2020年重庆市高一(下)期中数学试卷解析版
16. 在数列{an}中：已知 a1=1，n2an-Sn=n2an-1-Sn-1（n≥2，n∈N*），记 bn= ，Tn 为数列{bn}
B：-1×5-2×7≠0，即 与 不共线，可以作为平面内的所有向量的基底；
C：因为 3×10-6×5=0，则 ，不能作为平面内的所有向量的基底；
D：因为
=0，则 ，不能作为平面内的所有向量的基底；
故选：B． 由于向量基底的条件：不共线的非零向量，然后结合向量平行的坐标表示检验各选项． 本题主要考查了向量基地的条件的判断，属于基础试题．
2a2=a1+4． （1）分别求数列{an}和{bn}的通项公式． （2）设 cn=an•bn，求数列{cn}的前 n 项和 Sn．
，且 b1=4，
21. 已知向量
，
（其中 ω＞0），设函数
，且函数 f（x）的最小正周期为 π．
（1）将函数 f（x）的表达式化成 f（x）=ksin（mx+φ）+n（其中 k、m、n 为常数） 的形式；
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，
3. 如图：在平行四边形 ABCD 中，已知
，
，则
=（ ）
A.
B.
C.
D.
4. 在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，若向量
，
，且 ，则角 C=（ ）
A.
B.
C.
D.
5. 在数列{an}中：已知 a1=1，an-an-1=n（n≥2），则数列{an}的通项公式为（ ）
A.
的前 n 项和，则 T2021=______． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分） 17. 已知函数 f（x）=x2-4x+5（x∈R）．
（1）求关于 x 的不等式 f（x）＜2 的解集； （2）若不等式 f（x）＞|m-3|对任意 x∈R 恒成立，求实数 m 的取值范围．
18. 已知{an}为等差数列，Sn 为其前 n 项和，且 a2=4，S4=20． （1）求数列{an}的通项公式；
B.
C.
D.
6. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，出行健步
不为难，次日脚疼减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．
”其大意为：“有一人走了 378 里路，第一天健步行走，从第二天起因脚疼每天走
的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地．”问此人最后一天走了（ ）
的前 n 项和 Sn 最大的正整数 n 的值是（ ）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
10. 在 R 上定义运算 a※b=（a+1）b，若存在 x∈[1，2]使不等式（m-x）※（m+x）＜4
，成立，则实数 m 的取值范围为（ ）
A. （-3，2）
B. （-1，2）
C. （-2，2）
D. （1，2）
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（2）若{bn}为等比数列，且 b1=a1，b4=a8，求数列{bn}的前 n 项和 Tn．
19. 如图：在平面四边形 ABCD 中，已知∠B+∠D=π，且 AD=CD=7，AB=5，BC=3． （1）求角 D 的大小； （2）求四边形 ABCD 的面积．
20. 已知{an}为等差数列，{bn}为等比数列，满足
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1.【答案】D
答案和解析
【解析】解：由非零实数 a＞b，取 a=1，b=-1，则可排除 ABC． 故选：D． 取 a=1，b=-1，则可排除 ABC，从而得到正确选项． 本题考查了不等式的基本性质，利用特殊值法可排除错误选项，属基础题．
2.【答案】B
【解析】解：A：由于
为零向量，不能作为平面内的所有向量的基底；
A. 6 里
B. 12 里
C. 24 里
D. 36 里
7. 下列式子的最小值等于 4 的是（ ）
A.
B.
其中
C. ex+4e-x（x∈R）
D.
8. 已知向量
，
于（ ）
A.
B.
，若
，则向量 在向量 方向上的投影等
C.
D.
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9. 等差数列{an}的公差为 d，关于 x 的不等式 dx2+2a1x≥0 的解集为[0，9]，则使数列{an}
11. 在△ABC 中，已知 AB=2，AC=4，若点 G、W 分别为△ABC 的重心和外心，则
=（ ）
A. 4
B. 6
C. 10
D. 14
12. 在锐角△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c（a＞b＞c），已知不等式
恒成立，则当实数 t 取得最大值 T 时，TcosB 的取值范围是（ ）
期中数学试卷
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 已知非零实数 a＞b，则下列说法一定正确的是（ ）
A. a2＞b2
B. |a|＞|b|
C.
D. a•c2≥b•c2
2. 下列向量组中，能作为表示它们所在平面内的所有向量的基底的是（ ）
A.
，
B.
，
C.
，
D.
3.【答案】D
【解析】解：
=
=
．
故选：D．
由向量加法的三角形法则可得，
=
，代入可求．
本题主要考查了向量加法的三角形法则的简单应用，属于基础试题．
4.【答案】C
【解析】解：由向量
，
，且 ，
所以（a+c）（a-c）-b（a-b）=0， 即 a2+b2-c2=ab，
A.
B.
C.
D. （2，4）
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 在△ABC 中，角 A、B、C 所对应的边分别为 a，b，c，已知 a= ，b= ，A= ，
则 B=______；S△ABC=______．
14. 已知向量 、 满足：
，
，
，则 与 的夹角的余弦值为
______． 15. 如图：为了测量河对岸的塔高 AB，可以选与塔底 B 在同一水平
（2）在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，若
，且
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，又 ， ， 成等差数列，求△ABC 的内切圆的面积．
22. 设各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn，且对任意 n∈N+恒有 成立；数列{bn}满足：b1=1，且 ．
（1）求 a1、a2 的值及数列{an}的通项公式； （2）①记 cn=b2n-1+2，证明数列{cn}为等比数列； ②若数列{bn}的前 n 项和为 Tn，求 T2019 的值．
2019-2020学年重庆八中高一(下)期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年重庆八中高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知等差数列中，，，则该数列公差为A. B. 1 C. D. 22.太阳能是一种资源充足的理想能源，我国近12个月的太阳能发电量单位：亿千瓦时的茎叶图如图，若其众数为x，中位数为y，则A. 144B. 141C.D.3.已知向量，，若，则A. 0B. 1C. 4D. 84.下列说法中，一定成立的是A. 若，，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则5.已知等比数列的前n项和为且，，则A. 16B. 19C. 28D. 366.若向量，满足，，，则与的夹角为A. B. C. D.7.中，，则一定是A. 等边三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 直角三角形8.中，D在边AC上满足，E为BD的中点，则A. B. C. D.9.将两直角边长分别为1，2的直角三角形绕斜边所在的直线旋转一周所得几何体的体积为A. B. C. D.10.已知实数x，y满足，则的最小值为A. B. C. 5 D. 211.我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“一斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则的面积，根据此公式，若，且，则的面积为A. B. C. D.12.锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则cos C的取值范围为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知单位向量夹角为，则______．14.x0123y13当m变化时，回归直线直线必经过定点______．15.已知数列的前项和为，，，则______．16.如图，在中，D是BC的中点，点E在边AB上，，，AD与CE的交点为若，则______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.等差数列中，，．求的通项公式；设，记为数列前n项的和，若，求m．18.经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量千辆小时与汽车的平均速度千米小时之间的函数关系为：．在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？保留分数形式若要求在该时段内车流量超过10千辆小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？19.某学校因为寒假延期开学，根据教育部停课不停学的指示，该学校组织学生线上教学，高一年级在线上教学一个月后，为了了解线上教学的效果，在线上组织数学学科考试，随机抽取50名学生满分150分，且抽取的学生成绩都在内的成绩并制成频率分布直方图如图所示．根据频率分布直方图，估计这50名同学的数学平均成绩；同一组中的数据以该组区间的中点值作代表用分层抽样的方法从成绩在和的同学中抽取6名，再在抽取的这6名同学中任选2名，求这两名同学的数学成绩在同一组中的概率．20.锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且．求的外接圆直径；求的取值范围．21.若数列的前项和为，已知，求；设，求使得成立的最小自然数n．22.三角形的勃劳卡德点是以法国军官亨利勃劳卡德命名的，他在1875年曾描述过这一事实，即：对任何一个三角形都存在唯一的角，即勃劳卡德角，使得图中连接三个顶点的线相交于勃劳卡德点Q，如图所示．研究发现：等腰直角三角形中，若是斜边的等腰直角三角形，求线段QA的长度；若中，，，，求的值；若中，若线段QA，QB，QC的长度是1为首项，公比为的等比数列，当时，求公比q的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：等差数列中，，，，，故选：B．由已知结合等差数列的通项公式及性质即可直接求解．本题主要考查了等差数列的通项公式的简单应用，属于基础试题．2.答案：C解析：解：由茎叶图可知数据为：53，53，54，55，56，64，67，68，77，77，77，78，数据的中位数为，众数为，所以，故选：C．直接根据图中数据观察以及计算即可得到结论．本题考查茎叶图中位数和众数，通过定义计算即可，属于基础题．3.答案：D解析：解：向量，，则，又向量，且，所以，解得．故选：D．根据平面向量的坐标运算和共线定理，列方程求出m的值．本题考查了平面向量的坐标运算和共线定理应用问题，是基础题．4.答案：B解析：解：对于选项A：令，，，，所以结论错误．对于选项B：由于，所以b为正数，故结论正确．对于选项C：当，，所以结论错误．对于选项D：当a和b为正数时，结论成立，故错误．故选：B．直接利用赋值法和不等式的的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：不等式的基本性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．5.答案：C解析：解：根据题意，等比数列的前n项和为且，，则，则有，，，则有，解可得；又由，则；故选：C．根据题意，由等比数列的前n项公式变形分析可得，解可得，又由，计算可得答案．本题考查等比数列的前n项和公式的应用，注意等比数列的性质，属于基础题．6.答案：A解析：解：因为，，，，即，．，又因为，．故选：A．根据夹角公式，根据已知条件求出，然后代入夹角公式求其余弦值，即可求出角．本题考查平面向量的夹角公式，以及数量积的运算．属于基础题．7.答案：A解析：解：由题意，则由正弦定理得，，，则，、，，则，即，同理可证，，则是等边三角形，故选：A．根据正弦定理化简，利用两角差的正弦公式化简，利用内角的范围好特殊角的正弦值判断出A、B、C的关系，即可判断出的形状．本题考查了正弦定理的灵活应用，注意三角形内角的范围，属于基础题．8.答案：A解析：解：如图，为BD的中点且，故选：A．根据条件可画出图形，然后根据条件及向量加法的平行四边形法则，向量减法和数乘的几何意义，以及向量的数乘运算即可用，表示出向量本题考查了向量加法的平行四边形法则，向量减法和数乘的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．9.答案：D解析：解：如图为直角三角形旋转而成的旋转体．；；故选：D．画出图形，根据圆锥的体积公式直接计算即可．本题考查圆锥的体积公式，考查空间想象能力以及计算能力．是基础题．10.答案：A解析：解：由可得，则，，当且仅当且即，时取等号，故选：A．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．11.答案：B解析：解：因为，所以，即，所以，因为，所以，，由余弦定理可得，，所以，则的面积．故选：B．由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求cos C，然后结合已知及余弦定理可求ab，代入已知公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理及和差角公式在三角化简求值中的应用，属于中档试题．12.答案：D解析：解：当且仅当时，取等号，因为三角形时锐角三角形，所以，所以所以，因为设，，所以，因为函数在上是减函数，在上是增函数，，，所以cos C的取值范围为故选：D．结合基本不等式得，当且仅当时，取等号，根据题意得，又因为，所以，因为设，，利用函数得单调性求出最值，进而得出结论．本题考查余弦定理的应用，考查运算能力，属于中档题．13.答案：1解析：解：单位向量夹角为，则．故答案为：1．利用向量的数量积公式以及向量的模的运算法则求解即可．本题考查向量的数量积以及向量的模的求法，是基本知识的考查．14.答案：解析：解：由题意可得；，由回归直线方程的性质可知，回归直线直线必经过定点是样本中心．故答案为：．利用已知条件求出回归直线方程经过的样本中心坐标即可．本题考查回归直线方程的简单性质的应用，是基本知识的考查．15.答案：2020解析：解：，当，时，有，即，．故答案为：2020．先由当，时，有，再利用数列的相邻项的关系式求解即可．本题主要考查数列的递推关系式及利用对递推关系式的合理变形求数列的和，属于基础题．16.答案：解析：解：中，D是BC的中点，，，，又E，O，C三点共线，设，且三点A，O，D共线，，解得，，，．故答案为：．根据题意设，利用A，O，D三点共线求出的值，求出、，再计算的值．本题考查了平面向量的加法、减法和数乘的几何意义，以及平面向量数量积计算问题，是中档题．17.答案：解：等差数列中，，．，即，，由题意可得，，，所以，故解析：由已知结合等差数列的通项公式即可求解d，，然后结合等差数列的通项公式即可求解；由结合等比数列的求和公式即可求解．本题主要考查了等差数列的通项公式及等比数列的求和公式的简单应用，属于基础试题．18.答案：解：，，当且仅当即时取等号．．当汽车的平均速度为30千米小时时车流量最大，最大车流量为千辆小时．令，整理得：，解得：．解析：分子分母同除以v，再利用基本不等式求最大值；解不等式得出结论．本题考查了基本不等式的应用，不等式的解法，属于中档题．19.答案：解：由，解得，故平均值为；由直方图知，两组的频率分别为，，按分层抽样的方法从成绩不低于125得同学中抽取6名，则，分别抽取4人，2人，分别记为，，，，，，随机抽取的2名的总抽法有，共有15种，其中求这两名同学数学成绩落在同一组的抽法有，，有7种，故两名同学数学成绩落在同一组得概率为．解析：由频率之和为1，解得a，平均值为由直方图知，两组的频率分别为，，，分别抽取4人，2人，分别记为，，，，，，随机抽取的2名的总抽法有，其中求这两名同学数学成绩落在同一组的抽法有，再利用古典概型计算，即可．本题考查频率分布直方图的应用，古典概型，属于基础题型．20.答案：解：因为，由正弦定理可得，，即，所以，因为，故且，故B，由正弦定理可得，，即外接圆直径1，由正弦定理可得，，，由题意可得，，解可得，所以，．解析：由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求cos B，进而可求B；由已知结合正弦定理可求2R，然后结合和差角公式及辅助角公式进行化简后，利用正弦函数的性质可求．本题主要考查了正弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用，还考查了正弦函数的性质的综合应用，属于中档试题．21.答案：解：，，，所以是以1为首项，公比为3的等比数列，；，，成立，即，解得，所以最小自然数n为200．解析：由，故是以1为首项，公比为3的等比数列，求出；先求出，再利用裂项相消法求出，然后求解不等式，找到最小的自然数n．本题主要考查等比数列的定义、通项公式及裂项相消法求数列的和、解不等式等基础知识，属于基础题．22.答案：解：由题意知，，，所以；在中，由正弦定理得，，解得；由题意可得，，，，且，，所以，；在中，由正弦定理得，在中，，所以，解得；设的三边a、b、c所对的角分别为A、B、C，又线段QA，QB，QC的长度是1为首项，公比为的等比数列，所以，；在和中，由正弦定理得，，，所以；所以，且，所以，所以，即；由，；在和中，由正弦定理得：，；得，即；又，展开得，解得；又等腰中，，解得；把代入得，令，代入后平方整理得，，解得或不合题意，舍去，所以公比q的值为．解析：由题意中利用正弦定理求得QA的值；在中由正弦定理求得QB，再利用求出QB，列出等式求出的值；由等比数列求得QB、QC，利用正弦定理列出方程，应用三角恒等变换和方程的知识，求出公比q的值．本题考查了解三角形以及三角恒等变换的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．。
重庆市重庆一中2020-2021学年高一数学下学期期中试题(含解析)
重庆市重庆一中2020-2021学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{}2,1,0,1,2A =--，集合11B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂=（ ） A. {}2,1,0,2-- B. {}2C. {}2,1,2--D. {}2,1--【答案】C 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法得到集合B ，再由集合的交集运算得到结果.【详解】集合{}2,1,0,1,2A =--，集合{}11=|01B x x x x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭或，根据集合的交集运算得到A B ⋂={}2,1,2--. 故答案为：C.【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.2.在等差数列{}n a 中，1239a a a ++=，则2a =（ ） A. 3 B. 9C. 2D. 4【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的性质得到1232293 3.a a a a a ++==⇒=【详解】等差数列{}n a 中，1239a a a ++=,根据等差数列的运算性质得到1232293 3.a a a a a ++==⇒=故答案为：A.【点睛】本题考查了等差数列的性质的应用，属于基础题.3.如果0a b <<,那么下列不等式成立的是（ ）A.11a b< B. 2ab b < C. 2ab a -<- D. 2m m P UI W ==【答案】D 【解析】分析：利用作差法比较实数大小即得解. 详解：1a --（1b -）=a b ab-，因为0a b <<，所以0,0.a b ab - 所以11a b-<-.故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查实数大小的比较，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)比较实数的大小，常用作差法和作商法，一般如果知道实数是正数，可以利用作商法，否则常用作差法.4.在等比数列{}n a 中，已知2171,16a a a =⋅=，则该数列的公比q =（ ） A. 2± B. 4± C. 2 D. 4【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的性质得到217416,a a a ⋅==进而解得44a =±，由等比数列的通项公式得到结果.【详解】等比数列{}n a 中，已知2217441,164a a a a a =⋅==⇒=±2422 2.a a q a =⇒=±故答案为：A.【点睛】这个题目考查了等比数列的性质以及通项公式的应用，属于基础题.5.下列命题正确的是（ ）A. 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。
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A.
B. 4
C.
D.
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9. 如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有 n（n＞1，n∈N*
）个点，相应的图案中总的点数记为 an，则
等于（
）
A.
B.
C.
D.
10. 已知数列{an}满足 an+1-an=2n（n∈N+），a1=3，则 的最小值为（ ）
公式是______． 16. 无穷数列{an}中，a1，a2，…，am 是首项为 10，公差为-2 的等差数列；am+1，am+2，
…，a2m 是首项为 ，公比为 的等比数列（其中 m≥3，m∈N•）并且对于任意的 n∈N•
，都有 an+2m=an 成立．若
，则 m 的取值集合为______．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 72.0 分）
到橘子最少的人所得的橘子个数是（ ）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
5. 平面向量 与 的夹角为 60°， =（2，0），| |=1，则| +2 |=（ ）
A.
B.
