安徽省滁州市九校2019-2020学年高二上学期期末考试数学(文)试题
2019—2020学年第一学期期末联考
高二数学（文科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.命题“x R ∀∈，sin 0x >”的否定是 A. x R ∃∈，sin 0x ≤ B. x R ∀∈，sin 0x ≤ C. x R ∃∈，sin 0x <
D. x R ∀∈，sin 0x <
2.某学校的老师配置及比例如图所示，为了调查各类老师的薪资状况，
现采用分层抽样的方法抽取部分老师进行调查，在抽取的样本中，青年老师有30人，则该样本中的老年教师人数为（ ）
A. 10
B. 12
C. 18
D. 20
3.若函数2
1
()f x x x
=+，则()1f '-=（ ） A. 3-
B. 1
C. 1-
D. 3
4.已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率53
e =，且其虚轴长为8，则双曲线C 的方程为
A. 22
143
x y -= B. 22
134x y -= C. 221916
x y -=
D.
22
1169
x y -= 5.命题“[]2
1,2,0x x a ∀∈-≤”为真命题一个充分不必要条件是（ ）
A. 4a ≥
B. 4a ≤
C. 5a ≥
D. 5a ≤
6.篮球运动员甲在某赛季前15场比赛的得分如表：
则这15场得分的中位数和众数分别为（ ） A. 22，18
B. 18，18
C. 22，22
D. 20，18
7.下列说法：①若线性回归方程为$35y x =-，则当变量x 增加一个单位时，y 一定增加3个单位；②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不会改变；③线性回归直线方程y bx a =+$$$必过点()
,x y ；④抽签法属于简单随机抽样；其中错误的说法是（ ） A. ①③
B. ②③④
C. ①
D. ①②④
8.偶函数()(
)x
x
f x x e ae
-=-的图象在1x =处的切线斜率为( )
A. 2e
B. e
C.
2
e
D. 1e e
+
9.设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的两位数．将组成a 的2个数字按从小到大排成的两位数记为I （a ），按从大到小排成的两位数记为D （a ）（例如a ＝75，则I （a ）＝57，D （a ）＝75）．执行如图所示的程序框图，若输人的a ＝51，则输出的b ＝（ ）
A. 30
B. 35
C. 40
D. 45
10.已知双曲线22
:11648
x y C -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为C 上一点，1
FQ QP =u u u r u u u r ，O 为坐标原点，若1||10PF =，则||OQ =（ ）
A. 10
B. 1或9
C. 1
D. 9
11.过焦点为F 的抛物线y 2＝12x 上一点M 向其准线作垂线，垂足为N ，若直线NF 的斜率为|MF |＝（ ）
A. 2
B.
C. 4
D. 12.点P 在椭圆221:143
x y C +=上，1C 的右焦点为F ，点Q 在圆22
2:68210C x y x y ++-+=上，则
PQ PF -的最小值为（ ）
A. 4
B.
4-
C. 6-
D. 6
二、填空题：本题共4小题，每小题5分共20分．
13.从区间(2,3)-内任选一个数m ，则方程2
2
1mx y +=表示的是双曲线的概率为__________．
14.命题“当0c >时，若a b >,则ac bc >.”的逆命题是______. 15.函数()ln x f x x
=
在(
20,e ⎤⎦上的最大值是____． 16.空气质量指数（Air Quality Index ，简称AQI ）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染.某环保人士从当地某年的AQI 记录数据中，随机抽取了15天的AQI 数据，用如图所示的茎叶图记录.根据该统计数据，估计此地该年空气质量为优或良的天数约为__________．（该年为366天）
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，现用一种新配方做试验，生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
（1）将答题卡上列出这些数据的频率分布表填写完整，并补齐频率分布直方图；
（2）估计这种产品质量指标值的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）与中位数（结果精确到0.1）.
18.己知p：函数f（x）在R上是增函数，f（m2）＜f（m+2）成立；q：方程
22
3
x y
m m
+=
-
1（m∈R）表示
双曲线．
（1）若p为真命题，求m取值范围；
（2）若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求m 的取值范围．
19.已知椭圆W ：22
1(0,0)x y m n m n
+=>>的离心率为e ，长轴为AB ，短轴为CD ．
()1若W 的一个焦点为()3,0，6CD =，求W 的方程； ()2若10AB =，35
e =，求W 的方程．
20.一个袋中装有6个大小形状完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，5，6． （1）从袋中随机抽取两个球，求取出
球的编号之和为6的概率；
（2）先后有放回地随机抽取两个球，两次取的球的编号分别记为a 和b ，求5a b +>的概率． 21.已知过点()2,3M 的直线l 与抛物线E ：2
8y x =交于点A ，B ．
()1若弦AB 的中点为M ，求直线l 的方程；
()2设O 为坐标原点，OA OB ⊥，求AB ．
22.已知函数()()2
ln f x a b x x x x =---．
（1）若曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线与x 轴平行，且()1f a =，求,a b 的值； （2）若1a =，()0f x ≥对()0,x ∈+∞恒成立，求b 的取值范围．
的。
2023-2024学年安徽省滁州中学高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年安徽省滁州中学高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．若直线经过A （2，0），B(1，√3)两点，则直线AB 的倾斜角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．在等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5=−274，则公比q ＝（ ） A ．−32B ．−23C ．23D ．323．已知椭圆x 2m +y 24=1的一个焦点坐标F （1，0），则m ＝（ ）A ．√17B ．5C ．5或3D ．34．若函数f(x)=13x 3−ax 2在x ＝﹣2处有极值，则实数a ＝（ ）A ．﹣2B ．2C ．1D ．﹣15．已知A （1，﹣2，﹣1），n →=（2，0，1）是平面α的一个法向量，且B （﹣1，1，2）是平面α内一点，则点A 到平面α的距离为（ ） A ．√55B ．√33C ．√2D ．√226．已知f ′（x ）是函数f （x ）的导函数，若函数y ＝3f′（x ）的图象大致如图所示，则f （x ）的极小值点为（ ）A ．x 1B ．x 2C ．x 3D ．x 57．已知数列{a n }，a 1＝2，a 2＝0，且{a n+2=a n −2(n 为奇数)a n+2=a n +2(n 为偶数)，则数列{a n }的前2023项之和为（ ）A ．0B ．2C ．2024D ．40488．已知点M （1，2），点P 是双曲线C ：x 24−y 212=1左支上的动点，N 是圆D ：（x +4）2+y 2＝1上的动点，则|PM |﹣|PN |的最小值为（ ） A ．5−√10B ．√10−5C ．√13−3D ．3−√13二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知等比数列{a n }中，a 3＝8，公比q =12，其前n 项和为S n ，则下列说法中正确的是（ ）A ．a 1＝32B ．a n =26−nC ．a 24a 22=4D ．S 8=255410．若直线kx ﹣y +2k ＝0与圆（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝4有公共点，则实数k 的取值可能是（ ） A ．0B ．2C ．3D ．411．已知椭圆C ：x 26+y 22=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且点P （1，1）为线段MN 的中点，则下列说法正确的是（ ） A ．椭圆C 的离心率为√63B ．△PF 1F 2的面积为1C ．直线l 的方程为x +3y ﹣4＝0D ．|MN|=2√10312．已知函数f （x ）为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，若当x ＜0时，xf '（x ）﹣f （x ）＜0，且f （1）＝0，则（ ） A ．2f （e ）＞ef （2）B ．当m ＜2时，f （m ）＞mf （1）C ．3f （﹣π）+πf （3）＜0D ．不等式f （x ）＞0解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知f '（x ）为函数f(x)=e xx 2的导函数，则f '（3）＝ ． 14．已知{a n }为等差数列，且a 1+a 2＝1，a 8+a 9＝5，则a 5＝ ．15．已知双曲线C ：x 29−y 2b 2=1(b ＞0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，离心率为43，P 为双曲线上一点，|OP |＝4（O 为坐标原点），则△PF 1F 2的面积为 ．16．已知正四面体P ﹣ABC 的棱长为4，空间内动点M 满足|MA →+MB →|=2√2，则PM →•PC →的最大值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2+a 3＝12，S 6＝48． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）记b n =1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 18．（12分）已知函数f(x)=mx+lnx ．（1）若函数f （x ）在区间[12，2]上单调递减，求实数m 的取值范围；（2）当m ＝2，12≤x ≤2时，f （x ）≤a 恒成立，求实数a 的取值范围．19．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，且S n +1+3a n ＝S n +2a n +1． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n ＝（n +1）•a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，P A ＝AD ＝3，AB ＝BC ＝2，点N 为BC 中点，点M 为棱PD 上靠近点P 的三等分点． （1）求证：直线MN ∥平面P AB ；（2）求直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值．21．（12分）设抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，点P （2，n ）是抛物线C 上位于第一象限的一点，且|PF |＝4．（1）求抛物线C 的方程；（2）如图，过点P 作两条直线，分别与抛物线C 交于异于P 的M ，N 两点，若直线PM ，PN 的斜率存在，且斜率之和为0，求证：直线MN 的斜率为定值．22．（12分）已知函数f （x ）＝e x ﹣2x ﹣cos x ． （1）求曲线y ＝f （x ）在原点处的切线方程； （2）讨论f （x ）在R 上的零点个数．2023-2024学年安徽省滁州中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．若直线经过A （2，0），B(1，√3)两点，则直线AB 的倾斜角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解：因为直线经过A （2，0），B(1，√3) 两点，所以直线的斜率为√3−01−2=−√3，设直线的倾斜角为θ，则tan θ=−√3，又因为0°≤θ＜180°，所以θ＝120°，即直线AB 的倾斜角为120°． 故选：C ．2．在等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5=−274，则公比q ＝（ ） A ．−32B ．−23C ．23D ．32解：∵等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5=−274，∴q 3=a 5a 2=−2742=−278，故q =−32．故选：A ．3．已知椭圆x 2m +y 24=1的一个焦点坐标F （1，0），则m ＝（ ）A ．√17B ．5C ．5或3D ．3解：椭圆x 2m+y 24=1的一个焦点坐标F （1，0），可得m ﹣4＝1，解得m ＝5．故选：B ．4．若函数f(x)=13x 3−ax 2在x ＝﹣2处有极值，则实数a ＝（ ）A ．﹣2B ．2C ．1D ．﹣1解：因为f(x)=13x 3−ax 2，f ′（x ）＝x 2﹣2ax ，由f （x ）在x ＝﹣2处有极值可得 f ′（﹣2）＝0，所以4+4a ＝0，解得a ＝﹣1， 经检验当a ＝﹣1 时，f ′（x ）＝x 2+2x ＝x （x +2），当x ＜﹣2或x ＞0时，f ′（x ）＞0，当﹣2＜x ＜0时，f ′（x ）＜0，所以f （x ）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上单调递增，在（﹣2，0）上单调递减，函数在x ＝﹣2处有极大值，满足题意． 故选：D ．5．已知A （1，﹣2，﹣1），n →=（2，0，1）是平面α的一个法向量，且B （﹣1，1，2）是平面α内一点，则点A 到平面α的距离为（ ） A ．√55B ．√33C ．√2D ．√22解：因为A （1，﹣2，﹣1），B （﹣1，1，2）是平面α内一点，所以AB →=(−2，3，3)， 又n →=（2，0，1）是平面α的一个法向量，则点A 到平面α的距离为|AB →⋅n →||n →|=√4+1=√55． 故选：A ．6．