德布罗意物质波公式的建立
德布罗意波长计算公式
德布罗意波长计算公式
爱德华·德布罗意波长计算公式是用于测定物体表面波长的方法，它是这样计算的：
首先计算一个实验中物质的总体应变率，即物体表面总变形量／总拉伸量，然后将该应变率乘以另一个关键常量，即一个表示波长和应变率之间关系的耐久力系数，以便获得一个特定的表面波长。
波长的最终计算公式为：λ=S/K，其中S为总体应变率，K为耐久力系数。
爱德华·德布罗意波长计算公式是一种重要的实验方法，它成功地揭示了物体表面的细微结构，这种结构可以反映出材料的强度、耐磨性和抗污染性等特性。
它可以被用来测量固体表面、显微镜样品表面、介质表面和电子表面等物质表面的波长。
大学物理15 量子物理基础1
m
o
0.1A
(2) 若使其质量为m=0.1g的小球以与粒子相同的 速率运动,求其波长
若 m=0.1g 的小球速率 vm v
vm
v
q BR m
则 ：m
h m vm
h m
1 v
h m
m q BR
h q BR
m m
6.64 10 27 0.1 10 3
6.641034
m
px x h
考虑到在两个一级极小值之外还有电子出现，
运动,则其波长为多少? (粒子质量为ma =6.64ⅹ10-27kg)(05.08…)
解:
(1)
求粒子德布罗意波长 h h
p m v
先求：m v ?
而：q vB
m
v2 R
m v q BR
h m v
h q BR
6.63 10 34 1.601019 0.025 0.083102
1.001011
( x,t ) 0 区别于经典波动
(
x,
t)
e i 2
0
(t x
)
自由粒子沿x方向运动时对应的单色平面波波函数
设运动的实物粒子的能量为E、动量为 p，与之相 关联的频率为 、波长为，将德布罗意关系式代入：
考虑到自由粒子沿三维方向的传播
式中的 、E 和 p 体现了微观粒子的波粒二象性
2、概率密度——波函数的统计解释 根据玻恩对德布罗意波的统计解释，物质波波
p mv h
德布罗意公式(或假设)
与实物粒子相联系的波称为德布罗意波(或物质波)
h h h
p mv m0v
1
v2 c2
如果v c,则 h
m0v
21.4 德布罗意假设 电子衍射实验
8.67 10 nm
2
此波长的数量级与 X 射线波长的数量级相当.
例2 从德布罗意波导出氢原子波尔理论中角动量 量子化条件. 解 两端固定的弦，若其 长度等于波长则可形成稳定 的驻波. 将弦弯曲成圆时
2π r 2π r n n 1,2,3,4, h 电子绕核运动其德布罗意波长为
实验结果: d sin 1.65 10 电子波的波长 理论值为：
m
h h 1.671010 m me v 2me Ek
1 d sin kh 2emeU
kh sin d
1 2emeU
sin 0.777k
当 k 1 时， arcsin 0.777 51 与实验结果相近.
（2） G . P . 汤姆孙电子衍射实验 ( 1927年 ) 电子束透过多晶铝箔的衍射
D
K
双缝衍射图
P
M
U
例3 试计算温度为25 C 时慢中子的德布罗意波长. 解 在热平衡状态时，按照能均分定理慢中子的平 均平动动能可表示为
T 298K
平均平动动能
3 2 kT 3.85 10 eV 2
两相邻晶面电子束反射射线干涉加强条件
d
2d sin
2 2
2
cos
2
k
. . . . . . . . 2. . . . . . . . . . . . . . . .
