第九章 一元气体动力学基础要点
合集下载
流体力学_龙天渝_一元气体动力学原理
第九章 一元气体动力学基础一、学习指导 1. 基本参数 （1） 状态方程气体的压强p ，密度ρ以及温度（绝对）T 满足状态方程p RT ρ=式中，R 为气体常数，对于空气，287/()R J kg K =⋅。
（2） 绝热指数k/p v k c c =式中，c p 和c v 分别是等压比热和等容比热，他们与气体参数地关系为1p k c R k =-，11p c R k =-（3） 焓和熵焓h 的定义是ph e ρ=+式中，e 是气体内能，v e c T =。
h 可一表示为 p h c T =熵的表达式为ln()kps cv c ρ=+常数（4） 音速cc =（5） 马赫数马赫数M 的定义是uM c =式中，u 是气流速度；c 是音速。
2. 一元恒定流动的运动方程 （1） 气体一元定容流动ρ=常数22pv g γ+=常数 （2） 气体一元等温流动T =常数，pRT cρ==2ln 2v c p +=常量2ln 2v RT p +=常量（3） 气体一元绝热流动k p cρ= 212k p v k ρ⋅+-=常量3. 滞止参数气流在某断面的流速，设想以无摩擦绝热过程降低至零时，断面各参数所达到的值，称为气流在该断面的滞止参数。
用p 0、ρ0、T 0、i 0、c 0表示滞止压强、滞止密度、滞止温度、滞止焓值、滞止音速。
0/T T ，0/p p ，0/ρρ，0/c c 与马赫数M 的函数关系：20112T k M T -=+11200112k kk k p T k M p T ---⎛⎫⎛⎫==+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1111200112k k T k M T ρρ---⎛⎫⎛⎫==+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1122200112c T k M c T -⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4. 气体一元恒定流动的连续性方程2(1)dA dv M A v =-（1） M<1为亚音速流动，v<c ，因此dv 与dA 正负号相反，速度随断面面积增大而减慢；随断面面积减小而加快。
一元气体动力学基础
p0、T0 p、T
5.气体按不可压缩处理的极限
空气k=1.4 取M=0.2
0 0 1 2.1% 密度相对变化
取M=0.4
0 8.2%
一般取M=0.2
t=15℃时，v≤M· c=0.2×340=68m/s
第三节 气体一元恒定流动 的连续性方程
1.气流参数与变截面的关系 由连续性方程
k k 1
k 1 2 1 M 2 k 1 2 1 M 2
1 2
k k 1
0 T0 T
1 k 1
1 k 1
c0 T0 k 1 2 1 M c T 2
2.讨论
一元等熵气流各参数沿程的变化趋势 M<1 渐缩管 渐扩管 M>1 渐缩管 渐扩管
流动参数
流速v
压强p 密度ρ 温度T
增大
减小 减小 减小
减小
增大 增大 增大
减小
增大 增大 增大
增大
减小 减小 减小
dv与dp、dρ、dT异号
（1）亚音速流动：A↑→v↓(p,ρ,T)↑
2 由于 M 1 1
气体：视作等熵过程
p
k
c
微分： dp k
p
dp c k
p
kRT
讨论： （1）音速与本身性质有关 （2） c
1 d dp
d / dp 越大，越易压缩，c越小
音速是反映流体压缩性大小的物理参数 （3） c f T f p,V , T （4）空气 c 1.4 287T 当地音速
压强下降
扩压管
解题思路：状态（过程）方程、 连续性方程、能量方程
流体力学_09一元气体动力学基础
第九章 一元气体动力学
§9-2音速、滞止参数、马赫数 §9-3气体一元恒定流动的连续性方程
§9-2音速、滞止参数、马赫数
