高中物理运动的合成与分解的两个模型

运动的合成与分解的两个模型一、绳杆连体模型例1、如图1所示，两根光滑的杆互相垂直地固定在一起。

上面各穿有一个小球，小球a 、b 间用一细直棒相连。

当细直棒与竖直杆夹角为α时，求两小球实际速度之比b a v :v 。

解析：小球a 、b 沿棒的分速度分别为αcos v a 和αsin v b ，两者相等。

所以1:tan v :v b a α=解题思路：对于绳联问题，由于绳的弹力总是沿着绳的方向，所以当绳不可伸长时，绳联物体的速度在绳的方向上的投影相等。

求绳联物体的速度关联问题时，首先要明确绳联物体的速度，然后将两物体的速度分别沿绳的方向和垂直于绳的方向进行分解，令两物体沿绳方向的速度相等即可求出。

【举一反三】 如图2所示，汽车甲以速度v 1拉汽车乙前进，乙的速度为v 2，甲、乙都在水平面上运动，求v 1∶v 2分析与解：如图3所示，甲、乙沿绳的速度分别为v 1和v 2cos α，两者应该相等，所以有v 1∶v 2=cos α∶1 例2、如图4所示，杆OA 长为R ，可绕过O 点的水平轴在竖直平面内转动，其端点A 系着一跨过定滑轮B 、C 的不可伸长的轻绳，绳的另一端系一物块M 。

滑轮的半径可忽略，B 在O 的正上方，OB 之间的距离为H 。

某一时刻，当绳的BA 段与OB 之间的夹角为α时，杆的角速度为ω，求此时物块M 的速率V m . 分析与解：杆的端点A 点绕O 点作圆周运动，其速度V A 的方向与杆OA 垂直，在所考察时其速度大小为： V A =ωR对于速度V A 作如图5所示的正交分解，即沿绳BA 方向和垂直于BA 方向进行分解，沿绳BA 方向的分量就是物块M 的速率V M ，因为物块只有沿绳方向的速度，所以 V M =V A cos β由正弦定理知， 由以上各式得V M =ωHsin α. 练习： 1.如图6所示，物体A 置于水平面上，A 前固定一滑轮B ，高台上有一定滑轮D ，一根轻绳一端固定在C 点，再绕过B 、D.BC 段水平，当以速度v 0拉绳子自由端时，A 沿水平面前进，求：当跨过B 的两段绳子夹角为α时A 的运动速度v . 2.如图7所示，均匀直杆上连着两个小球A 、B ，不计一切摩擦.当杆滑到如图位置时，B 球水平速度为v B ，加速度为a B ，杆与竖直夹角为α，求此时A 球速度和加速度大小.图2图3A ω3.一轻绳通过无摩擦的定滑轮在倾角为30°的光滑斜面上的物体m 1连接，另一端和套在竖直光滑杆上的物体m 2连接.已知定滑轮到杆的距离为3m.物体m 2由静止从AB 连线为水平位置开始下滑1 m 时，m 1、m 2恰受力平衡如图8所示.试求：（1）m 2在下滑过程中的最大速度.（2）m 2沿竖直杆能够向下滑动的最大距离.4.如图9所示，S 为一点光源，M 为一平面镜，光屏与平面镜平行放置.SO 是垂直照射在M 上的光线，已知SO =L ，若M 以角速度ω绕O 点逆时针匀速转动，则转过30°角时，光点 S ′在屏上移动的瞬时速度v 为多大？5.一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ 提升井中质量为m 的物体，如图10所示.绳的P 端拴在车后的挂钩上，Q 端拴在物体上.设绳的总长不变，绳子质量、定滑轮的质量和尺寸、滑轮上的摩擦都忽略不计.开始时，车在A 点，左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的，左侧绳绳长为H .提升时，车加速向左运动，沿水平方向从A 经B 驶向C.设A 到B 的距离也为H ，车过B 点时的速度为v B .求在车由A 移到B 的过程中，绳Q 端的拉力对物体做的功.6.如图11所示，斜劈B 的倾角为30°，劈尖顶着竖直墙壁静止于水平地面上，现将一个质量与斜劈质量相同、半径为r 的球A 放在墙面与斜劈之间，并从图示位置由静止释放，不计一切摩擦，求此后运动中（1）斜劈的最大速度.（2）球触地后弹起的最大高度。