d sin
d sin k k 1, 50
镍晶体
2
d 2.1Βιβλιοθήκη 1010 m10p
h
2
E mc h h 德布罗意公式 h h p mv 1）若 v c 则 m m0 注 意
德布罗意
1971年，尼加拉瓜发行了一套十张邮票，题为“改变世界面貌的十个数学公式”，其中第八张邮票中写着这样一个公式：λ=h/mv这就是著名的波粒二象性公式，也称德布罗意定律。
它描述了微观世界中一个非常奇妙的特性：在原子世界里，所有物质既是粒子，也是波！物理学家“亲王”这个公式的提出者是法国物理学家路易·德布罗意。
1892年8月15日，德布罗意出生于法国塞纳河畔的蒂厄浦，他是法国一个贵族家庭的次子，并拥有一个显赫的贵族头衔——“亲王”。
德布罗意家族自17世纪以来，一直在法国的军队、政治、外交等方面颇具盛名。
德布罗意的祖父是法国著名的政治家和国务活动家，1871年当选法国国民议会下院议员，同年担任法国驻英国大使，后来还担任过法国总理和外交部长等职务。
德布罗意从18岁开始，就在巴黎大学学习理论物理。
因为打算以后按其家族传统从事外交活动，他同时兼修历史，并且于1909年获得历史学位。
之后，贵族家庭出身的德布罗意又研究起了中世纪史，据说是因为中世纪史中有着很多神秘的东西吸引着这位年轻人。
第一次世界大战期间，德布罗意在军队服役，并被分配到无线电台工作。
德布罗意的哥哥是个著名的X射线物理学家，拥有设备精良的私人实验室。
1919年，德布罗意突然又一次对物理产生了兴趣。
他来到他哥哥的实验室，开始研究X射线。
1919年是一个科学界急剧动荡着的年代，量子概念早在十几年前就已由普朗克提出，而后被爱因斯坦加以发展。
爱因斯坦指出，光不但是一种电磁波，而且也是一种粒子，即“光量子”。
这是一个很新颖的观点，但并没有完全被当时的物理学界所接受。
从他哥哥那里，德布罗意了解到了普朗克和爱因斯坦关于量子的工作，并产生了浓厚的兴趣。
经过一翻思想斗争之后，德布罗意终于放弃了早先决定的研究历史的计划，选择物理学作为自己的事业。
1920年，他来到了法国物理学界的一派宗师朗之万门下读研究生，希望通过物理学研究获得博士学位。
从此，德布罗意走出了一道足以让任何传奇都黯然失色的人生轨迹。
德布罗意关系式的引出
德布罗意关系，指的是路易·德布罗意创立的方程，表达式为：
λ=hu/mvu=h/mv=h/p。
该式以著名的质能方程和普朗克方程为基础，进行替换和变形得到结果。
该式推导过程如下：
1、引入爱因斯坦著名的质能方程：E=mc^2。
式中，E表示能量，m表示质量，c表示真空光速。
2、引入普朗克公式：E=hv'。
式中，E表示能量，h表示普朗克常数，v'表示频率。
3、德布罗意认为，粒子与波具有相同的特性（即在物质世界的量化描述中二者可以被视作是同一的），故假设二者的效能是等同的：mc^2=hv'。
4、由于实际粒子并非以真空光速运动，故德布罗意用群速度v乘相速度u 代替c的平方，得到：mvu=hv'。
5、通过等式λ，德布罗意用相速度除以波长（u/λ）代替频率v'，得到波长与粒子速度的关系式：mvu=hu/λ。
6、最后得到德布罗意关系表达式：λ=hu/mvu=h/mv=h/p。
第二十二章量子力学基础§22-1德布罗意假设
三.波函数和概率波
1.玻恩假定 ( r , t ) 概率振幅 2 * ( r , t ) ( r , t )( r , t ) 2.自由粒子平面波波函数 经典的平面波为 由图
概率密度
z 波面
, p k 利用 x i ( t ) p r 得 ( r , t ) Ae
由归一化 : C
能量本征值
由
2＝2mEn k 2
n , k L
n 1,2,3,
得
2 2 n2 , En 2mL2
• 能量取分立值（能级）能量量子化
2mL 用不确定关系:△x=L, ∴△p~h/L
E=p2/2m~(△p)2 /2m~h2/2mL
• 当 n 时，量子化连续 2 2 0 — 波动性 • 最低能量(零点能) E 1 2
2
i E
p 2 2 x
2
(1887~1961)
奥地利物理学家,波动力学创始人, 1933年获诺贝尔物理学奖。
p 由E i 2 2m t 2m x
2 2 2
这就是自由粒子波函数所遵从的微分方程
p 若不是自由粒子,则 E U 2m 2 2 i U 2 t 2m x