1.音速 流体中某处受外力作用，使其压力发生变化，称为压力 扰动，压力扰动就会产生压力波，向四周传播。微小扰动在 流体中的传播速度，就是声音在在流体中的传播速度，以符 号C表示。C是气体动力学的重要参数。 2.滞止参数 气流某断面的流速，设想以无摩擦绝热过程降低至零时， 断面各参数所达到的值，称为气流在该断面的滞止参数。滞 止参数以下标“0”表示。
§9-3气体一元恒定流动的连续性方程
一、连续性微分方程
第三章已给出了连续性方程 对管流任意两断面
A 常量
1v1 A1 2v2 A2
为了反映流速变化和断回变化的相互关系，对上式微分
d ( A) dA Ad Ad 0 d d dA 0 A
由欧拉运动微分方程：
2 消去密度 ，并将 c
dp
d 0
dp ，M 代入，则断面A与气流速度 d c
之间的关系式为：
dA d 2 ( M 1) A
二、气流反映气体可压缩大小。当气流速 度越大，则音速越小，压缩现象越显著。马赫数首先将有关影 响压缩效果的的v和c两个参数联系起来，指指定点的当地速度 v与该点当地音速c的比值为马赫数M。
v M c
M>1，v>c，即气流本身速度大于音速，则气流中参数 的变化不能向上游传播。这就是超音速流动。 M<1，v<c，即气流本身速度小于音速，则气流中参数 的变化能够向上游传播。这就是亚音速流动。 M数是气体动力学中一个重要无因次数，它反映惯性力 与弹性力的相对比值。如同雷诺数一样，是确定气体流动状 态的准则数。
§9-2音速、滞止参数、马赫数 §9-3气体一元恒定流动的连续性方程
§9-2音速、滞止参数、马赫数
1.音速 流体中某处受外力作用，使其压力发生变化，称为压力 扰动，压力扰动就会产生压力波，向四周传播。微小扰动在 流体中的传播速度，就是声音在在流体中的传播速度，以符 号C表示。C是气体动力学的重要参数。 2.滞止参数 气流某断面的流速，设想以无摩擦绝热过程降低至零时， 断面各参数所达到的值，称为气流在该断面的滞止参数。滞 止参数以下标“0”表示。
§9-3气体一元恒定流动的连续性方程
一、连续性微分方程
第三章已给出了连续性方程 对管流任意两断面
A 常量
1v1 A1 2v2 A2
为了反映流速变化和断回变化的相互关系，对上式微分
d ( A) dA Ad Ad 0 d d dA 0 A
由欧拉运动微分方程：
2 消去密度 ，并将 c
dp
d 0
dp ，M 代入，则断面A与气流速度 d c
之间的关系式为：
dA d 2 ( M 1) A
二、气流反映气体可压缩大小。当气流速 度越大，则音速越小，压缩现象越显著。马赫数首先将有关影 响压缩效果的的v和c两个参数联系起来，指指定点的当地速度 v与该点当地音速c的比值为马赫数M。
v M c
M>1，v>c，即气流本身速度大于音速，则气流中参数 的变化不能向上游传播。这就是超音速流动。 M<1，v<c，即气流本身速度小于音速，则气流中参数 的变化能够向上游传播。这就是亚音速流动。 M数是气体动力学中一个重要无因次数，它反映惯性力 与弹性力的相对比值。如同雷诺数一样，是确定气体流动状 态的准则数。
一元气体动力学基础讲解学习
解：喷口处 akRT 31.5m 2/s
Mv 2500.8 a 31.25
k
1 .4
p 0 p 1 k2 1 M 2 k 1 1 1 0 1 .0 4 2 1 0 .8 2 1 .4 1 1.4 5 k2 P pa
h u p ——焓
（4）多变过程
p c n
n c cp c cv
——多变指数
n p v2 c
n1 2
可压缩理想气体的能量方程
n=0
等压过程
n=1
等温过程
n=k
绝热过程
n→±∞ 等容过程
例1：文丘里流量计，进口直径d1=100mm，温度 t1=20℃，压强p1=420kPa，喉管直径d2=50mm，压强 p2=350kPa，已知当地大气压pa=101.3kPa，求通过空 气的质量流量
一元气体动力学基础
安徽建筑工业学院环境工程系 王造奇
INDEX 理想气体一元恒定流动的基本方程 可压缩气流的几个基本概念 变截面的等熵流动 可压缩气体的等温管道流动 可压缩气体的绝热管道流动
理想气体一元恒定流动的基本方程
可压缩气体 密度变化 1.连续性方程
积分形式 vAc 微分形式 ddvdA0