已知f ′（x ）是函数f （x ）的导函数，若函数y ＝3f′（x ）的图象大致如图所示，则f （x ）的极小值点为（ ）A ．x 1B ．x 2C ．x 3D ．x 5解：由y ＝3f′（x ）的图象知，当x ∈（﹣∞，x 1）时，3f′（x ）＞1，则f ′（x ）＞0，当x ∈（x 1，x 5）时，3f′（x ）≤1，则f ′（x ）≤0， 当x ∈（x 5，+∞）时，3f′（x ）＞1，则f ′（x ）＞0，故f （x ）的单调递增区间为（﹣∞，x 1）、（x 5，+∞），单调递减区间为（x 1，x 5）， 故f （x ）的极小值点为x 5． 故选：D ．7．已知数列{a n }，a 1＝2，a 2＝0，且{a n+2=a n −2(n 为奇数)a n+2=a n +2(n 为偶数)，则数列{a n }的前2023项之和为（ ）A ．0B ．2C ．2024D ．4048解：当n 为奇数时，a n +2＝a n ﹣2，即a n +2﹣a n ＝﹣2， 所以数列{a n }的奇数项构成首项为2，公差为﹣2的等差数列； 当n 为偶数时，a n +2＝a n +2，即a n +2﹣a n ＝2，所以数列{a n }的偶数项构成首项为0，公差为2的等差数列．所以前2023项和为（a 1+a 3+...+a 2023）+（a 2+a 4+...+a 2022）＝（2+0+...﹣2020）+（0+2+ (2020)=12×1012×（2﹣2020）+12×1011×2020＝2． 故选：B ．8．已知点M （1，2），点P 是双曲线C ：x 24−y 212=1左支上的动点，N 是圆D ：（x +4）2+y 2＝1上的动点，则|PM |﹣|PN |的最小值为（ ） A ．5−√10B ．√10−5C ．√13−3D ．3−√13解：双曲线C 的半焦距c =√4+12=4，圆D 的圆心D （﹣4，0）是双曲线C 的左焦点，令右焦点为F 2（4，0）， 圆D 半径为r ＝1，显然点P 在圆D 外，|PN |≤|PD |+r ， 当且仅当N 是PD 的延长线与圆的交点时取等号，|PM|≥|PF 2|−|MF 2|=|PF 2|−√13，当且仅当P ，M ，F 2三点共线时取等号， 由双曲线的定义|PF 2|﹣|PD |＝2a ＝4，所以|PM|−|PN|≥|PF 2|−√13−|PD|−1=3−√13，即|PM |﹣|PN |的最小值为3−√13． 故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知等比数列{a n }中，a 3＝8，公比q =12，其前n 项和为S n ，则下列说法中正确的是（ ）A ．a 1＝32B ．a n =26−nC ．a 24a 22=4D ．S 8=2554解：等比数列{a n }中，a 3＝8，公比q =12，其前n 项和为S n ，a 1=a 3q 2=32，故A 正确；a n =a 1q n−1=32⋅(12)n−1=26−n ，故B 正确；a 24a 22=q 2=14，故C 错误；S 8=a 1(1−q 8)1−q =2554，故D 正确．故选：ABD ．10．若直线kx ﹣y +2k ＝0与圆（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝4有公共点，则实数k 的取值可能是（ ） A ．0B ．2C ．3D ．4解：直线kx ﹣y +2k ＝0，即（x +2）k ﹣y ＝0，易知直线恒过定点（﹣2，0）， 圆（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝4的圆心坐标为（1，2），半径为2， 显然点（﹣2，0）在圆外，直线与圆有公共点， 则圆心到直线的距离d =|k−2+2k|√k +1≤2，解得0≤k ≤125． 故选：AB ．11．已知椭圆C ：x 26+y 22=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且点P （1，1）为线段MN 的中点，则下列说法正确的是（ ） A ．椭圆C 的离心率为√63B ．△PF 1F 2的面积为1C ．直线l 的方程为x +3y ﹣4＝0D ．|MN|=2√103解：根据题意，作图如下：对A ：由题知a 2＝6，b 2＝2，则c 2＝4，所以离心率为e =c a =26=√63，A 正确； 对B ：S △PF 1F 2=12|F 1F 2|⋅y P =12×4×1=2，B 错误；对C ：设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 126+y 122=1，x 226+y 222=1，两式相减得(x 1+x 2)(x 1−x 2)6=−(y 1+y 2)(y 1−y 2)2，因为P （1，1）为线段MN 的中点，所以x 1+x 2＝2，y 1+y 2＝2，所以y 1−y 2x 1−x 2=−13，即直线MN 的斜率为−13，所以直线l 的方程为y −1=−13(x −1)，即x +3y ﹣4＝0，经检验符合题意，C 正确；对D ：联立{x 26+y 22=1，x +3y −4=0，得2x 2﹣4x ﹣1＝0，Δ＝16+8＞0，x 1+x 2=2，x 1x 2=−12；所以|MN|=√1+(−13)2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√153，D 错误．故选：AC ．12．已知函数f （x ）为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，若当x ＜0时，xf '（x ）﹣f （x ）＜0，且f （1）＝0，则（ ） A ．2f （e ）＞ef （2）B ．当m ＜2时，f （m ）＞mf （1）C ．3f （﹣π）+πf （3）＜0D ．不等式f （x ）＞0解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）解：构造函数g(x)=f(x)x，其中x ≠0， 因为函数f （x ）为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，则f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 所以g(−x)=f(−x)−x =f(x)x=g(x)，故函数g （x ）为偶函数， 当x ＜0时，g '（x ）=f′(x)x−f(x)x 2＜0，所以函数g （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，由偶函数性质可得g （x ）在（0，+∞）上单调递增， 因为f （1）＝0，则g(1)=f(1)1=0，则g （﹣1）＝g （1）＝0， 对于A ：因为e ＞2，所以g （e ）＞g （2），即 f(e)e＞f(2)2，2f （e ）＞ef （2），故A 正确； 对于B ：不妨取m ＝1，则f （1）＝0，mf （1）＝0，故B 错误； 对于C ：因为偶函数g （x ）在（0，+∞）上单调递增， 则g （﹣π）＝g （π）＞g （3），即f(−π)−π＞f(3)3，整理可得3f （﹣π）+πf （3）＜0，故C 正确； 对于D ：当x ＜0时，由f （x ）＞0可得g （x ）=f(x)x＜0＝g （﹣1）， 又因为函数g （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，所以﹣1＜x ＜0， 当x ＞0时，由f （x ）＞0可得 g(x)=f(x)x＞0=g(1)， 又因为函数g （x ）在（0，+∞）上单调递增，所以x ＞1，综上所述，不等式f （x ）＞0解集为（﹣1，0）∪（1，+∞），故D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知f '（x ）为函数f(x)=e xx 2的导函数，则f '（3）＝ e 327．解：由函数f(x)=e x x 2可得f ′(x)=xe x −2e x x 3，故f ′(3)=e 327．故答案为：e 327．14．已知{a n }为等差数列，且a 1+a 2＝1，a 8+a 9＝5，则a 5＝32．解：根据题意，{a n }为等差数列，且a 1+a 2＝1，a 8+a 9＝5，则a 1+a 2+a 8+a 9＝（a 1+a 9）+（a 2+a 8）＝2a 5+2a 5＝6，变形可得a 5=32．故答案为：32．15．已知双曲线C ：x 29−y 2b 2=1(b ＞0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，离心率为43，P 为双曲线上一点，|OP |＝4（O 为坐标原点），则△PF 1F 2的面积为 7 ． 解：如图所示：因为双曲线C 的离心率e =c a =c 3=43，所以c ＝4，|F 1F 2|＝8， 设点P 在双曲线的右支上，由|OP|=4=12|F 1F 2|=|OF 1|=|OF 2|，可得∠OPF 2＝∠OF 2P ，∠OPF 1＝∠OF 1P ，所以，∠F 1PF 2=∠OPF 1+∠OPF 2=12(∠OPF 1+∠OPF 2+∠OF 1P +∠OF 2P)=π2，由双曲线定义可得|PF 1|﹣|PF 2|＝6，由勾股定理可得|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=64， 所以(|PF 1|−|PF 2|)2=|PF 1|2+|PF 2|2−2|PF 1|⋅|PF 2|=36，可得|PF 1|•|PF 2|＝14， 因此△PF 1F 2的面积为S =12|PF 1|⋅|PF 2|=7．故答案为：7．16．已知正四面体P ﹣ABC 的棱长为4，空间内动点M 满足|MA →+MB →|=2√2，则PM →•PC →的最大值为 8+4√2 ．解：∵正四面体P ﹣ABC 的棱长为4，空间内动点M 满足|MA →+MB →|=2√2， 设AB 的中点为O ，∵动点M 满足|MA →+MB →|=2√2，则|OM →|=√2， 故点M 在以O 为球心，以√2为半径的球面上．∵PM →=PO →+OM →，∴PM →⋅PC →=(PO →+OM →)⋅PC →=PO →⋅PC →+OM →⋅PC →． ∴PO =CO =4×sin60°=2√3，在三角形POC 中，PO =CO =2√3，PC ＝4， 取PC 的中点为E ，OE ⊥PC ，∴PO →在PC →上的投影向量的模为|PE →|，∴PO →⋅PC →=|PE →|×|PC →|=2×4=8． 设OM →，PC →夹角为θ，∴PM →⋅PC →=PO →⋅PC →+OM →⋅PC →=8+|OM →|×|PC →|cosθ=8+4√2cosθ． ∵cos θ∈[﹣1，1]，∴PM →⋅PC →∈[8−4√2，8+4√2]，即PM →⋅PC →的最大值为8+4√2． 故答案为：8+4√2．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2+a 3＝12，S 6＝48． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）记b n =1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 解：（1）设等差数列 {a n } 的公差为d ，由a 2+a 3＝12，S 6＝48， 得{2a 1+3d =126a 1+15d =48，解得a 1＝3，d ＝4．所以a n ＝3+（n ﹣1）×2＝2n +1． （2）由（1）得b n =1a n a n +1，所以b n =1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1−12n+3)，所以T n =12(13−15+15−17+...+12n+1−12n+3)=12(13−12n+3)=16−14n+6．18．（12分）已知函数f(x)=mx+lnx ． （1）若函数f （x ）在区间[12，2]上单调递减，求实数m 的取值范围；（2）当m ＝2，12≤x ≤2时，f （x ）≤a 恒成立，求实数a 的取值范围．解：（1）因为f （x ）在区间[12，2]上单调递减，所以在区间[12，2]上，f '（x ）≤0，所以f ′(x)=−m x 2+1x≤0⇒m ≥x ， 令g （x ）＝x ，只需m ≥g （x ）max ＝2，所以实数m 的取值范围为[2，+∞）．（2）由（1）知，m ＝2时，f （x ）在[12，2]上单调递减， 所以f （x ）的最大值为f(12)=4−ln2， 又当m ＝2，12≤x ≤2时，f （x ）≤a 恒成立，所以a ≥4﹣ln 2， 故实数a 的取值范围为[4﹣ln 2，+∞）．19．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，且S n +1+3a n ＝S n +2a n +1．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n ＝（n +1）•a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．解：（1）由S n +1+3a n ＝S n +2a n +1，得S n +1﹣S n +3a n ＝a n +1+3a n ＝2a n +1，即a n+1a n=3， 所以{a n }是首项为3，公比为3的等比数列，故a n =3n ；（2）由（1）知b n =(n +1)⋅a n =(n +1)⋅3n ，则T n ＝2×3+3×32+4×33+⋯+（n +1）•3n ，①3T n ＝2×32+3×33+4×34+⋯+（n +1）•3n +1，②①与②两式相减得﹣2T n ＝6+32+33+…+3n ﹣（n +1）•3n +1＝3+3(1−3n )1−3−（n +1）•3n +1=(−1−2n)⋅3n+12+32， 故T n =(2n+14)⋅3n+1−34． 20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，P A ＝AD ＝3，AB ＝BC ＝2，点N 为BC 中点，点M 为棱PD 上靠近点P 的三等分点．（1）求证：直线MN ∥平面P AB ；（2）求直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值．