北师大版(2019)高一数学必修第一册2.3函数的基本性质第1课时课件
（2）它在定义域I上的单调性是怎样的？证明你的结论．
证明：当k＞0时，任取x1，x2∈（－∞，0），且x1＜x2，
则f（x1）－f（x2）＝
k
(
x2 x1
x2
x1
)
，
因为x2－x1＞0，x1x2＞0，
所以f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
目标检测
44．画出反比例函数y＝
k x
新知探究
问题5 （2）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你 能举出在整个定义域内是单调递增的函数例子吗？你能举出在 定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的 函数例子吗？
（2）f（x）＝x在整个定义域上单调递增； f（x）＝（x－1）2在区间（－∞，1]上单调递减， 在区间[1，＋∞）上单调递增．
f(x2)
x2 = 2.40
A
∀x1，x2∈[0，＋∞）且x1＜x2， f（x1）＝x12，f（x2）＝x22， 根据不等式的性质7就可以得到f（x1）＜f（x2）．
f(x1)
B
坐
坐
显
控
O
x1 x2
x
等
修
坐
新知探究
追问4 你能类似地描述f（x）＝x2在区间（－∞，0]上是减函数并证 明吗？
若x1，x2∈[0，＋∞）且x1＜x2， 就有f（x1）＞f（x2）． 证明：∀x1，x2∈（－∞，0]且x1＜x2， f（x1）＝x12，f（x2）＝x22， 根据不等式的性质4和性质7就可以得到f（x1）＞f（x2）．
新知探究
追问 你能用单调性定义探究y＝x＋ 1 在整个定义域内的单调性吗？ x
同理可得，函数y＝x＋ 1 在区间（－∞，－1）上单调递增， x
在区间（－1，0）上单调递减．
目标检测
11．请根据右图描绘某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关 系．
答案：在一定范围内，生产效率随着工人数的增加而提高，当工人数 达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效 率又随着工人数的增加而降低．
新知探究
例1 根据定义，研究函数f（x）＝kx＋b（k≠0）的单调性．
解： ②当k＜0时，k（x1－x2）＞0． 于是f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）． 这时，f（x）＝kx＋b（k≠0）是减函数．
新知探究
例2 物理学中得玻意耳定律p＝ k （k为正常数）告诉我们，对于 V
一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大．试对此用函数 的单调性证明．
y＝x＋ 1 的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）． x
当x1，x2∈（0，＋∞）时，在y1－y2＝（x1－x2）（
x1x2 1 x1 x2
）中，
x1－x2＜0，x1x2＞0，
所以当x1，x2∈（0，1）时，x1x2－1＜0，
则y1－y2＞0，即y1＞y2，
所以y＝x＋ 1 在区间（0，1）上单调递减． x
（4）如何发现函数的性质？ 先画出函数图象，通过观察和分析图象 的特征，可以发现函数的一些性质．
问题导入
问题2 观察图1、图2、图3中的函数图象，你能说说图1与图2 （或图3）的区别吗？
图1
图2
图3
图1的特点是：从左至右始终保持上升；
图2与图3的特点是：从左至右有升也有降．
新知探究
问题3 你能用函数的观点叙述图象从左至右上升（下降）吗？ 用函数的观点看，就是函数值随着自变量的增大而增大（减小）．
新知探究
问题5 （1）设A是区间D上某些自变量的值组成的集合，而且 ∀x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），我们能说函数 f（x）在区间D上单调递增吗？你能举例说明吗？
（1）不能， 比如函数f（x）＝x2， 当A＝{－1，2，3}，D＝[－1，3]时， 符合∀x1，x2∈A， 当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）， 但f（x）在区间D上不是单调递增的．
