组合数学 第四章7指数型母函数
母函数与指数型母函数
性质5：若bk=kak，则
B( x ) xA '( x ).
性质6：若bk=ak/(1+k)，则 1 x B ( x ) A( x )dx. x 0 例7 已知 A( x ) 1 x x 2 x n 则
1 , 1 x
B( x) x 2 x 3 x
若信号输入的序列u0,u1,…的母函数为U(x)，输出的 信号序列v0,v1,…的母函数为V(x)，则
V ( x ) (1 x x 3 )U ( x ) P ( x )U ( x ),
其中
P ( x) 1 x x 3 被装置的特性所确定，称为该装置的传递函数。
例2 有红球两个，白球、黄球各一个，试求有多少种 不同的组合方案。 设r，w，y 分别代表红球，白球，黄球。
性质4：若bk=ak+ak+1+…，则 A(1) xA( x ) B( x) . 1 x 1: b0 a0 a1 a2 A(1) x: b1 a1 a2 a3 A(1) a0 x2: b2 a2 a3 a4 A(1) a0 a1 +)
类似还可以得到 2 C (n,1) 2 C(n, 2)
n C(n, n) n(n 1)2
2
n 2
.
还可以类似地推出一些等式，但通过上面一些例子 已可见函数(1+x)n在研究序列 C(n,0),C(n,1),…,C(n,n)的关系时所起的作用。 定义：对于序列a0,a1,a2,…，函数
a1 a3 a5 a7 0, a0 1, a2 C (8, 2) 28,
a4 C (8,4) 70, a6 C (8,6) 28, a8 1.
指数母函数
指数母函数指数母函数是概率论中一个重要的概念，它在组合学、统计学、以及算法设计中具有广泛的应用。
本文将介绍指数母函数的定义、性质以及一些典型的应用场景。
首先，让我们来了解一下指数母函数的定义。
在概率论中，我们通常通过概率分布来描述一个随机变量的性质。
指数母函数是一种生成函数，可以用来完整地描述一个非负随机变量的概率分布。
对于一个非负随机变量X，指数母函数定义为G_X(t) = E[t^X] = ∑_(k=0)^(∞) P(X=k)t^k其中，E[•]表示数学期望操作，P(X=k)表示随机变量X取值为k的概率。
通过指数母函数，我们可以方便地计算出随机变量的各种矩、生成函数以及其他相关特征。
指数母函数具有一些重要的性质。
首先，对于独立同分布的随机变量序列X_1, X_2, ... , X_n，它们的指数母函数的乘积等于它们各自的指数母函数的乘积。
也就是说，如果我们知道了每个随机变量的指数母函数，那么我们就可以得到它们共同的指数母函数。
其次，通过指数母函数的导数，我们可以计算出随机变量的矩。
具体来说，对于指数母函数G_X(t)，它的k阶导数G_X^(k)(0)可以表示随机变量X的k阶矩。
这个性质在数理统计中经常被使用，特别是在估计参数、构造置信区间等问题中。
除了基本的性质之外，指数母函数还有一些典型的应用场景。
一个典型的例子是在组合学中的应用。
对于一个集合，我们可以用一个0-1序列来表示它的子集。
对于一个具有n个元素的集合，我们可以定义一个指数母函数，它的每一项表示集合的各个子集的个数。
这样，我们就可以通过指数母函数来计算出子集个数的期望值、方差等统计量。
指数母函数在算法设计中也有广泛的应用。
在某些问题中，我们需要计算出满足一定条件的排列或者子集的个数。
通过构造相应的指数母函数，我们可以很方便地计算出这些排列或者子集的个数。
这个方法在算法设计中被广泛使用，特别是在动态规划、组合优化等领域。
综上所述，指数母函数是概率论中一个重要的工具，它可以用来描述非负随机变量的概率分布。
母函数（生成函数）
母函数（⽣成函数）介绍母函数是组合数学中相当重要的⼀个知识点，可以⽤来解决⼀些排列组合问题，还有所有的常系数线性齐次递推问题。
如果系数不是常数，需要根据具体情况进⾏处理。
具体的内容可以看组合数学相关书籍或者，由于⼤佬总是想当然地把别⼈当成⼤佬，⼀些内容对（像我这种）蒟蒻来说不是很友好，在这⾥讲⼀下母函数的基础。
（研究母函数时，钦定|x|<1）,这样，由等⽐数列求和公式有：11−x=∑∞i=0x i=1+x+ (x)11−kx=∑∞i=0k i x i=1+kx+...+k∞x∞1.普通型母函数。