（1）证明：在P A 上取点E ，使得PE ＝1，即PE =13P A ，连接EB ，EM ，因为点N 为BC 中点，点M 为棱PD 上靠近点P 的三等分点又因为AD ＝3，BC ＝2，N 为BC 的中点，所以EM ∥AD ，且EM =13AD ＝1， 因为EM ＝BN ＝1＝EM ，因为AD ∥BC ，所以EM ∥BN 且EM ＝BN ，所以四边形EBNM 为平行四边形，所以MN ∥EB ，又因为EB ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ，所以直线MN ∥平面P AB ；（2）解：如图以A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴，AP 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，由题意可得：C （2，2，0），D （0，3，0），P （0，0，3），M （0，1，2），N （2，1，0）， 所以PD →=(0，3，−3)，PC →=(2，2，−3)，MN →=(2，0，−2)，设平面PCD 的一个法向量为n →=(x 1，y 1，z 1)，则{n →⋅PC →=0n →⋅PD →=0，即{2x 1+2y 1−3z 1=03y 1−3z 1=0， 令z 1＝2，则y 1＝2，x 1＝1，即n →=(1，2，2)，MN →•n →=2×1+0×2+（﹣2）×2＝﹣2，|n →|=√12+22+22=3，|MN →|=√22+02+(−2)2=2√2， 所以cos ＜MN →，n →＞=MN →⋅n →|MN →|⋅|n →|=2√2×3=−√26， 设MN 与平面PCD 所成角θ，则θ∈[0，π2]， 所以sin θ＝|cos ＜MN →，n →＞|=√26．所以直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值为√26．21．（12分）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（2，n）是抛物线C上位于第一象限的一点，且|PF|＝4．（1）求抛物线C的方程；（2）如图，过点P作两条直线，分别与抛物线C交于异于P的M，N两点，若直线PM，PN的斜率存在，且斜率之和为0，求证：直线MN的斜率为定值．（1）解：由抛物线的定义知|PF|=4=2+p2，解得p＝4，所以抛物线C的方程为y2＝8x；（2）证明：因为点P的横坐标为2，即y2＝8×2，解得y＝±4，故P点的坐标为（2，4），由题意可知，直线PM，PN不与x轴平行，设M（x1，y1），N（x2，y2），设直线PM：m（y﹣4）＝x﹣2，即x＝my﹣4m+2，代入抛物线的方程得y2＝8（my﹣4m+2），即y2﹣8my+32m﹣16＝0，则y1+4＝8m，故y1＝8m﹣4，所以x1=my1−4m+2=m(8m−4)−4m+2=8m2−8m+2，即M（8m2﹣8m+2，8m﹣4），设直线PN：﹣m（y﹣4）＝x﹣2，即x＝﹣my+4m+2，同理可得y2＝﹣8m﹣4，则x2=−my2+4m+2=−m(−8m−4)+4m+2=8m2+8m+2，即N（8m2+8m+2，﹣8m﹣4），直线MN的斜率k MN=y1−y2x1−x2=16m−16m=−1，所以直线MN的斜率为定值．22．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣2x﹣cos x．（1）求曲线y＝f（x）在原点处的切线方程；（2）讨论f（x）在R上的零点个数．解：（1）易知f（x）的定义域为R，可得f′（x）＝e x﹣2+sin x，此时f′（0）＝﹣1，又f（0）＝0，所以曲线y＝f（x）在原点处的切线方程为y＝﹣x，即x+y＝0；（2）由（1）知f′（x）＝e x+sin x﹣2，当x≤0时，e x≤1，sin x≤1，所以f′（x）＝e x+sin x﹣2≤0恒成立，即f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，此时f（x）≥f（0）＝0，则0是f（x）的一个零点；当x＞0时，f′（x）＝e x+sin x﹣2，设g（x）＝e x+sin x﹣2，函数定义域为（0，+∞），可得g′（x）＝e x+cos x＞1+cos x≥0恒成立，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，即f′（x）在（0，+∞）上单调递增，又f′（0）＝﹣1＜0，f′（1）＝e﹣2+sin1＞0，所以∃x1∈（0，1），使得f′（x1）＝0，当0＜x＜x1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞x1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，又f（0）＝1﹣1＝0，所以f（x1）＜0，因为f（2）＝e2﹣4﹣cos2＞e2﹣4＞0，所以∃x2∈（x1，2），使得f（x2）＝0．综上所述，f（x）在R上的零点个数为2．。
2019-2020学年安徽省滁州市定远县育才学校高二(普通班)上学期期末考试数学(文)试题 含答案
安徽省滁州市定远县育才学校育才学校2019--2020学年度第一学期期末考试高二普通班文科数学考试时间:120分钟满分:150分一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)1.已知p：函数f(x)＝(a－1)x为增函数，q：∀x∈，ax－1≤0，则p是q的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2.下列说法正确的是()A．命题“若x2>1，则x>1”的否命题为“若x2>1，则x≤1”B．命题“∃x0∈R，x>1”的否定是“∀x∈R，x2>1”C．命题“若x＝y，则cos x＝cos y”的逆否命题为假命题D．命题“若x＝y，则cos x＝cos y”的逆命题为假命题3.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为()A．B．C．D．4.已知双曲线－y2＝1的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且满足|PF1|＋|PF2|＝2，则△PF1F2的面积为()A．B． 1 C．D．5.M是抛物线y2＝2px(p>0)上一点，F为抛物线的焦点，以Fx为始边，FM为终边的角为α，且α＝60°，若|FM|＝4，则p等于()A． 1 B． 2 C． 3D．46.设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0，]，则点P横坐标的取值范围为()A．[－1，－] B．[－1,0] C．[0,1] D．[，1]7.已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则为() A．B．－C．D．－8.已知函数f(x)＝2x，则f′(x)等于()A．2x B．2x ln 2 C．2x＋ln 2 D．9.已知f(x)＝ln x(x＞0)，f(x)的导数是f′(x)，若a＝f(7)，b＝f′()，c＝f′()，则a，b，c的大小关系是()A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．b＜a＜c10.已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是()A．－37 B．－29 C．－5 D．以上都不对11.在半径为r的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，其上底长为()A．B．r C．r D．r12.函数f(x)＝x＋ln x在(0,6)上是()A．单调递增函数B．单调递减函数C．在(0，)上是减函数，在(，6)上是增函数D．在(0，)上是增函数，在(，6)上是减函数二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13.命题“至少有一个正实数x0满足方程x＋2(a－1)x0＋2a＋6＝0”的否定是________________．14.如图所示，F1，F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2＝________.15.双曲线5x2＋ky2＝5的一个焦点是(，0)，那么实数k的值为________．16.如图，直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为______．三、解答题(共6小题,共70分)17.（10分）已知p：x2－8x－20≤0；q：1－m2≤x≤1＋m2.(1)若p是q的必要条件，求m的取值范围；(2)若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围．18. （12分）过双曲线－＝1的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点．(1)求|AB|；(2)求△AOB的面积．19. （12分）已知函数f(x)＝a ln x－x＋1(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)≤0在(0，＋∞)上恒成立，求所有实数a的值．20. （12分）已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线方程.21. （12分）如图，椭圆E：＋＝1(a>b>0)经过点A(0，－1)，且离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.22. （12分）已知函数f(x)＝2x＋，直线l：y＝kx－1.(1)求函数f(x)的极值；(2)求证：对于任意k∈R，直线l都不是曲线y＝f(x)的切线；(3)试确定曲线y＝f(x)与直线l的交点个数，并说明理由．参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D B B B A D B B A D A13.∀x∈(0，＋∞)，x2＋2(a－1)x＋2a＋6≠014.215.－116.4817.解由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，即p：－2≤x≤10，q：1－m2≤x≤1＋m2.(1)若p是q的必要条件，则即即m2≤3，解得－≤m≤，即m的取值范围是[－，]．(2)∵p是q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件．即(两个等号不同时成立)，即m2≥9，解得m≥3或m≤－3.即m的取值范围是{m|m≥3或m≤－3}．18.(1)由双曲线的方程得a＝，b＝，∴c＝＝3，F1(－3,0)，F2(3,0)．直线AB的方程为y＝(x－3)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得5x2＋6x－27＝0.∴x1＋x2＝－，x1x2＝－.∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝·＝.(2)直线AB的方程变形为x－3y－3＝0.∴原点O到直线AB的距离为d＝＝.∴S△AOB＝|AB|·d＝××＝.∴△AOB的面积为.19.(1)f′(x)＝－1＝(x>0)．当a≤0时，f′(x)<0，∴f(x)减区间为(0，＋∞)，当a>0时，由f′(x)>0得0＜x<a，由f′(x)＜0得x＞a，∴f(x)递增区间为(0，a)，递减区间为(a，＋∞)．(2)由(1)知：当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上为减函数，而f(1)＝0，∴f(x)≤0在区间x∈(0，＋∞)上不恒成立；当a>0时，f(x)在(0，a)上递增，在(a，＋∞)上递减，f(x)max＝f(a)＝a ln a－a＋1，令g(a)＝a ln a－a＋1，依题意有g(a)≤0，而g′(a)＝ln a，且a>0，∴g(a)在(0,1)上递减，在(1，＋∞)上递增，∴g(a)min＝g(1)＝0，故a＝1.20.(1)∵f′(x)＝3x2＋1，∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13，∴切线方程为13x－y－32＝0.(2)方法一设切点坐标为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3＋1，∴直线l的方程为y＝(3＋1)(x－x0)＋＋x0－16.又∵直线l过原点(0,0)，∴0＝(3＋1)(－x0)＋＋x0－16，整理得＝－8，∴x0＝－2，∴y0＝－26，k＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26).方法二设直线l的方程为y＝kx，切点坐标为(x0，y0)，则k＝＝.又∵k＝f′(x0)＝3＋1，∴＝3＋1，解得x0＝－2，∴y0＝－26，k＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26).(3)∵切线与直线y＝－＋3垂直，∴切线的斜率为k＝4.设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3＋1＝4，∴x0＝±1，∴或∴切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y＝4x－18或y＝4x－14，即4x－y－18＝0或4x－y－14＝0.21.(1)由题设知＝，b＝1，结合a2＝b2＋c2，解得a＝.所以椭圆的方程为＋y2＝1.(2)由题设知，直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入＋y2＝1，得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0.由已知Δ>0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0，则x1＋x2＝，x1x2＝，从而直线AP，AQ的斜率之和kAP＋kAQ＝＋＝＋＝2k＋(2－k)(＋)＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k)＝2k－2(k－1)＝2.所以直线AP、AQ斜率之和为定值2.22.(1)函数f(x)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，求导，得f′(x)＝2－，令f′(x)＝0，解得x＝1.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表所示：所以函数y＝f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)，所以函数y＝f(x)有极小值f(1)＝3，无极大值．(2)证明假设存在某个k∈R，使得直线l与曲线y＝f(x)相切，设切点为A，又因为f′(x)＝2－，所以切线满足斜率k＝2－，且过点A，所以2x0＋＝x0－1，即＝－1，此方程显然无解，所以假设不成立．所以对于任意k∈R，直线l都不是曲线y＝f(x)的切线．(3)“曲线y＝f(x)与直线l的交点个数”等价于“方程2x＋＝kx－1的根的个数”．由方程2x＋＝kx－1，得k＝＋＋2.令t＝，则k＝t3＋t＋2，其中t∈R，且t≠0.考察函数h(t)＝t3＋t＋2，其中t∈R，因为h′(t)＝3t2＋1＞0，所以函数h(t)在R上单调递增，且h(t)∈R.而方程k＝t3＋t＋2中，t∈R且t≠0，所以当k＝h(0)＝2时，方程k＝t3＋t＋2无根；当k≠2时，方程k＝t3＋t＋2有且仅有一根，故当k＝2时，曲线y＝f(x)与直线l没有交点，而当k≠2时，曲线y＝f(x)与直线l有且仅有一个交点．。
