吉林省长春市名校调研2019-2020学年九年级(上)期中数学试卷含解析
2019-2020学年九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分共24分）1．计算sin45°＝（）A．B．1 C．D．2．方程2x2+5＝7x根的情况是（）A．有两个不等的实数根B．有两个相等的实数根C．有一个实数根D．没有实数根3．若数a在数轴上对应的点的位置在原点的左侧，则下列各式中有意义的是（）A．B．C．D．4．如图，在四个4×4的正方形网格中，三角形相似的是（）A．①和②B．②和④C．②和③D．①和③5．如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为M（，2），那么cosα的值是（）A．B．C．D．6．将化简，正确的结果是（）A．B．C．D．7．如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的，则AO：AD的值为（）A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．4：138．为宣传“扫黑除恶”专项行动，社区准备制作一幅宣传版面，喷绘时为了美观，要在矩形图案四周外围增加一圈等宽的白边，已知图案的长为2米，宽为1米，图案面积占整幅宣传版面面积的90%，若设白边的宽为x米，则根据题意可列出方程（）A．90%×（2+x）（1+x）＝2×1 B．90%×（2+2x）（1+2x）＝2×1C．90%×（2﹣2x）（1﹣2x）＝2×1 D．（2+2x）（1+2x）＝2×1×90%二、填空题（每小题3分，共18分）9．已知，则锐角α的度数是．10．如图是一块等腰三角形空地ABC，已知点D、E分别是边AB、AC的中点，量得AC＝10米，AB＝BC＝6米，若用篱笆围成四边形BCED来放养小鸡，则需要篱笆的长是米．11．若关于x的方程x2+（m2﹣2）x﹣15＝0有一个根是x＝3，则m的值是．12．能使与是同类二次根式的x的最小正整数是．13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，AD平分∠BAC，点E为AC的中点连结DE，若△CDE 的周长为21，则BC＝．14．如图，△ABC是面积为27cm2的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等份，则图中阴影部分的面积为cm2．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．计算：﹣÷+（2﹣）（2+）．16．选用适当方法解方程：x2+4x﹣2＝0．17．计算：2tan60°+tan45°﹣4cos30°．18．关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m﹣2＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为正整数，且方程的根都是负整数，求m的值．19．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝．求cos A，sin B，tan B的值．20．如图，△ABC在平面直角坐标系中，网格中每个小正方形的边长均为1，三个顶点的坐标分别为A（0，2），B（4，0），C（4，6）．（1）画出△ABC向左平移2个单位长度得到的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；（2）以点O为位似中心，在第三象限画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为1：2，直接写出点C2的坐标．21．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，以AC为边作△ACE，∠ACE＝90°，AC ＝CE，延长BC至点D，使CD＝5，连接DE．求证：△ABC∽△CED．22．如图，某校宣传栏BC后面12米处种有一排与宣传栏平行的若干棵树，即BC∥ED，且相邻两棵树的间隔为2米，一人站在距宣传栏前面的A处正好看到两端的树干，其余的树均被宣传栏挡住．已知AF⊥BC，AF＝3米，BC＝10米，求该宣传栏后DE处共有多少棵树？（不计宣传栏的厚度）．23．先阅读下列材料，然后解答问题．材料：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线例如：如图①，AD把△ABC分成△ABD与△ADC，若△ABD是等腰三角形，且△ADC∽△BAC，那么AD就是△ABC的完美分割线．解答下列问题：（1）如图②，在△ABC中，∠B＝40°，AD是△ABC的完美分割线，且△ABD是以AD为底边的等腰三角形，则∠CAD＝度．（2）在△ABC中，∠B＝42°，AD是△ABC的完美分割线，且△ABD是等腰三角形，求∠BAC的度数．24．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）试探究t为何值时，△BPQ是等腰三角形；（3）试探究t为何值时，CP＝CQ；（4）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．计算sin45°＝（）A．B．1 C．D．【分析】根据特殊锐角的三角函数值求解可得．【解答】解：sin45°＝，故选：C．2．方程2x2+5＝7x根的情况是（）A．有两个不等的实数根B．有两个相等的实数根C．有一个实数根D．没有实数根【分析】先把方程化为一般式，然后计算判别式的值后判断方程根的情况．【解答】解：方程化为2x2﹣7x+5＝0，因为△＝（﹣7）2﹣4×2×5＝9＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：A．3．若数a在数轴上对应的点的位置在原点的左侧，则下列各式中有意义的是（）A．B．C．D．【分析】根据数轴确定a的符号，根据乘方法则得到﹣a2＜0，a3＜0，根据二次根式有意义的条件判断即可．【解答】解：∵数a在数轴上对应的点的位置在原点的左侧，∴a＜0，∴﹣a2＜0，a3＜0，∴、、无意义，有意义，故选：B．4．如图，在四个4×4的正方形网格中，三角形相似的是（）A．①和②B．②和④C．②和③D．①和③【分析】根据网格结构以及勾股定理可得所给图形的三条边长分别是2、、，然后利用相似三角形的判定方法选择答案即可．【解答】解：如图①，该三角形的三条边长分别是：、2、．如图②，该三角形的三条边长分别是：、、3如图③，该三角形的三条边长分别是：2、2、2．如图④，该三角形的三条边长分别是：3、、5．只有图③中的三角形的三条边与图①中的三条边对应成比例，故选：D．5．如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为M（，2），那么cosα的值是（）A．B．C．D．【分析】如图，作MH⊥x轴于H．利用勾股定理求出OM，即可解决问题．【解答】解：如图，作MH⊥x轴于H．∵M（，2），∴OH＝，MH＝2，∴OM＝＝3，∴cosα＝＝，故选：D．6．将化简，正确的结果是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的性质化简即可．【解答】解：＝＝10，故选：A．7．如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的，则AO：AD的值为（）A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．4：13【分析】由△ABC经过位似变换得到△DEF，点O是位似中心，根据位似图形的性质得到AB：DO═2：3，进而得出答案．【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的，∴＝，AC∥DF，∴＝＝，∴＝．故选：B．8．为宣传“扫黑除恶”专项行动，社区准备制作一幅宣传版面，喷绘时为了美观，要在矩形图案四周外围增加一圈等宽的白边，已知图案的长为2米，宽为1米，图案面积占整幅宣传版面面积的90%，若设白边的宽为x米，则根据题意可列出方程（）A．90%×（2+x）（1+x）＝2×1 B．90%×（2+2x）（1+2x）＝2×1C．90%×（2﹣2x）（1﹣2x）＝2×1 D．（2+2x）（1+2x）＝2×1×90%【分析】设白边的宽为x米，则整幅宣传版面的长为（2+2x）米、宽为（1+2x）米，根据矩形的面积公式结合图案面积占整幅宣传版面面积的90%，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设白边的宽为x米，则整幅宣传版面的长为（2+2x）米、宽为（1+2x）米，根据题意得：90%（2+2x）（1+2x）＝2×1．故选：B．二．填空题（共6小题）9．已知，则锐角α的度数是30°．【分析】先求出sin A的值，然后根据sin A的值可得出A的度数．【解答】解：由题意得，tanα＝＝，∴α＝30°．故答案为：30°．10．如图是一块等腰三角形空地ABC，已知点D、E分别是边AB、AC的中点，量得AC＝10米，AB＝BC＝6米，若用篱笆围成四边形BCED来放养小鸡，则需要篱笆的长是17 米．【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出DE的长，利用四边形的周长得到即可．【解答】解：∵点E，D分别是边AB，AC的中点，BC＝6米，∴DE＝3米，∴DB＝3米，EC＝5米，∴篱笆的长＝DE+BC+CE+DB＝3+6+3+5＝17米．故答案为：17．11．若关于x的方程x2+（m2﹣2）x﹣15＝0有一个根是x＝3，则m的值是2或﹣2 ．【分析】把x＝3代入x2+（m2﹣2）x﹣15＝0得9﹣3m2﹣6﹣15＝0，然后解关于m的方程即可．【解答】解：把x＝3代入x2+（m2﹣2）x﹣15＝0得9﹣3m2﹣6﹣15＝0，整理得m2＝4，解得m＝±2．故答案为2或﹣2．12．能使与是同类二次根式的x的最小正整数是 4 ．【分析】根据同类二次根式的概念即可求出答案．【解答】解：由于x+2＞0，∴x＞﹣2，∵与是同类二次根式，∴当x＝4时，＝，故答案为：4．13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，AD平分∠BAC，点E为AC的中点连结DE，若△CDE 的周长为21，则BC＝12 ．【分析】根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，再根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵点E为AC的中点，∴DE＝CE＝AC＝，∵△CDE的周长为21，∴CD＝6，∴BC＝2CD＝12．故答案为：12．14．如图，△ABC是面积为27cm2的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等份，则图中阴影部分的面积为9 cm2．【分析】先证明△AEH∽△AFG∽△ABC，再根据相似三角形的面积比是相似比的平方，即可得出结果．【解答】解：∵△ABC是面积为27cm2的等边三角形，∴S△ABC＝27cm2，∵矩形平行于BC，∴EH∥FG∥BC，∴△AEH∽△AFG∽△ABC，∵AB被截成三等分，∴AF＝2AE，AB＝3AE，∴S△AEH：S△AFG：S△ABC＝1：4：9，∴S△AEH：S四边形EFGH：S四边形FBCG＝1：3：5，∴图中阴影部分的面积S四边形EFGH＝×27cm2＝9cm2，故答案为：9三．解答题（共10小题）15．计算：﹣÷+（2﹣）（2+）．【分析】先根据二次根式的除法法则和平方差公式运算，然后合并即可．【解答】解：原式＝﹣+4﹣5＝﹣﹣1＝﹣1．16．选用适当方法解方程：x2+4x﹣2＝0．【分析】方程移项，配方后，开方即可求出解．【解答】解：方程移项得：x2+4x＝2，配方得：x2+4x+4＝6，即（x+2）2＝6，开方得：x+2＝±，解得：x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．17．计算：2tan60°+tan45°﹣4cos30°．【分析】首先代入特殊角的三角函数值，然后再计算乘法，最后计算加减即可．【解答】解：原式＝2+1﹣4×，＝2+1﹣2，＝1．18．关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m﹣2＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为正整数，且方程的根都是负整数，求m的值．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；（2）由m的值得到原方程，解一元二次方程，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意，得△＝（2m）2﹣4（m2+m﹣2）≥0，∴m≤2；（2）∵m≤2，且m为正整数，∴m＝1或2，当m＝1时，方程x2+2x＝0 的根x1＝﹣2，x2＝0．不符合题意；当m＝2时，方程x2+4x+4＝0 的根x1＝x2＝﹣2．符合题意；综上所述，m＝2．19．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝．求cos A，sin B，tan B的值．【分析】根据sin A＝＝设AB＝13x，BC＝12x，根据勾股定理求出AC＝5x，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解答】解：∵sin A＝＝，∴设AB＝13x，BC＝12x，由勾股定理得：AC＝＝＝5x，∴cos A＝＝，sin B＝cos A＝，tan B＝＝．20．如图，△ABC在平面直角坐标系中，网格中每个小正方形的边长均为1，三个顶点的坐标分别为A（0，2），B（4，0），C（4，6）．（1）画出△ABC向左平移2个单位长度得到的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；（2）以点O为位似中心，在第三象限画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为1：2，直接写出点C2的坐标．【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1．C1即可．（2）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．B1（2，0）．（2）如图，△A2B2C2即为所求．C2（﹣2，﹣3）．21．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，以AC为边作△ACE，∠ACE＝90°，AC ＝CE，延长BC至点D，使CD＝5，连接DE．求证：△ABC∽△CED．【分析】先利用勾股定理计算出AC＝2，则CE＝2，所以＝，再证明∠BAC ＝∠DCE．然后根据相似三角形的判定方法可判断△ABC∽△CED．【解答】证明：∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，∴AC＝＝2，∵CE＝AC，∴CE＝2，∵CD＝5，∵＝＝，＝，∴＝，∵∠B＝90°，∠ACE＝90°，∴∠BAC+∠BCA＝90°，∠BCA+∠DCE＝90°．∴∠BAC＝∠DCE．∴△ABC∽△CED．22．如图，某校宣传栏BC后面12米处种有一排与宣传栏平行的若干棵树，即BC∥ED，且相邻两棵树的间隔为2米，一人站在距宣传栏前面的A处正好看到两端的树干，其余的树均被宣传栏挡住．已知AF⊥BC，AF＝3米，BC＝10米，求该宣传栏后DE处共有多少棵树？（不计宣传栏的厚度）．【分析】由图中不难得出，△ABC∽△ADE，利用对应边成比例即可求解线段DE的长度，从而求得树的棵数．【解答】解：如图由图可知，∵BC∥ED，∴△ABC∽△ADE，∴，又BC＝10米，AF＝3，FG＝12米，∴AG＝AF+FG＝15米即，∴DE＝50，50÷2＝25，25+1＝26，答：DE处共有26棵树．23．先阅读下列材料，然后解答问题．材料：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线例如：如图①，AD把△ABC分成△ABD与△ADC，若△ABD是等腰三角形，且△ADC∽△BAC，那么AD就是△ABC的完美分割线．解答下列问题：（1）如图②，在△ABC中，∠B＝40°，AD是△ABC的完美分割线，且△ABD是以AD为底边的等腰三角形，则∠CAD＝40 度．（2）在△ABC中，∠B＝42°，AD是△ABC的完美分割线，且△ABD是等腰三角形，求∠BAC的度数．【分析】（1）利用三角形的完美分割线定义可求解；（2）分三种情况讨论，由三角形的完美分割线定义和等腰三角形的性质可求解．【解答】解：（1）∵AD是△ABC的完美分割线，∴△DAC∽△ABC∴∠CAD＝∠B＝40°故答案为：40（2）若BD＝AD，∵AD是△ABC的完美分割线，∴△DAC∽△ABC∴∠CAD＝∠B＝42°∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠BAD＝42°∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝84°若AB＝BD，∴∠BAD＝69°＝∠BDA∵AD是△ABC的完美分割线，∴△DAC∽△ABC∴∠CAD＝∠B＝42°∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝42°+69°＝111°若AB＝AD，∴∠B＝∠ADB＝42°∵AD是△ABC的完美分割线，∴△DAC∽△ABC∴∠CAD＝∠B＝42°∵∠ADB＝∠DAC+∠C＝42°+∠C≠42°∴不存在AB＝AD，综上所述：∠BAC的度数为84°或111°24．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）试探究t为何值时，△BPQ是等腰三角形；（3）试探究t为何值时，CP＝CQ；（4）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论；分两种情况：①当△BPQ∽△BAC时，BP：BA ＝BQ：BC；当△BPQ∽△BCA时，BP：BC＝BQ：BA，再根据BP＝5t，QC＝4t，AB＝10cm，BC＝8cm，代入计算即可；（2）分三种情况：①当PB＝PQ时，如图1，过P作PH⊥BQ，则BH＝BQ＝4﹣2t，PB ＝5t，根据平行线分线段成比例定理得到，即：解得t＝，②当PB ＝BQ时，即5t＝8﹣4t，解得t＝，③当BQ＝PQ时，如图2，过Q作QG⊥AB于G，则BG＝PB＝t，BQ＝8﹣4t，通过△BGQ∽△ACB，得到比例式，解得：t＝．（3）先利用勾股定理表示出CP2，建立方程求解即可求出时间t；（4）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB＝5t，PM＝3t，MC＝8﹣4t，根据△ACQ∽△CMP，得出AC：CM＝CQ：MP，代入计算即可．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，∴AB＝＝10cm；分两种情况讨论：①当△BPQ∽△BAC时，，∵BP＝5t，QC＝4t，AB＝10，BC＝8，∴，解得，t＝1，②当△BPQ∽△BCA时，，∴，解得，t＝；∴t＝1或时，△BPQ∽△BCA；（2）分三种情况：①当PB＝PQ时，如图1，过P作PH⊥BQ，则BH＝BQ＝4﹣2t，PB＝5t，∴PH∥AC，∴，即解得：t＝，②当PB＝BQ时，即5t＝8﹣4t，解得：t＝，③当BQ＝PQ时，如图2，过Q作QG⊥AB于G，则BG＝PB＝t，BQ＝8﹣4t，∵△BGQ∽△ACB，∴即，解得：t＝．综上所述：△BPQ是等腰三角形时t的值为：或或．（3）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图3所示：则PB＝5t，∵AC⊥BC∴△PMB∽△ACB，∴＝∴PM＝3t，MC＝8﹣4t，CQ＝4t，根据勾股定理得，CP2＝PM2+MC2＝25t2﹣64t+64，∵CP＝CQ∴25t2﹣64t+64＝16t2，∴t＝（舍），或t＝∴CP＝CQ时，t＝．（4）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图3所示则PB＝5t，PM＝3t，MC＝8﹣4t，∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，∴∠NAC＝∠PCM，∵∠ACQ＝∠PMC，∴△ACQ∽△CMP，∴，∴，解得t＝．。
吉林长春名校调研九年级上期中(市命题)数学考试卷(解析版)(初三)期中考试.doc
