北师大版七年级下全等三角形压轴题分类解析
七年级下三角形综合题归类
一、双等边三角形模型
1.（1）如图7，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的
同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，
；
（2）在图①的基础上，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立. 4.如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 均为正方形，连接BG 与DE 相交于点H ．
（1）证明：△ABG ≌△ADE ；
（2）试猜想∠BHD 的度数，并说明理由；
B
C
E
N D
A
B
M 图①
C
A
E
M
B
D N
图②
（3）将图中正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转（0°＜∠BAE ＜180°），设△
ABE 的面积
为1S ，△ADG 的面积为2S ，判断1S 与2S 的大小关系，并给予证明．
(2)求证：AD ⊥CF ；
(3)连接AF ，试判断△ACF 的形状.
拓展巩固：如图9所示，△ABC 是等腰直角三角
形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ．
（提示：对比此题的条件和上面那题的条件，
对比此题的图形和上题的图像，有什么区别和联系？）
3.如图1，已知正方形ABCD 的边CD 在正方形DEFG 的边DE 上，连接AE ，GC . （1）试猜想AE 与GC 有怎样的位置关系，并证明你的结论；
交于E ，FD 与AC 交于F ．求证：BE AF =，AE CF =．
2. 两个全等的含30，60角的三角板ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，,,E A C
三点在一条直线上，连结BD ，取BD 的中点M ，连结,ME MC ．试判断EMC ∆的形状，并说明理由． 压轴题拓展：（三线合一性质的应用）已知Rt ABC ∆中，AC BC =，90C ∠=︒，D 为AB 边的中点，90EDF ∠=︒，EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它
Q A
B
C D
E
F
图
们的延长线）于E 、F ．
当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图1），易证12
DEF CEF ABC S S S ∆∆∆+=．当EDF ∠绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，
在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立?若成立，请给予证明；若不成立，DEF S ∆，CEF S ∆，ABC S ∆又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
提示：此题为上面题目的综合应用，思路与第一题相似。
3. 已知：如图，△ABC 中，∠ABC =45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，
使得NE=BF ，进而猜想此时DE 与EF 有怎样的数量关系并证明
2.在Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，D 是AC 的中点，DG ⊥AC 交AB 于点G.
（1）如图1，E 为线段DC 上任意一点，点F 在线段DG 上，且DE=DF ，连结EF 与CF ，过点F 作FH ⊥FC ，交直线AB 于点H ．
①求证：DG=DC
②判断FH 与FC 的数量关系并加以证明．
（2）若E 为线段DC 的延长线上任意一点，点F 在射线DG 上，(1)中的其他条件不变，借助图2画出图形。
在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你
E
2.如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为
对称轴的全等三角形。
请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B =60°，AD 、CE 分别是
∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F 。
请你判断并写出
B
A C
B
D
E
FE 与FD 之间的数量关系；
（2）如图③，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不
变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若
不成立，请说明理由。
3.(北京市中考模拟题)如图，在四边形ABCD AC 平分BAD ∠，过C 作567(1) 求证：∠ABE=∠C ；
(2) 若∠BAE 的平分线AF 交BE 于F ，FD ∥BC 交AC 于D ，设AB=5，AC=8，求DC 的长。
五、中点问题
1.在△ABC 中,D 为BC 的中点，过D 点的直线GF 交AC 于F ,交
O
P
A
M
N
E
B
C D
F A
C
E
F
B D 图①
图②
图③
AC 的平行线
BG 于点G 。
DE GF ⊥,并交AB 于点E .连结EG . （1）求证:BG CF =；
（2）请猜想BE CF +与EF 的大小关系,并加以证明 2.
如右下图，在ABC ∆中，若2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点．求证：2AB DE =．
6（2）当90BAC ∠≠︒时，请你画出图形，研究DBC ∠与ABC ∠度数的比值是否与（1）
中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．
8、(1)如图1,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别在边BC ,
CD 上,AE ,BF 交于点O ,∠AOF ＝90°. 求证：BE ＝CF .
图1
D
C
B
A
(2)如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,
BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,∠FOH＝
90°,EF
＝4.求GH的长.
