南通市如东县2019年中考数学模拟试卷(含答案解析)

南通市如东县2019年中考数学模拟试卷一．选择题（满分30分，每小题3分）1．下列说法正确的是（）A．负数没有倒数B．正数的倒数比自身小C．任何有理数都有倒数D．﹣1的倒数是﹣12．我县人口约为530060人，用科学记数法可表示为（）A．53006×10人B．5.3006×105人C．53×104人D．0.53×106人3．下列计算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．a6÷a3＝a3C．a2•a3＝a6D．（a3）2＝a94．下图中是中心对称图形而不是轴对称图形的共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A．x≠2B．x≥2C．x＞2D．x≥﹣26．如图所示的圆柱体从正面看得到的图形可能是（）A．B．C．D．7．已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比是3：1，这个多边形的边数是（）A．8B．9C．10D．128．一个扇形的弧长为4π，半径长为4，则该扇形的面积为（）A．4πB．6πC．8πD．12π9．小李家距学校3千米，中午12点他从家出发到学校，途中路过文具店买了些学习用品，12点50分到校．下列图象中能大致表示他离家的距离S（千米）与离家的时间t（分钟）之间的函数关系的是（）A．B．C．D．10．如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP•MD＝MA•ME；③2CB2＝CP•CM．其中正确的是（）A．①②③B．①C．①②D．②③二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）11．计算：＝．12．因式分解：2a2﹣2＝．13．如图，AB∥CD，点P为CD上一点，∠EBA、∠EPC的角平分线于点F，已知∠F＝40°，则∠E＝度．14．5个正整数，中位数是4，唯一的众数是6，则这5个数和的最大值为．15．如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M 处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行小时即可到达．（结果保留根号）16．如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝50°，则∠ACB＝°．17．设a、b是一元二次方程x2+2x﹣7＝0的两个根，则a2+3a+b＝．18．已知函数y＝﹣x2+2x+1，当﹣1≤x≤a时，函数的最大值是2，则实数a的取值范围是．三．解答题（共11小题，满分88分）19．（5分）计算：（3.14﹣π）0+|1﹣|+（﹣）﹣1﹣2sin60°．20．（5分）解方程组：．21．（6分）解不等式组：，并写出它的所有整数解．22．（8分）某超市对今年“元旦”期间销售A、B、C三种品牌的绿色鸡蛋情况进行了统计，并绘制如图所示的扇形统计图和条形统计图．根据图中信息解答下列问题：（1）该超市“元旦”期间共销售个绿色鸡蛋，A品牌绿色鸡蛋在扇形统计图中所对应的扇形圆心角是度；（2）补全条形统计图；（3）如果该超市的另一分店在“元旦”期间共销售这三种品牌的绿色鸡蛋1500个，请你估计这个分店销售的B种品牌的绿色鸡蛋的个数？23．（8分）如图，在正方形网格中画有一个圆心为O的半圆，请按要求准确作图．（1）请在图1中仅用无刻度的直尺连线将半圆的面积三等份；（2）请在图2网格中以O为圆心，用直尺与圆规画一个与已知半圆半径不等但面积相等的扇形．24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点（点A在点B左侧），已知A点的纵坐标是2；（1）求反比例函数的表达式；（2）根据图象直接写出﹣x＞的解集；（3）将直线l1：y＝x沿y向上平移后的直线l2与反比例函数y＝在第二象限内交于点C，如果△ABC的面积为30，求平移后的直线l2的函数表达式．25．（8分）如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE∥AB，BE ＝AF．（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）若∠ABC＝60°，BD＝4，求平行四边形ADEF的面积．26．为弘扬中华优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动，诵读材料有《论语》、《大学》、《中庸》（依次用字母A，B，C表示这三个材料），将A，B，C分别写在3张完全相同的不透明卡片的正面上，背面朝上洗匀后放在桌面上，比赛时小礼先从中随机抽取一张卡片，记下内容后放回，洗匀后，再由小智从中随机抽取一张卡片，他俩按各自抽取的内容进行诵读比赛．（1）小礼诵读《论语》的概率是；（直接写出答案）（2）请用列表或画树状图的方法求他俩诵读两个不同材料的概率．27．（12分）某商品的进价为每件50元．当售价为每件70元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？