解三角形完整讲义
正余弦定理知识要点：
1、正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C
===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =. 2、余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ?=+-?=+-??=+-? 或
222222222
cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ?+-=??+-?=???+-=??
. 3、解斜三角形的常规思维方法是：
（1）已知两角和一边（如A 、B 、C ），由A+B+C = π求C ，由正弦定理求a 、b ；
（2）已知两边和夹角（如a 、b 、c ），应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所
对的角，然后利用A+B+C = π，求另一角；
（3）已知两边和其中一边的对角（如a 、b 、A ），应用正弦定理求B ，由A+B+C = π求C ，
再由正弦定理或余弦定理求c 边，要注意解可能有多种情况；
（4）已知三边a 、b 、c ，应余弦定理求A 、B ，再由A+B+C = π，求角C 。
4、判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.
5、解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定
理及几何作图来帮助理解”。
6、已知三角形两边a,b,这两边夹角C ，则S ＝1/2 * absinC
7、三角学中的射影定理：在△ABC 中，A c C a b cos cos ?+?=，…
8、两内角与其正弦值：在△ABC 中，B A B A sin sin
【例题】在锐角三角形ABC 中，有 （ B ）
A ．cosA>sin
B 且cosB>sinA B ．cosA C ．cosA>sinB 且cosB D ．cosA 9、三角形内切圆的半径：2S r a b c ?= ++，特别地，2 a b c r +-=斜直 正弦定理 专题：公式的直接应用 1、已知ABC △ 中，a = b =60B = ，那么角A 等于（ ） A ．135 B ．90 C ．45 D ．30 2、在△ABC 中，a ＝3 2，b ＝22，B ＝45°，则A 等于（ C ） A ．30° B ．60° C ．60°或120° D ． 30°或150° 3、ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，， 若120 c b B === ，则a 等于（ ） A B ． 2 C D 4、已知△ABC 中，30A = ，105C = ，8b =，则a 等于（ B ） A ．4 B. C. D.5、在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c 等于 （ B ） A ．310+ B ．()1310- C ．13+ D ．310 6、已知ABC ?的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若31s i n =A ，B b sin 3=，则a 等于． （3 3） 7、△ABC 中，45B = ，60C = ，1c =，则最短边的边长等于（ A ） B. C . 12 D . 8、△ABC 中，:1:2A B =，C 的平分线CD 把三角形面积分成3:2两部分，则cos A =（ C ） A . 13 B .12 C .34 D .0 9、在△ABC 中，证明：2222112cos 2cos b a b B a A -=-。 证明：??? ? ??---=---=-222222222222sin sin 211sin 21sin 212cos 2cos b B a A b a b B a A b B a A 由正弦定理得：2222sin sin b B a A = 2 222112cos 2cos b a b B a A -=-∴ 专题：两边之和 1、在△ABC 中，A ＝60°，B ＝45°，12=+b a ，则a ＝；b ＝ . （61236-,24612-） 2、已知ABC △1，且sin sin A B C +=． （1）求边AB 的长； （2）若ABC △的面积为 1sin 6 C ，求角C 的度数． 专题：三角形个数 1、△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( C ) A.有 一个解 B.有两个解 C.无解 D.不能确定 2、ΔABC 中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B 等于 （ B ） A ．60° B ．60°或120° C ．30°或150° D ．120° 3、在△ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是 （D ） A ．b = 10，A = 45°， B = 70° B ．a = 60，c = 48，B = 100° C ．a = 7，b = 5，A = 80° D ．a = 14，b = 16，A = 45° 4、符合下列条件的三角形有且只有一个的是 （ D ） A ．a=1,b=2 ,c=3 B ．a=1,b=2 ,∠A=30° C ．a=1,b=2,∠A=100° C ．b=c=1, ∠B=45° 5、在△ABC 中，a ＝12，b ＝13，C ＝60°，此三角形的解的情况是（ B ） A ．无解 B ．一解 C ． 二解 D ．不能确定 6、满足A=45°,c=6 ,a=2的△ABC 的个数记为m,则a m 的值为（ A ） A ．4 B ．2 C ．1 D ．不定 7、已知△ABC 中，===A b a ,209,181 121°，则此三角形解的情况是无解 8、在△ABC 中，已知b =，150c =，30B = ，则边长a =。 专题：等比叠加 1、△ABC 中，若60A = ，a =sin sin sin a b c A B C +-+-等于（ A ） A .2 B . 12 D. 2、在△ABC 中，A=60°,b=1,面积为3，则 sin sin sin a b c A B C ++++ 专题：变式应用 1、在△ABC 中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则=c b a ::2:3:1 2、已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于( A ) A ．1∶2∶3 B ．2∶3∶1 C ．1：3：2 D ．3：1：2 3、在△ABC 中，周长为7.5cm ，且sinA ：sinB ：sinC ＝4：5：6,下列结论：①6:5:4::=c b a ②6:5:2::=c b a ③cm c cm b cm a 3,5.2,2=== ④6:5:4::=C B A 其 中成立的个数是 ( C ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 4、在△ABC 中，已知边10c =, cos 4cos 3 A b B a ==，求边a 、b 的长。 解：由，sinB sinA ,可得 ， 变形为sinAcosA=sinBcosB ，∴sin2A=sin2B, 又∵a ≠b, ∴2A=π－2B, ∴A+B=. ∴△ABC 为直角三角形. 由a2+b2=102和，解得a=6, b=8。 5、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()C a A c b c o s c o s 3=-，则= A c o s _________________。 6、设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （1）求B 的大小； （2）求cos sin A C +的取值范围． 专题：求取值范围 1、△ABC 中，已知===B b x a ,2, 60°，如果△ABC 两组解，则x 的取值范围( C) A ．2>x B ．2 C ．3342< D ． 33 42≤ A ．51< B ．135< C ．50< D ．513< 3、在锐角中， 则的值等于，的取值范围为. 2 答案 ：设由正弦定理得 由锐角得， 又，故，所以 余弦定理 专题：公式应用 1、在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于（ C ） A ． 30° B ．45° C ．60° D ．120° 2、在三角形ABC 中，537AB AC BC ===，，，则BAC ∠的大小为（ ） cos cos A b B a =b a =cos sin cos sin A B B A =2π43 b a =ABC ?1,2,BC B A ==cos AC A AC )3,2(,2.A B θθ∠=?=,1 2.sin 2sin 2cos cos AC BC AC AC θθθθ=∴=?=ABC ?0290045θθ< 3045cos 22 θθ< << A ．23π B ．56π C ．34π D ．