吉林长春名校调研九年级上期中（市命题）数学考试卷（解析版）（初三）期中考试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx分）【题文】与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】试题分析：根据同类二次根式的定义:A、与不是同类二次根式，故错误；B、=3与不是同类二次根式，故错误；C、=3与不是同类二次根式，故错误；D、与是同类二次根式，故正确；故选D．考点：同类二次根式【题文】方程x2=4x的解是（）A．x1=x2=4 B．x1=x2=0 C．x1=4，x2=0 D．x1=2，x2=﹣2【答案】C【解析】试题分析：应用因式分解法求x2=4x，可得x（x﹣4）=0，解得x1=4，x2=0．故选：C．考点：解一元二次方程-因式分解法【题文】一元二次方程5x2﹣11x+4=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【答案】B【解析】试题分析：根据在方程5x2﹣11x+4=0中，△=（﹣11）2﹣4×5×4=41＞0，可知方程5x2﹣11x+4=0有两个不相等的实数根．故选B．考点：根的判别式【题文】下面计算正确的是（）A．B．C．=﹣3D．【答案】B【解析】试题分析：计算各个选项的式子，然后对比选项中的式子：∵，∴选项A错误；∵，∴选项B正确；∵=﹣3，∴选项C错误；∵，∴选项D错误．故选B．考点：二次根式的混合运算【题文】如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5，那么的值等于（）A． B． C． D．【答案】D【解析】试题分析：根据平行线分线段成比例定理列出比例式，由AB∥CD∥EF，可得. 故选：D．考点：平行线分线段成比例【题文】某旅游景点8月份共接待游客25万人次，10月份共接待游客64万人次．设每月的平均增长率为x，则可列方程为（）A．25（1+x）2=64 B．25（1﹣x）2=64C．64（1+x）2=25 D．64（1﹣x）2=25【答案】A【解析】试题分析：依题意可知9月份的人数=25（1+x），则10月份的人数为：25（1+x）（1+x），再令25（1+x ）（1+x）=64，即可得出25（1+x）2=64．故选：A．考点：由实际问题抽象出一元二次方程【题文】如图，在△ABC中，DE∥BC，DB=2AD，△ADE的面积为1，则四边形DBCE的面积为（）A．2 B．5 C．6 D．8【答案】D【解析】试题分析：根据相似三角形的判定与性质，由DE∥BC，DB=2AD，得△ADE∽△ABC，再由．由△ADE的面积为1，得，S△ABC=9．因此可知S四边形DBCE=SABC﹣S△ADE=8.故选：D．考点：相似三角形的判定与性质【题文】如图，在△ABC中，D为AB的中点，E为AC的中点，F是DE上一点，且AF⊥BF，若AB=10，BC=16，则线段EF的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】试题分析：延长AF交BC于H，根据直角三角形的性质求出DF=AB=5，利用三角形中位线定理可求出DE=BC=8，进而可求出 EF=DE﹣DF=3，故选：B．考点：1、三角形的中位线定理，2、直角三角形斜边上的中线性质【题文】比较大小：____（用“＞”或“＜”填空）．【答案】＜【解析】试题分析：把化成带根号的形式，由=，2＜2.25，可得＜.考点：实数大小比较【题文】把方程2x（x﹣3）=3x+2化成一元二次方程的一般形式后，它的一次项系数是．【答案】-9【解析】试题分析：方程整理为一般形式得：2x2﹣9x﹣2=0，则方程的一次项系数为﹣9，考点：一元二次方程的一般形式【题文】若，则=．【答案】【解析】试题分析：根据题意得出的值，代入代数式进行计算即可得=1﹣=1﹣=．考点：比例的性质【题文】若一元二次方程ax2﹣bx﹣2016=0有一根为x=﹣3，则3a+b=．【答案】672【解析】试题分析：由方程有一根为﹣3，将x=﹣3代入方程ax2﹣bx﹣2016=0，整理后得到关于a，b的关系式a×（﹣3）2+3b﹣2016=0，将求出的关系式9a+3b=2016，，代入所求的式子中即可求出3a+b=672．考点：一元二次方程的解【题文】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，点D是AC中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E ，则CE的长度是．【答案】【解析】试题分析：根据勾股定理得到AC=10，由DE⊥AC于D，得到∠ADE=90°，推出△CED∽△ACB，根据相似三角形的性质即可得到CD：CB=CE：AC，即5：8=CE：10，所以CE=．考点：相似三角形的判定与性质【题文】如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为．点A、B、E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为．【答案】（3，2）【解析】试题分析：先利用位似的性质得到，然后利用比例性质求出BC=2，OB=3，即可得到C点坐标（3，2）．考点：1、位似变换；2、坐标与图形性质；3、正方形的性质【题文】解方程：2x2﹣4x+1=0．【答案】x1=1+，x2=1﹣【解析】试题分析：先化二次项系数为1，然后把左边配成完全平方式，右边化为常数．试题解析：由原方程，得x2﹣2x=﹣，等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2﹣2x+1=，配方，得（x﹣1）2=，直接开平方，得x﹣1=±x1=1+，x2=1-．考点：解一元二次方程-配方法【题文】已知图中的两个四边形是相似四边形，分别求未知边x的长度和角α的度数．【答案】69°【解析】试题分析：由相似多边形的性质和图中表明的数字求解即可．试题解析：因为两个四边形是相似四边形，所以x=，α=360°﹣88°﹣96°﹣107°=69°．考点：相似多边形的性质【题文】若代数式x2﹣1的值与代数式2x+1的值相等，求x的值．【答案】x1=1+，x2=1﹣【解析】试题分析：先根据题意得出方程，再求出方程的解即可．试题解析：根据题意得：x2﹣1l解方程得：x1=10，x2=﹣20（舍去）．10+10=20（米）．答：绿地的长和宽各是20米，10米．考点：一元二次方程的应用【题文】如图，在平面直角坐标系中，△AOB的位置如图所示，图中小正方形的边长均为1，请画出△AOB以点O为位似中心，放大到原来的2倍的位似图形，并写出放大后三角形三个顶点的坐标．【答案】图形见解析【解析】试题分析：由图可求得△AOB各点的坐标，又由画出△AOB以点O为位似中心，放大到原来的2倍的位似图形，根据位似的性质，求得变化后三角形各点的坐标，继而画出图形．试题解析：如图，∵A（﹣3，0），B（﹣2，2），O（0，0），△A′OB′是△AOB以点O为位似中心，放大到原来的2倍的位似图形，∴A′（﹣6，0），O（0，0），B′（﹣4，4）或A″（6，0），O（0，0），B″（4，﹣4）．考点：作图-位似变换【题文】对于任何实数a，试说明关于x的一元二次方程x2+4x+3﹣a2=0总有两个不相等的实数根．【答案】证明见解析【解析】试题分析：要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明△＞0即可.试题解析：△=b2﹣4ac=16﹣4（3﹣a2）=4+4a2，∵4a2≥0，∴4+4a2＞0∴一元二次方程x2+4x+3﹣a2=0总有两个不相等的实数根．考点：根的判别式【题文】在一个边长为（2+3）cm的正方形的内部挖去一个长为（2+）cm，宽为（﹣）cm的矩形，求剩余部分图形的面积．【答案】57+12﹣【解析】试题分析：用大正方形的面积减去长方形的面积即可求出剩余部分的面积．试题解析：剩余部分的面积为：（2+3）2﹣（2+）（﹣）=（12+12+45）﹣（6﹣2+2﹣5）=（57+12﹣）（cm2）．考点：二次根式的应用【题文】如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，过点E作BD的平行线交Dl∴四边形BDFE是平行四边形，∴BE=DF；（2）∵BE=DF，BE=2，∴DF=2，∵AF∥BC∴△DGF∽△CGE，∴，即，∴EC=4，∴BC=BE+EC=2+4=6．考点：1、相似三角形的判定和性质，2、平行四边形的判定和性质【题文】探究：如图①，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P是对角线AC上的一点，过点P分别作AB、AD的平行线，交BC、CD于点M、N，求的值；应用：如图②，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P是对角线AC上的一点，Rt△PEF的两条直角边PE、PF 分别交BC、CD于点M、N，则=．【答案】；【解析】试题分析：探究：首先证明PN=MC，由PM∥AB，推出，即，由此即可解决问题．应用：先过P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，判定△PGM∽△PHN，再根据相似三角形的性质以及探究的结论即可解决问题；试题解析：探究：解：如图①中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠DCB=90°，AD=BC=4∵PM⊥BC，PN⊥CD，∴∠PMC=∠PNC=90°，∴四边形PMCN是矩形，∴PC=CM，∵∠PMC=∠B=90°，∴PM∥AB，∴△CPM∽△CAB，∴，即，∵AB=3，BC=4∴=应用：解：如图②中，过P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，则∠PGM=∠PHN=90°，∠GPH=90°，∵Rt△PEF中，∠FPE=90°∴∠GPM=∠HPN∴△PGM∽△PHN∴，由条件可知，=，∴=．考点：1、相似三角形的应用，2、平行线的性质【题文】如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点D从点C出发，以2cm/s的速度沿折线C﹣A ﹣B向点B运动，同时，点E从点B出发，以1cm/s的速度沿BC边向点C运动，设点E运动的时间为t（s ）（0＜t＜8）．（1）求AB的长；（2）当△BDE是直角三角形时，求t的值；（3）设△CDE的面积为y（cm2），求y与t的函数关系式．【答案】（1）10（2）或（3）当0＜t≤3时，y=8t﹣t2；当3＜t＜8时，y=t2﹣t+【解析】试题分析：（1）直接利用勾股定理计算；（2）当△BDE是直角三角形时，∠B不可能为直角，所以分两种情况讨论：i）图1，当∠BED=90°时；ii ）图2，当∠EDB=90°时；利用相似求边，再利用同角三角函数值列等式计算求出t的值；（3）分两种情况用三角形的面积公式求解即可．试题解析：（1）由勾股定理得：AB==10，（2）如图1，当∠BED=90°时，△BDE是直角三角形，则BE=t，AC+AD=2t，∴BD=6+10﹣2t=16﹣2t，∵∠BED=∠C=90°，∴DE∥AC，∴，∴，∴DE=t，∵sinB=，∴，t=；如图2，当∠EDB=90°时，△BDE是直角三角形，则BE=t，BD=16﹣2t，cosB=，∴，∴t=；∴当△BDE是直角三角形时，t的值为或（3）当0＜t≤3时，y=×2t×（8﹣t）=8t﹣t2；当3＜t＜8时，y=（8﹣t）×（16﹣2t）=t2﹣t+．考点：1、平行四边形，2、菱形，3、直角三角形的性质，4、平行线分线段成比例定理。
2019-2020学年吉林省长春市南关区九年级(上)期中数学试卷试题及答案
2019-2020学年吉林省长春市南关区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分） 1．下列式子为最简二次根式的是( )ABCD 2．下列运算正确的是( )A +=B ．=C 2=D ．3=3．用配方法解一元二次方程：2690x x --=，下列变形正确的是( ) A ．2(3)0x +=B ．2(3)0x -=C ．2(3)18x +=D ．2(3)18x -=4．一元二次方程214204x x -+=根的情况是( ) A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根5．已知关于x 的方程20x x a +-=的一个根为2，则另一个根是( ) A ．3-B ．2-C ．3D ．66．如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，则下列结论不正确的是( )A ．sin ADB AB=B ．sin ACB BC=C ．sin ADB AC=D ．sin CDB AC=7．如图，直线////a b c ，直线m 、n 与这三条平行线分别交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．若3AB =．5BC =，12DF =，则DE 的值为( )A ．94B ．4C ．92D ．1528．如图，在ABC ∆中，76A ∠=︒，4AB =，6AC =，将ABC ∆沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )A ．B ．C ．D ．二、填空题（每小题3分，共18分）9有意义，则x 的取值范围是 ．10tan 30-︒= ． 11．若27a b b -=，则ab= ． 12．某市养老机构的养老床位数从2016年底的2万个增长到2018年底的2.88万个，求该市这两年（从2016年底到2018年底）拥有的养老床位数的平均年增长率．若设养老床位数的平均年增长率x ，则所列方程为 ．13．如图，有一斜坡AB ，坡顶B 离地面的高度BC 为30m ，斜坡的倾斜角是BAC ∠，若2tan 5BAC ∠=，则此斜坡的AC 为 m ．14．如图，P 是ABCD 内一点，连结P 于ABCD 各顶点，EFGH 各顶点分别在边AP 、BP 、CP 、DP 上，且2AE EP =，//EF AB ．若ABCD 的面积为27，则PEF ∆与PGH ∆的面积和为 ．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．计算：(2+．16．解方程：2220x x +-=（用公式法） 17．阅读下列解答过程，在横线上填上恰当的内容2(a a a =-=-===（1）由上述过程可知a 的取值范围是 ．（2）上述解答过程有错误的是第 步，正确结果为 ．18．（7分）在如图所示的中面直角坐标系xOy 中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点，ABC ∆的顶点在正方形网格的格点上．顶点A 、B 、C 的坐标分别为(4,4)、(2,2)-、(4,0)．（1）以点O 为位似中心，在点O 的异侧将ABC ∆缩小为原来的12，得到△111A B C ．请画出△111A B C ．（2）111cos C A B ∠= ．（3）设点(,)P a b 为ABC ∆内一点，则依上述变换后，点P 在△111A B C 内的对应点1P 的坐标是 ．19．（7分）如图，一幅长8cm 、宽6cm 的矩形图案，其中有两条互相直的彩条，竖直彩条的宽度是水平彩条宽度的2倍，若图案中两条彩条所占面积是整个矩形图案面积的38．求彩条的宽度．20．（7分）如图，一台灯垂直于桌面的底座AB 的高为2cm ，台灯的支架BC 的长为25cm ，灯管CD 的长为20cm ，支架BC 与铅垂线CF 的夹角为20︒，灯管CD 与水平线CG 的夹角为32︒，求灯管顶端D 到桌面的距离DE ．（结果精确到1)cm （参考数据：sin 320.53︒≈，cos320.85︒≈，tan 320.62︒≈，sin 200.34︒≈，cos 200.94︒≈，tan 200.36)︒≈21．已知关于x 的方程220x kx k ++-=． （1）若此方程的一个根为3-，求k 的值．（2）求证：不论k 取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．22．（9分）如图，在ABCD 中，G 是DC 的延长线上点，AG 分别交BD 和BC 于点E 、F ．若12AB =，8AE =，3CG =．（1）求证：GDA ABF ∆∆∽； （2）求EF 的长．23．如图①，平面内的两条直线1l ，2l 点A ，B 在直线1l 上，点C 、D 在直线2l 上，过A 、B 两点分别作2l 的垂线，垂足分别为1A 、1B ，我们把线段11A B 叫做线段AB 在直线2l 上的正投影，其长度可记为1()AB CD T 或12()AB l T 特别地，线段AC 在直线2l 上的正投影就是线段1A C ．请依据上述定义解决如下问题：（1）如图①，若115A B =，则1()AB CD T = ．（2）如图②，在矩形ABCD 中，11()()12.5AC CD AC AD T T ==，则1()BC AC T = ．（3）如图③，在矩形ABCD 中，点E 在CD 边上()DE CE >，连接AE 、BE ，90AEB ∠=︒ ①若1()8AE AB T =，1()3BE AB T =，求矩形ABCD 的面积．②如图④，点F 在BA 延长线上，连按EF ，若11()()8.10BE BC EF AB AB T ===，求1()EF EA T ．24．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，动点P 从点A 出发沿线段AB 以每秒3个单位长的速度运动至点B ，过点P 作PQ AB ⊥射线AC 于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒(0)t >．（1）线段CQ 的长为 （用含t 的代数式表示） （2）当APQ ∆与ABC ∆的周长的比为1:4时，求t 的值．（3）设APQ ∆与ABC ∆重叠部分图形的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式． （4）当直线PQ 把ABC ∆分成的两部分图形中有一个是轴对称图形时，直接写出t 的值．2019-2020学年吉林省长春市南关区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分） 1．下列式子为最简二次根式的是( )ABCD【解答】解：A 、原式= B 、原式3=，不符合题意；C 是最简二次根式，符合题意；D 、原式=，不符合题意， 故选：C ．2．下列运算正确的是( )A +=B ．=C 2=D ．3=【解答】解：A A 选项错误； B 、原式6212=⨯=，所以B 选项错误；C 、原式2==，所以C 选项准确；D 、原式=，所以D 选项错误．故选：C ．3．用配方法解一元二次方程：2690x x --=，下列变形正确的是( ) A ．2(3)0x +=B ．2(3)0x -=C ．2(3)18x +=D ．2(3)18x -=【解答】解：2690x x --=， 26918x x -+=，2(3)18x -=．故选：D ．4．一元二次方程214204x x -+=根的情况是( ) A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根【解答】解：在方程214204x x -+=中， △21(2)4404=--⨯⨯=， ∴一元二次方程214204x x -+=有两个相等的实数根． 故选：C ．5．已知关于x 的方程20x x a +-=的一个根为2，则另一个根是( ) A ．3-B ．2-C ．3D ．6【解答】解：设方程的另一个根为t ， 根据题意得21t +=-，解得3t =-， 即方程的另一个根是3-． 故选：A ．6．如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，则下列结论不正确的是( )A ．sin ADB AB=B ．sin ACB BC=C ．sin ADB AC=D ．sin CDB AC=【解答】解：在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，sin ACB BC=， AD BC ⊥，sin ADB AB∴=， sin sin DCB DAC AC=∠=， 综上，只有C 不正确 故选：C ．7．如图，直线////a b c ，直线m 、n 与这三条平行线分别交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．若3AB =．5BC =，12DF =，则DE 的值为( )A ．94B ．4C ．92D ．152【解答】解：12DF =， 12EF DE ∴=-， ////a b c ， ∴AB DEBC EF=， 即：3512DE DE=-，解得：92DE =， 故选：C ．8．如图，在ABC ∆中，76A ∠=︒，4AB =，6AC =，将ABC ∆沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：A 、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意；B 、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；C 、13AB -=，42AC -=，4263=，两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；D 、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项符合题意． 故选：D ．二、填空题（每小题3分，共18分）9有意义，则x 的取值范围是 2x …． 【解答】解：根据二次根式有意义，得：120x -…， 解得：12x …． 故答案是：12x …．10tan 30-︒【解答】解：原式=-==，11．若27a b b -=，则a b7． 【解答】解：27a b b -=， ∴217a b -=， ∴97a b =， 故答案为：97． 12．某市养老机构的养老床位数从2016年底的2万个增长到2018年底的2.88万个，求该市这两年（从2016年底到2018年底）拥有的养老床位数的平均年增长率．若设养老床位数的平均年增长率x ，则所列方程为 22(1) 2.88x += ． 【解答】解：由题意可得，22(1) 2.88x +=，故答案为：22(1) 2.88x +=．13．如图，有一斜坡AB ，坡顶B 离地面的高度BC 为30m ，斜坡的倾斜角是BAC ∠，若2tan 5BAC ∠=，则此斜坡的AC 为 75 m ．