矩阵论定义定理
第1章线性空间与线性变换线性空间定义1.1 设V是一个非空集合，F是一个数域。
定义两种运算，加法：任意α，β∈V，α+β∈V；数量乘法：任意k∈F，α∈V，kα∈V，并且满足8运算，则称V为数域F上的线性空间，V中元素成为向量定理1.1 线性空间V的性质：V中的零元素唯一；V中任一元素的负元素唯一定义1.2 设V是线性空间，若存在一组线性无关的向量组α1…αn，使空间中任一向量可由它们线性表示，则称向量组为V的一组基。
基所含的向量个数为V 的维数，记为dimV=n定理1.2 n维线性空间中任意n个线性无关的向量构成的向量组都是空间的基定义1.3 设α1…是线性空间的V n(F)的一组基，对于任意β∈V,有β=（α1…）（x1…），则称数x是β在基α1…下的坐标定理1.3 向量组线性相关≡坐标相关定义1.4 α，β为两组基，若满足β=αC，则称矩阵C是从基α到基β的过渡矩阵定理1.4 已知β=αC，V中向量A在两组基下的坐标分别为X,Y，则有X=CY定义1.5 V为线性空间，W是V的非空子集合。
若W的元素关于V中加法与数乘向量法运算也构成线性空间，则称W是V的一个子空间定理1.5 设W是线性空间V的非空子集合，则W是V的子空间的充分必要条件是α，β∈W，α+β∈W；k∈F，α∈W，kα∈W零空间：N(A)={X|AX=0}列空间：R(A)=L{A1,A2…}定理1.6 交空间：W1∩W2={α|α∈W1且α∈W2}和空间：W1+W2={α|α=α1+α2，α∈W1，α∈W2}定理1.7 设W1和W2是线性空间V的子空间，则有如下维数公式：DimW1+dimW2 = dim(W1+W2) + dim(W1∩W2)定义1.6 设W1和W2是线性空间V的子空间，W = W1 + W2，如果W1∩W2 = {0},则称W是W1和W2的直和子空间。
记为W = W1⊕W2定理1.8 设W1和W2是V的子空间，W= W1 +W2，则成立以下等价条件：W = W1⊕W2；W中零向量表达式是唯一的；维数公式：dimW = dimW1 + dimW2定义1.7 对数域F上的n维线性空间V，定义一个从V中向量到数域F的二元运算，记为(α,β)，即(α,β)：V→F，如果满足对称性、线性性、正定性，则称(α,β)是V的一个內积，赋予內积的线性空间为內积空间。
如果V是实数域R上的线性空间，则为欧式空间；如果V是复数域上的线性空间，则为酉空间定义1.8 设[V；(α,β)]为內积空间，称‖α‖=√(α,α)为向量α的长度，为等于1则为单位向量定理1.9 设[V；(α,β)]为內积空间，有|(α,β)|2≢(α,α) (β,β)，其中等式成立的充要条件是α,β线性相关定义1.9 (α,β)= 0，则称α,β是正交的定理1.10 不含0的正交向量组是线性无关的定义1.10 设[V；(α,β)]为內积空间，若一组基满足条件(εi,εj) = 1 i=j, (εi,εj) = 0 i≠j，则称这组基微V的标准正交基定理1.11 施密特正交化定义1.11 设V是一个线性空间，若有V上的对应关系T，使任意α∈V，都有确定的向量α’= T(α)∈V与之对应，则称T为V上一个变换。
若T对线性空间中的线性运算，满足T(α+β)= T (α) + T (β)；T(kα)=kT(α)，则称T是线性空间V上的一个线性变换线性变换的性质：{α…}是线性相关的向量组，则{T（α）…}也是线性相关的向量组零变换：T(α)= 0 恒等变换：T(α)=α像空间：R(T)零空间：N(T)定理1.12 R(T)像空间N(T)零空间定义1.12 线性变换的运算：乘法、加法、数乘、可逆定义1.13 T(α) = αA，则称A为T在基{α…}下的矩阵定理1.13 保持加法、乘法、数乘：T1+T2 = A1 +A2…定理1.14 线性空间上同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的，即 B = C-1AC 其中C为为基1到基2的过渡矩阵定义1.14 设T是线性空间V上的线性变换，W是V的子空间没如果任意α∈W，有T(α)∈W，即值域T(W)包含于W，则称W是T 的不变子空间定义 1.15 设T为內积空间上的线性变换，如果T不改变向量的內积，即（T(α),T(β)）= (α,β)，则称T为內积空间上的正交变换。