假设有⼀个数列a,那么它的母函数其实就是⼀个关于x的多项式，x n的系数为a n，对于已知通项的数列，其母函数可以直接写出来。
⽽对于未知的数列，主要分为两类：递推型和组合型。
递推型就是利⽤错位相消，举个栗⼦：a n=3a n−1+10a n−2,a0=1,a1=2移项，得a n−3a n−1−10a n−2=0，设a n的母函数为G(x)G(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3...−3xG(x)=−3a0x+(−3)a1x2+(−3)a2x3...−10x2G(x)=−10a0x2+(−10)a1x3三⾏相加，可以发现等式右侧除了第⼀⾏的第1,2项和第⼆⾏的第1项外全消掉了。
所以我们可以得到(1−3x−10x2)G(x)=a0+a1x−3a0x=1−x，即G(x)=1−x1−3x−10x2，⽣成函数就求出来了，那如果我们还要求an的通项呢？对于这种东西，我们可以把他化成k1x−A+k2x−B这种形式，其中A和B由分母的因式分解唯⼀确定，然后k1,k2可由待定系数法解得。
然后对于kx−A,总可以化成k′∗11−Nx，就是k′∑∞i=0N i x i，找出x k的系数就是a n，如果母函数拆开成多个该类分式的话各部分相加就好。
具体计算就不算了。
PS:⼀部分⾮齐次线性递推其实也可以这样解，⽐如a n−3a n−1−10a n−2=f(n)，按照上述⽅法错项后会剩下⼀个等⽐数列和前⼏项余项。
组合数学第四篇
证 (1)C1(2) C…2 (n) C即n
1个 2个
n个
_∧_
_∧_
____∧____
/\
/\
/
\
(·)…(·)(··)…(··)… (·…·)…(·…·)
\______ ______/ \/
C1个
\________ ________/ \/
C2个
\________ ________/ \/
Cn个
令 P={p1,p2,…,pm},(是集合不一定是群.)
令解G)ii=≠Zj,kGpi∩i,i=G1j=,2Φ,…. G,m1+.GG2i包+…含·+G于m·G包(G含·关于于GZ.k的陪集分
-1
另一方面，任意P∈G. k→Paj→Pkj
PPj ∈-1 Zk,
P∈ZkPj=Gj.
4.4 Burnside引理
(2)k不动置换类 设G是[1,n]上的一个置换群。G≤Sn.
K∈[1,n]G中使k保持不变的置换全体，称 为k不动置换类，记做Zk.
4.4 Burnside引理
定理 置换群G的k不动置换类Zk是G的一个
子群。
封闭
性：k→k→k,k P1 P2 k. P1P2 结合性：自
然。
有单位元：G的
单位元属于Zk.
含目标集元素k的在G作用下的等价类也 称为含k的轨道。
4.4 Burnside引理
定理 设G是[1,n]上的一个置换群，Ek是[1,n]在G 的作用下包含k的等价类(轨道)，Zk是k不动置换 类。有|Ek||Zk|=|G|.
证 设|Ek|=m,Ek={a1(=k),a2,…,am},于是存在pi满足 a1→pi ai,i=1,2,…,m.
母函数
母函数
定义对给定序列构造一个函数，称为序列的母函数。
其中，序列只作为标志用，称为标志函数。
派生1：普通型母函数
当标志函数为时，即母函数为，称这类母函数为普通型母函数，可记作。
定理1：
设从元集合中取个元素组合，若限定元素出现次数的集合为，则该组合数序列的母函数为:
常用到的普通型母函数有：
例题：求位十进制正数中出现偶数个的数的个数
设表示位十进制正数中出现偶数个的数的个数，表示位十进制正数中出现奇数个的数的个数，不难得出：设序列，的母函数分别为：
由得：
再由得：
由、可得：
更进一步的，
即:
派生2：指数型母函数
当标志函数为时，即母函数为，称此类母函数为指数型母函数，可记作。
定理2：
从多重集中选区个元素排列，若元素出现的次数集合为，则该排列数序列的母函数为：
所谓多重集（multiset）之于集合（set），英文写出来差不多就懂了。
函数中，除以是因为排列中这个相同元素的先后是不考虑的。
常见的指数型母函数（的Tylor展开式）：
例题：求由这个数字组成的位数字的个数（每个数字出现次数可以为，且出现的次数为偶数）。
设满足条件的位数字的数目为（特别地，规定），则序列的母函数为：
故。
附录：
推荐的文档组合数学--母函数与递推朱全民。
组合数学课件_lcq