28．（14分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF＝45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF．，GH．（1）填空：∠AHC∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”）（2）线段AC，AG，AH什么关系？请说明理由；（3）设AE＝m，①△AGH的面积S有变化吗？如果变化．请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值．②请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值．29．（14分）已知，抛物线y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．参考答案一．选择题1．下列说法正确的是（）A．负数没有倒数B．正数的倒数比自身小C．任何有理数都有倒数D．﹣1的倒数是﹣1【分析】根据倒数的定义可知．解：A、负数有倒数，例如﹣1的倒数是﹣1，选项错误；B、正数的倒数不一定比自身小，例如0.5的倒数是2，选项错误；C、0没有倒数，选项错误；D、﹣1的倒数是﹣1，正确．故选：D．【点评】本题主要考查了倒数的定义及性质．乘积是1的两个数互为倒数，除0以外的任何数都有倒数，倒数等于它本身的数是±1．2．我县人口约为530060人，用科学记数法可表示为（）A．53006×10人B．5.3006×105人C．53×104人D．0.53×106人【分析】根据科学记数法的定义及表示方法进行解答即可．解：∵530060是6位数，∴10的指数应是5，故选：B．【点评】本题考查的是科学记数法的定义及表示方法，熟知以上知识是解答此题的关键．3．下列计算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．a6÷a3＝a3C．a2•a3＝a6D．（a3）2＝a9【分析】根据合并同类项的法则，同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法法则以及幂的乘方与积的乘方法则解答．解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项错误；B、原式＝a6﹣3＝a3，故本选项正确；C、原式＝a2+3＝a5，故本选项错误；D、原式＝a3×2＝a6，故本选项错误；故选：B．【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．4．下图中是中心对称图形而不是轴对称图形的共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解：第一个图形，既是中心对称图形，又是轴对称图形，故错误；第二个图形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；第三个图形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；第四、五个是中心对称图形而不是轴对称图形，故正确．故选：B．【点评】掌握好中心对称与轴对称的概念：轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．5．函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A．x≠2B．x≥2C．x＞2D．x≥﹣2【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．解：由题意得，x﹣2≥0，解得x≥2．故选：B．【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，解决本题的关键是二次根式的被开方数是非负数．6．如图所示的圆柱体从正面看得到的图形可能是（）A．B．C．D．【分析】根据圆柱从正面看的平面图形是矩形进行解答即可．解：一个直立在水平面上的圆柱体，从正面看是一个矩形，故选：B．【点评】本题考查了简单几何体的三视图，关键是掌握所看的位置，以及注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．7．已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比是3：1，这个多边形的边数是（）A．8B．9C．10D．12【分析】设这个多边形的外角为x°，则内角为3x°，根据多边形的相邻的内角与外角互补可的方程x+3x＝180，解可得外角的度数，再用外角和除以外角度数即可得到边数．解：设这个多边形的外角为x°，则内角为3x°，由题意得：x+3x＝180，解得x＝45，这个多边形的边数：360°÷45°＝8，故选：A．【点评】此题主要考查了多边形的内角与外角，关键是掌握多边形的相邻的内角与外角互补．8．一个扇形的弧长为4π，半径长为4，则该扇形的面积为（）A．4πB．6πC．8πD．12π＝lR即可得出答案．【分析】根据扇形的面积公式S扇形＝lR＝×4π×4＝8π．