可压缩气流的几个基本概念
1.音速 声音的传播是一种小扰动波 连续性方程
aA d d ta dA vdt
略去高阶微量，得
addv
动量方程
pdA pp A aAdv
得 dpadv
解得 a dp d
——音速定义式
液体： E dpa E
d
气体：视作等熵过程
p k
c
微分： dpkpdpa kp kRT
p k
c
k cp cv
气体动力学
dp C1 k
dp k p
p1 k k 1
能量方程为
k p v2 C
k1 2
多种形式的气体等熵过程能量方程
k p v2 C
k1 2
kRT v2 C
k1 2 c2 v2 C
k1 2
1 p p v2 C
k1 2
气体等熵过程能量方程的物理意义
1 p p v2 C
k1 2
二、马赫数
气体流速v与当地 c
根据它的大小，可将气体的流动分为： Ma＜1，即v＜c，亚声速流动； Ma＝1，即v＝c，声速流动（Ma≈1，为跨声速流 动）； Ma＞1，即v＞c，超声速流动。
微弱扰动波在不同流场中的传播
v=0
2c 3c 4c c o
4c
3c
v <c
2c
c
o
(a)
v=c o
4c 3c 2c c
v 2v
3v 4v
(c)
v
2v
3v
A
4v
(b)
4c
3c
v>c
2c
o
c
α
v
2v
3v
4v
B
(d)
（1）静止流场（v＝0） 在静止流场中，微弱扰动波声速c向四周传播，形成以o点 为中心的同心球面波。
（2）亚声速流场（v＜c）
在亚声速流场中，微弱扰动波仍能逆流向上游传播。
第九章 气体动力学基础
不可压缩流体
液体 低速气体
可压缩流体
高速气体
气体动力学就是研究可压缩气体运动规律及 其在工程中应用的科学。
§9.1 声速与马赫数 §9.2 气体一维恒定流动的基本方程 §9.3 气体一维恒定流动的参考状态 §9.4 气流参数与通道截面积的关系 §9.5 喷管
第九章 一元气体动力学基础
C p Cv R
vCC
dp 第一项积分： =C
p
p
u2 C 2
p （代入运动微分方程） C
k p p dp = k -1 Cp
Cp
2、气体一元等温过程：
C
Cv Cv k p u2 u2 u2 C RT C RT C 得： Cp C p Cv 2 2 k 1 2 1 Cv Cv
§ 9－ 2 音速、滞止参数、马赫数
微弱扰动波面
§ 9－ 2 音速、滞止参数、马赫数
由（ 1）式和（ 2）式得：
a
p, , u 0
du
p dp
d
du
在相对坐标系中取图（b)中虚线所示的控制 体，设管道截面积为 A，对控制体应用连续 方程：
a2
dp d
或 a
dp d
du 1 p X dt x u u dx 1 p X t x dt x 1 dp du u 0 dx dx dp u2 d 2 0
微分形式的气体运动方程，称为欧 拉运动微分方程
§ 9－ 1 理想气体一元恒定流动的运动方程 以一元气体欧拉运动微分方程为基础，按照气体运动经历的不同的热力过程，利用 热力过程方程式，可得到几种具体的气体一元流动的运动方程积分式： 1、气体一元定容过程：
以上表达式说明： (1)等熵流动中，各断面滞止参数不变，其中 T 0 , h 0 , a 0 反映了热能在内的气流 全部能量。 (2)等熵流动中，气流速度若沿流增大，则气流温度 T 降低。 ，焓 h ，音速 a ，沿程
T
u T0 2C p
2
（ 3）由于当地气流速度 u的存在，同一气流中当地音速
一元气体动力学基础
0 8.2%
一般取M=0.2
t=15℃时，v≤M·c=0.2×340=68m/s
第三节 气体一元恒定流动 的连续性方程
1.气流参数与变截面的关系
由连续性方程
d dv dA 0 vA
9-3-2
欧拉微分方程 dp vdv 0
9-1-1
及 c2 dp
d
M v c
p RT
p
k
常数
得 dA M 2 1 dv
A
v
dA M 2 1 dp
A
kM2 p
dA M 2 1 d
A
M2
dA
M 2 1 dT
A k 1M 2 T
9-3-3
2.讨论 一元等熵气流各参数沿程的变化趋势