第3章 容斥原理
3.1 容斥原理 3.2 重集r-组合 3.3 错排问题 3.4 有限制排列 3.5* 一般有限制排列 3.6* 广义容斥原理 本章小结 习题
第4章 母函数
4.1 4.2 4.3 4.4 母函数的基本概念 母函数的基本运算 在排列组合中的应用 在组合恒等式中的应用
第2章 鸽笼原理
例6、求出从8个计算机系的学生、 9 个数学系的学生和10个经济系的学生 中选出两个不同专业的学生的方法数。
1.1.2 乘法法则
例 题
解：由乘法法则有 选一个计算机系和一个数学系的方法数为8×9=72 选一个数学系和一个经济系的方法数为9×10=90 选一个经济系和一个计算机系的方法数为10×8=80 由加法法则，符合要求的方法数为 72+90+80=242
例 题
所有数字互不相同的四位偶数？
解：所求的是四位偶数，故个位只能选2或4，有两种选 择方法；又由于要求四位数字互不相同，故个位选中后， 十位只有四种选择方法；同理，百位、千位分别有三种、 两种选择方法，根据乘法法则，四位数互不相同的偶数 个数为 2×4×3×2=48
§1.1 乘法法则例6
§1.1 加法法则和乘法法则
§1.1 重集的概念
§1.1 加法法则和乘法法则
重集的概念
1.1.3 计数问题的分类
• 有序安排或有序选择 ——允许重复/不允许重复 • 无序安排或无序选择 ——允许重复/不允许重复
• 标准集的特性：确定、无序、 相异等。 • 重集：B={k *b , k *b ,…,
1 1 2 2
kn*bn}，其中：bi为n个互不相 同的元素，称 ki为bi的重数， i=1,2,…,n，n=1,2,…,∞， ki=1,2,…,∞。
组合数学之母函数形式Polya定理及其应用
母函数形式Polya定理的应用场景
排列组合问题
母函数形式Polya定理可以应用于 排列和组合问题的计数，通过求 解代数方程得到组合数的通Polya定理可以应用于 生成函数的研究，通过求解代数 方程得到序列的通项公式。
离散概率论
母函数形式Polya定理可以应用于 离散概率论的研究，通过求解代 数方程得到概率分布的通项公式。
后续研究
自Polya定理提出以来，许多数学家对其进行了深入研究 和完善，进一步拓展了其在组合数学中的应用。
Polya定理的重要性
组合计数问题的解决
Polya定理为解决复杂的组合计数问题提供了一种有效的方法。通过使用该定理，可以快 速计算出满足一组约束条件的解的个数。
数学其他领域的应用
Polya定理不仅在组合数学中有广泛应用，还涉及到其他数学领域，如概率论、统计学和 图论等。该定理在这些领域中的应用有助于解决一系列复杂的问题。
04
Polya定理的应用
在组合数学中的应用
1 2
组合计数
Polya定理可以用于解决组合计数问题，例如计 算给定集合的所有子集的数量或排列的数量。
组合优化
在组合优化问题中，Polya定理可以用于寻找最 优解，例如在旅行商问题中寻找最短路径。
3
组合概率
在概率论中，Polya定理可以用于计算事件的概 率，例如计算多项式系数或排列组合的概率。
计数问题
组合数学中的计数问题通常涉及到在给定条件下，计算满足特定要求的元素个数。
Polya定理的历史背景
母函数的发展
母函数理论的发展可以追溯到18世纪，当时数学家开始研 究组合计数问题。随着时间的推移，母函数逐渐成为组合 数学中一个重要的分支。
Polya定理的提出
组合数学(第二版)母函数及其应用
考虑座位号),其中,甲、乙两 班最少1张,甲班最多5张,乙班最
多6张;丙班最少2张,最多7张;丁班最少4张,最 多10张.可有多
少种不同的分配方案?
母函数及其应用
母函数及其应用
【例 2.1.5】 从n 双互相不同的鞋中取出r 只(r≤n),要求
其中没有任何两只是成对 的,共有多少种不同的取法?
母函数及其应用
(1+x)n .
【例 2.1.2】 无限数列{1,1,…,1,…}的普母函数是
母函数及其应用
说明
(1)an 的非零值可以为有限个或无限个;
(2)数列{an}与母函数一一对应,即给定数列便得知它的
母函数;反之,求得母函数则数列也随之而定;
(3)这里将母函数只看作一个形式函数,目的是利用其有
关运算性质完成计数问题, 故不考虑“收敛问题”,即始终认
红红、黄黄、蓝蓝、红黄、黄红、红蓝、蓝红、黄蓝、 蓝
黄.其它情形依此类推.
