喀蔚波04章习题解答

第四章 分子运动论习题解答4-1 有N 个粒子，当0<v < v 0时，其速率分布函数C f =)(v ；当v > v 0时，0)(=v f . 作出速率分布曲线；由v 0求常数C ；求粒子的平均速率.解：(1) 略(2) 由条件知 0<v < v 0时， C f =)(v . v > v 0时，0)(=v f 有归一化条件：⎰⎰=+∞1d )(d )(v v v v v v f f得：⎰⎰===0001d d )(v v v v v v c c f所以 01v =c (3) ⎰⎰∞===00002d 1d )(0v v v vv v v v v f 4-2 已知速率分布函数为)(v f ，求速率在v 1～v 2区间内的分子之平均速率. 解：由平均速率的定义可知：⎰⎰⎰⎰==21212121d )(d )(d d v v v v v v v v vv v v v v v f f NN4-3 试根据麦克斯韦速率分布律证明：分子平动动能在ε到ε+d ε区间的概率为εεπεεεd e)(2d )(23kTB T k f -=，其中221v m =ε，并根据上式求出分子平动动能的最概然值.解：由麦克斯韦速率分布函数得：v v v v v d e π2π4d )(d 2223020kTm kT m f N N -⎪⎭⎫⎝⎛==处于ε到εεd +区间的分子概率即也对应于v 到v +d v 区间的分子概率.由2021v m =ε可知v v d d 0m =ε，将上式代换得： εεεd e)(π2d eπ2π4d )(d 232223020kTkTm kT kT m f N N ---=⎪⎭⎫⎝⎛==v v v v v令0d )(d =εεf 得：2p kT=ε 4-4 气体分子局限于一维运动，速度的每个分量都服从麦克斯韦分布律，求：方均根速率、平均速率和最概然速率.解：由题意知：z y x z y x kTm z y x kT m f N N v v v v v v v v v v v d d d e π2π4d )(d 2222)(2302220++-⎪⎭⎫ ⎝⎛==一维运动分子的麦氏分布为：x x kT m x x xkT m f N N v v v v vd eπ2π4d )(d 22323020⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛== 所以，022d m kTNN ==⎰∞v v . MRTm kT==2v 02πd m kTNN ==⎰∞v v 4-5 求粒子数在v p 与1.01v p 之间和2v p 到2.01v p 之间的气体分子数各占总数的百分之几？（以p 01.0d v v =计算）解：由题意知：d v =0.01v p ；处于v p 到v p +0.01v p 的概率为：w w f f NN∆=∆=∆)()(v v 其中p p v v v v ∆=∆=w w ， 所以，01.0101.0pp =∆===∆w w ，，v vv v 在v p 到v p +0.01v p 间隔内的分子数占总分子数的百分比：%83.001.0e π4e π4)(122=⨯⨯=∆=∆=∆--w w w wf N N w 处于2v p 到2v p +0.01v p 的概率为：01.0201.0pp =∆===∆w w ，，v vv v%17.001.0e4π401.0e 2π4)(4222=⨯⨯=⨯⨯⨯=∆=∆-w w f N N 4-6 某种气体分子在温度T 1时的方均根速率等于温度为T 2时的平均速率，求21T T . 解：由题意知M RT M RT π8321= 所以21π83T T = 即：π3821=T T 4-7 一热气球的容积为2200m 3，气球本身和负载质量共725kg ，若其外部温度为20℃，要想使气球上升，其内部空气最低要加热到多少度？解：已知m =725kg ，V =2200m 3，T 1=(20+273) K ，p =1.01×105Pa ，此时气球内气体的质量为11RT pVMm =，设m 2为气球内部气体温度升高到T 2时的质量，要使气球升起，须有F 浮≥mg +m 2g ，由于F 浮= m 1g ，所以有m 2≤m 1-m ，加热过程中气球内气体的p 、V 不变，由此可得pVMmR T m m R pVM Rm pVM T -=-≥=112211)(C 7.130K 404102922001001.131.87252931135︒==⨯⨯⨯⨯⨯-=-4-8 一氢气球在20℃充气后，压强为1.2atm ，半径为1.5m . 到夜晚时，温度降为10℃，气球半径缩为1.4 m ，其中氢气压强减为1.1atm .求已漏掉了多少氢气.