【解答】解：90ACB ∠=︒，2tan 5BC BAC AC ∠==， 553075()22AC BC m ∴==⨯=； 故答案为：75．14．如图，P 是ABCD 内一点，连结P 于ABCD 各顶点，EFGH 各顶点分别在边AP 、BP 、CP 、DP 上，且2AE EP =，//EF AB ．若ABCD 的面积为27，则PEF ∆与PGH ∆的面积和为2．【解答】解： 解：2AE EP =，∴13PE PA =， 四边形ABCD 与四边形EFGH 是平行四边形，EF GH ∴=，AB CD =，//AD BC ，//AB CD ，//EF GH ，//EH FG ， //EF AB ， //GH CD ∴，EF PEAB PA=， ∴GH PHCD PD =， EF GHAB CD=， ∴PE PHPA PD=， //AD EH ∴，同理：//FG BC ， //EF AB ，PEF PAB ∴∆∆∽， ∴13PE PF PA PB ==， ∴21()9PEF PAB S PE S PA ∆∆==， 同理，19PGH PCD S S ∆∆=，∴19EHFG ABCDS S=， 3EHFGS∴=，∴1322PEF PGC EHFGS S S ∆∆+==， 故答案为：32三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15．计算：(2+．【解答】解：原式=-=-． 16．解方程：2220x x +-=（用公式法） 【解答】解：2a =，1b =，2c =-224142(2)170b ac -=-⨯⨯-=>∴x ==∴1x ==，2x ==． 17．阅读下列解答过程，在横线上填上恰当的内容2(a a a =-=-===（1）由上述过程可知a 的取值范围是0a … ．（2）上述解答过程有错误的是第 步，正确结果为 ．【解答】解：（10a -…，即0a …； （2）上述解答过程有错误的是第5步，正确结果为a -， 故答案为：（1）0a …；（2）5；a -18．（7分）在如图所示的中面直角坐标系xOy 中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点，ABC ∆的顶点在正方形网格的格点上．顶点A 、B 、C 的坐标分别为(4,4)、(2,2)-、(4,0)．（1）以点O 为位似中心，在点O 的异侧将ABC ∆缩小为原来的12，得到△111A B C ．请画出△111A B C ． （2）111cos C A B ∠（3）设点(,)P a b 为ABC ∆内一点，则依上述变换后，点P 在△111A B C 内的对应点1P 的坐标是 ．【解答】解：（1）如图，△111A B C 为所作；（2）作111B H AC ⊥于H ，如图， 11AB ==，所以111111cos A H C A B A B ∠===； （3）点P 在△111A B C 内的对应点1P 的坐标为1(2a -，1)2b -．1 (2a-，1)2b -．19．（7分）如图，一幅长8cm、宽6cm的矩形图案，其中有两条互相直的彩条，竖直彩条的宽度是水平彩条宽度的2倍，若图案中两条彩条所占面积是整个矩形图案面积的38．求彩条的宽度．【解答】解：设水平彩条宽度为xcm，则竖直彩条的宽度为2xcm，由题意得：3 8622868x x x x+⨯-⨯=⨯⨯，整理得：21090x x-+=，解得：1x=，或9x=（不合题意舍去），1x∴=，22x=，答：水平彩条宽度为1cm，则竖直彩条的宽度为2cm．20．（7分）如图，一台灯垂直于桌面的底座AB的高为2cm，台灯的支架BC的长为25cm，灯管CD的长为20cm，支架BC与铅垂线CF的夹角为20︒，灯管CD与水平线CG的夹角为32︒，求灯管顶端D到桌面的距离DE．（结果精确到1)cm（参考数据：sin320.53︒≈，cos320.85︒≈，tan320.62︒≈，sin200.34︒≈，cos200.94︒≈，tan200.36)︒≈【解答】解：延长CG交DE于M，作BN DE⊥于N，交CF于H，如图所示：则CH MN=，2NE AB==，sin sin32DMDCMCD∠=︒=，sin32200.5310.6 DM CD∴=⨯︒≈⨯=，cos cos 20CHBCF BC∠=︒=， cos 20250.9423.5CH BC ∴=⨯︒≈⨯=， 23.5MN CH ∴==，10.623.5236()DE DM MN NE cm ∴=++=++≈；即灯管顶端D 到桌面的距离DE 约为36cm ．21．已知关于x 的方程220x kx k ++-=． （1）若此方程的一个根为3-，求k 的值．（2）求证：不论k 取何实数，此方程都有两个不相等的实数根． 【解答】解：（1）将3x =-代入原方程得9320k k -+-=， 解得：72k =， （2）证明：△2224(2)48(2)4k k k k k =--=-+=-+．2(2)0k -…，2(2)40k ∴-+>，即△0>，∴不论k 取何值，方程必有两个不相等的实数根．22．（9分）如图，在ABCD 中，G 是DC 的延长线上点，AG 分别交BD 和BC 于点E 、F ．若12AB =，8AE =，3CG =．（1）求证：GDA ABF ∆∆∽； （2）求EF 的长．【解答】（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形， //AB CD ∴，//AD BC ，AGD FAB ∴∠=∠，DAG BFA ∠=∠， GDA ABF ∴∆∆∽；（2）解：四边形ABCD 是平行四边形， 12CD AB ∴==，//AB CD ，12315DG CD CG ∴=+=+=，AGD EAB ∠=∠， DEG BEA ∠=∠， DEG BEA ∴∆∆∽， ∴DG GEAB AE =， 即：15128GE=， 解得：10GE =，81018AG AE GE ∴=+=+=， GDA ABF ∆∆∽， ∴AG DGAF AB =， 即：181512AF =， 解得725AF =， 7232855EF AF AE ∴=-=-=． 23．如图①，平面内的两条直线1l ，2l 点A ，B 在直线1l 上，点C 、D 在直线2l 上，过A 、B 两点分别作2l 的垂线，垂足分别为1A 、1B ，我们把线段11A B 叫做线段AB 在直线2l 上的正投影，其长度可记为1()AB CD T 或12()AB l T 特别地，线段AC 在直线2l 上的正投影就是线段1A C ．请依据上述定义解决如下问题：（1）如图①，若115A B =，则1()AB CD T = 5 ．（2）如图②，在矩形ABCD 中，11()()12.5AC CD AC AD T T ==，则1()BC AC T = ．（3）如图③，在矩形ABCD 中，点E 在CD 边上()DE CE >，连接AE 、BE ，90AEB ∠=︒ ①若1()8AE AB T =，1()3BE AB T =，求矩形ABCD 的面积．②如图④，点F 在BA 延长线上，连按EF ，若11()()8.10BE BC EF AB AB T ===，求1()EF EA T ．【解答】解：（1）115A B =，∴1()5AB CD T =，故答案为：5；（2）过点B 作BE AC ⊥于E ，则90BEC ∠=︒，如图②所示： 四边形ABCD 是矩形，1()12AC CD T =，1()5AC AD T =， 90ABC ∴∠=︒，12AB CD ==，5AD BC ==，13AC ∴===，ABC BEC ∠=∠，90EBC ABE ∠+∠=︒，90ABE BAC ∠+∠=︒， BAC EBC ∴∠=∠， BAC EBC ∴∆∆∽， ∴BC ACCE BC =， 即：5135CE =， 2513CE ∴=， ∴1()2513BC AC T =， 故答案为：2513；（3）①过点E 作EE AB '⊥于E '，如图③所示： 则四边形ADEE '是矩形、四边形BCEE '是矩形， 90AE E EE B ∴∠'=∠'=︒，1()8AE AB T =，1()3BE AB T =， 8AE ∴'=，3BE '=， 8311AB AE BE ∴='+'=+=， 90AEB ∠=︒，90AEE E EB ∴∠'+∠'=︒， 90AEE E AE ∠'+∠'=︒，E AE E EB ∴∠'=∠'， ∴△E AE '∽△E EB '， ∴AE EE EE BE ''=''， 即：83EE EE '='， 224EE ∴'=，EE ∴'=11ABCD S AB EE ∴=⋅'=⨯=矩形；②过点F 作FF EA '⊥于F '，过点E 作EE AB '⊥于E '，如图④所示： 则四边形ADEE '是矩形、四边形BCEE '是矩形， BC EE ∴='，AE DE '=，1()BE BC T =，1()10EF AB T =，BC EE ∴='=，10FE '=，由1得：△E AE '∽△E EB '， ∴AE EE EE BE ''=''，=解得：6AE '=或2AE '=， DE CE >，2AE ∴'=，不合题意舍去， 6AE ∴'=， 862BE '=-=，1064AF FE AE ='-'=-=，AE ===EF ===， 90EE A FF A ∠'=∠'=︒，EAE FAF ∠'=∠'，EAE FAF ∴∆'∆'∽， ∴AE EE AF FF '='，=解得：2FF '=，EF ∴'===∴1()EF EA T =24．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，动点P 从点A 出发沿线段AB以每秒3个单位长的速度运动至点B ，过点P 作PQ AB ⊥射线AC 于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒(0)t >．（1）线段CQ 的长为 65t -或56t - （用含t 的代数式表示） （2）当APQ ∆与ABC ∆的周长的比为1:4时，求t 的值．（3）设APQ ∆与ABC ∆重叠部分图形的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式． （4）当直线PQ 把ABC ∆分成的两部分图形中有一个是轴对称图形时，直接写出t 的值．【解答】解：（1）在Rt ABC ∆中，84tan 63BC A AC ===， 由题意得，3AP t =， 在Rt APQ ∆中，4tan 3PQ A AP ==， 443PQ AP t ∴==，根据勾股定理得，5AQ t ===． 当605t <…时，如图1所示： 65CQ AC AQ t =-=-；当61053t <…时，如图2所示： 56CQ AQ AC t =-=-；故答案为：65t -或56t -； （2）PQ AB ⊥， 90APQ ACB ∴∠=︒=∠，A A ∠=∠， APQ ACB ∴∆∆∽， ∴14AP APQ AC ACB ∆==∆的周长的周长，即3164t =， 解得：12t =，即当APQ ∆与ABC ∆的周长的比为1:4时，t 为12秒． （3）分两种情况： ①当605t <…时，如图1所示： APQ ∆与ABC ∆重叠部分图形的面积为S APQ =∆的面积213462t t t =⨯⨯=； 即266(0)5S t t =<…； ②当61053t <…时，如图2所示： 由（1）得：3PQ t =，4PQ t =，5AQ t =， 同（2）得：CDQ PAQ ∆∆∽， ∴CD CQ DQ AP PQ AQ ==，即56345CD t DQ t t t-==， 解得：3(56)4CD t =-，APQ ∴∆与ABC ∆重叠部分图形的面积为S APQ =∆的面积CDQ -∆的面积211327452734(56)(56)224822t t t t t t =⨯⨯-⨯-⨯-=-+-； 即2274527610()82253S t t t =-+-<…； （4）由（1）知，5AQ t =，4PQ t =，65CQ t =-或56CQ t =-， 当CQ PQ =时，四边形BCQP 是轴对称图形， 则465t t =-， 23t ∴=； 当61053t <…时，设PQ 和BC 相交于D ， 当AC AP =时，四边形ACDP 是轴对称图形， 则63t =， 2t ∴=．综上所述，当直线PQ 把ABC ∆分成的两部分图形中有一个是轴对称图形时，t 的值为23秒或2秒．。
2019-2020学年吉林省长春汽车开发区名校九年级(上)期中质量检测数学试题及答案
2019-2020学年吉林省长春汽车开发区名校九年级（上）期中质量检测数学试卷时间120分钟满分150分2019.12.8 一、选择题（每小题3分，共24分）1．sin45°的值等于( )A．B．C．D．12．用配方法解方程x2﹣6x﹣1=0，经过配方后得到的方程是( )A．（x+3）3=10 B．（x﹣3）2=10 C．（x﹣3）2=8 D．（x﹣2）2=83．下列事件是随机事件的是( )A．打开电视机，它正在播新闻B．度量三角形的内角和，结果是180°C．一个袋中装有6个黑球，从中摸出一个白球D．抛掷5枚硬币，结果是3个正面朝上与3个反面朝上4．一元二次方程2x2﹣4x+1=0的根的情况是( )A．没有实数根 B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根5．学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册．设这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是( )A．5（1+x）=7.2 B．5（1+2x）=7.5C．5（1+x）2=7.2 D．5（1+x）+5（1+x）2=7.26．如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于A，B，C和点D，E，F．若AB=2，BC=4，DE=3，则EF的长为( )A．5 B．6 C．7 D．96题图 7题图 8题图7．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东50°方向，距离灯塔P为10海里的点A 处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向B处，那么海轮航行的距离AB 的长是( )A．10海里 B．10sin50°海里C．10cos50°海里D．10tan50°海里8．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：4，∠OCD=90°，CO=CD．若点B的坐标为（1，0），则点C的坐标为( )A．（2，2）B．（2，4）C．（2）D．（4，2）二、填空题（每小题3分，共18分）9．方程4x2+5x﹣81=0的一次项系数是__________．10．若，则的值为__________．11．在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的3个红球和2个白球，从中任意摸出一个球，则摸出白球的概率是__________．12．如图，△ABC∽△ACP，若∠A=75°，∠APC=65°，则∠B的大小为__________度．12题图 13题图 14题图13．如图，要测量的A，B两点被池塘隔开，李师傅在AB外任选一点C，连结CA，CB，分别取CA，CB的中点E、F，量得E，F两点间的距离等于12.5米，则A、C 两点间的距离是__________米．14．如图，在5×5的正方形网格中，△ABC的三个顶点A，B，C均在格点上，则tanA的值为__________．三、解答题（共98分）15（8分）．不解方程，判断下列方程的根的情况．（1）2x2+3x+5=0．（2）x2﹣2x+2=0．16（8分）．求下列各式的值．（1）2sin30°﹣2tan45°（2）sin260°+cos260°+．17（8分）．解下列方程．（1）（3x+1）2﹣25=0．（2）2x2﹣4x=3．18（8分）．一个不透明的盒子中有三张卡片，卡片上面分别标有字母a，b，c，每张卡片除字母不同外其他都相同，小玲先从盒子中随机抽出一张卡片，记下字母后放回并搅匀；再从盒子中随机抽出一张卡片并记下字母，用画树状图（或列表）的方法，求小玲两次抽出的卡片上的字母相同的概率．19（8分）．如图，甲、乙两楼楼顶上的点A和点E与地面上的点C这三点在同一条直线上，点B、D分别在点E、A的正下方且D、B、C三点在同一条直线上，B、C相距30米，D、C相距50米，乙楼高BE为18米，求甲楼高AD．20（8分）．已知x=1是一元二次方程（a﹣2）x2+（a2﹣3）x﹣a+1=0的一个根，求a的值．21（8分）．如图，小芳站在地面上A处放风筝，风筝飞到C处时的线长BC为23米，这是测得∠CBD=58°，牵引底端B与地面的距离BA为1.6米，求此时风筝离地面的高度CE．（结果精确到0.1米）[参考数据：sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60]．22（8分）．如图，学校课外生物小组的试验园地是边长为20米的正方形，为了便于管理，现要在中间开辟一横一纵共两条等宽的小道，要使种植面积为361平方米，求小道的宽．23（8分）．如图，在矩形ABCD中，已知AD＞AB，在边AD上取点E，连结CE，过点E作EF⊥CE，与边AB的延长线交于点F．（1）证明：△AEF∽△DCE．（2）若AB=2，AE=3，AD=7，求线段AF的长．24（12分）．如图，在平面直角坐标系中，△OBA∽△DOC，边OA、OC都在x轴的正半轴上，点B的坐标为（5，12），∠BAO=∠OCD=90°，点D在第一象限，OD=6.5，函数y=（x＞0）的图象经过点D，交AB边于点E．（1）求点D的坐标；（2）求k的值；（3）求BE的长．25（14分）．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点P从点A出发，沿AC以每秒1个单位的速度向终点C运动，点Q从点C出发，沿C﹣B﹣A以每秒2个单位的速度向终点A运动，当点P停止运动时，点Q也随之停止，点P，Q同时出发，设点P的运动时间为t（秒）．（1）求AB的长；（2）用含t的代数式表示CP的长；（3）设点Q到CA的距离为y，求y与t之间的函数关系式；（4）若点C关于直线PQ的对称点为C′，当0＜t＜8时，请直接写出直线PC′与△ABC的直角边平行或垂直时t的值．答案一、选择题（每小题3分，共24分）1．故选B．2．故选B．3．故选：A．4．故选D．5．故选C．6故选B．7．故选：C．8．故选：A．二、填空题9．故答案为：5 10．故答案为：．11．故答案为． 12．故答案为：40．13．故答案为：25． 14．故答案为：．三、解答题15．解：（1）∵△=32﹣4×2×5=﹣31＜0，∴方程没有实数根；（2）∵△=（﹣2）2﹣4×1×2=0，∴方程有两个相等的实数根．16．解：（1）原式=2×﹣2×1=﹣1；（2）原式=++=．17．解：（1）（3x+1）2﹣25=0，（3x+1+5）（3x+1﹣5）=03x+1+5=0，3x+1﹣5=0，x 1=﹣2，x2=；（2）2x2﹣4x=3，x2﹣2x=，x2﹣2x+1=+1，（x﹣1）2=，x﹣1=，x 1=，x2=．18．解：画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上的字母相同的结果数为3种，所有小玲两次抽出的卡片上的字母相同的概率==．19．解：∵BE∥AD，∴△EBC∽△ADC，∴===，∴AD=BE=×18=30（米），答：甲楼高AD为30米．20．解：根据题意，得（a﹣2）×12+（a2﹣3）×1﹣a+1=0，即a2﹣4=0，故a2=4，解得，a=2或a=﹣2；∵方程（a﹣2）x2+（a2﹣3）x﹣a+1=0是关于x的一元二次方程，∴a﹣2≠0，即a≠2；故a=﹣2．21．解：在Rt△BDC中，sin∠CBD=．∴CD=23×sin58°=23×0.85=19.55，∴CE=CD+DE=CD+BA=19.55+1.6=21.15≈21.2（米）．答：此时风筝离地面的高度CE约为21.2米．22．解：设小道的宽为x米，根据题意得，2=361，解得：x1=1，x2=39（不合题意，舍去）．答：小道的宽为1米．23（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠D=90°，∵CE⊥EF，∴∠AEF+∠DEC=90°，又∵∠F+∠AEF=90°，∴∠F=∠DEC，∴△AEF∽△DCE；（2）解：∵四边形ABCD为矩形，∴DC=AB=2，∵AE=3，AD=7，∴ED=AD﹣AE=4，∵△AEF∽△DCE，∴，∴，∴AF=6．24．解：（1）∵∠BAO=90°，OA=6，AB=12，∴OB==13．∵△OBA∽△DOC，∴==．∴==．∴OC=6，DC=2.5．∴点D的坐标为（6，2.5）．（2）把（6，2.5）代入y=（x＞0），得2.5=，解得k=15；（3）∵当x=5时，由y=得y=3．∴AE=3．∴BE=BA﹣AE=12﹣3=9．25．解：（1）如图1，∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB===10．（2）∵点P从点A出发，沿AC以每秒1个单位的速度向终点C运动，∴AP=t，又∵AC=8，∴CP=8﹣t．（3）①如图2，当0≤t≤3时，，∵点Q从点C出发，沿C﹣B﹣A以每秒2个单位的速度向终点A运动，∴y=QC=2t．②如图3，当3＜t≤8时，如图，作QD⊥AC于点D，，∵sinA===，∴=，∴y=﹣t．（4）①如图4，CC′与PQ交于点O，PC′∥BC，，∵点C关于直线PQ的对称点为C′，∴CO=OC′，PC′=PC=8﹣t，∵PC′∥BC，∴，∴PC′=CQ，∴8﹣t=2t，解得t=．②如图5，，当PQ∥BC时，点C关于直线PQ的对称点C′在线段AP上，∴PC′⊥BC，∵PQ∥BC，∴，∴，解得t=．③如图6，CC′与QP的延长线交于点D，PC′∥BC，∵点C关于直线PQ的对称点为C′，∴CD=DC′，PC′=PC，∵PC′∥BC，BC⊥AC，∴PC′⊥AC，∠CPC′=90°，∴∠CPD=45°，又∵∠APQ=∠CPD，∴∠APQ=45°，∴sin∠AQP=sin（45°+∠PAQ）=×（）=，在△APQ中，由正弦定理，可得，∴，解得t=．综上，可得直线PC′与△ABC的直角边平行或垂直时，t=，或．。
