实变函数04级期末考试题(A)(解答)

3、Rn 中的集合 E 是 Lebesgue 可测集的卡氏定义（即 C.Caratheodory 定义）
答：设 E Rn ，如果对任意T Rn ，总有 m*T m*(T E) m*(T Ec )
则称 E 为Rn 中的 Lebesgue 可测集，或称 E 是 Lebesgue 可测的。
E
E
即 lim n
fn (x) f (x) ]dx 0 ，
E
从而
0 lim
n E
fn (x)

f
(x)
]dx

lim
n
E
fn (x) f (x) ]dx 0
故 lim n
fn (x) f (x) dx 0 。
E
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fn (x)
fn
(
x)


En
(
x)
，由题设知
lim
n
fn (x)
f
(x)
a.e. 于 E （事实上x E ，存在n0 ，
当n n0 时，总有 x En ，从而 En (x) 1，于是 fn (x) fn (x) En (x) fn (x) 。）
又 fn (x) fn (x) En (x) fn (x) F (x) ， F(x) 在 E 上 Lebesgue 可积
n
f (i ) f (i ) 。
i 1
则称 f (x) 是有界闭区间[a,b] 上绝对连续函数。
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------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
Fk

F。
2、证明：Rn 中互不相交的开区间所构成的集族必为至多可数集。 证明：记 E 为Rn 中互不相交的开区间所构成的集族，对任意 I E ，由有理点的稠密性，I 中必存在 有理点，取其中的一个有理点记为rI I ，并记 B {rI I E} Qn ，于是 B 必为至多可数集。 作 E 到 B 的映射 如下：
E
证明：（1）由可测函数的运算性质得 Fn (x) fn (x) f (x) fn (x) f (x) 是 E 上可测函数，
又 fn (x) f (x) fn(x) f (x) ，从而 Fn (x) 0 ，
所以 Fn (x) fn (x) f (x) fn (x) f (x) 在 E 上非负可测。
（2）由题设
lim
n
Fn
(
x)

2
f (x)
，再由 Fatou 引理得
2 f (x)dx lim Fn (x)dx lim [ fn (x) f (x) fn(x) f (x) ]dx
E
E n
n E
2
f (x) dx lim n
fn (x) f (x) ]dx ，
中的一列单调递增的闭集{Fk
} k 1
，使得 F


k 1
Fk
。
证明：因为
F
为Rn
中的 F
集，所以一列闭集{Fk
} k 1
，使得

F


k 1
Fk
k
取 Fk


i1
Fi
，由闭集的性质知 Fk 是闭集，且{ Fk }单调递增

k


k 1
Fk

(
k 1 i1
Fi
)


k 1
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
答：设 E 是 Lebesgue 可测集， fn (x) (n 1，2 ， ) 为 E 上的非负可测函数，若{ fn (x) }是单调递增
的，记
f
(x)

lim
n
f
n
(
x)
，则
lim
n
fn (x)dx
f (x)dx 。
E
E
2、Rn 中开集的结构定理
答：Rn 中的任一非空开集总可表示成Rn 中至多可数个互不相交的半开半闭区间的并。 （或Rn 中的任一开集或为空集或可表示成Rn 中至多可数个互不相交的半开半闭区间的并。）
0 y

y x


} ，令
F
(
x,
y)

f( 0,
x,
y),
(x, D
，
(x, y) D
由题设易知 F (x, y) 也是 R2 上的非负可测函数，于是，由非负可测函数的 Fubini 定理

x


dx f (x, y)dy dx F(x, y)dy F(x, y)dxdy

证明：因为 (, ) [n, n]，而 f (x) 是[n, n] 上的可测函数， n1 所以 由可测函数的性质得 f (x) 在(, ) 上也可测。
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于是由积分的惟一性和 L 积分与 R 积分的关系得

[0, ]
f (x)dx
sin xdx (R)
[0, ]
sin xdx
( cos x)
0
2。
0
得分 评阅人
四、解答题（共 6 小题，每题 10 分，共 6×10 = 60 分）

1、设 F
为Rn
中的 F
集，证明：必存在 R n
所以 由 Lebesgue 控制收敛定理，并注意到 fn (x)dx fn (x) En (x)dx fn (x)dx 可得
E
E
En
lim
n
f
n
(
x)dx

lim
n
fn (x)dx
f (x)dx 。
En
E
E
6、设 E 是 Lebesgue 可测集， fn (x) (n 12 ) ， f (x) 都是 E 上的 Lebesgue 可积函数，若
共 5 小题，每题 3 分，共 5×3=15 分）
1、可数个可数集的并集是可数集。
（ 对）
2、可测集 E 上的非负可测函数必 Lebesgue 可积。
（ 错）
3、Rn 上全体 Lebesgue 可测集所组成的集类具有连续势。
（错）
4、非空开集的 Lebesgue 测度必大于零。
（对）
5、若 fn (x)（n 1 ，2 ，
:E B I (I ) rI
由于 E 中任意两个不同的 I1 和 I 2 不相交，所以rI1 rI2 ，于是 是 E 到 B 的单射（实际上还是一一映射）， 所以 E B Qn ，故 E 也是至多可数集。
3、设 f (x) 是(, ) 上的实值函数，且 f (x) 在(, ) 上的任一有限区间上都可测，则 f (x) 在 (, ) 上也可测。
0
0


R2




dy F(x, y)dx dy f (x, y)dx 。


0
y

5、设 E
是Rn
中的可测集，若（1） E


k 1
Ek
，其中 Ek
为可测集， E1

E2

；
（2） f (x) ， fn (x) (n 12
) 都是 E 上的可测函数，且lim n
得分 评阅人
三、计算题（共 1 题，共 1×10 = 10 分）
设
D0
为[0,
]中的零测集，
f
(x)

sin
e
x3
x, ,
x D0 x D0
，求
f (x)dx 。
[0, ]
解：由题设 f (x) sin x ，a.e. 于[0, ]，而sin x 在[0, ]上连续，
4、用 Fubini 定理证明：若 f (x, y) 为R2 = (, +) (, +) 上的非负可测函数，则

dx
x
f (x, y)dy

dy
f (x, y)dx 。
0
0
0
y
证明：记 D {(x, y)
0 x } {(x, y)
0 yx
4、F.Riesz 定理（黎斯定理）
答：设 E 为 Lebesgue 可测集， fn (x) (n 1，2 ， ) 和 f (x) 都是 E 上的几乎处处有限的可测函数，
如果 fn (x) f (x)