（2）它在定义域I上的单调性是怎样的？证明你的结论．
答案：图象略．
（1）（－∞，0）∪（0，＋∞）．
（2）当k＞0时，y＝ k 在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递减； x
当k＜0时，y＝ k 在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递增． x
目标检测
44．画出反比例函数y＝
k x
的图象．
（1）这个函数的定义域I是什么？
目标检测
22．根据定义证明函数f（x）＝3x＋2是增函数．
证明：任取x1，x2∈R，当x1＜x2时， 因为f（x1）－f（x2）＝3（x1－x2）＜0， 即f（x1）＜f（x2）， 所以f（x）＝3x＋2在R上是增函数．
目标检测
33．证明函数f（x）＝－
2 x
在区间（－∞，0）上单调递增．
证明：任取x1，x2∈（－∞，0），且x1＜x2，
则f（x1）－f（x2）＝
2 x2
－
2 x1
＝2( x1 x2 ) ，
x1 x2
因为x1－x2＜0，x1x2＞0，
所以f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）， 所以函数f（x）＝－ 2 在区间（－∞，0）上单调递增．
x
目标检测
44．画出反比例函数y＝
k x
的图象．
（1）这个函数的定义域I是什么？
新知探究
例1 根据定义，研究函数f（x）＝kx＋b（k≠0）的单调性．
解：函数f（x）＝kx＋b（k≠0）的定义域是R． ∀x1，x2∈R，且x1＜x2，则 f（x1）－f（x2）＝（kx＋b）－（kx＋b）＝k（x1－x2）． 由x1＜x2，得x1－x2＜0． 所以， ①当k＞0时，k（x1－x2）＜0． 于是f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）． 这时，f（x）＝kx＋b（k≠0）是增函数．
的图象．
（1）这个函数的定义域I是什么？
（2）它在定义域I上的单调性是怎样的？证明你的结论．
证明：所以函数f（x）＝－2x 在区间（－∞，0）上单调递减．
任取x1，x2∈（0，＋∞），且x1＜x2，
则f（x1）－f（x2）＝
k
(
x2 x1
x2
x1
)
，
目标检测
44．画出反比例函数y＝Fra bibliotekk x
的图象．
证明：又k＞0，所以p1－p2＞0，即p1＞p2， 所以函数p＝ k（k为正常数）在区间（0，＋∞）上单调递减．
V 也就是说，当体积V减小时，压强p将增大．
新知探究
追问 你能总结用定义证明函数f（x）在区间D上的单调性的步骤吗？
第一步：在区间D上任取两个自变量的值x1，x2∈D， 在区间[1，＋∞）上单调递增． 第二步：计算f（x1）－f（x2）， 将f（x1）－f（x2）分解为若干可以直接确定符号的式子， 简记为“作差、变形”；
y
x1 = 1.63 f(
f(x2)
x2 = 2.40
A
借助软件，在y轴右侧任意改变A，B的位置， 只要点A的横坐标大于点B的横坐标， 就会有点A的纵坐标大于点B的纵坐标．
f(x1) B
O
x1 x2
x
坐标初始 坐标网格 显示刻度 控刻度线 等单位长 修改刻度 坐标控制
将图象上的规律用函数的解析式表示出来，
y f(x2)
f(x) = x2
x1 = 1.63 f(x1
x2 = 2.40
f(x
A
f(x1) B
O
x1 x2
x
坐标初始 坐标网格 显示刻度 控刻度线 等单位长 修改刻度 坐标控制
新知探究
追问2 如何用数量关系精确刻画“在区间[0，＋∞）上，f（x）＝x2 f(x) = x2
的函数值随自变量的增大而增大”？
函数的基本性质
第一课时
整体概览
问题1 阅读课本第76页节引言的内容，回答下列问题：
（1）为什么要研究函数的性质？ 通过研究函数的变化规律来把握客观世界中事物的变化规律；
（2）什么叫函数的性质？ 变化中的不变性就是性质，变化中的规律性也是性质；
（3）函数的性质主要有哪些？ 比如随着自变量的增大函数值是增大 还是减小，有没有最大值或最小值，函数图象的对称性等；
就可以得到函数f（x）＝x2在区间[0，＋∞）上满足：
若x1，x2∈[0，＋∞）且x1＜x2，就有f（x1）＜f（x2）．
新知探究
追问3 虽然上述改变A，B的位置是随意的，但我们不能穷举所有的
点，为了确保结论f（x1）＜f（x2）的正确性，你能尝试着给出它的证 f(x) = x2
明吗？
y