吉林省长春市榆树市2019-2020学年九年级上学期数学期中试卷
吉林省长春市榆树市2019-2020学年九年级上学期数学期中试卷一、单选题（共8题；共16分）1.计算的值是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【解答】解：∵∴故答案选A.【分析】先算cos60°= ，再计算即可.2.方程的根是( )A. ，B. ，C.D.【答案】B【解析】【解答】解：∴,故答案选B.【分析】先移项，等号右边化零，之后再提公因式x，再根据两因数乘积为零，至少一个因数为零，即可解答.3.下列二次根式中，与是同类二次根式的是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【解答】解：A. ，与不是同类二次根式，故不符合题意；B. ，与不是同类二次根式，故不符合题意；C. ，与是同类二次根式，故符合题意；D. 与不是同类二次根式，故不符合题意；故答案为：C.【分析】将各个选项化成最简二次根式，找出被开方数是3的即可.4.用配方法解方程时，原方程应变形为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【解答】解：原式=故答案选B.【分析】先将常数项移项到等号右边，再将等号左右同时加上一次项系数一半的平方，即可得到答案. 5.做“抛掷一枚质地均匀的硬币试验”，在大量重复试验中，对于事件“正面朝上”的频率和概率，下列说法正确的是( )A. 概率等于频率B. 频率等于C. 概率是随机的D. 频率会在某一个常数附近摆动【答案】 D【解析】【解答】解：A.频率只能估计概率，故此选项不符合题意；B.概率等于，故此选项不符合题意；C.频率是随机的，随实验而变化，但概率是唯一确定的一个值，故此选项不符合题意；D.当实验次数很大时，频率稳定在概率附近，故此选项符合题意.故答案为：D.【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果，据此一一判断选择即可.6.如图，要测量小河两岸相对的A，B两点之间的距离，可以在小河边取AB的垂线BC上的一点D，若测得BD＝60米，∠ADB＝40°，则AB等于（）A. 60tan40°米B. 60tan50°米C. 60sin40°米D. 60sin50°米【答案】A【解析】【解答】解：在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，∠ADB＝40°，BD＝60米，∴tan∠ADB ，∴AB＝BD•tan∠ADB＝60tan40°米.故答案为：A.【分析】：在Rt△ABD中,利用40°角的正切即可求出答案.7.如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使，连结EF交DC于点G，则＝（）A. 2：3B. 3：2C. 9：4D. 4：9【答案】 D【解析】【解答】解：设，∵，∴，∵四边形ABCD是平行四边形，∴，，∵点F是BC的中点，∴，∵，∴，∴，故答案为：D．【分析】设，仔细审题再结合平行四边形的性质可将CF表示出来，再根据相似三角形的判定易证，由相似三角形的性质中相似三角形面积的比等于相似比的平方，可求出结论8.据《九章算术》记载：“今有山居木西，不知其高.山去五十三里，木高九丈五尺.人立木东三里，望木末适与山峰斜平.人目高七尺.问山高几何？”译文如下：如图，今有山位于树的西面.山高为未知数，山与树相距53里，树高9丈5尺.人站在离树3里的地方，观察到树梢C恰好与山峰A处在同一条直线上，人眼离地7尺.则山高的长为（结果保留到整数，1丈=10尺）( )A. 162丈B. 163丈C. 164丈D. 165丈【答案】 D【解析】【解答】解：由题意得，BD=53里，CD=95尺，EF=7尺，DF=3里，过E作EG⊥AB于G，交CD于H，则BG=DH=EF=7尺，GH=BD=53里，HE=DF=3里，∴△ECH∽△EAG，∴，∴，∴AG≈164.2丈，AB=AG+0.7=164.9≈165丈，故答案选D.【分析】由题意得到BD=53里，CD=95尺，EF=7尺，DF=3里，过E作EG⊥AB于G，交CD于H，从而可得BG=DH=EF=7尺，GH=BD=53里，HE=DF=3里，根据相似三角形的性质即可求出答案.二、填空题（共6题；共6分）9.计算：________.【答案】4【解析】【解答】解：【分析】根据二次根式的乘法直接计算即可.10.若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是________.【答案】【解析】【解答】解：∵在实数范围内有意义∴∴故答案为【分析】根据二次根式有意义的条件是被开方数不能为负数列式计算即可.11.如图为正方形网格中的一片树叶，点、、均在格点上，若点E的坐标为，点F的坐标为，则点G的坐标为________.【解析】【解答】解：如图所示原点O的位置，则点G的坐标可以通过观察得到为（2,2）【分析】根据题意可知，本题考查直角坐标系点的位置关系，根据图形的已知点的坐标信息，确定坐标原点之后，建立平面直角坐标系，以直接观察的方式进行分析推断.12.如图，四边形与四边形关于点O成位似图形.若四边形与四边形的面积之比为，则它们的位似比为________.【答案】【解析】【解答】解：因为四边形与四边形的面积之比为，所以它们的位似比为1:3，故答案为1:3.【分析】根据位似图形面积比等于相似比的平方来解题即可.13.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点在第一象限，与x轴所夹的锐角为，且，则m的值是________.【答案】8【解析】【解答】解：如图，过A作AB⊥x轴，∴，∵，∴，∵，∴AB=6，∴，根据勾股定理得：，即m=8，故答案为8.【分析】过A作AB⊥x轴，根据正弦的定义和点A的坐标求出AB，OA的长，根据勾股定理计算即可.14.如图，是等腰直角三角形，，为边上一点，且，连结，过点C作于点E，交于点F.若，则的长为________.【答案】【解析】【解答】解：作AH⊥BD的延长线于点H，∵BC=AC=6，CD=2AD，∴AD=2，CD=4，根据勾股定理AB= ，BD= ，∵，∴，∵CE⊥BD，∴根据勾股定理可得ED= ，∴，在△AHD与△CED中，∠AHD=∠CED，∠ADH=∠CDE，∴△AHD∽△CED，∴，∴，根据勾股定理得，∴，在△BEF与△BHA中，∠FBE=∠ABH，∠BEF=∠BHA=90°，∴△BEF∽△BHA，∴，∴，故答案为.【分析】作AH⊥BD的延长线于点H，根据已知和勾股定理可求出CD，AD，AB，再根据三角形面积公式，可求出CE的长度，进而可求ED，BE，然后证得△AHD∽△CED，△BEF∽△BHA，根据相似比即可求出答案.三、解答题（共10题；共83分）15.计算：.【答案】解：原式【解析】【分析】先计算锐角三角函数值，再计算平方，然后从左至右依次计算即可.16.解方程：.【答案】解：.∵，，.∴.∴∴，.【解析】【分析】等号左右两边同时乘，然后再根据公式法求解即可.17.有三张正面分别标有数字-2,3,4的不透明卡片,它们除数字外都相同:现将它们背面朝上,洗匀后,从三张卡片中随机地抽出一张,记下数字后将卡片放回,洗匀后,再从这三张卡片中随机抽出一张,记下数字.用列表或画树状图的方法,求两次抽取的卡片上的数字符号不同的概率.【答案】解：列表如下因为有9种等可能的结果，其中数字为一正数，一负数的情况有4种，所以两次抽取的卡片上的数字符号不同的概率为．【解析】【分析】列表得出有放回的所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．18.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段的端点均在格点上，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，并保留作图痕迹.（1）在图①中画一条射线，使.（2）在图②中画一条射线，使.【答案】（1）解：如图所示.（2）解：如图所示.【解析】【分析】（1）先确定直角三角形的直角，①当∠ACB为直角时，需要保证AC=2BC；②当∠ABC 为直角时，需要保证AB=2BC；（2）∠ABD是直角，需要保证BD= 即可.19.如图，要设计一幅宽，长的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，求每个横彩条的宽度.【答案】解：设横彩条的宽度为，则竖彩条的宽度为.由题意，得.解得，.当时，，舍去.答：横彩条的宽度为.【解析】【分析】设横彩条的宽度为，则竖彩条的宽度为，根据题意列方程计算即可. 20.如图，在中，，，.D是边中点，以点D为直角顶点向上方作等腰直角三角形，边经过点C，与交于点G.（1）求的长.（2）若G为的中点，求的长.【答案】（1）解：，D是中点，，，是等边三角形，；（2）解：是等边三角形，，，，在中，，∴，，为的中点，，是等腰直角三角形，，.【解析】【分析】（1）根据直角三角形的中线定理和等边三角形的性质即可证明；（2）根据∠ACB=90°和等边三角形ACD可求∠DCG的正切值，从而可得DG，DF，继而可求得答案.21.如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，E为边的中点，将绕点E旋转，旋转过程中，边与边相交于点P，边与边延长线相交于点Q.（1）求证：.（2）若，，求的长.【答案】（1）证明：和是两个全等的等腰直角三角形，，，，，；（2）解：，，，，，，，.【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可知，从而可证，进而可证答案；（2）相似三角形的对应边成比例，结合BP=3，CQ=8可得，从而可求答案.22.（教材呈现）下图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容.例1 求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.已知：如图，在中，，，.求证：、互相平分.证明：连结、.（1）请根据教材提示，结合图①，写出完整的解题过程.（2）（结论应用）如图②，连结图①的、，分别与、、交于点M、N、O. 若，求点M、N之间的距离.（3）若四边形的面积为2，则的面积为________.【答案】（1）解：，，，同理可得四边形是平行四边形.、互相平分.（2）解：连结M、N，如图.，，是的中位线是中线，是中点.同理可得是中点.是的中位线.（3）24【解析】【解答】理由：设MN，OE的交点为H，AE，DF的交点为P，根据【教材呈现】可知点P为DF 的中点，M是DE的中点，N是DC的中点，由（1）知MN是△EDF的中位线，∴点H是MN的中点，∴EH是△EMN的中线，OH是△OMN的中线，根据三角形中线平分面积可知，又∵四边形EMON的面积为2∴∵点M是DE的中点，∴∴∵点N是DC的中点，∴∵点E是BC的中点，∴∵点D是AB的中点，∴【分析】教材呈现：根据三角形中位线的性质可得，从而可得四边形ADEF是平行四边形，从而可证答案；结论应用：（1）由【教材呈现】可证点M与N分别是DE，EF的中点，从而可知MN是△DEF的中位线，从而可求答案；（2）设MN，OE的交点为H，AE，DF的交点为P，根据【教材呈现】可知点P为DF的中点，M是DE的中点，N是DC的中点，由（1）知MN是△EDF的中位线，利用三角形中线平分面积原理即可得出答案.23.某数学兴趣小组为测量如图（①所示的一段古城墙的高度，设计用平面镜测量的示意图如图②所示，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经过平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处。
长春市2019-2020学年九年级上学期期中数学试题A卷-1
长春市2019-2020学年九年级上学期期中数学试题A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题1 . 如图所示的四张扑克牌背面完全相同，洗匀后背面朝上，则从中任意翻开一张，牌面数字是 3 的倍数的概率为（）A．B．C．D．2 . 若3x=2y，则x：y的值为（）A．2：3 B．3：2 C．3：5D．2：53 . 根据下面表格中的对应值：x 3.24 3.25 3.26ax2+bx+c﹣0.020.010.03判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是（）A．x＜3.24B．3.24＜x＜3.25C．3.25＜x＜3.26D．x＞3.264 . 如图是一个长，宽的矩形图案，其中有两条宽度相等，互相垂直的彩条，彩条面积是图案面积的三分之一，设彩条的宽度为，则所列方程正确的是（）A．B．C．D．5 . (2016·四川巴中)不等式组的最大整数解为A．1B．−3C．0D．−16 . 如果关于的方程有两个实数根，且关于的分式方程有整数解，则符合条件的整数有（）个．A．B．C．D．7 . 如图，小伟在打网球时，击球点距离球网的水平距离是米．已知网高是米，要使球恰好能打过网，且落在离网米的位置，则球拍击打的高度为（）A．1.0B．1.6C．2.0D．2.48 . 下列命题中，为假命题的是（）A．两组邻边分别相等的四边形是菱形B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形C．四个角相等的四边形是矩形D．对角线相等的平行四边形是矩形9 . 具备下列条件的和能判断他们相似的是（）A．A= B ,=B．A=,B=CD．A=,AB=AC,C．A=,二、填空题10 . 把△ABC三点坐标A(0，1)、B(2，0)、C(3，2)分别乘以3得△A＇B＇C＇，的坐标A＇，(0，3)、B＇(6，0)、C(9，6)，那么△ABC与△A＇B＇C＇是______图形，位似中心是_______，相似比为________11 . 分解因式：＝．12 . 已知线段a=4，b=1，如果线段c是线段a、b的比例中项，那么c=_____．13 . 从2，-2，0三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，则该点在坐标轴上的概率是______．14 . 如图，四边形ABCD中，∠D=∠B=90°，AB=BC，CD=4，AC=8，设Q、R分别是AB、AD上的动点，则△CQR的周长的最小值为_________ ．三、解答题15 . 某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元.为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?16 . 计算：（1）2x2﹣4x+1=0（配方法）（2）﹣3x=1﹣x2（3）2（x+2）2=x（x+2）（4）（x+1）（x﹣1）+2（x+3）=8．17 . 如图，将两块完全相同的直角三角形纸片的直角顶点叠放在一起，若保持不动，将绕直角顶点旋转．（1）当绕直角顶点旋转到如图1的位置时，①若，则=_________°；若，则=_________°；②猜想与的数量关系为：_________；（2）当绕直角顶点旋转到如图2的位置时，②中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由．（注：与为小于平角的角）18 . 为了提高科技创新意识，我市某中学在“2018年科技节”活动中举行科技比赛，包括“航模”、“机器人”、“环保”、“建模”四个类别（每个学生只能参加一个类别的比赛），各类别参赛人数统计如图：请根据以上信息，解答下列问题：（1）全体参赛的学生共有人，“建模”在扇形统计图中的圆心角是°；（2）将条形统计图补充完整；（3）在比赛结果中，获得“环保”类一等奖的学生为1名男生和2名女生，获得“建模”类一等奖的学生为1名男生和1名女生，现从这两类获得一等奖的学生中各随机选取1名学生参加市级“环保建模”考察活动，请用列表或画树状图的方法求选取的两人中恰为1男生1女生的概率.19 . 先化简，再求值：，其中．20 . 如图①，在长方形ABCD中，AB=10cm，BC=8cm、点P从A出发，沿A、B、C、D路线运动，到D停止；点P的速度为每秒1cm，a秒时点P的速度变为每秒bcm，图②是点P出发x秒后，△APD的面积S1（cm2）与x（秒）的函数关系图象；（1）根据图②中提供的信息，求a、b及图②中c的值；（2）设点P离开点A的路程为y（cm），请写出动点P改变速度后y与出发后的运动时间x（秒）的函数关系式；（3）点P出发后几秒，△APD的面积S1是长方形ABCD面积的？21 . 已知，如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将△ABC先向上平移3格，再向左平移2格．（1）画出平移后的图形△A′B′C′；（2）直接写出△A′B′C′的面积．22 . 如图，四边形是矩形，是的中点，是的中点．求证：.23 . 阅读下面的例题及点拨，补全解题过程（完成点拨部分的填空），并解决问题：例题：如图1，在等边中，是边上一点（不含端点），是的外角的平分线上一点，且.求证：．点拨：如图2，作，与的延长线相交于点，得等边，连结，易证（_______），可得，；又，则，可得_________；由，进一步可得______；又因为，所以，所以．问题：如图3，四边形的四条边都相等，四个角都等于，是边上一点（不含端点），是四边形的外角的平分线上一点，且．求的度数．。
吉林省长春市名校调研(市命题N)2019-2020年九年级(上)第一次月考数学试卷 解析版
2019-2020学年九年级（上）第一次月考数学试卷一．选择题（共6小题）1．﹣的相反数是（）A．6 B．﹣6 C．D．﹣2．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．2x+1＝3 B．x2+y＝2 C．3x2+2x＝4 D．3．下列运算结果正确的是（）A．a8÷a2＝a4B．x3x3＝x6C．（﹣m）2m3＝﹣m5D．（a3）3＝a64．抛物线y＝﹣（x﹣3）2+1的顶点坐标为（）A．（3，1）B．（﹣3，1）C．（1，3）D．（1，﹣3）5．若函数y＝（3﹣m）x﹣x+1是二次函数，则m的值为（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．96．如图，空地上（空地足够大）有一段长为20m的旧墙MN，小敏利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长100m，矩形菜园ABCD的面积为900m2．若设AD＝xm，则可列方程（）A．（50﹣）x＝900 B．（60﹣x）x＝900C．（50﹣x）x＝900 D．（40﹣x）x＝900二．填空题（共8小题）7．一元二次方程2x＝x2﹣3化成一般形式为．8．若二次函数y＝x2﹣2x+a﹣4的图象经过原点，则a＝．9．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣1＝0的常数项为零，则m的值为．10．已知二次函数y＝（x﹣2）2﹣3，当x时，y随x的增大而减小．11．若a是方程x2﹣2x﹣1＝0的解，则代数式﹣3a2+6a+2020的值为．12．将抛物线y＝4x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，所得抛物线的解析式为．13．如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（1，3），则AC的长是．14．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，已知点（﹣1，y1）、（2，y2）是函数图象上的两个点，则y1、y2的大小关系是．三．解答题（共12小题）15．先化简，再求值：，其中x＝3．16．用配方法解方程：x2﹣8x+1＝0．17．用公式法解方程：x2﹣3x+1＝0．18．春节期间，收发微信红包已经成为各类人群进行交流联系、增强感情的一部分，小王在2017年春节共收到红包400元，2019年春节共收到红包484元，求小王在这两年春节收到红包的年平均增长率．19．已知关于r的一元二次方程x2﹣4x+m+1＝0有两个不相等的实数根，（1）求m的取值范围；（2）当m＝﹣1时，求出此时方程的两个根．20．如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点B在ED的延长线上（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若AE＝2，CE＝3，求BE的长；（3）求∠BEC的度数21．已知抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），且过点（﹣1，2）．（1）求此抛物线的函数解析式；（2）直接写出该抛物线的开口方向及对称轴．22．某校数学综合实践小组的同学以“绿色出行”为主题•把某小区的居民对共享单车的了解和使用情况进行了问卷调查，在这次调查中，发现有20人对于共享单车不了解．使用共享单车的居民每天骑行路程不超过8千米，并将调查结果制作成统计图，如图所示．（1）本次调查人数共人，使用过共享单车的有人；（2）将条形统计图补充完整，则使用共享单车骑行的居民每天骑行路程的中位数落在范围内；（3）如果这个小区大约有3000名居民，请估算每天骑行路程不超过4千米的有多少人？23．快车从甲地驶向乙地，慢车从乙地驶向甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶，途中快车休息1.5小时，慢车没有休息．