3 π 3、长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( B ) A. 90° B. 120° C. 135° D. 150° 4、在△ABC 中，===B c a ,2,33150°，则b ＝7 5、在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则A ∠=（ C ） A. 090 B. 060 C. 0120 D. 0150 6、在△ABC 中，三边长分别为3,5,6a b c ===,则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 （ D ） A ．38 B ．37 C ．36 D ．35 7、在△ABC 中，已知bc c b a ++=222，则角A 为（C ） A ． 3π B ．6π C ．32π D ． 3π或3 2π 8、在钝角△ABC 中，已知1a =，2b =，则最大边c 3c < 9、设a 、b 、c 是ABC ?的三边长，对任意实数x ，222222()()f x b x b c a x c =++-+有 （ B ） A.()0f x = B.()0f x > C.()0f x ≥ D.()0f x < 9、三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程的根，则三角形的另 一边长为（ B ） A ．52 B ． C ．16 D ．4 10、在△ABC 中，已知AB=4，AC=7，BC 边的中线2 7=AD ，那么BC= 9 11、设A 、B 、C 为三角形的三内角,且方程(sinB －sinA)x2+(sinA －sinC)x +(sinC －sinB)=0 有等根，那么角B （ D ） A ．B>60° B ．B ≥60° C ．B<60° D ．B ≤60° (sinA-sinC)2-4（sinB-sinA)(sinC-sinB) =sin2A-2sinAsinC+sin2C-4(sinBsinC-sinAsinC-sin2B+sinAsinB) =(sinA+sinC)2-4sinB(sinA+sinC)+4sin2B=(sinA+sinC-2sinB)2 专题：判断三角形 1、若tan tan 1A B >，则△ABC （ A ） A. 一定是锐角三角形 B. 可能是钝角三角形 C. 一定是等腰三角形 D. 可能是直角三角形 2、 在△ABC 中，角均为锐角，且则△ABC 的形状是（ C ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 3、△ABC 中，60B = ，2b ac =，则△ABC 一定是 （ D ） 25760x x --=,A B ,sin cos B A > A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 4、如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 （ A ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 由增加的长度决定 5、△ABC 中，cos cos cos a b c A B C ==，则△ABC 一定是 （ D ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 6、在△ABC 中，若c C b B a A sin cos cos ==，则△ABC 是（ B ） A ．有一内角为30°的直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．有一内角为30°的等腰三角形 D ．等边三角形 7、若ABC △的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且cos cos a A b B =，则（ ） A ．ABC △为等腰三角形 B ．AB C △为直角三角形 C ．ABC △为等腰直角三角形 D ．ABC △为等腰三角形或直角三角形 8、ABC △的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，根据下列条件判断三角形形状： 2222(1).()()3sin 2sin cos _______(2).()sin()()sin()_______.a b c b c a bc A B C ABC a b A B a b A B ABC +++-==+-=-+，且，则△是； ，则△是 9、若(a+b+c)(b+c －a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC 是 （ B ） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形 10、在△ABC 中，已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( B ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 11、在△ABC 中，若B b A a cos cos =，则△ABC 的形状是（D ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形 12在ABC ?中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边，若C b a cos 2=，则此三角形一 定是（ C ） A.等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 13、在△ABC 中，若22 tan tan b a B A =，则△ABC 的形状是（ B ） A. 直角三角形 B. 等腰或直角三角形 C. 不能确定 D. 等腰三角形 14、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的范围是（ B ） A ．()10,8 B ．()10,8 C ． ()10,8 D ．()8,10 15、A 为ΔABC 的一个内角,且sinA+cosA=12 7, 则ΔABC 是______三角形. 钝角 16、在△ABC 中，已知2a b c =+，2sin sin sin A B C =，试判断△ABC 的形状。 解：由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C ===得：sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R =。 所以由2sin sin sin A B C =可得：2()222a b c R R R =?，即：2a bc =。 又已知2a b c =+，所以224()a b c =+，所以24()bc b c =+，即2()0b c -=， 因而b c =。故由2a b c =+得：22a b b b =+=，a b =。所以a b c ==，△ABC 为等边三角形。 17、已知的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为,向量 ，且 . （1）求角A 的大小； （2）若 取得最大值时的形状. 9.解：（1）由 又因为 解得分 （Ⅱ）在 ． ， 即, 又由（Ⅰ）知所以，为正三角形 18、在ΔABC 中,求分别满足下列条件的三角形形状： ①B=60°,b2=ac ； ①由余弦定理 ac ac c a ac b c a ac b c a =-+?=-+?-+=?222222222 12260cos 0)(2=-∴ c a ， c a =∴. 由a=c 及B=60°可知△ABC 为等边三角形. ②b2tanA=a2tanB ；②由A A b B a A b cos sin tan tan 22 2?= ,2sin 2sin ,cos sin cos sin sin sin cos sin cos sin cos sin 22222B A B B A A A B a b B A A B B B a =∴=∴==?=AB C ?a b c 、、(4,1),m =- 2(cos ,cos 2)2A n A = 72 m n ?= a =b c ?ABC ?2(4,1),(cos ,cos 2)2A m n A =-= 24cos cos 22A m n A ?=- 21cos 4(2cos 1)2 A A +=?--22cos 2cos 3A A =-++77,2cos 322 m n A A ?=++= 2所以-2cos 1cos 2A =0,3 A A ππ<<∴= 2222cos ,ABC a b c bc A a ?=+-中，且222122 b c bc ∴=+-?22b c bc =+-222,32b c bc bc bc +≥∴≥- 3,bc ≤当且仅当b c b c ==?取得最大值,,33A B C π π =∴==ABC ? ∴A=B 或A+B=90°，∴△ABC 为等腰△或Rt △. ③sinC=B A B A cos cos sin sin ++③B A B A C cos cos sin sin sin ++= ，由正弦定理：,)cos (cos b a B A c +=+再由余弦定理：b a ac b c a c bc c b a c +=-+?+-+?222 22222 ??∴+=∴=--+∴Rt ABC b a c b a c b a 为,,0))((222222. ④ (a2－b2)sin(A+B)=(a2+b2)sin(A －B).④由条件变形为2 22 2)sin()sin(b a b a B A B A +-=+- ?=+=∴=∴=?