基本概念：动量、动量矩、动能
的半径为R,轮沿水平面作纯滚动.在图示瞬时,OA
杆的角速度为,求整个系统的动量.
A
B
O
7
解:系统由三个物体组 成. OA杆作定轴转动C为质心.
轮作平面运动B为质心.
O
A
vA
C
vC vB
B
AB杆作瞬时平动.
vC 1 2 l1
ml 1
v A v B l1
P POA PAB PB
POA
1 2
PAB ml 1
PB ml 1
5 2 ml 1
8
P
1 2
ml 1 ml 1 ml 1
例题1-2.质量为M 的滑块A 在滑道内滑动,其上铰结一 质量为m长度为 l的均质杆
A C
v
AB,当AB 杆与铅垂线的夹
角为 时,滑块A 的速度为
B
v, 杆AB的角速度为,求该
瞬时系统的动量.
解:取系统为研究对象.
P PA PAB
A
C
vcy
v
vc vcx
B
PAx = M v 由 vc = ve + vr
v cx v 1 2
1 2
PAy = 0 ve = v
vr 1 2 l
设 杆AB质心 C 的速度为vC
l cos
i
mi
v´
i
例题 2-1. 例题 2-2.
LO= JO JO = Meo
d dt Lo
LC= Jc JC = MeC
o
M
i 1
n
例题 2-3.
( Fi )
e
例题2-3. 均质直杆AB长
l ,质量为M ,静止于光滑
水平面上如图所示.若突 然把绳 OA 剪断,求此瞬 时点 B 的加速度和杆AB 的角加速度.
2
联立(3) (5)式得:
aB
3 g sin cos sin
2
3. 动 能 定 理
3.1.基本概念和定理
T
2m v
i
1
2 i
TO
1 2
JO
TI
1 2
JI
dT=dW 3.2. 例 题
T2 - T1 = W
T+V=c
例题 3-1; 例题 3-2;
O
A
C
t
B
度为常量.求图示瞬时系统
的动量.
5
解:系统由四个物体组成. 滑块A和B的质心与椭圆规尺AB 的质心C总是重合在一起,而AB作 平面运动.瞬心为I. IC = OC = l OA杆作定轴转动D为质心.
vD 1 2
POC
A
I
vC
vD
O
D t
C
B
l
vC l
1 2 m 1l
动力学习题课
内容提要
1.动量定理 2.动量矩定理
3.动能定理
4.综合应用
5.总结 6.课后练习
1.动 量 定 理
1-1.基本概念和定理
rc = mi ri / M
1-2.例 题
P = mi vi
P = M Vc
例题1-1. 例题1-2. 例题1-3.
P2 - P1 = Ie
(3) (4)
l sin
对AB进行受力分析并应用平面运动微分方程得: M c = 0 x M c = N - Mg y
1 12
(5) (6)
C
O A
Ml
2
Nl sin
(7)
B Mg N
联立(4) (6) (7)式得:
6 g sin l ( 1 6 sin
杆AB,在铅直平面内一端沿着水
B
平地面 ,另一端沿着铅垂墙面由
与铅垂方向成角的位置无初速 地滑下.不计接触处的摩擦力,求 在图示瞬时杆的角加速度 .
A
解:取杆AB 为研究对象,系统机械能守恒.
T 1 2 [ 1 12
2
ml
m ( ) ] 2
2
l
1 6
ml
2
V
1 6
B
C
3 2 A Mv 4
2
v
A
I 为AB杆的瞬心
T AB
v l sin
1 2 J I
2 AB
1 l JI ml m ml 12 3 2 1
2
2
2
mv 6 sin
2 2
1 3
2
mv
2
T
1 12
9 M
4 m v
例题3-2. 质量为m长为l的均质
例题3-1. 均质细杆长为l,质量为m,上端B靠在光滑
的墙上,下端A用铰与质量为M半径为R且放在粗糙 地面上的圆柱中心相连,在图示位置圆柱中心速度 为v,杆与水平线的夹角=45 ,求该瞬时系统的动能.