x1 = 1.63
新知探究
追问5 函数f（x）＝|x|，f（x）＝－x2各有怎样的单调性？
f（x）＝|x|在区间（－∞，0]上单调递减， 在区间[0，＋∞）上单调递增； f（x）＝－x2在区间（－∞，0]上单调递增， 在区间[0，＋∞）上是单调递减．
新知探究
问题4 如何用符号语言准确刻画函数值随自变量的增大而增大 （减小）呢？
证明：由x1，x2∈（1，＋∞），得x1＞1，x2＞1，
所以x1x2＞1，x1x2－1＞0．
由x1＜x2，得x1－x2＜0，
于是（x1－x2）（
x1x2 1 x1 x2
）＜0，即y1＜y2．
所以，函数y＝x＋ 1 在区间（1，＋∞）上的单调递增． x
新知探究
追问 你能用单调性定义探究y＝x＋ 1 在整个定义域内的单调性吗？ x
如果∀x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就称函数 f（x）在区间D上单调递增（如图1）．如果∀x1，x2∈D，当x1＜x2时， 都有f（x1）＞f（x2），那么就称函数f（x）在区间D上单调递减（如 图2）．
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函数概念课件 高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册
函数值与函数值域
用()表示函数()当 = 时的函数值.例如，对于函数() = 3 2 + 2 − 1来说，
(5) = 3 × 52 + 2 × 5 − 1 = 84,其中84就是函数()当 = 5时的函数值.
求下列函数的函数值：
(1)已知() = 5 − 3,求(4);(2)已知() = 4 3 + 2 − 7,求(2);
1
的定义域是{
−1
∣ ≠ 1};
(2)为使函数有意义，只需解析式中的被开方数非负，且分式的分母不为0，即
+ 3 ⩾ 0,
解得
≠ 0,
1
⩾ −3,
所以函数 = + 3 + 的定义域是{ ∣ ⩾ −3,且 ≠ 0};
≠ 0.
(3)为使函数有意义，只需解析式中的被开方数非负，即
自变量是伸长量，定义域就不可能包含负数了.
函数定义域求解举例
例2 求下列函数的定义域：
(1) = 2 + 3
1
+
;(2)
−1
= +3
1
+ ;(3)
= + 3 + − − 3.
解(1)为使函数有意义，只需解析式中分式的分母不为零，即 − 1 ≠ 0,解得 ≠ 1.
所以函数 = 2 + 3 +
(3)已知() = , () = 62 + − 3,求(3) + (2).
梳理与小结
1.集合语言定义函数；
2.函数的三要求：定义域、对应关系、值域；
3.同函数关系的判定依据：定义域、对应关系；
4.简单函数的定义域求解；
高一数学北师大必修第一册课件第2章221函数概念
3．了解构成函数的要素，能求简单函数的定 义域．(重点、难点)
学运算素养.
NO.1 情境导学·探新知
1．函数的定义是什么？ 2．函数的自变量、定义域是如何定义的？ 3．函数的值域是如何定义的？
知识点 1 函数的有关概念
给定实数集 R 中的两个_非__空__数__集__A 和 B，如果存在一
函数的定义 个对应关系 f，使对于集合 A 中的每一个数 x，在集合 B 中都有_唯__一__确__定__的数 y 和它对应，那么就把对应关
NO.2
合作探究·释疑难
类型1 函数的概念 类型2 求函数的定义域 类型3 求函数值和值域
类型 1 函数的概念 【例 1】 判断下列对应是否为集合 A 到集合 B 的函数． (1)A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|； (2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2； (3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝ x； (4)A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0.
(2)为使函数有意义，自变量 x 的取值必须满足x3－－1x≥≥00， . 解得 1≤x≤3，所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}．
x－1≠0， (3)为使函数有意义，自变量 x 的取值必须满足x＋2 1≥0，
x＋1≠0.