（球与地面作用中机械能的损失忽略不计）答案：1.v =αcos 10+v 2.v A =v B tan α;a A =a B tan α3.（1）由图可知，随m 2的下滑，绳子拉力的竖直分量是逐渐增大的，m 2在C点受力恰好平衡，因此m 2从B 到C 是加速过程，以后将做减速运动，所以m 2的最大速度即出现在图示位置.对m 1、m 2组成的系统来说，在整个运动过程中只有重力和绳子拉力做功，但绳子拉力做功代数和为零，所以系统机械能守恒.ΔE 增=ΔE 减，即21m 1v 12+21m 22v 2+m 1g （A C -A B ）sin30°=m 2g ·B C 又由图示位置m 1、m 2受力平衡，应有：T cos ∠ACB =m 2g ,T =m 1g sin30°又由速度分解知识知v 1=v 2cos ∠ACB ，代入数值可解得v 2=2.15 m/s,（2）m 2下滑距离最大时m 1、m 2速度为零，在整个过程中应用机械能守恒定律，得： ΔE 增′=ΔE 减′即:m 1g （AB AB H -+22）sin30°=m 2gH利用（1）中质量关系可求得m 2下滑的最大距离H =343m=2.31 m4.由几何光学知识可知：当平面镜绕O 逆时针转过30°时，则：∠SOS ′=60°， 图9 图10 图11 图8 图7OS ′=L /cos60°.选取光点S ′为连结点，因为光点 S ′在屏上，该点运动方向不变，故该点实际速度（合速度）就是在光屏上移动速度v ；光点S ′又在反射光线OS ′上，它参与沿光线OS ′的运动.速度v 1和绕O 点转动，线速度v 2；因此将这个合速度沿光线OS ′及垂直于光线 OS ′的两个方向分解，由速度矢量分解图12可得： v 1=v sin60°,v 2=v cos60°又由圆周运动知识可得：当线OS ′绕O 转动角速度为2ω. 则：v 2=2ωL /cos60°vc os60°=2ωL /cos60°,v =8ωL .5.以物体为研究对象，开始时其动能E k1=0.随着车的加速运动，重物上升，同时速度也不断增加.当车子运动到B 点时，重物获得一定的上升速度v Q ，这个速度也就是收绳的速度，它等于车速沿绳子方向的一个分量，如图13，即v Q =v B 1=v B c os45°=22v B 于是重物的动能增为 E k2 =21mv Q 2=41mv B 2 在这个提升过程中，重物受到绳的拉力T 、重力mg ，物体上升的高度和重力做的功分别为h =2H-H=（2-1）HW G =-mgh =-mg （2-1）H于是由动能定理得 W T +W G =ΔE k =E k2-E k1 即WT -mg （2-1）H =41mv B 2-0 所以绳子拉力对物体做功W T =41mv B 2+mg （2-1）H 6.（1）A 加速下落，B 加速后退，当A 落地时，B 速度最大，整大过程中，斜面与球之间弹力对球和斜面做功代数和为零，所以系统机械能守恒.mg （h -r ）=2mv A 2+2mv B 2 ①由图中几何知识知：h =cot30°·r =3r ②A 、B 的运动均可分解为沿斜面和垂直斜面的运动，如图14所示。

由于两物体在垂直斜面方向不发生相对运动，所以v A 2=v B 2即v A cos30°=v B sin30° ③解得v A =2)13(gr - v B =2)13(3gr - 图12 图13图14（2）A 球落地后反弹速度v A ′=v A做竖直上抛运动的最大高度：H m =4)13(22r g v A -=' 二、小船渡河模型求解小船渡河问题时，先要弄清小船的合运动就是实际运动，再按实际效果分解位移和速度，根据平行四边形定则画矢量图，结合分运动与合运动的等时性和独立性列式。

小船渡河常见的问题如下。

两种情况：①船速大于水速；②船速小于水速。

两种极值：①渡河最小位移；②渡河最短时间。

例1、一条宽度为L 的河，水流速度为水v ，已知船在静水中速度为船v ，那么：（1）怎样才能使渡河时间最短？（2）若船v >水v ，怎样才能使渡河位移最小？（3）若船v <水v ，怎样渡河才能使船行驶的距离最短？解析：（1）研究小船渡河问题时，可以把小船的渡河运动分解为两个运动，一个是小船在静水中的运动，另一个是水流的运动。

船的实际运动为两者的合运动，如图2所示。

设船头斜向上游与河岸成任意角θ，这时船速在垂直于河岸方向的速度分量为θ=sin v v 1船，渡河所需要的时间为θ==sin v L v L t 1船。

可以看出：L 、船v 一定时，t 随sinθ增大而减小。

当θ=90°时，sinθ=1（最大），即船头与河岸垂直时用时最短船v L t m in =。

（2）如图3所示，渡河的最小位移即河的宽度。

为了使渡河位移等于L ，必须使船的合速度v 的方向与河岸垂直，即沿河岸方向的速度分量等于0。

这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ，所以有水船v cos v =θ，即船水v v cos =θ。

因为1cos 0≤θ≤，所以只有在水船v v >时，船才有可能垂直河岸渡河。

（3）若水船v v <，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使船行驶的距离最短呢？如图4所示，设船头船v 与河岸成θ角，合速度合v 与河岸成α角。

可以看出：α角越大，船行驶的距离s 越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以水v 的矢尖为圆心，船v 的速度大小为半径画圆，当合v 与圆相切时，α角最大。

根据水船v v cos =θ可知此时船沿河行驶的距离最短此时渡河的最短距离【举一反三】：设有一条河，其宽度为700m，河水均匀流动，流速为2m/s，汽船在静水中的行驶速度为4m/s。

则汽船的船头应偏向哪个方向行驶才能恰好到达河的正对岸？参考答案：与上游河岸成60°角。