设慢车行驶的时间为x小时，快车行驶的路程为y1千米，慢车行驶的路程为y2千米．如图中折线OAEC表示y1与x之间的函数关系，线段OD表示y2与x之间的函数关系．请解答下列问题：（1）求快车和慢车的速度；（2）求图中线段EC所表示的y1与x之间的函数表达式；（3）线段OD与线段EC相交于点F，直接写出点F的坐标，并解释点F的实际意义．24．如图，已知二次函数y＝ax2﹣3x+4的图象经过点M（3，4）．（1）求a的值和图象的顶点坐标；（2）点Q（m，n）在该二次函数图象上．①当m＝﹣2时，求n的值；②若点Q到x轴的距离等于，直接写出m的值．25．暑假期间，某景区商店推出销售纪念品活动，已知纪念品每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该纪念品的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．（销售利润＝销售总额﹣进货成本）（1）若该纪念品的销售单价为45元时，则当天销售量为件．（2）当该纪念品的销售单价为多少元时，该纪念品的当天销售销售利润是2610元．（3）当该纪念品的销售单价定为多少元时，该纪念品的当天销售销售利润达到最大值？求此最大利润．26．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣2，0），点B（1，0），交y轴于点C（0，2）（1）求二次函数的解析式；（2）连接AC，在直线AC上方的抛物线上有一点N，过点N作y轴的平行线，交直线AC 于点F，设点N的横坐标为n，线段NF的长为l，求l关于n的函数关系式；（3）若点M在x轴上，是否存在点M，使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．﹣的相反数是（）A．6 B．﹣6 C．D．﹣【分析】根据相反数的定义即可得到结论．【解答】解：﹣的相反数是，故选：C．2．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．2x+1＝3 B．x2+y＝2 C．3x2+2x＝4 D．【分析】一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．【解答】解：A、该方程中未知数的最高次数是1，不属于一元二次方程，故本选项错误；B、该方程中未知数的最高次数是2且含有2个未知数，不属于一元二次方程，故本选项错误；C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确；D、该方程是分式方程，不属于一元二次方程，故本选项错误；故选：C．3．下列运算结果正确的是（）A．a8÷a2＝a4B．x3x3＝x6C．（﹣m）2m3＝﹣m5D．（a3）3＝a6【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断即可得出答案．【解答】解：A、a8÷a2＝a6，故本选项错误；B、x3x3＝x6，故本选项正确；C、（﹣m）2m3＝m5，故本选项错误；D、（a3）3＝a9，故本选项错误；故选：B．4．抛物线y＝﹣（x﹣3）2+1的顶点坐标为（）A．（3，1）B．（﹣3，1）C．（1，3）D．（1，﹣3）【分析】根据二次函数顶点式解析式写出顶点坐标即可．【解答】解：抛物线y＝﹣（x﹣3）2+1的顶点坐标为（3，1）．故选：A．5．若函数y＝（3﹣m）x﹣x+1是二次函数，则m的值为（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．9【分析】直接利用二次函数的定义分析得出答案．【解答】解：∵函数y＝（3﹣m）x﹣x+1是二次函数，∴m2﹣7＝2，且3﹣m≠0，解得：m＝﹣3．故选：B．6．如图，空地上（空地足够大）有一段长为20m的旧墙MN，小敏利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长100m，矩形菜园ABCD的面积为900m2．若设AD＝xm，则可列方程（）A．（50﹣）x＝900 B．（60﹣x）x＝900C．（50﹣x）x＝900 D．（40﹣x）x＝900【分析】设AD＝xm，则AB＝（60﹣x）m，根据矩形面积公式列出方程．【解答】解：设AD＝xm，则AB＝（60﹣x）m，由题意，得（60﹣x）x＝900．故选：B．二．填空题（共8小题）7．一元二次方程2x＝x2﹣3化成一般形式为x2﹣2x﹣3＝0 ．【分析】移项合并即可得到结果．【解答】解：方程去括号得：x2﹣2x﹣3＝0．故答案为：x2﹣2x﹣3＝0．8．若二次函数y＝x2﹣2x+a﹣4的图象经过原点，则a＝ 4 ．【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，把原点坐标代入解析式求出a＝4．【解答】解：把（0，0）代入y＝x2﹣2x+a﹣4得a﹣4＝0，解得a＝4，所以a的值为4．故答案为4．9．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣1＝0的常数项为零，则m的值为﹣1 ．【分析】常数项为零即m2﹣1＝0，再根据二次项系数不等于0，即可求得m的值．【解答】解：一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣1＝0的常数项为m2﹣1＝0，所以m＝±1，又因为二次项系数不为0，所以m＝﹣1．10．已知二次函数y＝（x﹣2）2﹣3，当x＜2 时，y随x的增大而减小．【分析】根据二次函数的性质，找到解析式中的a为1和对称轴；由a的值可判断出开口方向，在对称轴的两侧可以讨论函数的增减性．【解答】解：在y＝（x﹣2）2﹣3中，a＝1，∵a＞0，∴开口向上，由于函数的对称轴为x＝2，当x＜2时，y的值随着x的值增大而减小；当x＞2时，y的值随着x的值增大而增大．故答案为：＜2．11．若a是方程x2﹣2x﹣1＝0的解，则代数式﹣3a2+6a+2020的值为2017 ．【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝a代入已知方程，即可求得a2﹣2a＝1，然后将其代入所求的代数式并求值即可．【解答】解：∵a是方程x2﹣2x﹣1＝0的解，∴a2﹣2a＝1，则﹣3a2+6a+2020＝﹣3（a2﹣2a）+2020＝﹣3+2020＝2017；故答案为：2017．12．将抛物线y＝4x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，所得抛物线的解析式为y ＝4（x+2）2+3 ．【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可．【解答】解：抛物线y＝4x2向上平移3个单位得到解析式：y＝4x2+3，再向左平移2个单位得到抛物线的解析式为：y＝4（x+2）2+3．故答案为y＝4（x+2）2+3．13．如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（1，3），则AC的长是．【分析】根据勾股定理求出OB，根据矩形的性质得出AC＝OB，即可得出答案．【解答】解：连接OB，过B作BM⊥x轴于M，∵点B的坐标是（1，3），∴OM＝1，BM＝3，由勾股定理得：OB＝＝＝，∵四边形OABC是矩形，∴AC＝OB，∴AC＝14．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，已知点（﹣1，y1）、（2，y2）是函数图象上的两个点，则y1、y2的大小关系是y1＜y2．【分析】先求出抛物线对称轴，由图象可知抛物线开口向下，再根据两个点与对称轴距离的大小及抛物线的增减性即可判断纵坐标的大小．【解答】解：抛物线的对称轴是x＝＝3，开口向下，∴在对称轴左侧，y随x的增大而增大，∵﹣1＜2＜3，∴y1＜y2．故答案为：y1＜y2．三．解答题（共12小题）15．先化简，再求值：，其中x＝3．【分析】首先将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝÷＝×＝，当x＝3时，原式＝＝．16．用配方法解方程：x2﹣8x+1＝0．【分析】本题要求用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．【解答】解：∵x2﹣8x+1＝0，∴x2﹣8x＝﹣1，∴x2﹣8x+16＝﹣1+16，∴（x﹣4）2＝15，解得．17．用公式法解方程：x2﹣3x+1＝0．【分析】找出方程中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，计算出根的判别式，由根的判别式大于0，得到方程有解，将a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解．【解答】解：x2﹣3x+1＝0，这里a＝1，b＝﹣3，c＝1，∵b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×1＝9﹣4＝5＞0，∴x＝＝，则x1＝，x2＝．18．春节期间，收发微信红包已经成为各类人群进行交流联系、增强感情的一部分，小王在2017年春节共收到红包400元，2019年春节共收到红包484元，求小王在这两年春节收到红包的年平均增长率．【分析】设小王在这两年春节收到的红包的年平均增长率为x，根据小王2017年及2019年春节收到红包的金额，可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设小王在这两年春节收到的红包的年平均增长率为x，依题意，得：400（1+x）2＝484，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．答：小王在这两年春节收到的年平均增长率是10%．19．已知关于r的一元二次方程x2﹣4x+m+1＝0有两个不相等的实数根，（1）求m的取值范围；（2）当m＝﹣1时，求出此时方程的两个根．【分析】（1）利用判别式的意义得到△＝（﹣4）2﹣4（m+1）＞0，然后解关于m的不等式即可；（2）当m＝﹣1时，方程变形为x2﹣4x＝0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）根据题意得△＝（﹣4）2﹣4（m+1）＞0，解得m＜3；（2）当m＝﹣1时，方程变形为x2﹣4x＝0，x（x﹣4）＝0，x＝0或x﹣4＝0，所以x1＝0，x2＝4．20．如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点B在ED的延长线上（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若AE＝2，CE＝3，求BE的长；（3）求∠BEC的度数【分析】（1）依据等边三角形的性质，由SAS即可得到判定△ABD≌△ACE的条件；（2）依据等边三角形的性质以及全等三角形的性质，即可得出BD＝CE，DE＝AE，进而得到AE+CE＝BE，代入数值即可得出结果；（3）依据等边三角形的性质以及全等三角形的性质，即可得出∠BEC的度数．【解答】（1）证明∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）解：∵△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，∵△ADE是等边三角形，∴DE＝AE，∵DE+BD＝BE，∴AE+CE＝BE，∴BE＝2+3＝5；（3）解：∵△ADE是等边三角形，∴∠ADE＝∠AED＝60°，∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝180°﹣60°＝120°，∵△ABD≌△ACE，∴∠AEC＝∠ADB＝120°，∴∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝120°﹣60°＝60°．21．已知抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），且过点（﹣1，2）．（1）求此抛物线的函数解析式；（2）直接写出该抛物线的开口方向及对称轴．【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的顶点形式，将（﹣1，2）代入求出a 的值，即可确定出解析式；（2）根据解析式即可求得抛物线的开口方向与对称轴．【解答】解：（1）∵抛物线顶点坐标（2，﹣1），∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1，∵抛物线经过点（﹣1，2），∴a（﹣1﹣2）2﹣1＝2，解得：a＝，则该抛物线解析式为y＝（x﹣2）2﹣1；（2）∵抛物线解析式为y＝（x﹣2）2﹣1，∴该抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝2．22．某校数学综合实践小组的同学以“绿色出行”为主题•把某小区的居民对共享单车的了解和使用情况进行了问卷调查，在这次调查中，发现有20人对于共享单车不了解．使用共享单车的居民每天骑行路程不超过8千米，并将调查结果制作成统计图，如图所示．（1）本次调查人数共200 人，使用过共享单车的有90 人；（2）将条形统计图补充完整，则使用共享单车骑行的居民每天骑行路程的中位数落在2～4千米范围内；（3）如果这个小区大约有3000名居民，请估算每天骑行路程不超过4千米的有多少人？【分析】（1）“不了解”的有20人，从统计图中“不了解”占10%，可求出调查人数，求出使用共享单车的百分比，求出使用共享单车的人数，（2）求出使用共享单车中行驶路程不超过4千米的人数，即可补全条形统计图，排序后处在第45、46位数据落在那个范围内即可，（3）样本估计总体，样本中篮球比足球多的人数占调查人数的，估计总体中篮球比足球多的人数也占，【解答】解：（1）20÷10%＝200人，200×（1﹣10%﹣45%）＝90人，故答案为：90．（2）90﹣25﹣10﹣5＝50人，补全条形统计图如图所示：将使用共享单车的90人骑车路程数从小到大排序处在第45、46位的数一定在2～4千米范围，故答案为：2～4千米．（3）3000×＝1125人，答：估算每天骑行路程不超过4千米的有1125人．23．快车从甲地驶向乙地，慢车从乙地驶向甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶，途中快车休息1.5小时，慢车没有休息．设慢车行驶的时间为x小时，快车行驶的路程为y1千米，慢车行驶的路程为y2千米．如图中折线OAEC表示y1与x之间的函数关系，线段OD表示y2与x之间的函数关系．请解答下列问题：（1）求快车和慢车的速度；（2）求图中线段EC所表示的y1与x之间的函数表达式；（3）线段OD与线段EC相交于点F，直接写出点F的坐标，并解释点F的实际意义．【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得快车和慢车的速度；（2）根据函数图象中的数据可以求得点E和点C的坐标，从而可以求得y1与x之间的函数表达式；（3）根据图象可知，点F表示的是快车与慢车行驶的路程相等，从而以求得点F的坐标，并写出点F的实际意义．【解答】解：（1）快车的速度为：180÷2＝90千米/小时，慢车的速度为：180÷3＝60千米/小时，答：快车的速度为90千米/小时，慢车的速度为60千米/小时；（2）由题意可得，点E的横坐标为：2+1.5＝3.5，则点E的坐标为（3.5，180），快车从点E到点C用的时间为：（360﹣180）÷90＝2（小时），则点C的坐标为（5.5，360），设线段EC所表示的y1与x之间的函数表达式是y1＝kx+b，，得，即线段EC所表示的y1与x之间的函数表达式是y1＝90x﹣135（3.5≤x≤5.5）；（3）设点F的横坐标为a，则60a＝90a﹣135，解得，a＝4.5，则60a＝270，即点F的坐标为（4.5，270），点F代表的实际意义是在4.5小时时，快车与慢车行驶的路程相等．24．如图，已知二次函数y＝ax2﹣3x+4的图象经过点M（3，4）．（1）求a的值和图象的顶点坐标；（2）点Q（m，n）在该二次函数图象上．①当m＝﹣2时，求n的值；②若点Q到x轴的距离等于，直接写出m的值．【分析】（1）把点M（3，4）代入y＝ax2﹣3x+4中，即可求出a；（2）①把m＝﹣2代入解析式即可求n的值；②由点Q到x轴的距离等于，可得m2﹣3m+4＝，解得即可；【解答】解：（1）把点M（3，4）代入y＝ax2﹣3x+4中得9a﹣9+4＝4，∴a＝1，∴y＝x2﹣3x+4，∵y＝x2﹣3x+4＝（x﹣）2+，∴顶点坐标为（，）；（2）①当m＝﹣2时，n＝4+6+4＝14，②点Q到x轴的距离等于，∴n＝，∴m2﹣3m+4＝，解得m＝或，∴m的值为或．25．暑假期间，某景区商店推出销售纪念品活动，已知纪念品每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该纪念品的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．（销售利润＝销售总额﹣进货成本）（1）若该纪念品的销售单价为45元时，则当天销售量为230 件．（2）当该纪念品的销售单价为多少元时，该纪念品的当天销售销售利润是2610元．（3）当该纪念品的销售单价定为多少元时，该纪念品的当天销售销售利润达到最大值？求此最大利润．【分析】（1）根据当天销售量＝280﹣10×增加的销售单价，即可求出结论；（2）设该纪念品的销售单价为x元（x＞40），则当天的销售量为[280﹣（x﹣40）×10]件，根据当天的销售利润＝每件的利润×当天销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；（3）直接利用当天的销售利润＝每件的利润×当天销售量，得出函数关系式进而求出最值即可．【解答】解：（1）280﹣（45﹣40）×10＝230（件）．故答案为：230；（2）设该纪念品的销售单价为x元（x＞40），则当天的销售量为[280﹣（x﹣40）×10]件，依题意，得：（x﹣30）[280﹣（x﹣40）×10]＝2610，整理，得：x2﹣98x+2301＝0，整理，得：x1＝39（不合题意，舍去），x2＝59．答：当该纪念品的销售单价为59元时，该产品的当天销售利润是2610元；（3）设该纪念品的销售单价为x元（x＞40），则当天的销售量为[280﹣（x﹣40）×10]件，设当天销售销售利润为y元，依题意，得：y＝（x﹣30）[280﹣（x﹣40）×10]＝﹣10x2+980x﹣20400＝﹣10（x﹣49）2+3610，当该纪念品的销售单价定为49元时，该纪念品的当天销售销售利润达到最大值，最大利润为3610元．26．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣2，0），点B（1，0），交y轴于点C（0，2）（1）求二次函数的解析式；（2）连接AC，在直线AC上方的抛物线上有一点N，过点N作y轴的平行线，交直线AC 于点F，设点N的横坐标为n，线段NF的长为l，求l关于n的函数关系式；（3）若点M在x轴上，是否存在点M，使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣1）＝a（x2+x﹣2），故﹣2a＝2，解得：a＝﹣1；（2）设点N（n，﹣n2﹣n+2），则点F（n，n+2），l＝﹣n2﹣n+2﹣（n+2）＝﹣n2﹣2n；（3）分CB＝CM、BC＝BM、BM＝CM三种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣1）＝a（x2+x﹣2），故﹣2a＝2，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+2；（2）由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝x+2，设点N（n，﹣n2﹣n+2），则点F（n，n+2），l＝﹣n2﹣n+2﹣（n+2）＝﹣n2﹣2n；（3）设点M（m，0），而点B（﹣1，0），点C（0，2），则BC2＝5，BM2＝（m+1）2，CM2＝m2+4；①当CB＝CM时，m2+4＝5，解得：m＝±1（舍去1）；②当BC＝BM时，同理可得：m＝1；③当BM＝CM时，同理可得：m＝﹣；综上，点M的坐标为：（﹣1，0）或（1，0）或（1﹣，0）或（﹣，0）．。
2019-2020学年吉林省名校调研(市命题七十七)九年级(上)期中数学试卷(解析版)