解得
x>－1，且 x≠1， 所以这个函数的定义域为{x|x>－1，且 x≠1}．
(2)f(x)与 f(a)有何区别与联系？
[提示] (1)这种看法不对．符号 y＝f(x)是“y 是 x 的函数”的数学 表示，应理解为 x 是自变量，它是关系所施加的对象；f 是对应关系， 它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述； y 是自变量的函数，当 x 允许取某一具体值时，相应的 y 值为与该自 变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y 等于 f 与 x 的乘积”．在研究函数时，除用符号 f(x)外，还常用 g(x)，F(x)，G(x) 等来表示函数．
高中数学北师大版 必修一 函数概念 课件
课 堂 小 结
·
探
提
新 知
(1)求f(0)及ff12的值；
素 养
合 作
(2)求f(1－x)及f(f(x)).
课
探
时
究 释
分
[思路点拨] 先把自变量的值代入到函数的解析式中，再按解析 层 作
疑
难 式指明的运算进行运算．对于型如f(f(x))的求值，可由里向外，分层
业
·
计算．
返
首
页
18
·
自 主 预
[解] (1)f(0)＝11－ ＋00＝1.
养
作
课
探 究
(3)由于00无意义，故x＋1≠0，即x≠－1.又x＋2>0，即x>－2，
时 分
层
释 疑
所以x>－2且x≠－1.
作 业
难
所以函数y＝（x＋x＋1）2 0的定义域为{x|x>－2且x≠－1}．
返 首
页
27
·
自
课
主
堂
预
小
习
探 新
1．函数f(x)＝x－x1的定义域为________．
·
结
提 素
堂 小
习
结
·
探 f(x)＝3x＋5，f 表示“自变量的 3 倍加上 5”，如 f(4)＝3×4＋5＝17. 提
新
素
知
养
·
·
合
作
课
探
时
究
3．函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系．由于 分
层
释 疑
函数的定义域和对应关系一旦确定，值域也随之确定，所以判断两个
作 业
难
函数是否相同只需两个函数的定义域和对应关系分别相同即可． 返 首 页
北师大版高一数学必修第一册函数的概念及其表示ppt课件
答案：（1）f（2）＝28，f（－2）＝－28，f（2）＋f（－2）＝0； （2）f（a）＝3a3＋2a，f（－a）＝－3a3－2a， f（a）＋f（－a）＝0．
目标检测
3 判断下列各组中的函数是否为同一个函数，并说明理由： （1）表示炮弹飞行高度h与时间t关系的函数h＝130t－5t2和二次函数 y＝130x－5x2； （2）f（x）＝1和g（x）＝x0．
新知探究
例1 已知函数f（x）＝ x 3 1 ， x2
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求f（－3），f（
2 3
）的值；
（3）当a＞0时，求f（a），f（a－1）的值．
解：（1）要使该函数有意义，则需
x x
3 ≥ 0， 2 0．
解得：x≥－3且x≠－2．
所以函数f（x）的定义域为[－3，－2）∪（－2，＋∞）．
新知探究
追问3 你如何理解函数u＝ 3 v3 的对应关系?
因为u＝ 3 v3 ＝v（v∈R）， 所以对于R中的任一实数v， 通过对应关系u＝v，在R中都有唯一的一个实数u与之对应， 因为u＝v，所以就是任一实数与它本身的对应．
新知探究
追问4 你能结合函数的图象验证你的判断吗？
（1）y
2
x
（2）u 3 v3
具体而言是：变量x在对应关系f的作用下对应到y． （3）
；
答x的函数”的符号表示，
判断下列各组中的函数是否为同一个函数，并说明理由：
（1）
；
（3）
；
在同时研究两个或多个函数时，常用不同符号表示不同的函数，除用
符号f(x)外，还常用g(x)、F(x)、G(x)等符号来表示．
函数的概念及其表示
第二课时
目标检测
3 判断下列各组中的函数是否为同一个函数，并说明理由： （1）表示炮弹飞行高度h与时间t关系的函数h＝130t－5t2和二次函数 y＝130x－5x2； （2）f（x）＝1和g（x）＝x0．
新知探究
例1 已知函数f（x）＝ x 3 1 ， x2
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求f（－3），f（
2 3
）的值；
（3）当a＞0时，求f（a），f（a－1）的值．
解：（1）要使该函数有意义，则需
x x
3 ≥ 0， 2 0．
解得：x≥－3且x≠－2．
所以函数f（x）的定义域为[－3，－2）∪（－2，＋∞）．
新知探究
追问3 你如何理解函数u＝ 3 v3 的对应关系?