(3)已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于点。
北师大版数学七年级下册压轴大题练习(含解析)
北师大版数学七年级下册压轴大题练习1、如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝°，∠DEC＝°（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．2、【问题背景】如图1，在等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上任意一点，连接AD、BE，AD与BE相交于点O，且BD＝CE．请直接写出线段AD与BE之间的数量关系：；∠AOE＝．【推广探究】如图2，在等边△ABC中，P、M分别为边AB、AC上的点，且AM＝BP，过点P作PQ∥BE交AC于点Q，过点M作MN∥AD交BC于点N，PQ与MN交于点F．（1）∠MFQ＝；（2）求证：PQ＝MN．【深入探究】如图3，在“推广探究”的条件下，令四边形APFM的周长为C1，四边形CNFQ的周长为C2，MF＝a，FQ＝b，FN＝c，则C1﹣C2＝（请用含有a、b的代数式表示）．3、如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．（1）AP＝cm，BP＝cm（用含t的代数式表示）；（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ 是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；（3）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为x cm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ 全等，求出相应的x的值．4、在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为AC上一动点．（1）如图1，点E、点F均是射线BD上的点并且满足AE＝AF，∠EAF＝90°．求证：△ABE≌△ACF；（2）在（1）的条件下，求证：CF⊥BD；（3）由（1）我们知道∠AFB＝45°，如图2，当点D的位置发生变化时，过点C作CF⊥BD于F，连接AF．那么∠AFB的度数是否发生变化？请证明你的结论．5、如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CF，垂足为F．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）若AC＝10，求四边形ABCD的面积；（3）求∠F AE的度数．6、已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，点C重合）．以AD为边作等边三角形ADE，连接CE．（1）如图1，当点D在边BC上时．①求证：△ABD≌△ACE；②直接判断结论BC，DC，CE的关系__________（不需证明）；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BC，DC，CE之间存在的数量关系，并写出证明过程．7、【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSS B．SAS C．AAS D．HL（2）求得AD的取值范围是．A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F 且AE＝EF求证：AC＝BF．8、如图1，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点M，连接CM．（1）求证：BE＝AD；（2）用含α的式子表示∠AMB的度数（直接写出结果）；（3）当α＝90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明．9、如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，D为△ABC边AC上一点，BC＝CD，点M在BC的延长线上，CE平分∠ACM，且AC＝CE．连接BE交AC于F，G 为边CE上一点，满足CG＝CF，连接DG交BE于H．（1）△ABC≌△EDC吗？为什么？（2）求∠DHF的度数；（3）若EB平分∠DEC，则BE平分∠ABC吗？请说明理由．10、已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA．（1）AD与CB相等吗？请证明你的结论．（2）若∠BCD＝75°，求∠ACE的度数；（3）若∠BCE＝α，∠ACE＝β，则α、β之间满足一定的数量关系，请直接写出这个结论．