B C
o
v A
解: T = TA + TAB
3 T A MR 2 2 1
2
I
1 2
mgl cos
B
I
ml
2
1 2
mgl cos c
A
两边同时求导并化简得:
g sin 4l
B
O A C
解:取AB杆为研究对象进行运动分析
AB = 0 aB= aC + aBC + anBC anBC = 0
a
BC
(1)
O A
1 2
l
(2)
aBC
B
C
把(1)式分别向x y 轴投影得:
- aB = 1 l cos xc 2
y 0 = c +
1 2
m l cos
v cy
1 2
l sin
1 2
1 2 m l sin
PABx mv
PABy
Py
m l sin
Px M m v
1 2
m l cos
2. 动 量 矩 定 理
2-1.基本概念和定理
2-2.例 题
LO= ri mi vi LC= r ´
P POC PAB PA PB
PAB PA PB ( 2 m 1 m 2 m 2 ) l
= 2(m1+m2)l
6
P = (2.5m1 + 2m2)l
例题11-2. 在图示系统中,均质杆OA、AB与均质轮
的质量均为m,OA杆的长度为l1,AB杆的长度为l2,轮
M ac = R e
11-2.质点系的动量定理 (1)动量: P = mi vi 质心: rc 质心ห้องสมุดไป่ตู้度:
mr m M m m i vi v
i i i
i
ri
c
M
质点系的动量
P = M vc
4
例题11-1. 图示椭圆规尺AB
的质量为 2m1 ,曲柄OC的质
量为m1 ,而滑块A和B的质量 均为m2.已知OC=AC=CB=l , 曲柄和尺的质心分别在其中 点上,曲柄绕O轴转动的角速
刚体的动量矩及转动动能
§6、刚体的动量矩及转动动能上次课我们将质点组的两个基本动力学定理，即质心运动定理和动量矩定理:M dtd dt J d M F r v m r Fre ii i i i e ic=⨯∑=⨯∑=∑=)(,)( 应用于刚体，于是就给出了描述刚体动力学规律的基本运动微分方程。
虽然上次课已经给出刚体动力学基本方程，但是对基本方程中的动量矩的具体形式并没有给出，这次课我们仍然以质点组的动量矩和动能定义为出发点推出刚体的动量矩以及刚体的转动动能。
下面我们先讨论：一、 刚体定点转动的动量矩：假设刚体在某一时刻以角速度ω转动。
取刚体上任一质点p i 的质量为m i 。
它相对固定点O 点的位矢量为i r。
那么根据质点组的动量矩定义式可得整个刚体对固定点0的动量矩是：)(v m r i i i iJ⨯=∑因为，r w v ii⨯= 所以，它就等于)(r w m r iiii⨯⨯∑ 根据矢量多重叉积的基本公式：c b a b c a c b a)()()(⋅-⋅=⨯⨯ 可得[]][r r m w r m r w r w r r m rw r m iiiiiiiiiiiiiiiiIiw i J)()()(2)(⋅=-⋅=⨯=∑-∑⋅∑⨯∑由此可以看出，动量矩J 一般不与角速度ω 共线，只有0≡⋅w r时， j 与w 才是共线的。
由于角动量是个矢量，如果我们确定了坐标系，那么就可以将它写成分量形式。
如图所示，建立直角坐标系O —X 、Y 、Z(并与绕定轴转动的刚体固连在一起，坐标这样取在目前的情况下比较方便。
因为刚体上任一点的坐标（x,y,z ）不管刚体怎样运动，它们相对刚体都是不随时间改变的常数，所以取与刚体固定的动坐标系比较方便。