C. 4
D. 12
6. 已知△ABC 的面积为- • ，则角 A 的大小为（ ）
A. 60°
B. 120°
C. 30°
D. 150°
3.【答案】B
【解析】解：∵-6x2-x+2≤0， ∴6x2+x-2≥0， ∴（2x-1）（3x+2）≥0，
∴x≥ 或 x≤- ，
∴不等式-6x2-x+2≤0 的解集是{x|x 或 x≤- }．
故选：B． 先把不等式转化为 6x2+x-2≥0，即（2x-1）（3x+2）≥0 进而求解即可． 本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题．
2020-2021学年重庆高一(下)期中数学试卷
2020-2021学年重庆高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知向量a⃗=(3,1)，b⃗ =(−2,5)，那么2a⃗+b⃗ 等于()A. (−1,11)B. (4,7)C. (1,6)D. (5,−4)2.在△ABC中，B=135°，C=15°，a=3，则边b=()A. 5√2B. 4√2C. 3√2D. 2√23.如图是八位同学400米测试成绩的茎叶图(单位：秒)，则()A. 平均数为64B. 众数为7C. 极差为17D. 中位数为64.54.已知点P(1,2)与直线l:x+y+1=0，则点P关于直线l的对称点坐标为()A. (−3,−2)B. (−3,−1)C. (2,4)D. (−5,−3)5.已知直线l经过点A(−2,0)与点B(−5,3)，则该直线的倾斜角为()A. 150°B. 135°C. 60°D. 45°6.在ΔABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若sinA:sinB=2:3，则a:b=()A. 3:2B. 4:9C. 9:4D. 2:37.已知数列{a n}，{b n}，它们的前n项和分别为A n，B n，记c n=a n B n+b n A n−a n b n(n∈N∗)，则数列{c n}的前10项和为()A. A10+B10B. 12(A10+B10) C. A10⋅B10 D. √A10⋅B108.某公司某种产品的定价x(单位：元)与销量y(单位：件)之间的数据统计表如下，根据数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为y＾=6.5x+17.5，则表格中n 的值应为()A. 45B. 50C. 55D. 609.已知α，β∈{1,2，3}，则任取一个点(α,β)，满足a>β的概率为()A. 19B. 29C. 13D. 1210. 在△ABC 中，若(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，则( )A. △ABC 是锐角三角形B. △ABC 是直角三角形C. △ABC 是钝角三角形D. △ABC 的形状不能确定11. 已知数列{a n }满足：a 1=1，2a n+1=2a n +1 , n ∈N ∗则数列{a n }=( )A. {a n }是等比数列B. {a n }不是等差数列C. a 2=1.5D. S 5=12212. 已知非零向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为60°，且满足|a ⃗ −2b ⃗ |=2，则a ⃗ ⋅b ⃗ 的最大值为 ( )A. 12B. 1C. 2D. 3二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知一组数据为19，18，23，24，21，则这组数据的中位数为____． 14. 下列命题：①若ac 2>bc 2，则a >b ； ②若sin α=sin β，则α=β；③“实数a =0”是“直线x −2ay =1和直线2x −2ay =1平行”的充要条件； ④若f (x )=log 2x ，则f (|x |)是偶函数． 其中正确命题的序号是________．15. 综合实践课中，小明为了测量校园内一棵樟树的高度，如图，他选取了与樟树树根部C 在同一水平面的A 、B 两点(B 在A 的正西方向)，在A 点测得樟树根部C 在西偏北30°的方向上，步行40米到B 处，测得树根部C 在西偏北75°的方向上，树梢D 的仰角为30°，则这棵樟树的高度为______ 米.16. 已知直线l 1：kx −y +1−k =0与l 2：ky −x −2k =0的交点在第一象限，则实数k 的取值范围为________三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为120°，|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=3，m ⃗⃗⃗ =3a ⃗ −2b ⃗ ，n ⃗ =2a ⃗ +k b ⃗ ．(1)若m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ，求实数k 的值；(2)是否存在实数k，使得m⃗⃗⃗ //n⃗？说明理由．18.已知两条直线l1：x+2y−m+3=0，l2：mx+y−1−m=0．(Ⅰ)若l 1⊥l 2，求实数m的值；(Ⅱ)若l 1//l 2，求直线l 1，l 2间的距离．19.2020年决战脱贫攻坚期间，某工作小组为了解本地农民对脱贫攻坚工作的满意度，深入农村贫困一线调查，得出数据制成如下表格和频率分布直方图(分为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]六组).已知评分在[80,100]的人数为1800．满意度评分[40,60)[60,80)[80,90)[90,100]满意度等级不满意基本满意满意非常满意(1)求频率分布直方图中a的值，及满意度评分在[40,70)内的人数；(2)定义满意度指数X=平均分，若X<0.8，则脱贫攻坚工作需要进行大的调整，否100则不需要大调整．根据所学知识判断该区脱贫攻坚工作是否需要进行大调整(同一组中的数据以该数据所在区间的中点值为代表)；(3)为了解部分人员不满意的原因，从不满意的人员(评分在[40,50)，[50,60)内)中用分层抽样的方法抽取6名人员，倾听他们的意见，并从6人中抽取2人担任脱贫攻坚工作的监督员，求这2人中至少有1人对脱贫攻坚工作的评分在[40,50)内的概率．20.设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，且S1，2S2，3S3成等差数列．3(1)求a n；(2)设b n=n，求数列{b n}的前n项和T n．a n21.在△ABC中，D在边BC上，且BD=2，DC=1，∠B=60°，∠ADC=150°，求AC的长及△ABC的面积22.已知数列{b n}的前n项和为T n，且T n−2b n+3=0，n∈N∗．(Ⅰ)求数列{b n}的通项公式；(Ⅱ)设C n={log2(b n3),n为奇数b n,n为偶数，求数列{c n}的前2n+1项和P2n+1．答案和解析1.【答案】B【解析】解：向量a⃗=(3,1)，b⃗ =(−2,5)，那么2a⃗+b⃗ =(4,7)．故选：B．直接利用向量的坐标运算求解即可．本题考查向量的坐标运算，基本知识的考查．2.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查正弦定理的应用．【解答】∵B=135°，C=15°，∴A=180°−B−C=30°，∴由正弦定理asinA =bsinB，得b=3×√2212=3√2．故选C．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查了茎叶图的应用问题，解题时应根据茎叶图中的数据进行有关的计算，是基础题．根据茎叶图中的数据，计算数据的中位数、众数、平均数和极差即可．【解答】解：茎叶图中的数据分别为58，59，61，62，67，67，70，76，所以中位数是62+672=64.5，众数是67，平均数是18(58+59+61+62+67+67+70+76)=65，极差为76−58=18，故选：D ．4.【答案】A【解析】 【分析】本题考查直线方程的应用，属于基础题．依题意先设点P 关于直线对称点的坐标，再根据对称性即可列出方程组，求出坐标． 【解答】解：设点P 关于直线l 的对称点的坐标是(x,y)，依题意可得：{y−2x−1=1x+12+y+22+1=0解得{x =−3y =−2 ∴点P 关于直线的对称点坐标是(−3,−2) 故选A ．5.【答案】B【解析】 【分析】本题考查了直线的斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 利用斜率计算公式即可得出． 【解答】解：设该直线的倾斜角为θ， 则tanθ=0−3−2−(−5)=−1， ∵θ∈[0∘,180∘),∴θ=135°． 故选B ．6.【答案】D【解析】 【分析】本题考查正弦定理，属于基础题目． 直接利用正弦定理得出即可． 【解答】解：∵sinA:sinB =2:3，∴由正弦定理可得a:b=sinA:sinB=2:3．故选D．7.【答案】C【解析】解：∵a n=A n−A n−1，b n=B n−B n−1，n≥2，c n=a n B n+b n A n−a n b n(n∈N∗)，∴c n=a n(B n−b n)+b n A n=(A n−A n−1)(B n−b n)+b n A n=A n B n−A n−1(B n−b n)=A n B n−A n−1(B n−B n+B n−1)=A n B n−A n−1B n−1，∴数列{c n}的前10项和为：c1+c2+c3+⋯+c10=A1B1+(A2B2−A1B1)+(A3B3−A2B2)+⋯+(A10B10−A9B9)=A10B10．故选：C．由已知条件推导出c n=A n B n−A n−1B n−1，由此利用累加法能求出数列{c n}的前10项和．本题考查数列的前10项和的求法，解题时要认真审题，注意累加法的合理运用．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点，计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，即可得到结论．【解答】解：由题意，x=15(2+4+5+6+8)=5，y=15(30+40+n+50+70)=38+n5，∵y关于x的线性回归方程为ŷ=6.5x+17.5 ，∴38+n5=6.5×5+17.5，∴n=60．故选D．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．α，β∈{1,2，3}，则任取一个点(α,β)，利用列举法能求出满足a >β的概率． 【解答】解：α，β∈{1,2，3}，则任取一个点(α,β)， 基本事件有：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)， (1,3)，(3,1)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，共9个，满足a >β包含的基本事件有：(2,1)，(3,1)，(3,2)，共3个， ∴满足a >β的概率为p =39=13． 故选C ．10.【答案】B【解析】 【分析】本题考查了向量的三角形法则和数量积运算法则、勾股定理的逆定理，属于基础题． 由(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，可得(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，进而得到|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−|CA⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2， 利用勾股定理的逆定理即可判断出． 【解答】解：∵(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2， ∴(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2， ∴|CB⃗⃗⃗⃗⃗ |2−|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2， 即|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2， ∴∠A =90°．∴△ABC 是直角三角形． 故选：B ．11.【答案】C【解析】解：由a1=1，2a n+1=2a n+1 , n∈N∗则：a n+1−a n=12．∴数列{a n}是等差数列，公差为12．∴a n=1+12(n−1)=n+12．∴a2=32=1.5．故选：C．变形利用等差数列的通项公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.【答案】B【解析】【分析】本题考查了数量积运算性质与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．由题意，利用数量积运算性质与基本不等式的性质可得|a⃗||b⃗ |≤2.即可得出．【解答】解：∵非零向量a⃗，b⃗ 的夹角为60°，且|a⃗−2b⃗ |=2，∴4=a⃗2+4b⃗ 2−4a⃗⋅b⃗=a⃗2+4b⃗ 2−2|a⃗|⋅|b⃗ |≥2|a⃗|×2|b⃗ |−2|a⃗||b⃗ |=2|a⃗||b⃗ |，即|a⃗||b⃗ |≤2．当且仅当|a⃗|=2|b⃗ |时等号成立，∴a⃗⋅b⃗ =12|a⃗||b⃗ |≤1．即a⃗⋅b⃗ 的最大值为1．故选B．13.【答案】21【解析】【分析】本题主要考查对中位数的理解，属于基础题．【解答】解：这组数据从小到大排列依次为18，19，21，23，24，∴这组数据的中位数为21，故答案为21．14.【答案】①③④【解析】对于①，ac2>bc2，c2>0，∴a>b正确；对于②，sin30°=sin150°⇒/30°= 150°，所以②错误；对于③，l1//l2⇔A1B2=A2B1，即−2a=−4a⇒a=0且A1C2≠A2C1，所以③正确；④显然正确．15.【答案】20√63【解析】【分析】本题考查三角形的解法，实际问题的处理方法，正弦定理的应用，是中档题．结合已知条件，利用正弦定理，通过求解三角形即可．【解答】解：根据图形知，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=75°−30°=45°，AB=40，由正弦定理得，BCsin30∘=40sin45∘，解得BC=40×12√22=20√2，在Rt△BCD中，∠BDC=30°，所以CD=BCtan30°=20√2×√33=20√63．故答案为：20√63．16.【答案】(−∞,−1)∪(−1,0)∪(1,+∞)【解析】【分析】本题考查两直线交点坐标的应用，属于基础题目．【解答】解：由题意可得，两直线不平行，故它们的斜率不相等，故k ≠±1，联立{kx −y +1−k =0ky −x −2k =0可得交点坐标为(k k−1,2k−1k−1)， 因为交点在第一象限，所以{k k−1>02k−1k−1>0， 解得k >1或k <0，综上可得实数k 的取值范围为(−∞,−1)∪(−1,0)∪(1,+∞)．故答案为(−∞,−1)∪(−1,0)∪(1,+∞)．17.【答案】解：(Ⅰ)∵向量a⃗ 与b ⃗ 的夹角为120°，|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=3， ∴a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ |⋅|b ⃗ |cos120°=2×3×(−12)=−3，∵m ⃗⃗⃗ =3a ⃗ −2b ⃗ ，n ⃗ =2a ⃗ +k b ⃗ ，m⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ， ∴m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =(3a ⃗ −2b ⃗ )(2a ⃗ +k b ⃗ )=6a ⃗ 2+(3k −4)a ⃗ ⋅b⃗ −2k b ⃗ 2=0， ∴6×22+(3k −4)⋅(−3)−2k ×32=0，解得k =43．(Ⅱ)∵m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ，∴∃λ∈R ，使m ⃗⃗⃗ =λn ⃗ ，∴3a ⃗ −2b ⃗ =λ(2a ⃗ +k b ⃗ )=2λa ⃗ +λk b ⃗ ，(3−2λ)a ⃗ =(2+λk)b⃗ ，又向量a ⃗ 与b ⃗ 不共线，∴{3−2λ=02+λk =0， 解得λ=32,k =−43，∴存在实数k =−43时，有m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ．【解析】(Ⅰ)推导出a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ |⋅|b⃗ |cos120°=−3，由向量垂直得m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =(3a ⃗ −2b ⃗ )(2a ⃗ +k b ⃗ )=6a ⃗ 2+(3k −4)a ⃗ ⋅b ⃗ −2k b ⃗ 2=0，由此能求出实数k ． (Ⅱ)由m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ，得∃λ∈R ，使m ⃗⃗⃗ =λn ⃗ ，从而(3−2λ)a ⃗ =(2+λk)b ⃗ ，由向量a ⃗ 与b ⃗ 不共线，列方程组求出存在实数k =−43时，有m⃗⃗⃗ //n ⃗ ． 本题考查实数值的求法，考查向量垂直、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 18.【答案】解：直线l 1的斜率为k 1=−12，截距为b 1=12m −32，直线l 2的斜率为k 2=−m ，截距为b 2=m +1，(Ⅰ)若l 1⊥l 2，则k 1⋅k 2=12m =−1，解得m =−2；(Ⅱ)若l 1//l 2，则{k 1=k 2b 1≠b 2，即{m =1212m −32≠m +1，解得m =12， 此时直线l 1：x +2y +52=0，直线l 2：x +2y −3=0，所以直线l 1，l 2间的距离d =|52−(−3)|√12+22=11√510．【解析】本题给出含有参数的两条直线方程，在两条直线平行或垂直的情况下，求参数a 的值．着重考查了平面直角坐标系中两条直线平行、垂直的关系及其列式的知识，属于基础题．(Ⅰ)根据两条直线垂直的条件，建立关于a 的关系式，即可得到使l 1⊥l 2的实数a 的值； (Ⅱ)两条直线平行的条件，建立关于a 的方程，解之可得实数a 的值．19.【答案】解：(1)由频率分布直方图知(0.002+0.004+0.014+0.020+0.035+a)×10=1，即10×(0.075+a)=1，解得a =0.025；设总共调查了n人，则0.6n=1800，解得n=3000，即调查的总人数为3000人；满意度评分在[40,70)内共调查的人数为(0.002+0.004+0.014)×10×3000=600;(2)由频率分布直方图知x=45×0.02+55×0.04+65×0.14+75×0.2+85×0.35+95×0.25=80.7所以，满意度指数X=80.7100=0.807>0.8，因此，该区工作不需要大的调整．，(3)由题意可知，评分在[40,50)，[50,60)的频率之比为0.020.04=12，即不满意的人数在两段分别有20、40，所以评分在[40,50)，所抽取的人数为6×13=2，分别记为a、b，评分在[50,60)所抽取的人数为6×23=4，分别记为A、B、C、D，所以抽取两人的基本事件为：ab，aA，aB，aC，aD，bA，bB，bC，bD，AB，AC，AD，BC，BD，CD，共15个，至少有一人来自[40,50)的基本事件有ab，aA，aB，aC，aD，bA，bB，bC，bD共9个，所以所求概率p=915=35．【解析】本题考查频率分布直方图，根据频率分布直方图估计平均数，分层抽样，古典概型的计算与应用，考查计算能力，属于中档题．(1)由频率分布直方图中小长方形的面积和为1，可得a，根据频率，频数可求样本容量；(2)根据频率分布直方图估计总体平均数的计算公式可得；(3)先求出评分在[40,50)，[50,60)两段的人数，再由分层抽样求出在两段抽取的人数，由题意，列出所有的基本事件及至少有一人来自[40,50)的基本事件，由古典概型的概率计算公式可得．20.【答案】解：(1)∵等比数列{a n}的前n项和为S n，a1=13，且S1，2S2，3S3成等差数列，∴4S2=S1+3S2，若q=1，则a n=a1=13，S1=13,S2=23,S3=1，∴4S2=83≠S1+3S3 =103，∴q≠1，4a1(1−q2)1−q =a1+3a1(1−q3) 1−q，∴4(1+q)=1+3(1+q+q2)，整理，得3q2−q=0，解得q=13，q=0(舍)，∴a n=13⋅(13)n−1=13n．(2)∵b n=na n=n⋅3n，∴T n=1⋅3+2⋅32+3⋅33+⋯+n⋅3n，①3T n=1⋅32+2⋅33+3⋅34+⋯+n⋅3n+1，②①−②，得：−2T n=3+32+33+⋯+3n−n⋅3n+1=3(1−3n)1−3−n⋅3n+1，∴T n=(n2−14)⋅3n+1+34．【解析】(1)由已知条件得4S2=S1+3S2，由此求出公比，从而能求出a n=13⋅(13)n−1=13n．(2)由b n=na n =n⋅3n，利用错位相减法能求出数列{bn}的前n项和T n．本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．21.【答案】解：由题意，∠B=60°，BC=3，∠ADC=150°，可知ABD是直角三角形，∴AB=1，AD=√3在△ADC中，由余弦定理：AC2=AD2+DC2−2AD⋅DCcos150°=7∴AC=√7；△ABC的面积为S=12AB⋅BC⋅sin60°=12×3×1×√32=3√34．【解析】在△ABC 中，根据∠B =60°，BC =3，∠ADC =150°，可得AB =1，结合正弦定理可得AC 的长．利用面积公式S =12AB ⋅BC ⋅sin60°求△ABC 的面积． 本题考查了正余弦定理的应用和计算．属于基础题． 22.【答案】解：(Ⅰ)∵T n −2b n +3=0，∴当n =1时，b 1=3，当n ≥2时，S n−1−2b n−1+3=0，两式相减，得b n =2b n−1，(n ≥2)∴数列{b n }为等比数列，∴b n =3⋅2n−1.(Ⅱ)c n ={n −1, n 为奇数3⋅2n−1 , n 为偶数. 令a n =n −1，故P 2n+1=(a 1+a 3+⋯+a 2n+1)+(b 2+b 4+⋯+b 2n )=(0+2n)⋅(n+1)2+6(1−4n )1−4，=22n+1+n 2+n −2．【解析】(Ⅰ)当n ≥2时，S n−1−2b n−1+3=0，两式相减，得数列{b n }为等比数列，即可求数列{b n }的通项公式；(Ⅱ)确定数列{c n }的通项，利用分组求和的方法求数列{c n }的前2n +1项和P 2n+1． 本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，确定数列{b n }为等比数列是解题的关键．。
重庆市鲁能巴蜀中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题(解析版)