当空间为欧式空间时称为正交变换；若空间为酉空间，则称为酉变换定理1.15 设T是內积空间上的线性变换，则T是正交变换；保持向量长度不变；酉变换关于任一标准正交基的矩阵U满足U H U=UU H=I定理1.16 正交矩阵（C T C=CC T=I）行列式为+-1；酉矩阵的行列式的模长为1 C-1 = CT ,U-1 = UH；定义1.16 设V n和V m是同一个数域F上的两个线性空间，变换T : V n→V m定理1.17 设T是n维线性空间V n到V m的线性变换，则dimR(T) + dimN(T)=n第2章Jordan标准形介绍定义2.1 设T为线性空间V上的线性变换，T（ε）=λε，则称数λ为T的特征值，向量ε为线性变换T对应于特征值λ的特征向量定理2.1 设V上线性变换T在基下的矩阵为A，则A的特征值λ就是变换T 的特征值；若X是A的特征向量，则ε=基*X就是T的特征向量定义2.2 设λ为线性变换T的特征值，ζ…是T对应于λ的特征向量的极大线性无关组，则称子空间Vλ=L{ζ…}为T关于λ的特征子空间定理2.2 设λ…是V上线性变换T的s个互异的特征值。
Vλi是λi的特征子空间，则Vλi是T的不变子空间；定理2.3 线性变换T有对角矩阵表示的充要条件是T有n个线性无关的特征向量⊕… = V n(F)定理2.4 线性变换T有对角矩阵表示的充要条件：Vλ1推论：V n(F)上线性变换有对角矩阵表示的充要条件是V n(F)可分解成T的一维不变子空间对n阶方阵A，若存在多项式g(λ),使矩阵g(A) = 0,则称g(λ)为矩阵A的化零多项式Jordan标准形的求法：1.特征值2.特征向量3.广义特征向量(个数小于阶数)定理2.6 g(A)是A的矩阵多项式，则有：1.λ是A的特征值，则g(λ)是g(A)的特征值2.相似 3.准对角对n阶方阵A，若存在多项式g(λ)，使矩阵g(A)=0，则称g(λ)为矩阵A的化零多项式定理2.7 设A，则方阵A的特征多项式就是A的化零多项式定义2.5 设T是线性空间V上的线性变换，m T(λ)是关于λ的多项式，如果m T(λ)满足：最高次项系数为1；m T(T)=0；是T的化零多项式中次数最低的多项式，则称m T(λ)是T的最小多项式定理2.8 T的特征多项式f(λ)与最小多项式mT(λ)有相同的根，则定理2.9 设变换T的特征多项式为f(λ)=(λ-λ1)r1…,又T的Jordan标准形中关于λi的Jordan块的最高阶数为ni，则最小多项式mT(λ)= (λ-λ1)n1定理2.10 线性变换T可以对角化的充要条件是T的最小多项式是一次因子的乘积第3章矩阵的分解A=LU A=LDV定理3.1 A有唯一的LDV分解的充要条件是A的顺序主子式不等于0定理3.2 r(A)=k，如果A的顺序主子式不等于0，则A有LU分解A=BC定理3.4 方阵P∈F，若满足P2=P，则称P为幂等矩阵。
具有如下性质：P H 和（I-P）仍为幂等矩阵；P的特征值为1或者0，而且P可相似于对角矩阵；F=N(P)⊕R(P)定理3.5 设A的谱为{λ…}，则A可对角化的充要条件是A有定理3.6 设A是半正定的Hermite矩阵定理3.7 A=UR定理3.9 Schur分解U H AU=THermite矩阵：A H=A酉矩阵：A H A=AA H=IHermite矩阵的特征值是实数，不同特征值的特征向量是正交的定义3.3 若矩阵A满足A H A=AA H，则称A是一个正规矩阵定理3.10 A是正规矩阵的充要条件是A酉相似对角矩阵定理3.12 A H A，AA H的性质：1.r(A)=r(A H A)=r(AA H) 2.它们的非零特征值相等定义3.4 对于A，r(A),矩阵A H A的特征值都大于等于0。