解：S扇形故选：C．【点评】本题考查了扇形面积的计算，比较简单，解答本题的关键是熟练掌握扇形面积的计算公式．9．小李家距学校3千米，中午12点他从家出发到学校，途中路过文具店买了些学习用品，12点50分到校．下列图象中能大致表示他离家的距离S（千米）与离家的时间t（分钟）之间的函数关系的是（）A．B．C．D．【分析】根据小李距家3千米，路程随着时间的增大而增大确定合适的函数图象即可．解：∵小李距家3千米，∴离家的距离随着时间的增大而增大，∵途中在文具店买了一些学习用品，∴中间有一段离家的距离不再增加，综合以上C符合，故选：C．【点评】本题考查了函数图象，比较简单，了解横、总坐标分别表示什么是解题的关键．10．如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP•MD＝MA•ME；③2CB2＝CP•CM．其中正确的是（）A．①②③B．①C．①②D．②③【分析】（1）由等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE三边份数关系可证；（2）通过等积式倒推可知，证明△P AM∽△EMD即可；（3）2CB2转化为AC2，证明△ACP∽△MCA，问题可证．解：由已知：AC＝AB，AD＝AE∴∵∠BAC＝∠EAD∴∠BAE＝∠CAD∴△BAE∽△CAD所以①正确∵△BAE∽△CAD∴∠BEA＝∠CDA∵∠PME＝∠AMD∴△PME∽△AMD∴∴MP•MD＝MA•ME所以②正确由②MP•MD＝MA•ME∠PMA＝∠DME∴△PMA∽△EMD∴∠APD＝∠AED＝90°∵∠CAE＝180°﹣∠BAC﹣∠EAD＝90°∴△CAP∽△CMA∴AC2＝CP•CM∵AC＝AB∴2CB2＝CP•CM所以③正确故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判断．在等积式和比例式的证明中应注意应用倒推的方法寻找相似三角形进行证明，进而得到答案．二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）11．计算：＝3．【分析】先根据同分母分式加法法则计算，再因式分解、约分即可得．解：原式＝＝＝＝3，故答案为：3．【点评】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式加减运算法则．12．因式分解：2a2﹣2＝2（a+1）（a﹣1）．【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．解：原式＝2（a2﹣1）＝2（a+1）（a﹣1）．故答案为：2（a+1）（a﹣1）．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13．如图，AB∥CD，点P为CD上一点，∠EBA、∠EPC的角平分线于点F，已知∠F＝40°，则∠E＝80度．【分析】设∠EPC＝2x，∠EBA＝2y，根据角平分线的性质得到∠CPF＝∠EPF＝x，∠EBF＝∠FBA＝y，根据外角的性质得到∠1＝∠F+∠ABF＝42°+y，∠2＝∠EBA+∠E＝2y+∠E，由平行线的性质得到∠1＝∠CPF＝x，∠2＝∠EPC＝2x，于是得到方程2y+∠E ＝2（42°+y），即可得到结论．解：设∠EPC＝2x，∠EBA＝2y，∵∠EBA、∠EPC的角平分线交于点F∴∠CPF＝∠EPF＝x，∠EBF＝∠FBA＝y，∵∠1＝∠F+∠ABF＝40°+y，∠2＝∠EBA+∠E＝2y+∠E，∵AB∥CD，∴∠1＝∠CPF＝x，∠2＝∠EPC＝2x，∴∠2＝2∠1，∴2y+∠E＝2（40°+y），∴∠E＝80°．故答案为：80．【点评】本题考查了平行线的性质以及三角形的外角的性质：三角形的外角等于两个不相邻的内角的和，正确设未知数是关键．14．5个正整数，中位数是4，唯一的众数是6，则这5个数和的最大值为21．【分析】根据中位数和众数的定义分析可得答案．解：因为五个正整数从小到大排列后，其中位数是4，这组数据的唯一众数是6，所以这5个数据分别是x，y，4，6，6，其中x＝1或2，y＝2或3．所以这5个数的和的最大值是2+3+4+6+6＝21．故答案为：21．【点评】主要考查了根据一组数据的中位数来确定数据的能力．将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．注意：找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．15．如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M 处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行小时即可到达．（结果保留根号）【分析】如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，通过解直角△AQP、直角△BPQ求得PQ的长度，即MN的长度，然后通过解直角△BMN求得BM的长度，则易得所需时间．解：如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，在直角△AQP中，∠P AQ＝45°，则AQ＝PQ＝60×1.5+BQ＝90+BQ（海里），所以BQ＝PQ﹣90．