高2026届高一（下）半期考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.梯形的直观图是（）A.梯形 B.矩形C.三角形D.任意四边形【答案】A 【解析】【分析】根据斜二测画法判断即可.【详解】直观图的画法不改变平行关系，也不改变平行于横向的线段长度，故梯形的直观图仍是梯形.故选：A2.已知复数23i i i 1iz ++=+，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（）A.0B.12C.1D.2【答案】B 【解析】【分析】利用复数的除法可求z ，进而可求z z ⋅.【详解】∵()()23i i i 11i 11i 1i 1i 1i 1i 22z ++--+====-++++-，所以1111111i i =2222442z z ⎛⎫⎛⎫⋅=---++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B ．3.在ABC 中，,,a b c 是角,,A B C 分别所对的边，260,B b ac ∠=︒=，则ABC 一定是（）A.底边和腰不相等的等腰三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等边三角形【答案】D 【解析】【分析】利用余弦定理可得a c =，结合=60B ∠︒可得答案.【详解】因为260,B b ac ∠=︒=，所以，由余弦定理有2222cos60b a c ac ac =+-︒=，整理得()20a c -=，即a c =，ABC 为等腰三角形，又=60B ∠︒，所以ABC 为等边三角形.故选：D4.已知m ，n 为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若//m α，//n α，则//m nB.若αβ⊥，γβ⊥，且m αγ= ，则m β⊥C.若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β，则//αβD.若m α⊥，//n β，αβ⊥，则m n ⊥【答案】B 【解析】【分析】利用空间线面、面面平行与垂直的判定定理分别去判断各个选项，即可判断出正误.【详解】解：对于选项A ，若//m α，//n α，则m 与n 可以平行，相交，或为异面直线，因此不正确；对于选项B ，若αβ⊥，γβ⊥且m αγ= ，则m β⊥，因此正确；对于选项C ，若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β，则α与β不一定平行，因此不正确；对于选项D ，若m α⊥，//n β，αβ⊥，则m 与n 不一定垂直，因此不正确.综上，正确的命题是B.故选：B.【点睛】本题考查空间中直线、平面之间位置关系有关命题的判断，注意空间中线线、线面、面面的位置关系的合理运用，考查学生的空间想象能力和对定理的掌握程度.5.在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1BB =，1AC 与平面ABCD 所成的角为45 ，则直线1CD 与1BC 所成角的余弦值为（） A.13B.23C.22D.63【答案】B 【解析】【分析】连接AC ，1A B ，11A C ，由1CC ⊥平面ABCD ，可推出145CAC ∠=，易证11//CD A B ，故11A BC ∠或其补角即为所求，在11A BC V 中，由余弦定理求11cos A BC ∠的值即可求解.【详解】连接AC ，1A B ，11A C ，∵1CC ⊥平面ABCD ，∴1CAC ∠即为1AC 与平面ABCD 所成的角，即145CAC ∠=，∵1CC AC ⊥，∴1ACC △为等腰直角三角形，∴11AC CC BB ===∵2AB =，∴2BC =，由长方体的性质知：11//A D BC ，1=A D BC ，∴四边形11A BCD 为平行四边形，∴11//CD A B ，∴11A BC ∠或其补角是直线1CD 与1BC 所成的角，由勾股定理知，11A B C B ==，在11A BC V中，由余弦定理知，222111111112cos 23A B BC A C A BC A B BC +-∠==⋅，∴直线1CD 与1BC 所成角的余弦值为23，故选：B .6.折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形AOB ，其中∠AOB ＝120°，OA ＝2OC ＝2，点E 在弧CD 上，则EA EB ⋅的最小值是（）A.－1B.1C.－3D.3【答案】C 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法表示EA EB ⋅，结合三角函数的知识求得正确答案.【详解】以O 为原点，OB为x 轴的正方形建立平面直角坐标系，则((),2,0A B -，设()cos ,sin ,0120E θθθ︒≤≤︒，EA EB ⋅()()1cos sin 2cos ,sin θθθθ=--⋅--()())1cos 2cos sin sin θθθθ=--⋅--⋅()cos 12sin 301θθθ=--=-+︒-，所以当60θ=︒时，EA EB ⋅取得最小值213--=-.故选：C7.在ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若8,sin 2sin cos 0ac B C A =+=，则ABC 面积的最大值为()A.1B.3C.2D.4【答案】C 【解析】【分析】根据sin 2sin cos 0B C A +=利用三角恒等变换和正余弦定理得到2222b a c =-，再根据余弦定理和基本不等式可得cos B 的范围，由此得B 的范围，从而得到sin B 的最大值，从而根据1sin 2ABC S ac B = 可求△ABC 面积的最大值．【详解】sin 2sin cos 0B C A += ，()sin 2sin cos 0A C C A ∴++=，即sin cos cos sin 2sin cos 0A C A C C A ++=，即sin cos 3cos sin 0A C A C +=，则2222223022b a c b c a a c ab bc+-+-⋅+⨯⨯=，整理得2222b a c =-，∴22222222232cos 22442a c a c a cb ac B ac ac ac ac -+-+-+====，当且仅当2=32⇔==83时取等号，π10sin 62B B ⎛⎤∴∈∴ ⎥⎝⎦，， ，则111sin 82222ABC S ac B =⨯⨯= ．故选：C ．8.母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角ϕ等于（）A.22π3 B.23π3C.D.26π3【答案】D 【解析】【分析】利用母线长得到底面半径与高的关系，利用圆锥的体积公式将体积表示成底面半径的函数，将函数凑成乘积为定值的形式，利用基本不等式求函数的最值．【详解】解：设圆锥底面半径为r ，高为h ，则圆锥体积21π3V r h =⋅又221r h h +=∴= ∴圆锥体积212ππ33V r =222112233r r r ++-= ，当且仅当2212r r =-时，即当3r =时圆锥体积V 取得最大值∴侧面展开图圆心角2π2πr ϕ==故选：D ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数1z ，2z 是方程210x x ++=的两根，则（）A.121z z +=B.121z z ==C .212z z = D.111R z z +∈【答案】BD 【解析】【分析】解方程可得1z 与2z ，进而判断各选项.【详解】由210x x ++=，得11i 22z =-+，21i 22z =--，故121z z +=-，A选项错误；11z ==，21z =，B 选项正确；22121313313i 2242422z z ⎛⎫=-+=--=--= ⎪ ⎪⎝⎭，C 选项错误；11113i 122z z +=+=-，D 选项正确.故选：BD.10.如图所示，在ABC 中，D 、E 是BC 边上两点，连接AD 、AE ，若4ACB ADC π∠=∠=，ABC 、ABD △、ABE 的外接圆直径分别为d 、e 、f ，则下列不等式成立的是（）A.d e =B.d e <C.f e <D.d f<【答案】AC 【解析】【分析】利用正弦定理求解.【详解】解；∵4ACB ADC π∠=∠=，∴AD AC =，∴AD AC AE =>，又∵sin AC d B =，sin AD e B =，sin AEf B=，所以d e f =>，故选：AC.11.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F，且2EF =，则下列结论中正确的有（）A.当E 点运动时，1A C AE ⊥总成立B.当E 向1D 运动时，二面角A EF B --逐渐变小C.二面角E AB C --的最小值为45°D.EF 在CB 方向上的投影向量为12CB【答案】ACD 【解析】【分析】通过证明1A C ⊥平面11AB D ，即可由线面垂直证明线线垂直，即可判断A ，根据几何特点，即可直接判断B ，建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角夹角的余弦值，根据其范围，即可判断C ，利用向量的投影向量计算即可得解，即可判断D.【详解】对A ：因为11111111111,,B D A C B D A A A C A A A ⊥⊥⋂=，111,A C A A ⊂面11A C CA ，所以11B D ⊥面11A C CA ，因为1AC ⊂面11A C CA ，所以111B D AC ⊥，同理可证11AD AC ⊥，因为1111AD B D D ⋂=，111,AD B D ⊂面11AB D ，所以1A C ⊥平面11AB D ，因为AE ⊂平面11AB D ，所以1A C AE ⊥总成立，故选项A 正确；对B ：平面EFB 即平面11BDD B ，而平面EFA 即平面11AB D ，所以当E 向1D 运动时，二面角A EF B --大小不变，选项B 不正确；对C则1(1,1,0),(0,1,0),(0,0,0),(1,0,0),(1,0,1)A B C D D ，因为E ，F 在11B D 上，且EF =131(,1,1),,,1,1222E t tF t t t ⎛⎫---≤≤ ⎪⎝⎭(1,,1)AE t t =-- ，设平面ABE 的法向量为(,,)m x y z =，又(1,0,0)AB =-，所以()()010x t x t y z -=⎧⎨-+-+=⎩，取1y =，则(0,1,)m t =，平面ABC 的法向量为(0,0,1)n =，所以cos ,m n 〈〉= 设二面角E AB C --的平面角为θ，则θ为锐角，故cos θ==，当112t ≤≤，≤≤所以cos 52θ≤≤，当且仅当1t =时cos θ取最大值2，即θ取最小值45︒，故C 正确；对D ：因为22EF =，11D B =，所以1112D EF B = ，故EF 在CB方向上的投影向量为211221111cos 45221221CB CB EF CB CB CB CB CB CB CB CB CB CBD B DB ⋅⋅⨯⋅⋅=⋅==⋅=⨯︒ ，故选项D 正确．故选：ACD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若一平面截一球得到半径为的圆面，球心到这个圆面的距离是球半径的三分之一，则该球的体积等于____________.【答案】【解析】【分析】根据球的半径、截面圆的半径、球心到截面距离满足勾股定理求出半径，然后可得体积.【详解】记球的半径为R ，则由球的性质可知，(2223R R ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得2R =，所以该球的体积334436ππ332V R ⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：.13.在复平面内，已知复数z 满足i 1z -=（i 为虚数单位），记02i z =-对应的点为点0Z ，z 对应的点为点Z ，则点0Z 与点Z 之间距离的最小值______________.【答案】1-【解析】【分析】根据题意可得点Z 的轨迹方程是为(0,1)为圆心，1为半径的圆，则将问题转化为0Z 与圆上的点的最小值，从而可求得结果.【详解】设i(,R)z a b a b =+∈，则由i 1z -=，得(1)i 1a b +-=，所以22)1(1+-=a b ，所以z 对应的点为点Z 的轨迹方程为22(1)1y x +-=，即为(0,1)为圆心，1为半径的圆，因为02i z =-对应的点为点0(2,1)Z -，所以点0Z 与点Z 之间距离的最小值为11-=-.故答案为：1-14.已知等腰直角ABC 的斜边AB 长为2，其所在平面上两动点O P 、满足()123131231,0OP OA OB OC λλλλλλλλλ=++++=≥ 、、，若OP = ，则·OAOB的最大值为_______________.【答案】3+3【解析】【分析】将已知化为12CP CA CB λλ=+，可判断点P 在ABC 内部及其边界上，记点D 为AB 的中点，将·OAOB 转化为21OD - ，结合图形求OD 的最大值即可得解.【详解】因为1231λλλ++=，所以()12121OP OA OB OC λλλλ=++-- ，整理得()()12OP OC OA OC OB OC λλ-=-+- ，即12CP CA CB λλ=+ ，因为1231231,,,0λλλλλλ++=≥，所以1201λλ≤+≤，所以，点P 在ABC 内部及其边界上，记点D 为AB 的中点，易知，当点P 与,,A B C 重合时，DP 取得最大值1，则()()()()22·OAOB OD DA OD DB OD DA OD DA OD DA =+⋅+=+⋅-=- ，又112DA AB ==，所以2·1OAOB OD =- ，所以当点O 到点D 距离最大时，·OAOB 取得最大值，因为3OP = ，所以点O 在以P 为圆心，3为半径的圆上，所以当点P 与点,,A B C 重合，且,,O C D 或,,D B O 或,,D A O 三点共线时，OD 取得最大值313CD +=+，所以·OAOB 的最大值为()2131323+-=+故答案为：323+【点睛】关键点睛：本题解答关键在于对已知条件得转化，根据平面向量基本定理判断点P 位置，然后作出图形，结合3OP = OD 的最大距离即可得解.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC 中，角、、A B C 所对的边为a b c 、、，已知()cos sin b A A c -=.（1）求B ；（2）若2b =，82sin sin 15A C +=，求ABC 的周长.【答案】（1）3π4（2）6215【解析】【分析】（1）由正弦定理及两角和差正弦公式计算求出正切值求角即可；（2）由正弦定理结合和比定理求出a c +进而得出周长即可.【小问1详解】因为()cos sin b A A c -=，由正弦定理可得()sin cos sin sin B A A C -=，在ABC 中，()()sin cos sin sin sin cos cos sin B A A A B B A B A -=+=+，sin sin cos sin ,sin 0A B B A A -=>，()sin cos ,tan 1,0,πB B B B -=∴=-∈，3π4B ∴=.【小问2详解】3π,24B b == ，,,sin sin sin sin sin sin b a c b a c B A C B A C +∴==∴=+3215282215a c =∴+=，所以ABC ∆的周长为326221515a c b ++=+=.16.在长方体1111ABCD A B C D -中，122AB AA AD ===，M 是CD 的中点.（1）证明：1//B D 平面1BC M ；（2）求异面直线1B D 与1MC 所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）连接1B C 交1BC 相交于E 点，利用线面平行的判定定理证明即可；（2）取11C D 的中点F ，可得四边形1FC MD 为平行四边形，得1//C M FD ，1FDB ∠或其补角即为即为所求，在1DB F 中利用余弦定理可得答案.【小问1详解】连接1B C 交1BC 相交于E 点，则E 点为1BC 的中点，连接EM ，所以1//EM B D ，因为EM ⊂平面1BC M ，1B D ⊄平面1BC M ，所以1//B D 平面1BC M ；【小问2详解】取11C D 的中点F ，连接1、DF B F ，所以1=FC DM ，1//FC DM ，所以四边形1FC MD 为平行四边形，可得1//C M FD ，所以直线1B D 与FD 所成角1FDB ∠或其补角即为异面直线1B D 与1MC所成角，=DF，1=B F13DB ==，在1DB F中由余弦定理得222111125cos 25+-∠===⨯DF DB B F FDB DF DB ，所以异面直线1B D 与1MC 所成角的余弦值为255.17.已知在ABC 中，3cos 5BAC ∠=，D 在线段BC 上，且2AD =.（1）若D 是BC 的中点，求ABC 面积的最大值；（2）若π4BAD ∠=，求ABC 面积的最小值.【答案】（1）2（2）1【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的关系求出sin BAC ∠，由D 是BC 的中点，得1()2AD AB AC =+ ，两边平方化简后结合基本不等式可求得5bc ≤，再利用三角形的面积公式可求得其最大值；（2）利用两角差的正弦公式表示出sin CAD ∠，由ABC ADC ABD S S S =+△△△结合基本不等式可求得52bc ≥，再利用三角形的面积公式可求得其最小值.【小问1详解】因为3cos 5BAC ∠=，()0,πBAC ∠∈，所以4sin 5BAC ∠==，因为D 是BC 的中点，所以1()2AD AB AC =+ ，所以2221(2)4AD AB AB AC AC =+⋅+ ，所以2231625c bc b =+⨯+，所以226616162555bc b c bc bc bc =++≥++=，当且仅当b c =时取等号，所以5bc ≤，当且仅当b c =时取等号，所以ABC 面积为1142sin 522255bc BAC bc ∠=⨯≤⨯=，当且仅当b c =时取等号，所以ABC 面积的最大值为2；【小问2详解】由（1）知4sin 5BAC ∠=，3cos 5BAC ∠=，πsin sin()sin(4CAD CAB DAB CAB ∠=∠-∠=∠-ππsin cos cos sin 44CAB CAB =∠-∠42322525210=⨯-⨯=，因为ABC ADC ABD S S S =+△△△，所以111sin sin sin 222bc BAC b AD CAD c AD DAB ∠=⋅∠+⋅∠，所以2225102bc b c =+，所以2225102bc b c =+≥=，当且仅当102b c =，即5b c =时取等号，所以15bc ≥，所以52bc ≥，当且仅当5b c =时取等号，所以1225sin 12552ABC S bc BAC bc =∠=≥⨯= ，当且仅当5b c =时取等号，所以ABC 面积的最小值为1.18.已知四棱锥P ABCD -ABCD 是直角梯形，//AB CD ，090BAD ∠=，且PO ⊥平面ABCD ，垂足O 在线段AD （不含端点）上，点E 在棱PD 上，OPD EAD ∠=∠，平面ABE 与棱PC 交于点F .（1）证明：BF PD ⊥；（2）若2AE AB PE ===，3EF =；①求四棱锥P ABFE -的体积；②求二面角B PC D --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）①103；②1414【解析】【分析】（1）先证PD ⊥平面ABFE ，根据线面垂直证线线垂直.（2）利用锥体的体积公式求四棱锥体积；构造PBF △在平面PCD 内的射影三角形，利用三角形面积的关系求二面角的余弦.【小问1详解】因为PO ⊥平面ABCD ，,AD CD ⊂平面ABCD ，所以PO AD ⊥，PO CD ⊥，又因为四边形ABCD 是直角梯形，且//AB CD ，90BAD ∠=︒，所以CD AD ⊥，AD ，PO ⊂平面PAD ，且AD PO O = ，所以CD ⊥平面PAD .因为//AB CD ，AB ⊂平面ABFE ，CD ⊄平面ABFE ，所以//CD 平面ABFE .而CD ⊂平面PCD ，平面PCD 平面ABFE EF =，所以//CD EF .所以EF ⊥平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以EF PD ⊥.又PO AD ⊥，所以90OPD ODP ∠+∠=︒,因为OPD EAD ∠=∠，所以90EAD ODP ∠+∠=︒，所以90AED ∠=︒，即AE PD ⊥,EF ，AE ⊂平面ABFE ，且EF AE E = ，所以PD ⊥平面ABFE ，因为BF ⊂平面ABFE ，所以BFPD ⊥.【小问2详解】①由（1）知：四边形ABFE 是直角梯形，且2AB AE ==，3EF =所以()123252ABFE S =+⨯=梯形，又PD ⊥平面ABFE ，且2PE =，所以四棱锥P ABFE -的体积为：1105233V =⨯⨯=.②因为AE PD ⊥，AE CD ⊥，,PD CD ⊂平面PCD ，所以⊥AE 平面PCD .AE ⊂平面ABFE ，所以平面ABFE ⊥平面PCD .如图：作BM EF ⊥于M ，则BM ⊥平面PCD ，连接MP设二面角B PC D --为θ，则cos θPBF PMF S S ⋅= ，且1112122PMF S MF PE =⋅⋅=⨯⨯=，PM =，在PBF △中，PB ==,PF ==BF ==,由余弦定理，222cos 2BP BF FP PBF BP BF +-∠=⋅⋅1515==,所以sin PBF ∠=所以1sin 2PBF S BP BF PBF =⋅⋅⋅∠=.所以14cosθ14PMF PBF S S === .19.离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P 为多面体Γ的一个顶点，定义多面体Γ在点P 处的离散曲率为()122311112πP k k k Q PQ Q PQ Q PQ Q PQ -∅=-∠+∠++∠+∠ ，其中()1,2,,,3i Q i k k =≥ 为多面体Γ的所有与点P 相邻的顶点，且平面12Q PQ ，平面23Q PQ ，…，平面1k k Q PQ -和平面1k Q PQ 为多面体Γ的所有以P 为公共点的面.（1）求四棱锥S ABCD -在各个顶点处的离散曲率的和；（2）如图，现已知四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形，且2AC =，顶点S 在底面的射影O 为AC 的中点.①若OS =，求该四棱锥在S 处的离散曲率S ∅；②若该四棱锥在S 处的离散曲率13=，求直线OS 与平面SAB 所成角的正弦值.【答案】（1）2（2）①12；②1323-【解析】【分析】（1）根据离散曲率的定义，直接计算，即可得答案；（2）①求出,SA SB 的值，利用余弦定理求出顶点S 处的侧面的顶角大小，即可求得答案；②根据四棱锥在S 处的离散曲率13S ∅=，求出棱锥的高，再根据线面角的定义，即可求解答案.【小问1详解】由题意可知四棱锥S ABCD -在各个顶点处的角的和ASB BSC CSD SDA ∠+∠+∠++∠ ，即等于四个侧面上的三角形和底面四边形的内角和，即4π2π6π+=，故四棱锥S ABCD -在各个顶点处的离散曲率的和为：156π22π-⨯=；【小问2详解】①连接BD ，由于底面ABCD 是边长为2的菱形，故,BD AC 交于点O ，2AC =，则ABC为正三角形，则OB =,SO ⊥底面ABCD ，,OA OB ⊂底面ABCD ，故SO OA ⊥，SO OB ⊥，则SA ==，SB ==，则222cos 2SA SB AB ASB SA SB +-∠==⋅2==，由于ASB ∠为三角形内角，故π4ASB ∠=；同理求得π4BSC CSD DSA ∠=∠=∠=，故该四棱锥在S 处的离散曲率1π1142π42S ∅=-⨯⨯=；②由题意可知四棱锥S ABCD -的是个侧面三角形全等，即得ASB BSC CSD DSA ∠=∠=∠=∠，四棱锥在S 处的离散曲率13S ∅=，则11π1432π3ASB,ASB =-⨯⨯∠∴∠=，设SO h =，则SA ==，而2AB =，故22221cos 22SA SB AB ASB SA SB +-∠==⋅，解得h=作CE AB ⊥于E ，则E 为AB 中点，结合题意知ABC为正三角形，故CE =，作OF AB ⊥于F ，则OF CE ∥，且1322OF CE ==，则SF ==连接SF ，由于SO ⊥底面ABCD ，AB ⊂底面ABCD ，故SO AB ⊥，OF SF F ,OF ,SF =⊂ 平面SOF ，故AB ⊥平面SOF ，AB ⊂平面SAB ，故平面SAB ⊥平面SOF ，平面SAB 平面SOF SF =，作OG SF ⊥于G ，则OG ⊥平面SAB ，则OSG ∠即OSF ∠为直线OS 与平面SAB 所成角，则31322sin 3OF OSF SF -∠===.【点睛】关键点睛：本题考查空间几何的新定义问题，解答的关键是要理解新定义，并能根据新定义的含义去解决问题；解答第二问时，要能根据四棱锥在S 处的离散曲率13S ∅=，求出棱锥的高，进而根据线面角定义解决问题.。
人教版高一下学期期中考试数学试卷及答案解析(共五套)
人教版高一下学期期中考试数学试卷（一）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为312.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据共线向量的定义即可得结论．【解答】解：由题，点C是线段AB靠近点B的三等分点，＝3＝﹣3，所以选项A错误；＝2＝﹣2，所以选项B和选项C错误，选项D正确．故选：D．【知识点】平行向量（共线）、向量数乘和线性运算2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z（3+i）＝3+i2020，i2020＝（i2）1010＝（﹣1）1010＝1，∴z（3+i）＝4，∴z＝，∴＝，∴共轭复数的虚部为，故选：D．【知识点】复数的运算3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．【答案】C【分析】利用图形，求出数量积的向量，然后转化求解即可．【解答】解：由题意，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，可知＝+＝，＝﹣＝﹣2，所以•＝（）•（﹣2）＝﹣2﹣2＝1．故选：C．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i【答案】B【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及其复数的周期性即可得出．【解答】解：设S＝2i+3i2+4i3+ (2020i2019)∴iS＝2i2+3i3+ (2020i2020)则（1﹣i）S＝i+i+i2+i3+……+i2019﹣2020i2020．＝＝i+＝＝﹣2021+i，∴S＝＝．故选：B．【知识点】复数的运算5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【答案】B【分析】易知∠ABA1即为所求，再由△ABA1为等腰直角三角形，得解．【解答】解：因为AB∥CD，所以∠ABA1即为异面直线A1B与CD所成的角，因为△ABA1为等腰直角三角形，所以∠ABA1＝45°．故选：B．【知识点】异面直线及其所成的角6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合两角和公式与三角形的内角和定理，可推出sin B＝2sin A；然后利用三角形的面积公式、正弦定理，即可得解．【解答】解：由正弦定理知，＝＝，∵（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），∴（sin A﹣2sin B）cos C＝sin C（2cos B﹣cos A），即sin A cos C+sin C cos A＝2（sin B cos C+cos B sin C），∴sin（A+C）＝2sin（B+C），即sin B＝2sin A．∵△ABC的面积为a2sin，∴S＝bc sin A＝a2sin，根据正弦定理得，sin B•sin C•sin A＝sin2A•sin，化简得，sin B•sin cos＝sin A•cos，∵∈（0，），∴cos＞0，∴sin＝＝，∴＝，即C＝．故选：C．【知识点】正弦定理、余弦定理7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°【答案】B【分析】连接AB1，求出∠ACB1可判断选项A；连接B1D1，找出点B1在平面AD1C上的投影O，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，由cosθ＝可判断选项B；利用平移法找出选项C和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．【解答】解：连接AB1，∵△AB1C为等边三角形，∴∠ACB1＝60°，即直线B1C与AC所成的角为60°，故选项A正确；连接B1D1，∵AB1＝B1C＝CD1＝AD1，∴四面体AB1CD1是正四面体，∴点B1在平面AD1C上的投影为△AD1C的中心，设为点O，连接B1O，OC，则OC＝BC，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，则cosθ＝＝＝≠，故选项B错误；连接BC1，∵AD1∥BC1，且B1C⊥BC1，∴直线B1C与AD1所成的角为90°，故选项C正确；∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，即直线B1C与AB所成的角为90°，故选项D正确．故选：B．