)则i r 和w在三正交坐标轴的分量……则：kw jw i w wk z jy ix rz yxiiii++=++=,于是可得动量矩在x 轴上的分量：wz x m wy x m wzy m xw z wy wx m wz yx m Jxiiyiixii i iziyixii xi ii i zi i )()()()()(22222∑∑∑∑∑--⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++-++=同理可得：wx ym w z y m wz x m J w z y m wz ym w y x m J ziiiyii xiiz ziiyi iixii y i i i i )()()()()()(2222++--=-++-=∑∑∑∑∑∑ 在这儿我们就令：)))222222(((x y m I z x m I z ym I iiizziiiyyiii xx +∑+∑+∑=== ∑∑∑======x z m IIy z m I I y x m I Iii i xzzxii i zy yzii i yxxy则动量矩在直角坐标系中的分量式就可简写为：wI w I w I J w I w I w I J w I w I w I Jzzzyzyxzxzzyzyyyxyxy zxzyxyxxxx +---=-+=--=：由这些分量式也可以看出刚体绕固定点转动的动量矩的分量与角速度的三个分量 w w w zy x ,,都有关。
第九章 动量定理和动量矩定理
i
i
mi aC F i
(e)
C
i
i
i
C
i
——质心运动定理： 质点系的质量与质心绝对 加速度的乘积等于作用于 质点系的外力的主矢。 质点系的内力不影响质心 的运动，只有外力才能改 变质心的运动。
i
i
C
i
该定律的投影式为： 直角坐标式
mi aCx F (e) mi aCy F iy (e) mi aCz F iz 自然坐标式
F
(e) ix
0
则：vCx＝恒代数量
四、解题步骤 分析质点系所受的全部外力，含主动力和约束反力。 为求未知力，可先计算质心绝对坐标，求出质心绝 对加速度，然后用质心运动定律求解。
在外力已知的条件下，欲求质心的运动规律，其解 法与质点动力学第二类问题相同。
如果外力主矢为零，且初始时质点系为静止，则质 心坐标保持不变。分别列出两个时刻质心的坐标， 令其相等，即可求得所求质点的位移。
质点系动量的增量等于作 用于质点系的外力元冲量 的矢量和。
由dp d I i( e) F i( e ) dt
d mi v i dt mi ai F i( e )
质点系动量对时间的一阶 导数等于作用于质点系的 外力的矢量和（主矢）。 积分形式 由 dp F i( e ) dt
M O (F )
z
F
mv
〃Q MO(F) O y
x
直角坐标投影式为
d M x (mv ) M x (F ) dt d M y (mv ) M y (F ) dt d M z (mv ) M z (F ) dt
大学理论力学复习(201012)
(b)
58
2、平面力系向作用面内任意一点简化，得主矢 量相等、主矩也相等，且主矩不为零，则该平面 力系简化的最后结果是： (a) 一个和力；
(b) 一个力偶；
(c) 平衡。
(b)
59
3、 两直角曲杆（自重不计），各受力偶m作 用，A1和A2处的约束力分别为R1和R2,则其 大小应满足： (a) R1>R2; (b)R1=R2; (c) R1<R2
1 1 2 2 2 T2 J O ml 2 6
1 W M O 2 mgl (1 cos )
2
动能定理 1 ml 2 2 mgl 1 mgl (1 co
l 两边求导： M O mg 2
47
下列图形在纸平面内运动，图中画出各点的 速度，图 可能，图 不可能。
A B A B C （a） （b） （c） O B A
b
a、c
32
刚体作平动时，各点的轨迹一定是直线或平 面曲线。这种说法对吗? 解答 刚体作平动时，各点的轨迹不一定是 直线或平面曲线，也可以是空间曲线。 刚体绕定轴转动时，各点的轨迹一定是圆。 这种说法对吗? 解答 刚体绕定轴转动时，转轴外各点的轨 迹一定是圆 (或圆弧)。
A
XA MA=0,
MA-Qa-Pa+M+qa(7a/2)XD(4a)+YD (2a) ＝0
MA＝2qa2
18
运
动
学
19