2019-2020年高二上学期期末综合测试数学试题 含答案
2019-2020年高二上学期期末综合测试数学试题 含答案一、 选择题（12×5分＝60分） 1、下列命题为真命题的是（ ）A. 平行于同一平面的两条直线平行；B.与某一平面成等角的两条直线平行；C. 垂直于同一平面的两条直线平行；D.垂直于同一直线的两条直线平行。
2、下列命题中错误的是：（ ）A. 如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β；B. 如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面β；C. 如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面β；D. 如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l,那么l⊥γ.3、已知、为实数,则是的 ( )A.必要非充分条件B.充分非必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4、已知命题[]2:"1,2,0"p x x a ∀∈-≥,命题2:",220"q x R x ax a ∃∈++-=,若命题“” 是真命题,则实数的取值范围是 ( ) A. B. C. D.5，如图ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝A 1B 14，则BE 1与DF 1所成角的余弦值是( )A ．1517B ．12C ．817D ．326、设和为双曲线()的两个焦点, 若,是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.37、设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ) A. B. C. D.8、过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是（ ） A 4x+3y-13=0 B 4x-3y-19=0 C 3x-4y-16=0 D 3x+4y-8=09、正方体的全面积为a,它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是：（ ） A.; B.; C.; D..10、已知一个铜质的五棱柱的底面积为16cm 2,高为4cm ，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块（不计损耗），那么铸成的铜块的棱长是（ ） A. 2cm; B.; C.4cm; D.8cm 。
2019-2020学年安徽省滁州市浮山中学高二数学文期末试卷含解析
2019-2020学年安徽省滁州市浮山中学高二数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，已知这个球的表面积是12π，那么这个正方体的体积是（A）（B）（C）8 （D）24参考答案：C2. 已知函数，在区间（）上存在极值，则实数a的取值范围是（）A.( 0,1)B.(，1)C.( ，1) D.( , 1)参考答案：D3. 若抛物线上一点到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则的值为（）A. 2B. 18C. 2或18D. 4或16参考答案：C4. 实数x，y满足，则的最小值为3，则实数b的值为（）A． B．— C．D．—参考答案：C5. 如果一条直线经过点，且被圆截得的弦长等于8，那么这条直线的方程为( )(A) ； (B) 或；(C) ； (D) 或．参考答案：D6. 已知S n为数列{a n}的前n项和，若a2=3且S n+1=2S n，则a4等于（）A．6 B．12 C．16 D．24参考答案：B【考点】数列递推式．【分析】S n+1=2S n，n≥2时，a n+1=S n+1﹣S n=2S n﹣2S n﹣1=2a n，再利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵S n+1=2S n，∴n≥2时，a n+1=S n+1﹣S n=2S n﹣2S n﹣1=2a n，∴数列{a n}从第二项起为等比数列，公比为2．∴=3×4=12．故选：B．7. 如图，正方体绕其体对角线旋转之后与其自身重合，则的值可以是（）A． B． C． D．参考答案：A8. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=，a=2，b=1，则c等于（）A．B．C．D．1参考答案：B【考点】余弦定理．【分析】利用余弦定理列出关系式，将cosC，a与b的值代入，得到关于c的方程，求出方程的解即可得到c的值．【解答】解：∵C=，a=2，b=1，∴c2=a2+b2﹣2abcosC=4+1﹣2=3，又c为三角形的边长，则c=．故选B9. 如图，甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则乙楼的高是（）A． B． C．40 D．参考答案：A10. 已知函数f(x)=2x的反函数为f－1(x)，若f－1(a)+f－1(b)=4，则的最小值为A． B． C．D．1参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某班要从4名男生和2名女生中选派4人参加某项公益活动，如果要求至少有1名女生，那么不同的选法种数为＿＿＿＿＿。
安徽省滁州市(九校)-学年高二上学期期末考试数学(理)试题含解析
--滁州九校 2０17—2０１8 学年度第一学期高二期末考试数学试卷（理科) 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分,共 6０分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1. 高二(2)班男生 36 人,女生 18 人,现用分层抽样方法从中抽出 人,若抽出的男生人数为１ 2,则 等于( ) A． 16 B. 18 C. 2０ D． ２２ 【答案】B 【解析】因为高二(２)班男生 人,女生 人,现用分层抽样方法从中抽出 人,所以，故选 B.2． 命题“ A.”的否定为( ） B.C.Ｄ.【答案】C 【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“”的否定为“”，故选Ｃ.3． 双曲线的焦点到渐近线的距离为( )Ａ.B.【答案】CＣ． 2Ｄ． 3【解析】由双曲线方程，可得,所以渐近线方程为，焦点坐标为，由点到直线距离公式可得焦点到渐近线的距离为,故选 C.----4. 下列函数是偶函数的是 (）A．Ｂ.C.D.【答案】Ｃ 【解析】，即不是奇函数,又不是偶函数， 不合题意,,是奇函数, 不合题意，,,是偶函数， 合题意,,即不是奇函数,又不是偶函数, 不合题意,故选 C．5. 若正方形的边长为 1,则在正方形内任取一点,该点到点 A 的距离小于 1 的概率为（ )A.B.C．D.【答案】Ａ 【解析】在正方形内任取一点,该点到点 的距离小于 的点，在以点 为圆心以 为半径的四分之一圆内,面积为 ,所以在正方形内任取一点，该点到点 的距离小于 的点的概率为，故选Ａ.【方法点睛】本题題主要考查“面积型”的几何概型,属于中档题. 解决几何概型问题常见类 型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题题 的总面积以及事件的面积;几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注： (1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误;（２）基本裏件对应的区域测度把 握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.6. “函数在区间上是增函数”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 必要条件 【答案】CB. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D． 既不充分也不【解析】 时,“函数在区间上不是增函数”, 时，在上是增函数， 时,令，得，“在区间上是增函数” 的充分必要条件“”，故选 C．７. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）----A． 2 B. ３ 【答案】DC. 4【解析】执行程序框图，，故选 D．D. 5，输出８． 设命题;命题 若 ,则方程表示焦点在 轴上的椭圆,那么，下列命题为真命题的是( )A．B.C.【答案】B【解析】不存在 使D．为假, 为真,又时,方程表示焦点在 轴上的椭圆, 为真， 为假，为真，故选Ｂ.9． 将曲线 （) A.向左平移 个单位后,得曲线,则函数 的单调增区间为B．----C. 【答案】C 【解析】曲线D. 向左平移 个单位后,得到，得，等价于数 的单调增区间为，故选 C．10. 已知长方体是线段 上一点,且中点，则 与平面 所成的角的正弦值为( ）,由 ，函是0A.Ｂ.C.D.【答案】A【解析】由长方体的性质,可得，则,,设 在平面 上射影为 ,则为直线 与平面 成的角,则，得,又，故选Ａ.11. 在中,角的对边分别为 ，且,则(）A.B.C.D.【答案】A 【解析】因为，所以由正弦定理得 ,即--,由正弦定理可得--化为，故选 A.1２. 已知双曲线的左顶点为 ,右焦点为 ,过左顶点且斜率为 1 的直线与双曲线 的右支交于点 ，若的面积为 ,则双曲线 的离心率为（ )A． 3 B. 2 Ｃ．D．【答案】B【解析】由，得，则的面积为,，故选 B.【 方法点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率,属于难题．离心率的求解在圆锥曲线的 考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况:①直接求出 ,从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题中，根据的面积为 ，建立关于焦半径和焦距的关系.从而找出 之间的关系，求出离心率.第Ⅱ卷(非选择题 共９0 分）二、填空题：本大题共 4 小题,每小题 5 分，共 20 分,将答案填在答题纸上1３. 已知向量,若 ,则＿________＿．【答案】【解析】,故答案为 .【方法点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1）求向量的夹角，(此时 往往用坐标形式求解)；(２）求投影， 在 上的投影是----;(３） 向量垂直则;（4)求向量的模(平方后需求 ).14. 已知一个算法的程序框图如图所示,当输入的 ＿____＿＿_＿．与 时,则输出的两个 值的和为_【答案】【解析】 时,, 时，,，输出的两个 值的和为,故答案为 .15. 在长方体中，,点 分别为的中点,点 在棱上，若 平面 ，则四棱锥的外接球的体积为____＿_____.【答案】..．...．....．.．.16. 已知椭圆的右焦点为 ，点 是椭圆上第一象限内的点， 的延长线依次交 轴，椭圆于点 ，若 【答案】，则直线 的斜率为_＿_＿_＿_＿＿＿．----【解析】 ，设 方程为，由，得，设，因为,则,，,故答案为 .三、解答题 :本大题共 6 小题，共７０分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 甲乙两人同时生产内径为的一种零件，为了对两人的生产质量进行评比,从他们生产的零件中各抽出５件(单位： ），甲：25,44,２5,43，２5，４1,25,39,２５，38乙：25，41,２5,4２,２5,41，25，３9,25,4２从生产的零件内径的尺寸看,谁生产的零件质量较高.【答案】见解析.【解析】试题分析:分别利用平均值公式算出甲乙两人生产的零件的平均值，再利用方差公式算出甲乙两人生产的零件的方差，发现甲、乙平均数相同，乙的方差较小,∴乙生产的零件比甲的质量高．试题解析:甲的平均数，乙的平均数,甲的方差,乙的方差，∵甲、乙平均数相同,乙的方差较小，∴乙生产的零件比甲的质量高．18． 已知直线与抛物线相交于 两点， 是坐标原点．(１)求证:;（2)若 是抛物线的焦点,求的面积.【答案】（1)见解析.（2） .【解析】试题分析:(1）由,得,∴，根据韦达定理以及平面向量数量积公式可得，∴;（２)由(１）知的面积等于,直线与----轴交点为,抛物线焦点 为 ,∴试题解析：(1)证明:由,得设，则,且∴∴ (2)解：由（1）知，∴；的面积等于，∴ 的面积为．,∴,，,,（用求解同样给分）直线与 轴交点为,抛物线焦点 为 ,∴,∴ 的面积为.19. 某高校进行社会实践,对岁的人群随机抽取 1000 人进行了一次是否开通“微博”的调查,开通“微博”的为“时尚族”,否则称为“非时尚族”．通过调查得到各年龄段人数的频率分布直方图如图所示,其中在岁、岁年龄段人数中,“时尚族”人数分别占本组人数的８0%、60%．请完成以下问题：(1）求岁与岁年龄段“时尚族”的人数;(2）从岁和岁年龄段的“时尚族”中，采用分层抽样法抽取 6 人参加网络时尚达人大赛,其中两人作为领队，求领队的两人年龄都在岁内的概率.【答案】(1）２４0，120;（2) ．----【解析】试题分析:（1)根据直方图的性质可得,岁的人数为，岁的人数为；(2）利用列举法可得 人中抽取两人的情况共有种，其中两人年龄都在岁内的的情况有 种,根据古典概型概率公式可得结果.试题解析：（1）岁的人数为,岁的人数为；(2）由(1)知岁中抽 4 人，记为,岁中抽 2 人,记为 ，则领队两人是共 15 种可能,其中两人都在岁内的有 6 种,所以所求概率为 ．【方法点睛】本题主要考查直方图的应用以及古典概型概率公式的应用,属于难题,利用古典 概型概率公式求概率时,找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法: 适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的;(2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时,一定要按顺序逐个写出：先，….，再，…..依次漏写现象的发生.２0. 已知 为等差数列 的前 项和，已知….… 这样才能避免多写、.（１）求数列 的通项公式和前 项和 ;（2）是否存在 ，使成等差数列,若存在,求出 ，若不存在，说明理由．【答案】（１）；(2)存在 ,使成等差数列．【解析】试题分析：（１）利用基本量法，得求得 和 ；(2)由等差中项公式, 试题解析:， ，解得 ,即存在 ，使,所以 成等差数列．(1）设 的公差为 ，则，所以.----（2） ,，若存在 使得成等差数列，则,解得 ,所以存在 ，使成等差数列.点睛:常规的数列题型要熟悉常规的通项公式和求和公式,利用基本量法求得 ,解出通项公式。