=--+-++∴90,2sin 2sin sin sin sin cos cos sin ,)sin()sin()sin()sin(2222B A B A B A B A B A B A b a B A B A B A B A 或. ∴△ABC 是等腰△或Rt △. 专题： 1、在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cos C 等于 。14 - 2、在ABC ?中，已知4:5:6sin :sin :sin =C B A ，则cosA =___________18 3、在△ABC 中，()()()6:5:4::=+++b a a c c b ，则△ABC 的最大内角的度数是120 4、在△ABC 中，10=+b a ，cosC 是方程02322=--x x 的一个根，求△ABC 周长的最小 值。 解：02322=--x x 2 1,221-==∴x x 又C cos 是方程02322=--x x 的一个根 21cos -=∴C 由余弦定理可得：()ab b a ab b a c -+=?? ? ??-?-+=2222212 则：()()7551010022+-=--=a a a c 当5=a 时，c 最小且3575==c 此时 3510+=++c b a ∴△ABC 周长的最小值为3510+ 5、在中，角所对的边分别为，且满足，． （I ）求的面积； （II ）若，求的值． 解 （1）因为，，又由 得， ABC ?,,A B C ,,a b c cos 25 A =3A B A C ?= ABC ?6b c += a cos 2A =234cos 2cos 1,sin 255A A A ∴=-==3AB AC ?= cos 3,bc A =5bc ∴=1sin 22 ABC S bc A ?∴== （2）对于，又，或，由余弦定理得 ， 专题：已知面积 1、已知△ABC 的面积为 23，且3,2==c b ，则∠A 等于 （ D ） A ．30° B ．30°或150° C ．60° D ．60°或120° 2、在中，已知角、、所对的边分别是、、，边，且60C ?=，又 ，则a b +=____________112 3、已知△中，，，，，，则（ ） A. B ． C ． D ． 或 4、若△ABC 的周长等于20，面积是310，A ＝60°，则BC 边的长是（ C ） A ． 5 B ．6 C ．7 D ．8 5、在ΔABC 中，若S ΔABC=41 (a2+b2－c2),那么角∠C=______.4 π 6、在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程02322=+-x x 的两个根，且()1cos 2=+B A 。 求：(1)角C 的度数； (2)AB 的长度。 解：（1）()[]()2 1cos cos cos -=+-=+-=B A B A C π∴C ＝120° （2）由题设：???=+=322 b a ab ?-+=?-+=∴120cos 2cos 222222ab b a C BC AC BC AC AB ()()102322222=-=-+=++=ab b a ab b a 10=∴AB 5bc =6b c +=5,1b c ∴==1,5b c ==2222cos 20a b c bc A =+-=25a ∴=ABC △A B C a b c 72 c =ABC △ABC AB a = AC b = 0a b ?< 154 ABC S ?=3,5a b == 30 150- 015030 0150 A C B 0150 30米 20米 7、在中，内角A 、B 、 C 的对边长分别为、、，已知，且 求b 解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有: 化简并整理得：.又由已知.解得. 解法二:由余弦定理得: .又,. 所以 ① 又， ，即 由正弦定理得，故 ② 由①，②解得. 专题：求三角形面积 1、在△ABC 中，3= AB ,1=AC ,∠A ＝30°，则△ABC 面积为 （ B ） A ． 23 B ．43 C ．23或3 D ．43 或2 3 2、已知△ABC 的三边长6,5,3===c b a ，则△ABC 的面积为 （ B ） A ． 14 B ．142 C ．15 D ．152 3、三角形的一边长为14，这条边所对的角为60 ，另两边 之比为8：5，则这个三角形的面积为 。 4、在△ABC 中，10sin =a °，50sin =b °，∠C ＝70°， 那么△ABC 的面积为（ C ） A ． 641 B ．321 C ．161 D ．8 1 5、 △ABC 中，8b = ，c = ABC S = A ∠等于 （ C ） ABC ?a b c 222a c b -=sin cos 3cos sin ,A C A C =ABC ?sin cos 3cos sin ,A C A C = 2222223,22a b c b c a a c ab bc +-+-= 2222()a c b -=222a c b -=24b b ∴=40(b b ==或舍） 2222cos a c b bc A -=-222a c b -=0b ≠2cos 2b c A =+sin cos 3cos sin A C A C =sin cos cos sin 4cos sin A C A C A C ∴+=sin()4cos sin A C A C +=sin 4cos sin B A C =sin sin b B C c =4cos b c A =4b = A 30 B 60 C 30 或150 D 60 或120 6、在ABC 中，, sinB= .（I ）求sinA 的值； (II)设 ，求ABC 的面积. 7、A 、B 、C 为ABC ?的三内角，对边分别为a 、b 、c ，若21s i n s i n c o s c o s =-C B C B ． （Ⅰ）求A ； （Ⅱ）若4,32=+=c b a ，求ABC ?的面积． 解：（Ⅰ）21sin sin cos cos =-C B C B 2 1)cos(=+∴C B 又π<+ 2π=∴A （Ⅱ）由余弦定理A bc c b a cos 2222?-+=得 3 2cos 22)()32(22π?--+=bc bc c b 即：)21 (221612-?--=bc bc ，4=∴bc ∴32 3421sin 21=??=?=?A bc S ABC 8、在锐角三角形中，边a 、b 是方程x2－2 3 x+2=0的两根，角A 、B 满足：2sin(A+B)－ 3 =0，求角C 的度数，边c 的长度及△ABC 的面积。 解：由2sin(A+B)－ 3 =0，得sin(A+B)=3 2 , ∵△ABC 为锐角三角形 ∴A+B=120°, C=60°, 又∵a 、b 是方程x2－2 3 x+2=0的两根，∴a+b=2 3 , ∴c= 6 , 1sin 2 ABC S ab C = =12 ×2×32 =32 。 a ·b=2, ∴c2=a2+b2－2a ·bcosC=(a+b)2－3ab=12－6=6, ∴c= 6 , 1sin 2 ABC S ab C = =12 ×2×32 =32 。 9、已知△ABC 的内角的对边分别为，其中，又向量m )cos ,1(C =， n )1,cos (C =，m ·n=1． （1）若45A =?，求a 的值； （2）若，求△ABC 的面积． 解：（1）∵mn 1cos 2cos cos ==+=C C C ∴2 1cos =C 0180C ?< ?C B A ,,c b a ,,2=c 4=+b a 由正弦定理得，2sin 45sin 60a =??，∴， （2）∵，60C ∠=?，222cos604a b ab ∴+-?=，∴，又∵ ，∴，∴，∴． 10、在ABC ?中，54sin ,135cos =-=B A . （Ⅰ）求C cos 的值； （Ⅱ）设15=BC ，求ABC ?的面积． 10.解：（Ⅰ）由54sin ,135cos =-=B A ，得5 3cos ,1312sin ==B A ．----2分 ∵π=++C B A ，∴)cos()](cos[cos B A B A C +-=+-=π-----4分 6563)sin sin cos (cos = --=B A B A ．-----6分 （Ⅱ）由6563cos =C ，得65 13sin =C ，------8分 由正弦定理得13sin sin =?= A B BC AC ．-----10分 所以ABC ?的面积1sin 2 S BC AC C =???246516131521=???=．----12分 11、在中，角所对的边分别为，且满足，． （I ）求的面积； （II ）若，求的值． 解（Ⅰ） 又， ，而，所以 ，所以的面积为： （Ⅱ）由（Ⅰ）知，而，所以 所以 定理应用 1、在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（ ） A. 米 B. 米 C. 200米 D. 200米 2 、海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 3623 22==a 2=c 422=-+ab b a 4=+b a 16222=++ab b a 4=ab 3sin 2 1== ?C ab S ABC ABC ?,,A B C ,,a b c cos 25 A =3A B A C ?= ABC ?1c =a 5 31)552(212cos 2cos 22=-?=-=A A ),0(π∈A 54cos 1sin 2= -=A A 353cos .