点的运动
描述点运动的矢量法 描述点运动的直角坐标法 描述点运动的自然坐标法 三种坐标中位置、速度、加速度的表示
20
r = r (t)
x = f1(t) y = f2(t) z = f3(t)
第十一章 动量定理
rC =
式中
∑ m r = ∑ mr M ∑m
i i i
（11-3）
M = ∑ mi 为质点系总质量。质心在直角坐标系中的坐标可表示为
xC =
∑ mx
M
yC =
∑ my
M
zC =
∑mz
M
（11-4）
质点的位置反映了质点系各质点的分布情况。若质点系在地球附近受重力作用，则质 点 mi 的重量为 mi g，质点系总重量为 Mg。只要对质心坐标公式的分子分母同乘以 g，即得 到静力学中的重心坐标公式。可见，在重力场中，质心与重心相重合，但应注意，重心只 在地球表面附近才有意义，而质心在宇宙间依然存在。 当质点系运动时，它的质心也随着运动。质心运动的速度
（11-13）
式（11-13）表明质点系的动量在任一轴上的投影对时间的导数，等于作用于质点系的外力
dp = ∑ F e dt
将上式两边对应积分，时间从 t1 到 t2，动量从 p1 到 p2，得
p2 − p1 = ∑ ∫ F e dt = ∑ I e
t2 t1 e
（11-14）
式中 I e 表示力 F 在时间（t2-t1）内的冲量。式（11-14）表示质点系动量在任一时间内的 改变，等于作用在该质点系所有外力在同一时间内冲量的矢量和，这就是积分形式的质点 系动量定理，也称为质点系的冲量定理。 将式（11-14）投影到直角坐标轴上，得
p y = − m A v A sin θ + 0 = − mv sin θ
系统的动量大小为
p=
2 px + p2 y = mv 2 (1 + cos θ )
其方向可由方向余弦来确定
cos α = px =− p 1 + cos θ 2 (1 + cos θ ) , sin β = py p =− sin θ 2 (1 + cos θ )
动量定理和动量矩定理
应用质心运动定理解题步骤
1）取质点和质点系为研究对象； 2）分析质点系所受的全部外力，包括主动力和约束反力； 3）根据外力情况确定质心运动是否守恒； 4）如果外力主矢等于零，且在初始时质点系为静止，则质 心坐标保持不变。计算在两个时刻质心的坐标（用各质心 坐标表示），令其相等，即可求得所要求的质点的位移； 4）如果外力主矢不等于零，计算质心坐标，求质心的加速 度，然后应用质心运动定理求未知力。 5）在外力已知的条件下，欲求质心的运动规律，与求质点 的运动规律相同。
动力学普遍定理包括动量定理、 动量矩定理、动能定理。这些定理建 立了表现运动特征的量（动量、动量 矩、动能）和表现力作用效果的量 （冲量、冲量矩、功）之间的关系。
9.1 动量定理
1.动量 1）质点的动量
质点的质量与速度的乘积称为质点的动量， 记为mv。
动量是矢量，方向与速度方向相同。动量的单位为 N ·s。
4.质点系的动量定理
设由n个质点组成的质点系。其中第i个质点的
动 分别量为为Fmri(iiv)与i，Fr作i(e，) 用由在质该点质的点动上量的定外理力有与内力的合力
d dt
r (mivi
)
r F (e)
i
r F (i)
i
(i 1, 2,, n)
将n个方程相加，即得
d
r (mv
)
解得
y
v FOy
O
v FOx
x
C
pv
mgr A
FOx ml(a sin 2 cos) FOy mg ml(a cos 2 sin)
《刚体动力学 》课件
牛顿第二定律
物体的加速度与作用在物 体上的力成正比，与物体 的质量成反比。
牛顿第三定律
对于任何两个相互作用的 物体，作用力和反作用力 总是大小相等，方向相反 ，作用在同一条直线上。
刚体的平动
刚体的平动是指刚体在空间中 的位置随时间的变化而变化， 而刚体的形状和大小保持不变
的运动。
刚体的平动具有三个自由度 ，即三个方向的平动。