【知识点】直线与平面所成的角、异面直线及其所成的角8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π【答案】A【分析】由题意可得AC⊥面EFBD，可得V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD，再由多面体ABCDEF 的体积为，可得矩形EFBD的高与正方形ABCD的边长之间的关系，再由题意可得矩形EFBD的对角线的交点为外接球的球心，进而求出外接球的半径，再由均值不等式可得外接球的半径的最小值，进而求出外接球的表面积的最小值．【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，矩形BDEF的高为b，因为正方形ABCD，所以AC⊥BD，设AC∩BD＝O'，由因为平面ABCD与平面EFBD互相垂直，AC⊂面ABCD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以AC⊥面EFBD，所以V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD＝2•S EFBD•CO'＝•a•b•a ＝a2b，由题意可得V ABCDEF＝，所以a2b＝2；所以a2＝，矩形EFBD的对角线的交点O，连接OO'，可得OO'⊥BD，而OO'⊂面EFBD，而平面ABCD⊥平面EFBD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以OO'⊥面EFBD，可得OA＝OB＝OE＝OF都为外接球的半径R，所以R2＝（）2+（a）2＝+＝+＝++≥3＝3×，当且仅当＝即b＝时等号成立．所以外接球的表面积为S＝4πR2≥4π•3×＝6π．所以外接球的表面积最小值为6π．故选：A．【知识点】球的体积和表面积二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．【答案】BC【分析】由已知利用余弦定理整理可得cos A＝，对于A，若A＝，可得b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得b＝＞0，对于C，若A＝，可得b＝＞0，对于D，若A＝，可得c＝0，错误，即可得解．【解答】解：因为在△ABC中，a2＝b2+bc，又由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以b2+bc＝b2+c2﹣2bc cos A，整理可得：c＝b（1+2cos A），可得：cos A＝，对于A，若A＝，可得：﹣＝，整理可得：b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得：＝，整理可得：b＝＞0，对于C，若A＝，可得：cos＝＝，整理可得：b＝＞0，对于D，若A＝，可得：cos＝﹣＝，整理可得：c＝0，错误．故选：BC．【知识点】余弦定理10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】由向量的加减法法则、平面向量基本定理解决【解答】解：由，知A正确；由知B正确；由知C正确；由N为线段DC的中点知知D错误；故选：ABC．【知识点】向量数乘和线性运算、平面向量的基本定理11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为3【答案】BD【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可．【解答】解：当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；反例z1＝1，z2＝i，满足z12+z22＝0，所以C不正确；复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的几何意义，是复数的对应点到（0，﹣2）的距离，它的最大值为3，所以D正确；故选：BD．【知识点】复数的模、复数的运算、虚数单位i、复数、命题的真假判断与应用12.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°【答案】ABD【分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，建立合适的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，根据空间向量的坐标运算，以及异面直线所成角的向量求法，逐项判断即可．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），C （2，2，0），D（0，2，0），D1（0，2，2），所以，故，故选项A正确；又，又，所以，，则，故选项B正确；，所以，因此与的夹角为120°，故选项C错误；因为E，F分别是BC，A1C的中点，所以E（2，1，0），F（1，1，1），则，所以，又异面直线的夹角大于0°小于等于90°，所以异面直线EF与DD1所成的角为45°，故选项D正确；故选：ABD．【知识点】异面直线及其所成的角三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．【分析】根据向量的几何意义可得P为BC的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出．【解答】解：由＝（+），可得P为BC的中点，则|CP|＝1，∴|PD|＝＝，∴•＝•（+）＝﹣•（+）＝﹣2﹣•＝﹣1，故答案为：，﹣1．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．【答案】1【分析】设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R），根据两个复数相等的充要条件求出z1，z2，再由根与系数的关系求得p，q的值．【解答】解：由题意可知z1与z2为共轭复数，设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R 且b≠0），又，则a2﹣b2+2abi＝a﹣bi，∴（2a+b）+（a+2b）i＝1﹣i，∴，解得．∴z1＝+i，z2＝i，（或z2＝+i，z1＝i）．由根与系数的关系，得p＝﹣（z1+z2）＝1，q＝z1•z2＝1，∴pq＝1．故答案为：1．【知识点】复数的运算15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．【分析】由题意画出图形，找出三棱锥外接球的位置，求解三角形可得外接球的半径，再由棱锥体积公式求解．【解答】解：记BD的中点为M，连接A′M，CM，可得A′M2+CM2＝A′C2，则∠A′MC＝90°，则外接球的球心O在△A′MC的边A′C的中垂线上，且过正三角形BCD的中点F，且在与平面BCD垂直的直线m上，过点A′作A′E⊥m于点E，如图所示，设外接球的半径为R，则A′O＝OC＝R，，A′E＝1，在Rt△A′EO中，A′O2＝A′E2+OE2，解得R＝．故三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．故答案为：．【知识点】球的体积和表面积16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a的最大值．【解答】解：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P，球的半径为r，下底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图：则OA＝OB＝，因为SO＝，故可得：SA＝SB＝＝3，所以：三角形SAB为等边三角形，故P是△SAB的中心，连接BP，则BP平分∠SBA，所以∠PBO＝30°；所以tan30°＝，即r＝R＝×＝，即四面体的外接球的半径为r＝．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a时，截得它的正方体的棱长为a，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以2r＝AA1＝a＝a，所以a＝．即a的最大值为．故答案为：．【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．【分析】（1）直接利用余弦定理的应用求出结果；（2）利用余弦定理的应用建立等量关系式，进一步求出结果．【解答】解：（1）在四边形ABCD中，AD＝BD＝CD＝1．若AB＝，所以：cos∠ADB＝＝，由于AB∥CD，所以∠BDC＝∠ABD，即cos∠BDC＝cos∠ABD＝，所以BC2＝BD2+CD2﹣2•BD•CD•cos∠BDC＝＝，所以BC＝．（2）设BC＝x，则AB＝2BC＝2x，由余弦定理得：cos∠ADB＝＝，cos∠BDC＝＝＝，故，解得或﹣（负值舍去）．所以．【知识点】余弦定理18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．【分析】（1）把z1，z2代入=+，利用复数代数形式的乘除运算化简求出，进一步求出z；（2）设z=a+bi（a，b∈R），利用复数的运算及（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，可得，又ω==i，|ω|=5，可得，即可得出a，b，再代入可得ω．【解答】解：（1）由z1=1﹣2i，z2=3+4i，得=+==，则z=；（2）设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．又ω===i，|ω|=5，∴．把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．∴ω=±（i）=±（7﹣i）．【知识点】复数的运算19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围．【解答】解：（1）如图，作CD⊥AF于D，则CD＝EF，设∠ACD＝α，∠BCD＝β，CD＝x，则θ＝α﹣β，在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα＝，tanβ＝，则tanθ＝tan（α﹣β）＝＝（x＞0），令u＝，则ux2﹣2x+1.25u＝0，∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，即4﹣4×1.25u2≥0，∴u≤，即（tanθ）max＝，∵正切函数y＝tan x在（0，）上是增函数，∴视角θ同时取得最大值，此时，x＝＝，∴观察者离墙米远时，视角θ最大；（2）由（1）可知，tanθ＝＝＝，即x2﹣4x+4＝﹣a2+6a﹣4，∴（x﹣2）2＝﹣（a﹣3）2+5，∵1≤a≤2，∴1≤（x﹣2）2≤4，化简得：0≤x≤1或3≤x≤4，又∵x＞1，∴3≤x≤4．【知识点】解三角形20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．【分析】（I）利用复数的几何意义、向量的坐标运算性质、平行四边形的性质即可得出．（II）利用向量垂直与数量积的关系、模的计算公式、矩形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）依题点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，得A（﹣1，0），＝（2，2），可得B（1，2）．又对应的复数为4﹣4i，得＝（4，﹣4），可得C（5，﹣2）．设D点对应的复数为x+yi，x，y∈R．得＝（x﹣5，y+2），＝（﹣2，﹣2）．∵ABCD为平行四边形，∴＝，解得x＝3，y＝﹣4，故D点对应的复数为3﹣4i．（Ⅱ）＝（2，2），＝（4，﹣4），可得：＝0，∴．又||＝2，＝4．故平行四边形ABCD的面积＝＝16．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．【分析】（1）推导出GC⊥BC，EC⊥BC，从而∠ECG＝60°．连接DG，推导出DG⊥EF，由BC⊥EF，BC⊥CG，得BC⊥平面DEG，从而DG⊥BC，进而DG⊥平面ABCE，DG是四棱锥G ﹣ABCE的高，由此能求出四棱锥G﹣ABCE的体积．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．由此能求出异面直线AE与BG所成角的大小．【解答】解：（1）由已知，有GC⊥BC，EC⊥BC，所以∠ECG＝60°．连接DG，由CD＝AB＝1，CG＝CF＝2，∠ECG＝60°，有DG⊥EF①，由BC⊥EF，BC⊥CG，有BC⊥平面DEG，所以，DG⊥BC②，由①②知，DG⊥平面ABCE，所以DG就是四棱锥G﹣ABCE的高，在Rt△CDG中，．故四棱锥G﹣ABCE的体积为：．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，故∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．在△BGH中，，，则．故异面直线AE与BG所成角的大小为．【知识点】异面直线及其所成的角、棱柱、棱锥、棱台的体积22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【分析】（1）点F为BC的中点，设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，取AC 的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，得DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，从而OF∥平面EAC，平面DOF∥平面EAC，由此能证明DF∥平面EAC．（2）连接OH，由OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【解答】解：（1）点F为BC的中点，理由如下：设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，∵AD＝CD，∴OA＝OC，∴在Rt△ABC中，O为AB的中点，取AC的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，又平面EAC⊥平面ABC，平面EAC∩平面ABC＝AC，∴EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，∴DO∥EH，∴DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，又OF⊄平面EAC，AC⊂平面EAC，∴OF∥平面EAC，∵DO∩OF＝O，∴平面DOF∥平面EAC，∵DF⊂平面DOF，∴DF∥平面EAC．（2）连接OH，由（1）可知OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则B（1，﹣1，0），A（﹣1，1，0），E（0，1，﹣），C（1，1，0），∴＝（2，﹣2，0），＝（0，2，0），＝（﹣1，2，﹣），设平面EBC的法向量＝（a，b，c），则，取a＝，则＝（，0，﹣1），设直线与平面EBC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线AB与平面EBC所成角的余弦值为cosθ＝＝．【知识点】直线与平面平行、直线与平面所成的角人教版高一下学期期中考试数学试卷（二）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．14.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．25.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．96.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R27.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π8.已知半球O与圆台OO'有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.下列有关向量命题，不正确的是（）A．若||＝||，则＝B．已知≠，且•＝•，则＝C．若＝，＝，则＝D．若＝，则||＝||且∥10.若复数z满足，则（）A．z＝﹣1+i B．z的实部为1 C．＝1+i D．z2＝2i11.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE＝G，则（）A．B．C．D．12.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为2，E为线段B1C上的动点，O为AC的中点，P 为棱CC1上的动点，Q为棱AA1的中点，则以下选项中正确的有（）A．AE⊥B1CB．直线B1D⊥平面A1BC1C．异面直线AD1与OC1所成角为D．若直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，则m∥平面B1D1Q三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知向量＝（m，1），＝（m﹣6，m﹣4），若∥，则m的值为．14.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积S＝．15.如图，已知有两个以O为圆心的同心圆，小圆的半径为1，大圆的半径为2，点A 为小圆上的动点，点P，Q是大圆上的两个动点，且•＝1，则||的最大值是．16.如图，在三棱锥A﹣BCD的平面展开图中，已知四边形BCED为菱形，BC＝1，BF＝，若二面角A﹣CD﹣B的余弦值为﹣，M为BD的中点，则CD＝，直线AD与直线CM所成角的余弦值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，．（1）若与同向，求；（2）若与的夹角为120°，求．18.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a＝4，b＝6，cos A＝﹣．（1）求c；（2）求cos2B的值．19.已知：复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1（1﹣i）＝z2（1+i）（i为虚数单位），|z1|＝．（Ⅰ）求z1的值；（Ⅱ）若z1的虚部大于零，且（m，n∈R），求m，n的值．20.（Ⅰ）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i＝（i为虚数单位）（Ⅱ）设z是虚数，ω＝z+是实数，且﹣1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设，求证：μ为纯虚数；（3）在（2）的条件下求ω﹣μ2的最小值．21.如图，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AC＝1，，A1A＝4，点M为线段A1A 的中点．（1）求直三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积；（2）求异面直线BM与B1C1所成的角的大小．（结果用反三角表示）22.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点G在棱D1C1上，且D1G＝D1C1，点E、F、M分别是棱AA1、AB、BC的中点，P为线段B1D上一点，AB＝4．（Ⅰ）若平面EFP交平面DCC1D1于直线l，求证：l∥A1B；（Ⅱ）若直线B1D⊥平面EFP．（i）求三棱锥B1﹣EFP的表面积；（ii）试作出平面EGM与正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面EGM与棱A1D1交于点Q，求三棱锥Q﹣EFP的体积．答案解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】直接利用复数的运算和几何意义的应用求出该点所表示的位置．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），所以（2﹣i）（a+bi）＝2a+b+（2b﹣a）i，由于对应的点在虚轴的正半轴上，所以，即，所以a＜0，b＞0．故该点在第二象限．故选：B．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用平行四边形的性质以及向量相等的概念，再利用平面向量基本定理进行转化即可．【解答】解：因为ABCD为平行四边形，所以，故．故选：D．【知识点】平面向量的基本定理3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．1【答案】B【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t的值．【解答】解：向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），所以+＝（6t+3，11），﹣＝（4t+2，5）．又（+）∥（﹣），所以5（6t+3）﹣11（4t+2）＝0，解得t＝﹣．故选：B．【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示4.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．2【答案】D【分析】先根据M，N满足的条件，将（+）•＝0化成的表达式，从而判断出矩形ABCD为正方形；再将+＝x+y，左边用表示出来，结合x+y ＝3，即可得NC+MC＝4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值．【解答】解：当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝＝＝，所以AD＝AB，则矩形ABCD为正方形，设，，则＝．则x＝2﹣λ，y＝2﹣μ．又x+y＝3，所以λ+μ＝1．故NC+MC＝4，则MN＝＝（当且仅当MC＝NC＝2时取等号）．故线段MN的最短长度为2．故选：D．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算5.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】B【分析】由题意画出图形，再由复数模的几何意义，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+4i|≤2，得z在复平面内对应的点在以Q（﹣3，﹣4）为圆心，以2为半径的圆及其内部．如图：|z﹣1﹣i|的几何意义为区域内的动点与定点P得距离，则M＝|PQ|+2，m＝|PQ|﹣2，则M﹣m＝4．故选：B．【知识点】复数的运算6.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R2【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为r，求得圆锥的高，由球的截面性质，运用勾股定理可得r，由圆锥的表面积公式可得所求．【解答】解：如图，设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高为r，则R2＝r2+（r﹣R）2，解得r＝R，则圆锥的表面积为S＝πr2+πr•2r＝3πr2＝3π（R）2＝πR2，故选：B．【知识点】球内接多面体、旋转体（圆柱、圆锥、圆台）7.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π【答案】A【分析】先根据题意求得正四面体的体积，进而得到六面体的体积，再由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，设丸子的半径为R，则，由此求得R，进而得到答案．【解答】解：由题意可得每个三角形面积为，由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可得该四面体的高为，故四面体的体积为，∵该六面体的体积是正四面体的2倍，。
2020-2021学年重庆市渝东八校高一(下)期中数学试卷(解析版)
