CD 的取值范围为(1,2)12.如图一,矩形ABCD 中,22BC AB ==,AM BD ⊥交对角线BD 于点O ,交BC 于点M .现将ABD ∆沿BD 翻折至A BD '∆的位置,如图二,点N 为棱A D '的中点,则下面结论正确的是( ) A.存在某个位置使得//CN 平面A OM ' B.在翻折过程中,恒有BD A M '⊥C.若二面角A BD C '--的平面角为3π,则655A C '=D.若A '在平面BCD 上的射影落在BCD ∆内部﹐则325,615A BCD V '-⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭三、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.将10个数据按照从小到大的顺序排列如下: 11,15,17,a,23,26,27,34,37,38,若该组数据的40%分位数为22,则a = .14.若函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>的的图象向平平 3π的 ,得到的函数图象与()f x 的的图象重合,则ω的最小值为 .15.若某球体的半径与某圆锥的底面半径相等,且该球体的表面积为1S ,体积为1V ,该圆锥的侧面积为2S ,体积为2V ,若11222S V S V =,则该球体半径与该圆锥母线的比值为 .16.镇江西津渡的云台阁,是一座宋元风格的仿古建筑,始建于2010年,目前已成为镇江市的地标建筑之一.如图,在云台阁旁水平地面上共线的三点,,A B C 处测得其顶点Р的仰角分别为30,60,45︒︒︒,且40AB BC ==米,则云台阁的高度为 .米.四、解答题：本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数()3sin 2cos2f x x x =+. (1)求函数()f x 的最小正周期和对称中心; (2) 求函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.18.如图,在四边形ABCD 中,120,2,3B AB AD =︒== ,且,1BC k AD AB BC =⋅= ,若,P Q 为线段AD 上的两个动点,且1PQ =.(1)当P 为AD 的中点时,求CP 的长度; (2)求CP CQ ⋅的最小值.19.2023年起我国旅游按下重启键,寒冬有尽,春日可期,先 出现了“淄博烧烤”,“尔滨与小土豆”,“天水麻辣烫”等现象级爆款,之 各地文旅各出奇招,现某地文旅为进一步发展该地文旅,提升该地经济,在5月份对来该地旅游的部分游客发起满意度调查,从饮食、住宿,交通,服务等方面调查旅客满意度,满意度采用百分制,统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图,图中4b a =(1)求图中a 的值并估计满意度得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)若有超过60%的人满意度在75分及以上,则认为该月文旅成绩合格.该地5月份文旅成绩合格了吗?(3)该地文旅6月份继续对来该地旅游的游客发起满意度调查.现知6月1日-6月7日调查的4万份数据中其满意度的平均值为80,方差为75; 6月8日-6月14日调查的6万份数据中其满意度的平均值为90,方差为 70 .由这些数据计算6月1日- 6月14日的总样本的平均数与方差.20.如图,在ABC ∆中,D 是BC 边上的一点,,BAD DAC αβ=∠=∠. (1)证明:sin sin BD AB DC AC αβ⋅=⋅; (2)若点D 为靠近B 的三等分点,27,2,90AB AC β===︒,BAC ∠为钝角,求ACD S ∆21.如图,三棱台ABC −A 1B 1C 1中,△ABC 是边长为2的等边三角形,四边形ACC 1A 1是等腰梯形,且A 1C 1=AA 1=1,D 为A 1C 1的中点. (1)证明: AC ⊥BD ;(2)若过B,B 1,D 三点的平面截三棱台ABC −A 1B 1C 1所得的截面面积为9316.当二面角A 1−AC −B 为锐二面角时,求二面角B 1−BC −A 的正弦值.22.在四面体ABCD 中,,AB a CD b ==,记四面体ABCD 的内切球半径为r .分别过点,,,A B C D 向其对面作垂线,垂足分别为1234,,,H H H H .(1)是否存在四个面都是直角三角形的四面体ABCD ?(不用说明理由) (2)若垂足1H 恰为正三角形BCD ∆的中心,证明:22223343b a b r a b b-=-+;(3)已知2024a b +=,证明: 253r <.成都石室中学2023-2024学年度下期高2026届期末考数学试题答案一、选择题ADD A CB DB二、选择题BD ACD AC BCD三、填空16.13. 21 14.315.2四、解答题17.18.19.20.21.22.。
四川省成都市重点中学2021-2022学年高三上学期期末考试理科数学试卷