解：已知m 5.1Pa 102.1K 293202731511=⨯==+=r p T ，， m 4.1Pa 101.1K 283102732522=⨯==+=r p T ，， 可得：311π34r V = 322π34r V = 1111p RT MV m = 2222p RT MV m =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-⨯⨯⨯=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=∆-283101.14.1π34293102.15.1π3431.8102π34π34525232232113121T p r T p r R M m m m kg 32.0=4-9 某些恒星的温度达到108K 的数量级，在这样的温度下原子已不存在，只有质子存在，试求：质子的平均动能是多少？质子的方均根速率是多少？解：由题意得：)(..16382s m 105811011031833--⋅⨯=⨯⨯⨯==M RT v )keV (99.12)J (1008.2)1058.1(1067.121)(2115262722p =⨯=⨯⨯⨯⨯==--v m ε 4-10 一容器被中间的隔板分成相等的两半. 一半装有氦气，温度为250K ；一半装有氧气，温度为310K . 两者压强相等. 求去掉隔板两种气体混合后的温度.解：混合前，对He 气：1111RT V p ν=对O 2气： 2222RT V p ν= 由于 2211V p V p = 所以有： 2211T T νν=混合前的总内能为： 112211210282523RT RT RT E E E ννν=+=+=混合后，气体的温度变为T ，总内能为：RT T TRT RT E 12121)2523(2523ννν+=+=由于混合前后总内能相等，即E 0=E ，所以有RT T TRT 12111)2523(28νν+= 所以有K 284538211=+=T T T T 4-11 设地面大气是等温的，温度为t =5.0℃，海面上的气压为Pa 100.150⨯=p ，今测得某山顶的气压Pa 108.74⨯=p ，求山高. (已知空气的平均摩尔质量为13mol kg 109728--⋅⨯.)解：)m (2022108.7101ln 8.91097.2827831.8ln 4530=⨯⨯⨯⨯⨯==-p p Mg RT Z 4-12 求在等温大气中一个分子的平均重力势能. 解：由波尔兹曼能量分布率得z n N kTmgzd e d 0-=所以分子的平均重力势能为：kT Nz mgzn N N mgz kTmgz===⎰⎰-d e d 0pε4-13 飞机起飞前，仓中压力计指示为Pa 100.15⨯，温度为27℃；起飞后，压力计指示为Pa 100.84⨯，温度仍为27℃，试计算飞机距地面的高度.(空气的平均摩尔质量为13mol kg 109728--⋅⨯.)解：)m (4.1959108101ln 8.91097.2830031.8ln 45321=⨯⨯⨯⨯⨯==-p p Mg RT Z 4-14 水蒸气分解为同温度的氢气和氧气，内能增加了百分之几？ 解：因为H 2O 的自由度是6；H 2的自由度是5；O 2的自由度是5. 所以，1摩尔H 2O 会分解成1摩尔H 2和0.5摩尔O 2.RT E 252H =RT RT E 455.0252O =⨯⨯= RT E 26O H 2=%25%10026264525%100%100OH O H O H O H 22222=⨯-+=⨯-+=⨯∆RT RT RT RT E E E E E E 4-15 吹一个直径为10cm 的肥皂泡，设肥皂液的表面张力系数13m N 1040--⋅⨯=α. 试求吹此肥皂泡所作的功，以及泡内外的压强差.解：已知 d =0.1m所以 )J (10π810401.0π2π24322--⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯=αd w)(.23m N 32101040884--⋅=⨯⨯===d r P αα 4-16 一U 形玻璃管的两竖直管的直径分别为1mm 和3mm .试求两管内水面的高度差.（水的表面张力系数13m N 1073--⋅⨯=α）解：由于两弯曲液面产生的附加压强为：D p p σ4big 0=- ,dp p σ4small 0=- 有)11(4small big Dd p p gh -=-=σρ所以：cm 2)1031101(8.910103.74)11(43332≈⨯-⨯⨯⨯⨯=-=---D d g h ρσ 4-17 在半径r =0.30mm 的毛细管中注入水，在管的下端形成一半径R =3.0mm 的水滴，求管中水柱的高度.解：由于两弯曲液面产生的附加压强为：r p p l σ2smal 0=- ,Rp p σ20big =- 因为：gh p p ρ=-small big 所以：cm 5.5)10311031(8.910103.72)11(23432smallbig =⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=+=-=---R r g gp p h ρσρ。