2020-2021学年重庆市渝东八校高一（下）期中数学试卷一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．若复数z＝，则z＝（）A．1﹣2i B．1+2i C．1D．﹣12．已知向量＝（1，k），＝（k，2），若∥，求k的值（）A．B．C．或D．1或﹣13．在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a、b、c，b＝3，c＝3，∠B＝60°，则a边为（）A．B．C．9D．64．正方体的内切球与其外接球的体积之比为（）A．1：B．1：3C．1：3D．1：95．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若α∩β＝m，n∈α，n⊥m，则n⊥βB．若m⊥α，n⊥β，n⊥m，则α⊥βC．若m∥α，n∥α，则m∥nD．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n6．某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体（截面过棱的中点）得到的如果被截正方体的棱长是20cm，那么石凳的表面积是（）A．1200cm2B．C．D．7．已知△ABC的外接圆圆心为O，且，则向量在向量上的投影向量为（）A．B．C．D．8．已知△ABC中，B＝C﹣，sin A＝，BC＝，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．若复数z满足（1+i）z＝3﹣i，则（）A．z的实部为1B．z的虚部为﹣4C．＝1﹣2i D．10．在正三棱锥A﹣BCD中，底面△BCD是边长为6的正三角形，侧棱AB＝4，且棱AB，BD，DC，CA的中点分别为E，F，G，H，则下列结论正确的有（）A．直线AD∥平面EFGHB．四边形EFGH是矩形C．直线AC与底面BCD所成的角为30°D．底面与侧面所成的角为60°11．在△ABC中，∠B＝30°，D是BC边上一点，DC＝4，AC＝6，cos C＝，下列正确的是（）A．AD＝5B．C．△ABC为锐角三角形D．∠BAD可能为钝角12．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（）A．若，则点M是△ABC的重心B．若，则点M在线段BC的延长线上C．若，且x+y＝1，则△MBC的面积是△ABC面积的D．已知平面向量，满足，则△ABC为等腰三角形三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知i为虚部单位，复数z＝i（1﹣2i），则||＝．14．在正方形ABCD中，AB＝4，E、F分别为BC，CD的中点，求＝．15．在△ABC中，若a cos A＝b cos B，且a2+b2＝ab+c2，则△ABC的形状为．16．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是36π，那么这个三棱柱的底面边长为，体积是．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知复数z1＝1+3i，z2＝2+2i．（1）求z1z2，及|；（2）在复平面上，复数z1、z2分别对应的点为A、B，求A、B两点间的距离．18．已知是同一平面内的三个向量，其中．（1）若，求；（2）若，且与垂直，求与的夹角θ．19．某养殖基地养殖了一群牛，围在四边形的护栏ABCD内（不考虑宽度），知∠B＝∠C ＝120°，AB＝BC＝3km，CD＝6km，现在计划以AD为一边种植一片三角形的草地△ADE，为这群牛提供粮草，∠E＝120°．（1）求AD间的护栏的长度，（2）求所种植草坪的最大面积．20．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，对角线AC交BD于K，对角线A1C交平面BDC1于O．在正方形DCC1D1内，以CD为直径的半圆弧上任意取一点M．求证：（1）OK∥平面AB1D1；（2）平面AMD⊥平面BMC．21．在①3c sin A＝4a cos C，②2b sin c sin B这两个条件中任选一个补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题．在△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，已知______（只需填序号），c＝3．（1）求sin C．（2）M为AC边上一点，MA＝MB，∠CBM＝，求△ABC的面积．22．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA1＝4，A1在底面ABC 的射影为BC的中点，M为B1C1的中点．（1）求该三棱柱的表面积；（2）求直线A1B1与平面BCC1B1所成角的正弦值．参考答案一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的）1．若复数z＝，则z＝（）A．1﹣2i B．1+2i C．1D．﹣1解：z＝＝．故选：A．2．已知向量＝（1，k），＝（k，2），若∥，求k的值（）A．B．C．或D．1或﹣1解：∵向量＝（1，k），＝（k，2），∥，∴2﹣k×k＝0，求得k＝±，故选：C．3．在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a、b、c，b＝3，c＝3，∠B＝60°，则a边为（）A．B．C．9D．6解：在△ABC中，由b＝3，c＝3，∠B＝60°，得b2＝a2+c2﹣2ac•cos B，即63＝a2+9﹣3a，∴a2﹣3a﹣54＝0，解得a＝﹣6（舍去），或a＝9．故选：C．4．正方体的内切球与其外接球的体积之比为（）A．1：B．1：3C．1：3D．1：9解：设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为，它的外接球的半径为，故所求的比为1：3，故选：C．5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若α∩β＝m，n∈α，n⊥m，则n⊥βB．若m⊥α，n⊥β，n⊥m，则α⊥βC．若m∥α，n∥α，则m∥nD．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n解：m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．A．若α∩β＝m，n∈α，n⊥m，则n与β不一定垂直，故A错误；B．若m⊥α，n⊥m，则n∥α或n⊂α，又n⊥β，则α⊥β，故B正确；C．若m∥α，n∥α，则m与n平行、相交或异面，故C错误；D．α∥β，m⊂α，n⊂β，则m与n平行或异面，故D错误．故选：B．6．某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体（截面过棱的中点）得到的如果被截正方体的棱长是20cm，那么石凳的表面积是（）A．1200cm2B．C．D．解：由题意可知，每个石凳有6个正方形表面，每个正方形的面积为cm2，有8个正三角形表面，每个正三角形的面积为cm2，所以石凳的表面积是＝．故选：B．7．已知△ABC的外接圆圆心为O，且，则向量在向量上的投影向量为（）A．B．C．D．解：因为△ABC的外接圆圆心为O，且，所以O为BC的中点，A为直角，∠B＝，则向量在向量上的投影为||cos＝＝||，所以向量在向量上的投影向量为．故选：A．8．已知△ABC中，B＝C﹣，sin A＝，BC＝，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．解：由B＝C﹣，得C﹣B＝，可得B为锐角，又sin A＝，∴sin（B+C）＝，则sin（2B+）＝，即cos2B＝，∴，解得cos B＝，则sin B＝．sin C＝sin（B+）＝cos B＝，由正弦定理，得b＝，c＝．∴＝．故选：C．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．若复数z满足（1+i）z＝3﹣i，则（）A．z的实部为1B．z的虚部为﹣4C．＝1﹣2i D．解：∵（1+i）z＝3﹣i，∴z＝＝＝＝1﹣2i，故AD正确，BC错误，故选：AD．10．在正三棱锥A﹣BCD中，底面△BCD是边长为6的正三角形，侧棱AB＝4，且棱AB，BD，DC，CA的中点分别为E，F，G，H，则下列结论正确的有（）A．直线AD∥平面EFGHB．四边形EFGH是矩形C．直线AC与底面BCD所成的角为30°D．底面与侧面所成的角为60°解：如图所示：由于在正三棱锥A﹣BCD中，底面△BCD是边长为6的正三角形，侧棱AB＝4，且棱AB，BD，DC，CA的中点分别为E，F，G，H，所以AD∥EF，由于EF⊂平面EFGH，AD⊄平面EFGH，所以AD∥平面EFGH，故A正确；过点A作AO⊥平面BCD，点O为平面BCD的中心，所以OB＝，所以OA＝，故直线AB与平面BCD所成的角为∠ABO，sin，解得∠ABO＝30°，故C正确；延长BO交CD于点G，故点G为CD的中点，连接AG，所以AG⊥CD，所以∠AGO为斜面与底面的夹角，由于AC＝4，CD＝3，所以AG＝，AO＝2，所以cos，故D错误；对于B：过点E作EH⊥BG，由于∠ABO＝30°，所以EH＝2×，BH＝，所以HG＝3，故EH＝，FG2+EF2＝32+22＝13＝EH2，故EF⊥FG，由于四边形EFGH为平行四边形，且EF⊥FG，故四边形EFGH为矩形，故B正确；故选：ABC．11．在△ABC中，∠B＝30°，D是BC边上一点，DC＝4，AC＝6，cos C＝，下列正确的是（）A．AD＝5B．C．△ABC为锐角三角形D．∠BAD可能为钝角解：A：在△ACD中，由余弦定理得AD2＝AC2+CD2﹣2AD•CD•cos C＝36+16﹣2×6×4×＝25，∴AD＝5，∴A正确，B：∵cos C＝，C∈（0，π），∴sin C＝＝，在△ACB中，由正弦定理得＝，∴AB＝＝，∴B正确，D：在△ACD中，由余弦定理得cos∠ADC＝＝＝＞0，∴∠ADC为锐角，又∴∠ADC＝∠BAD+∠ABD，∴∠BAD为锐角，∴D错误，C：∵cos∠CAB＝﹣cos（∠B+∠ACB）＝﹣cos∠B•cos∠ACB+sin∠B•sin∠ACB＝﹣×+×＝＜0，∴C错误．故选：AB．12．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（）A．若，则点M是△ABC的重心B．若，则点M在线段BC的延长线上C．若，且x+y＝1，则△MBC的面积是△ABC面积的D．已知平面向量，满足，则△ABC为等腰三角形解：对于A，设BC的中点为D，若＝（+）＝×2＝，则点M是△ABC的重心，故A正确；对于B，若，即有﹣＝﹣，即＝，则点M在边CB的延长线上，故B错误；对于C，若，且x+y＝1，由右图可得M为AN的中点，则△MBC的面积是△ABC面积的，故C正确；对于D，因为，所以•（+）＝•（+），即•＝•，所以||||cos∠BAM＝||||cos∠CAM，因为，所以点M在∠BAC的角平分线上，所以∠BAM＝∠CAM，所以cos∠BAM＝cos∠CAM，所以||＝||，所以△ABC为等腰三角形，故D正确．故选：ACD．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知i为虚部单位，复数z＝i（1﹣2i），则||＝．解：z＝i（1﹣2i）＝2+i，∴＝2﹣i，∴＝＝．故答案为：．14．在正方形ABCD中，AB＝4，E、F分别为BC，CD的中点，求＝﹣8．解：如图，过F作FG⊥AB于G，所以在上的投影向量为：，所以＝﹣||||＝﹣4×2＝﹣8．故答案为：﹣8．15．在△ABC中，若a cos A＝b cos B，且a2+b2＝ab+c2，则△ABC的形状为等边三角形或直角三角形．解：由a cos A＝b cos B，结合正弦定理可得，2sin A cos A＝2sin B cos B，即sin2A＝sin2B，又A，B为三角形两内角，∴2A＝2B或2A+2B＝π，∴A＝B或A+B＝；又a2+b2＝ab+c2，∴c2＝a2+b2﹣ab＝a2+b2﹣2ab cos C，则cos C＝，∵C∈（0，π），∴C＝．∴△ABC的形状为等边三角形或直角三角形．故答案为：等边三角形或直角三角形．16．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是36π，那么这个三棱柱的底面边长为，体积是．解：设球的半径为R，由球的体积公式，得＝36π，∴R＝3，则正三棱柱的高h＝2R＝6．设正三棱柱的底面边长为a，则其内切圆的半径为：＝3，∴a＝6．∴该正三棱柱的体积为：V＝S底•h＝•a•a•sin60°•h＝162．故答案为：；．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知复数z1＝1+3i，z2＝2+2i．（1）求z1z2，及|；（2）在复平面上，复数z1、z2分别对应的点为A、B，求A、B两点间的距离．解：（1）∵z1＝1+3i，z2＝2+2i，∴z1z2＝（1+3i）（2+2i）＝2+2i+6i+6i2＝﹣4+8i，∴|＝|1+3i+2﹣2i|＝|3+i|＝＝．（2）由题意可知A（1，3），B（2，2），∴|AB|＝＝．18．已知是同一平面内的三个向量，其中．（1）若，求；（2）若，且与垂直，求与的夹角θ．解：（1）∵，∴；（2）∵，且与垂直，∴＝，∴，∴，且θ∈[0，π]，∴θ＝π．19．某养殖基地养殖了一群牛，围在四边形的护栏ABCD内（不考虑宽度），知∠B＝∠C ＝120°，AB＝BC＝3km，CD＝6km，现在计划以AD为一边种植一片三角形的草地△ADE，为这群牛提供粮草，∠E＝120°．（1）求AD间的护栏的长度，（2）求所种植草坪的最大面积．解：（1）如图，连接AC，在△ABC中，∠B＝120°，AB＝BC＝3km，∴根据余弦定理得，AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos120°＝，∵∠B＝∠C＝120°，AB＝BC，∴∠BCA＝30°，∠ACD＝90°，且CD＝6km，∴（km）；（2）在△ADE中，，∠E＝120°，∴根据余弦定理，63＝AE2+DE2+AE•DE≥3AE•DE，当且仅当AE＝DE＝时取等号，∴AE•DE≤21，∴，∴所种植草坪的最大面积为km2．20．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，对角线AC交BD于K，对角线A1C交平面BDC1于O．在正方形DCC1D1内，以CD为直径的半圆弧上任意取一点M．求证：（1）OK∥平面AB1D1；（2）平面AMD⊥平面BMC．【解答】（1）证明：设A1C交平面AB1D1于点N，连接AN，因为D1B1∥DB，D1B1⊄平面C1BD，DB⊂平面C1BD，可得D1B1∥平面C1BD，同理由AD1∥BC1，可得AD1∥平面C1BD，又D1B1∩AD1＝D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD，因为OK是平面A1AC与平面C1BD的交线，所以OK∥AN，又AN⊂平面AB1D1，OK⊄平面AB1D1，所以OK∥平面AB1D1；（2）证明：因为M在以CD为直径的半圆弧上，所以∠DMC＝90°，即DM⊥MC，因为BC⊥平面DCC1D1，DM⊂平面DCC1D1，所以BC⊥DM，CB∩MC＝C，所以DM⊥平面BMC，因为DM⊂平面AMD，所以平面AMD⊥平面BMC．21．在①3c sin A＝4a cos C，②2b sin c sin B这两个条件中任选一个补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题．在△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，已知______（只需填序号），c＝3．（1）求sin C．（2）M为AC边上一点，MA＝MB，∠CBM＝，求△ABC的面积．解：（1）若选择①3c sin A＝4a cos C，由正弦定理得①3sin C sin A＝4sin A cos C，因为sin A＞0，所以3sin C＝4cos C，则C为锐角，又sin2C+cos2C＝1，所以sin C＝；若选择②2b sin c sin B，则2b sin（）＝c sin B，即2b cos＝c sin B，由正弦定理得2sin B cos＝sin C sin B，因为sin B＞0，所以得2cos＝sin C＝2sin cos，因为cos≠0，所以sin＝，cos＝，所以sin C＝2sin cos＝2×＝；（2）由题意得∠BMC＝，cos∠BMA＝﹣cos∠BMC＝﹣sin∠C＝﹣，△BMA中，MA＝MB，由余弦定理得，﹣＝，解得MA＝MB＝，因为cos∠BMC＝＝＝，所以MC＝，又cos∠BMC＝，sin∠BMC＝，S△ABC＝S△MAB+S△MBC＝sin∠BMC，＝＝．22．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA1＝4，A1在底面ABC 的射影为BC的中点，M为B1C1的中点．（1）求该三棱柱的表面积；（2）求直线A1B1与平面BCC1B1所成角的正弦值．解：（1）取BC中点N，连接A1N、AN、MN，因为A1在底面ABC的射影为BC的中点，所以A1N⊥平面ABC，又因为M为B1C1的中点，所以MN∥B1B，MN∥A1A，因为∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，所以AN＝BN＝CN＝，A1N＝，取AB中点D，连接DN、A1D，则DN∥AC，DN＝AC＝1，因为∠BAC＝90°，所以AB⊥DN，又因为DN为A1D在平面ABC内投影，所以A1D⊥AB，A1D＝＝＝，所以该三棱柱的表面积为2S△ABC++＝2•+2•2•+2•4＝8+4+4．（2）由（1）知BC⊥AN，BC⊥A1N，所以BC⊥平面A1MN，因为BC⊂平面BCC1B1，所以平面A1MN⊥平面BCC1B1，过A1作A1P⊥MN于P，又因为平面A1MN∩平面BCC1B1＝MN，所以A1P⊥平面BCC1B1，于是A1P＝＝＝，所以直线A1B1与平面BCC1B1所成角的正弦值为＝＝．。
2020年重庆市松树桥中学高一下学期期中数学试题(附带详细解析)
绝密★启用前2020年重庆市松树桥中学高一下学期期中数学试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知a 、b 为非零实数，且a b <，则下列不等式成立的是（ ） A ．22a b <B ．11a b< C ．33a b < D ．ac bc <2．在等差数列{}n a 中，3118a a +=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则68b b ⋅的值为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．163．函数1(0)4y x x x=+>取得最小值时，x 的值为（ ） A ．12-B ．12C ．1D ．24．我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题:“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”其意思为：“今有白米180石，甲、乙、丙三人来分，他们分得的白米数构成等差数列，只知道甲比丙多分36石，那么三人各分得多少白米？”.请问：丙应该分得（ ）白米 A ．96石B ．78石C ．60石D ．42石5．已知A 、B 、C 是ABC ∆的三内角，且sin 2sin cos A B C =，则此三角形的形状为（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形6．若向量,a b rr 满足：()()1,,2,a a b a a b b =+⊥+⊥r r r r r r r 则b =rA ．2BC ．1D ．2…………线………………线……的前10项和10S=（）A．55B．110C．2046D．20488．如图，在ABCV中，AD AB⊥，BC=u u u v u u v，1AD=u u u v，则AC AD⋅=u u u v u u u v（）A．B C D9．数列{}n a满足12a=，122n na a n+=++，则1220111a a a+++=L（）A．1910B．1920C．1021D．202110．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75o距塔68km的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为（）A/h B/h C．/h D．/h11．已知等比数列{}n a，11a=，418a=，则1223341n na a a a a a a a+++++=L（）A．114n-B．121134n+⎛⎫-⎪⎝⎭C．121134n-⎛⎫-⎪⎝⎭D．21134n⎛⎫-⎪⎝⎭12．已知各项均为正数的等比数列{}n a满足7652a a a=+，若存在两项ma、na使得14a=，且使得21412k km n+<-有解，则实数k的取值范围是（）A．1k<-或3k>B．13k-<<C．1k≤-或3k≥D．13k-≤≤第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．在ABC∆中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，S表示ABC∆的面积，90C=o∠，()2221S b c a=+-，则B∠=________.14．数列{}n a 的前n 项和为()2*1n S n n n N=+-∈，则数列{}na 的通项公式na=_________.15．在等差数列{}n a 中，n S 为它的前n 项和，若10a >，180S >，190S <，则当n S 最大时，n 的值为__________. 16．已知下列命题:①不等式()()120x x --<的解集为：{1x x <或}2x >； ②不等式102x x -≤+的解集为：{}21x x -≤≤； ③不等式()()2110x xx +-<的解集为：{}11x x -<<；④若不等式()()224240m x m x -+-+>对任意x 都成立，则22m -<≤； ⑤若()0,x π∈，则函数2sin sin y x x =+≥=，y ∴的最小值为正确的有_____________.（将你认为正确的命题的序号填在横线上）三、解答题17．已知向量(1,2)a =，(2,)b λ=v ，(3,2)b =-v . （1）若a b v vP ，求实数λ的值；（2）若ka c +v v 与2a c -v v垂直，求实数k 的值.18．已知ABC ∆的内角A,B,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且32,cos 5a B ==. (1)若4b =,求sin A 的值; (2)若4ABC S ∆=,求b ,c 的值.19．已知函数()()()224f x x a x a R =-++∈.（1）解关于x 的不等式()24f x a ≤-+；（2）若对任意的[]1,4x ∈，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 20．在ABC ∆中，若2b =，且2cos cos cos b B a C c A =+. （1）求角B 的大小； （2）求ABC ∆周长的最大值.…………○…答※※题※※…………○…21．数列{}n a 满足13221(2),23nn n a a n a -=++=≥.（1）设12n n na b +=，求证：{}n b 为等差数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S22．已知数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =且()()2*1221n n nS n S n n n N +-+=+∈，数列{}n b 满足()*2120n n n b b b n N ++-+=∈，35b=，其前9项和为63．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令n nn n na b c b a =+，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若对任意正整数n ，都有，求b a -的最小值.参考答案1．C 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断出A 、B 、D 三个选项中不等式的正误，利用作差法可判断C 选项中不等式的正误，由此可得出结论. 【详解】对于A 选项，由于a b <，取2a =-，1b =，则22a b >，A 选项中的不等式不成立； 对于B 选项，由于a b <，取1a =，2b =，则11a b>，B 选项中的不等式不成立； 对于C 选项，()()()2332221324a b a b a ab b a b a b b ⎡⎤⎛⎫-=-++=-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，a b <Q ，所以，a 与b 不可能同时为零，则223024b a b ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，则330a b -<，即33a b <，C 选项中的不等式成立；对于D 选项，取0c =，由于a b <，则ac bc =，D 选项中的不等式不成立. 故选：C. 【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用特殊值法、作差法、不等式的基本性质和函数的单调性进行判断，考查推理能力，属于基础题. 2．D 【解析】试题分析：由题意得，在等比数列{}n b 中，可得2687b b b ⋅=，在等差数列{}n a ，可得31172a a a +=，所以74a =，又77b a =，所以22687416b b b ⋅===，故选D ．考点：等差、等比数列的性质． 3．B 【解析】10,14x x x >∴+=Q …， 当且仅当14x x =时取等号,此时12x =， 故选B. 4．D 【解析】 【分析】设甲、乙、丙分得的米的重量分别为1a 石、2a 石、3a 石，并设等差数列1a 、2a 、3a 的公差为d ，根据题意得出关于1a 与d 的方程组，解出这两个量，由此可求出答案. 【详解】依题意，设甲、乙、丙分得的米的重量分别为1a 石、2a 石、3a 石，并设等差数列1a 、2a 、3a 的公差为d ，则12311333180236a a a a d a a d ++=+=⎧⎨-=-=⎩，解得17818a d =⎧⎨=-⎩，()3127821842a a d ∴=+=+⨯-=，因此，丙应该分得42石白米.故选：D. 【点睛】本题考查了等差数列的应用，考查等差数列基本量的计算，建立首项与公差的方程组是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题． 5．C 【解析】 【分析】将()sin sin A B C =+代入等式sin 2sin cos A B C =，结合两角和与差的正弦公式可得出()sin 0B C -=，求出B C -的值，即可判断出该三角形的形状.【详解】()()2sin cos sin sin sin sin cos cos sin B C A B C B C B C B C π==-+=+=+⎡⎤⎣⎦Q ，sin cos cos sin 0B C B C ∴-=，即()sin 0B C -=，0B Q π<<，0C π<<，所以，B C ππ-<-<，则0B C -=，即B C =.因此，ABC ∆为等腰三角形. 故选：C. 【点睛】本题考查三角形形状的判断，涉及了两角和与差的正弦公式的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 6．B 【解析】试题分析：由题意易知：()0{(2)0a b a a b b +⋅=+⋅=r r rr r r 即210{20b a b a b +⋅=⋅+=r r r r r ，222b a b ∴=-⋅=r r r，即b =r.故选B.考点：向量的数量积的应用. 7．A 【解析】 【分析】利用等差数列的定义可判断出数列{}n b 为等差数列，确定该数列的首项和公差，再利用等差数列的求和公式可求出10S 的值. 【详解】()*132n n a a n N +=+∈Q ，()3log 1n n b a =+，则()1313log 1log 31b a =+==， ()()113133331133log 1log 1log log log 311n n n n n n n n a a b b a a a a ++++++∴-=+-+====+， 所以，数列{}n b 是以1为首项，以1为公差的等差数列， 因此，101091101552S ⨯⨯=⨯+=. 故选：A.【点睛】本题考查数列求和，判断出数列{}n b 是等差数列是解题的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 8．D 【解析】∵AC AB BC AB =+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u v，∴()AC AD AB AD AB AD AD ⋅=+⋅=⋅⋅u u u v u u u v u u u v u u v u u u v u u u v u u u v u u v u u u v ，又∵AB AD ⊥，∴0AB AD ⋅=uu u r uuu r，∴cos cos AC AD AD AD ADB BD ADB AD u u u v u u u v u u v u u u v u u v u u u v u u u v u u u v⋅=⋅=⋅∠=⋅∠==， 故选D ． 