因为u＝ 3 v3 ＝v（v∈R）， 所以对于R中的任一实数v， 通过对应关系u＝v，在R中都有唯一的一个实数u与之对应， 因为u＝v，所以就是任一实数与它本身的对应．
新知探究
追问4 你能结合函数的图象验证你的判断吗？
（1）y
2
x
（2）u 3 v3
具体而言是：变量x在对应关系f的作用下对应到y． （3）
；
答x的函数”的符号表示，
判断下列各组中的函数是否为同一个函数，并说明理由：
（1）
；
（3）
；
在同时研究两个或多个函数时，常用不同符号表示不同的函数，除用
符号f(x)外，还常用g(x)、F(x)、G(x)等符号来表示．
函数的概念及其表示
第二课时
函数课件-高一上学期数学北师大(2019)必修第一册
所以 的值域为 −1，20
3
x
1
解：② = + 2
2
3
4
5
6
函数的概念
4、换元法： = + + +
【例12】求函数 = 2 + 4 1 − 的值域。
解：设 = 1 − ( ≥ 0),则 = 1 − 2
代入原函数得：
= 2 1 − 2 + 4
半径 r 与圆的面积 S 之间的函数关系，这里函数的定义域为R+．
= 2
函数的表示方法
(1)列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系．
优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值．
(2)图像法：就是用函数图像表示两个变量之间的函数关系．
优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势．
因此函数的定义域为
即 ≠ 4 或 −∞，4 ∪ 4， + ∞
解：（2） 要使得代数式有意义，必须 − 6 ≥ 0，即 ≥ 6．
因此函数的定义域为
即 ≥ 6 或 6， +∞
函数的概念
【例10】求下列函数的定义域.
（1） = 2 + 2
（2） =
R
3
−5
≠5
（3） = 6 − − 2
四、求函数解析式：
①待定系数法
【例6】设函数 = + ，已知 = −， − = ，则该一次函
数的解析式为 = − −
+ = −
− + =
= −
解得
= −
则解析式为 = − −
解：依题得
3
x
1
解：② = + 2
2
3
4
5
6
函数的概念
4、换元法： = + + +
【例12】求函数 = 2 + 4 1 − 的值域。
解：设 = 1 − ( ≥ 0),则 = 1 − 2
代入原函数得：
= 2 1 − 2 + 4
半径 r 与圆的面积 S 之间的函数关系，这里函数的定义域为R+．
= 2
函数的表示方法
(1)列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系．
优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值．
(2)图像法：就是用函数图像表示两个变量之间的函数关系．
优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势．
因此函数的定义域为
即 ≠ 4 或 −∞，4 ∪ 4， + ∞
解：（2） 要使得代数式有意义，必须 − 6 ≥ 0，即 ≥ 6．
因此函数的定义域为
即 ≥ 6 或 6， +∞
函数的概念
【例10】求下列函数的定义域.
（1） = 2 + 2
（2） =
R
3
−5
≠5
（3） = 6 − − 2
四、求函数解析式：
①待定系数法
【例6】设函数 = + ，已知 = −， − = ，则该一次函
数的解析式为 = − −
+ = −
− + =
= −
解得
= −
则解析式为 = − −
解：依题得
高一数学必修一函数的基本性质(单调性)精品PPT课件
图像在定义域内呈上升趋势； 图像经过原点。
观察图像变化规律
图像在对称轴左边呈下降， 在对称轴后边呈下降趋势。
x
y
O
x
y
O
x
y
O
自变量递增，函数递减
x
y
O
x
y
O
x
y
O
自变量递增，函数递增
增函数、减函数的概念：
增函数、减函数的概念：
一般地，设函数f(x)的定义域为I.
1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是 增函数.