成都石室中学高2022届高三上期期末考试数 学（理科） 第 Ⅰ 卷 （选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位，则复数21i −所对应的点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．方程11(),2()11()2x t tt y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩为参数对应的曲线的轨迹为A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线3. 已知两个非零向量,a b 满足()0a a b ⋅−=，且2||||a b =，则,a b <>=A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°4．已知圆222 (0)x y r r +=>与抛物线22y x =交于A ，B 两点，与抛物线的准线交于C ，D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则r 等于A ．B ．C ．D ．5．居民消费价格指数（Consumer Price Index ，简称CPI ）是根据与居民生活有关的产品及劳务价格统计出来的物价变动指标，它是进行经济分析和决策、价格总水平监测和调控及国民经济核算的重要指标．根据下面给出的我国2019年9月—2020年9月的居民消费价格指数的同比（将上一年同月作为基期进行对比的价格指数）增长和环比（将上月作为基期进行对比的价格指数）增长情况的折线图，以下结论正确的是A ．2020年1月到9月的居民消费价格指数在逐月增大B ．2019年9月到2020年9月的居民消费价格指数在逐月减小C ．2020年1月到9月的居民消费价格指数分别低于2019年同期水平D ．2020年7月过后，居民消费价格指数的涨幅有回落趋势6．已知两定点A （－2，0），B （1，0），如果动点P 满足条件||2||PA PB =，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于A ．πB ．4πC ．8πD ．9π7．已知命题p ：椭圆22143x y +=上存在到焦点的距离等于4的点；命题q ：双曲线22145x y −=的右支上存在到左焦点距离为4的点．下列命题为真命题的是A ．p q ∧B ．p q ∨C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∧⌝8．己知椭圆C 的焦点为1(1,0)F −，2(1,0)F ，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||3||AF F B =，15||4||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=9．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，12,F F 为C 的左，右焦点，P 为C 上一点，且12PF F △的内切圆圆心I 的坐标为(,1)s ，若12PF F △的面积为2b ，则椭圆的离心率为A ．35B ．45C ．14D ．3410．设双曲线H ：224x y −=的两个焦点为1F ，2F ，P 是双曲线H 上的任意一点，过1F 作∠F 1PF 2的角平分线的垂线，垂足为M ，则点M40y −−=的距离的最大值是 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 11．已知23()2a =，e e 1()e b +=，34()3c =，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a ＜c ＜bB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c12．已知等腰 Rt △ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝1，D ，E 分别是AB 和BC 上的动点，△BDE 沿DE 翻折后，B 恰好落在AC 边上，则BE 的最小值为 A1 B ．12 CD．1第 Ⅱ 卷 （非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数()(22)sin x x f x m x −=+⋅是偶函数，则m ＝ ．14．学校艺术节对同一类的A ，B ，C ，D 四件参赛作品，只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“C 或D 作品获得一等奖”； 乙说：“B 作品获得一等奖”； 丙说：“A ，D 两项作品未获得一等奖”； 丁说：“C 作品获得一等奖”． 若这四位同学中有且只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是______.15．中国古乐中以“宫”“商“角“微“羽”为五个基本音阶，故有成语“五音不全”之说．如果用这五个基本音阶随机排成一个五个音阶的音序，则“宫”“商”两音不相邻且在“角”音同侧的概率为________．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 且斜率大于0的直线交抛物线C 于A ，B 两点（其中A 在B 的上方），过线段的中点M 且与x 轴平行的直线依次交直线OA ，OB ，l 于点P ，Q ，N ．给出下列四个命题： ①||||PM NQ =；②若P ，Q 是线段MN 的三等分点，则直线AB的斜率为 ③若P ，Q 不是线段MN 的三等分点，则一定有||||PQ OQ >； ④若P ，Q 不是线段MN 的三等分点，则一定有||||NQ OQ >； 其中正确的是 （写出所有正确命题的编号）．AB三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2024届四川省成都市石室中学高三上学期期末理数试卷及答案