9．D 【解析】 【分析】利用累加法求出数列{}n a 的通项公式，然后利用裂项法可求出1220111a a a +++L 的值. 【详解】122n n a a n +=++Q ，()121n n a a n +∴-=+，则当2n ≥时，12n n a a n --=，()()()()121321222222322n n n n n a a a a a a a a n -+∴=+-+-++-=+⨯+⨯++=L L ()1n n =+，()111111n a n n n n ∴==-++， 因此，1220111111111201122320212121a a a +++=-+-++-=-=L L . 故选：D. 【点睛】本题考查利用累加法求数列通项，同时也考查了裂项求和法的应用，考查计算能力，属于中等题. 10．B 【解析】 【分析】根据题意可求得MPN ∠和PNM ∠，利用正弦定理求得MN 的值，进而求得船航行的时间，最后利用里程除以时间即可求得问题的答案． 【详解】由题意知7545120MPN ∠=+=o o o ，45PNM ∠=o ，在PMN ∆中，由正弦定理，得sin120sin 45MN PM=o o，682MN ∴==，又由M 到N 所用时间为14104-=（小时），所以，船的航行速度为)/42v km h ==. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用，解答的关键是利用正弦定理建立边角关系，考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 11．D 【解析】 【分析】求出等比数列{}n a 的公比，利用等比数列的定义可知数列{}1n n a a +也为等比数列，确定该数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式可求出答案. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则334118a a q q ===，12q ∴=，2112a a q ∴==， 2122114n n n n n n a a a q a a a ++++∴===，且1212a a =，所以，数列{}1n n a a +是以12为首项，以14为公比的等比数列， 因此，12233411112124113414n n n n a a a a a a a a +⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭++++==- ⎪⎝⎭-L . 故选：D. 【点睛】本题考查等比数列求和，解题的关键就是利用定义判定出等比数列，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 12．A 【解析】 【分析】求出等比数列{}n a 的公比，14a =可得出6m n +=，利用基本不等式求出14m n+的最小值，可得出关于实数k 的不等式，解出即可. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，7652a a a =+Q ，即25552a q a q a =+，50a >Q ，则有220q q --=，0q >Q ，解得2q =.14a =Q ，即2116m n a a a =，整理得1121112216m n a a a --⨯⨯⨯=，整理得2216m n +-=，解得6m n +=，()141446559n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当26n m m n =⎧⎨+=⎩，即当24m n =⎧⎨=⎩时，等号成立，所以，149362m n +≥=，由于不等式21412k k m n +<-有解，则21322k k ->，即2230k k -->，解得1k <-或3k >.故选：A. 【点睛】本题考查二次不等式能成立问题，同时也考查了等比数列基本量的计算，得出定值条件是解题的关键，考查计算能力，属于中等题. 13．45o 【解析】 【分析】利用余弦定理和三角形的面积公式可得出tan A ∠的值，可得出A ∠的值，然后利用三角形的内角和定理可求出B Ð. 【详解】()22214S b c a =+-Q ，11sin 2cos 24bc A bc A ∴∠=⨯∠，tan 1A ∴∠=. 090A <∠<o o Q ，45A ∴∠=o ，18045B A C ∴∠=-∠-∠=o o .故答案为：45o . 【点睛】本题考查三角形中角的计算，涉及余弦定理、三角形面积公式以及三角形内角和定理的应用，考查计算能力，属于基础题.14．1,12,2n n n =⎧⎨≥⎩【解析】 【分析】令1n =，得出11a S =的值；令2n ≥，由1n n n a S S -=-求出n a ，再检验1a 是否满足n a 在2n ≥时的通项公式，综合可得出数列{}n a 的通项公式.【详解】Q 数列{}n a 的前n 项和为()2*1n S n n n N =+-∈.当1n =时，2111111a S ==+-=；当2n ≥时，()()()22111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+---+--=⎣⎦.11a =不适合2n a n =，因此，1,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩.故答案为：1,12,2n n n =⎧⎨≥⎩.【点睛】本题考查由n S 求n a ，一般利用公式11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩来求解，同时也要对1a 的值是否满足()2n a n ≥进行检验，考查运算求解能力，属于中等题. 15．9 【解析】 【分析】由180S >，190S <，结合等差数列的性质推导出9a 和10a 的正负，由此求出n S 最大时n 的值. 【详解】()1191019101919219022a a a S a +⨯===<Q ，100a ∴<.又()()1181891018902a a S a a +==+>Q ，9100a a ∴+>，则有90a >.10a >Q ，所以，等差数列{}n a 为单调递减数列，且前9项均为正数，从第10项开始为负数，因此，当n S 最大时，9n =. 故答案为：9. 【点睛】本题考查等差数列前n 项和最值的计算，涉及等差数列求和公式和等差数列基本性质的应用，解题的关键就是要找出数列中变号的项，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 16．①④ 【解析】 【分析】解二次不等式()()120x x --<可判断出命题①的正误；解不等式102x x -≤+可判断出命题②的正误；解不等式()()2110x xx +-<可判断命题③的正误；由不等式()()224240m x m x -+-+>对任意x 都成立得出20m -=或200m ->⎧⎨∆<⎩，进而可判断出命题④的正误；利用基本不等式成立的条件判断命题⑤的正误. 【详解】对于命题①，由()()120x x --<，可得()()120x x -->，解得1x <或2x >， 所以，不等式()()120x x --<的解集为：{1x x <或}2x >，命题①正确； 对于命题②，解不等式102x x -≤+，得21x -<≤， 所以，不等式102x x -≤+的解集为{}21x x -<≤，命题②错误； 对于命题③，如下图所示：利用穿针引线法可知，不等式()()2110x x x +-<的解集为{10x x -<<或}01x <<，命题③错误；对于命题④，当20m -=，即当2m =，则有40>，合乎题意；当20m -≠时，若不等式()()224240m x m x -+-+>对任意x 都成立，则()()220421620m m m ->⎧⎪⎨∆=---<⎪⎩，解得22m -<<. 所以，若不等式()()224240m x m x -+-+>对任意x 都成立，则22m -<≤，命题④正确；对于命题⑤，()0,x π∈Q ，则0sin 1x <≤，由基本不等式得2sin sin y x x =+≥=，当且仅当sin x =成立，但0sin 1x <≤，等号不成立，所以，函数2sin sin y x x=+的最小值不是，命题⑤错误. 故答案为：①④. 【点睛】本题考查不等式有关命题真假的判断，涉及不等式的解法、二次不等式恒成立以及基本不等式，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题. 17．(1) 4λ= (2) 253k = 【解析】分析：1）由a b v P v，可得122λ⨯=⨯，从而可得结果；（2）求出()3,22ka c k k +=-+v v ，()27,2a c -=-v v ，利用.20ka c a c +-=v v v v，列方程求解即可.详解：（1）∵a b v P v∴122λ⨯=⨯，∴4λ=（2）∵()3,22ka c k k +=-+v v()27,2a c -=-v v，而2ka c a c +⊥-v v v v∴()()()372220k k -⨯++⨯-= ∴253k =点睛：利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利用12120x x y y +=解答.18．(1)25;(2)b =【解析】【分析】(1)先求出sin B ，再利用正弦定理可得结果； (2)由ABC S ∆求出c ，再利用余弦定理解三角形. 【详解】(1)∵3cos 05B =>,且0B π<<，∴4sin 5B ==，由正弦定理得sin sin a bA B=， ∴42sin 25sin 45a B Ab ⨯===； (2)∵1sin 42ABC S ac B ∆==，∴142c 425⨯⨯⨯=， ∴5c =，由余弦定理得2222232cos 25225175b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，∴b =【点睛】本题考查正弦余弦定理解三角形，是基础题. 19．（1）见解析；（2）(],2-∞. 【解析】 【分析】（1）将不等式()24f x a ≤-+变形为()()20x a x --≤，对a 与2的大小进行分类讨论，即可得出该不等式的解集； （2）利用参变量分离法得出42a x x≤+-对任意的[]1,4x ∈恒成立，利用基本不等式求出42x x+-的最小值，由此可得出实数a 的取值范围. 【详解】（1）()()224f x x a x =-++Q ，由()24f x a ≤-+，得()2220x a x a -++≤，即()()20x a x --≤.当2a <时，原不等式的解集为[],2a ；当2a =时，原不等式为()220x -≤，该不等式的解集为{}2；当2a >时，原不等式的解集为[]2,a .综上所述，当2a <时，解集为[],2a ；当2a =时，解集为{}2；当2a >时，解集为为[]2,a ；（2）任意的[]1,4x ∈，()0f x ≥，即()2240x a x -++≥，由参变量分离可得42a x x≤+-对任意的[]1,4x ∈恒成立，由基本不等式得4222x x +-≥=，当且仅当2x =时，等号成立， 所以，42x x+-的最小值为2，则2a ≤，因此，实数a 的取值范围是(],2-∞. 【点睛】本题考查含参二次不等式的求解，同时也考查了二次不等式在某区间上恒成立，考查运算求解能力，属于中等题. 20．（1）3π；（2）6. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角思想以及两角和的正弦公式求出cos B 的值，再由B 的取值范围可求出角B 的值；（2）利用余弦定理2222cos b a c ac B =+-结合基本不等式可求出a c +的最大值，由此可得出ABC ∆周长的最大值. 【详解】（1）2cos cos cos b B a C c A =+Q ，由正弦定理得()()2sin cos sin cos cos sin sin sin sin B B A C A C A C B B π=+=+=-=，0B Q π<<，sin 0B ∴>，可得1cos 2B =，因此，3B π=；（2）由余弦定理得()2222222cos 3b a c ac B a c ac a c ac=+-=+-=+-()()()222344a c a c a c ++≥+-=，()22416a c b ∴+≤=，4a c ∴+≤，当且仅当2a c ==时，等号成立，因此，ABC ∆周长的最大值为6. 【点睛】本题考查三角形周长最值的计算，涉及正弦定理边角互化思想、余弦定理以及基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中等题. 21．(1)证明见解析；(2)()1122n n S n n +=-+-.【解析】分析：（1）11112112121(1)222n nn n n n n n n nn a a a a b b n ----++---=-===>，所以{}n b 是首项为1，公差为1的等差数列；（2）由（1）知()331n b b n n =+-⋅=,从而21?21n n n n a b n =⋅-=-，利用分组求和及错位相减求和法，结合等比数列求和公式可得结果.详解：（1）由题意，11112112121(1)222n nn n n n n n n n n a a a a b b n ----++---=-===>， 所以{}n b 是首项为1，公差为1的等差数列.（2）由（1）知()331n b b n n =+-⋅=,从而21?21n nn n a b n =⋅-=- 令1122312222,212222n n S n S n +=⋅+⋅++⋅=⋅+⋅++⋅L L ,两式相减有()()11212222122n n n S n n ++=⋅-+++=-+L所以()1122n n S n n +=-+-点睛：本题主要考查等差数列的定义与等比数列的求和公式，以及错位相减法求数列的前n项和，属于中档题.一般地，如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n a b g的前n 项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解, 在写出“n S ”与“n qS ” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式. 22．（1）n a n =，2n b n =+；（2）53． 【解析】试题分析：（1）由()()12211n n nS n S n n +-+=+，得1112n n S S n n +-=+，可得数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为12的等差数列，可求得n S ，进而求得{}n a 的通项公式；由2120n n n b b b ++-+=，可得数列{}n b 是等差数列，利用等差数列的通项公式及其前n 项和公式即可求得；（2）由11222n c n n ⎛⎫=+-⎪+⎝⎭，利用“裂项求和”可得：数列{}n c 的前n 项和，根据{}n c 的前n 项和，可设113212m A n n ⎛⎫=-+⎪++⎝⎭，可得数列{}n A 单调递增，得出433n A ≤<，因为对任意正整数[],2,n n T n a b -∈，所以4,33a b ≤≥，即可作出证明． 试题解析：（1）由，得1112n n S S n n +-=+，所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为12的等差数列，因此，即()12n n n S +=.于是()()()11121122n n n n n n n a S S n +++++=-=-=+，因为11a =，所以n a n =.又因为2120n n n b b b ++-+=，所以数列{}n b 是等差数列， 由()3793963,52b b S b +===，得79b =，所以公差95173d -==-. 所以()3312n b b n n =+-⨯=+.（2）由（1）知2112222n n n n n b a n n c a b n n n n +⎛⎫=+=+=+- ⎪++⎝⎭， 所以1211111111122132435112n n T c c c n n n n n ⎛⎫=+++=+⨯-+-+-++-+- ⎪-++⎝⎭L L1111122132221212n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=++--=-++ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭.所以1123212n T n n n ⎛⎫-=-+⎪++⎝⎭. 设1123212m n A T n n n ⎛⎫=-=-+ ⎪++⎝⎭． 因为()()1111111432322023121313n m A A n n n n n n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+--+=-=> ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以{}n A 单调递增，故()1min 43n A A ==. 因为1132312n A n n ⎛⎫=-+< ⎪++⎝⎭， 所以433n A ≤<. 因为对任意正整数[],2,n n T n a b -∈，所以4,33a b ≤≥，即a 的最大值为43，b 的最小值为3，所以()min 45333b a -=-=. 考点：数列求和和等差数列的通项及性质．【方法点晴】本题主要考查了数列的递推关系的应用、等差数列的通项公式及其前n 项和公式及其等差数列的性质、“裂项求和”、数列的单调性的知识综合应用，着重考查了学生推理能力与计算能力和转化与化归思想的应用，属于难题，本题的解答中牢记等差数列的通项及性质和“裂项求和”的方法及知识的灵活应用是解答的关键．。
2020年重庆市巴蜀中学高一下学期期中数学试题(附带详细解析)
……装…______姓名：……装…绝密★启用前2020年重庆市巴蜀中学高一下学期期中数学试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知非零实数a b >，则下列说法一定正确的是（ ） A ．22a b >B ．||||a b >C ．11a b< D ．22a c b c ⋅≥⋅2．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内的所有向量的基底的是（ ） A ．1(0,0)e =，2(1,2)e =- B ．1(1,2)e =-，2(5,7)e = C ．1(3,5)e =，2(6,10)e =D ．1(2,3)e =-，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭3．如图，在平行四边形ABCD 中，已知AC a =，BD b =则AD =（ ）A ．1124a b -B ．1124a b + C ．1122a b -D ．1122a b +4．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若向量(,)p a c a b =+-，(,)q b a c =-，且p q ，则角C =（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 5．在数列{}n a 中：已知11a =，1(2)n n a a n n --=≥，则数列{}n a 的通项公式为（ ）A ．2n n a =B ．21n n a +=C ．2n n na +=D ．222n n n a -+=6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走了（ ） A ．6里B ．12里C ．24里D ．96里7．下列式子的最小值等于4的是（ ） A ．4(0)a a a+≠ B ．4sin sin x x +，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C ．4x x e e -+，x ∈RD 28．已知向量(2,1)a =，(1,)b λ=-，若5a b ⋅=-，则向量a 在向量b 方向上的投影等于（ ） A ． B ．2C ．D 9．已知等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的不等式2120dx a x +≥的解集为[0,9]，则使数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值的正整数n 的值为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．710．在R 上定义运算a •b =(a +1)b ，若存在x ∈[1,2]使不等式(m −x )•(m +x)<4成立，则实数m 的取值范围为( ) A ．(−2,2)B ．(−1,2)C ．(−3,2)D ．(1,2)11．在ABC ∆中，已知2AB =，4AC =，若点G 、W 分别为ABC ∆的重心和外心，则()AG AW BC +⋅=（ ） A ．4B ．6C ．10D ．1412．在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、()c a b c >>，已知不等式11ta b b c a c+≥---恒成立，则当实数t 取得最大值T 时，cos T B 的取值范围是（ ） A ．120,5⎛⎫⎪⎝⎭B ．122,5⎛⎫⎪⎝⎭C ．D ．(2,4)○…………订…班级：___________考号○…………订…第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知a =b =且角3A π=则角B =_______.14．已知向量a 、b 满足：||1a =，(3,4)b =，2a b a ⋅=，则a 与b 的夹角的余弦值为________.15．如图，为了测量河对岸的塔高AB ，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，现测得200CD =米，且在点C 和D 测得塔顶A 的仰角分别为45︒，30，又30CBD ∠=︒，则塔高AB =______.16．在数列{}n a 中，已知11a =，2211n n n n n a S n a S ---=-()2,n n N +≥∈，记2nn a b n=，n T 为数列{}n b 的前n 项和，则2021T =______.三、解答题17．已知函数2()45()f x x x x R =-+∈. （1）求关于x 的不等式()2f x 的解集；（2）若不等式()|3|f x m >-对任意x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围. 18．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，且24a =，420S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 为等比数列，且11b a =，84b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．如图：在平面四边形ABCD 中，已知B D π∠+∠=，且7AD CD ==，5AB =，3BC =.………○……………○……（1）求D ∠；（2）求四边形ABCD 的面积.20．已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，满足1232n n a n b b b b ⋅⋅⋅⋅=，且14b =，2124a a =+.（1）分别求数列{}n a 和{}n b 的通项公式. （2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S . 21．已知向量(sin ,1)m x ω=-，13cos ,2n x ω⎛⎫=-⎪⎝⎭（其中0>ω），设函数()()2f x m m n =⋅+-，且函数()f x 的最小正周期为π.（1）将函数()f x 的表达式化成()sin()f x k mx n ϕ=++（其中k 、m 、n 为常数）的形式；（2）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若32125B f π⎛⎫+=⎪⎝⎭，且32BA BC ⋅=，又cos A a ，516b ，cos Cc成等差数列，求ABC ∆的外接圆的面积. 22．设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意n N +∈恒有233123n n S a a a =+++成立；数列{}n b 满足：11b =，且()2211cos sin 22n n n n b a b a n N ππ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（1）求1a 、2a 的值及数列{}n a 的通项公式； （2）①记212n n c b -=+，证明数列{}n c 为等比数列； ②若数列{}n b 的前n 项和为n T ，求2019T 的值.参考答案1．D 【解析】 【分析】运用不等式的基本性质、取特例法、作差法，逐一对四个选项进行判断. 【详解】选项A.由不等式性质220a b a b >>⇒>可知；是两个正数存在a b >，才有22a b >，本题的已知条件没有说明是两个正数，所以本选项是错误的；选项B:若1,2a b =-=-，显然结论||||a b >不正确，所以本选项是错误的； 选项C:11b a a b ba--=，a b >可以判断b a -的正负性，但是不能判断出ba 的正负性，所以本选项不正确； 选项D:若0c，由a b >，可以得到22ac bc =，若0c ≠时，由不等式的性质可知：a b >，2220c ac bc >⇒>，故由a b >可以推出22a c b c ⋅≥⋅，故本选项正确，所以本题选D. 【点睛】本题考查了不等式的性质.判断不等式是否成立，除了应用不等式的性质之处，一般用特例法、比较法来进行判断. 2．B 【解析】 【分析】以作为基底的向量需要是不共线的向量，可以从向量的坐标发现A ，C ， D 选项中的两个向量均共线，得到正确结果是B ． 【详解】解：可以作为基底的向量需要是不共线的向量，A 中一个向量是零向量，两个向量共线，不合要求B 中两个向量是1(1,2)e =-，2(5,7)e =，则2517⨯≠-⨯故1(1,2)e =-与2(5,7)e =不共线，故B 正确；C 中两个向量是1212e e =，两个向量共线，D 项中的两个向量是124e e =，两个向量共线，故选：B ． 