===bc A 5=bc ABC ?25 4521sin 21=??=A bc 5=bc 1=c 5=b 5232125cos 222=?-+= -+=A bc c b a 34003 34003 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是 ( C ) A.10 海里 B.5海里 C. 56 海里 D.53 海里 3、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知 这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（ D ） A ． 450a 元 B ．225a 元 C ． 150a 元 D ． 300a 元 4、甲船在岛B 的正南方A 处，AB ＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时 乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时， 它们所航行的时间是（ A ） A ． 7150分钟 B ．715分钟 C ．21.5分钟 D ．2.15分钟 5、飞机沿水平方向飞行，在A 处测得正前下方地面目标C 得俯角为30°，向前飞行10000 米，到达B 处，此时测得目标C 的俯角为75°，这时飞机与地面目标的水平距离为（ A ） A ． 5000米 B ．50002 米 C ．4000米 D ．24000 米 6、如图：D,C,B 三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D 两点测得A 点仰角分别是β,α(α<β), 则A 点离地面的高度AB 等于 （ A ） A ．)sin(sin sin αββα-a B ．) cos(sin sin βαβα-?a C ．)sin(cos sin αββα-a D ．)cos(sin cos βαβα-a 7、在奥运会垒球比赛前，C 国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线 成15°的方向把球击出，根据经验及测速仪的显示，通常情况下球速为游击手最大跑速的4 倍，问按这样的布置，游击手能不能接着球？（如图所示） 解： 设游击手能接着球，接球点为B ，而游击手从点A 跑出，本垒为O 点（如图所示）. 设从击出球到接着球的时间为t ，球速为v ，则∠AOB＝15°，OB ＝vt ，4 v AB t ≤?。 A B D C α β 在△AOB 中，由正弦定理，得sin sin15OB AB OAB =∠ ， ∴sin sin15/44 OB vt OAB AB vt ∠=≥?= 而2884 1.741=->-?>，即sin∠OAB>1,∴这样的∠OAB 不存在，因此，游击手不能接着球. 一、正弦定理 1、在ABC ?中： 2R sinC c sinB b sinA a ===（R 为△ABC 的外接圆半径） 。它的变式有：①a=2RsinA ，b=2RsinB ，c=2RsinC ；②； ，R c C R B R a A 2sin 2b sin 2sin ===③a ：b ：c=sinA ：sinB ：sinC 。 推论1：△ABC 的面积为：S △ABC =21absinC=21bcsinA=2 1 casinB （证明：由正弦函数定义，BC 边上的高为bsinC ，所以S △ABC = C ab sin 2 1 ） 。 推论2：在△ABC 中，有bcosC+ccosB=a 。(证明：因为B+C=π－A ，所以sin(B+C)=sinA ，即sinBcosC+cosBsinC=sinA ，两边同乘以2R 得bcosC+ccosB=a)；还有两个式子为：acosC+ccosA=b ，bcosA+acosB=c 。 2、利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题 ①已知两角和任意一边，求其他两边和一角； ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角。 例1 △ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a=2，?=45B ，分别求出下 式中角A 的值。①b= 2 1 ；②b=1；③b=332；④b=2；⑤b=2。【答①无解；②A=?90；③A=??12060或； ④A=?45；⑤A=?30。】 例2 在△ABC 中，已知AB=1，?=50C ，当B= 时，BC 的长取最大值。【答：?40】 3、推导并记住：42675cos 15sin -= = ，4 2 615cos 75sin +== 。 例3 在锐角△ABC 中，若C=2B ，则 b c 的范围是（ ） A 、（0，2） B 、)2,2( C 、)3,2( D 、)3,1( 【答：C 】 例4 在△ABC 中，c=3，C=?60，求a+b 的最大值。 【答：23】 例5 在等腰△ABC 中，已知 2 1 sinB sinA =，BC=3，则△ABC 的周长为 。 【答：15】 4、角平分线定理：在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则AC AB DC BD = 。 例6 已知△ABC 的三条边分别是3、4、6，则它较大的锐角的平分线分三角形所成的两个三角形的面积比为（ ） A 、1:1 B 、1:2 C 、1:4 D 、3:4 【答：B 】 练习1 △ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 。若x a =,2=b ,?=45B ,且此三角形有两解，则x 的取值范围为 ( ) A 、)22,2( B 、22 C 、),2(+∞ D 、]22,2( 【答：A 】 解三角形 【高考会这样考】 1．考查正、余弦定理的推导过程． 2．考查利用正、余弦定理判断三角形的形状． 3．考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法． 4.考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题． 基础梳理 1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变 形为： (1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ； (3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R 等形式，以解决不同的三角形问题． 2．余弦定理：a 2 ＝b 2 ＋c 2 －2bc cos_A ，b 2 ＝a 2 ＋c 2 －2ac cos_B ，c 2 ＝a 2 ＋b 2 －2ab cos_C ．余弦定 理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab . 3．面积公式：S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1 2(a ＋b ＋c )·r (R 是三角形外接 圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r . 4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则 A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系 式 a ＜b sin A a ＝b sin A b sin A ＜a ＜b a ≥b a ＞b a ≤b 解的 个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解 5．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等． 第七章 解三角形 一、基础知识 在本章中约定用A ，B ，C 分别表示△ABC 的三个内角，a, b, c 分别表示它们所对的各边长， 2 c b a p ++= 为半周长。 1．正弦定理：C c B b A a sin sin sin ===2R （R 为△AB C 外接圆半径）。 推论1：△ABC 的面积为S △ABC =.sin 2 1 sin 21sin 21B ca A bc C ab == 推论2：在△ABC 中，有bcosC+ccosB=a. 推论3：在△ABC 中，A+B=θ，解a 满足 ) sin(sin a b a a -= θ，则a=A. 正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论1，由正弦函数定义， BC 边上的高为bsinC ，所以S △ABC =C ab sin 2 1 ；再证推论2，因为B+C=π-A ，所以sin(B+C)=sinA ，即sinBcosC+cosBsinC=sinA ，两边同乘以2R 得bcosC+ccosB=a ；再证推论3，由正弦定理B b A a sin sin =， 所以) sin() sin(sin sin A a A a --= θθ，即sinasin(θ-A)=sin(θ-a)sinA ，等价于21-[cos(θ-A+a)-cos(θ-A-a)]= 2 1 -[cos(θ-a+A)-cos(θ-a-A)]，等价于cos(θ-A+a)=cos(θ-a+A)，因为0<θ-A+a ，θ-a+A<π. 所以只有θ-A+a=θ-a+A ，所以a=A ，得证。 