05
刚体的动力学方程
刚体的动力学方程
牛顿第二定律
刚体的加速度与作用力成正比，与刚体质量 成反比。
刚体的转动定律
刚体的角加速度与作用力矩成正比，与刚体 对转动轴的转动惯量成反比。
刚体的动量方程
刚体的动量变化率等于作用力对时间的积分 。
刚体的自由度与约束
自由度
描述刚体运动的独立变量，如平动自由度和转动 自由度。
约束
限制刚体运动的条件，如固定约束、滑动约束等 。
约束方程
描述刚体运动受约束的数学表达式。
刚体的动力学方程的求解方法
解析法
通过代数运算求解动力学方程，适用于简单问 题。
数值法
通过迭代逼近求解动力学方程，适用于复杂问 题。
近似法
通过近似模型求解动力学方程，适用于实际问题。
06
刚体动力学中的问题与实例 分析
人工智能和机器学习的发展将为刚体 动力学的研究提供新的思路和方法， 有助于解决复杂动力学问题。
感谢您的观看
THANKS
船舶工程
在船舶工程中，刚体动力学 用于研究船舶的航行稳定性 、推进效率以及船舶结构的 安全性等。
兵器科学与技术
在兵器科学与技术领域，刚 体动力学用于研究弹药的发 射动力学、火炮的射击精度 和稳定性等。
《理论力学》课件 第十一章
第十一章动量定理动量定理、动量矩定理和动能定理统称为动力学普遍定理.§11--1 动量与冲量1、动量的概念：产生的相互作用力⑴定义：质点的质量与速度的乘积称为质点的动量，-----记为mv。
质点的动量是矢量，它的方向与质点速度的方向一致。
kgms/单位)i p v 质点系的动量()i i i i c im r m r r m m ∑∑==∑质心公式：⑵、质点系内各质点动量的矢量和称为质点系的动量。
)idr p v dt ()i i dm r dt∑注意：质量m i是不变的如何进一步简化？参考重心、形心公式。
李禄昌()i i i i c im r m r r m m ∑∑==∑) p r r cm v =质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积。
求质点系的动量问题转化为求刚体质心问题。
cωv C =0v Ccωcov C2．冲量的概念：tF IF I d d IF d 物体在力的作用下引起的运动变化，不仅与力的大小和方向有关，还与力作用时间的长短有关。
用力与作用时间的乘积来衡量力在这段时间内积累的作用。
冲量是矢量，方向与常力的方向一致。
冲量的单位是N.S 。
§11-2 动量定理—-确定动量与冲量的关系由牛顿第二定律：F v m )F v m d )称为质点动量定理的微分形式，即质点动量的增量v v ~ ⎰==-21d 12t t It F v m v m称为质点动量定理的积分形式，即在某一时间间隔⎰==-21d 12t t It F v m v m 2、质点系的动量定理(F (F外力：，内力：(F (F M FF F v tF F v i i d )(∑+)()(d d d e ie i It F p ∑=∑=)(d d e i F tp ∑=称为质点系动量定理的微分形式，即质点系动量的质点系动量对时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和（主矢）动力学与静力学联系。
)(112e ini Ip p =∑=-p p ~ 称为质点系动量定理的积分形式，即在某一时间)(d d e xx F tp ∑=)(d d e yy Ftp ∑=)(d d e z z F tp ∑=动量定理微分形式的投影式：动量定理积分形式的投影式：)(12e xx x Ip p ∑=-)(12e yy y Ip p ∑=-)(12e zz z Ip p ∑=-动量定理是矢量式，在应用时应取投影形式。
10第十章动量定理
设 FN FN FN
FN 为静约束力
FN 为附加动约束力
qV r(vb va ) G Fa Fb FN FN