【点睛】本题考查平面中两向量的关系，属于基础题. 3．D 【解析】 【分析】结合平行四边形的性质，利用已知AC a =，BD b =，可以用,a b 表示出,AO OD ,最后用,a b 表示出AD .【详解】11112222AD AO OD AC BD a b =+=+=+，故本题选D. 【点睛】本题考查了平面向量的加法的几何意义、平行四边形的性质，正确理解平面向量的加法的几何意义是解题的关键. 4．C 【解析】 【分析】由p q ，可以得到等式，结合余弦定理，可以求出角C 的大小. 【详解】222()()()p q a c a c b a b c a b ab ⇒+-=-⇒=+-,由余弦定理可知：2222cos c a b ab C =+-⋅，所以有1cos ,(0,)23C C C ππ=∈⇒=,故本题选C. 【点睛】本题考查了两平面向量共线时，坐标运算，考查了余弦定理. 5．C 【解析】利用“累加求和”、等差数列的通项公式即可得出． 【详解】 解：11a =，1(2)n n a a n n--=，2112211(1)()()()(1)2122n n n n n n n n na a a a a a a a n n ---++∴=-+-+⋯+-+=+-+⋯++==．故选：C 【点睛】本题考查累加法求数列的通项公式，属于基础题. 6．A 【解析】 【分析】由题意可知该问题为等比数列的问题，设出等比数列的公比和首项， 依题意可求出首项和公比，进而可求出结果. 【详解】由题意可得，每天行走的路程构造等比数列，记作数列{}n a ，设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为12q =，依题意有()6113781a q q -=-，解得1192a =，则56119262a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，最后一天走了6里，故选A.【点睛】本题主要考查等比数列，熟记等比数列的概念以及通项公式和前n 项和公式即可，属于基础题型. 7．C 【解析】 【分析】由基本不等式和函数(0)ay x a x=+>的单调性，求出四个选项中函数的最小值，然后进行判断，找到最小值为4的选项.选项A:设1y a a =+，当0a >时，12y a a =+≥=，当且仅当1a =时，取等号；当0a <时，1()2y a a =--+≤-=--，当且仅当1a =-时，取等号，故函数没有最小值； 选项B: 4sin sin y x x =+,令sin 0,(0,1)2x a x a π⎛⎫=∈∴∈ ⎪⎝⎭，函数4y a a =+在(0,2)a ∈时，单调递减，故当(0,1)a ∈时，是单调递减函数，所以5y >，没有最小值；选项C: 444x x x x e e e e -+=+≥=，当且仅当ln 2x =时，等号，故符合题意；选项D:令2y ==1(2)(2)t t y t t t=≥⇒=+≥，而函数1y t t=+在1t ≥时，是单调递增函数，故当2t ≥时，函数1y t t=+也是单调递增，所以52y ≥，不符合题意，所以本题选C. 【点睛】本题考查了基本不等式和函数(0)ay x a x=+>的单调性，利用基本不等式时，一定要注意三点：其一，必须是正数；其二，要有值；其三，要注意等号成立的条件，简单记为一正二定三相等. 8．A 【解析】 【分析】首先根据向量的数量积求出参数λ的值，即可得到b ，再根据a b b⋅计算可得.【详解】 解：(2,1)a =，(1,)λ-=b ，且 5a b ⋅=-125λ∴-⨯+=-解得3λ=-()1,3b ∴=--，()21b ∴=-=向量a 在向量b 方向上的投影5210a b b⋅-===-故选：A 【点睛】本题考查向量的数量积及数量积的几何意义，属于基础题. 9．B 【解析】试题分析：∵关于x 的不等式2120dx a x +≥的解集为[]0,9，∴，分别是一元二次方程的两个实数根，且．∴，可得：，∴．∴，可得：，．∴使数列{}n a 的前项和n S 最大的正整数的值是．故选B ． 考点：等差数列的前项和. 10．C 【解析】 【分析】先将原式进行化简，然后参变分离，转化为求最值，最后变换成关于m 的不等式求解即可. 【详解】令g(x)=(m −x )⋅(m +x )=[(m −x )+1]⋅(m +x )=m 2−x 2+m +x 因为∃x ∈[1,2],g(x)<4 即m 2+m <x 2−x +4 也就是m 2+m <(x 2−x +4)max在x ∈[1,2]时，x =2，x 2−x +4取最大值为6 所以m 2+m <6 解得−3<m <2故选C 【点睛】本题考查了不等式的解法，转化思想非常重要，是解题的关键，属于中档题. 11．C 【解析】 【分析】取BC 的中点D ，因为G 、W 分别为ABC ∆的重心和外心，则0DW BC ⋅=， 再用AB 、AC 表示AW ，AG ，BC 再根据向量的数量积的运算律计算可得. 【详解】解：如图，取BC 的中点D ，因为G 、W 分别为ABC ∆的重心和外心 0DW BC ∴⋅=()()22113323AG AD AB AC AB AC ∴==⨯+=+ ()12AW AD DW AB AC DW =+=++()()()115326AW AG AB AC AB AC DW AB AC DW +=++++=++()()()5566AB AC DW AB AG AW BC BC B W C BC AC D ⎡⎤∴+⋅=⋅=⋅⋅⎢++++⎥⎣⎦()56AB A BC C =⋅+ ()()56C AC AB AB A =⋅+- ()()222242105566AC AB =-=-= 故选：C【点睛】本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查三角形的重心和外心的性质及向量中点的向量表示，考查运算能力，属于中档题． 12．B 【解析】 【分析】由11t a b b c a c+≥---，则a c a ct a b b c --≤+--利用基本不等式求出t 的最大值T ，再用余弦定理表示出cos T B ，在锐角三角形中，由a b c >>，求出ca的取值范围，再利用函数1y t t=+的单调性，求出cos T B 的取值范围【详解】 解：11ta b b c a c +≥---，()a b c >> a c a c t a b b c--∴≤+--224a c a c a b b c a b b c b c a b a b b c a b b c a b b c ---+--+---+=+=++≥+=------ 当且仅当b c a ba b b c--=--即2a c b +=时等号成立，此时取得最小值4 4t ∴≤4T ∴=2222222233232cos 4cos 421222a c a c a c b a c ac a c T B B ac ac ac c a +⎛⎫+- ⎪+-+-⎛⎫⎝⎭∴==⋅=⋅==+- ⎪⎝⎭在锐角三角形中a b c >>，所以222b c a +>，代入2a c b +=化简得25230c c a a ⎛⎫+⋅-> ⎪⎝⎭315c a ∴<<令c t a =，则3,15t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1y t t =+在3,15t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，所以342,15y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭31212,25a c c a ⎛⎫⎛⎫∴+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1cos 22,5T B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选：B 【点睛】本题考查基本不等式，余弦定理的应用，属于难题.13．4π 【解析】 【分析】由正弦定理即可解得. 【详解】解：3a =，b =3A π=由正弦定理可得sin sin a b A B=sin sin3B π∴=解得sin B a b >A B ∴>4B π∴=故答案为：4π 【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于基础题. 14．15【解析】 【分析】首先求出b ，a b ⋅，再根据夹角公式cos ,a b a b a b⋅<>=计算可得.【详解】解：(3,4)b =，2345b∴=+=1a =，221a a b a ∴===⋅11cos ,155a b a b a b⋅∴<>===⨯ 故答案为：15【点睛】本题考查向量的数量积及向量的夹角的计算，属于基础题. 15．200 【解析】 【分析】由题意可知：45ACB ∠=︒， 30ADB ∠=︒,设AB x =，可以在在ABC ∆中，求出BC x =，在ABD ∆中，可以求出BD =，在BCD ∆中，利用余弦定理可求出2CD 的表达式，结合已知200CD =，可以求出AB 的长. 【详解】由题意得：在ABC ∆中，45ACB ∠=︒，在ABD ∆中，30ADB ∠=︒,设AB x =，则BC x =，BD =，在BCD ∆中200CD =，30CBD ∠=︒由余弦定理得：2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠22220032x x x ⇒=+-⇒200x =【点睛】本题考查了余弦定理的应用，考查了数学运算能力. 16．20211011【解析】 【分析】根据()1=(2,)n n n a S S n n N *--≥∈,可以化简等式2211n n n n n a S n a S ---=-为n 111n a a n n n n -=⨯-+，令n n a c n=则11n n n c c n -=⨯+，利用累乘法可求出21n c n =+，最后求出n a ，得21121n n a b n n n ⎛⎫==⨯- ⎪+⎝⎭根据裂项相消法可以求出2021T 的值. 【详解】由()22112,n n n n n a S n a S n n N+---=-≥∈得()2211nnn n n a SS n a ----=，∴()2211n n na n a --=，∴n 111n a a nn n n -=⨯-+， 令n n a c n =则11n n n c c n -=⨯+，∴11n n c n c n -=+由累乘法得121n a c n =+， ∴21n c n =+，∴21n a n n =+，∴21n n a n =+，∴22112(1)1n n a b n n n n n ⎛⎫===⨯- ⎪++⎝⎭，∴202111111120212(1)2(1)2232021202220221011T =-+-++-=-=. 【点睛】本题考查了公式()1=(2,)n n n a S S n n N *--≥∈、累乘法、裂项相消法，考查了数学运算能力.17．(1) {|13}x x << (2) (2,4) 【解析】 【分析】 （1）()2f x 化为2452x x -+<，直接求解不等式的解集；（2）问题不等式()|3|f x m >-对任意x ∈R 恒成立min |3|()m f x ⇔-<，求出函数2()45()f x x x x R =-+∈的最小值，解不等式即可.【详解】 （1）由()2f x 得2430x x -+<，即13x <<，所以()2f x 的解集为{|13}x x <<；（2）不等式()|3|f x m >-对任意x ∈R 恒成立min |3|()m f x ⇔-<， 由22()45(2)1f x x x x =-+=-+得，()f x 的最小值为1，所以|3|1m -<恒成立，即131m -<-<， 所以24m <<，所以实数m 的取值范围为(2,4). 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，以及不等式恒成立时，求参数问题，关键是找到问题的等价命题.18．（1）2n a n =；（2）122n +- 【解析】 【分析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a 公差为d ，根据条件得到方程组解得； （2）首先求出{}n b 的通项公式，再由等比数列前n 项和公式计算可得. 【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的首项为1a 公差为d ，24a =，420S =.()1144414202a d a d +=⎧⎪∴⎨⨯-+=⎪⎩解得 122a d =⎧⎨=⎩()112n a a n d n ∴=+-=（2）设等比数列{}n b 的公比为q ，由11b a =，84b a =131228b b q =⎧∴⎨=⨯⎩解得122b q =⎧⎨=⎩，2nn b ∴=则()23121222222212n n n n T +-=++++==--【点睛】本题考查等差数列的通项公式，等比数列的通项及前n 项和公式的应用，属于基础题.19．(1) 3D π= (2) 【解析】 【分析】 （1）分别在，和ABC ∆中，运用余弦定理，求出2AC 的表达式，利用 B D π+=，这样可以求出D ∠的大小；（2）由（1）可以求出B ∠的大小，利用面积公式结合ACD ABC ABCD S S S ∆∆=+四边形，求出四边形ABCD 的面积. 【详解】 （1）在中，由余弦定理得：222222cos 77277cos AC AD CD AD CD D D=+-⨯⋅=+-⨯⨯9898cos D =-.在ABC ∆中，由余弦定理得：222222cos 53253cos AC AB BC AB BC B B =+-⨯⋅=+-⨯⨯=3430cos B -.∴9898cos 3430cos D B -=-， ∵B D π+=，∴cos cos()cos B D D π=-=-， ∴9898cos D -=3430cos D +， ∴1cos 2D =， ∴3D π=.（2）由（1）得233B πππ=-=，∴ABCD ACD ABC S S S =+11sin sin 22AD CD D AB BC B =⋅+⋅17722=⨯⨯⨯+15322⨯⨯⨯=【点睛】本题考查了余弦定理、面积公式，重点考查了数学运算能力，方程思想.20．（1）1n a n =+，4nn b ；（2）()132489n nS n ++⨯-=【解析】 【分析】（1）首先求出12a =，从而得到{}n a 的通项公式，继而求出{}n b 的通项公式. （2）利用错位相减法求出前n 项和n S . 【详解】 解：（1）{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，满足1232n n a n b b b b ⋅⋅⋅⋅=，且14b =，.所以11142a b ⋅==解得12a =，又2124a a =+，所以23a =，所以1n a n =+()11232n n n b b b b ⋅+∴⋅⋅⋅=①当2n ≥时，则()112312n n n b b b b ⋅--⋅⋅⋅=②①除以②得11242n n n n n nb经检验当1n =时，4n n b 也成立，所以4n nb（2）由（1）知()14n nn n c a b n =⋅=+⋅()12324344414n n n S =⨯+⨯++∴⨯++⨯①; ()2341243444441n n n S +=⨯+⨯+⨯+++⨯②;①减②得()123412414141414314n n nS n +=⨯+⨯-+⨯+⨯++⨯-+⨯()()1414414134n n n n S +--=+-+⨯-()1144414333n n n S n ++=-+-+⨯-()13248333n n S n +-+=-()132489n nn S ++⨯-=∴ 【点睛】本题考查数列通项公式的计算，以及错位相减法求和，属于中档题. 21．（1）()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）62536π 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的数量积及三角恒等变换化简可得()sin 26f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再由函数的最小正周期求出ω.（2）由32125B f π⎛⎫+= ⎪⎝⎭求出sin B ，再由同角三角函数的基本关系求出cos B ，由32BA BC ⋅=，可得40ac =，由cos A a ，516b ，cos Cc成等差数列，利用正弦定理边角互化求出b ，最后由正弦定理求出外接圆的半径，即可得解. 【详解】 解：（1）(sin ,1)m x ω=-，13cos ,2n x ω⎛⎫=-⎪⎭，()()2f x m m n =⋅+- 221()2sin 1cos 22f x m m n x x x ωωω∴=+⋅-=++-1cos 21()2222x f x x ωω-∴=+-1()2cos 222f x x x ωω∴=- ()sin 26f x x πω⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，因为()f x 的最小正周期为π22T ππω∴==，1ω∴= ()sin 26f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭（2）32125B f π⎛⎫+= ⎪⎝⎭3sin 221221265B B f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3sin 5B ∴=cos 54B ∴=±又32BA BC ⋅=即cos 32ac B = 4cos 5B ∴=，40ac = cos A a ，516b ，cos C c成等差数列 5cos cos 216A Cb a c∴⨯=+即()58cos cos ac b c A a C =+ ()5sin sin 8sin sin cos sin cos A C B C A A C ∴=+ ()5sin sin 8sin sin A C B A C ∴=+25sin sin 8sin A C B ∴=即258ac b =5b ∴=2sin b R B =，5252335R ∴==，256R ∴= 2225625636S R πππ⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭【点睛】本题考查三角函数的性质，正弦定理解三角形，属于中档题.22．（1）11a =，22a =，n a n =；（2）①证明见解析；②1009303592-+⨯ 【解析】 【分析】（1）代入求出1a 、2a 的值，猜想{}n a 的通项公式为n a n =，再用数学归纳法证明即可；（2）由11b =，且()2211cos sin 22n n n n b a b a n N ππ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+∈⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.即可得到一般地，2122n n b b +=，2211n n b b -=+则212122n n b b +-=+，从而可证数列{}n c 为等比数列，再用分组求和的方法求出2019T . 【详解】 解：（1）232331n n S a a a =+++当1n =时，2311S a =解得11a =或10a =（舍去） 当2n =时，233212S a a =+解得22a =猜想数列{}n a 的通项公式为n a n =，则()12n n n S += 显然当1n =时成立， 假设当n k =时也成，即323312k k S a a a =+++，则1n k =+时，()()()()2222221111122112k k k k k k k k k k S S a S S a a S k k +++++=+=+⋅+=+⋅⋅+++ ()()22211k S k k k =++++ ()321k S k =++231k k S a +=+ 233311k a a a +=+++得证所以n a n =（2）①11b =，且()2211cos sin 22n n n n b a b a n N ππ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.()211012b b ∴=++= ()321104b b =++=答案第17页，总17页 ()431015b b =++=一般地，2122n n b b +=，2211n n b b -=+则212122n n b b +-=+所以()2121222n n b b +-+=+即2121222n n b b +-+=+ 所以{}212n b -+是公比为2的等比数列，212n n c b -=+，所以数列{}n c 为等比数列；()1211222n n b b --∴+=+⋅121232n n b --∴=-+⋅122111322n n n b b -+∴==-+⋅ 11212232132n n n n b n +--⎧-+⋅⎪∴=⎨⎪-+⋅⎩，为奇数，为偶数 ②()()()()01210092019232232232232T =-+⋅+-+⋅+-+⋅++-+⋅()()()()0121008132132132132+-+⋅+-+⋅+-+⋅++-+⋅ ()()()01210081009210101100923232323232=-⨯+-⨯+⨯⋅+⋅+⋅++⋅+⋅()()1009100912210101100963212-=-⨯+-⨯+⋅+⋅- 1009303592=-+⨯【点睛】本题考查利用n S 求n a ，递推公式证明数列是等比数列及分组求和，属于难题.。
2021-2022学年重庆市南开中学校高一下学期期中数学试题(解析版)
2021-2022学年重庆市南开中学校高一下学期期中数学试题一、单选题 1．已知复数52iz =+（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．1- B ．2 C ．i - D ．i【答案】A【分析】根据复数的概念及复数的除法即可求解. 【详解】()()()()52i 52i 52i 2i 2i 2i 5z --====-++-， 所以z 的虚部为1-. 故选：A.2．若向量a ，b 满足||2a =，||2b =，2a b ⋅=，则||a b -=（ ） A ．2 B ．2C ．23D ．4【答案】B【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求得a b -的值. 【详解】由题意可得()22222222222a b a b a a b b -=-=-⋅+=-⨯+=.故选：B.3．两个体积分别为1V ，2V 的几何体夹在两个平行平面之间，任意一个平行于这两个平面的平面截这两个几何体，截得的截面面积分别为1S ，2S ，则“12V V =”是“12S S ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【分析】由祖暅原理，再结合充分条件，必要条件的定义即可求解． 【详解】解：根据祖暅原理，①由12S S ，得到12V V =，∴必要性成立，②由12V V =，则1S ，2S 不一定相等，例如两个完全相同的棱锥，分别正置和倒置，∴充分性不成立，12V V ∴=是12S S 的必要不充分条件，故选：B ．4．如图，在△ABC 中，3AB AD =，CE ED =，设AB a =，AC b =，则AE =（ ）A ．1132a b +B ．1142a b +C ．1152a b +D ．1162a b +【答案】D【分析】根据向量的加法法则，即可求解. 【详解】解：由题意得：11111112223262AE AD AC AB AC a b =+=⨯+=+， 故选：D.5．现将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度，再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（ ）A ．sin 3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．sin 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．sin 43x π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．sin 46x π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据三角函数相位平移和周期变换特点得到函数解析式.【详解】()sin 2f x x =向右平移6π个单位长度得sin 2sin(2)63y x x ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，再将所得图像上所有点横坐标变为原来倍，纵坐标不变，得：sin()3y x π=-，所以()sin()3g x x π=-故答案为：A6． ABC 中，2cos2cos22sin B C A ->，则 ABC 的形状为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定【答案】C【分析】先利用二倍角公式化简得到化简得222sin sin sin +<B C A ，进而得到2220-+<c a b ，再利用余弦定理判断.【详解】解：因为在 ABC 中，2cos2cos22sin B C A ->，所以()2222cos 12cos 12sin --->C A B ，化简得222sin sin sin +<B C A ， 即2220-+<c a b ，所以222cos 02-=+<a c b A bc， 因为,2A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以 ABC 的形状为钝角三角形，故选：C7．已知函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]0,2π上恰有3个零点，则正实数ω的取值范围是( )A ．1723,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1117,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭D ．75,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】根据0>ω，[]0,2x π∈，得,2333x πππωπω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数图像，确定23ππω-的位置范围即可求出ω的范围﹒【详解】∵0>ω，[]0,2x π∈，∴,2333x πππωπω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦， 函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]0,2π上恰有3个零点，则如图，2275363233ππωπωππωπ⎧-⎪⎪⇒<⎨⎪-<⎪⎩﹒故选：D ．