母函数及其应用
这里需要说明的是:
(1)在例2.1.3中,利用普母函数可以将组合的每一种情况
都枚举出来,但是对排列问 题,指母函数却做不到,只能对排列
进行分类枚举.正如例2.3.1这样,项ryb 的系数6说 明红、蓝、
黄球各取一个时,有6种排列方案,但每一种方案具体是什么,
(每个数字可重复出现), 要求其中3,7出现的次数为偶数,1,5,9
出现的次数不加限制.
母函数及其应用
【例 2.3.4】 把上例的条件改为要求1、3、7出现的次数
一样多,5和9出现的次数不 加限制.求这样的n 位数的个数.
解 设满足条件的数有bn 个,与例2.1.6的分配问题类似,即
将n 个不同的球放入标号 为1、3、5、7、9的5个盒子,其中
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
$4.7 解的分析
从 x的4 系数可知，这8个元素中取4个组
便比较复杂。先考虑n 个元素的全排列，若 n个元素没有完全一样的元素，则应有 n!种排 列。若考虑 ni 个元素 ai的全排列数为 ni! ，则真正不同的排列数为
n! n1!n2! nk !
$4.7 解的分析
先讨论一个具体问题：若有8个元素，其中
设 重a复1 3次， 重a复2 2次， 重复a33次。从中取r 个组合，其组合数为 ，则序cr列 c0 , c1, c2 , c3, c4 , 的c5,母c6函, c7数为
350 x6 560 x7 560 x8 (4 7 4)
6!
7!
8!
$4.7 指数型母函数
定义：对于序列p0, p1, p2, ，函数
Ge (x)
p0
p1 1!
x
p2 x2 2!
p3 x3 3!
pk xk k!
称为是序列p0, p1, p2, 的指数型母函数
$4.7 指数型母函数
x4 4!
)2 (1 x x2 x3 2! 3!
)3
$4.7 举例
由于
ex 1 x x2 x3 ), 2! 3!
1 x2 x4 1 (ex ex ).
2! 4!
2
Ge (x)
1 (ex 4
ex
)2 e3x
1 (e2x 2 e2x )e3x 4
$4.7 举例
1 (e5x 2e3x ex ) 4
x1x33 x2 x33 x12 x32 x1x2 x32 x22 x32 x13x3
$4.7 解的分析 x12 x2 x3 x1x22x3 x13x3 x12x22
即 a1a3a3a3, a3a1a3a3, a3a3a1a3, a以3a此3a类3a1推, 。
故解，其不同的排列数为
7!
8!
9!
10!
由此可见满足条件的5位数共215个。
$4.7 举例
例3: 求1，3，5，7，9五个数字组成的n位数
的个数，要求其中3，7出现的次数为偶数，
其他1，5，9出现次数不加限制。
设满足条件的r 位的个数为 ar ，则序列 a1, a2 , a3, 对应的指数型母函数为
Ge
(x)
(1
x2 2!
(1 x 1 x2 1 x3) 26
1 3x 9 x2 14 x3 35 x4 17 x5 2 3 12 12
35 x6 8 x7 1 x8 72 72 72
(4 7 3
1! 3 x 9 x2 28 x3 70 x4 170 x5 1! 2! 3! 4! 5!
350 x6 560 x7 560 x8 (4 7 4)
$4.7 举例
x 5 x2 3x3 8 x4 43 x5 43 x6
2
3 24 48
17 x7 1 x8 1 x9 1 x10 48 288 48 288
x 5 x2 18 x3 64 x4 215 x5 645 x6
1! 2! 3! 4!
5!
6!
1785 x7 140 x8 7650 x9 12600 x10
综合上述可得如下两个结论：
(a) 若元素 a1有 n1个，元素 a2有 n2个， ……，元素ak有nk 个，由此；组成的n个元素
的排列，不同的排列总数为
n! n1!n2! nk ! 其中 n n1 n2 nk
$4.7 指数型母函数
(b) 若元素 a有1 个n1 ，元素 a有2 n个2 ，
……，元素 a有k n个k ，由此；组成的n个元素
合，其组合数为10。这10个组合可从下面 展开式中得到
(1 x1 x12 x13 )(1 x2 x22 )(1 x3 x32 x33 ) [1 (x1 x2 ) (x12 x1x2 x22 )
(x13 x12 x2 x1x22 ) (x13x2 x12 x22 ) x13x22 ] (1 x3 x32 x33 )
$4.7 指数型母函数
为了便于计算，利用上述特点，形式地
引进函数
Ge
(x)
(1
x 1!
x2 2!
x3 )(1 3!
x 1!
x2 ) 2!
