多元函数积分学

性质1 被积函数中的常数因子可以提到积分号前面，即
kf (x, y)d k f (x, y)d
D
D
性质2 有限个可积函数的代数和必定可积，且函数代
数和的积分等于各函数积分的代数和，即
[ f (x, y) g(x, y)]d f (x, y)d g( x, y)d .
把区域 D 任意分割成n个小区域:
1, 2 ,L
,

，
n
其
中 i表示第i个小区域(i=1,2,...,n),也表示其面积.在每个小
n
区域 i 上任取一点 (i ,i ) ,作和
f (i ,i ) i
i 1
若 为i 的 i 直径，记 max{,1若,2极,L限,n}

b
dx
2(x) f ( x, y)d y
c
1( y)
a
1 ( x )
即二重积分可以化成先对变元x 积分，后对变元y 积分的
二次积分.也可化为先对变量y 积分，后对变量x 积分的
二次积分
先对一个变量积分时，另一个变量应视为常量，
按定积分的计算方法解之.
在上述讨论中，我们假定f (x,y)≥0，但是实际上，上
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2.二重积分的存在定理
若f(x,y)在有界闭区域D上连续，则f(x,y)在D上必可积.
3.二重积分的几何意义：
(1) 若在D上f(x,y)≥0，则 f ( x, y)d表 示以区域D为底， D 以f(x,y)为曲顶的曲顶柱体的体积.
(2) 若在D上 f(x,y)≤0，则上述曲顶柱体在Oxy面的下方
顶柱体体积的近似值为
n
f (i ,i ) i .
i 1
(4) 取极限 记 max{1, 2 ,L , n } ,若极限
n
lim
0 i1
f (i ,i ) i
存在,则它即为所求曲顶柱体的体积.
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1．二重积分的定义
定义 设f (x,y)是定义在闭区域D上的有界函数.
第8章 多元函数积分学 8.1 二重积分的概念与性质 8.2 二重积分的计算
结束
8.1 二重积分的概念与性质
8.1.1 二重积分的概念
引例1 曲顶柱体的体积.
若有一个柱体，它的底是Oxy平面上的闭区域D，
它的侧面是以D 的边界曲线为准
z f (x, y)
线，且母线平行于z轴的柱面，
它的顶是曲面z=f(x,y)，
所以
bd
b
d
f (x, y)d xd y ( f (x, y)d y)d x d x f (x, y)d y
ac
a
c
D
这是先对y后对x的累次积
分计算二重积分的方法
同法可得到先对x后对y
的积分方法.
cy d
b
f ( x, y)d x d y
a
D
db
d
b
[ f ( x, y)d x]d y d y f ( x, y)d x
在区间[a,b]上任取一点x，过该点作垂直于x轴的平面
截立体，截得一曲边梯形,其面积为S(x)，则
S( x) 2( x) f ( x, y)dy. 1 ( x )
于是所求的体积
b
V a S( x)dx.
b 2( x) f ( x, y)d y d x a 1 ( x )
ca
c
a
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例2
计算积分