2．两种方法：
判断函数单调性的方法 有图象法、定义法． 下一课时我们会重点练习
课堂小结
1．阅读教材P.27 -P.30； 2．教材课后练习：1、2、3.
课后作业
谢谢欣赏
一般地，设函数f(x)的定义域为I.
增函数、减函数的概念：
函数最大值→图像最高点
一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f（x）≤M （2）存在x0∈I，使得f（x0）=M. 那么我们称M是函数y=f（x）的最大值 .
函数最小值→图像最低点
一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f（x）≥M （2）存在x0∈I，使得f（x0）=M. 那么我们称M是函数y=f（x）的最小值 .
-2
3
2
1
-1
y
-3
-4
4
O
x
2
-2
3
1
-3
-1
观察图像变化规律
图像在对称轴左边呈下降， 在对称轴后边呈下降趋势。
x
y
O
x
y
O
x
y
O
自变量递增，函数递减
x
y
O
x
y
O
x
y
O
自变量递增，函数递增
增函数、减函数的概念：
增函数、减函数的概念：
一般地，设函数f(x)的定义域为I.
1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是 增函数.
2．两种方法：
判断函数单调性的方法 有图象法、定义法． 下一课时我们会重点练习
课堂小结
1．阅读教材P.27 -P.30； 2．教材课后练习：1、2、3.
课后作业
谢谢欣赏
一般地，设函数f(x)的定义域为I.
增函数、减函数的概念：
函数最大值→图像最高点
一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f（x）≤M （2）存在x0∈I，使得f（x0）=M. 那么我们称M是函数y=f（x）的最大值 .
函数最小值→图像最低点
一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f（x）≥M （2）存在x0∈I，使得f（x0）=M. 那么我们称M是函数y=f（x）的最小值 .
-2
3
2
1
-1
y
-3
-4
4
O
x
2
-2
3
1
-3
-1
北师大版高中数学必修1《函数概念》教学课件
求函数 y＝ x－2· x＋2的定义域. 【错解】 y＝ x－2· x＋2＝ x2－4， 由 x2－4≥0，得 x≥2 或 x≤－2， ∴函数的定义域为{x|x≥2 或 x≤－2}.
【错因】 求函数定义域时，不能先进行变形，否则，会使定义域产生改 变，造成错误.因此，必须根据原始函数解析式来求定义域.
1.函数
(1)函数的定义 [JP2]给定两个 非空数集 A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A 中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定 的数f(x)与之对应，那么就把对 应关系f叫做定义在集合A上的函数，记作f：A →B 或y＝f(x)，x∈A .
(2)函数的定义域与值域 对于函数y＝f(x)，x∈A，其中x叫作自变量， 集合A 叫做函数的定义域，
f(1－x)＝11－ ＋((11－ －xx))＝2－x x(x≠2). f(f(x))＝11－ ＋ff((xx))＝11－ ＋1111－ ＋ － ＋xxxx＝x(x≠－1).
(1)当x的取值用字母表示时，对应的函数值也用字母表示，但要注 意化简.
(2)当求多重函数值时，一般要由里到外逐步计算.
4.已知 f(x)＝1＋1 x，g(x)＝x2＋2(x∈R). (1)求 f(x)的定义域； (2)求 f(2)，g(2)，f(g(2))的值.
2 对函数的进一步认识
2.1 函数概念
1.初中时你学过哪些函数？y＝kx＋b，(k≠0)，y＝ax2＋bx＋c，(a≠0)，y k
(k≠0)分别叫 一次函数 ， 二次函数 ， 反比例函数 .
x
2.函数y＝kx＋b，已知kb＜0，则函数的图象经过第 一、二、四
或一、三、四 象限.
3.函数y＝2x2＋3x＋1.当x＝－1时的函数值为 0 .