2019-2020学年吉林省名校调研（市命题七十七）九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分） 1．（3分）cos45︒的值等于( )A B C ．12D 2．（3分）一元二次方程23210x x --=的一次项系数为( ) A ．1B ．1-C ．2D ．2-3．（3( )A B C D 4．（3分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，75B ∠=︒，则A ∠的正弦值为( )A ．12B C D 5．（3分）如图是教学用直角三角板，边30AC cm =，90C ∠=︒，30BAC ∠=︒，则BC 长为( )A ．B ．C ．D ．6．（3分）如图，点D ，E 分别在ABC ∆的边BA ，CA 的延长线上，//DE BC ．若3E C E A =，AED ∆的周长为3，则ABC ∆的周长为( )A．3B．6C．9D．127．（3分）在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，ABC∆的顶点都是格点，则sin BAC∠的值为()A B C．2D8．（3分）小青在校园内发现：旁边一棵树在阳光下的影子和她本人的影子在同一直线上，树顶的影子和她头顶的影子恰好落在地面的同一点，同时还发现她站立于树影的中点（如图）．如果小青的身高为1.65米，由此可推断出树高是()A．3.1米B．3.2米C．3.3米D．3.4米二、填空题（每小题3分，共18分）9．（3分）点(1,3)P-关于y轴的对称点的坐标是．10．（3分）如图，在ABCDE=，则BC=．∆中，D、E分别是AB和AC上的中点，411．（3分）计算：=．12．（3分）关于x 的方程2(1)x a -=有实数根，则a 的取值范围是 ．13．（3分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD 是AB 边上的高，CE 是AB 边上的中线，若3AD =，5CE =，则CD 等于 ．14．（3分）如图，河坝横断面迎水坡AB 的坡比是（坡比是斜坡AB 两点之间的高度差BC 与水平距离AC 之比），坝高2BC m =，则坡面AB 的长度是 m ．三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15．（6分）计算：3tan30sin452sin60︒+︒-︒． 16．（6分）用配方法解方程：2610x x --=．17．（6分）如图，锐角ABC ∆中，10AB cm =，9BC cm =，ABC ∆的面积为227cm ．求t a n B 的值．18．（7分）如图，一辆轿车在经过某路口的感应线B 和C 处时，悬臂灯杆上的电子警察拍摄到两张照片，两感应线之间距离BC 为6.2m ，在感应线B 、C 两处测得电子警察A 的仰角分别为45ABD ∠=︒，28ACD ∠=︒．求电子警察安装在悬臂灯杆上的高度AD 的长．（结果精确到0.1米）【参考数据：sin280.47︒=，cos280.88︒=，tan280.53︒=】19．（7分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，3tan 4A =，点D ，E 分别在边AB 、AC 上，DE AC ⊥，3DE =，10DB =．求DC 的长．20．（7分）如图，ABC ∆在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为(0,4)A ，(2,2)B ，(4,6)C （正方形网格中，每个小正方形的边长均为1)．（1）画出ABC ∆向下平移5个单位长度得到的△111A B C ，并写出点1B 的坐标；（2）以点O 为位似中心，在第三象限内画出△222A B C ，使△222A B C 与ABC ∆位似，且相似比为1:2，直接写出点2C 的坐标．21．（8分）2019年4月23日是中国人民解放军海军成立70周年纪念日，届时将在青岛举行盛大的多国海军庆祝活动．为此我国海军进行了多次军事演习．如图，在某次军事演习时，舰艇A 发现在他北偏东22︒方向上有不明敌舰在指挥中心O 附近徘徊，快速报告给指挥中心，此时在舰艇A 正西方向50海里处的舰艇B 接到返回指挥中心的行动指令，舰艇B 迅速赶往在他北偏东60︒方向的指挥中心处，舰艇B 的速度是80海里/小时，请根据以上信息，求舰艇B 到达指挥中心O 的时间．（结果精确到0.1小时，参考数据：(sin 220.37︒≈，cos220.93︒≈，tan220.40︒≈ 1.73)=22．（9分）某农场要建一个饲养场（矩形)ABCD 两面靠现有墙(AD 位置的墙最大可用长度为27米，AB 位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．设饲养场（矩形)ABCD 的一边AB 长为x 米． （1）饲养场另一边BC = 米（用含x 的代数式表示）． （2）若饲养场的面积为180平方米，求x 的值．23．（10分）（1）问题发现如图1，在Rt ABC ∆和Rt CDE ∆中，90ACB DCE ∠=∠=︒，45CAB CDE ∠=∠=︒，点D 时线段AB 上一动点，连接BE ． 填空： ①BEAD的值为 ； ②DBE ∠的度数为 ． （2）类比探究如图2，在Rt ABC ∆和Rt CDE ∆中，90ACB DCE ∠=∠=︒，60CAB CDE ∠=∠=︒，点D 是线段AB 上一动点，连接BE ．请判断BEAD的值及DBE ∠的度数，并说明理由； （3）拓展延伸如图3，在（2）的条件下，将点D 改为直线AB 上一动点，其余条件不变，取线段DE 的中点M ，连接BM 、CM ，若2AC =，则当CBM ∆是直角三角形时，线段BE 的长是多少？请直接写出答案．24．（12分）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，9AC cm =，12BC cm =，在D E F∆中，90DFE ∠=︒，6EF cm =，8DF cm =．EF 在BC 上，保持ABC ∆不动，并将DEF ∆以1/cm s 的速度向点C 运动，移动开始前点F 与点B 重合，当点E 与点C 重合时，DEF ∆停止移动．边DE 与AB 相交于点G ，连接FG ，设移动时间为()t s（1）DEF ∆从移动开始到停止，所用时间为 s ； （2）当DE 平分AB 时，求t 的值； （3）当GEF ∆为等腰三角形时，求t 的值．2019-2020学年吉林省名校调研（市命题七十七）九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分） 1．（3分）cos45︒的值等于( )A B C ．12D 【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．【解答】解：cos45︒= 故选：D ．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 2．（3分）一元二次方程23210x x --=的一次项系数为( ) A ．1B ．1-C ．2D ．2-【分析】根据一般地，任何一个关于x 的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式20(0)ax bx c a ++=≠．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项；c 叫做常数项可得答案．【解答】解：一元二次方程23210x x --=，则它的一次项系数为2-， 故选：D ．【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握一元二次方程的一般形式为20(0)ax bx c a ++=≠．3．（3( )A B C D 【分析】根据同类二次根式的概念，需要把各个选项化成最简二次根式，被开方数是3的即【解答】解：AB 3，属于同类二次根式，故本选项正确．C =D故选：B ．【点评】此题考查了同类二次根式的概念，能够熟练运用二次根式的性质化简二次根式． 4．（3分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，75B ∠=︒，则A ∠的正弦值为( )A ．12B C D 【分析】在ABC ∆中，AB AC =，75B ∠=︒，根据等腰三角形的性质即可求出顶角A 的度数，继而即可求出A ∠的正弦值． 【解答】解：AB AC =，75B ∠=︒，30A ∴∠=︒， 1sin 2A ∴∠=． 故选：A ．【点评】本题考查解直角三角形的知识，属于基础题，比较容易解答．5．（3分）如图是教学用直角三角板，边30AC cm =，90C ∠=︒，30BAC ∠=︒，则BC 长为( )A ．B ．C ．D ．【分析】因为教学用的直角三角板为直角三角形，所以利用三角函数定义，一个角的正切值等于这个角的对边比邻边可知BAC ∠的对边为BC ，邻边为AC ，根据BAC ∠的正切值，即可求出BC 的长度．【解答】解：在直角三角形ABC 中，根据三角函数定义可知：tan BCBAC AC∠=，又30AC cm =，tan tan30BAC ∠=︒，则tan 30)BC AC BAC cm =∠==． 故选：C ．【点评】此题考查学生掌握三角函数正弦、余弦及正切的定义，是一道基础题．要求注意观察生活中的数学问题，培养学生利用数学知识解决实际问题的能力．6．（3分）如图，点D ，E 分别在ABC ∆的边BA ，CA 的延长线上，//DE BC ．若3E C E A =，AED ∆的周长为3，则ABC ∆的周长为( )A ．3B ．6C ．9D ．12【分析】由已知得出13AE EC =，由平行线得出AED ACB ∆∆∽，由相似三角形的性质得出13AED AE ACB EC ∆==∆的周长的周长，即可得出ABC ∆的周长．【解答】证明：3EC EA =，∴13AE EC =， //DE BC ， AED ACB ∴∆∆∽，∴13AED AE ACB EC ∆==∆的周长的周长，ABC ∴∆的周长3AED =∆的周长339=⨯=；故选：C ．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法，熟记相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键．7．（3分）在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，ABC ∆的顶点都是格点，则sin BAC ∠的值为( )A B C ．2 D 【分析】作CD AB ⊥于D ，根据勾股定理分别求出AC 、AB ，根据三角形的面积公式求出CD ，根据正弦的定义计算即可．【解答】解：作CD AB ⊥于D ， 由图形可知2BC =，由勾股定理得，AC AB =由三角形的面积公式可得，112322DE ⨯⨯=⨯，解得，DE =sin CD BAC AC ∴∠===， 故选：D ．【点评】本题考查的是解直角三角形、勾股定理，掌握正弦的定义、灵活运用三角形的面积公式是解题的关键．8．（3分）小青在校园内发现：旁边一棵树在阳光下的影子和她本人的影子在同一直线上，树顶的影子和她头顶的影子恰好落在地面的同一点，同时还发现她站立于树影的中点（如图）．如果小青的身高为1.65米，由此可推断出树高是( )A ．3.1米B ．3.2米C ．3.3米D ．3.4米【分析】先判断出ADE ACB ∆∆∽，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论． 【解答】解：DE AB ⊥，BC AB ⊥，ADE ACB ∴∆∆∽，树顶的影子和她头顶的影子恰好落在地面的同一点，她站立于树影的中点， 1.65DE =米，∴12DE BC =， 22 1.65 3.3BC DE ∴==⨯=（米)．故选：C ．【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．二、填空题（每小题3分，共18分）9．（3分）点(1,3)P -关于y 轴的对称点的坐标是 (1,3) ．【分析】根据关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案． 【解答】解：(1,3)P -关于y 轴的对称点的坐标是(1,3)， 故答案为：(1,3)．【点评】本题考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 10．（3分）如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 和AC 上的中点，4DE =，则BC = 8 ．【分析】根据三角形中位线定理解答即可． 【解答】解：D 、E 分别是AB 和AC 上的中点，28BC DE ∴==，故答案为：8．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．11．（3分）计算：= 【分析】根据二次根式的乘法法则求出即可．【解答】解：==故答案为：【点评】本题考查了二次根式的乘法法则，能灵活运用法则进行计算是解此题的关键． 12．（3分）关于x 的方程2(1)x a -=有实数根，则a 的取值范围是 0a … ． 【分析】根据非负数的性质，即可得出0a …，从而求解． 【解答】解：关于x 的方程2(1)x a -=有实数根，0a ∴…．故答案为：0a …． 【点评】本题考查了用直接开平方法解一元二次方程，以及非负数的性质，掌握一个数的平方为非负数是解题的关键．13．（3分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD 是AB 边上的高，CE 是AB 边上的中线，若3AD =，5CE =，则CD【分析】根据直角三角形的性质得出5DE=，利用勾股定理解答即AE CE==，进而得出2可．【解答】解：在Rt ABCCE=，∠=︒，CE为AB边上的中线，5ACB∆中，90∴==，AE CE5AD=，3DE∴=，2CD为AB边上的高，∆中，CD==∴在Rt CDE【点评】此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的性质得出5==．AE CE14．（3分）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是（坡比是斜坡AB两点之间的高度差BC与水平距离AC之比），坝高2=，则坡面AB的长度是4m．BC m【分析】根据坡度的概念求出AC，根据勾股定理求出AB．【解答】解：坡AB的坡比是，坝高2=，BC m∴=，AC由勾股定理得，4()==，AB m故答案为：4．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）计算：3tan30sin452sin60︒+︒-︒．【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算解答即可．【解答】解：原式32== 【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是熟练记忆一些特殊角的三角函数值．16．（6分）用配方法解方程：2610x x --=．【分析】将方程的常数项移动方程右边，两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解． 【解答】解：2610x x --=， 移项得：261x x -=，配方得：26910x x -+=，即2(3)10x -=，开方得：3x -=，则13x =+23x =【点评】此题考查了解一元二次方程-配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移动方程右边，然后两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解．17．（6分）如图，锐角ABC ∆中，10AB cm =，9BC cm =，ABC ∆的面积为227cm ．求t a n B 的值．【分析】根据题意画出图形，由三角形的面积公式求出AH 的长，再由勾股定理求出BH 的长，最后由锐角三角函数的定义即可解答． 【解答】解：过点A 作AH BC ⊥于H ， 27ABC S ∆=，∴19272AH ⨯⨯=， 6AH ∴=， 10AB =，8BH ∴==， 63tan 84AH B BH ∴===．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键．18．（7分）如图，一辆轿车在经过某路口的感应线B 和C 处时，悬臂灯杆上的电子警察拍摄到两张照片，两感应线之间距离BC 为6.2m ，在感应线B 、C 两处测得电子警察A 的仰角分别为45ABD ∠=︒，28ACD ∠=︒．求电子警察安装在悬臂灯杆上的高度AD 的长．（结果精确到0.1米）【参考数据：sin280.47︒=，cos280.88︒=，tan280.53︒=】【分析】首先求出DA DB =，然后在Rt ADC ∆中，根据正切值的定义列出等量关系，求出AD 的值即可．【解答】解：根据题意可知，90ADC ∠=︒， 45ABD ∠=︒，45DAB ∴∠=︒，DAB ABD ∴∠=∠， DA DB ∴=，在Rt ADC ∆中，28ACD ∠=︒， 6.2BC m =， tan 28ADDC∴︒=， 0.53( 6.2)AD AD ∴=+， 6.997.0AD m ∴=≈，答：电子警察安装在悬臂灯杆上的高度AD 的长为7.0m ．【点评】本题考查的是解直角三角形的应-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．19．（7分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，3tan 4A =，点D ，E 分别在边AB 、AC 上，DE AC ⊥，3DE =，10DB =．求DC 的长．【分析】先在Rt ADE ∆中利用正切定义得到4AE =，则利用勾股定理可计算出5AD =，所以15AB =，再在Rt ABC ∆中利用正切得到3tan 4BC A AC ==，设3BC x =，则4AC x =，5AB x =，所以515x =，解出x 得到12AC =，然后求出CE 的长后利用勾股定理计算CD 的长．【解答】解：DE AC ⊥， 90DEA ∴∠=︒，在Rt ADE ∆中，3tan 4DE A AE ==， 而3DE =，4AE ∴=，5AD ∴==， 10515AB BD AD ∴=+=+=，在Rt ABC ∆中，3tan 4BC A AC ==， 设3BC x =，则4AC x =， 5AB x ∴=，即515x =，解得3x =， 412AC x ∴==，1248CE AC AE ∴=-=-=，在Rt CDE ∆中，CD【点评】本题考查了解直角三角形：灵活运用锐角三角形的定义和勾股定理解直角三角形． 20．（7分）如图，ABC ∆在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为(0,4)A ，(2,2)B ，(4,6)C（正方形网格中，每个小正方形的边长均为1)．（1）画出ABC ∆向下平移5个单位长度得到的△111A B C ，并写出点1B 的坐标；（2）以点O 为位似中心，在第三象限内画出△222A B C ，使△222A B C 与ABC ∆位似，且相似比为1:2，直接写出点2C 的坐标．【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案． 【解答】解：（1）如图所示：△111A B C 即为所求：点1B 的坐标为：(2,3)-（2）如图所示：△222A B C 即为所求：点2C 的坐标为：(3,4)--．【点评】此题主要考查了平移变换以及位似变换，正确得出对应点位置是解题关键． 21．（8分）2019年4月23日是中国人民解放军海军成立70周年纪念日，届时将在青岛举行盛大的多国海军庆祝活动．为此我国海军进行了多次军事演习．如图，在某次军事演习时，舰艇A 发现在他北偏东22︒方向上有不明敌舰在指挥中心O 附近徘徊，快速报告给指挥中心，此时在舰艇A 正西方向50海里处的舰艇B 接到返回指挥中心的行动指令，舰艇B 迅速赶往在他北偏东60︒方向的指挥中心处，舰艇B 的速度是80海里/小时，请根据以上信息，求舰艇B 到达指挥中心O 的时间．（结果精确到0.1小时，参考数据：(sin 220.37︒≈，cos220.93︒≈，tan220.40︒≈ 1.73)=【分析】作OC AB ⊥交BA 的延长线于C ，设O C x =海里，根据正切的定义用x 表示出BC 、OB 、AC ，根据题意列出方程，解方程求出x ，计算即可．【解答】解：作OC AB ⊥交BA 的延长线于C ， 由题意得，30OBC ∠=︒，22AOC ∠=︒， 设OC x =海里，在Rt OBC ∆中，30OBC ∠=︒则22OB OC x ==，tan OCBC OBC==∠，在Rt OAC ∆中，22AOC ∠=︒， 则tan 0.4AC OC AOC x =∠≈，0.450x -=， 解得，37.59x =， 275.18OB x ==（海里）， 则舰艇B 到达指挥中心O 的时间为：75.18801÷≈（小时） 答：舰艇B 到达指挥中心O 的时间约为1小时．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．22．（9分）某农场要建一个饲养场（矩形)ABCD 两面靠现有墙(AD 位置的墙最大可用长度为27米，AB 位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．设饲养场（矩形)ABCD 的一边AB 长为x 米． （1）饲养场另一边BC = (483)x - 米（用含x 的代数式表示）． （2）若饲养场的面积为180平方米，求x 的值．【分析】（1）用（总长2+个2米的门的宽度）3x -即为所求； （2）由（1）表示饲养场面积计算即可， 【解答】解：（1）由题意得：(483)x -米． 故答案是：(483)x -；（2）由题意得：(483)180x x -= 解得16x =，210x = 048327,01571510x x x x -∴∴=剟剟剟 【点评】考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 23．（10分）（1）问题发现如图1，在Rt ABC ∆和Rt CDE ∆中，90ACB DCE ∠=∠=︒，45CAB CDE ∠=∠=︒，点D 时线段AB上一动点，连接BE．填空：①BEAD的值为1；②DBE∠的度数为．（2）类比探究如图2，在Rt ABC∆和Rt CDE∆中，90ACB DCE∠=∠=︒，60CAB CDE∠=∠=︒，点D是线段AB上一动点，连接BE．请判断BEAD的值及DBE∠的度数，并说明理由；（3）拓展延伸如图3，在（2）的条件下，将点D改为直线AB上一动点，其余条件不变，取线段DE的中点M，连接BM、CM，若2AC=，则当CBM∆是直角三角形时，线段BE的长是多少？