11、问题情境：如图1，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，可知：∠BAD＝∠C（不需要证明）；特例探究：如图2，∠MAN＝90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，且AB＝AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．证明：△ABD≌△CAF；归纳证明：如图3，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN 内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；拓展应用：如图4，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD ＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为15，则△ACF与△BDE的面积之和为．12、如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC边上一动点，CE⊥BD于E．（1）如图（1），若BD平分∠ABC时，①求∠ECD的度数；②延长CE交BA的延长线于点F，补全图形，探究BD与EC的数量关系，并证明你的结论；（2）如图（2），过点A作AF⊥BE于点F，猜想线段BE，CE，AF之间的数量关系，并证明你的猜想．13、（1）如图①，已知：△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥m于D，CE⊥m于E，求证：DE＝BD+CE；（2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：△ABC中，AB＝AC，D、A、E 三点都在直线m上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，α为任意锐角或钝角，请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）应用：如图③，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB＝AC，∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，直线m与BC的延长线交于点F，若BC＝2CF，△ABC的面积是12，求△ABD与△CEF的面积之和．14、如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AB边上的一动点．（1）如图1，连接DC并延长使CE＝CD，过点E作EF∥AB交AC的延长线于点F，试说明：AD＝FE；（2）如图2，当点D运动到AB中点时，点E是DC延长线上的一点，连接AE、BE，BE与AC延长交于点Q．①试说明：∠CBE＝∠CAE；②点P是AC延长线上的点，且PE＝BE，连接BP，若△BPQ的面积为26，AE＝8，求EQ的长．15、△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，点D在AB边上（不与点A、B重合），以CD为腰作等腰直角△CDE，∠DCE＝90°．（1）如图1，作EF⊥BC于F，求证：△DBC≌△CFE；（2）如图1，在（1）的条件下，连接AE交BC于M，求的值；（3）如图2，过点E作EH⊥CE交CB的延长线于点H，过点D作DG⊥DC，交AC于点G，连接GH当点D在边AB上运动时，式子的值会发生变化吗？若不变，求出该值；若变化请说明理由．16、如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连结BE．（1）求∠CAM的度数；（2）若点D在线段AM上时，求证：△ADC≌△BEC；（3）当动点D在直线AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，试判断∠AOB是否为定值？并说明理由．北师大版数学七年级下册压轴大题练习参考答案1、解：（1）25°，115°（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，理由如下：∵∠BAD+∠ADB＝140°∠CDE+∠ADB＝140°∴∠BAD＝∠CDE在△ABD和△DCE 中，∠B＝∠C＝40°，AB＝DC＝2，∠BAD＝∠CDE∴△ABD≌△DCE（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，理由如下：当∠BDA＝110°时，∵∠B＝∠C＝40°∴∠BAD＝180°﹣40°﹣110°＝30°∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°∴∠DAC＝100°﹣30°＝70°∴∠AED＝180°﹣40°﹣70°＝70°∴∠DAC＝∠AED∴△ADE的形状是等腰三角形当∠BDA＝80°时，∴∠BAD＝180°﹣40°﹣80°＝60°∴∠DAC＝100°﹣60°＝40°∴∠DAC＝∠ADE＝40°∴△ADE的形状是等腰三角形2、【问题背景】AD＝BE；60°【推广探究】（1）60（2）证明：∵∠APQ+∠P AQ+∠PQA＝180°∠MFQ+∠MQF+∠FMQ＝180°∠P AQ＝∠MFQ＝60°∴∠APQ＝∠FMQ∵AM＝BP∴AP＝CM在△P AQ和△MCN中，∠P AQ＝∠C，AP＝CM，∠APQ＝∠FMQ ∴△P AQ≌△MCN∴PQ＝MN【深入探究】2a﹣2b3、解：（1）2t，7﹣2t．