2．余弦定理：a 2=b 2+c 2 -2bccosA bc a c b A 2cos 2 22-+=?，下面用余弦定理证明几个常用的结论。 （1）斯特瓦特定理：在△ABC 中，D 是BC 边上任意一点，BD=p ，DC=q ，则AD 2=.22pq q p q c p b -++ （1） 【证明】 因为c 2=AB 2=AD 2+BD 2-2AD ·BDcos ADB ∠， 所以c 2=AD 2+p 2-2AD ·pcos .ADB ∠ ① 同理b 2=AD 2+q 2-2AD ·qcos ADC ∠， ② 因为∠ADB+∠ADC=π， 所以cos ∠ADB+cos ∠ADC=0， 所以q ×①+p ×②得 qc 2 +pb 2 =(p+q)AD 2 +pq(p+q)，即AD 2 =.22pq q p q c p b -++ 注：在（1）式中，若p=q ，则为中线长公式.2 222 22a c b AD -+= （2）海伦公式：因为412 =? ABC S b 2c 2 sin 2 A=4 1b 2c 2 (1-cos 2 A)= 4 1 b 2 c 2 16 14)(12 22222=??????-+-c b a c b [(b+c)2-a 2 ][a 2 -(b-c) 2 ]=p(p-a)(p-b)(p-c). 这里 .2 c b a p ++= 所以S △ABC =).)()((c p b p a p p --- 二、方法与例题 解三角形应用举例练习 班级 姓名 学号 得分 一、选择题 1.从A 处望B 处的仰角为α,从B 处望A 处的俯角为β,则α、β的关系为…………………（ ） A.α＞β B.α=β C.α+β=90° D.α+β=180° 2．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为…..（ ） A. 3 400 B. 33400米 C. 2003米 D. 200米 3.在?ABC 中, 已知sinA = 2 sinBcosC, 则?ABC 一定是…………………………………….( ) A. 直角三角形; B. 等腰三角形; C.等边三角形; D.等腰直角三角形. 4.如图，△ABC 是简易遮阳棚，A 、B 是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面 成40°角，为了使遮阴影面ABD 面积最大，遮阳棚ABC 与地面所成的角为……………….( ) A C D B 阳光地面 A.75° B.60° C.50° D.45° 5.台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40 km 处，B 城市处于危险区内的时间为…………………………………..( ) A.0.5 h B.1 h C.1.5 h D.2 h 6.在△ABC 中，已知b = 6，c = 10，B = 30°，则解此三角形的结果是 …………………（ ） A 、无解 B 、一解 C 、两解 D 、解的个数不能确定 二、填空题 7. 甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是 8.我舰在敌岛A 南50°西相距12nmile 的B 处，发现敌舰正由岛沿北10°西的方向以10nmile/h 的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰，则需要速度的大小为 9.有一两岸平行的河流，水速为1，小船的速度为2，为使所走路程最短，小船应朝_______方 向行驶. C D 12 A B D 6045 0 m o o 10．.在一座20 m 高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰角为60°，塔底俯角为45°，那么这座塔的 高为_______. 解三角形讲义(提高版) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 必修5 第一章 解三角形 1、正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin ===.（其中R 为ABC ?外接圆的半径） 2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ?===::sin :sin :sin .a b c A B C ?= 用途：⑴已知三角形两角和任一边，求其它元素； ⑵已知三角形两边和其中一边的对角，求其它元素。 2、余弦定理： ??????-+=?-+=?-+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222????? ?????-+=-+=-+=ab c b a C a c b c a B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 2222222 22 用途：⑴已知三角形两边及其夹角，求其它元素； ⑵已知三角形三边，求其它元素。 3、三角形面积公式：B ac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===? 4、三角形内角和定理： ()A B C C A B ππ++=?=-+ 基础巩固: 1. 在ABC ?中，3,5==b a ，则sinA ：sinB=_____________. 2. 在ABC ?中，0060,75,3===B A c ,则b=_____________. 3. 在ABC ?中，若A b a sin 23=，则B=___________. 5. 在ABC ?中，060,22,2===C b a ,则c=__________ ,A=____________. 6. 在ABC ?中，5,3,7===c b a ,则最大角为____________. 7. 在ABC ?中,若ab c b a =-+222，则cosC=_____________. 8. 在ABC ?中，sin A :sin B :sin C ＝3:2:4，那么cos C ＝_________. 9.在ABC ?中，060=A ，AB=2，且ABC ?的面积为23，则BC=_____________. 10.在ABC ?中,已知2,32,1200===AC AB A 则ABC ?的面积为__________. 能力提升: 例1 在ABC ?中，若bcosA=acosB,试判断ABC ?的形状. 解三角形（讲义） ?知识点睛 1.解三角形 （1）在三角形中，由已知的边、角出发，求未知边、角的过程叫做解三角形．已知边指已知该边的长度，已知角指已知该角的三角函数值．解三角形时，往往会通过作高的方式将三角形分割为2个直角三角形进行研究；作高时，一般要保留已知三角函数值的角． （2）常见的可解三角形 ①2边1角 ②2角1边 ③3边 ④1边1角表达 AB=mACAB+BC=n ?精讲精练 1.如图，在△ABC中，AB=BC=11，tan B=1 2 ，则AC=________， sin C=________． 2.如图，在△ABC中，AC=ABC=150°，BC=8，则AB=______，sin A=________． 3.如图，在钝角三角形ABC中，∠CAB＞90°，AB=10，BC=14，∠C=45°，则 AC=_______． 4.如图，在△ABC中，tan B=1 2 ，∠C=45°，BC=12，则AB=_________． 5.如图，在△ABC中，tan A=1 2 ，∠ABC=135°，BC=AB=___________． 6.如图，在△ABC中，AB=5，BC=4，AC=6，则∠B的正切值为_________． 7.如图，在△ABC中，BC∠C=45°，AB AC，则AC的长为_________． 8.如图，在矩形ABCD中，AB=4，E为CD边上一点，将△BCE沿BE 折叠，使得C落到矩形内点F的位置，连接AF，若tan∠BAF=1 2 ，则CE=_______． 9. 如图，在△ABC 中，D 是AC 边上的中点，连接BD ，把△BDC 沿BD 翻折，得到 △BDC′，DC′与AB 交于点E ，连接AC′，若AD =AC′=2，BD =3，则点D 到BC′的距离为（） A ． 2 B ．7 C D 10. 如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，CA =CB ，CE =CD ，△ACB 的顶点 A 在△ECD 的斜边DE 上，若AE ，AD ，则两个三角形重叠部分的面积为________． 第10题图第11题图 11. 如图，在△ABC 中，∠BAC =30°，AB =AC ，AD 是BC 边上的中线，∠ACE = 12 ∠BAC ，CE 交AB 于点E ，交AD 于点F ．若BC =2，则EF 的长为________． 12. 如图，在Rt △ABC 中，∠A =90°，AB =23，点E ，点D 分别是边AB ，AC 上一 点，AE =3，AD =4，过点E 作EF ⊥DE ，交BC 于点F ．若EF =2ED ，则AC 的长为__________． 13. 如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，AB =BC △ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到△AB′C′，连接B′C ，则sin ∠ACB′=________． 