称正数σi=√λi为矩阵A的奇异值，简称A的奇值定理3.13 A为正规矩阵时，A的奇异值为A的非零特征值的模；A为正定的Hermite矩阵时，A的奇异值等于A的特征值；酉相似的矩阵有相同的奇异值定理3.14 矩阵的奇异值分解定理3.17 方阵的极分解第4章矩阵的广义逆左可逆：BA=I，A是左可逆；列满秩；A H A可逆右可逆：AC=I，A是右可逆；行满秩；A H A可逆定理4.3定理4.4定义4.2 AGA=A，则称G为A的一个减号广义逆定理4.5定理4.6定理4.7定理4.8定义4.3 MP逆（加号广义逆）：AGA=A GAG=G (AG)H=AG (GA)H=GA定理4.9 若MP逆存在，则唯一定理4.10 A+= C H(CC H)-1(BB H)-1B H=定理4.12定义4.4定理4.13 空间上线性变换σ是投影变换的充要条件是σ是幂等变换，σ2=σ定义4.5定理4.14 线性变换σ是正交投影变换的充要条件是关于某组基下的矩阵A为幂等的Hermite矩阵，即A2=A,A H=A定义4.6 最小二乘解定理4.17 设A，b，则χ0=A+b是线性方程组Ax=b的最佳最小二乘解第5章矩阵分析向量范数：矩阵范数：诱导范数：定义5.11 设矩阵A的全部特征值λ…，则称ρ（A）=max|λi|为A的谱半径矩阵幂级数：定义5.14 设f(z)是复变量的解析函数，定理5.13 一阶线性常系数齐次微分方程组定理5.14 一阶线性常系数非齐次线性方程组第6章矩阵的K积与H积定义6.1 A定理6.1定理6.2定理6.4定理6.5定理6.6定义6.2定理6.10。
矩阵理论基本知识
矩阵理论的基本概念1.奇异矩阵1)方阵;2)行列式为零,即不可逆矩阵;3)0Ax =有非零解或无解; 非奇异矩阵:1)方阵;2)行列式不为零,即可逆矩阵;3)0Ax =只有零解,因为A 可逆.2.酉矩阵 n 阶复方阵U 的n 个列向量是U 空间的一个标准正交基，则U 是酉矩阵(Unitary Matrix )。
一个简单的充分必要判别准则是：方阵U 的共轭转置乘以H U 等于单位阵，则U 是酉矩阵。
即酉矩阵的逆矩阵与其共轭转置矩阵相等。
酉方阵在量子力学中有着重要的应用。
酉等价是标准正交基到标准正交基的特殊基变换。
酉矩阵的相关性质： 设有A ，B 矩阵（1）若A 是酉矩阵，则A 的逆矩阵也是酉矩阵;（2）若A ，B 是酉矩阵，则AB 也是酉矩阵;（3）若A 是酉矩阵，则|det |1A =;（4）A 是酉矩阵的充分必要条件是，它的n 个列向量是两两正交的单位向量.3.矩阵的奇异值4.矩阵的特征值n 维方阵A 的特征值定义为:使()0A I x λ-=有非零解x 的λ的取值,相应的非零解x 称为λ所对应的特征向量.因为()0A I x λ-=有非零解,其充要条件为||0A I λ-=.这是特征值求解的方法.确定λ后,代入()0A I x λ-=即可求解出相应的特征向量.5.矩阵的秩定义1. 在m n ⨯阶矩阵A 中,任意取k 行和k 列(1min(,))k m n ≤≤交叉点上的元素构成A 的一个k 阶子矩阵,此子矩阵的行列式,称为A 的一个k 阶子式.例如，在阶梯形矩阵中,选定1,3行和3,4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式就是矩阵A 的一个2阶子式.定义2. ()ij m n A a ⨯=的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A 的秩，记作rA ，或rankA .特别规定零矩阵的秩为零.显然min(,)rA m n ≤,易得:若A 中至少有一个r 阶子式不等于零，且在min(,)r m n ≤时,A 中所有的1r +阶子式全为零,则A 的秩为r . 由定义直接可得n 阶可逆矩阵的秩为n ,通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det()0A >;不满秩矩阵就是奇异矩阵,det()0A =.定义3. n 阶方阵的行列式 定义4. n 阶方阵A ，其对角线上元素的和称为矩阵的迹，记为1()nii i tr A a ==∑，它与矩阵的特征值之和相等。