成都石室中学2023-2024年度上期高2024届期末考试数学试题（理）（总分：150分，时间：120分钟）第Ⅰ卷（共60分）焦点在坐标轴上的双曲线D的一条渐近线相切，则双曲线D的概率为（的距离的和等于22的点的轨迹.给出下列四第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）1122,B C P ==为线段的最小值为三、解答题（本题共6道小题，共70分）用于蔬菜种植实践活动. 经测在第一象限与椭圆选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.成都石室中学2023-2024年度上期高2024届期末考试数学试题（理）n 133810A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】选A【解析】由1371326S a ==，可得72a =，则1037836a a a a =+=+.4 .()25y x x y x ⎛⎫ ⎪⎭-⎝+的展开式中，33x y 的系数为A ．15-B ．5-C ．5D ．15【答案】选A【解析】()()()22555y y x x y x x y x y x x +-=⎛⎫+⎪⎭- -⎝，()5x x y -的展开式通项为5655()(1)k k k k k k k k T xC x y C x y --=⋅⋅-=-⋅⋅，()25y x y x -的展开式通项为254255()(1)r r r r r r r r y S C x y C x y x --+=⋅⋅-=-⋅⋅，由6343k r -=⎧⎨-=⎩，可得31k r =⎧⎨=⎩，因此，式子()25y x x y x ⎛⎫ ⎪⎭-⎝+的展开式中，33x y 的系数为331155(1)(1)15C C -+-=-.5.函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭部分图象如图所示，则π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A B ．12C ．D 【答案】选D【解析】由函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象知，2A =，11233334T πππ=-=，解得24T ππω==，∴12ω=，又2122sin 2323f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得122232k ππϕπ⨯+=+，Z k ∈，解得26k πϕπ=+，Z k ∈，∵||2ϕπ<，∴可得π6ϕ=，∴1()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴12sin 2sin 32363f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪.7. 已知函数是偶函数，当x <0时，()1f x x x =-+，则曲线在x =1处的切线方程为A ．210x y +-=B ．230x y --=C ．230x y +-=D ．210x y --=【答案】选C【解析】因为x <0，3()1f x x x =-+，(1)1f -=，又由()f x 是偶函数，(1)1f ∴=，令0x -<，则3()1f x x x -=-++，根据()f x 是偶函数，()()f x f x -=，得到0x >时，3()1f x x x =-++，所以，0x >时，2()31f x x '=-+，(1)2f '=-，故曲线()y f x =在1x =处的切线方程为12(1)y x -=--，即230x y +-=.8．已知一个组合体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．2π22++C ．262π22+++【答案】C【分析】先由三视图原几何体，再分别求得各面的面积相加即可得解【详解】由题知，该三视图对应的几何体的直观图如图所示，其中半圆柱的底面半径为BC AB ⊥，1BC =，∴2OA OB ==，AC =因为1OO ⊥面ABC ，BC 又BC AB ⊥，1AB OO 又OB ⊂面ABO ，故BC ∴3OC =，∴2AC OA =A ．316B 【答案】B时均能得到10.若23x =，34y=，则下列选项正确的是A ．32y >B ．x y<C ．12y x+>D．x y +>【答案】选D【解析】因为23x =，34y =，所以23log 3,log 4x y ==，因为32223log 3log 22>=，32333log 4log 32<=，即33,22x y ><,所以x y >，所以A ，B 错误；因为3333211log 4log 2log 4log 8log 92log 3y x +=+=+=<=，所以12y x+<，所以C 错误；因2323222log 3log 4log 32log 2log 3log 3x y +=+=+=+>=，所以D 正确.11. 