正余弦定理知识要点: 1、正弦定理：或变形: 2、余弦定理：或 3、解斜三角形的常规思维方法是： （1 ）已知两角和一边（如A、B C）,由A+B+C = n求C,由正弦定理求a、b； （2）已知两边和夹角（如a、b、c）,应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = n求另一角； （3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A）,应用正弦定理求B,由A+B+C = n求C, 再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况； （4）已知三边a、b、c,应余弦定理求A、B,再由A+B+C = n求角C。 4、判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式? 5、解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。 6、已知三角形两边a,b,这两边夹角C,则S = 1/2 * absinC 7、三角学中的射影定理：在△ ABC中，，… &两内角与其正弦值：在△ ABC中,,… 【例题】在锐角三角形ABC中，有（B ） A. cosA>sinB 且cosB>sinA B. cosA 解三角形的实际应用 知识点 仰角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线____方；俯角：目标视线在水平线____方时叫俯角．(如图所示) 正余弦定理应用类型 已知条件定理选用一般解法三边（,, a b c） 两边和夹角 （如,, a b C） 两边和其中一边的对角 正弦定理 （如,, a b A） 两边和其中一边的对角 余弦定理 （如,, a b A） 一边和二角 （如,, a B C） 总结：单角用余弦，两角用正弦 题型一 测量距离的问题 【例1】. 某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩如图，其一角已破损，现测得如下数据：BC=2．57cm ，CE=3．57cm ，BD=4．38cm ，B=45°，C=120°．为了复原，请计算原玉佩两边的长(结果精确到0．01cm)． 【例2】. 在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为 2 3a 的军事基地C 和D 测得蓝方两支精锐部队分别在A 处和B 处，且∠ADB=30°，∠BDC=30°，∠DCA=60°，∠ACB=45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队的距离. 【巩固练习】 1.一蜘蛛向北爬行xcm 捕捉到一只小虫，然后向右转105?，爬行10cm 捕捉到另一只小虫，这时它向右转135?爬行回它的出发点，那么x = . 2.如图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15?的方向上，且此时货轮与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N 处，又测得灯塔S 在货轮的东北方向，则货轮的速度为 ( ). A ．()2062+海里/小时 Ｂ．()2062-海里/小时 Ｃ．()2063+海里/小时 Ｄ．()2063-海里/小时 正余弦定理知识要点： 1、正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C ===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =. 2、余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ?=+-?=+-??=+-? 或 222222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ?+-=??+-?=???+-=?? . 3、解斜三角形的常规思维方法是： （1）已知两角和一边（如A 、B 、C ），由A+B+C = π求C ，由正弦定理求a 、b ； （2）已知两边和夹角（如a 、b 、c ），应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = π，求另一角； （3）已知两边和其中一边的对角（如a 、b 、A ），应用正弦定理求B ，由A+B+C = π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c 边，要注意解可能有多种情况； （4）已知三边a 、b 、c ，应余弦定理求A 、B ，再由A+B+C = π，求角C 。 4、判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 5、解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。 6、已知三角形两边a,b,这两边夹角C ，则S ＝1/2 * absinC 7、三角学中的射影定理：在△ABC 中，A c C a b cos cos ?+?=，… 8、两内角与其正弦值：在△ABC 中，B A B A sin sin 解三角形复习 【知识梳理】 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径，则有 2sin sin sin a b c R C ===A B ． 2、正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④ sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． 3.解决以下两类问题： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B =；（唯一解） ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b =。 (一解或两解) 4、三角形面积公式：111sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB = A == B ． 5．余弦定理： 形式一：A cos bc 2c b a 222?-+=，B cos ac 2c a b 222?-+=，C cos ab 2b a c 222?-+= 形式二：bc 2a c b A cos 222-+=，ac 2b c a B cos 222-+=，ab 2c b a C cos 222-+=，（角到边的转换） 6.解决以下两类问题： 1）、已知三边，求三个角；（唯一解） 2）、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解） 人教版必修五“解三角形”精选难题及其答案 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1.锐角中，已知，，则的取值范围是 A. ， B. ， C. ， D. ， 2.在中，角，，的对边分别为，，，且满足，则 的形状为 A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 3.在中，，，，则的值等于 A. B. C. D. 4.在中，有正弦定理：定值，这个定值就是的外接圆 的直径如图2所示，中，已知，点M在直线EF上从左到右运动点M不与E、F重合，对于M的每一个位置，记的外接圆面积与的外接圆面积的比值为，那么 A. 先变小再变大 B. 仅当M为线段EF的中点时，取得最大值 C. 先变大再变小 D. 是一个定值 5.已知三角形ABC中，，边上的中线长为3，当三角形ABC的面积最大 时，AB的长为 A. B. C. D. 6.在中，，，分别为内角，，所对的边，，且满足若 点O是外一点，，，平面四边形OACB 面积的最大值是 A. B. C. 3 D. 7.在中，，， ，则使有两解的x的范围是 A. ， B. ， C. ， D. ， 8.的外接圆的圆心为O，半径为1，若，且，则 的面积为 A. B. C. D. 1 9.在中，若，则是 A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 10.在中，已知，，分别为， ， 的对边，则为 A. B. 1 C. 或1 D. 11.设锐角的三内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，且，，则b 的取值范围为 A. ， B. ， C. ， D. ， 12.在中，内角，，所对边的长分别为，，，且满足 ，若，则的最大值为 A. B. 3 C. D. 9 二、填空题（本大题共7小题，共35.0分） 13.设的内角，，所对的边分别为，，且，则角A的大 小为______ ；若，则的周长l的取值范围为______ ． 14.在中，， ， 所对边的长分别为，，已知 ，，则______ ． 15.已知中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则 的形状是______ ． 16.在中，若，则的形状为______ ． 17.在中，角，，的对边分别为，，，若， 且，则______ ．18.如果满足，，的三角形恰有一个，那么k的取值范围 是______ ． 19.已知的三个内角，，的对边依次为，，，外接圆半径为1，且满足 ，则面积的最大值为______ ． 三、解答题（本大题共11小题，共132.0分） 20.在锐角中，，，是角，，的对边，且． 