G Fa Fb FN 0
Fa a a1
得附加动反力为
FN qV r(vb va )
va a a1
FN
G
b b1
m1
l 2
m1
3l 2
2m1 m2
2m2l
cos w t
y
w
A
2(m1 m2 ) l coswt
2m1 m2
Oj
x
yC
2m1
l 2
2m1 m2
sin
wt
m1 2m1
m2
l sin
wt
B
消去t 得轨迹方程
[
xC
]2 [
yC
]2 1
2(m1 m2 )l /(2m1 m2 ) m1l /(2m1 m2 )
则 px 为恒量
例 质量为m1的机车，以速度v1撞接质量为m2的静止车厢。 不计轨道摩擦。试求撞接后这一列车的速度。
解: 取机车和车厢为质点系。 由于撞接过程中，水平方向没有外力作用，故有
Px＝常量
撞接前 px1 m1v1 0 撞接后 px2 (m1 m2 )v
故有 m1v1 (m1 m2 )v
§10－2 动量定理
1、质点的动量定理 质点动力学基本方程：
ma mdv F dt
将m放入微分号内，得 d(mv) F dt
称为微分形式的质点动量定理，即质点动量对时间的导数 等于作用于质点上的所有力的合力矢。
动量矩公式
动量矩公式
动量矩公式是物理学中的一种重要公式，它可以描述物体运动的特征。
这种公式可以用来解释物体的运动，描述物体的质量、速度和位移的关系。
动量矩公式的基本概念是物体的动量，它是指物体运动的一个量，表示物体运动的总量。
动量矩公式可以用来表示物体运动的总量，它表明物体的质量和速度是相关的。
它说明，物体运动的总量是物体的质量乘以它的速度：
动量矩公式：P = mv
其中，P是物体的动量，m是物体的质量，v是物体的速度。
动量矩公式也可以用来研究物体的运动，它表明物体运动的总量是物体的质量乘以它的位移：
动量矩公式：P = mΔx
其中，P是物体的动量，m是物体的质量，Δx是物体的位移。
动量矩公式可以用来描述物体的运动，它可以帮助我们了解物体的动态特征，从而帮助我们更好地理解它的运动规律。
动量矩公式也可以用来计算物体的运动能量。
总而言之，动量矩公式是物理学中的一种重要公式，它可以用来描述物体的运动，描述物体的质量、速度和位移的关系，以及物体的运动能量。
它是一种重要工具，可以帮助我们更好地理解物体的运动规律，从而帮助我们更好地分析物理问题。
第18章 动能定理总结
k
绳保持不动，圆盘可看成沿细 D
s FT
绳作纯滚动，其运动分析及受 力如图 18-1b 所示。
2．计算系统的动能 设平面运动的圆盘，其质 心由静止下滚 s 距离后，速度
Cr B
θ
FP D
Cω
F
vC mg
B
FN
为 vC，动能为
T1 = 0
T2
=
1 2
mvC2
+
1 2
JCω 2
a）
b）
图 18-1 例题 18-1 图
18.1 教学要求与学习目标
1. 正确理解功的概念，能够熟练地计算重力、弹性力以及摩 擦力的功。
2. 正确理解动能的概念，能够熟练地计算质点系、刚体及刚 体系的动能。
3. 正确认识和理解动能定理以及动能定理的微分形式或积 分形式，能够准确地应用动能定理建立系统运动微分方程，解决 系统已知力求运动的问题。
2
2
3 2
mvC aC
=
3 mgs − kss − mgsf 2
8
因为 s = vC ，求得质心的加速度为
aC
=
g 3
(
3 − 2 f ) − 2ks 3m
【例题 18-2】图 18-2a 所示质量为 m 的均质杆 AB，长为 l，直立在光滑 水平面上，求杆从铅垂位置无初速倒下至 θ 角时的角速度、角加速度及 B 处的约束力。
1. 一般情形下，作用在质点系（刚体系）上的力系（包括内 力系）非常复杂，需要认真分析哪些力做功，哪些力不做功。在 动量和动量矩定理中，只有外力系起作用，内力不改变系统的动 量或动量矩；在能量方法中，内力对系统的能量改变是有影响的， 许多内力是做功的，这是学习本章内容时必须注意的。