M<1 流动参数
渐缩管 渐扩管
流速v 压强p 密度ρ 温度T
增大 减小 减小 减小
减小 增大 增大 增大
M>1
渐缩管 渐扩管
减小 增大 增大 增大
3000m高空的温度为 T 269K 所以驻点温度为
T
T
1
k
1 2
M
2 a
269 1
数
声音的传播是一种小扰动波
连续性方程
cAdt d c dvAdt
略去高阶微量，得
cd dv
动量方程
p dpA pA cAdv
得 dp cdv
解得 c dp
d
——音速定义式
液体： E dp c E
d
气体：视作等熵过程
p
k
c
微分： dp k p dp c k p kRT
解：空气k=1.4，R=287J/kg·K，Cp=7R/2=1004.5J/kg·K
第9章 气体动力学基础(6)(1)
+ ������g∆������ + ������sh
对单位质量气体而言，即有
������
=
∆ℎ
+
∆������2 2
+
∆������
∙
g
+
������sh
（9-13）
式中 ∆������2 = ������22 − ������12，∆ℎ = ∆������ + ∆(������������)
在流体机械中，∆������ ∙ g项完全可以忽略，所以在以后的表示中我们一
保持不变。如果气体焓减小（表现为温度下降），则气体的动能增大（表
现为速度增大），反之亦然。
9.2 一元定常可压缩流动的基本方程
转变为机械能都只能通过气体的膨胀（或压缩）才能得以实现。对
于液体介质，正是因为假定了������
=
1为常数，从而使热量不可能实
υ
现与机械功的转换。
9.1 气体介质的状态参数
3.熵 熵S也是一个导出的状态参数，比熵s以J/（kg ∙ K）为单位，
其表达式为
������������ = ������������+������������������
������ ������
由式（1-4）可得
������ = ������������������
（9-5）
对式（9-5）取对数并微分，便可得到完全气体状态方程式的
微分形式，即
d������ ������ = d������ ������ + d������ ������
（9-6）
第9章 气体动力学基础
������—系统中气体的质量。
将式（9-9）各项除以������，得
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
k k 1
k 1 2 1 M 2 k 1 2 1 M 2
1 2
k k 1
0 T0 T
1 k 1
1 k 1
c0 T0 k 1 2 1 M c T 2
速度变化的绝对值大于截面的变化
（2）超音速流动：A↑→v↑(p,ρ,T)↓
M 2 1 由于 1 密度变化的绝对值大于截面的变化 2 M
vA c ，A v
（3）音速流动——临界状态（临界参数*）
最小断面才可能达到音速
拉伐尔喷管
v c v c v c
连续性方程
1v1 A1 v2 4.434v1 2 A2
能量方程
2 k p1 v12 k p2 v2 k 1 1 2 k 1 2 2
解得
v1 35.66m / s
Qm 1v1 A1 1.735kg / s
例2：理想气体在两个状态下的参数分别为T1、p1和T2、p2
解题思路：状态（过程）方程、 连续性方程、能量方程
绝热过程方程
p2 T2 T1 p 1
状态方程
k 1 k
350 101.3 293 420 101.3
1.41 1.4
281.2K
p1 1 6.199kg / m3 RT1 p2 2 5.592kg / m3 RT2
p0、T0 p、T
5.气体按不可压缩处理的极限
空气k=1.4 取M=0.2
0 0 1 2.1% 密度相对变化
取M=0.4
0 8.2%
一般取M=0.2
t=15℃时，v≤M· c=0.2×340=68m/s
第三节 气体一元恒定流动 的连续性方程
1.气流参数与变截面的关系 由连续性方程
V a, 90,
sin
M ,
a 1 V M
马赫锥外面的气体不受扰动的影响,称为“寂静 区域”.