U(x)
2 n n ( x) sin x L L
n En 2 2mL
2 2 2
E4
4
E3
3
2
1
o L x为a 的无限深势阱中,一个粒 子的状态为 f ( x ) sinx sin 2x 多次测量其能量。问 每次可能测到的值和相应概率？ 能量的平均值？ 解：已知无限深势阱中粒子的
解：
德布罗意波长公式：描述物质波波长的公式
德布罗意波长公式：描述物质波波长的公式引言德布罗意波长公式是描述物质波波长的重要公式，由法国物理学家路易·德布罗意于1924年提出。
这一公式揭示了物质粒子在运动过程中具有波动性质的本质，对量子力学的发展起到了重要的推动作用。
本文将介绍德布罗意波长公式的推导过程、应用领域以及实验验证，帮助读者更好地理解这一重要概念。
一、德布罗意波假设的提出德布罗意波假设是德布罗意波长公式的理论基础。
根据这一假设，任何粒子，无论是光子还是物质粒子，在运动过程中都具有一定的波动性质。
德布罗意根据爱因斯坦的光量子假设，推测物质粒子也可能存在一种类似的波动性质。
二、德布罗意波长公式的推导德布罗意根据波动光学的理论，将光的波动性质与粒子的运动关联起来，建立了德布罗意波长公式。
这一公式描述了物质粒子的波长与其动量之间的关系。
公式的推导过程如下：1. 根据波动光学的理论，光的波长与频率之间存在以下关系：λ= c / f，其中λ表示波长，c表示光速，f表示频率。
2. 根据相对论的质能关系E = mc^2，其中E表示能量，m表示物质粒子的质量，c表示光速。
3. 根据爱因斯坦的能量动量关系E = hf，其中h表示普朗克常数，f表示光的频率。
4. 将第2步和第3步的公式联立，得到mc^2 = hf，进一步推导可得m = h / cλ，其中λ表示物质粒子的波长。
由此可见，德布罗意波长公式的推导基于光的波动性质、质能关系以及能量动量关系，为描述物质粒子的波动性质提供了理论基础。
三、德布罗意波长公式的应用德布罗意波长公式的应用涉及到多个领域，包括量子力学、物理化学、材料科学等。
1. 量子力学：德布罗意波长公式为量子力学提供了重要的理论基础。
根据这一公式，我们可以计算出物质粒子的波长，从而揭示其波动性质。
在量子力学的研究中，德布罗意波长公式常用于描述电子、中子、原子等微观粒子的波动性质。
2. 物理化学：德布罗意波长公式在物理化学领域的应用十分广泛。
德布罗意波长计算公式
德布罗意波长计算公式
德布罗意波长计算公式是一种物理学上用来计算德布罗意波长的方法，它是一种用途广泛的物理模型，用于研究物理系统中特定物质的波动特性。
德布罗意波长是指物体在波动过程中，波动现象从一处传递到另一处时所需要的时间。
它是一种统一的概念，可以用来衡量物体波动的速度。
德布罗意波长计算公式是由意大利物理学家波拉西埃多·德布罗意于1844年提出的，公式的形式如下：德布罗意波长λ=v/f，其中v 是波的传播速度，f是波的频率。
因此，要使用德布罗意波长计算公式计算德布罗意波长，首先需要知道波的传播速度v和波的频率f，然后把它们带入到上述公式中，即可得出结果。
德布罗意波长计算公式在物理学研究中有着广泛的应用，特别是在研究高频波动时，它可以帮助我们计算出传播到另一处所需要的时间。
例如，当我们研究磁场的振动时，可以使用这种公式来计算磁场波的频率和传播速度，并从而计算出磁场波传播到另一处所需要的时间。
此外，德布罗意波长计算公式还可以用于研究声音波的波动特性，从而了解声音传播到另一处所需要的时间。
这种公式可以帮助我们
计算出声音从一处传播到另一处所需要的时间，从而帮助我们更好地理解声音的传播特性。
总之，德布罗意波长计算公式是物理学研究中一种重要的模型，它可以帮助我们计算出波动从一处传播到另一处所需要的时间，从而更好地理解物体波动的特性。
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S/ m
1. 73 39. 52 8. 94
1. 84 39. 24 9. 03
1. 94 38. 99 9. 11
2. 06 38. 70 9. 20
2. 17 38. 43 9. 29
V 0 = 10m/ s
H/m
0/( )
S/ m
1. 75 40. 81 11. 82
1. 87 40. 59 11. 90