已知长方体1111ABCD A B C D -在球O 的内部，球心O 在平面ABCD 上， AB BC =，则该长方体体积的最大值是A ．4 B ． 8 C ．12D ．18【答案】选A【解析】设长方体1111ABCDA B C D -的高为h ， 设AB =a ，则BD =，所以2BD =.由勾股定理得22(32BD h +== 即2232+=a h 得2262=-a h ， 所以长方体1111ABCD A B C D -的体积为()2236226==-=-+V a h hh hh ，设3()26=-+f h h h ，其中0<h ，则2()66'=-+f h h ， 令()0f h '=，得1h =，当01h <<时，()0f h '>，()f h 在(0,1)上单调递增；当1h <<时，()0f h '<，()f h 在上单调递减.所以函数()V f h =在1h =处取得极大值，亦即最大值，则max (1)4==V f .13. 若x、y满足约束条件280403+≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩x yxy，则z x y=+的最大值为__________．【答案】7【解析】由题意可知，约束条件为28 0403+≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩x yxy，根据约束条件可绘出可行域：当目标函数经过点()4,3B 时取最大值，max 437z =+=.14. 设212()log f x x x =+，则不等式11(1)2f x ->的解集为__________．【答案】1,13⎛⎫⎪⎝⎭【解析】由题意，函数212()log f x x x=+，根据初等函数的性质，可得函数()f x 在定义域()0,+∞为单调递减函数，且1(2)2=f ，则不等式11(1)2f x ->等价于1012x <-<，解得113x <<，所以不等式的解集为1,13⎛⎫ ⎪.【答案】5【分析】先利用线面垂直的判定定理推得5sin PM MPA MN ∠+【详解】因为1AA ⊥又11190A B C ∠=︒，因为111AA A B A =又1平面11，所以.又在11Rt AA B 中，A B 在11Rt AB C △中，1AB S 故15sin 2PM MPB ⨯⨯∠则15sin PM MPB MN ∠+又15sin PM MPB ∠≤所以15sin PM MPB ∠+即55PM MN ≤+，当且仅当……………………………………………………………………….7ABCD ，2PA AB AD ===(1)求证：面PBC ⊥面PDC (2)若二面角P AD B --的大小为【答案】(1)证明见解析 (2)【分析】（1）分别取PB 、可证面面垂直；（2）过点P 作PO AB ⊥，由二面角的定义可知原点建立空间直角坐标系，利用坐标法可得线面夹角正弦值；）PC 中点M 、N ，连接AM ，MN 122MN BC ==，，122AD BC ==，）⊥，则PO⊥平面ABCD，P作PO AB）得AD⊥平面PAB，⊥，⊥，AB ADAD所以二面角P AD B--的平面角为∠PAB，即∠==，AB2PAB为正三角形，==，3OB1OP=，19.（本小题满分12分）为加强学生劳动教育，成都石室中学北湖校区将一块四边形园地ABCD用于蔬菜种植实践活动. 经测量，边界AB与AD的长度都是14米，60∠= .BCDBAD∠= ，120(1)若DC的长为6米，求BC的长；(2)现需要沿实验园的边界修建篱笆以提醒同学们不要随意进入，问所需要篱笆的最大长度为多少米?【解析】(1)连接BD ，由题意△ABD 是等边三角形，所以BD =14，在BCD △中，由余弦定理得，222||||||2||||cos BD BC CD BC CD BCD =+-⋅∠即2||6||1600BC BC +-=，求解得||10(||16)BC BC ==-舍去故BC 的长为10米.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分(2)设BDC θ∠=， π3CBD θ∠=-，在BCD △中，sin sin sin CD BC BD CBD BDC C ====∠∠∠，所需篱笆的长度为()π28sin sin 3⎫⎛⎫=++-⎪ ⎪⎝⎭⎭f θθθ1π28sin sin 28)2823θθθθ⎫=++-=++≤+⎪⎪⎭.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分π268所需篱笆的最大长为则当时，θ+= ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分20．（本小题满分12分）已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，抛物线22:4C y x =在第一象限与椭圆C 1交于点A ，点F 为抛物线2C 的焦点，且满足5||3AF =.(1)求椭圆1C 的方程；(2)设直线1x my =+与椭圆C 1交于P ,Q 两点，过,P Q 分别作直线():2l x t t =>的垂线，垂足为M 、N ，l 与x 轴的交点为T ．若△PMT 、△PQT 、△QNT 的面积成等差数列，求实数m 的取值范围.