矩阵论_精品文档
矩阵论矩阵论是线性代数的一个重要分支，它研究的是矩阵的性质、运算和应用。
在现代科学和工程领域中，矩阵论被广泛应用于各种数学模型的建立、数据处理和优化问题的求解等。
一、矩阵的定义与性质矩阵是由数个数值排列成矩形形状的数组。
在矩阵论中，通常用大写字母表示矩阵，如A、B、C等。
一个矩阵由m行n列的数值组成，可以表示为A = [aij]，其中i表示行的编号，j表示列的编号，aij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
在矩阵论中，还有一些基本的运算符号和性质。
如矩阵的转置、加法、乘法等。
矩阵转置是指将矩阵的行列互换得到的新矩阵。
矩阵加法是指将两个具有相同维数的矩阵对应元素相加得到新矩阵。
矩阵乘法是指对矩阵的每个元素进行乘积运算，最终得到的新矩阵的元素是原矩阵对应行与对应列的乘积之和。
矩阵还有一些重要的性质。
如矩阵的对称性、零矩阵、单位矩阵等。
对称矩阵是指元素关于主对角线对称的矩阵，即a[i][j] = a[j][i]。
零矩阵是每个元素都为0的矩阵。
单位矩阵是指主对角线上元素都为1，其它元素都为0的矩阵。
单位矩阵在矩阵乘法运算中起到类似于数1的作用。
二、矩阵的运算与法则1. 矩阵的转置法则：(AB)T = BTAT。
即两个矩阵的乘积的转置等于这两个矩阵分别转置后的乘积。
这个法则在矩阵运算中经常被使用，可以简化复杂矩阵乘法的计算。
2. 矩阵的加法法则：矩阵加法满足交换律和结合律。
即A + B = B + A，(A + B) + C = A + (B + C)。
这些法则使得矩阵的加法运算可以像普通的数的加法一样直观和易于计算。
3. 矩阵的乘法法则：矩阵乘法满足结合律，但一般不满足交换律。
即(AB)C = A(BC)，但一般来说，AB ≠ BA。
这是因为矩阵乘法涉及到对矩阵的行和列进行运算，行和列的次序不同会导致运算结果的差异。
4. 零矩阵的性质：对于任意矩阵A，都有A + 0 = A，0A = 0。
即任何矩阵与零矩阵相加或相乘都不改变原矩阵。
矩阵论-奇异值分解
0
0
1
0
0 0 0
2 13 3 13
3
13
-2
13
例：求A=
-1 2
0 0
1 -2
的奇异值分解.(课本例题)
1 2
解：令B=AH
0
1
0 2
,
则BH
B=
2 -4
-4
8
,
I BHB 2
4
( 10), =10, 0
4 8
故B的奇异值为
10，B H
1
例：A=
0
2
0
1 0
，则AH
A=
5 0
0 1
，奇异值为
5，1
1 0 2
而AAH
=
0
1
0 ，I-AAH =( 1)( 5).
2 0 4
定理1：若A与B酉相抵，则A与B有相同的奇异值.
证明：因A与B酉相抵，所以存在酉阵U与V，使B=UAV. 所以BH B=VH AH UH UAV=VH AH AV， 所以BH B与AH A相似， 所以它们的特征值相同， 所以A与B有相同的奇异值.
2
0
极分解：设A Cmr n，则A有以下分解，A=GU，G为半正定 Hermite矩阵，U为酉阵，特别地，当A 满秩时，G为正定 Hermite矩阵, 且分解唯一.
证明：由奇异值分解：
1
A=U1
0
r
0 0
V1H
=
U1
1
0
r
0
U1H
U1V1H
0
同理，r( AAH ) r( AH )=r( A).
引理2：设A Cmn，则 1）AH A与AAH的特征值均为非负实数. 2）AH A与AAH的非零特征值相同且非零特征值的个数为r(A).