在直角△BPQ中，∠BPQ＝30°，则BQ＝PQ•tan30°＝PQ（海里），所以PQ﹣90＝PQ，所以PQ＝45（3+）（海里）所以MN＝PQ＝45（3+）（海里）在直角△BMN中，∠MBN＝30°，所以BM＝2MN＝90（3+）（海里）所以＝（小时）故答案是：．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．16．如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝50°，则∠ACB＝40°．【分析】连接BD，如图，根据圆周角定理得到∠ABD＝90°，则利用互余计算出∠D＝40°，然后再利用圆周角定理得到∠ACB的度数．解：连接BD，如图，∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴∠D＝90°﹣∠BAD＝90°﹣50°＝40°，∴∠ACB＝∠D＝40°．故答案为40．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．17．设a、b是一元二次方程x2+2x﹣7＝0的两个根，则a2+3a+b＝5．【分析】根据根与系数的关系可知a+b＝﹣2，又知a是方程的根，所以可得a2+2a﹣7＝0，最后可将a2+3a+b变成a2+2a+a+b，最终可得答案．解：∵设a、b是一元二次方程x2+2x﹣7＝0的两个根，∴a+b＝﹣2，∵a是原方程的根，∴a2+2a﹣7＝0，即a2+2a＝7，∴a2+3a+b＝a2+2a+a+b＝7﹣2＝5，故答案为：5．【点评】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是把a2+3a+b转化为a2+2a+a+b 的形式，结合根与系数的关系以及一元二次方程的解即可解答．18．已知函数y＝﹣x2+2x+1，当﹣1≤x≤a时，函数的最大值是2，则实数a的取值范围是a≥1．【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得a的取值范围，本题得以解决．解：∵函数y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，当﹣1≤x≤a时，函数的最大值是2，∴当x＝1时，函数取得最大值，此时y＝2，∴a≥1，故答案为：a≥1．【点评】本题考查二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．三．解答题（共11小题，满分88分）19．（5分）计算：（3.14﹣π）0+|1﹣|+（﹣）﹣1﹣2sin60°．【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．解：原式＝1+﹣1﹣4﹣＝﹣4．【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（5分）解方程组：．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．解：，①+②×3得：10x＝50，解得：x＝5，把x＝5代入②得：y＝3，则方程组的解为．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．21．（6分）解不等式组：，并写出它的所有整数解．【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出整数解即可．解：，解不等式①，得x＞﹣3，解不等式②，得x≤2，所以不等式组的解集：﹣3＜x≤2，它的整数解为﹣2，﹣1，0，1，2．【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．22．（8分）某超市对今年“元旦”期间销售A、B、C三种品牌的绿色鸡蛋情况进行了统计，并绘制如图所示的扇形统计图和条形统计图．根据图中信息解答下列问题：（1）该超市“元旦”期间共销售2400个绿色鸡蛋，A品牌绿色鸡蛋在扇形统计图中所对应的扇形圆心角是60度；（2）补全条形统计图；（3）如果该超市的另一分店在“元旦”期间共销售这三种品牌的绿色鸡蛋1500个，请你估计这个分店销售的B种品牌的绿色鸡蛋的个数？【分析】（1）用C品牌的数量除以所占的百分比，计算机求出鸡蛋的总量，再用A品牌的百分比乘以360°计算即可求出圆心角的度数；（2）求出B品牌鸡蛋的数量，然后条形补全统计图即可；（3）用B品牌所占的百分比乘以1500，计算即可得解．解：（1）共销售绿色鸡蛋：1200÷50%＝2400个，A品牌所占的圆心角：×360°＝60°；故答案为：2400，60；（2）B品牌鸡蛋的数量为：2400﹣400﹣1200＝800个，补全统计图如图；（3）分店销售的B种品牌的绿色鸡蛋为：×1500＝500个．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．23．（8分）如图，在正方形网格中画有一个圆心为O的半圆，请按要求准确作图．（1）请在图1中仅用无刻度的直尺连线将半圆的面积三等份；（2）请在图2网格中以O为圆心，用直尺与圆规画一个与已知半圆半径不等但面积相等的扇形．