安徽省滁州市九校19-20学年高二上学期期末数学试卷 (附答案解析)
安徽省滁州市九校19-20学年高二上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题P：∀x∈R，x2−2x+2>0的否定是()A. ∀x∈R，x2−2x+2≤0B. ∃x∈R，x2−2x+2≤0C. ∃x∈R，x2−2x+2>0D. ∃x∉R，x2−2x+2≤02.某学校的教师年龄层比例如图所示，为了调查各年龄层教师的薪资状况，现采用分层抽样的方法抽取部分教师进行调查.在抽取的样本中，青年教师有30人，则该样本中的老年教师人数为()A. 12B. 16C. 18D. 203.若直线l的方向向量a⃗=(1,2，−1)，平面α的一个法向量m⃗⃗⃗ =(−2,−4,k)，若l⊥α，则实数k=()A. 2B. −10C. −2D. 104.在区间[−1,5]上随机地取一个实数a，则方程x2−2ax+4a−3=0有两个正根的概率为()A. 38B. 12C. 23D. 135.焦点在x轴上的椭圆x24+y2m=1的离心率为12，则实数m的值为()A. 1B. √3C. 2D. 36.某篮球运动员在一个赛季的40场比赛中的得分的茎叶图如右图所示，则中位数与众数分别为()A. 23,21B. 23,25C. 23,23D. 25,257. 下列说法： ①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变； ②设有一个回归方程y =3−5x ，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位；③线性回归方程y =bx +a 必过点(x,y)；④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系．其中错误的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 48. ．执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b ，k 分别为1，2，3，则输出的M =( )A. 203B. 72C. 165D. 1589. 已知双曲线C:x 216−y 248=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 为C 上一点，F 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，O 为坐标原点，若|PF 1|=10，则|OQ|=( )A. 10B. 1或9C. 1D. 9 10. “方程x 26−m+y 2m−2=1表示的曲线为椭圆”是“2<m <6”的( ) A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件11. 过焦点为F 的抛物线y 2=12x 上一点M 向其准线作垂线，垂足为N ，若直线NF 的斜率为−√33，则|MF|=( )A. 2B. 2√3C. 4D. 4√3 12. 已知双曲线C:x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为3，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，点M(−a,0)，N(0,b)，点P 为线段MN 上的动点，则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为( )A. 7a2B. −8a2C. −739a2 D. −253a2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若双曲线x2m−y2=1的实轴长是10，则此双曲线的渐近线方程为______．14.已知点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点，点A(2,y1)，B(12,y2)分别是抛物线上位于第一、四象限的点，若|AF|=10，则|y1−y2|=_____．15.空气质量指数(Air Quality Index，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．一环保人士当地某年的AQI记录数据中，随机抽取10个，用茎叶图记录如图．根据该统计数据，估计此地该年AQI大于100的天数约为为______ .(该年为365天)16.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M、N分别为棱BB1、B1C1的中点，则异面直线A1B与MN所成角的余弦值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.为了解某校高一1000名学生的物理成绩，随机抽查了部分学生的期中考试成绩，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．(1)估计该校高一学生物理成绩不低于80分的人数；(2)若在本次考试中，规定物理成绩在m分以上(包括m分)的为优秀，该校学生物理成绩的优秀率大约为18％，求m的值．18.一个袋中装有四个完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和为奇数的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求0≤n−m≤3的概率．19.求适合下列条件的标准方程：(1)焦点在x轴上，与椭圆x24+y23=1具有相同的离心率且过点(2,−√3)的椭圆的标准方程；(2)焦点在y轴上，焦距是16，离心率e=43的双曲线标准方程．20.已知直线l过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F(2,0)，交抛物线于M、N两点．(1)写出抛物线的标准方程及准线方程；(2)若直线MN中点的纵坐标为−1，求直线l的方程．21.五面体ABCDEF中，ADEF是等腰梯形.AD=2，AF=FE=ED=1=BC，∠BAD=90°，BC//AD，平面BAF⊥平面ADEF．(1)证明：AB⊥平面ADEF；(2)若AB=√2，求二面角B−AF−C的正弦值．22.已知椭圆C：x2a +y2b=1(a>b>0)的离心率为√32，a=2b2，A，B分别为椭圆C的上、下顶点，点M(t,2)(t≠0)．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线MA，MB与椭圆C的另一交点分别为P，Q，证明：直线PQ过定点．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：命题P：∀x∈R，x2−2x+2>0的否定是：∃x∈R，x2−2x+2≤0，故选：B．全称量词改为存在量词，再否定结论，从而得到命题的否定．本题考查了命题的否定，要将全称命题与特称命题的否定与命题的否定区别开来，本题属于基础题．2.答案：A解析：【分析】本题考查样本中的老年教师人数的求法，考查分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．设该样本中的老年教师人数为x，由分层抽样的特点列方程能求出结果．【解答】解：设样本中的老年教师人数为x，由分层抽样的特点得30x =50％20％，所以x=12，故选A．3.答案：A解析：本题考查直线与平面垂直的性质、直线的方向向量，平面法向量等基础知识，是基础题．由l⊥α，得到a⃗//m⃗⃗⃗ ，由此能求出k．解析：解：∵直线l的方向向量a⃗=(1,2,−1)，平面α的一个法向量m⃗⃗⃗ =(−2,−4,k)，l⊥α，∴a⃗//m⃗⃗⃗ ，∴1−2=2−4=−1k，解得k=2．故选A．4.答案：A解析：本题主要考查几何概型的概率的计算，根据根与系数之间的关系求出a 的取值范围是解决本题的关键．解：若方程x 2−2ax +4a −3=0有两个正根，则满足{Δ=4a 2−4(4a −3)≥04a −3>02a >0, 即{a ≥3或a ≤1a >34a >0，得34<a ≤1或a ≥3， ∵−1≤a ≤5则对应的概率P =1−345−(−1)+5−35−(−1)=124+13=38． 故选A ．5.答案：D解析：解：∵椭圆x 24+y 2m =1的焦点在x 轴上， ∴a 2=4，b 2=m ，则c =√a 2−b 2=√4−m ，由e =c a =√4−m 2=12，解得m =3． 故选：D ．由已知求得c ，结合椭圆离心率求得m 值．本题考查椭圆的简单性质，是基础的计算题．6.答案：C解析：本题考查中位数，众数，属于基础题．解：因为中间两个数都是23，所以中位数为23；出现次数最多的是23，所以众数为23.故选C．7.答案：B解析：解：方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；故①正确；一个回归方程y=3−5x，变量x增加1个单位时，y平均减小5个单位；故②不正确；线性回归方程，y=bx+a必过样本中心点，故③正确；曲线上的点与该点的坐标之间具有一一对应关系，故④不正确综上，其中错误的个数是2个，故选：B．方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；一个回归方程y=3−5x，变量x增加1个单位时，y平均减小5个单位；线性回归方程必过样本中心点．曲线上的点与该点的坐标之间具有一一对应关系，得到结果．本题考查线性回归方程，考查独立性检验，考查方差的变化特点，考查相关关系，是一个考查的知识点比较多的题目，注意分析，本题不需要计算，只要理解概念就可以得出结论8.答案：D解析：本题考查当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出M 的值．解：由程序框图知：第一次循环M=1+12=32，a=2，b=32，n=2；第二次循环M=2+23=83，a=32，b=83，n=3；第三次循环M=32+38=158，a=83，b=158，n=4．不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M=158．故选D．9.答案：D解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力． 利用双曲线的定义，结合已知条件，转化求解|OQ|即可．解：双曲线C ：x 216−y 248=1可得a =4，b =4√3，c =8，c −a =4，由双曲线的定义可知：||PF 1|−|PF 2||=2a =8，因为|PF 1|=10，所以|PF 2|=18或|PF 2|=2(舍去)，P 为C 上一点，F 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以Q 为线段PF 1的中点，所以|OQ|=12|PF 2|=9．故选：D ． 10.答案：A解析：本题考查了椭圆的性质及充分、必要条件，及集合的包含关系，属简单题． 先求“方程x 26−m +y 2m−2=1表示的曲线为椭圆”的充要条件为“m ∈(2,4)∪(4,6)”，再由集合A =(2,4)∪(4,6)，集合B =(2,6)的包含关系得解．解：“方程x 26−m +y 2m−2=1表示的曲线为椭圆”的充要条件为：{6−m >0m −2>06−m ≠m −2, 解得：m ∈(2,4)∪(4,6)，设集合A =(2,4)∪(4,6)，集合B =(2,6)，因为A ⫋B ，所以“方程x 26−m +y 2m−2=1表示的曲线为椭圆”是“2<m <6”的充分不必要条件， 故选A ． 11.答案：C解析：解：抛物线y 2=12x 的焦点坐标(3,0)，准线与x 轴交点为D ， 则DF =6，直线NF 的斜率为−√33，可得DN =2√3， 则抛物线y 2=12x 可得：12=12x ，解得x =1，所以M(1,2√3)，|MF|=|MN|=3+1=4．故选：C ．利用抛物线的方程求出焦点坐标，利用已知条件转化求解|MF|即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．12.答案：C解析：【分析】本题考查平面向量在解析几何中的应用，涉及了双曲线的简单性质，平面向量的数量积的表示，二次函数在给定区间的最值问题，属于中档题．根据双曲线的离心率求出a ，b ，c 的关系，结合向量数量积的公式，以及一元二次函数的性质求出函数的最值即可．【解答】解：由e =ca =3，得c =3a ，b =2√2a ，所以线段MN 所在直线的方程为y =2√2(x +a)．因为点P 在线段MN 上，所以可设P(m,2√2m +2√2a)，其中m ∈[−a,0]．由于F 1(−c,0)，F 2(c,0)，所以F 1(−3a,0)，F 2(3a,0)，即PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3a −m,−2√2m −2√2a)，PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3a −m,−2√2m −2√2a)，所以PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =9m 2+16ma −a 2=(3m +83a)2−739a 2． 由于m ∈[−a,0]，所以当m =−89a 时，PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值−739a 2．13.答案：y =±15x解析：本题考查双曲线的标准方程，注意双曲线的实轴长为2a ，属于基础题．根据题意，由双曲线的方程结合实轴长为10可得m 的值，由焦点在x 轴上双曲线的渐近线方程计算可得答案．解：根据题意，双曲线x 2m −y 2=1的实轴长是10，即2√m =10， 则m =25，则双曲线为：x 225−y 2=1，则双曲线的渐近线方程为y =±15x ；故答案为：y =±15x. 14.答案：12解析：本题考查抛物线的简单性质，是基础题．由已知求得p ，得到抛物线方程，进一步求得B 、A 的坐标，即可求出．解：∵|AF|=2+p 2=10，∴p =16，则抛物线的方程为y 2=32x ，把x =12代入方程，得y =−4(y =4舍去)，即B(12,−4)，把x =2代入方程，得y =8(y =−8舍去)，即A(2,8)，则|y 1−y 2|=|8−(−4)|=12，故答案为：12． 15.答案：146解析：解：该样本中AQI 大于100的频数是4，频率为25，由此估计该地全年AQI 大于100的频率为25，估计此地该年AQI 大于100的天数约为365×25=146(天)．故答案为：146．根据该样本中AQI 大于100的频数求出频率，由此估计该地全年AQI 大于100的频率与频数． 本题主要考查了茎叶图以及频率、频数的计算问题，是基础题目． 16.答案：12解析：本题考查线面角的正弦值的求法，考查面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A 1B 与MN 所成角的余弦值．