矩阵论第二章
(2)
则 0 是 经单位化得到的单位向量。 定理1： [cauchy—schwarz不等式]对于内积 空间中任意向量 , ，有 ( , )
(3)
并且， 等号成立的 , 线性相关。
9°（三角不等式）对 向量 , ，有
定义4：设 V 是数域 F上的线性空间， 如果在V 上还定义了一种叫内积的运算：对于V 中任意 向量 , 都有 F 中唯一的数 x 与之对应， 记为
, x， 并且这种内积运算还具有如下性质：
对于任意的 , , V
1) , ,
及任意的 k F
有：
2) k , k , 4) 当 0时, , 0
3) , , ,
此时称 V 为一个内积空间。
n C 对于复数域上的线性空间 ， 若规定向量 例1：
a1 , a2 ,, an
1 1 , 2
( 2 , 1 ) 1 2 , [设 2 k1 2 , ( 1 , 1 )
( 2 , 1 ) k ( 1 , 1 )
因 ( 2 , 1 ) 0
]，
3
( 3 , 1 ) ( , ) 1 3 2 2 3，…, ( 1 , 1 ) ( 2 , 2 )
定理3： 欧氏空间在一组基下的度量矩阵都 是正定矩阵。
, 证明：设 V 是 n 维欧氏空间，
1 2
,, n
是 V 的一
A 是该基下的度量矩阵。 的一组基， 为证明实对
称矩阵 A 正定， 只须证明实二次型 x
1 1 2 2 n n
T
Ax 正定，
矩阵论——内积空间基本概念
第三章 内积空间基本概念在几何分析时，向量的长度、夹角是基本的度量。
§3.1 内积空间基本概念定义 1.1 设V 为数域()C 或R F 上线性空间，若有一法则使V 任两向量βα,确定F 中唯一的数，记为〉〈βα,，且〉〈βα,满足：（1）〉〈=〉〈βααβ,,，V ∈∀βα,；（共轭对称） （2）〉〈+〉〈=〉+〈γβγαγβα,,,，V ∈∀γβα,,； （3）,,,〉〈=〉〈βαβαk k F k ∈∀，V ∈∀βα,； （4）0,≥〉〈αα，且等号成立当且仅当θα=。
则称><βα,为βα,的内积，V 为内积空间。
特别C F =时称()C V 为酉空间，R F =时称()R V 为欧氏空间。
注 （1）〉〈+〉〈=〉+〈γαβαγβα,,,；〉+〈=〉+〈αγβγβα,, 〉〈+〉〈=αγαβ,, 〉〈+〉〈=αγαβ,,〉〈+〉〈=γαβα,,；（2）〉〈=〉〈βαβα,,k k ； （3）0,,=〉〈=〉〈αθθα。
例1 在n R 中定义,,X Y Y X T =〉〈n R 为欧氏空间。
例2 在n R 中定义,,AX Y Y X T =〉〈其中A 为n 阶正定矩。
例3在n R 中定义,,X Y Y X T =〉〈，n C 为酉空间。
例4 n n C ⨯中TH H B B trAB B A =>=<,,。
例5 ()b a R V ,)(=上一切连续函数的集合),(b a C ，()(),,dx x g x f g f ba ⎰>=<()()V x g x f ∈∀,，()R V 是欧氏空间。
定义1.2 设n ααα,,,21 为内积空间V 的一组基，记,,ij j i g x x =〉〈()n j i ,,2,1, =，则称n 阶矩阵ij g G =，故G G H =。
定理1.1 设内积空间V 的一组基{}ni 1α的度量矩阵为G ，V 中向量βα与在该基下坐标向量分别为Y X ,，则X G Y Y G X T H T =>=<βα,。
矩阵论定义定理
第1章线性空间与线性变换线性空间定义1.1 设V是一个非空集合，F是一个数域。
定义两种运算，加法：任意α，β∈V，α+β∈V；数量乘法：任意k∈F，α∈V，kα∈V，并且满足8运算，则称V为数域F上的线性空间，V中元素成为向量定理1.1 线性空间V的性质：V中的零元素唯一；V中任一元素的负元素唯一定义1.2 设V是线性空间，若存在一组线性无关的向量组α1…αn，使空间中任一向量可由它们线性表示，则称向量组为V的一组基。
基所含的向量个数为V 的维数，记为dimV=n定理1.2 n维线性空间中任意n个线性无关的向量构成的向量组都是空间的基定义1.3 设α1…是线性空间的V n(F)的一组基，对于任意β∈V,有β=（α1…）（x1…），则称数x是β在基α1…下的坐标定理1.3 向量组线性相关≡坐标相关定义1.4 α，β为两组基，若满足β=αC，则称矩阵C是从基α到基β的过渡矩阵定理1.4 已知β=αC，V中向量A在两组基下的坐标分别为X,Y，则有X=CY定义1.5 V为线性空间，W是V的非空子集合。