【分析】（1）利用三角函数的定义可求出∠1＝60°，这样可确定∠MON＝∠1＝60°，所以点M、N把半圆三等份，从而OM、ON将半圆的面积三等分；（2）先确定半圆的面积为2π，利用扇形面积公式，画出圆心角为90°，半径为2的扇形即可．解：（1）如图1，OM、ON为所作；（2）如图2，扇形AOB为所作．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点（点A在点B左侧），已知A点的纵坐标是2；（1）求反比例函数的表达式；（2）根据图象直接写出﹣x＞的解集；（3）将直线l1：y＝x沿y向上平移后的直线l2与反比例函数y＝在第二象限内交于点C，如果△ABC的面积为30，求平移后的直线l2的函数表达式．【分析】（1）直线l1经过点A，且A点的纵坐标是2，可得A（﹣4，2），代入反比例函数解析式可得k的值；（2）依据直线l1：y＝﹣x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，即可得到不等式﹣x＞的解集为x＜﹣4或0＜x＜4；（3）设平移后的直线l2与x轴交于点D，连接AD，BD，依据CD∥AB，即可得出△ABC 的面积与△ABD的面积相等，求得D（15，0），即可得出平移后的直线l2的函数表达式．解：（1）∵直线l1：y＝﹣x经过点A，A点的纵坐标是2，∴当y＝2时，x＝﹣4，∴A（﹣4，2），∵反比例函数y ＝的图象经过点A ，∴k ＝﹣4×2＝﹣8，∴反比例函数的表达式为y ＝﹣；（2）∵直线l 1：y ＝﹣x 与反比例函数y ＝的图象交于A ，B 两点，∴B （4，﹣2）， ∴不等式﹣x ＞的解集为x ＜﹣4或0＜x ＜4；（3）如图，设平移后的直线l 2与x 轴交于点D ，连接AD ，BD ，∵CD ∥AB ，∴△ABC 的面积与△ABD 的面积相等，∵△ABC 的面积为30，∴S △AOD +S △BOD ＝30，即OD （|y A |+|y B |）＝30， ∴×OD ×4＝30，∴OD ＝15，∴D （15，0），设平移后的直线l 2的函数表达式为y ＝﹣x +b ，把D （15，0）代入，可得0＝﹣×15+b ，解得b ＝，∴平移后的直线l 2的函数表达式为y ＝﹣x +．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换以及三角形的面积．解决问题的关键是依据△ABC 的面积与△ABD 的面积相等，得到D 点的坐标为（15，0）．25．（8分）如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE∥AB，BE ＝AF．（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）若∠ABC＝60°，BD＝4，求平行四边形ADEF的面积．【分析】（1）由BD是△ABC的角平分线，DE∥AB，易证得△BDE是等腰三角形，且BE＝DE；又由BE＝AF，可得DE＝AF，即可证得四边形ADEF是平行四边形；（2）首先过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，由∠ABC＝60°，BD 是∠ABC的平分线，可求得DG的长，继而求得DE的长，则可求得答案．（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBE，∵DE∥AB，∴∠ABD＝∠BDE，∴∠DBE＝∠BDE，∴BE＝DE；∵BE＝AF，∴AF＝DE；∴四边形ADEF是平行四边形；（2）解：过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，∵∠ABC＝60°，BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠EBD＝30°，∴DG＝BD＝×4＝2，∵BE＝DE，∴BH＝DH＝2，∴BE＝＝，∴DE＝，∴四边形ADEF的面积为：DE•DG＝．【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知识．注意掌握辅助线的作法．26．为弘扬中华优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动，诵读材料有《论语》、《大学》、《中庸》（依次用字母A，B，C表示这三个材料），将A，B，C分别写在3张完全相同的不透明卡片的正面上，背面朝上洗匀后放在桌面上，比赛时小礼先从中随机抽取一张卡片，记下内容后放回，洗匀后，再由小智从中随机抽取一张卡片，他俩按各自抽取的内容进行诵读比赛．（1）小礼诵读《论语》的概率是；（直接写出答案）（2）请用列表或画树状图的方法求他俩诵读两个不同材料的概率．【分析】（1）直接利用概率公式计算；（2）画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出小红和小亮诵读两个不同材料的结果数，然后根据概率公式计算．解：（1）小红诵读《论语》的概率＝；故答案为．