请直接写出答案．【分析】（1）由直角三角形的性质可得45ABC∠=︒，可得90DBE∠=︒，通过证明ACD BCE∆∆∽，可得BEAD的值；（2）通过证明ACD BCE∆∆∽，可得BEAD的值，60CBE CAD∠=∠=︒，即可求DBE∠的度数；（3）分点D在线段AB上和BA延长线上两种情况讨论，由直角三角形的性质可证CM BM==DE=，由相似三角形的性质可得90ABE∠=︒，BE=，由勾股定理可求BE的长．【解答】解：（1）90ACB∠=︒，45CAB∠=︒45ABC CAB∴∠=∠=︒AC BC∴=，90DBE ABC CBE∠=∠+∠=︒90ACB DCE∠=∠=︒，ACD BCE∴∠=∠，且45CAB CDE∠=∠=︒，ACD BCE∴∆∆∽∴1BE BC AD AC== 故答案为：1，90︒（2）BE AD=90DBE ∠=︒ 理由如下：90ACB DCE ∠=∠=︒，60CAB CDE ∠=∠=︒，ACD BCE ∴∠=∠，30CED ABC ∠=∠=︒tan tan30AC ABC BC ∴∠=︒== 90ACB DCE ∠=∠=︒，60CAB CDE ∠=∠=︒，Rt ACB Rt DCE ∴∆∆∽ ∴AC CD BC CE = ∴AC BC CD CE=，且ACD BCE ∠=∠ ACD BCE ∴∆∆∽∴BE BC AD AC==，60CBE CAD ∠=∠=︒ 90DBE ABC CBE ∴∠=∠+∠=︒（3）若点D 在线段AB 上，如图，由（2）知：BE BC AD AC==，90ABE ∠=︒BE ∴2AC =，90ACB ∠=︒，90CAB ∠=︒4AB ∴=，BC =90ECD ABE ∠=∠=︒，且点M 是DE 中点，12CM BM DE ∴==， 且CBM ∆是直角三角形2222CM BM BC ∴+==，BM CM ∴=DE ∴=222DB BE DE +=，22(4))24AD ∴-+=1AD ∴3BE ∴==若点D 在线段BA 延长线上，如图同理可得：DE =BE222BD BE DE +=，22(4))24AD ∴++=，1AD ∴3BE ∴==综上所述：BE 的长为3或3【点评】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，证明ACD BCE ∆∆∽是本题的关键．24．（12分）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，9AC cm =，12BC cm =，在D E F ∆中，90DFE ∠=︒，6EF cm =，8DF cm =．EF 在BC 上，保持ABC ∆不动，并将DEF ∆以1/cm s 的速度向点C运动，移动开始前点F 与点B 重合，当点E 与点C 重合时，DEF ∆停止移动．边DE 与AB 相交于点G ，连接FG ，设移动时间为()t s（1）DEF ∆从移动开始到停止，所用时间为 6 s ；（2）当DE 平分AB 时，求t 的值；（3）当GEF ∆为等腰三角形时，求t 的值．【分析】（1）根据DEF ∆以1/cm s 的速度，路程为6cm ，计算可得时间为6s ；（2）先根据勾股定理计算15AB =，证明ACB EFD ∆∆∽，则D B ∠=∠，所以90EGB ∠=︒，根据三角函数列式可得t 的值；（3）当GEF ∆为等腰三角形时，有三种情况：①当EG FG =时，如图2，②当EG EF =时，如图3，③当FG EF =时，如图4，分别根据等腰三角形的性质列方程可得结论．【解答】解：（1）12BC =，6EF =，∴当点E 与点C 重合时，1266BF =-=，即DEF ∆从移动开始到停止，所用时间为616s ÷=；故答案为：6；（2）如图1，DE 平分AB ，则AG BG =，Rt ACB ∆中，9AC =，12BC =，15AB ∴==，152BG ∴=， 6384EF DF ==，93124AC BC ==， ∴EF AC DF BC=， 90EFD ACB ∠=∠=︒，ACB EFD ∴∆∆∽，D B ∴∠=∠，BHF DHG ∠=∠，90DGH BFH ∴∠=∠=︒，90EGB ∴∠=︒，6BE EF BF t =+=+，cos BC BG B AB BE∠==， ∴15122156t =+，278t =； （3）当GEF ∆为等腰三角形时，存在以下三种情况：①当EG FG =时，如图2，则GEF EFG ∠=∠，90GEF D EFG DFG ∠+∠=∠+∠=︒，D DFG ∴∠=∠，DG FG ∴=，5EG DG ∴==，sin AC EG B AB BE∴∠==，即95156t =+， 73t =； ②当EG EF =时，如图3，6 EF=，6 EG∴=，sinAC EG BAB BE∴∠==，即96 156t=+，4t=；③当FG EF=时，如图4，则FEG FGE∠=∠，90FEG B FGE BGF∠+∠=∠+∠=︒，B BGF∴∠=∠，6BF FG EF∴===，6t∴=，此时E与C重合，综上，当GEF∆为等腰三角形时，t的值是73秒或4秒或6秒．【点评】本题以动态几何为背景，综合考查了相似三角形、三角函数、等腰三角形的性质、分类讨论、勾股定理等多个知识点和技能，难度适中，解题的关键是学会准确画图，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．。
2019-2020学年吉林省长春市九年级(上)期中数学试卷试题及答案
2019-2020学年吉林省长春市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10道小题，每小题3分，满分30分）1．下列四个实数中，绝对值最小的数是()A．5-B C．1D．4-2．一组数：2，1，3，x，7，y，23，⋯，满足“前两个数依次为a、b，紧随其后的第三个数是2a b⨯-”得到的，那么这组数-”，例如这组数中的第三个数“3”是由“221中y表示的数为()A．9B．9-C．8D．8-3．方程2320--=的根的情况是()x xA．有两个相等的实数根B．只有一个实数根C．没有实数根D．有两个不相等的实数根4．多多班长统计去年1~8月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量（单位：本），绘制了如图折线统计图，下列说法正确的是()A．极差是47B．众数是42C．中位数是58D．每月阅读数量超过40的有4个月5．下列图形是中心对称图形的是()A．B．C ．D ．6．把不等式组123x x >-⎧⎨+⎩…的解集表示在数轴上，下列选项正确的是( )A ．B ．C ．D ．7．将一副三角板按图中方式叠放，则α∠等于( )A ．90︒B ．75︒C ．60︒D ．45︒8．如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AD BC =，18PEF ∠=︒，则PFE ∠的度数是( )A ．9︒B ．18︒C ．27︒D ．36︒9．如图，在ABC ∆中E 是BC 上的一点，2EC BE =，点D 是AC 的中点，设ABC ∆，ADF ∆，BEF ∆的面积分别为ABC S ∆，ADF S ∆，BEF S ∆，且12ABC S ∆=，则(ADF BEF S S ∆∆-= )A ．1B ．2C ．3D ．410．如图，菱形ABCD 的边长为2，30B ∠=︒．动点P 从点B 出发，沿B C D --的路线向点D 运动．设ABP ∆的面积为(y B 、P 两点重合时，ABP ∆的面积可以看做0)，点P 运动的路程为x ，则y 与x 之间函数关系的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共6道小题，每小题4分，满分24分） 11．因式分解：322363x x y xy -+= ．12．如图，点(0,0)O ，(0,1)B 是正方形1OBB C 的两个顶点，以对角线1OB 为一边作正方形121OB B C ，再以正方形121OB B C 的对角线2OB 为一边作正方形232OB B C ，依次下去，则点7B 的坐标是 ．13．反比例函数1n y x-=的图象在第二、四象限，则n 的取值范围为 ． 14．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6BC cm =，8AC cm =，按图中所示方法将BCD ∆沿BD 折叠，使点C 落在AB 边的C '点，那么ADC ∆'的面积是 ．15．若关于x ，y 的方程组52111823128x y a x y a +=+⎧⎨-=-⎩的解满足0x >，0y >，则实数a 的取值范围是 ．16．某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为3千米，超过3千米的部分按每千米另收费．甲说：“我乘这种出租车走了11千米，付了17元”；乙说：“我乘这种出租车走了23千米，付了35元”．那么这种出租车的起步价是 元． 三、解答题（本大题共6道小题，满分66分）17．2018年12月24日，西藏日喀则市谢通门县发生了5.8级地震，某校九年一班、九年二班两班的班长交流了为地震灾区捐款的情况：（1）九年一班班长说：“我们班捐款总额为1200元，我们班人数比你们班多8人．” （2）九年二班班长说：“我们班捐款总额也为1200元，我们班人均捐款比你们班人均捐款多20%．”请根据两个班长的对话，求这两个班级每班的人均捐款数．18．若中学生体质健康综合评定成绩为x 分，满分为100分．规定：85100x 剟为A 级，7585x <…为B 级，6075x <…为C 级，60x <为D 级．现随机抽取某中学部分学生的综合评定成绩，整理绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中的信息，解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽取了 名学生；a = %；C 级对应的圆心角为 度． （2）补全条形统计图；（3）若该校共有2000名学生，请你估计该校D 级学生有多少名？19．请将宽为3cm 、长为ncm 的长方形(n 为正整数）分割成若干小正方形，要求小正方形的边长是正整数且个数最少．例如，当5n cm =时，此长方形可分割成如右图的4个小正方形．请回答下列问题：（1）16n =时，可分割成几个小正方形？（2）当长方形被分割成20个小正方形时，求n 所有可能的值； （3）一般地，3n >时，此长方形可分割成多少个小正方形．20．已知：如图，ABCD 中，E 、F 分别是边AB 、CD 的中点． （1）求证：四边形EBFD 是平行四边形；（2）若2AD AE ==，60A ∠=︒，求四边形EBFD 的周长．21．如图，一次函数5y mx =+的图象与反比例函数(0)ky k x=≠在第一象限的图象交于(1,)A n 和(4,1)B 两点，过点A 作y 轴的垂线，垂足为M ，（1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求OAM ∆的面积S ；（3）在y 轴上求一点P ，使PA PB +最小．22．探索与证明：（1）如图1，直线m经过正三角形ABC的顶点A，在直线m上取两点D，E，使得∠=︒．通过观察或测量，猜想线段BD，CE与DE之间满足的数AEC60ADB∠=︒，60量关系，并予以证明；（2）将（1）中的直线m绕着点A逆时针方向旋转一个角度到如图2的位置，并使AEC∠=︒．通过观察或测量，猜想线段BD，CE与DE之间满足的∠=︒，120ADB120数量关系，并予以证明．2019-2020学年吉林省长春市九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10道小题，每小题3分，满分30分） 1．下列四个实数中，绝对值最小的数是( )A ．5-BC ．1D ．4-【解答】解：|5|5-=，，|1|1=，|4|4-=， 1245<<<，∴四个实数中，绝对值最小的数是1．故选：C ．2．一组数：2，1，3，x ，7，y ，23，⋯，满足“前两个数依次为a 、b ，紧随其后的第三个数是2a b -”，例如这组数中的第三个数“3”是由“221⨯-”得到的，那么这组数中y 表示的数为( ) A ．9B ．9-C ．8D ．8-【解答】解：解法一：常规解法从第三个数起，前两个数依次为a 、b ，紧随其后的数就是2a b -， 237x ∴⨯-=， 1x ∴=-，则2(1)7y ⨯--=， 解得9y =-． 解法二：技巧型从第三个数起，前两个数依次为a 、b ，紧随其后的数就是2a b -， 7223y ∴⨯-=， 9y ∴=-．故选：B ．3．方程2320x x --=的根的情况是( ) A ．有两个相等的实数根 B ．只有一个实数根 C ．没有实数根D ．有两个不相等的实数根【解答】解：△2(3)41(2)170=--⨯⨯-=>，∴方程有两个不相等的两个实数根．故选：D．4．多多班长统计去年1~8月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量（单位：本），绘制了如图折线统计图，下列说法正确的是()A．极差是47B．众数是42C．中位数是58D．每月阅读数量超过40的有4个月【解答】解：A、极差为：832855-=，故本选项错误；B、58出现的次数最多，是2次，∴众数为：58，故本选项错误；+÷=，故本选项正确；C、中位数为：(5858)258D、每月阅读数量超过40本的有2月、3月、4月、5月、7月、8月，共六个月，故本选项错误；故选：C．5．下列图形是中心对称图形的是()A．B．C ．D ．【解答】解：A 、是中心对称图形，故此选项正确； B 、不是中心对称图形，故此选项不合题意； C 、不是中心对称图形，故此选项不合题意；D 、不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：A ．6．把不等式组123x x >-⎧⎨+⎩…的解集表示在数轴上，下列选项正确的是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：由第一个不等式得：1x >-； 由23x +…得：1x …．∴不等式组的解集为11x -<…．故选：B ．7．将一副三角板按图中方式叠放，则α∠等于( )A ．90︒B ．75︒C ．60︒D ．45︒【解答】解：如图，130∠=︒， 所以，145304575α∠=∠+︒=︒+︒=︒． 故选：B ．8．如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AD BC =，18PEF ∠=︒，则PFE ∠的度数是( )A ．9︒B ．18︒C ．27︒D ．36︒【解答】解：在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，FP ∴，PE 分别是CDB ∆与DAB ∆的中位线， 12PF BC ∴=，12PE AD =， AD BC =，PF PE ∴=，故EPF ∆是等腰三角形． 18PEF ∠=︒， 18PEF PFE ∴∠=∠=︒．故选：B ．9．如图，在ABC ∆中E 是BC 上的一点，2EC BE =，点D 是AC 的中点，设ABC ∆，ADF ∆，BEF ∆的面积分别为ABC S ∆，ADF S ∆，BEF S ∆，且12ABC S ∆=，则(ADF BEF S S ∆∆-= )A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：12ABC S ∆=，2EC BE =，点D 是AC 的中点，11243ABE S ∆∴=⨯=， 11262ABD S ∆=⨯=， ABD ABE S S ∆∆∴-，ADF BEF S S ∆∆=-，64=-，2=．故选：B ．10．如图，菱形ABCD 的边长为2，30B ∠=︒．动点P 从点B 出发，沿B C D --的路线向点D 运动．设ABP ∆的面积为(y B 、P 两点重合时，ABP ∆的面积可以看做0)，点P 运动的路程为x ，则y 与x 之间函数关系的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：由题意知，点P 从点B 出发，沿B C D →→向终点D 匀速运动，则当02x <…，12y x =， 当24x <…，1y =，由以上分析可知，这个分段函数的图象是C ．故选：C ．二、填空题（本大题共6道小题，每小题4分，满分24分）11．因式分解：322363x x y xy -+= 23()x x y - ．【解答】解：322363x x y xy -+，223(2)x x xy y =-+，23()x x y =-．12．如图，点(0,0)O ，(0,1)B 是正方形1OBB C 的两个顶点，以对角线1OB 为一边作正方形121OB B C ，再以正方形121OB B C 的对角线2OB 为一边作正方形232OB B C ，依次下去，则点7B 的坐标是 (8,8)- ．【解答】解：根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转45︒，， 从B 到7B 经过了7次变化，457315︒⨯=︒，71⨯=∴点7B 所在的正方形的边长为，点7B 位置在第二象限．∴点7B 的坐标是(8,8)-．故答案为：(8,8)-．13．反比例函数1n y x-=的图象在第二、四象限，则n 的取值范围为 1n < ． 【解答】解：由题意得，反比例函数1n y x -=的图象在二、四象限内， 则10n -<，解得1n <．故答案为1n <．14．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6BC cm =，8AC cm =，按图中所示方法将BCD ∆沿BD 折叠，使点C 落在AB 边的C '点，那么ADC ∆'的面积是 26cm ．【解答】解：90C ∠=︒，6BC cm =，8AC cm =，10AB cm ∴=，将BCD ∆沿BD 折叠，使点C 落在AB 边的C '点，BCD ∴∆≅△BC D '，90C BC D ∴∠=∠'=︒，DC DC ='，6BC BC cm ='=，4AC AB BC cm ∴'=-'=，设DC xcm =，则(8)AD x cm =-，在Rt ADC ∆'中，222AD AC C D ='+'，即222(8)4x x -=+，解得3x =，90AC D ∠'=︒，ADC ∴∆'的面积211436()22AC C D cm ==⨯'⨯'=⨯⨯=． 故答案为26cm ．15．若关于x ，y 的方程组52111823128x y a x y a +=+⎧⎨-=-⎩的解满足0x >，0y >，则实数a 的取值范围是 223a -<< ． 【解答】解：方程组解得：573819a x +=，387619a y -+=， 由0x >，0y >，得到57380193876019a a +⎧>⎪⎪⎨-+⎪>⎪⎩， 解得：223a -<<， 故答案为：223a -<< 16．某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为3千米，超过3千米的部分按每千米另收费．甲说：“我乘这种出租车走了11千米，付了17元”；乙说：“我乘这种出租车走了23千米，付了35元”．那么这种出租车的起步价是 5 元．【解答】解：设这种出租车的起步价为x 元，超过3千米的部分每千米y 元，依题意，得：(113)17(233)35x y x y +-=⎧⎨+-=⎩， 解得：51.5x y =⎧⎨=⎩． 故答案为：5．三、解答题（本大题共6道小题，满分66分）17．2018年12月24日，西藏日喀则市谢通门县发生了5.8级地震，某校九年一班、九年二班两班的班长交流了为地震灾区捐款的情况：（1）九年一班班长说：“我们班捐款总额为1200元，我们班人数比你们班多8人．”（2）九年二班班长说：“我们班捐款总额也为1200元，我们班人均捐款比你们班人均捐款多20%．”请根据两个班长的对话，求这两个班级每班的人均捐款数．【解答】解：设九年级一班有x 人，则九年级二班有(8)x -人， 依题意，得：12001200(120%)8x x +=-， 解得：48x =，经检验，48x =是原方程的解，且符合题意，840x ∴-=．12004825÷=（元)，12004030÷=（元)．答：九年级一班人均捐款25元，九年级二班人均捐款30元．18．若中学生体质健康综合评定成绩为x 分，满分为100分．规定：85100x 剟为A 级，7585x <…为B 级，6075x <…为C 级，60x <为D 级．现随机抽取某中学部分学生的综合评定成绩，整理绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中的信息，解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽取了 50 名学生；a = %；C 级对应的圆心角为 度． （2）补全条形统计图；（3）若该校共有2000名学生，请你估计该校D 级学生有多少名？【解答】解：（1）在这次调查中，一共抽取的学生数是：245048%=（人)， 12100%24%50a =⨯=；扇形统计图中C 级对应的圆心角为103607250⨯︒=︒； 故答案为：50，24，72；（2）补全条形统计图如图．（3）4 200016050⨯=名∴若该校共有2000名学生，估计该校D级学生有160名．19．请将宽为3cm、长为ncm的长方形(n为正整数）分割成若干小正方形，要求小正方形的边长是正整数且个数最少．例如，当5n cm=时，此长方形可分割成如右图的4个小正方形．请回答下列问题：（1）16n=时，可分割成几个小正方形？（2）当长方形被分割成20个小正方形时，求n所有可能的值；（3）一般地，3n>时，此长方形可分割成多少个小正方形．