若W的元素关于V中加法与数乘向量法运算也构成线性空间，则称W是V的一个子空间定理1.5 设W是线性空间V的非空子集合，则W是V的子空间的充分必要条件是α，β∈W，α+β∈W；k∈F，α∈W，kα∈W零空间：N(A)={X|AX=0}列空间：R(A)=L{A1,A2…}定理1.6 交空间：W1∩W2={α|α∈W1且α∈W2}和空间：W1+W2={α|α=α1+α2，α∈W1，α∈W2}定理1.7 设W1和W2是线性空间V的子空间，则有如下维数公式：DimW1+dimW2 = dim(W1+W2) + dim(W1∩W2)定义1.6 设W1和W2是线性空间V的子空间，W = W1 + W2，如果W1∩W2 = {0},则称W是W1和W2的直和子空间。
记为W = W1⊕W2定理1.8 设W1和W2是V的子空间，W= W1 +W2，则成立以下等价条件：W = W1⊕W2；W中零向量表达式是唯一的；维数公式：dimW = dimW1 + dimW2定义1.7 对数域F上的n维线性空间V，定义一个从V中向量到数域F的二元运算，记为(α,β)，即(α,β)：V→F，如果满足对称性、线性性、正定性，则称(α,β)是V的一个內积，赋予內积的线性空间为內积空间。
矩阵论定理
n j =1 n i=1
|aij |(行范数)
定理 37. ||A||1 = max |aij |(列范数) √ 定理 38. ||A||2 = λmax AH A(谱范数) 定理 39. ||A||m∞ = n ∗ max |aij | 定理 40. ||A||m1 = 定理 41. ||A||m2 =
n i=1 n i=1 n j =1
|aij | |aij |
2
1 2
n j =1
定理 42. ||X ||m∞ = max |Xi | 定理 43. ||X ||m1 = 定理 44. ||X ||m1 = 定理 45. (I − A)
−1 n i=1
|Xi | |Xi |
2
n i=
≤ (1 − ||A||)
矩阵论汇总
笑猫
定理 1. 属于V n 的向量可唯一由一组基x1 ,x2 ,...,xn 线 性表示。 定 理 24. 全 部k阶 子 式 的 最 大 公 因 子 是 行 列 式 因 子。
定 理 25. 相 抵 的 充 分 必 要 条 件 是 有 相 同 的 行 列 式 定理 2. V1 是线性空间V的一个非空子集， V1 是V的 一个子空间的充要条件是：如果x，y∈V1 , 那么x+y∈V1 ; 因子，或者有相同的不变因子。 如果x∈V1 , 那么kx∈V1 。 定理 26. 史密斯标准型的主对角元素是不变因子。 定理 3. V的子空间的交集也是V的子空间。 定理 4. V的子空间的和也是V的子空间。 定理 5. 线性算子满足可加性和齐次性。 定理 6. 一对一的线性算子称为同构算子。 定 理 7. 数 域P上两个有限维线 性 空 间 同 构 的 充 要 条件是两空间的维数相等。 定理 8. 线性算子由基像唯一确定。 定理 9. 存在唯一一个线性算子，将一组基分别映 射为n个向量。 定理 10. 与恒等变换(单位变换)对应的矩阵是单位 矩阵。 定理 11. 线性变换在不同基下的矩阵是相似的，反 之亦然。 定理 12. B=DAC，矩阵A与B之间相抵。 定理 13. B=C T AC,矩阵A与B相合(合同)。 定 理 14. 相 似 矩 阵 具 有 相 同 的 特 征 多 项 式 和 特 征 值。 定理 15. 内积性质：对称性，可加性，齐次性，非 负性。 定理 16. 柯西-施瓦茨不等式:|(x, y )| ≤ |x| |y | 定 理 17. 度 量 矩 阵(格 拉 姆 矩 阵)是 对 称 正 定 矩 阵， 不同基的度量矩阵是相合的。 定理 18. 正交非零向量线性无关(求标准正交基注 意掌握Schmidt正交化)。 定 理 19. 一 组 基 为 标 准 正 交 基 的 充 要 条 件 是 度 量 矩阵为单位矩阵。 定理 20. 正交变换不改变内积的大小(标准正交基 下的矩阵A满足A−1 = At ,A为正交矩阵)。 定 理 21. A是 正 交 矩 阵 的 充 要 条 件： A的 行 或 列 向 量组为标准正交向量组。 定理 22. 掌握初等旋转变换和初等镜像变换。 定理 23. 初等旋转变换是初等反射变换的乘积。 定 理 27. 不 变 因 子 唯 一 确 定 初 等 因 子； 初 等 因 子 和秩唯一确定不变因子。 