求角C的大小； 若，且的面积为，求c的值． 21.在中，角，，的对边分别为，，已知． 求角A的大小； 若，，求的面积． 解三角形完整讲义-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 正余弦定理知识要点： 1、正弦定理: 2sin sin sin a b c R A B C ===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =. 2、余弦定理： 222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ?=+-?=+-??=+-? 或 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ?+-=?? +-? = ?? ?+-= ?? . 3、解斜三角形的常规思维方法是： （1）已知两角和一边（如A 、B 、C ），由A+B+C = π求C ，由正弦定理求a 、b ； （2）已知两边和夹角（如a 、b 、c ），应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = π，求另一角； （3）已知两边和其中一边的对角（如a 、b 、A ），应用正弦定理求B ，由 A+B+C = π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c 边，要注意解可能有多种情况； （4）已知三边a 、b 、c ，应余弦定理求A 、B ，再由A+B+C = π，求角C 。 4、判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 5、解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。 6、已知三角形两边a,b,这两边夹角C ，则S ＝1/2 * absinC 7、三角学中的射影定理：在△ABC 中，A c C a b cos cos ?+?=，… 8、两内角与其正弦值：在△ABC 中，B A B A sin sin sinB 且cosB>sinA B ．cosA 相似三角形基本知识 知识点一：放缩与相似形 1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。 2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。 注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。 ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。 ⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形． 3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。 注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1. 知识点二：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念 1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段 的比是a ：b ＝m ：n （或 n m b a =） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。 说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。 3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如 d c b a = 4、比例外项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。 5、比例内项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。 6、第四比例项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。 7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为 a b b a =（或a:b ＝b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比例中项。 8.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 d c b a =（或a ：b= c ： d ） ，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位） 解三角形应用举例 主标题：解三角形应用举例 副标题：为学生详细的分析解三角形应用举例的高考考点、命题方向以及规律总结。 关键词：距离测量，高度测量，仰角，俯角，方位角，方向角 难度：3 重要程度：5 考点剖析： 能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 命题方向： 1．测量距离问题是高考的常考内容，既有选择、填空题，也有解答题，难度适中，属中档题． 2．高考对此类问题的考查常有以下两个命题角度： (1)测量问题； (2)行程问题． 规律总结： 1个步骤——解三角形应用题的一般步骤 2种情形——解三角形应用题的两种情形 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解． 2个注意点——解三角形应用题应注意的问题 (1)画出示意图后要注意寻找一些特殊三角形，如等边三角形、直角三角形、等腰三角形等，这样可以优化解题过程． (2)解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原始数据)，少用间接求出的量． 知识梳理 1．距离的测量 背景可测元素图形目标及解法 两点均可到达a，b，α 求AB：AB＝ a2＋b2－2ab cos α 只有一点可到达b，α，β 求AB：(1)α＋β＋B＝π； (2) AB sin β＝ b sin B 两点都不可到达a，α，β， γ，θ 求AB：(1)△ACD中，用 正弦定理求AC； (2)△BCD中，用正弦定理 求BC； (3)△ABC中，用余弦定理 求AB 2.高度的测量 背景可测元素图形目标及解法 底部可 到达 a，α求AB：AB＝a tan_α 底部不可到达a，α，β 求AB：(1)在△ACD中用正弦 定理求AD；(2)AB＝AD sin_β 3.实际问题中常见的角 (1)仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图1)． 1 人教版数学必修五 第一章解三角形重难点解析 【重点】 1、正弦定理、余弦定理的探索和证明及其基本应用。 2、在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； 3、三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用；实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解决。 4、结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题。 5、能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系。 6、推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目。 【难点】 1、已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 2、勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用，正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。 3、根据题意建立数学模型，画出示意图，能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件。 4、灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题。 5、利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题。 【要点内容】 一、正弦定理： 在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即 A a sin = B b sin = C c sin =2R （R为△ABC外接圆半径） 1．直角三角形中：sinA= c a ，sinB= c b ， sinC=1 即c= A a sin ， c= B b sin ， c= C c sin ． ∴ A a sin = B b sin = C c sin 2．