（2）△CAP≌△PBQ，PC⊥PQ．证明：由题意，得t＝1时，AP＝BQ＝2（cm），BP＝7﹣2＝5（cm）∵AC＝5（cm），∠A＝∠B＝90°在△CAP和△PBQ中，BP＝AC＝5，∠A＝∠B，AP＝BQ∴△CAP≌△PBQ∴∠ACP＝∠BPQ∵∠ACP+∠CP A＝90°∴∠BPQ+∠CP A＝90°∴PC⊥PQ（3）①当AC＝PB，AP＝BQ时，△ACP与△BPQ全等此时AC＝PB＝5，AP＝BQ＝7﹣5＝2（cm）∴AP＝BQ＝2（cm）x＝2cm/s②当AC＝BQ，AP＝PB时，△ACP与△BPQ全等此时AC＝BQ＝5，AP＝PB＝（cm），∴AP＝2t＝（cm）解得t＝s∴BQ＝x＝5（cm）∴x＝cm/s4、（1）证明：∵∠BAC＝∠BAE+∠EAD＝90°∠EAF＝∠CAF+∠EAD＝90°∴∠BAE＝∠CAF在△ABE和△ACF中，AB＝AC，∠BAE＝∠CAF，AE＝AF ∴△ABE≌△ACF（1）证明：∵△ABE≌△ACF∴∠ABE＝∠ACF又∵∠ADB＝∠CDF∴∠DFC＝∠BAD＝90°∴CF⊥BD（2）不变，理由如下：过A作AE⊥AF 交BM于E∵∠BAC＝∠BAE+∠EAD＝90°∠EAF＝∠CAF+∠EAD＝90°∴∠BAE＝∠CAF由题意，得∠DFC＝∠BAC＝90°又∵∠ADB＝∠CDF∴∠ABD＝∠ACF在△ABE和△ACF中，∠ABD＝∠ACF，AB＝AC，∠BAE＝∠CAF ∴△ABE≌△ACF∴AE＝AF又∵∠EAF＝90°∴∠AFB＝∠AEF＝45°5、证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°∴∠BAD﹣∠CAD＝∠CAE﹣∠CAD∴∠BAC＝∠DAE在△ABC和△ADE中，AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，AC＝AE∴△ABC≌△ADE（2）∵△ABC≌△ADE∴AE＝AC＝10S△ABC＝S△ADE∴S 四边形ABCD ＝S △ABC +S △ACD ＝S △ADE +S △ACD ＝S △ACE ＝×10×10＝50（3）∵AF ⊥BC∴∠AFC ＝90°∵∠CAE ＝90°，AC ＝AE∴∠E ＝∠ACE ＝45°∵△ABC ≌△ADE∴∠BCA ＝∠E ＝45°∴∠F AC ＝90°﹣45°＝45°∴∠F AE ＝∠CAE+∠F AC ＝90°+45°＝135°6、解：（1）①证明：∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形∴AB ＝BC ＝AC ，AD ＝DE ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝60°∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC即∠BAD ＝∠EAC在△ABD 和△ACE 中，AB ＝AC ，∠BAD ＝∠EAC ，AD ＝AE ∴△ABD ≌△ACE②BC ＝CE +CD（2）BC +CD ＝CE证明：∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形∴AB ＝BC ＝AC ，AD ＝DE ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝60°∴∠BAC +∠DAC ＝∠DAE +∠DAC即∠BAD ＝∠EAC在△ABD和△ACE中，AB＝AC，∠BAD＝∠EAC，AD＝AE ∴△ABD≌△ACE∴BD＝CE∵BD＝BC+CD∴CE＝BC+CD7、（1）B（2）C（3）证明：如图，延长AD到M，使AD＝DM，连BM∵AD是△ABC中线∴CD＝BD∵在△ADC和△MDB中，∴△ADC≌△MDB∴BM＝AC，∠CAD＝∠M∵AE＝EF∴∠CAD＝∠AFE＝∠BFD∴∠BFD＝∠M∴BF＝BM＝AC8、（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE＝α∴∠ACD+∠BCD＝∠BCE+∠BCD即∠ACD＝∠BCE在△ACD和△BCE中，AC＝CB，∠ACD＝∠BCE，CD＝CE ∴△ACD≌△BCE∴BE＝AD（2）如图，∵△ACD≌△BCE∴∠CAD＝∠CBE在△AOC和△BOM中，∠CAD＝∠CBE，∠AOC＝∠BOM ∴∠AMB＝∠ACB＝α（3）证明：如图，∵AD，BE的中点分别为点P、Q∴AP＝DP，BQ＝BE∵△ACD≌△BCE（已证）∴∠CAP＝∠CBQBE＝AD∴AP＝BQ在△ACP和△BCQ中，CA＝CB，∠CAP＝∠CBQ，AP＝BQ ∴△ACP≌△BCQ∴CP＝CQ，∠ACP＝∠BCQ∵∠ACB＝∠ACP+∠PCB＝90°∴∠BCQ+∠PCB＝90°即∠PCQ＝90°∴△CPQ为等腰直角三角形9、解：（1）△ABC≌△EDC．