(2)扰动源在流动气体中的传播
气体与扰动源运动速度大小相等,方向相反,扰动 源为一不动点. |V|<a, 扰动波可达到空间任何一点. |V|>a, 扰动波只能在马赫锥内顺流传播,不能逆流 传播.上游流场不受下游任何扰动的影响.
例1：文丘里流量计，进口直径d1=100mm，温度 t1=20℃，压强p1=420kPa，喉管直径d2=50mm，压强 p2=350kPa，已知当地大气压pa=101.3kPa，求通过空 气的质量流量
解：喷管——等熵过程
空气k=1.4 R=287J/kg· K p——绝对压强
T——热力学温标（K）
一元气体动力学基础
目
可压缩气流的几个基本概念 变截面的等熵流动 可压缩气体的等温管道流动 可压缩气体的绝热管道流动
录
理想气体一元恒定流动的基本方程
第一节理想气体一元恒定流动的基 本方程
1.连续性方程 积分形式 微分形式 2.状态方程 可压缩气体 密度变化
vA c
d dv dA 0 v A
2 c0 c2 v2 k 1 2 k 1
v2 h h0 2
性质：
（1）在等熵流动中，滞止参数值不变；
（2）在等熵流动中，速度增大，参数值降低；
（3）气流中最大音速是滞止音速； c kRT 0 0
（4）在有摩擦的绝热过程中，机械能转化为
内能，总能量不变——T0，c0，h0不变，
T 288 K c 340 m / s
2.滞止参数（驻点参数） 设想某断面的流速以等熵过程减小到零，此断面的 参数称为滞止参数 v0=0——滞止点（驻点）
p0 , 0 , T0 , c0 , h0
k p v2 k p0 k 1 2 k 1 0
k v2 k RT RT0 k 1 2 k 1
h h2 h1 c p T2 T1 dQ dh dp c p 7R 2 dS dh T dp T C p dT T R dp p （4）熵的变化
T2 p2 S S 2 S1 c p ln R ln T1 p1
dh C p dT Cv dT RdT Cv dT d RT Cv dT d p
第二节音速、滞止参数、马赫 数 1.音速
声音的传播是一种小扰动波 连续性方程
cAdt d c dvAdt
略去高阶微量，得
cd dv
动量方程
p dpA pA cAdv
得
解得
dp cdv
dp c d
——音速定义式
dp E 液体： E c d
温过程中的能量方程
理想气体的绝热过程→等熵过程
p
k
c
k
cp cv
——绝热指数
代入积分得
k p v2 c k 1 2
证明：
或
1 p p v2 c k 1 2
内能u
cv p p p 1 p u cvT cv cv R c p cv c p cv k 1
d
dv dA 0 v A
9-3-2 9-1-1
欧拉微分方程
dp
vdv 0
dp 及 c d
2
v M c
p
RT
p
k
常数
得
ห้องสมุดไป่ตู้
dA dv 2 M 1 A v
9-3-3
dA M 2 1 dp A kM 2 p dA M 2 1 d A M2 dA M 2 1 dT k 1M 2 T A
2.讨论
一元等熵气流各参数沿程的变化趋势 M<1 渐缩管 渐扩管 M>1 渐缩管 渐扩管
流动参数
流速v
压强p 密度ρ 温度T
增大
减小 减小 减小
减小
增大 增大 增大
减小
增大 增大 增大
增大
减小 减小 减小
dv与dp、dρ、dT异号
（1）亚音速流动：A↑→v↓(p,ρ,T)↑
2 由于 M 1 1
A
l α
H 2000 t ctg ctg 41.8 4.38 s v 510
4.滞止参数与马赫数的关系