的工作和理论的基础上, 凭借其敏锐的思维, 通过
综合运用波动学、狭义相对论等的基本原理, 一步
步建立起了关于物质波理论的基本公式的过程, 同时, 也很自然地引出了物质波的相速度和群 速
度, 并清晰地阐明了它们对应的物理意义. 由于整
个建立过程中所用的物理知识基本上都是我们在
量子力学之前的教学中介绍过的基本知识, 非 常
( 上接第 5 页)
物质波理论的基本公式为
=
h p
( 12)
3 必要的说明
在介绍完上述的建立过程后, 我们必须要 作 出以下几点说明:
( 1) 虽然德布罗意在解决关于物质波的速度 问题时提出了波包、群速度和相速度的概念, 并得 到了群速度恰好等于粒子的运动速度的结果, 但 有人认 为德布罗 意的这些 解释有点 牵强( 例如, 波包 是要 扩散 的, 这 和粒 子的 集中 存在 相 矛 盾) . 然而我们不必去纠缠此类问题, 重要的关 键 是他关于物质波的思想, 不久物质波的假设和 上
le ct ure , Dec. 12, 1929 ( h tt p: / / en. w ikipedia. org/ w iki/ M at t er_w ave)
( 上接第 8 页)
由表 3 情
形下的最佳出手角和射程非常接近, 有不少组甚至
通俗易懂, 因此如果我们在教学中用短暂的时 间
对这个建立过程作一下介绍的话, 我觉得既可 以
帮助同学理解并掌握物质波的基本假设, 又能 让 他们体会物理学各理论体系之间相互联系、前 后
贯通的关系及综合运用物理学知识的美妙结果.
2 德布罗意物质波公式的建立过程
德布罗意在 1929 年 12 月 12 日的诺贝尔 奖 获奖演讲 电子的波动性 中, 首先回顾了自 1900 年普朗克提出量子论之后 20 多年来物理学所 带 给人们的种种困惑及获得的一系列发展成果, 然 后他对自己提出的物质波思想及物质波公式的建 立过程作了系统的介绍. 他在演讲中指出: 我的 研究始终围绕着这样的思想, 对于物质和辐射( 尤 其是光) , 必须同时引入粒子的概念和波的概念, 即在任何情况下粒子的存在必然伴随着波动. 因 此, 必须首先建立起粒子运动和波动传播之间 的 对应关系 .
相同, 相差最大的也仅有 0. 04 和 0. 02m, 偏差为 1% 和 2% , 可见在对最佳出手角进行分析时可以 忽略出手角对出手高度的影响, 出手高度 可视为 独立变量.
表 3 出手高度不随 出手角而变的条件下, 最佳出手角、出手速率和出手高度间的大小关系
V0= 8. 5m/ s
H/m
0/( )
述基本公式确实得到了一系列实验的证实. ( 2) 上述建立过程中运用了经典的波函数形
式, 而在现有的经过不断完善后建立起来的量子力 学体系中, 物质波的波函数是用复数形式表示的, 如对应上述自由粒子的单色平面物质波波函数为
( x , t) = A e ih( px- Et) 同时, 还要说明物质波是概率波, 它与经典的波、 经典的波包在本质上也是不同的.
根据狭义相对性原理, 粒子在其他任何一 个 惯性系中将做匀速直线运动. 假设另有一个惯 性 系 O x y z ( 称为 S 系) , 在 S 系中粒子以速度 v = c
沿 x 轴方向运动, 根据洛伦兹变换, 在 S 系中观测 者测得的时间 t 与固有时间 t 0的关系为
t0 =
t- x/c 1- 2
生的思维达到更深刻的层面.
参考文献
[ 1] 张三慧. 大学基础物理学( 第二版) 上[ M ] . 北京: 清华大学 出版社, 2007. 4
[ 2] 黄强, 蒋达国. 抛体运动的描述[ J] . 技术物理教学, 2007, 15 ( 2) : 32~ 33
[ 3] 中国大百科全书物理学( I) [ M ] . 北 京: 中 国大百科 全书出 版社, 1987. 636
[ 1] D B Lich tenberg and J G W ills. M axim izng t he range of shot pu t. A m. J. P hy s. 1978, 46, 546~ 9
利给出群速度 U 满足关系式
c U
=
(n )
( 9)
由式( 8) 可得
c U
=
(
2-
2 0
)
=
2-
2=
0
1 n
=
1
( 10)
即波包的群速度为 U= c= v, 恰好等于粒子在 S 系中的运动速度.