解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中棱长为2，则A 1(2,0，2)，B(2,2，0)，M(2,2，1)，N(1,2，2)，A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−2)，MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，1)， 设异面直线A 1B 与MN 所成角为θ，则cosθ=|A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√8⋅√2=12． ∴异面直线A 1B 与MN 所成角的余弦值为12．故答案为：12． 17.答案：解：(1)由频率分布直方图得：该校高一学生物理成绩不低于80分的频率为：(0.03+0.024)×10=0.54，∴该校高一学生物理成绩不低于80分的人数为：1000×0.54=540人．(2)∵0.24>0.18，∴90<m <100，∴0.24−0.180.24=m−9010，解得m=92.5．解析：本题考查频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，是基础题．(1)由频率分布直方图求出该校高一学生物理成绩不低于80分的频率，由此能求出该校高一学生物理成绩不低于80分的人数；(2)由0.24>0.18，得90<m<100，由此列方程能求出m的值．18.答案：解：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1，4和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3，共6个．从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2，1和4，2和3，3和4，共4个，因此所求事件的概率P=46=23．(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m,n)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．又满足条件0≤n−m≤3的事件为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,4)，共10个，所以满足条件0≤n−m≤3的事件的概率为P=1016=58．解析：(1)从袋中随机抽取两个球，可能的结果有6种，而取出的球的编号之和为奇数的事件有4个，1和2，1和4，2和3，3和4，求比值得到结果．(2)有放回的取球，根据分步计数原理可知有16种结果，列举出满足条件0≤n−m≤3的基本事件，代入古典概型概率计算公式，可得答案．本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键．19.答案：解：(1)设所求椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，由题意可得离心率为e=ca =12，且4a2+3b2=1，c2=a2−b2，解得a=2√2，b=√6，即有椭圆的标准方程为x28+y26=1；(2)设双曲线的方程为y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)，由题意可得2c=16，即c=8，e=ca =43，可得a=6，b=√c2−a2=√64−36=2√7，则双曲线的标准方程为y236−x228=1．解析：本题考查椭圆和双曲线的方程的求法，注意运用待定系数法，以及椭圆和双曲线的性质，以及运算能力，属于基础题．(1)设所求椭圆方程为x2a +y2b=1(a>b>0)，运用离心率公式和点(2,−√3)满足椭圆方程，以及基本量a，b，c的关系，解方程即可得到所求椭圆方程；(2)设双曲线的方程为y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)，由离心率公式和a，b，c的关系，即可得到所求双曲线方程．20.答案：解：(1)抛物线y2=2px(p>0)的焦点F(2,0)，可得p2=2，即p=4，则抛物线的标准方程为y2=8x，准线方程为x=−2；(2)由题易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx−2k，k≠0，联立抛物线y2=8x，可得y=k8y2−2k，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，即为ky2−8y−16k=0，即有y 1+y 2=8k ， 由MN 中点的纵坐标为−1，可得8k =−2，解得k =−4，则直线l 的方程为y =−4x +8．解析：本题考查抛物线的方程的求法，考查直线和抛物线位置综合问题，属于中档题．(1)由抛物线的焦点坐标，可得p ，进而得到抛物线的方程和准线方程；(2)由题可得直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y =kx −2k ，k ≠0，联立抛物线方程，消去x ，运用韦达定理和中点坐标公式，解得k ，进而得到所求直线方程．21.答案：(1)证明：取AD 中点Q ，连接FQ ，EQ ，则QD = //EF ，∴QDEF 是平行四边形，∴FQ = //DE ，∴FQ =QA =QD =AF =1，△AFQ 是等边三角形，∠AFQ =∠AQF =60°，∴∠QFD =30°，∴∠AFD =90°，∵平面BAF ⊥平面ADEF ，且交线为AF ，∴DF ⊥平面BAF ，∴DF ⊥AB ，又AB ⊥AD ，DF ∩AD =D ，∴AB ⊥平面ADEF ．(2)解：以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，在平面ADEF 内过点A 且与AD 垂直的直线为z 轴， 建立空间直角坐标系，由题意知BC//AD ，AB =√2，则F(0,12,√32)，D(0,2，0)，A(0,0，0)，C(√2,1,0)， AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,1,0)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,√32)， 由(1)知平面BAF 的一个法向量为FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,32,−√32)， 设平面CAF 的一个法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2x +y =0m ⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12y +√32z =0.取y =√6，得m ⃗⃗⃗ =(−√3,√6,−√2)，设二面角B −AF −C 的平面角为θ，则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅FD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|FD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√62√11⋅√3=2√2211， ∴二面角B −AF −C 的余弦值为2√2211， ∴二面角B −AF −C 的正弦值为．解析：本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． (1)取AD 中点Q ，连接FQ ，EQ ，推导出QDEF 是平行四边形，从而FQ = //DE ，进而∠AFD =90°，DF ⊥平面BAF ，DF ⊥AB ，AB ⊥AD ，由此能证明AB ⊥平面ADEF ．(2)以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，在平面ADEF 内过点A 且与AD 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B −AF −C 的正弦值．22.答案：解：(l)由题意知{c a =√32a =2b 2a 2=b 2+c 2，解得{a =2b =1c =√3， 所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．(2)证明：易知A(0,1)，B(0,−1)，则直线MA 的方程为y =1t x +1，直线MB 的方程为y =3t x −1．联立{y =1t x +1x 24+y 2=1，得(4t 2+1)x 2+8t x =0． 于是x P =−8t t 2+4，y P =t 2−4t 2+4． 同理可得x Q =24t t 2+36，y Q =36−t 2t 2+36， 所以直线PQ 的斜率k =t 2−4t 2+4−36−t 2t 2+36−8t t 2+4−24t t 2+36=2(t 2−144)−8t(4t 2+48)=12−t 216t ．所以直线PQ 的方程为y −t 2−4t 2+4=12−t 216t (x +8t t 2+4)． 即y =12−t 216t x +12，所以直线PQ 过定点(0,12)．解析：(1)根据椭圆的性质即可求得，a和b的值，求得椭圆方程；(2)设直线MA和MB的方程，分别代入椭圆方程，求得P和Q点坐标，根据直线斜率公式和直线的点斜式方程，即可证明直线PQ过定点．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的点斜式方程的应用，考查定点问题，考查转化思想，考查计算能力，属于中档题．。
安徽省滁州市定远县育才学校2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题(普通班)文
育才学校2019--2020学年度第一学期期末考试高二普通班文科数学考试时间:120分钟满分:150分一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)1.已知p：函数f(x)＝(a－1)x为增函数,q：∀x∈,ax－1≤0,则p是q的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2.下列说法正确的是( )A．命题“若x2>1,则x>1”的否命题为“若x2>1,则x≤1”B．命题“∃x0∈R,x>1”的否定是“∀x∈R,x2>1”C．命题“若x＝y,则cos x＝cos y”的逆否命题为假命题D．命题“若x＝y,则cos x＝cos y”的逆命题为假命题3.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为( )A．B．C．D．4.已知双曲线－y2＝1的左,右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且满足|PF1|＋|PF2|＝2,则△PF1F2的面积为( )A．B． 1 C．D．5.M是抛物线y2＝2px(p>0)上一点,F为抛物线的焦点,以Fx为始边,FM为终边的角为α,且α＝60°,若|FM|＝4,则p等于( )A． 1 B． 2 C． 3 D． 46.设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0,],则点P横坐标的取值范围为( )A． [－1,－] B． [－1,0] C． [0,1] D． [,1]7.已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线互相垂直,则为( )A．B．－C． D．－8.已知函数f(x)＝2x,则f′(x)等于( )A．2x B．2x ln 2 C．2x＋ln 2 D．9.已知f(x)＝ln x(x＞0),f(x)的导数是f′(x),若a＝f(7),b＝f′(),c＝f′(),则a,b,c的大小关系是( )A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．b＜a＜c10.已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3,那么此函数在[－2,2]上的最小值是( )A．－37 B．－29 C．－5 D．以上都不对11.在半径为r的半圆内作一内接梯形,使其底为直径,其他三边为圆的弦,则梯形面积最大时,其上底长为( )A．B．r C．rD．r12.函数f(x)＝x＋ln x在(0,6)上是( )A．单调递增函数B．单调递减函数C．在(0,)上是减函数,在(,6)上是增函数D．在(0,)上是增函数,在(,6)上是减函数二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)13.命题“至少有一个正实数x0满足方程x＋2(a－1)x0＋2a＋6＝0”的否定是________________．14.如图所示,F1,F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点,点P在椭圆上,△POF2是面积为的正三角形,则b2＝________.15.双曲线5x2＋ky2＝5的一个焦点是(,0),那么实数k的值为________．16.如图,直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A,B两点,过A,B两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为P,Q,则梯形APQB的面积为______．三、解答题(共6小题,共70分)17.（10分）已知p：x2－8x－20≤0；q：1－m2≤x≤1＋m2.(1)若p是q的必要条件,求m的取值范围；(2)若p是q的必要不充分条件,求m的取值范围．18. （12分）过双曲线－＝1的右焦点F2,倾斜角为30°的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,F1为左焦点．(1)求|AB|；(2)求△AOB的面积．19. （12分）已知函数f(x)＝a ln x－x＋1(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)≤0在(0,＋∞)上恒成立,求所有实数a的值．20. （12分）已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2,－6)处的切线方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直,求切点坐标与切线方程.21. （12分）如图,椭圆E：＋＝1(a>b>0)经过点A(0,－1),且离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P,Q(均异于点A),证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.22. （12分）已知函数f(x)＝2x＋,直线l：y＝kx－1.