定 理 28. 所 有 不 变 因 子 的因子构 成 初 等 因 子， 由 初等因子可直接写出若尔当标准型。 定理 29. 矩阵相似的充要条件是特征矩阵相抵。 定理 30. 矩阵A可对角化的充要条件是初等因子全 为一次式。 定理 31. 凯莱哈密顿定理： f(λ)是A的特征多项式， f(A)=0。 定理 32. 最小多项式是最后一个不变因子。 定理 33. A相似于对角矩阵的充要条件是最小多项 式没有重零点。 定理 34. 范数的性质：非负性，齐次性，三角不等 式。 定理 35. 矩阵范数与向量范数相容的定义：||A|| ||X || ≤ ||AX || 定理 36. ||A||∞ = max
线性代数中的矩阵理论及其应用
线性代数中的矩阵理论及其应用线性代数是近年来非常热门的学科，它广泛应用于物理和工程等领域，包括机器学习、图像和信号处理、网络分析和优化，数学建模等等。
而矩阵理论是线性代数中的重要分支，是许多应用的基础。
本文将介绍矩阵理论的基本概念和应用，以及其中一些重要的定理和算法。
一、矩阵的基本概念在矩阵理论中，矩阵是指一个由m行n列元素组成的矩形阵列，通常用A=[aij]表示，其中i代表行号，j代表列号，aij代表矩阵A中的第i行第j列的元素。
当m=n时，矩阵A称为方阵，元素aij对应于A的第i个行向量和第j个列向量的内积。
对于矩阵A和B，它们的和C=A+B是一个矩阵，其中C的每个元素都等于对应位置上A和B的元素之和。
同样地，矩阵的差和数乘分别为D=A-B和E=kA，其中D的每个元素都等于对应位置上A和B的元素之差，E的每个元素都等于A的对应元素乘以k。
此外，矩阵的转置AT是一个矩阵，其中AT的第i行第j列的元素等于A的第j行第i列的元素。
二、矩阵的应用矩阵理论的应用非常广泛，以下介绍一些常见的应用。
1.线性方程组的求解线性方程组的求解是矩阵理论的基础应用之一。
对于一个n元线性方程组Ax=b，其中A是一个n行n列的矩阵，x和b都是n 维列向量，x的每个元素都代表方程组的一个未知数，b的每个元素都代表方程组的一个常数项。
则方程组的解为x=A-1b，其中A-1是矩阵A的逆矩阵。
若A没有逆矩阵，则方程组无解或有无穷解。
2.特征值和特征向量特征值和特征向量也是矩阵理论中的重要概念之一。
对于一个n阶方阵A，若存在一个非零向量x，以及一个标量λ，使得Ax=λx，则λ是矩阵A的一个特征值，x是对应的特征向量。
特征值和特征向量可以用来描述矩阵的几何特性和运动轨迹，以及在状态空间中的扭曲和伸缩等现象。
3.奇异值分解奇异值分解（SVD）是矩阵理论中的另一个重要概念，可以用来分析矩阵的结构和性质。
对于一个m行n列的矩阵A，它的奇异值分解为A=UΣVT，其中U是一个m行m列的正交矩阵，VT是一个n行n列的正交矩阵，Σ是一个m行n列的矩形对角矩阵。
矩阵论引论
矩阵论引论矩阵论是现代数学中的一个重要分支，它研究了矩阵及其相关性质和运算规律。
矩阵论具有广泛的应用领域，包括线性代数、概率论、统计学、物理学、工程学等等。
本文将介绍矩阵论的基本概念、运算规则以及其在实际问题中的应用。
1. 矩阵的基本概念矩阵是一个由数值排列成的矩形阵列。
一个矩阵由m行n列的元素组成，记作A=[a_ij]_(m×n)，其中a_ij表示矩阵A的第i行第j 列的元素。
矩阵的大小由其行数和列数决定，可以是任意的正整数。
2. 矩阵的运算规则矩阵的运算包括加法、减法、数乘和乘法等。
矩阵的加法和减法遵循相同的规则，即对应位置的元素相加或相减。
数乘指的是将矩阵中的每个元素与一个标量相乘。
矩阵的乘法是矩阵运算中最重要的一种运算，它不同于数乘。
矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律，即AB≠BA。
3. 矩阵的特殊类型矩阵可以分为方阵、对称矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵等不同类型。
方阵是指行数和列数相等的矩阵，对称矩阵是指矩阵中的元素关于主对角线对称的矩阵，上三角矩阵是指主对角线以下的元素全为0的矩阵，下三角矩阵是指主对角线以上的元素全为0的矩阵。
4. 矩阵的性质和定理矩阵具有许多重要的性质和定理，如矩阵的转置、矩阵的迹、矩阵的秩等。
矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
矩阵的迹是指矩阵主对角线上元素的和。
矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行（或列）的最大个数。
5. 矩阵的应用矩阵论在实际问题中有广泛的应用。
在线性代数中，矩阵论用于解线性方程组、求矩阵的逆和特征值等。
在概率论和统计学中，矩阵论用于描述和分析随机变量之间的关系。
在物理学中，矩阵论用于描述量子力学中的算符和态矢量的变换。
在工程学中，矩阵论用于信号处理、图像处理、控制系统设计等领域。
总结：矩阵论是一门重要的数学学科，它研究了矩阵的基本概念、运算规则以及其在各个领域中的应用。
矩阵论的研究为我们解决实际问题提供了强有力的工具和方法。
通过对矩阵的深入理解和应用，我们可以更好地理解和分析复杂的现象，并为实际问题的解决提供有效的解决方案。
矩阵理论A重点
矩阵理论基本定理与方法特征值的求解1．换位公式 若(){}12,,,p BA λλλλ=，则(){}12,,,,0,0,,0p AB λλλλ=（相差n-p 个零根）2．秩1公式：若()1r A =，即A αβ=则 ①(){}tr(),0,0,,0A A λ=②1A αλα=，即α是1tr()A λ=相应的特征向量。
③0Y β=的n-1个非零解即为0λ=的n-1个特向。
3．平移公式①n n A ⨯与n A cI ±具有相同的特向12,,,n X X X②()(){}12c c,c,,c n n A cI A λλλλλ±=±=±±±Hermite 阵的特征值全为实数，斜Hermite 阵特征值全为纯虚数或零。
许尔定理任一方阵n n A ⨯，存在优阵()1H Q Q Q -=，使得1210Hn Q AQ Q AQ λλλ-⎡⎤⎢⎥*⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦（上三角） 其中(){}12,,,n A λλλλ=为A 的全部特征值，包括重根。
正定阵若A 为Hermite 阵，即HA A =，且对任意的不为零的向量X ，都有()0Hf X X AX =>成立，则A 为正定阵。
等价条件：1200,0,,0H n A A P P λλλ>⇔>>>⇔=Hermite 阵分解定理若H n nA A C ⨯=∈，则存在优阵Q ，使得121H n Q AQ Q AQ λλλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦求Q 的方法①求根(){}12,,,n A λλλλ=（实根）②求特向12,,,n X X X③对特向进行正交化，单位化，得到()12,,,n Q εεε=（优阵）根与向量的遗传公式方阵n n A ⨯，(){}12,,,n A λλλλ=，特向为12,,,n X X X任意多项式()212p o p f x a a x a x a x =++++，则()212p o p f A a I a A a A a A =++++的特向也是12,,,n X X X相应特征根为()()(){}12,,,n ff f λλλ若A 为优阵，则()f A 也是优阵；若A 为Hermite ，则()f A 也是Hermite （所以运算之前一定要观察矩阵，切勿盲目分解）优阵1．定义：若方阵n n A ⨯ 满足H n A A I =，称A 为优阵 等价判据：1H H n A A I A A -=⇔=⇔列列正交，模为1 半优阵：n p A ⨯满足Hp A A I =，称A 为半优阵 等价判据：列列正交，模为1 2．优阵性质：保内积 ()()AX AY X Y = 保长 AX X =保正交 X Y AX AY ⊥⇒⊥3．向量β在向量α上的投影为()2αβαβαα=许米特正交公式为（减去投影量，剩下正交量）()()()11212211313233122212βααββαββαβαββαββββ==-=--矩阵分解一、m n A ⨯ 高低分解——找出列中的极大无关组（行变法、直接观察） 二、QR 分解1．任一高阵n p A ⨯（列满秩）必有QR 分解n p n p p p A Q R ⨯⨯⨯=，Q 为半优，R 为正线上三角 其中n p n p A Q ⨯⨯−−−−−→许米正交化列向量单位化（半优），HR Q A = 2．方阵A 必存在优阵Q ，使A QR =成立（如果A 列满秩，用上面方法，否则下面方法） 镜面阵：令nC αβ≠∈，且αβ=，内积()()αββα=为实数，则有镜面阵22H XX A I X=-，使得A αβ=，其中X αβ=-。