k v2 k RT RT0 由 k 1 2 k 1 T0 k 1 v2 k 1 2 1 1 M T 2 kRT 2
p0 T0 p T
dp
vdv 0 vdv c
——欧拉运动微分方程
dp
——理想气体一元恒定流的能量方程
一些常见的热力过程 （1）等容过程 积分：
v2 c 2 p
——机械能守恒
（2）等温过程
RT p
代入积分得
1
v2 RT ln p c 2
（3）绝热过程
可压缩理想气体在等
例：一飞机在A点上空H=2000m，以速度v=1836km/h （510m/s）飞行，空气温度t=15℃（288K），A点要 过多长时间听到飞机声？ 解： c kRT 340m / s
v
α H
v 510 M 1.5 c 340 1 arcsin 41 .8 M l vt Hctg
p0↓，ρ0↓，但p0/ρ0=RT0不变。如有
能量交换，吸收能量T0↑，放出能量T0↓
3.马赫数
v M c
M<1 亚音速流动 M=1 音速流动 M>1 超音速流动
微小扰动在空气中的传播
马赫数的物理意义：
在可压缩流动中，马赫数是一个重要的无量
纲参数，在第六章里我们将看到马赫数表征
流体的惯性力与压缩的弹性力之比。
流动参数增加为四个：p、ρ、T、和υ， 已经有了三个基本方程，它们是：状态方程、连续方程和理想 流的动量方程（即欧拉方程）。
2
2
马赫锥 马赫角α： sin c v 1 M
3. 微弱扰动波在气体中的传播
(1). 扰动源在静止气体中的传播. ① V=0,如图,微弱扰动 波的前缘是以0为球 心的球面.
M 数很小，说明单位质量气体的动能相对于
内能而言很小，速度的变化不会引起气体温
度的显著变化 ，对不可压流体来说，不仅可
以认为密度是常值而且温度T也是常值。
马赫数还代表单位质量气体的动能和内能之比，即
动能 ( 1) 2 2 2 M 1 p 内能 cV T 2 1 M数很小，说明单位质量气体的动能相对于内能而言很小， 速度的变化不会引起气体温度的显著变化 ，对不可压流体来说， 不仅可以认为密度是常值而且温度T也是常值。
气体：视作等熵过程
p
k
c
微分： dp k
p
dp c k
p
kRT
讨论： （1）音速与本身性质有关 （2） c
1 d dp
d / dp 越大，越易压缩，c越小
音速是反映流体压缩性大小的物理参数 （3） c f T f p,V , T （4）空气 c 1.4 287T 当地音速
v2 u c 2 p
v2 c 或 h 2
可压缩理想气体在绝 热过程中的能量方程
hu
p
——焓
（4）多变过程
p
n
c
n
c cp c cv
——多变指数
n p v2 c n 1 2
n=0 n=1 n=k n→±∞ 等压过程 等温过程 绝热过程 等容过程
k 1 2 1 M 2 k 1 2 1 M 2
1 2
k k 1
0 T0 T
1 k 1
1 k 1
c0 T0 k 1 2 1 M c T 2
速度变化的绝对值大于截面的变化
（2）超音速流动：A↑→v↑(p,ρ,T)↓
M 2 1 由于 1 密度变化的绝对值大于截面的变化 2 M
vA c ，A v
（3）音速流动——临界状态（临界参数*）
最小断面才可能达到音速
拉伐尔喷管
v c v c v c
连续性方程
1v1 A1 v2 4.434v1 2 A2
能量方程
2 k p1 v12 k p2 v2 k 1 1 2 k 1 2 2
解得
v1 35.66m / s
Qm 1v1 A1 1.735kg / s
例2：理想气体在两个状态下的参数分别为T1、p1和T2、p2