理由如下：∵CA平分∠BCE∴∠ACB＝∠ACE在△ACE和△BED中，BC＝CD，∠ACB＝∠ACE，AC＝CE ∴△ABC≌△EDC（2）∵∠ACB＝60°,CA平分∠BCE∴∠ACB＝∠ACE＝∠ECM＝60°在△CDG和△CBF中，FC＝CG，∠FCB＝∠DCG＝60°，BC＝CD ∴△CDG≌△CBF∴∠CBF＝∠CDG∵∠DFH＝∠BFC∴∠DHF＝∠BCF＝60°（2）BE平分∠ABC．理由如下：∵EB平分∠DEC∴∠DEH＝∠BEC∵∠ECM＝∠BEC+∠CBE＝60°∠DHF＝∠DEH+∠EDG＝60°∴∠CBE＝∠EDG由（2）知∠CBF＝∠CDG∴∠EDG＝∠CDG＝∠CBE∴∠EDC＝2∠CDG＝2∠CBE由（1）知△ABC≌△EDC∴∠ABC＝∠EDC＝2∠CBE∴∠ABE＝∠CBE∴BE平分∠ABC10、解：（1）AD≠CB，理由如下：∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠CBE在△ABD和△EBC中∴△ABD≌△EBC∴AD＝CE由题意，得CB≠CE∴AD≠CB（2）∵BD＝BC∴∠BCD＝∠BDC＝75°∴∠DBC＝∠ABD＝180°﹣75°﹣75°＝30°∵△ABD≌△EBC∴∠BAD＝∠BEC在△ABD和△CDE中∠BAD＝∠DEC，∠ADB＝∠EDC∴∠ACE＝∠ABD＝30°（3）由（1）得，△ABD≌△EBC∴∠BAD＝∠BEC在△ABD和△CDE中∠BAD＝∠DEC，∠ADB＝∠EDC∴∠ACE＝∠ABD＝β∵BD为△ABC的角平分线∴∠DBC＝∠ABD＝β∵BD＝BC，∠BCE＝α∴∠BCD＝∠BDC＝α﹣β∴在△DBC中，β+（α﹣β）+（α﹣β）＝180°∴2α﹣β＝180°11、证明：图②∵CF⊥AE，BD⊥AE，∠MAN＝90°∴∠AFC＝∠BDA＝90°∴∠ABD+∠BAD＝90°∠CAF+∠BAD＝90°∴∠ABD＝∠CAF在△ABD和△CAF中∴△ABD≌△CAF图③∵∠1＝∠2＝∠BAC∠1＝∠BAE+∠ABE∠BAC＝∠BAE+∠CAF∴∠ABE＝∠CAF∠AEB＝∠AFC在△ABE和△CAF中，∠AEB＝∠AFC，∠ABE＝∠CAF，AB＝AC ∴△ABE≌△CAF图④512、解：（1）①∵∠BAC＝90°，AB＝AC∴∠CBA＝45°∵BD平分∠ABC∴∠DBA＝∠DBC＝22.5°∵CE⊥BD∴∠CED＝∠BAD＝90°又∵∠CDE＝∠BDA∴∠ECD＝∠DBA＝22.5°②BD＝2CE．证明：如图1∵BD平分∠ABC，CE⊥BD∠CBE＝∠FBE在△CBE与△FBE中，，BE＝BE，∠CEB＝∠FEB＝90°∴△CBE≌△FBE∴CE＝FE在△ABD与△ACF中，∠DBA＝∠ACF，∠BAD＝∠CAF＝90°，BA＝AC ∴△ABD≌△ACF∴BD＝CF＝2CE（2）结论：BE﹣CE＝2AF证明：如图（2），过A作AH⊥AE，交BE于H∴∠HAE＝90°∴∠HAC+∠CAE＝90°∠HAC+∠BAH＝90°∴∠BAH＝∠CAE在△ABH与△ACE中，∠BAH＝∠CAE，BA＝CA，∠HBA＝∠ECA ∴△ABH≌△ACE∴CE＝BH，AH＝AE∴△AEH是等腰直角三角形又∵AF⊥BE∴EF＝HF∴BE﹣CE＝HE＝2AF13、（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m∴∠BDA＝∠CEA＝90°∵∠BAC＝90°∴∠ABD+∠BAD＝90°∠CAE+∠BAD＝90°∴∠ABD＝∠CAE在△ADB和△CEA中，∠ABD＝∠CAE，∠BDA＝∠CEA，BA＝CA ∴△ADB≌△CEA∴AE＝BD，AD＝CE∴DE＝AE+AD＝BD+CE（2）解：成立；理由如下∵∠BDA ＝∠BAC ＝α∴∠BAD +∠CAE+α＝180°∠BAD +∠DBA+α＝180°∴∠CAE ＝∠ABD在△ADB 和△CEA 中，∠ABD ＝∠CAE ，∠BDA ＝∠CEA ，BA ＝CA ∴△ADB ≌△CEA∴AE ＝BD ，AD ＝CE∴DE ＝AE +AD ＝BD +CE（3）解：∵∠BAD ＞∠CAE ，∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC∠BAD +∠CAE+∠BAC ＝180°∠BAD +∠ABD+∠BDA ＝180°∴∠CAE ＝∠ABD在△ABD 和△CEA 中，∠ABD ＝∠CAE ，∠BDA ＝∠CEA ，BA ＝CA ∴△ABD ≌△CEA∴S △ABD ＝S △CEA如图，过A 作AG 垂直BF 于G则S △ABC ＝BC •AG ，S △ACF ＝CF •AG又∵BC ＝2CF∴S △ACF ＝S △ABC ＝×12＝6∴S △ACF ＝S △CEF +S △CEA ＝6∵S △ABD ＝S △CEA∴S △CEF +S △ABD ＝6∴△ABD与△CEF的面积之和为614、（1）证明：∵EF∥AB∴∠A＝∠F，在△ACD和△FCE中，∠A＝∠F，∠ACD＝∠FCE，CE＝CD ∴△ACD≌△FCE∴AD＝FE（2）①证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC ，D为AB中点∴AD＝DB，CD⊥AB∴∠CAB＝∠CBACD垂直平分AB∴EA＝EB∴∠EAB＝∠EBA∴∠EAB﹣∠CAB＝∠EBA﹣∠CBA∴∠CBE＝∠CAE②解：∵EA ＝EB ，EB ＝EP∴EP ＝EB ＝EA ＝8∴∠EAP ＝∠EP A∵∠CBE ＝∠CAE∴∠CBE ＝∠EP A∵∠BQC ＝∠PQE∴∠PEB ＝∠PCB ＝90°∴S △BEP ＝×8×8＝32∵S △BPQ ：S △BEP ＝26：32＝13：16∴BQ ：BE ＝13：16∵BE ＝8∴BQ ＝∴EQ ＝8﹣＝ 15、（1）证明：由题意，得CD ＝CE ，∠DCE ＝∠DCB +∠ECF ＝90° ∵EF ⊥BC∴∠CEF +∠ECF ＝90°∴∠DCB ＝∠CEF在△DBC 和△CEF 中，∠DBC ＝∠CFE ＝90°，∠DCB ＝∠CEF ，CD ＝CE ∴△DBC ≌△CFE（2）解：如图1，连AE 交BC 于M∵△DBC≌△CFE∴BD＝CF，BC＝EF∵△ABC为等腰直角三角形，∴AB＝BC∴AB＝EF，AD＝BF在△ABM和△EFM中，∠AMB＝∠EMF，∠ABM＝∠EFM，AB＝EF ∴△ABM≌△EFM∴BM＝MF∴BF＝2BM＝2MF∴AD＝2MF∴（3）解：不变．＝2，理由如下：如图，在EH上取EQ＝DG∵DG⊥DC∴∠CDG＝90°在△CDG和△CEQ中，EQ＝DG，∠CDG＝∠CEQ＝90°，CD＝CE ∴△CDG≌△CEQ∴CG＝CQ，∠DCG＝∠ECQ∵∠DCG+∠DCB＝45°∴∠ECQ+∠DCB＝45°∴∠HCQ＝90°- 45°＝45°∴∠HCQ＝∠HCG＝45°在△HCG和△HCQ中，CG＝CQ，∠HCQ＝∠HCG，HC＝HC ∴△HCG≌△HCQ∴HG＝HQ∴16、解：（1）∵△ABC是等边三角形∴∠BAC＝60°∵线段AM为BC边上的中线∴∠CAM＝∠BAC＝30°（2）∵△ABC与△DEC为等边三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°∴∠DCB+∠ACD＝60°∠DCB+∠BCE＝60在△ADC和△BEC中，CD＝CE，∠ACD＝∠BCE，AC＝BC ∴△ACD≌△BCE（3）∠AOB是定值60°，理由如下：如图，当D在线段AM上时∵△ACD≌△BCE （已证明）∴∠CBE＝∠CAD＝30°∵∠ABC＝60°∴∠ABO＝60°+30°＝90°又∵∠CAM＝∠BAM＝30°∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°如图2，当D在线段AM的延长线上时∵△ABC与△DEC都是等边三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°∴∠DCB+∠ACB＝60°∠DCB+∠DCE＝60°在△ACD和△BCE中，CD＝CE，∠ACD＝∠BCE，AC＝BC ∴△ACD≌△BCE∴∠CBE＝∠CAD＝30°∴∠ABO＝60°+30°＝90°∵线段AM为BC边上的中线∴∠BMO＝90°∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°如图3，当D在线段MA的延长线上时∵△ABC与△DEC都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°∴∠ACD+∠ACE＝60°∠BCE+∠ACE＝60°∴∠ACD＝∠BCE在△ACD和△BCE中，CD＝CE，∠ACD＝∠BCE，AC＝BC ∴△ACD≌△BCE∴∠CBE＝∠CAD又∵∠CAM＝∠BAM＝30°∴∠CBE＝∠CAD＝180°﹣30°＝150°∴∠CBO＝180°﹣150°＝30∵线段AM为BC边上的中线∴∠BMO＝90°∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°综上，当动点D在直线AM上时，∠AOB是定值，∠AOB＝60°．。
全等三角形压轴题及其详解