(1 x x2 x3 ) 1! 2! 3!
$4.7 指数型母函数
承上页
Ge (x)
(1 2x 2x2 7 x3 5 x4 1 x5 ) 6 12 12
$4.7 举例
设满足上述条件的r位数为 ，a序r 列
a1, a2 ,的a10指数型母函数为
Ge
(x)
(x 1!
x2 )(1 2!
x)(1
x 1!
x2 2!
x3 )
3!
(1 x2 x4 ) 2! 4!
(x 3 x2 1 x3 )(1 x x2 2 x3
22
3
7 x4 1 x5 x6 x7 ) 24 8 48 144
$4.7 举例
例1：求由两个a ，1个b ，2个c 组成的
不同排列总数。 根据结论一，不同的排列总数为
n 5! 30 2!四个数字组成的五 位数中，要求数1出现次数不超过2次，但 不能不出现； 2出现次数不超过1次； 3出 现次数可达3次，也可以不出现；4出现次 数为偶数。求满足上述条件的数的个数。
6!
7!
8!
$4.7 指数型母函数
从(4-7-3)式计算结果可以得出：取一个的
排列数为3，取两个的排列数为 2 9 /取2 3个9,
的排列数为
3!，1取4 /43个 的28排列数
为 4!3，5 /如12此等70等。把(4-7-3)式改写成
下面形式便一目了然了。
Ge (x)
1! 3 x 9 x2 28 x3 70 x4 170 x5 1! 2! 3! 4! 5!
4!( 1 1 1 1 1 1 1!3! 1!3! 2!2! 1!1!2! 2!2! 3!1!
1 1 1 1) 2!1!1! 1!2!1! 3!1! 2!2!
4!( 4 3 3 ) 4!4 2!2!3 3!3 2!3!
3! 2!2! 2!
2!2!3!
16 18 36 70
$4.7 解的分析
其中4次方项有
x1x33 x2 x33 x12 x32 x1x2 x32 x22 x32 x13x3 x12 x2 x3 x1x22 x3 x13x3 x12 x22
上式中 表达了从8个元素( a1,各a33个, a2 2个)中取4个的组合。例如 x1x为33 一个 ，a13个 的组a3合， 为两x12个x32 ，两个a1 的组合，a3 以此类
$4.7 指数型母函数
$4.7 问题提出
设有n个元素，其中元素a1 重复了n1 次，元 素 a2重复了 n2次，…，ak 重复了nk 次，
n n1 n2 nk
从中取r个排列，求不同的排列数
如果 n1 n2 nk 1 ，则是一般的
排列问题。
$4.7 问题提出
现在由于出现重复，故不同的排列计数
$4.7 解的分析
承前页
1 (1 x1 x2 x3 ) (x12 x1x2 x22 x1x3 x2 x3 x33 ) (x13 x12 x2 x1x22 x12 x3 x1x2 x3 x22 x3 x1x32 x2 x32 x33 ) (x1x33 x2 x33 x12 x32 x1x2 x32 x22 x32 x13x3 x12 x2 x3 x1x22 x3 x13x3 x12 x22 )
1 ( 5n xn 2 3n xn xn )
4 n0 n!
n0 n! n0 n!
1 (5n 2 3n 1) xn .
4 n0
n!
an
1 4
(5n
2 3n
1).
小测验
1. 在1到9999之间，有多少个每位上数字 全不同而且有奇数构成的整数。 2.在由n个0及n个1构成的字符串中，任意 前k个字符中，0的个数不少于1的个数的字 符串有多少？ 3.设 n=pa11 pa22 …pamm ,p1、p2、…、pm是m个不 同的素数，试求能整除尽数n的正整数数目.
中取r个排列，设其不同的排列数为 p。r 则 序列 p0 , p1, p的n 指数型母函数为
Ge
(x)
(1
x 1!
x2 2!
x n1 )
n1!
(1 x x2 xn2 ) (1 x x2 xnk )
1! 2!
n2!
1! 2!
nk !
$4.7 指数型母函数
与(2)中所用的方法相比，可以看出指数 型母函数在解决有重复元素的排列时的优 越性。
推。
$4.7 解的分析
若研究从中取4个的不同排列总数，以
x12 x32 对应的两个两个的不同排列为例，其
不同排列数为
4! 6 2!2! 即 a1a1a3a3, a1a3a1a3, a3a1a3a1, a1a3a3a1, a3a3a1a1, a3a1a1a3, 六种。同样，1个a1 3个 a3 的不同排列数为4! 4 3!