8．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱AB ，BC 的中点，过1A ，E ，F 三点的平面将正方体分割成两部分，两部分的体积分别为1V ，()212V V V <，则12:V V =（ ）A ．519B ．524C ．717D ．724【答案】C【分析】结合台体体积公式、正方体体积公式求得正确答案. 【详解】由于11////EF AC AC ，所以11,,,E F C A 共面， 111BEFB AC ，所以111BEF B A C -是台体，设正方体的边长为2，111111117111122222322223BEF B A C V -⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以127737172223V V ==⨯⨯-.故选：C二、多选题9．下列关于复数z 的运算结论，正确的有（ ） A ．2z z z ⋅= B ．22z z = C ．1212z z z z ⋅=⋅ D ．1212z z z z +≤+【答案】ACD【分析】设出复数直接计算可得.【详解】记111222i i i z a b z a b z a b =+=+=+，，，则i z a b =- 则222(i)(i)=z z a b a b a b z ⋅=+-+=，A 正确； 因为2222(i)2i z a b a b ab =+=-+，故B 错误； 因为12112212121221(i)(i)=()i z z a b a b a a b b a b a b ⋅=++-++，所以2222222222121212122112122112()()z z a a b b a b a b a a a b a b b b ⋅=-++=+++ 又22222222222212112212122112()()z z a b a b a a a b a b b b ⋅=++=+++，故C 正确； 222222212121212121212()()22z z a a b b a a b b a a b b +=+++=+++++2222222221211221122()2()()z z a b a b a b a b +=++++++因为2222222222221122121221122()()2a b a b a a a b a b b b ++=+++ 22221212121212122222a a a a b b b b a a b b ≥++=+所以1212z z z z +≤+，D 正确. 故选：ACD10．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，12CC =，点E ，F ，G 分别为棱CD ，1DD ，1CC 的中点，则下列结论中正确的有( )A ．11AB 与FG 共面 B ．AE 与11AC 异面C ．1AG ∥平面AEFD ．该正四棱柱外接球的表面积为8π【答案】ABC【分析】证明11//A B FG 即可判断A ；连接11AC A C 、，证明AE 与11A C 分别是两个互相平行的平面里面的不平行直线即可判断B ；取1AA 的中点为H ，连接,HF HD AF CH AF HD I ⋂=、、、，连接IE ，证明1//A G //CH EI 即可判断C ；根据长方体外接球球心为体对角线中点即可计算长方体外接球半径，从而计算其外接球表面积，从而判断D ．【详解】①1//DD 1CC ，且11,DD CC F =是1DD 中点，G 是1CC 中点， 1//FD ∴1GC ，且11FD GC =，∴四边形11C D FG 是平行四边形，//FG ∴1111,//C D C D 1111,//A B A B ∴11,FG A B ∴与FG 共面，故A 正确；②连接111,//AC AC AA 、111,,CC AA CC =∴四边形11ACC A 为平行四边形， 11//A C ∴AC ，ACAE A =，故AE 与11A C 不平行，而AE ⊂平面11,ABCD AC ⊂平面1111D C B A ，平面//ABCD 面1111D C B A ， 11AC ∴和AE 互为异面直线，故B 正确；③取1AA 的中点为H ，连接,HF HD AF CH AF HD I ⋂=、、、，连接IE . 1//AA 111,,DD AA DD H =是1AA 中点，F 是1DD 中点，//AH ∴DF ，且,AH DF =∴四边形ADFH 是平行四边形， I ∴是DH 的中点，又E 是CD 中点，∴在CDH △中，//EI CH ．1//AA 111,,CC AA CC H =是1AA 中点，G 是1CC 中点， 1//A H ∴1,,CG A H CG =∴四边形1A HCG 是平行四边形，//CH ∴1A G ，/EI /∴1,A G EI ⊂平面1,AEF AG ⊄平面1//,AEF A G ∴平面AEF ，故C 正确．④设该四棱柱外接球半径为R ，则22222(2)11246R R =++⇒=， 故该正四棱柱外接球的表面积为246R ππ=，故D 错误． 故选：ABC.11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列结论正确的有( )A ．若4b =，3sin 4A =，3sin 5B =，则5a = B ．若2bc a =，则3A π≥C ．若4b =，60A =︒，5a =则△ABC 有唯一解 D．若a =23A π≤ 【答案】ACD【分析】根据正弦定理可解A ，根据余弦定理和基本不等式可判断BD ，根据余弦定理解三角形可判断C ．【详解】A 选项：根据正弦定理得，43sin 53sin sin sin 45a b b a A A B B=⇒=⋅=⨯=，故A 正确；B 选项：根据余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-，∵2bc a =， ∴22222cos a b c a A =+-，∴222222222221cos 2222b c a bc a a a A a a a +---===， ()0,A π∈，0,3A π⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦，故B 错误；C 选项：由余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-，即212516242c c =+-⨯⋅⋅，即2490c c --=，方程Δ0>，设方程两根为12c c 、，∵1290c c =-<，124c c =，∴方程只有一个正根，即c 边有唯一取值，故三角形有唯一解，故C 正确； D 选项：根据余弦定理得，2222cos a b cbc A =+-，∵a = ∴2222cos b c bc A =+-⎝⎭， ∴22222222126261()cos 22()2222b c b c b c bc bc bc b c A bc bc b c bc bc bc +-++==--=-++，当且仅当b ＝c 时取等号，∵()0,A π∈，203A π∴<，故D 正确． 故选：ACD ．12．已知平面向量满足1a =，2b =，22c b a b a --=-，则以下说法正确的是（） A ．2b a = B ．13a b +≤≤C ．若0a b ⋅=，则c a -的最大值是D ．c a ⋅的取值范围是[]4,5- 【答案】BCD【分析】由题意当2b a =时，4=0c a -，由已知不能确定4=0c a -，判断A;利用绝对值不等式性质可判断B;建立直角坐标系，利用坐标运算表示出42c a -=结合三角函数性质，判断C;作图分析可得向量c 对应的点轨迹为圆，利用圆的性质，结合数量积的几何意义，可判断D.【详解】A 选项：当2b a =时， 22=0c b a b a --=-，即4=0c a -，由已知不能确定4=0c a -是否成立，故A 错误；B 选项：3a b a b ++=≤，||||||||1a b a b +≥-=，B 选项正确： 对于C,因为0a b ⋅=，故以向量a ，b 起点为坐标原点，a 方向为y 轴正方向，b 方向为x 轴正方向，建立坐标系,则()0,1a =，()2,0b =，设(),c x y =， 由()22c a b b a -+=-， 得()()22228x y -+-=，设2x θ=+，2y θ=+，[0,2]θπ∈ ， ()(),12,1c a x y θθ-=-=++，则42c a -=其中2cos ))θθθθθϕ+=+=+，(sin ϕϕ== ，故θθ+≤2πθϕ+=时取等号，故410c a -≤C 选项正确；D 选项：以b ，2a 邻边作平行四边形OADB 为菱形，2,OA a OB b == ， 2AB b a =-，2OD b a =+，设OC c = ，由题目条件，可知点C 的轨迹是以D 为圆心，2r b a AB =-=为半径的圆． 设AOD θ∠=，则4cos OD θ=，4sin AB θ=，所求的cos c c a θ⋅=，即为c 在a 上的投影， 如图所示，延长OA 交点C 的轨迹于F ,作DE AF ⊥ , 当C 为图中两条切线的切点时，取得最大值、最小值，()2maxcos 4cos 4sin c a OE BF OD r θθθ⋅=+=+=+22154sin sin 14(sin )524θθθ⎡⎤⎡⎤=-++=--+≤⎣⎦⎢⎥⎣⎦=，当1sin 2θ=时取等号， 同理，可得()22mincos 4cos 4sin 4sin 44sin c dOD r θθθθθ⋅-=-=-+=-2154(sin )424θ⎡⎤=-++≥-⎢⎥⎣⎦，当sin 1θ= 时取等号，故[]4,5c a ⋅∈-，故D 选项正确， 故选：BCD三、填空题13．在ABC 中，,,a b c 是角,,A B C 所对的边长，若sin :sin :sin 4:5:6A B C =，则cos C ________．【答案】18【分析】由正弦定理得到::4:5:6a b c =，设ABC 的三边分别为4,5,6，结合余弦定理，即可求解.【详解】由sin :sin :sin 4:5:6A B C =，由正弦定理可得::4:5:6a b c =， 可设ABC 的三边分别为4,5,6a b c ===，由余弦定理可得2222224561cos 22458a b c C ab +-+-===⨯⨯， 故答案为：18.14．如图，△ABC 中，90A ∠=︒，2AB AC ==，点M 为边BC 的中点，点N 为边AB 的中点，则AM CN ⋅=_________．【答案】－1【分析】用AB AC 、作为基底表示出AM CN 、即可根据数量积的运算律计算． 【详解】()()()()111224AM CN AB AC CB CA AB AC AB AC AC ⋅=+⋅+=+⋅-- ()()()()()22211112||2|||414444AB AC AB AC AB AC AC =+⋅-=-=⨯-=⨯-=-． 故答案为：－1．15．某同学欲为台灯更换一种环保材料的灯罩，如图所示，该灯罩是一个有上底面无下底面的圆台．经测量，灯罩的上底面直径为18 cm ，下底面直径为34 cm ，灯罩的侧面展开图是一个圆心角为23π的扇环，则新灯罩所需环保材料的面积为_________2cm (结果保置π)．【答案】705π【分析】作出圆台轴截面图像和侧面展开图，找到边长对应关系，根据扇形面积和圆的面积计算公式即可计算． 【详解】如图为圆台轴截面：如图为圆台侧面展开图：圆台上底面半径为19r =，下底面半径为217r =，1112323r l r ππ==，2222323r l r ππ==， 则扇环面积为：()()()222222112211213333179624r l rl r r r r r r ππππππ-=⋅-⋅=-=-=，则新灯罩所需环保材料的面积为：()22162462481705cm r πππππ+=+=．故答案为：705π．16．△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，满足()2221cos cos 0A c ac C b a --+-=，点D 、E 分别在边AC 、BC 上，2AD CD =，若2BD =，则△ABC 的面积的最大值为_________． 33【分析】根据条件结合余弦定理和三角恒等变换得出角A ,在ABD △中由余弦定理求出AD AB ⋅的最大值，从而得出答案.【详解】由()2221cos cos 0A c ac C b a --+-=可得2222cos cos c b a ac C c A +-=+即22cos cos cos bc A ac C c A =+,即22sin sin cos sin sin cos sin cos B C A A C C C A =+ 由0C π<<则sin 0C ≠，所以()2sin cos sin cos sin cos sin sin B A A C C A A C B =+=+= 即2sin cos sin B A B =,由0B π<<则sin 0B ≠, 1cos 2A =, 又0A π<<,所以3A π=在ABD △中, 2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅⋅所以22222224233333AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=+-⋅≥⋅⋅-⋅=⋅ ⎪⎝⎭所以6AB AC ⋅≤，当且仅当23AB AC =时等号成立. 由13333sin 62442ABCSAB AC A AB AC =⋅=⋅≤⨯=所以△ABC 的面积的最大值为332故答案为：332四、解答题17．已知z 为虚数，z 为z 的共轭复数，满足2i 3z z =⋅-，其中i 为虚数单位． (1)求z z ⋅ (2)若5mz -m 的值． 【答案】(1)5 (2)5m =【分析】（1）设()i ,z a b a b R =+∈，根据2i 3z z =⋅-，利用复数相等求解； （2）先化简5mz 5mz 为纯虚数求解. 【详解】(1)解：设()i ,z a b a b R =+∈，则i z a b =-， 由题意得：()()2i i i 3a b a b +=--，即22i 3i +=-+a b b a ，则232a b b a =-⎧⎨=⎩，解得21a b =-⎧⎨=-⎩， 所以()()2i 2i 5⋅=---+=z z ；(2)∵()552552i 2i ⎫⎫=--=--+⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭mz m m m ， 且5mz 为纯虚数， ∴252050m m ⎧-=⎪⎪⎨⎫⎪-≠⎪⎪⎪⎝⎭⎩，∴m =18．已知平面直角坐标系xOy 中，有三个不同的点A ，B ，C ，其中()0,2A ，()3,1B ，(),C x y ． (1)若2AC BC =，求点C 的坐标；(2)若CA CB ⊥，且OC AB =，求OC AB ⋅． 【答案】(1)()6,0； (2)0﹒【分析】(1)根据向量线性运算的坐标表示即可列方程求解；(2)向量垂直，数量积为零，据此求出C 的坐标，再根据向量数量积坐标表示即可求解． 【详解】(1)∵(),2AC x y =-，()3,1BC x y =--，∴()()23622210x x x AC BC y y y ⎧=-=⎧⎪=⇒⇒⎨⎨-=-=⎪⎩⎩，即C 的坐标为()6,0C ．(2)∵(),2CA x y =--，()3,1CB x y =--，由2222·0332010CACBx y x y OC AB x y ⎧=⎧+--+=⎪⇒⎨⎨=+=⎩⎪⎩， 解得：13x y =⎧⎨=⎩或31x y =⎧⎨=⎩，又∵A ，B ，C 为三个不同的点，13x y =⎧⎨=⎩，∴()1,3OC =，()3,1AB =-， ∴0OC AB ⋅=．19．已知平面向量()cos sin a x x x =-，()cos sin ,2cos b x x x =+，设函数()f x a b =⋅．(1)求函数()y f x =图象的对称轴；(2)若方程()f x m =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围．【答案】(1)()62k x k Z ππ=+∈ (2)()1,2m ∈【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示及三角恒等变换公式将函数化简，再结合正弦函数的性质计算可得；（2）由x 的取值范围，求出26x π+的范围，即可求出函数的单调区间，依题意可得()y f x =与y m =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个不同的交点，即可得解；【详解】(1)解：因为()cos sin a x x x =-，()cos sin ,2cos b x x x =+，且()f x a b =⋅，所以()()()cos sin cos sin cos f x a b x x x x x x =⋅=-++22cos sin cos x x x x =-+cos 22x x =12cos 222x x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ 2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当()262x k k Z πππ+=+∈时，解得()62k x k Z ππ=+∈， 所以对称轴()62k x k Z ππ=+∈． (2)解：当02x π<<时，72666x πππ<+<， 令2662x πππ<+≤，解得06x π<≤，即函数在0,6π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，令72266x πππ<+<，解得62x ππ<<，即函数在,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，又()02sin 16f π⎛⎫== ⎪⎝⎭，2sin 22666f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2sin 22sin 12266f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵()f x m =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个不相等的实数根，即()y f x =与y m =有两个不同的交点， ∴()1,2m ∈．20．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知sin 20a B A =． (1)求角B 的大小；(2)给出三个条件：①b =②3a c +=+③cos sin c C A =，从中选出两个作为已知条件，求△ABC 的面积． 【答案】(1)6B π=【分析】（1）由正弦定理统一为三角函数化简可得；（2）选①②利用余弦定理可求出ac ，再由面积公式求解；选①③由余弦定理及正弦定理转化为关于c 的方程求解即可得c ，再得出a ，由三角形面积公式求解；选②③由正弦定理转化为三角形边的方程，再联立已知即可求出ac ，由面积公式求解.【详解】(1)∵sin 2sin 0a B A =，∴2sin cos sin 0a B B A =∴2cos 0ab B =，从而()cos B 0πB =∈， ∴6B π=(2)若选①②：已知b =3a c +=+1）可知6B π=，由余弦定理可得22222cos 32a c b B a c ac +-==⇒+=∴()223a c ac +-=，即((2323ac +-=．解得ac =1sin 2ABCSac B ==若选①③：已知b =sin sin c C A =．由余弦定理可得22222cos 32a c b B a c ac +-==⇒+=∵sin sin c C A =，∴2c a =．∴43230c c +-=，即(30c c c +=∴c =∴3a =，∴1sin 2ABCSac B ==若选②③：已知3a c +=sin sin c C A = ∵sin sin c C A =，∴2c a =．23a c c a ⎧+=+⎪⎨=⎪⎩3c a ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩∴1sin 2ABCSac B ==21．“方舱医院”原为解放军野战机动医疗系统中的一种，是可以移动的模块化卫生医疗平台，一般由医疗功能区、病房区、技术保障区等部分构成，具有紧急救治、外科处置、临床检验等多方面功能．某市有一块三角形地块，因疫情所需，当地政府现紧急划拨该地块为方舱医院建设用地．如图所示，2km AB BC AC ===，D 是BC 中点，E 、F 分别在AB 、AC 上，△CDF 拟建成技术保障区，四边形AEDF 拟建成病房区，△BDE 拟建成医疗功能区，DE 和DF 拟建成专用快速通道，90EDF ∠=︒，记CDF θ∠=(1)若30θ=︒，求病房区所在四边形AEDF 的面积；(2)当θ取何值时，可使快速通道E -D -F 的路程最短？最短路程是多少？ 【答案】53(2)45θ=︒，最短路程326【分析】（1）根据已知条件中的几何关系可知，DCF 是直角三角形、BDE 是等边三角形 ，分别求出线段的长，再进行面积求解即可；（2）在△BDE 中和△CDF 中分别表示出DE 、DF ，表示出快速通道E -D -F 的路程，再运用三角恒等变换公式进行化简，最后从函数值域的角度求最值. 【详解】(1)30θ=︒，则Rt DCF △中，1DC =，12CF =，3DF =； BDE 为等边三角形，1BD DE BE ===，DE AC ∥，四边形AEDF 为直角梯形，其面积为：13353122AEDP S ⎛=+= ⎝⎭(2)在△BDE 中，由正弦定理：()()sin60sin 30sin 90DE BD BEθθ==︒︒+︒- 在△CDF 中，由正弦定理；()sin60sin sin 120DF CF CDθθ==︒︒-所以()()sin603sin 30DE θ︒==︒+()()sin603sin 120DF θ︒==- ()()()()33311sin 120sin 30E D F l θθ--⎫==+⎪⎪︒-︒+⎝⎭()()()()()31sin cos sin 120sin 303333sin cos 2sin 30sin 12022332sin cos sin21θθθθθθθθθθθ++⎫︒-+︒+++==⎪⎪︒+︒-⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭sin cos 2sin 1,24t πθθθ⎛⎫⎡⎤=+=+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，则22sin cos 1t θθ=- ()23333122331122t l t t tθ++==-⎛⎫-+- ⎪-⎝⎭在1,2t ⎡⎤∈⎣⎦上单调递减，所以当2t =即45θ=︒时，取最小值326l =-.22．如图，圆柱1OO 的轴截面ABCD 为正方形，2AB =，EF 是圆柱上异于AD ，BC 的母线，P ，Q 分别为线段BF ，ED 上的点．(1)若P ，Q 分别为BF ，ED 的中点，证明：//PQ 平面CDF ； (2)若1BP DQ CFPF QE DF==≤，求图中所示多面体FDQPC 的体积V 的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)最大值12．【分析】（1）连接CE ，根据圆柱的性质可得四边形BEFC 为平行四边形，即可得到P 为CE 的中点，从而得到//PQ CD ，即可得证；（2）设CDF θ∠=，0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，即可得到2sin CF θ=，2cos DF θ=，再根据比例关系，表示出DCF S △，PCF S △，表示出三棱锥Q CFD -与三棱锥Q PCF -的高，根据锥体的体积公式得到22tan 1sin 23tan 1(tan 1)CDFPQ Q CFD Q DCF V V V θθθθ--⎛⎫=+=+ ⎪++⎝⎭，令tan ,01x x θ=<≤，则1141132CDFPQx x V x x x x ++=⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，再令113u x x =++≥，根据函数的性质求出最大值；【详解】(1)证明：如图连接CE ，根据圆柱的性质可得//BC EF 且BC EF =，所以四边形BEFC 为平行四边形， 因为P 为BF 的中点，所以P 为CE 的中点，又Q 为ED 的中点，所以//PQ CD ， 因为PQ ⊄平面CDF ，CD ⊂平面CDF ， 所以//PQ 平面CDF ，(2)解：Rt CDF 中，设CDF θ∠=，0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则2sin CF θ=，2cos DF θ=，所以2sin tan 12cos BP DQ CF PF QE DF θθθ====≤， 所以12sin cos sin 22DCFS CF DF θθθ=⋅==， 1112sin 2sin 2tan 12tan 1tan 1PCFBCF SSθθθθθ=⋅=⨯⨯⨯=+++设三棱锥Q CFD -高为h ，设三棱锥Q PCF -高为s ， 由比例关系，可知tan 2tan tan 1tan 1h EF θθθθ=⋅=++，21ta 1co n 1tan s s DF θθθ=⋅=++ 所以，12sin 2tan 33tan 1Q CFDCFD V S h θθθ-=⋅=+，()212sin 233tan 1Q PCF PCF V S s θθ-=⋅=+22tan 1sin 23tan 1(tan 1)CDFPQ Q CFD Q DCF V V V θθθθ--⎛⎫=+=+ ⎪++⎝⎭ ∵22tan sin 2tan 1θθθ=+∴()()222tan tan tan 1431tan (tan 1)CDFPQV θθθθθ++=++ ∵设tan ,01x x θ=<≤∴()()()222111441133112CDFPQ x x x x x V x x x x x x ++++==⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 令113u x x=++≥，当且仅当1x =时取等号，则()()244411311313CDFPQ u u V u u u u u===-+--又CDFPQ V 关于u 在[)3,+∞上单调递减，∴当3u =，即1x =，即45θ=︒时，CDFPQ V 取到最大值12．。