(1)求函数f(x)的极值；(2)求证：对于任意k∈R,直线l都不是曲线y＝f(x)的切线；(3)试确定曲线y＝f(x)与直线l的交点个数,并说明理由．参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D B B B A D B B A D A13. ∀x∈(0,＋∞),x2＋2(a－1)x＋2a＋6≠014. 215.－116. 4817.解由x2－8x－20≤0,得－2≤x≤10,即p：－2≤x≤10,q：1－m2≤x≤1＋m2.(1)若p是q的必要条件,则即即m2≤3,解得－≤m≤,即m的取值范围是[－,]．(2)∵p是q的必要不充分条件,∴q是p的必要不充分条件．即(两个等号不同时成立),即m2≥9,解得m≥3或m≤－3.即m的取值范围是{m|m≥3或m≤－3}．18.(1)由双曲线的方程得a＝,b＝,∴c＝＝3,F1(－3,0),F2(3,0)．直线AB的方程为y＝(x－3)．设A(x1,y1),B(x2,y2),由得5x2＋6x－27＝0.∴x1＋x2＝－,x1x2＝－.∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝·＝.(2)直线AB的方程变形为x－3y－3＝0.∴原点O到直线AB的距离为d＝＝.∴S△AOB＝|AB|·d＝××＝.∴△AOB的面积为.19.(1)f′(x)＝－1＝(x>0)．当a≤0时,f′(x)<0,∴f(x)减区间为(0,＋∞),当a>0时,由f′(x)>0得0＜x<a,由f′(x)＜0得x＞a,∴f(x)递增区间为(0,a),递减区间为(a,＋∞)．(2)由(1)知：当a≤0时,f(x)在(0,＋∞)上为减函数,而f(1)＝0, ∴f(x)≤0在区间x∈(0,＋∞)上不恒成立；当a>0时,f(x)在(0,a)上递增,在(a,＋∞)上递减,f(x)max＝f(a)＝a ln a－a＋1,令g(a)＝a ln a－a＋1,依题意有g(a)≤0,而g′(a)＝ln a,且a>0,∴g(a)在(0,1)上递减,在(1,＋∞)上递增,∴g(a)min＝g(1)＝0,故a＝1.20.(1)∵f′(x)＝3x2＋1,∴f(x)在点(2,－ 6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13,∴切线方程为13x－y－32＝0.(2)方法一设切点坐标为(x0,y0),则直线l的斜率为f′(x0)＝3＋1,∴直线l的方程为y＝(3＋1)(x－x0)＋＋x0－16.又∵直线l过原点(0,0),∴0＝(3＋1)(－x0)＋＋x0－16,整理得＝－8,∴x0＝－2,∴y0＝－26,k＝13.∴直线l的方程为y＝13x,切点坐标为(－2,－26).方法二设直线l的方程为y＝kx,切点坐标为(x0,y0),则k＝＝.又∵k＝f′(x0)＝3＋1,∴＝3＋1,解得x0＝－2,∴y0＝－26,k＝13.∴直线l的方程为y＝13x,切点坐标为(－2,－26).(3)∵切线与直线y＝－＋3垂直,∴切线的斜率为k＝4.设切点坐标为(x0,y0),则f′(x0)＝3＋1＝4,∴x0＝±1,∴或∴切点坐标为(1,－14)或(－1,－18),切线方程为y＝4x－18或y＝4x－14, 即4x－y－18＝0或4x－y－14＝0.21.(1)由题设知＝,b＝1,结合a2＝b2＋c2,解得a＝.所以椭圆的方程为＋y2＝1.(2)由题设知,直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2),代入＋y2＝1,得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0.由已知Δ>0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x2≠0,则x1＋x2＝,x1x2＝,从而直线AP,AQ的斜率之和＋kAQ＝＋＝＋kAP＝2k＋(2－k)(＋)＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k)＝2k－2(k－1)＝2.所以直线AP、AQ斜率之和为定值2.22.(1)函数f(x)定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞),求导,得f′(x)＝2－,令f′(x)＝0,解得x＝1.当x变化时,f′(x)与f(x)的变化情况如下表所示：所以函数y＝f(x)的单调递增区间为(－∞,0),(1,＋∞),单调递减区间为(0,1),所以函数y＝f(x)有极小值f(1)＝3,无极大值．(2)证明假设存在某个k∈R,使得直线l与曲线y＝f(x)相切,设切点为A,又因为f′(x)＝2－,所以切线满足斜率k＝2－,且过点A,所以2x0＋＝x0－1,即＝－1,此方程显然无解,所以假设不成立．所以对于任意k∈R,直线l都不是曲线y＝f(x)的切线．(3)“曲线y＝f(x)与直线l的交点个数”等价于“方程2x＋＝kx－1的根的个数”．由方程2x＋＝kx－1,得k＝＋＋2.令t＝,则k＝t3＋t＋2,其中t∈R,且t≠0.考察函数h(t)＝t3＋t＋2,其中t∈R,因为h′(t)＝3t2＋1＞0,所以函数h(t)在R上单调递增,且h(t)∈R.而方程k＝t3＋t＋2中,t∈R且t≠0,所以当k＝h(0)＝2时,方程k＝t3＋t＋2无根；当k≠2时,方程k＝t3＋t＋2有且仅有一根, 故当k＝2时,曲线y＝f(x)与直线l没有交点,而当k≠2时,曲线y＝f(x)与直线l有且仅有一个交点．。
安徽省滁州市民办高中2019-2020学年度高二上学期期末考试试题 文科数学【含解析】
【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题题．
7.设点P是曲线 上的任意一点，点P处的切线倾斜角为α，则α的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求函数的导数的范围，即曲线斜率的取值范围，从而求出切线的倾斜角的范围．
【详解】由函数 得
【详解】椭圆 ，即：3x2+4y2-12=0，
设椭圆上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线y=4x+m对称，AB中点为M（x0，y0），
则 3x12+4y12-12=0，①
3x22+4y22-12=0 ②
①-②得：3（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0，
即 3•2x0•（x1-x2）+4•2y0•（y1-y2）=0，
(1)求|AB|；
(2)求△AOB的面积．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
(1)联立方程，利用韦达定理直接利用弦长公式得到答案.
(2)求原点到直线的距离，再利用面积公式得到答案.
【详解】解：(1)由双曲线的方程得 ，∴ ，F1(－3，0)，F2(3，0)．
直线AB的方程为 ．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 消去y得5x2＋6x－27＝0.
【答案】B
【解析】
依题意：存款量是kx2，银行应支付的利息是kx3，贷款的收益是0.048kx2，其中x∈(0,0.048)．
所以银行的收益是y＝0.048kx2－kx3(0<x<0.048)，
由于y′＝0.096kx－3kx2，令y′＝0得x＝0.032或x＝0(舍去)，
2019-2020学年安徽省滁州市亮岗中学高二数学文上学期期末试卷含解析
2019-2020学年安徽省滁州市亮岗中学高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件参考答案：B2. 已知数列{a n}满足，若，则的值为( )A. B. C. D.参考答案：D3. 若，则有( )A. B.C. D.参考答案：D略4. 的值为（）A. 0ＢＣ２Ｄ４参考答案：C略5. 若x，y∈R且满足x＋3y＝2，则的最小值是( )A．B． C．6 D．7参考答案：D6. 已知两个平面、，直线，则“”是“直线”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A7. （5分）（2014春?红桥区期末）设服从二项分布X～B（n，p）的随机变量X的均值与方差分别是15和，则n、p的值分别是（）A．50， B．60， C．50， D．60，参考答案：B【分析】若随机变量X服从二项分布，即ξ～B（n，p），则随机变量X的期望EX=np，方差DX=np（1﹣p），由此列方程即可解得n、p的值【解答】解：由二项分布的性质：EX=np=15，DX=np（1﹣p）=解得p=，n=60故选 B【点评】本题主要考查了二项分布的性质，二项分布的期望和方差的公式及其用法，离散型随机变量的概率分布的意义，属基础题8. 在首项为81，公差为－7的等差数列中，最接近零的是第 ( ) 项A . 11B .12 C. 13 D . 14参考答案：C9. 数列的通项公式是其前项和为则项数等于A．6 B．9C．10 D．13参考答案：A先将数列的通项变形，再求和，利用已知条件建立方程，即可求得数列的项数n解：因为，所以由得：。
故选A。
2019-2020学年人教A版安徽省滁州市民办高中高二第一学期(上)期末文科数学试卷(Word版含解析)
2019-2020学年高二第一学期期末数学试卷（文科）一、选择题1．已知条件p：x＜﹣3或x＞1，条件q：x＞a，且￢p是￢q的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣1 D．a≤﹣32．已知命题p：5≥3；q：若x2＝4，则x＝2，则下列判断正确的是（）A．p∨q为真，p∧q为真，￢p为假B．p∨q为真，p∧q为假，￢p为真C．p∨q为假，p∧q为假，￢p为假D．p∨q为真，p∧q为假，￢p为假3．下列命题错误的是（）A．命题“若p则q”与命题“若￢q，则￢p”互为逆否命题B．命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”C．∀x＞0且x≠1，都有x+＞2D．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真4．已知椭圆+＝1，若此椭圆上存在不同的两点A，B关于直线y＝4x+m对称，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣，）D．（﹣，）5．已知双曲线的两个焦点分别为F1、F2，则满足△PF1F2的周长为的动点P的轨迹方程为（）A．B．C．D．6．已知点A（1，2）是抛物线C：y2＝2px与直线l：y＝k（x+1）的一个交点，则抛物线C的焦点到直线l的距离是（）A．B．C．D．27．设P点是曲线y＝x3﹣上的任意一点，P点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A．B．C．D．8．设f（x）为可导函数，且满足，则过曲线y＝f（x）上点（1，f（1））处的切线率为（）A．2 B．﹣1 C．1 D．﹣29．以正弦曲线y＝sin x上一点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是（）A．∪B．[0，π）C．D．∪10．已知f（x）＝lnx，则的值为（）A．1 B．﹣1 C．e D．11．已知函数y＝f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时，xf′（x）＜f（﹣x）成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a＝f（），b＝f（1），c＝（log2）f（log2），则a，b，c的大小关系是（）A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b12．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k（k＞0），货款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x（x∈（0，0.048），为使银行获得最大收益，则存款利率为（）A．0.032 B．0.024 C．0.04 D．0.036二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．如图是y＝f（x）的导函数的图象，现有四种说法：（1）f（x）在（﹣3，1）上是增函数；（2）x＝﹣1是f（x）的极小值点；（3）f（x）在（2，4）上是减函数，在（1，2）上是增函数；（4）x＝2是f（x）的极小值点；以上正确的序号为．14．已知函数f（x）在x＝1处的导数为1，则＝．15．直线y＝x﹣3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为．16．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，直线y ＝x被椭圆C截得的线段长为，则椭圆C的方程为．三、解答题（共6小题）17．给定两个命题，命题p：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立，命题q：关于x的方程x2﹣x+a＝0有实数根，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．18．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）上的点P到左，右两焦点F1，F2的距离之和为2，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，若y轴上一点M（0，）满足|MA|＝|MB|，求直线l的斜率k的值．19．过双曲线的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点．（1）求|AB|；（2）求△AOB的面积；（3）求证：|AF2|+|BF2|＝|AF1|+|BF1|．20．已知抛物线C；y2＝2px（p＞0）过点A（1，﹣2）；（1）求抛物线C的方程，并求其准线方程；（2）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线l，使直线l与抛物线C有公共点，直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程，说明理由．21．设函数，曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x﹣4y﹣12＝0．（1）求y＝f（x）的解析式；（2）证明：曲线y＝f（x）上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．22．货车欲以xkm/h的速度行驶，去130km远的某地，按交通法规，限制x的允许范围是50≤x≤100，假设汽油的价格为2元/升，而汽车耗油的速率是升/小时．司机的工资是14元/小时，试问最经济的车速是多少？这次行车往返的总费用最低是多少？参考答案一、选择题1．