斜三角形中 证明一：（等积法）在任意斜△ABC当中 S△ABC=A bc B ac C ab sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 = = 两边同除以abc 2 1 即得： A a sin = B b sin = C c sin a b c O B C A D 解三角形应用举例（1）教学目标 (a)知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语 (b)过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正 (c)情感与价值：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力 （2）教学重点、难点 教学重点：由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解 教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图 （3）学法与教学用具 让学生回忆正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型 的三角形，让学生尝试绘制知识纲目图。生活中错综复杂的问题本源仍然是我们学过的定理，因此系统掌握前一节内容是学好本节课的基础。解有关三角形的应用题有固定的解题思路，引导学生寻求实际问题的本质和规律，从一般规律到生活的具体运用，这方面需要多琢磨和多体会。 直角板、投影仪（多媒体教室） （4）教学设想 1、复习旧知 复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？ 2、设置情境 请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实 解三角形 一、基本量求解 （1）正弦定理 （2）余弦定理 2016全国1文总计12 4．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，则b=（） A．B．C．2D．3 2013全国1文总计12 10．（5分）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=（） A．10B．9C．8D．5 （3）综合 2017全国3文总计5 15．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=60°，b=，c=3，则A=． 2016全国2文总计12 15．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=． 2015全国1理总计12 16．（5分）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，则AB的取值范围是． 二、关系式化简 （1）三角恒等变形 2017全国1文总计12 11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC ﹣cosC）=0，a=2，c=，则C=（） A．B．C．D． （2）因式分解 （3）边化角 2017全国2文总计12 16．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B=． （4）角化边 三、判断形状 四、面积 2013全国2文总计5 4．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，B=，C=，则△ABC的面积为（） A．2+2B．C．2﹣2D．﹣1 2014全国2理总计5 4．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5B．C．2D．1 2016全国3理总计5 8．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA=（）A．B．C．﹣D．﹣ 2016全国3文总计5 9．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则sinA=（） 第7节 解三角形应用举例 最新考纲 能够运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题. 知 识 梳 理 1.仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1). 2.方向角 相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等． 3.方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图2)． 4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值. [常用结论与微点提醒] 1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混. 2.在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易出现错误. 诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)东北方向就是北偏东45°的方向.( ) (2)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( ) (3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为? ?????0，π2.( ) (4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.( ) 解析 (2)α＝β；(3)俯角是视线与水平线所构成的角. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√ 2.若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的( ) A.北偏东15° B.北偏西15° C.北偏东10° D.北偏西10° 解析 如图所示，∠ACB ＝90°， 又AC ＝BC ， ∴∠CBA ＝45°，而β＝30°， ∴α＝90°－45°－30°＝15°. ∴点A 在点B 的北偏西15°. 答案 B 3.(教材习题改编)如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量 者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ， ∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的 距离为( ) A.50 2 m B.50 3 m C.25 2 m D.2522 m 解析 由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝AC sin B ， 又∵B ＝30°，∴AB ＝AC sin ∠ACB sin B ＝50×2212 ＝502(m). 答案 A 4.轮船A 和轮船B 在中午12时同时离开海港C ，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h ，15 n mile/h ，则下午2时两船之间的距离是______n mile. 解析 设两船之间的距离为d ， 则d 2＝502＋302－2×50×30×cos 120°＝4 900， ∴d ＝70，即两船相距70 n mile. 解三角形及应用举例 公式篇 知识点归纳同角关系式 1倒数关系：sin csc 1αα?=，cos sec 1αα?=，tan cot 1αα?= 2商数关系： sin tan cos ααα=，cos cot sin α αα = 3平方关系：22sin cos 1αα+=，221tan sec αα+=，22 1cot csc αα+= 知识点归纳和差倍半 1．和、差角公式 βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±； βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±； tan tan tan()1tan tan αβ αβαβ ±±= ． 2．二倍角公式 αααcos sin 22sin =； ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=； 2 2tan tan 21tan α αα = -． 3．降幂公式 ααα2sin 21cos sin = ；22cos 1sin 2αα-= ；2 2cos 1cos 2 αα+=． 4．半角公式 2cos 12 sin αα -± =；2 cos 12cos αα+±=；sin 1cos tan 21cos sin ααα αα -===+． 5．万能公式 2 2tan 2sin 1tan 2 α αα = +；22 1tan 2cos 1tan 2 ααα -= +；2 2tan 2tan 1tan 2 α αα =-． 6．积化和差公式 )]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=；)]sin()[sin(21 sin cos βαβαβα--+=； )]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=；)]cos()[cos(2 1 sin sin βαβαβα--+-=． 7．和差化积公式解三角形讲义
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