高中数学 2.2.1《函数概念》课件(1) 北师大版必修1
(3)函数的定义中“任一 x”与“有唯一确定的 y”说明，函数中 两变量 x，y 的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不 能是“一对多”．
2．区间概念的理解 对区间概念的理解要注意以下几点： (1)区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“，”隔开； (2)无穷大是一个符号，不是数； (3)在数轴上表示区间时，属于这个区间端点的实数，用实心点 表示，不属于这个区间端点的实数，用空心点表示．
x≥0，∴y＝ x＋1≥1. ∴函数 y＝ x＋1≥1 的值域为[1，＋∞)． (3)(分离常数法)∵y＝2xx－＋31＝2＋x－7 3， 又 x≠3，x－7 3≠0，∴y≠2. 故函数的值域为{y|y≠2}．
(4)(配方法)y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2. ∵1≤x＜5，结合二次函数的图像可得函数的值域为{y|2≤y＜ 11}．
想一想：f(x)与 f(a)的区别与联系是什么？ 提示 f(a)是 f(x)的一个特殊值．例如：函数 f(x)＝2x＋1，当 x ＝3 时，f(3)＝2×3＋1＝7 是一个常数，也就是说，a 取什么值， f(a)便对应着一个常数．
2．函数的三要素是： 定义域 、 值域 和 对应关系 ． 3．区间 (1)满足不等式 a≤x≤b 的实数 x 的集合叫作闭区间，表示 为 [a，b] ． (2)满足不等式 a＜x＜b 的实数 x 的集合叫作 开区间 ，表示 为(a，b) ． (3)满足不等式 a≤x＜b 或 a＜x≤b 的实数 x 的集合叫 作 半开半闭区间 ，分别表示为 [a，b)，(a，b] ．
概念是解题之源．只有先弄清概念，才能正确解题．
(4)实数集 R 用区间表示为 (－∞，＋∞) ． (5)把满足 x≥a，x＞a，x≤b，x＜b 的实数 x 的集合分别表示 为 [a，＋∞)，(a＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b) ．
3.2 函数的基本性质(课时1 函数的单调性)优秀公开课获奖课件高一数学
6－4a，a<2， ∴f(x)min＝ 2－a2，2≤a≤4，
18－8a，a>4.
经典例题
跟踪训练3
题型三 求二次函数的最值
已知函数 f(x)＝x－2 x－3，求函数 f(x)的最值．
解：设 x＝t(t≥0)，则 x－2 x－3=t2－2t－3. y＝t2－2t－3(t≥0)在[0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增． ∴当 t＝1 即 x＝1 时，f(x)min＝－4，无最大值．
的最大值为________．
－x2＋2，x<1
2 解析：当 x≥1 时，函数 f(x)＝1x为减函数，所以 f(x)在 x＝1 处取得最大值， 为 f(1)＝1； 当 x<1 时，易知函数 f(x)＝－x2＋2 在 x＝0 处取得最大值，为 f(0)＝2. 故函数 f(x)的最大值为 2.
当堂达标
解：f(x)＝(x－a)2＋a－a2＋1， 当 0<a<4 时，f(x)在[－4，a]上是减函数，在[a,4]上是增函数． 又 f(－4)＝9a＋17，f(4)＝17－7a，f(－4)>f(4)． 所以 f(x)的最大值为 f(－4)＝9a＋17. 当 a≥4 时，f(x)在[－4，4]上是减函数， 所以 f(x)的最大值为 f(－4)＝9a＋17. 综上，在[－4,4]上函数的最大值为 9a＋17.
4.函数 f(x)＝1x在[1，b](b>1)上的最小值是14，则 b＝________.
4 解析：因为 f(x)在[1，b]上是减函数，所以 f(x)在[1，b]上的最小值为 f(b)＝1b＝14， 所以 b＝4.
当堂达标
5．求函数 f(x)＝x2－2ax＋a＋1(a>0)在[－4,4]上的最大值．
18－8a，a>4.
经典例题
跟踪训练3
题型三 求二次函数的最值
已知函数 f(x)＝x－2 x－3，求函数 f(x)的最值．
解：设 x＝t(t≥0)，则 x－2 x－3=t2－2t－3. y＝t2－2t－3(t≥0)在[0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增． ∴当 t＝1 即 x＝1 时，f(x)min＝－4，无最大值．
的最大值为________．
－x2＋2，x<1
2 解析：当 x≥1 时，函数 f(x)＝1x为减函数，所以 f(x)在 x＝1 处取得最大值， 为 f(1)＝1； 当 x<1 时，易知函数 f(x)＝－x2＋2 在 x＝0 处取得最大值，为 f(0)＝2. 故函数 f(x)的最大值为 2.