D
y x2
dxdy
，其中D是正方形区域：
1≤ x ≤ 2,0 ≤ y ≤1.
解
D
y x2
dxdy

2
1y
dx
1
0
x2 dy

21 1 2x2
1
y2 dx
0
1 2
2 dx 1 x2

1. 4
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2.当区域D为 1( x) y 2( x) a x b.
述结论并不受此限制.
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为了便于确定积分区域D的不等式表达式，通常
可以采用下述步骤：
(1) 画出积分区域D的图形.
(2) 若先对y积分，且平行于y轴的直线与区域D的边界
线的交点不多于两点，那么确定关于y积分限的方
法是：
作平行于y轴的有向直线与区域D相交
2(x)
先与直线相交的区域D的边界曲线 作为1 (积x )分下限 后与直线相交的区域D的边界曲线 2( x)
D
D
性质5 若在积分区域D上有f(x,y)=1，则
d ( 表示D的面积)
D
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性质6(估值定理) 若在D上处处有m≤f(x,y)≤M，则
m f ( x, y)d M （ 表示D的面积) D
性质7(二重积分中值定理) 设f(x,y)在有界闭区域D 上连续，则在D上存在点 ( ,，) 使
二重积分的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积. (3)若f(x,y)在D的某些子区域上为正的，在D的另一些子区
域上为负的，则二重积分表示在这些子区域上曲顶柱 体体积的代数和(即在Oxy平面之上的曲顶 柱体体积减
去Oxy平面之下的曲顶柱体的体积).
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8.1.2 二重积分的性质
二重积分有与定积分类似的性质.假设下面各性质中 所涉及的函数f(x,y)，g(x,y)在区域 D上都是可积的.
D
D
D
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性质3 若D 可以分为两个区域D1，D2，则
f ( x, y)d f ( x, y)d f ( x, y)d .
D
D1
D2
D2 D1
性质4 若在D上处处有f(x,y)≤g(x,y)，则有
f (x, y)d g(x, y)d .

b
dx
2(x) f ( x, y)d y
a
1 ( x )
a x
b
1( x)
z f (x, y)
S(x)
2(x)
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同样，设区域D由 1( y) 和2( y) 围成,用不等式表示为
1( y) x 2( y) c y d.
在[c,d]上取定一点y，过该点作垂直于y轴的平面截
(即 表i 示 中任i 意两点间距
离的最大值)，在 中 i 任取一
点 (i ,,以i ) f为(i高,而i ) 底
为 的i 平顶柱体体积为
f (i ,i ) i .
此为小曲顶柱体体积的近似值
(i ,i )
z f (x, y)
Δσi
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(3) 求和 把所有小平顶柱体的体积加起来,得到曲
3πe ex2 y2d 3πe4 .
D
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8.2 二重积分的计算
二重积分的计算主要是化为两次定积分计算，称 为二次积分或累次积分.下面从二重积分的几何意义来 引出这种计算方法.
8.2.1 二重积分在直角坐标系下的计算
在直角坐标系中，如果用平行于两个坐标轴的两
组直线段，将区域D分割成n个小块 1, 2 ,L , n ,
n
称为面积元素, x 和y 称为积分变量, f (i ,i ) i 称为积 i 1
分和.
由以上定义知,曲顶柱体的体积 V f ( x, y)d
D
注:(1)和式极限存在是指当所有小区域的最大直径 0时 积分和有惟一确定的极限,极限值与D的分法和 (的i ,取i ) 法无关. (2)二重积分的值是个常数,其大小仅与被积函数和积分 区域有关而和积分变量无关.
c ≤ y ≤ d ,a,b,c,d 为常数),
任取 x (a,b),用过点 x且垂直
于x 轴的平面截曲顶柱体,则
可得到一曲边梯形,其面积为 a
s( x) d f ( x, y)dy c
x
b
s( x)
c
d
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于是由平行截面面积已知的立体体积公式可得:
b
bd
V a s( x)d x a (c f ( x, y)d y)d x
D

3 0
(6

2x) y

3 2
y
2

2(1 0
x 3
)
dx

3 0
12 1

x 3
2

6 1

x 3
2


dx

6
3 0

1

x 3
2
dx

6.
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解法2 先对x积分
作平行于x轴的有向直线与区域D相交，得积分下限
n
lim
0 i1
f (i ,i ) i
存在,则称为函数 f (x在, y区) 域D上的定积分,记
n
即
D
f (x,
y)d
lim 0
i 1
f (i ,i ) i
f (x, y)d
D
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其中f (x,y) 称为被积函数, f ( x, y)d 称为被积表达式, d
x2( y) f ( x, y)dx
c
x1 ( y )
S( y)
c yd
x 1( y) x 1( y)
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因此
D
f ( x, y)dxdy
d c

2( y) 1( y)
f