已知条件p：x＜﹣3或x＞1，条件q：x＞a，且￢p是￢q的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣1 D．a≤﹣3解：∵￢p是￢q的充分不必要条件，∴q是p的充分不必要条件，∴a≥1．故选：A．2．已知命题p：5≥3；q：若x2＝4，则x＝2，则下列判断正确的是（）A．p∨q为真，p∧q为真，￢p为假B．p∨q为真，p∧q为假，￢p为真C．p∨q为假，p∧q为假，￢p为假D．p∨q为真，p∧q为假，￢p为假解：∵p：5≥3；q：若x2＝4则x＝2，∴p真q假，∴p∧q为假，p∨q为真，￢p为假，故选：D．3．下列命题错误的是（）A．命题“若p则q”与命题“若￢q，则￢p”互为逆否命题B．命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”C．∀x＞0且x≠1，都有x+＞2D．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真解：对于A．“若p则q”与命题“若￢q，则￢p”互为逆否命题，正确；对于B．“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”，正确；对于C．∀x＞0且x≠1，都有x+＞2＝2，正确；对于D．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为“若a＜b，则am2＜bm2”为假命题，m＝0时不成立．故选：D．4．已知椭圆+＝1，若此椭圆上存在不同的两点A，B关于直线y＝4x+m对称，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣，）D．（﹣，）解：椭圆+＝1，即：3x2+4y2﹣12＝0，设椭圆上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线y＝4x+m对称，AB中点为M（x0，y0），则 3x12+4y12﹣12＝0，①3x22+4y22﹣12＝0 ②①﹣②得：3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）＝0，即 3•2x0•（x1﹣x2）+4•2y0•（y1﹣y2）＝0，∴＝﹣•＝﹣．∴y0＝3x0，代入直线方程y＝4x+m得x0＝﹣m，y0＝﹣3m；因为（x0，y0）在椭圆内部，∴3m2+4•（﹣3m）2＜12，即3m2+36m2＜12，解得﹣＜m＜．故选：B．5．已知双曲线的两个焦点分别为F1、F2，则满足△PF1F2的周长为的动点P的轨迹方程为（）A．B．C．D．解：∵双曲线的方程为，∴a2＝2，b2＝3，可得c2＝a2+b2＝5，c＝因此双曲线的两个焦点分别为F1（0，﹣）、F2（0，），∵△PF1F2的周长为，F1F2＝∴PF1+PF2＝6，点P的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆，（上下顶点除外）由椭圆的定义得，椭圆长轴为6，长半轴为3．所以该椭圆的短半轴为：＝2∴点P的轨迹方程为故选：C．6．已知点A（1，2）是抛物线C：y2＝2px与直线l：y＝k（x+1）的一个交点，则抛物线C 的焦点到直线l的距离是（）A．B．C．D．2解：因为点A（1，2）是抛物线C：y2＝2px与直线l：y＝k（x+1）的一个交点，所以4＝2p，2＝2k所以p＝2，k＝1，所以抛物线方程为y2＝4x，l的方程为x﹣y+1＝0所以抛物线的焦点为（1，0），所以抛物线C的焦点到直线l的距离是故选：B．7．设P点是曲线y＝x3﹣上的任意一点，P点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A．B．C．D．解：∵y′＝3x2﹣≥﹣，∴tanα≥﹣，又∵0≤α≤π，∴0≤α＜或≤α＜π．则角α的取值范围是[0，）∪[，π）．故选：A．8．设f（x）为可导函数，且满足，则过曲线y＝f（x）上点（1，f（1））处的切线率为（）A．2 B．﹣1 C．1 D．﹣2解：∵，即y'|x＝1＝﹣1，∴y═f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为﹣1，故选：B．9．以正弦曲线y＝sin x上一点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是（）A．∪B．[0，π）C．D．∪解：y'＝cos x∵cos x∈[﹣1，1]∴切线的斜率范围是[﹣1，1]∴倾斜角的范围是[0，]∪故选：A．10．已知f（x）＝lnx，则的值为（）A．1 B．﹣1 C．e D．解：f′（x）＝，则＝＝e，故选：C．11．已知函数y＝f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时，xf′（x）＜f（﹣x）成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a＝f（），b＝f（1），c＝（log2）f（log2），则a，b，c的大小关系是（）A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b解：∵函数y＝f（x）是定义在实数集R上的奇函数，∴当x∈（﹣∞，0）时，xf′（x）＜f（﹣x）等价为xf′（x）+f（x）＜0，构造函数g（x）＝xf（x），则g′（x）＝xf′（x）+f（x）＜0，∴当x∈（﹣∞，0）时，函数g（x）单调递减，且函数g（x）是偶函数，∴当x∈（0，+∞）时，函数g（x）单调递增，则a＝f（）＝g（），b＝f（1）＝g（1），c＝（log2）f（log2）＝g（log2）＝g（﹣2）＝g（2），∵1＜2，∴g（1）＜g（）＜g（2），即b＜a＜c，故选：A．12．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k（k＞0），货款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x（x∈（0，0.048），为使银行获得最大收益，则存款利率为（）A．0.032 B．0.024 C．0.04 D．0.036解：用y表示收益，由设存款量是kx2，利率为x，贷款收益为0.048kx2则收益y＝0.048kx2﹣kx3，x∈（0，0.048），∵y′＝0.096x﹣3kx2＝3kx（0.032﹣x）∴当y′＞0，0＜x＜0.032当y′＜0，0.032＜x＜0.048故收益y在x＝0.032时取得最大值则为使银行收益最大，应把存款利率定为0.032．应选A．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．如图是y＝f（x）的导函数的图象，现有四种说法：（1）f（x）在（﹣3，1）上是增函数；（2）x＝﹣1是f（x）的极小值点；（3）f（x）在（2，4）上是减函数，在（1，2）上是增函数；（4）x＝2是f（x）的极小值点；以上正确的序号为（2）（3）．解：当x∈（﹣3，﹣1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，故（1）错误；当x＝﹣1时，f′（x）＝0，在x＝﹣1的两侧f′（x）符号左负右正，故在x＝﹣1的两侧f（x）左减右增，即x＝﹣1是f（x）的极小值点，故（2）正确；当x∈（2，4）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，当x∈（1，2）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，故（3）正确；当x＝2时，f′（x）＝0，在x＝2的两侧f′（x）符号左正右负，故在x＝2的两侧f （x）左增右减，即x＝2是f（x）的极大值点，故（4）错误；故答案为：（2）（3）14．已知函数f（x）在x＝1处的导数为1，则＝ 1 ．解：由导数定义知f'（x0）＝．f'（1）＝1故f'（1）＝＝1．故答案为：1．15．直线y＝x﹣3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为48 ．解：直线y＝x﹣3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，联立方程组得，消元得x2﹣10x+9＝0，解得，和，∴|AP|＝10，|BQ|＝2，|PQ|＝8，梯形APQB的面积为48．故答案为48．16．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，直线y ＝x被椭圆C截得的线段长为，则椭圆C的方程为．解：椭圆C：+＝1（a＞b＞0），a2＝b2+c2，∵e＝＝，∴a2＝c2，∴a2＝4b2，设直线与椭圆交于P，Q两点．不妨设P点为直线y＝x和椭圆在第一象限的交点，又∵弦长为，∴P（，），∴，又a2＝4b2，解得a2＝4，b2＝1，∴椭圆方程为：．故答案为：．三、解答题（共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．给定两个命题，命题p：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立，命题q：关于x的方程x2﹣x+a＝0有实数根，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．解：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立⇔a＝0或⇔0≤a＜4；关于x的方程x2﹣x+a＝0有实数根⇔△＝1﹣4a≥0⇔a≤；…p∨q为真命题，p∧q为假命题，即p真q假，或p假q真，…如果p真q假，则有0≤a＜4，且a＞∴＜a＜4；…如果p假q真，则有a＜0，或a≥4，且a≤∴a＜0…所以实数a的取值范围为（﹣∞，0）∪（，4）．…18．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）上的点P到左，右两焦点F1，F2的距离之和为2，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，若y轴上一点M（0，）满足|MA|＝|MB|，求直线l的斜率k的值．【解答】解（1）由题意知，|PF1|+|PF2|＝2a＝2，所以a＝．又因为e＝＝，所以c＝×＝1，所以b2＝a2﹣c2＝2﹣1＝1，所以椭圆的标准方程为+y2＝1．（2）已知F2（1，0），直线斜率显然存在，设直线的方程为y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程得化简得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，所以x1+x2＝，y1+y2＝k（x1+x2）﹣2k＝．所以AB的中点坐标为（，）．①当k≠0时，AB的中垂线方程为y﹣＝﹣（x﹣），因为|MA|＝|MB|，所以点M在AB的中垂线上，将点M的坐标代入直线方程得，+＝，即2k2﹣7k+＝0，解得k＝或k＝；②当k＝0时，AB的中垂线方程为x＝0，满足题意．所以斜率k的取值为0，或．19．过双曲线的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点．（1）求|AB|；（2）求△AOB的面积；（3）求证：|AF2|+|BF2|＝|AF1|+|BF1|．【解答】（1）解：由双曲线的方程得a＝，b＝，∴c＝＝3，F1（﹣3，0），F2（3，0）．∴直线AB的方程为y＝（x﹣3）．设A（x1，y1），B（x2，y2），由得5x2+6x﹣27＝0．∴x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣．∴|AB|＝|x1﹣x2|＝•＝（2）解：直线AB的方程变形为x﹣3y﹣3＝0．∴原点O到直线AB的距离为d＝＝．∴S△AOB＝|AB|•d＝××＝．…（3）证明：如图，由双曲线的定义得|AF2|﹣|AF1|＝2，|BF1|﹣|BF2|＝2，∴|AF2|+|BF2|＝|AF1|+|BF1|…20．已知抛物线C；y2＝2px（p＞0）过点A（1，﹣2）；（1）求抛物线C的方程，并求其准线方程；（2）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线l，使直线l与抛物线C有公共点，直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程，说明理由．解：（1）将（1，﹣2）代入y2＝2px，得（﹣2）2＝2p•1，所以p＝2．故所求的抛物线C的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝﹣1．（2）假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝﹣2x+t，代入抛物线方程得y2+2y﹣2t＝0．因为直线l与抛物线C有公共点，所以△＝4+8t≥0，解得t≥﹣．另一方面，由直线OA到l的距离d＝可得＝，解得t＝±1．因为﹣1∉[﹣，+∞），1∈[﹣，+∞），所以符合题意的直线l存在，其方程为2x+y﹣1＝0．21．设函数，曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x﹣4y﹣12＝0．（1）求y＝f（x）的解析式；（2）证明：曲线y＝f（x）上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．【解答】解析：（1）方程7x﹣4y﹣12＝0可化为，当x＝2时，，又，于是，解得，故．（2）设P（x0，y0）为曲线上任一点，由知曲线在点P（x0，y0）处的切线方程为，即令x＝0，得，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为；令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为（2x0，2x0）；所以点P（x0，y0）处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为．故曲线y＝f（x）上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6．22．货车欲以xkm/h的速度行驶，去130km远的某地，按交通法规，限制x的允许范围是50≤x≤100，假设汽油的价格为2元/升，而汽车耗油的速率是升/小时．司机的工资是14元/小时，试问最经济的车速是多少？这次行车往返的总费用最低是多少？解：单程行驶：汽车运行的时间为小时，耗油量为•升，耗油费用为2••元，司机的工资为14×元，故这次行车的单程费用为y＝2••+14•＝130•．所以y′＝130•．令y′＝0得，x＝18≈57（km/h），当50≤x＜18时，y′＜0，y单调递减；当18≤x≤100时，y′＞0，y单调递增，当x＝18时，y取得最小值，即所以y＝130×≈82.2（元）．所以最经济的车速是57 km/h，这次行车往返的总费用最低约为2×82.2＝164.4（元）．。