解题思路：状态（过程）方程、 连续性方程、能量方程
绝热过程方程
p2 T2 T1 p 1
状态方程
k 1 k
350 101.3 293 420 101.3
1.41 1.4
281.2K
p1 1 6.199kg / m3 RT1 p2 2 5.592kg / m3 RT2
p0、T0 p、T
5.气体按不可压缩处理的极限
空气k=1.4 取M=0.2
0 0 1 2.1% 密度相对变化
取M=0.4
0 8.2%
一般取M=0.2
t=15℃时，v≤M· c=0.2×340=68m/s
第三节 气体一元恒定流动 的连续性方程
1.气流参数与变截面的关系 由连续性方程
V a, 90,
sin
M ,
a 1 V M
马赫锥外面的气体不受扰动的影响,称为“寂静 区域”.
(2)扰动源在流动气体中的传播
气体与扰动源运动速度大小相等,方向相反,扰动 源为一不动点. |V|<a, 扰动波可达到空间任何一点. |V|>a, 扰动波只能在马赫锥内顺流传播,不能逆流 传播.上游流场不受下游任何扰动的影响.
例1：文丘里流量计，进口直径d1=100mm，温度 t1=20℃，压强p1=420kPa，喉管直径d2=50mm，压强 p2=350kPa，已知当地大气压pa=101.3kPa，求通过空 气的质量流量
解：喷管——等熵过程
空气k=1.4 R=287J/kg· K p——绝对压强
T——热力学温标（K）
一元气体动力学基础
目
可压缩气流的几个基本概念 变截面的等熵流动 可压缩气体的等温管道流动 可压缩气体的绝热管道流动
录
理想气体一元恒定流动的基本方程
第一节理想气体一元恒定流动的基 本方程
1.连续性方程 积分形式 微分形式 2.状态方程 可压缩气体 密度变化
vA c
d dv dA 0 v A
2 c0 c2 v2 k 1 2 k 1
v2 h h0 2
性质：
（1）在等熵流动中，滞止参数值不变；
（2）在等熵流动中，速度增大，参数值降低；
（3）气流中最大音速是滞止音速； c kRT 0 0
（4）在有摩擦的绝热过程中，机械能转化为
内能，总能量不变——T0，c0，h0不变，
T 288 K c 340 m / s
2.滞止参数（驻点参数） 设想某断面的流速以等熵过程减小到零，此断面的 参数称为滞止参数 v0=0——滞止点（驻点）
p0 , 0 , T0 , c0 , h0
k p v2 k p0 k 1 2 k 1 0
k v2 k RT RT0 k 1 2 k 1
h h2 h1 c p T2 T1 dQ dh dp c p 7R 2 dS dh T dp T C p dT T R dp p （4）熵的变化
T2 p2 S S 2 S1 c p ln R ln T1 p1
dh C p dT Cv dT RdT Cv dT d RT Cv dT d p
第二节音速、滞止参数、马赫 数 1.音速
声音的传播是一种小扰动波 连续性方程
cAdt d c dvAdt
略去高阶微量，得
cd dv
动量方程
p dpA pA cAdv
得
解得
dp cdv
dp c d
——音速定义式
dp E 液体： E c d
温过程中的能量方程
理想气体的绝热过程→等熵过程
p
k
c
k
cp cv
——绝热指数
代入积分得
k p v2 c k 1 2
证明：
或
1 p p v2 c k 1 2
内能u
cv p p p 1 p u cvT cv cv R c p cv c p cv k 1
d
dv dA 0 v A
9-3-2 9-1-1
欧拉微分方程
dp
vdv 0