（2）画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中小红和小亮诵读两个不同材料的结果数为6，所以小红和小亮诵读两个不同材料的概率＝＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．27．（12分）某商品的进价为每件50元．当售价为每件70元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）根据“总利润＝单件利润×销售量”列出函数解析式，由“确保盈利”可得x的取值范围．（2）将所得函数解析式配方成顶点式可得最大值．解：（1）根据题意得y＝（70﹣x﹣50）（300+20x）＝﹣20x2+100x+6000，∵70﹣x﹣50＞0，且x≥0，∴0≤x＜20；（2）∵y＝﹣20x2+100x+6000＝﹣20（x﹣）2+6125，∴当x＝时，y取得最大值，最大值为6125，答：当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润是6125元．【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意确定相等关系，并据此列出函数解析式．28．（14分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF＝45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF．，GH．（1）填空：∠AHC＝∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”）（2）线段AC，AG，AH什么关系？请说明理由；（3）设AE＝m，①△AGH的面积S有变化吗？如果变化．请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值．②请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值．【分析】（1）证明∠DAC＝∠AHC+∠ACH＝45°，∠ACH+∠ACG＝45°，即可推出∠AHC＝∠ACG；（2）结论：AC2＝AG•AH．只要证明△AHC∽△ACG即可解决问题；（3）①△AGH的面积不变．理由三角形的面积公式计算即可；②分三种情形分别求解即可解决问题；解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB＝CD＝DA＝4，∠D＝∠DAB＝90°∠DAC＝∠BAC＝45°，∴AC＝＝4，∵∠DAC＝∠AHC+∠ACH＝45°，∠ACH+∠ACG＝45°，∴∠AHC＝∠ACG．故答案为＝．（2）结论：AC2＝AG•AH．理由：∵∠AHC＝∠ACG，∠CAH＝∠CAG＝135°，∴△AHC∽△ACG，＝，∴AC2＝AG•AH．（3）①△AGH的面积不变．＝•AH•AG＝AC2＝×（4）2＝16．理由：∵S△AGH∴△AGH的面积为16．②如图1中，当GC＝GH时，易证△AHG≌△BGC，可得AG＝BC＝4，AH＝BG＝8，∵BC∥AH，∴＝＝，∴AE＝AB＝．如图2中，当CH＝HG时，易证AH＝BC＝4，∵BC∥AH，∴＝＝1，∴AE＝BE＝2．如图3中，当CG＝CH时，易证∠ECB＝∠DCF＝22.5°．在BC上取一点M，使得BM＝BE，∴∠BME＝∠BEM＝45°，∵∠BME＝∠MCE+∠MEC，∴∠MCE＝∠MEC＝22.5°，∴CM＝EM，设BM＝BE＝x，则CM＝EM＝x，∴x+x＝4，∴m＝4（﹣1），∴AE＝4﹣4（﹣1）＝8﹣4，综上所述，满足条件的m的值为或2或8﹣4．【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．29．（14分）已知，抛物线y＝a x2+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．【分析】（1）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点D的坐标；（2）把点M（1，0）代入直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于x的一元二次方程，可求得另一交点N的坐标，根据a＜b，判断a＜0，确定D、M、N的位置，画图1，根据面积和可得△DMN的面积即可；（3）先根据a的值确定抛物线的解析式，画出图2，先联立方程组可求得当GH与抛物线只有一个公共点时，t的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t的值，可得：线段GH与抛物线有两个不同的公共点时t的取值范围．解：（1）∵抛物线y＝ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），∴a+a+b＝0，即b＝﹣2a，∴y＝ax2+ax+b＝ax2+ax﹣2a＝a（x+）2﹣，∴抛物线顶点D的坐标为（﹣，﹣）；（2）∵直线y＝2x+m经过点M（1，0），∴0＝2×1+m，解得m＝﹣2，∴y＝2x﹣2，则，得ax2+（a﹣2）x﹣2a+2＝0，∴（x﹣1）（ax+2a﹣2）＝0，解得x＝1或x＝﹣2，∴N点坐标为（﹣2，﹣6），。