当堂达标
解：f(x)＝(x－a)2＋a－a2＋1， 当 0<a<4 时，f(x)在[－4，a]上是减函数，在[a,4]上是增函数． 又 f(－4)＝9a＋17，f(4)＝17－7a，f(－4)>f(4)． 所以 f(x)的最大值为 f(－4)＝9a＋17. 当 a≥4 时，f(x)在[－4，4]上是减函数， 所以 f(x)的最大值为 f(－4)＝9a＋17. 综上，在[－4,4]上函数的最大值为 9a＋17.
4.函数 f(x)＝1x在[1，b](b>1)上的最小值是14，则 b＝________.
4 解析：因为 f(x)在[1，b]上是减函数，所以 f(x)在[1，b]上的最小值为 f(b)＝1b＝14， 所以 b＝4.
当堂达标
5．求函数 f(x)＝x2－2ax＋a＋1(a>0)在[－4,4]上的最大值．
新教材高中数学2函数2-2函数的表示法第1课时函数的表示法课件北师大版必修第一册
(1)画出f(x)的图象;
(2)根据图象写出f(x)的值域.
解(1)f(x)的图象如图所示.
(2)观察f(x)的图象可知,f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是[-1,3],故
f(x)的值域是[-1,3].
x=3不在定义域内,从而点(3,3)处用空心圈.
变式训练3
作出下列函数的图象,并写出其值域.
(1)y=2x+1,x∈[0,2];
(2)y=
2
,x∈[2,+∞).
解(1)当x=0时,y=1;当x=1时,y=3;当x=2时,y=5.
函数图象过点(0,1),(1,3),(2,5).
图象如图所示.
由图可知,函数的值域为[1,5].
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)任何一个函数都可以用列表法表示.( × )
(2)任何一个函数都可以用解析法表示.( × )
2.若 f
1
x
=x+1,则 f(2)=(
1
B.
2
A.2
)
C.3
答案 D
解析
1
令 =2,则
1
1
3
x= ,∴f(2)= +1= .故选
2
2
2
D.
3
D.
2
3.某学生离家去学校,一开始跑步前进,跑累了再走余下的路程.下列图中纵
(方法二)令√+1=t,则 x=(t-1)2,且 t≥1,
函数 f(√+1)=x+2√可化为 f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,
故所求函数的解析式为 f(x)=x2-1,x∈[1,+∞).
(3)因为对任意的 x∈R,且 x≠0 都有 f(x)+2f
(2)根据图象写出f(x)的值域.
解(1)f(x)的图象如图所示.
(2)观察f(x)的图象可知,f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是[-1,3],故
f(x)的值域是[-1,3].
x=3不在定义域内,从而点(3,3)处用空心圈.
变式训练3
作出下列函数的图象,并写出其值域.
(1)y=2x+1,x∈[0,2];
(2)y=
2
,x∈[2,+∞).
解(1)当x=0时,y=1;当x=1时,y=3;当x=2时,y=5.
函数图象过点(0,1),(1,3),(2,5).
图象如图所示.
由图可知,函数的值域为[1,5].
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)任何一个函数都可以用列表法表示.( × )
(2)任何一个函数都可以用解析法表示.( × )
2.若 f
1
x
=x+1,则 f(2)=(
1
B.
2
A.2
)
C.3
答案 D
解析
1
令 =2,则
1
1
3
x= ,∴f(2)= +1= .故选
2
2
2
D.
3
D.
2
3.某学生离家去学校,一开始跑步前进,跑累了再走余下的路程.下列图中纵
(方法二)令√+1=t,则 x=(t-1)2,且 t≥1,
函数 f(√+1)=x+2√可化为 f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,
故所求函数的解析式为 f(x)=x2-1,x∈[1,+∞).
(3)因为对任意的 x∈R,且 x≠0 都有 f(x)+2f