【解答】解：（1）16n=时，可分割成8个小正方形；（2）当长方形被分割成20个小正方形时，n所有可能的值为60或52或53；（3）3n>时，此长方形可分割成小正方形为：3n k=时，有k个小正方形；31n k==+，有(3)k+个小正方形；32n k=+，有(3)k+个小正方形．20．已知：如图，ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点．（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；（2）若2AD AE==，60A∠=︒，求四边形EBFD的周长．【解答】解：（1）在ABCD中，AB CD=，//AB CD．E、F分别是AB、CD的中点，∴11,22BE AB DF CD==．BE DF ∴=．∴四边形EBFD 是平行四边形（2）AD AE =，60A ∠=︒，ADE ∴∆是等边三角形．2DE AD ∴==，又2BE AE ==，由（1）知四边形EBFD 是平行四边形，∴四边形EBFD 的周长2()8BE DE =+=．21．如图，一次函数5y mx =+的图象与反比例函数(0)k y k x=≠在第一象限的图象交于(1,)A n 和(4,1)B 两点，过点A 作y 轴的垂线，垂足为M ，（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求OAM ∆的面积S ；（3）在y 轴上求一点P ，使PA PB +最小．【解答】解：（1）将(4,1)B 代入k y x =得：14k =， 4k ∴=， ∴4y x=，（2分） 将(4,1)B 代入5y mx =+，得：145m =+，1m ∴=-，5y x ∴=-+，（2）在4y x=中，令1x =， 解得4y =，(1,4)A ∴，11422S ∴=⨯⨯=，（3）作点A 关于y 轴的对称点N ，则(1,4)N -，连接BN 交y 轴于点P ，点P 即为所求．设直线BN 的关系式为y kx b =+，由414k b k b +=⎧⎨-+=⎩， 得35175k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴31755y x =-+， 17(0,)5P ∴（9分）22．探索与证明：（1）如图1，直线m 经过正三角形ABC 的顶点A ，在直线m 上取两点D ，E ，使得60ADB ∠=︒，60AEC ∠=︒．通过观察或测量，猜想线段BD ，CE 与DE 之间满足的数量关系，并予以证明；（2）将（1）中的直线m 绕着点A 逆时针方向旋转一个角度到如图2的位置，并使120ADB ∠=︒，120AEC ∠=︒．通过观察或测量，猜想线段BD ，CE 与DE 之间满足的数量关系，并予以证明．【解答】解：（1）猜想：BD CE DE+=．（1分）证明：由已知条件可知：120ECA CAE∠+∠=︒，∠+∠=︒，120DAB CAE∴∠=∠．DAB ECA在DAB∆和ECA=，∆中，60∠=∠，AB CA∠=∠=︒，DAB ECAADB AEC∴∆≅∆．()DAB ECA AAS=．AD CE∴=，BD AE∴+=+=．BD CE AE AD DE（2）猜想：CE BD DE-=．证明：由已知条件可知：60∠+∠=︒，ECA CAE∠+∠=︒，60DAB CAE∴∠=∠．DAB ECA在DAB∆和ECA=，∠=∠，AB CA ∆中，120∠=∠=︒，DAB ECAADB AECDAB ECA AAS∴∆≅∆．()=．∴=，BD AEAD CE∴-=-=．CE BD AD AE DE。
长春市名校调研九年级上期中数学试卷含答案解析
吉林省长春市名校调研届九年级上学期期中数学试卷一、选择题：每小题3 分，共24 分。
1．下列式子中，属于最简二次根式的是（）A． B． C．D．2．方程x2=2x 的解是（）A．x=2 B． C．x=0 D．x=2 或x=03．下列各组中得四条线段成比例的是（）A．4cm、2cm、1cm、3cm B．1cm、2cm、3cm、5cm C．3cm、4cm、5cm、6cm D．1cm、2cm、2cm、4cm4．若将方程x2﹣8x=9 化为（x﹣k）2=25，则k 的值是（）A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣85．已知△ABC 如图，则下列4 个三角形中，与△ABC 相似的是（）A． B．C．D．6．等式•= 成立的条件是（）A．x＞1 B．x＜﹣1 C．x≥1 D．x≤﹣17．如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）两个根中，有一个根是（）A．0 B．1 C．2 D．38．如图，在△ABC 中，D、E 分别是AB、BC 上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：4，则S△BDE：S△BAC=（）A．1：16 B．1：18 C．1：20 D．1：25二、填空题：每小题3 分，共18 分。
9．化简：（+2）（﹣2）= ．10．已知x2m﹣1+10x+m=0 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为．11．如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，对角线AC，BD 相交于点O．若AD=1，BC=3，则的值为．12．如果= = ，xyz≠0，则= ．13．若正数a 是一元二次方程x2﹣5x+m=0 的一个根，﹣a 是一元二次方程x2+5x﹣m=0 的一个根，则a 的值是．14．如图，在矩形ABCD 中，点E 是边CD 的中点，将△ADE 沿AE 折叠后得到△AEF，且点F 在矩形ABCD 内部．延长AF 交BC 于点G，若= ，则= ．三、解答题：本大题共10 小题，共78 分。
2019-2020学年吉林省长春一七一中、一五二中联考九年级(上)期中数学试卷(解析版)
2019-2020学年吉林省长春一七一中、一五二中联考九年级（上）期中数学试卷一．选择题（每小题3分，共24分）1．下列各式是最简二次根式的是（）A．B．C．D．2．下列运算中错误的是（）A．+＝B．×＝C．÷＝2D．＝3 3．将点A（3，1）向上平移2个单位得到点B，点B的坐标是（）A．（5，3）B．（1，3）C．（3，3）D．（5，1）4．如图，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF：FD＝1：3，则BE：EC＝（）A．B．C．D．5．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，BC＝6，则DE的长为（）A．2B．3C．4D．56．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，则tan A的值为（）A．B．C．D．7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，若AC＝8，BC＝6，DE＝3，则AD的长为（）A．3B．4C．5D．68．在△ABC中，若∠A+∠C＝150°，则sin B的值为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共18分）9．一元二次方程x2＝x的根．10．使有意义的x的取值范围是．11．若x：y＝1：2，则＝．12．如图，a∥b∥c，BC＝1，DE＝4.5，EF＝1.5，则AC＝．13．正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠AOB的值为．14．如图所示，增加一个条件，可使△ABC∽△AED，这个条件可以是．三、解答题（共78分）15．先化简，再求值：+，其中x＝﹣1．16．解方程：x2﹣3x﹣10＝0．17．已知关于x的一元二次方程x2+x+m﹣1＝0．（I）当m＝0时，求方程的实数根．（Ⅱ）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．18．在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，﹣3），点B（﹣1，﹣3），点C（﹣1，﹣1）．（1）画出△ABC；（2）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A1点的坐标：；（3）以O为位似中心，在第一象限内把△ABC扩大到原来的两倍，得到△A2B2C2，并写出A2点的坐标：．19．如图，在▱ABCD中，AE：EB＝1：2，DE交于点F．（1）求AE：DC的值．（2）△AEF与△CDF相似吗？若相似，求出相似比，请说明理由．（3）如果S△AEF＝5cm2，求S△CDF．20．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC＝3，AD＝2，EF＝EH，求EH的长．21．如图，据热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球A与高楼的水平距离为120m，求这栋高楼BC的高度．22．在某校举行的“中国学生营养日”活动中，设计了抽奖环节：在一只不透明的箱子中有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外均相同．（1）随机摸出一个球，恰好是红球就能中奖，则中奖的概率是多少？（2）同时摸出两个球，都是红球就能中特别奖，则中特别奖的概率是多少？（要求画树状图或列表求解）23．【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），∠A＝∠B＝∠DPC＝90°．易证：△DAP∽△PBC（不要求证明）．【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），∠A ＝∠B＝∠DPC．（1）求证：△DAP～△PBC．（2）若PD＝5，PC＝10，BC＝9，求AP的长．【应用】如图③，在△ABC中，AC＝BC＝4，AB＝6，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作∠CPE＝∠A，PE与边BC交于点E．当CE＝3EB时，求AP的长．24．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AB在x轴上，点B坐标（﹣3，0），点C在y轴正半轴上，且sin∠CBO＝，点P从原点O出发，以每秒一个单位长度的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t（0≤t≤5）秒，过点P作平行于y轴的直线l，直线l 扫过四边形OCDA的面积为S．（1）求点D坐标．（2）求S关于t的函数关系式．（3）在直线l移动过程中，l上是否存在一点Q，使以B、C、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．2019-2020学年吉林省长春一七一中、一五二中联考九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（每小题3分，共24分）1．下列各式是最简二次根式的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、故不是最简二次根式，故A选项错误；B、是最简二次根式，符合题意，故B选项正确；C、故不是最简二次根式，故C选项错误；D、故不是最简二次根式，故D选项错误；故选：B．2．下列运算中错误的是（）A．+＝B．×＝C．÷＝2D．＝3【解答】解：A、+无法计算，故此选项正确；B、×＝，正确，不合题意；C、÷＝2，正确，不合题意；D、＝3，正确，不合题意．故选：A．3．将点A（3，1）向上平移2个单位得到点B，点B的坐标是（）A．（5，3）B．（1，3）C．（3，3）D．（5，1）【解答】解：由题中平移规律可知：点B的横坐标为3；纵坐标为1+2＝3，∴点B的坐标是（3，3）．故选：C．4．如图，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF：FD＝1：3，则BE：EC＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵ABCD是平行四边形∴AD∥BC∴△BFE∽△DFA∴BE：AD＝BF：FD＝1：3∴BE：EC＝BE：（BC﹣BE）＝BE：（AD﹣BE）＝1：（3﹣1）∴BE：EC＝1：2故选：A．5．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，BC＝6，则DE的长为（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：∵D，E分别是边AB、AC的中点，∴CB＝2DE，∵BC＝6，∴DE＝3．故选：B．6．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，则tan A的值为（）A．B．C．D．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，由勾股定理得：AC＝4，∴tan A＝＝，故选：C．7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，若AC＝8，BC＝6，DE＝3，则AD的长为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6∴AB＝＝＝10∵∠A＝∠A，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，则，∴AD＝＝5故选：C．8．在△ABC中，若∠A+∠C＝150°，则sin B的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∠B＝180°﹣（∠A+∠C）＝30°，sin B＝sin30°＝，故选：C．二、填空题（每小题3分，共18分）9．一元二次方程x2＝x的根x1＝0，x2＝1．【解答】解：由原方程得x2﹣x＝0，整理得x（x﹣1）＝0，则x＝0或x﹣1＝0，解得x1＝0，x2＝1．故答案是：x1＝0，x2＝1．10．使有意义的x的取值范围是x≥2．【解答】解：根据二次根式的意义，得x﹣2≥0，解得x≥2．11．若x：y＝1：2，则＝．【解答】解：设x＝k，y＝2k，∴＝＝﹣．12．如图，a∥b∥c，BC＝1，DE＝4.5，EF＝1.5，则AC＝4．【解答】解：∵a∥b∥c，∴＝，即＝，解得，AB＝3，∴AC＝AB+BC＝4，故答案为：4．13．正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠AOB的值为2．【解答】解：tan∠AOB＝＝2，故答案为：2．14．如图所示，增加一个条件，可使△ABC∽△AED，这个条件可以是∠1＝∠B或∠2＝∠C或＝．【解答】解：∵∠BAC＝∠EAD（公共角），再由∠1＝∠B或∠2＝∠C或，可得△ABC∽△AED，故答案为：∠1＝∠B或∠2＝∠C或．三、解答题（共78分）15．先化简，再求值：+，其中x＝﹣1．【解答】解：+＝＝＝＝x+1，当x＝﹣1时，原式＝﹣1+1＝．16．解方程：x2﹣3x﹣10＝0．【解答】解：分解因式得：（x﹣5）（x+2）＝0，x﹣5＝0，x＝2＝0，x1＝5，x2＝﹣2．17．已知关于x的一元二次方程x2+x+m﹣1＝0．（I）当m＝0时，求方程的实数根．（Ⅱ）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当m＝0时，方程为x2+x﹣1＝0．△＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0．∴x＝，∴x1＝，x2＝．（Ⅱ）∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0即（﹣1）2﹣4×1×（m﹣1）＝1﹣4m+4＝5﹣4m＞0∵5﹣4m＞0∴m＜．18．在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，﹣3），点B（﹣1，﹣3），点C（﹣1，﹣1）．（1）画出△ABC；（2）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A1点的坐标：（﹣3，3）；（3）以O为位似中心，在第一象限内把△ABC扩大到原来的两倍，得到△A2B2C2，并写出A2点的坐标：（6，6）．【解答】解：（1）△ABC如图所示；（2）△A1B1C1如图所示；A1（﹣3，3），（3）△A2B2C2如图所示；A2（6，6）．故答案为（﹣3，3），（6，6）．19．如图，在▱ABCD中，AE：EB＝1：2，DE交于点F．（1）求AE：DC的值．（2）△AEF与△CDF相似吗？若相似，求出相似比，请说明理由．（3）如果S△AEF＝5cm2，求S△CDF．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵AE：EB＝1：2，∴AE：DC＝1：3；（2）相似相似比：1：3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴△AEF∽△CDF，∴＝；（3）∵△AEF∽△CDF，∴＝（）2＝，∵S△AEF＝5cm2，S△CDF＝9×5＝45m2．20．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC＝3，AD＝2，EF＝EH，求EH的长．【解答】解：∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABC，∵AM⊥EH，AD⊥BC，∴＝，设EH＝3x，则有EF＝2x，AM＝AD﹣EF＝2﹣2x，∴＝，解得：x＝，则EH＝3x＝．21．如图，据热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球A与高楼的水平距离为120m，求这栋高楼BC的高度．【解答】解：过A作AD⊥BC，垂足为D．在Rt△ABD中，∵∠BAD＝30°，AD＝120m，∴BD＝AD•tan30°＝120×＝40m，在Rt△ACD中，∵∠CAD＝60°，AD＝120m，∴CD＝AD•tan60°＝120×＝120m，∴BC＝BD+CD＝40+120＝160m．22．在某校举行的“中国学生营养日”活动中，设计了抽奖环节：在一只不透明的箱子中有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外均相同．（1）随机摸出一个球，恰好是红球就能中奖，则中奖的概率是多少？（2）同时摸出两个球，都是红球就能中特别奖，则中特别奖的概率是多少？（要求画树状图或列表求解）【解答】解：（1）∵2个红球，1个白球，∴中奖的概率为；（2）根据题意画出树状图如下：一共有6种情况，都是红球的有2种情况，所以，P（都是红球）＝＝，即中特别奖的概率是．23．【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），∠A＝∠B＝∠DPC＝90°．易证：△DAP∽△PBC（不要求证明）．【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），∠A ＝∠B＝∠DPC．（1）求证：△DAP～△PBC．（2）若PD＝5，PC＝10，BC＝9，求AP的长．【应用】如图③，在△ABC中，AC＝BC＝4，AB＝6，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作∠CPE＝∠A，PE与边BC交于点E．当CE＝3EB时，求AP的长．【解答】解：【探究】（1）∵∠DPB＝∠A+∠ADP，∴∠DPC+∠CPB＝∠A+∠ADP，∵∠A＝∠DPC，∴∠ADP＝∠CPB，∵∠A＝∠B，∴△DAP∽△PBC；（2）∵△DAP∽△PBC，∴，∴，∴AP＝4.5；【应用】∵AC＝BC，∴∠A＝∠B，∵∠CPE＝∠A，∴∠A＝∠CPE＝∠B，由探究得△CAP∽△PBE，∴＝，∴AC•BE＝AP•BP，∵BC＝4，CE＝3EB，∴BE＝1，∵AC＝4，BP＝AB﹣AP＝6﹣AP，∴AP（6﹣AP）＝4，∴AP＝3+或AP＝3﹣．24．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AB在x轴上，点B坐标（﹣3，0），点C在y轴正半轴上，且sin∠CBO＝，点P从原点O出发，以每秒一个单位长度的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t（0≤t≤5）秒，过点P作平行于y轴的直线l，直线l 扫过四边形OCDA的面积为S．（1）求点D坐标．（2）求S关于t的函数关系式．（3）在直线l移动过程中，l上是否存在一点Q，使以B、C、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在Rt△BOC中，OB＝3，sin∠CBO＝＝，设CO＝4k，BC＝5k，∵BC2＝CO2+OB2，∴25k2＝16k2+9，∴k＝1或﹣1（舍弃），BC＝5，OC＝4，∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝BC＝5，∴D（5，4）．（2）①如图1中，当0≤t≤2时，直线l扫过的图象是四边形OCQP，S＝4t．②如图2中，当2＜t≤5时，直线l扫过的图形是五边形OCQTA．S＝S梯形OCDA﹣S△DQT＝×（2+5）×4﹣×（5﹣t）×（5﹣t）＝﹣t2+t﹣．（3）如图3中，①当QB＝QC，∠BQC＝90°，Q（，）．②当BC＝CQ′，∠BCQ′＝90°时，Q′（4，1）；③当BC＝BQ″，∠CBQ″＝90°时，Q″（1，﹣3）；综上所述，满足条件的点Q坐标为（，）或（4，1）或（1，﹣3）．。