在 S 系中, 运动速度为 v 的粒子对应的物质 波具有频率 和相速度 V = c2/ v. 根据量子理论的
1 引言
在一般的量子力学教材中, 如文献[ 1, 2] 等,
关于物质波假设部分一般都是介绍德布罗意在普
朗克与爱因斯坦的光量子论及玻尔的原子理论的
启发下, 通过类比的方法, 提出了实物粒子也具有
波粒二象性, 并直接给出了实物粒子对应的物 质
波的频率、波长与 粒子能量、动量 关系的 基本 公
式, 即
E= h , p= h
=
v c
=
=
2
1-
0 2
( 8)
表明不同频率的波在真空中具有不同的折射 率, 物质波即使在真空中传播也会发生色散. 德布罗
意指出, 对于速度为 v= c 的粒子, 并非具有确定
的 值, 而是处于 + 的限制范围内, 对应的
物质波则是由频率介于 + 的一系列单色波 叠加组成的波包. 波包的传播速度称为群速度, 瑞
基本关系, 即能量与频率的正比关系 E= h 和狭 义相对论的基本关系可得, 在 S 系中, 粒子的能量 为 E= h = mc2( m 为粒子的相对论质量) , 粒子的
动量为
p=
mv =
mc2 c2 / v
=
E V
=
h V
=
h
( 11)
式中的 就是物质波的波长. 因此得到了德布罗意
( 下转第 11 页)
( 4)
因此, 对 S 系中的观测者而言, 粒子对应的物
质波的波动式将为
s in 2
0
1-
2
t-
xc
0
1- 2
( 5)
表明该波的频率为
=
0
( 6)
1- 2
沿 x 轴方向传播的相速度为
V = c = c2
( 7)
v
由上面( 6) 、( 7) 两式可得波在真空中具有的折射
率, 即
n=
c V
=
c c2/ v
( 1)
这样的过渡虽然比较自然也容易被读者接受, 但 对于稍作深入思考的人来说, 物质波的速度将 成 为相当困扰的新问题 ( 笔者就经常被 学生问及) , 即根据物质波的频率 和波长 可以得到物质波
的速度为
u=
=
h h/
=
E p
( 2)
进一步将狭义相对论的动力学关系
E = h = mc2 和 p = mv
4
物理与工程 V ol. 21 No. 3 2011
教学研究
德布罗意物质波公式的建立
许亚娣 ( 上海交通大学物理系, 上海
( 收稿日期: 2010 12 31)
20024 0)
摘要 关键词
本文根据德布罗意在诺贝尔奖获奖典礼上的演讲稿 电子的波动性 的内容, 系统介绍 了德布罗意通过综合运用波动学、狭义相对论等的基本原理, 一步步建立起了关于物 质波理论的基本公式的过程, 同时自然地引出了物质波的相速度和群速度, 并清晰地 阐明了它们对应的物理意义. 德布罗意物质波; 相速度; 群速度; 波长; 动量
41. 24 2. 22 16. 76
V 0 = 14m/ s 0/ ( ) H / m S/ m 42. 68 1. 76 21. 69 42. 54 1. 87 21. 80 42. 40 1. 99 21. 90 42. 27 2. 11 22. 00 42. 13 2. 22 22. 11
参考文献
在此只介绍最简单的情形 自由运动粒子
的物质波. 首先在自由运动的粒子上建立一个固有坐标
系 O x 0 y 0 z 0 ( 称为 S0 系) , 在此坐标系中与粒子相 应的物质波也应是 固定 的, 即波在任何一点的 相位是 相同 的, 其 波动 式 ( 即振 动式) 可表 示 为 sin2 0 ( t0 - 0 ) , 其中 t0 是粒子运动的固有时; 0 是一个常数.
11
物理与工程 V ol. 21 No. 3 2011
5 结论
由于运用不同 的坐标系, 物理量的表 示形式 各不相同, 注意到不同坐标表示起点上的差别, 注 意到运算形式上的差别, 识读物理量的不同表 示 形式并理解所表达的物理意义, 能帮助学生理 解 不同坐标系的特征意义和掌握在何种情形下采用 何种坐标系, 不仅使学生的思维得到扩展, 也使学
1. 98 40. 34 12. 02
2. 10 40. 13 12. 10
2. 21 39. 95 12. 18
V 0 = 12m/ s
0/ ( ) H/ m
S/ m
41. 95 1. 76 16. 35
41. 76 1. 87 16. 46
41. 59 1. 99 16. 56