dp 及 c d
2
v M c
p
RT
p
k
常数
得
ห้องสมุดไป่ตู้
dA dv 2 M 1 A v
9-3-3
dA M 2 1 dp A kM 2 p dA M 2 1 d A M2 dA M 2 1 dT k 1M 2 T A
2.讨论
一元等熵气流各参数沿程的变化趋势 M<1 渐缩管 渐扩管 M>1 渐缩管 渐扩管
流动参数
流速v
压强p 密度ρ 温度T
增大
减小 减小 减小
减小
增大 增大 增大
减小
增大 增大 增大
增大
减小 减小 减小
dv与dp、dρ、dT异号
（1）亚音速流动：A↑→v↓(p,ρ,T)↑
2 由于 M 1 1
A
l α
H 2000 t ctg ctg 41.8 4.38 s v 510
4.滞止参数与马赫数的关系
k v2 k RT RT0 由 k 1 2 k 1 T0 k 1 v2 k 1 2 1 1 M T 2 kRT 2
p0 T0 p T
dp
vdv 0 vdv c
——欧拉运动微分方程
dp
——理想气体一元恒定流的能量方程
一些常见的热力过程 （1）等容过程 积分：
v2 c 2 p
——机械能守恒
（2）等温过程
RT p
代入积分得
1
v2 RT ln p c 2
（3）绝热过程
可压缩理想气体在等
例：一飞机在A点上空H=2000m，以速度v=1836km/h （510m/s）飞行，空气温度t=15℃（288K），A点要 过多长时间听到飞机声？ 解： c kRT 340m / s
v
α H
v 510 M 1.5 c 340 1 arcsin 41 .8 M l vt Hctg
p0↓，ρ0↓，但p0/ρ0=RT0不变。如有
能量交换，吸收能量T0↑，放出能量T0↓
3.马赫数
v M c
M<1 亚音速流动 M=1 音速流动 M>1 超音速流动
微小扰动在空气中的传播
马赫数的物理意义：
在可压缩流动中，马赫数是一个重要的无量
纲参数，在第六章里我们将看到马赫数表征
流体的惯性力与压缩的弹性力之比。
流动参数增加为四个：p、ρ、T、和υ， 已经有了三个基本方程，它们是：状态方程、连续方程和理想 流的动量方程（即欧拉方程）。
2
2
马赫锥 马赫角α： sin c v 1 M
3. 微弱扰动波在气体中的传播
(1). 扰动源在静止气体中的传播. ① V=0,如图,微弱扰动 波的前缘是以0为球 心的球面.
M 数很小，说明单位质量气体的动能相对于
内能而言很小，速度的变化不会引起气体温
度的显著变化 ，对不可压流体来说，不仅可
以认为密度是常值而且温度T也是常值。
马赫数还代表单位质量气体的动能和内能之比，即
动能 ( 1) 2 2 2 M 1 p 内能 cV T 2 1 M数很小，说明单位质量气体的动能相对于内能而言很小， 速度的变化不会引起气体温度的显著变化 ，对不可压流体来说， 不仅可以认为密度是常值而且温度T也是常值。
气体：视作等熵过程
p
k
c
微分： dp k
p
dp c k
p
kRT
讨论： （1）音速与本身性质有关 （2） c
1 d dp
d / dp 越大，越易压缩，c越小
音速是反映流体压缩性大小的物理参数 （3） c f T f p,V , T （4）空气 c 1.4 287T 当地音速
v2 u c 2 p
v2 c 或 h 2
可压缩理想气体在绝 热过程中的能量方程
hu
p
——焓
（4）多变过程
p
n
c
n
c cp c cv
——多变指数
n p v2 c n 1 2
n=0 n=1 n=k n→±∞ 等压过程 等温过程 绝热过程 等容过程