【解析】(1)由题意， 5||13M AF x =+=,则点23A ⎛ ⎝ 在椭圆上，得2248193a b+=，①2222a b e a -==2234a b = ②联立①②，解得a 2＝4，b 2＝3，∴椭圆C 1的方程为22143x y+=；∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分(2)依题意，直线PQ 与x 轴不重合，故可设直线PQ 的方程为x ＝my +1．联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去22:(34)690x m y my ++-=．设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则有△＞0，且12122269,3434m y y y y m m +=-=-++．7分设△PMT ，△PQT ，△QNT 的面积分别为S 1，S 2，S 3，∵S 1，S 2，S 3成等差数列，∴2S 2＝S 1+S 3，即3S 2＝S 1+S 2+S 3，则()()()1212121131||||22t y y t x t x y y ⨯-⨯-=-+-⨯-⎡⎤⎣⎦；即3（t ﹣1）＝2t ﹣（x 1+x 2），得t ＝3﹣（x 1+x 2），∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分又x 1＝my 1+1，x 2＝my 2+2，于是，t ＝3﹣（my 1+my 2+2）＝1﹣m （y 1+y 2），∴2261234m t m =+>+，解得243m >．21.（本小题满分12分）已知函数1()ln f x x m x m x=---，其中e 是自然对数的底数．(1)讨论()f x的单调性；(2)若1m =，设关于x 的不等式1()ln f x x x kx n x≤--+对[]1,e x ∀∈恒成立时k 的最大值为[](),1,e c k n ∈∈R ，求n c +的取值范围．【解析】(1)()f x 的定义域为()0,+∞， 22211'()1m x mxf x x x x -+=+-=，1分当2m ≤时，'()0f x ≥，()()0,,x f x ∈+∞单调递增；当2m >时，221'()0x mx f x x -+==，12x x ==()()()()12'0,0,,,,f x x x x f x >∈+∞单调递增；()()()12'0,,,f x x x x f x <∈单调递减；∙4分综上，当2m ≤时，()f x 在(0,)+∞单调递增；当2m >时，()f x在)+∞单调递增，在单调递减.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分(2)因为x 的不等式1()ln f x x x kx n x≤--+对[]1,e x ∀∈恒成立,则(1ln )ln x x x x n k x+-++≤，对[]1,e x ∀∈恒成立,∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分令1ln ln ()x x x x ng x x+-++=，即()g x '=()ln p x x x n =-+-，即1()10p x x'=-+>，所以()p x 在[]1,e x ∈上递增；∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7分①当(1)0p ≥，即1n ≤时，因为[]1,e n ∈，所以1n =，当[]1,e x ∈，()0p x ≥，即()0g x '≥，所以()g x 在[]1,e 上递增，所以min ()(1)c g x g n ===，故22n c n +==；∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分②当(e)0p ≤即[]e 1,e n ∈-时，因为[]1,e x ∈，()0p x ≤，即()0g x '≤，所以()g x 在[]1,e 上递减，所以min 2()(e)e n c g x g +===，故212e ,e 1e ee n n c n +⎡⎤+=+∈+++⎢⎥⎣⎦；9分③当(1)(e)0p p <，即(1,e 1)n ∈-时，因为()ln p x x x n =-+-在[]1,e 上递增，所以存在唯一实数0(1,e)x ∈，使得()00p x =，即00ln n x x =-，则当()01,x x ∈时，()0p x <，即()0g x '<；当()0,e x x ∈时，()0p x >，即()0g x '>，故()g x 在()01,x 上单减，()0,e x 上单增，所以()0000min 00001ln ln 1()ln x x x x n c g x g x x x x +-++====+，所以00000011ln ln n c x x x x x x +=++-=+，设()0001()(1,e)u x x x x =+∈，则220011()10x u x x x -'=-=>，所以()u x 在[]1,e 上递增，所以12,e e n c ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭．综上所述，22,e 1e n c ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦ ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分22. [选修4－4：坐标系与参数方程]已知圆C 的参数方程为14cos (14sin x y βββ=-+⎧⎨=+⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆C 的极坐标方程；(2)若直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩(t 为参数，α为直线l 的倾斜角)，l 与C 交于A ，B 两点，||=AB ，求l 的斜率.【解析】（Ⅰ）圆C 的直角方程为()221(1)16x y ++-=将cos ,sin x y ρθρθ==，222x y ρ+=得()22cos sin 140ρρθθ+--=.故圆C 的极坐标方程为()22cos sin 140ρρθθ+--=∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分（Ⅱ）在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为(R)θαρ=∈，设A ，B 所对应的极径分别为12,ρρ.将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得()22cos sin 140ρρθθ+--=.于是1212sin co ,14s ρρρααρ+==--12||=-===AB ρρ得ππsin 21,2,24ααα===所以l 的斜率为1.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分。
四川省成都石室中学2021届高三上学期开学考试 数学(理)含答案
⽯室中学⾼2021届2020-2021学年度上期⼊学考试理科数学试卷⼀、选择题（共12⼩题；共60分）1.已知集合，则集合的元素个数是（）A．0B．1C．2D．32．i为虚数单位，，则的共轭复数为（）A.B． C.D．3．⽯室中学为了解1000名学⽣的身体素质，将这些学⽣编号为1，2，…，1000，从这些学⽣中⽤系统抽样⽅法等距抽取100名学⽣进⾏体质测验，若46号学⽣被抽到，则以下4名学⽣中被抽到的是（）A．8号学⽣B．200号学⽣C．616号学⽣D．815号学⽣4．函数的零点所在的⼤致区间是（）A．B．C．D．5．已知向量，，则是//的（）A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．必要不充分条件D．充分不必要条件6．已知的内⻆的对边分别为，若，，，则为（）A．60°B．60°或120°C．30°D．30°或150°7．下列函数中，既是奇函数⼜在单调递减的函数是（）A．B．C．D．8．抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，点在抛物线上，当时，的⾯积为（）A．1B．C．2D．9.如图是⽤模拟⽅法估计圆周率π的程序框图，P表示估计结果，则图中空⽩框内应填⼊（）A．B．C．D．10.已知，则的⼤⼩关系为（）A．B．C．D．11.某⼏何体的三视图如图所示，则该⼏何体外接球表⾯积为（）A．B．C．D．12.已知a为常数，函数有两个极值点x1，x2(x1＜x2)，则下列结论正确的是（）A． B.C．D．⼆、填空题（共4⼩题；共20分）13.已知双曲线的离⼼率为2，则该双曲线的渐近线⽅程为_______________14.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五⼈分五钱，令上⼆⼈所得与下三⼈等．问各得⼏何．”其意思为“已知甲、⼄、丙、丁、戊五⼈分5钱，甲、⼄两⼈所得与丙、丁、戊三⼈所得相同，且甲、⼄、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五⼈各得多少钱？”（“钱”是古代的⼀种重量单位）．这个问题中，甲所得为___________钱.15．已知是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则使得成⽴的的取值集合是___________．16.已知棱⻓为1的正⽅体，过对⻆线作平⾯交棱于点，交棱于点，则：①平⾯分正⽅体所得两部分的体积相等；②四边形⼀定是平⾏四边形；③平⾯与平⾯不可能垂直；④四边形的⾯积的最⼤值为.其中所有正确结论的序号为_______三、解答题（共6⼩题；共70分）17.(本题满分12分)⽯室中学⾼三学⽣摸底考试后，从全体考⽣中随机抽取名，获取他们本次考试的数学成绩()和物理成绩()，绘制成如图散点图：根据散点图可以看出与之间有线性相关关系，但图中有两个异常点．经调查得知，考⽣由于重感冒导致物理考试发挥失常，考⽣因故未能参加物理考试．为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到⼀些统计的值：其中分别表示这名同学的数学成绩、物理成绩，，与的相关系数．（Ⅰ）若不剔除两名考⽣的数据，⽤组数据作回归分析，设此时与的相关系数为．试判断与的⼤⼩关系（不必说理由）；（Ⅱ）求关于的线性回归⽅程，并估计如果考⽣参加了这次物理考试（已知考⽣的数学成绩为分），物理成绩是多少？附：回归⽅程中,。