全等三角形压轴题1.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求α的值．【分析】（1）求出∠ABC的度数，即可求出答案；（2）连接AD，CD，ED，根据旋转性质得出BC=BD，∠DBC=60°，求出∠ABD=∠EBC=30°﹣α，且△BCD为等边三角形，证△ABD≌△ACD，推出∠BAD=∠CAD=∠BAC=α，求出∠BEC=α=∠BAD，证△ABD≌△EBC，推出AB=BE即可；（3）求出∠DCE=90°，△DEC为等腰直角三角形，推出DC=CE=BC，求出∠EBC=15°，得出方程30°﹣α=15°，求出即可．【解答】（1）解：∵AB=AC，∠A=α，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣∠A）=90°﹣α，∵∠ABD=∠ABC﹣∠DBC，∠DBC=60°，即∠ABD=30°﹣α；（2）△ABE是等边三角形，证明：连接AD，CD，ED，∵线段BC绕B逆时针旋转60°得到线段BD，则BC=BD，∠DBC=60°，∵∠ABE=60°，∴∠ABD=60°﹣∠DBE=∠EBC=30°﹣α，且△BCD为等边三角形，在△ABD与△ACD中∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=α，∵∠BCE=150°，∴∠BEC=180°﹣（30°﹣α）﹣150°=α=∠BAD，在△ABD和△EBC中∴△ABD≌△EBC（AAS），∴AB=BE，∴△ABE是等边三角形；（3）解：∵∠BCD=60°，∠BCE=150°，∴∠DCE=150°﹣60°=90°，∵∠DEC=45°，∴△DEC为等腰直角三角形，∴DC=CE=BC，∵∠BCE=150°，∴∠EBC=（180°﹣150°）=15°，∵∠EBC=30°﹣α=15°，∴α=30°．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定和性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等．2.已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°．分别以AB、AC为边，向三角形外作等边△ABD和等边△ACE．（1）如图1，连接线段BE、CD．求证：BE=CD；（2）如图2，连接DE交AB于点F．求证：F为DE中点．【解答】证明：（1）∵△ABD和△ACE是等边三角形，∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，在△DAC和△BAE中，，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴DC=BE；（2）如图，作DG∥AE，交AB于点G，由∠EAC=60°，∠CAB=30°得：∠FAE=∠EAC+∠CAB=90°，∴∠DGF=∠FAE=90°，又∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴∠ABC=60°，又∵△ABD为等边三角形，∠DBG=60°，DB=AB，∴∠DBG=∠ABC=60°，在△DGB和△ACB中，，∴△DGB≌△ACB（AAS），∴DG=AC，又∵△AEC为等边三角形，∴AE=AC，∴DG=AE，在△DGF和△EAF中，，∴△DGF≌△EAF（AAS），∴DF=EF，即F为DE中点．3.在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流．原问题：如图1，已知△ABC，∠ACB=90°，∠ABC=45°，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE，且DA=DB，EB=EC，∠ADB=∠BEC=90°，连接DE交AB于点F．探究线段DF与EF的数量关系．小慧同学的思路是：过点D作DG⊥AB于G，构造全等三角形，通过推理使问题得解．小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60度．小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况．请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：（1）写出原问题中DF与EF的数量关系；（2）如图2，若∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60°，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；（3）如图3，若∠ADB=∠BEC=2∠ABC，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明．【分析】本题的解题思路是通过构建全等三角形来求解．先根据直角三角形的性质，等边三角形的性质得到一些隐含的条件，然后根据所得的条件来证明所构建的三角形的全等；再根据全等三角形的对应边相等得出DF=EF的猜想．【解答】解：（1）DF=EF．（2）猜想：DF=FE．证明：过点D作DG⊥AB于G，则∠DGB=90度．∵DA=DB，∠ADB=60度．∴AG=BG，△DBA是等边三角形．∴DB=BA．∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴AC=AB=BG．在Rt△DBG和Rt△BAC中∴Rt△DBG≌Rt△BAC（HL）．∴DG=BC．∵BE=EC，∠BEC=60°，∴△EBC是等边三角形．∴BC=BE，∠CBE=60度．∴DG=BE，∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°．∵∠DFG=∠EFB，∠DGF=∠EBF，在△DFG和△EFB中∴△DFG≌△EFB（AAS）．∴DF=EF．（3）猜想：DF=FE．证法一：过点D作DH⊥AB于H，连接HC，HE，HE交CB于K，则∠DHB=90度．∵DA=DB，∴AH=BH，∠1=∠HDB．∵∠ACB=90°，∴HC=HB．在△HBE和△HCE中∴△HBE≌△HCE（SSS）．∴∠2=∠3，∠4=∠BEH．∴HK⊥BC．∴∠BKE=90°．∴∠3+∠ABC=90°∵∠ADB=∠BEC=2∠ABC，∴∠HDB=∠BEH=∠ABC．∴∠DBC=∠DBH+∠ABC=∠DBH+∠HDB=90°，∴∠3=∠DBH∠EBH=∠EBK+∠ABC=∠EBK+∠BEK=90°=∠DHB又∵HB是公共边，所以△DBH≌△EHB∴DH=BE同理可以证明△DHF≌△EBF∴DF=EF．4.已知，点P是Rt△ABC斜边AB上一动点（不与A、B重合），分别过A、B向直线CP作垂线，垂足分别为E、F，Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是AE∥BF，QE与QF的数量关系是QE=QF；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．【分析】（1）根据AAS推出△AEQ≌△BFQ，推出AE=BF即可；（2）延长EQ交BF于D，求出△AEQ≌△BDQ，根据全等三角形的性质得出EQ=QD，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可；（3）延长EQ交FB于D，求出△AEQ≌△BDQ，根据全等三角形的性质得出EQ=QD，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可．【解答】解：（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是AE∥BF，QE与QF的数量关系是AE=BF，理由是：∵Q为AB的中点，∴AQ=BQ，∵AE⊥CQ，BF⊥CQ，∴AE∥BF，∠AEQ=∠BFQ=90°，在△AEQ和△BFQ中∴△AEQ≌△BFQ，∴QE=QF，故答案为：AE∥BF，QE=QF；（2）QE=QF，证明：延长EQ交BF于D，∵由（1）知：AE∥BF，∴∠AEQ=∠BDQ，在△AEQ和△BDQ中∴△AEQ≌△BDQ，∴EQ=DQ，∵∠BFE=90°，∴QE=QF；，（3）当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论成立，证明：延长EQ交FB于D，如图3，∵由（1）知：AE∥BF，∴∠AEQ=∠BDQ，在△AEQ和△BDQ中∴△AEQ≌△BDQ，∴EQ=DQ，∵∠BFE=90°，∴QE=QF．5.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=60°，点E为直线AC上一点，D为直线BC上的一点，且DA=DE．当点D在线段BC上时，如图①，易证：BD+AB=AE；当点D在线段CB的延长线上时，如图②、图③，猜想线段BD，AB和AE之间又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．【分析】图②中，论：BD+AE=AB，作EM∥AB交BC于M，先证明△EMC是等边三角形得CE=CM，AE=BM，再证明△ABD≌△DEM，得DB=EM=MC由此可以对称结论．图③中，结论：BD﹣AE=AB，证明方法类似．【解答】解；如图②中，结论：BD+AE=AB．理由：作EM∥AB交BC于M，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC=AC，∴∠CEM=∠CAB=60°，∠CME=∠CBA=60°，∴△CME是等边三角形，∴CE=CM=EM，∠EMC=60°，∴AE=BM，∵DA=DE，∴∠DAE=∠DEA，∴∠BAC+∠DAB=∠C+∠EDM，∴∠DAB=∠EDM，∵∠ABD=180°﹣∠ABC=120°，∠EMD=180°﹣∠EMC=120°，∴∠ABD=∠DME，在△ABD和△DEM中，，∴△ABD≌△DEM，∴DB=EM=CM，∴DB+AE=CM+BM=BC=AB．如图③中，结论：BD﹣AE=AB．理由：作EM∥AB交BC于M，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC=AC，∴∠CEM=∠CAB=60°，∠CME=∠CBA=60°，∴△CME是等边三角形，∴CE=CM=EM，∠EMC=∠MEC=60°，∴AE=BM，∵DA=DE，∴∠DAE=∠DEA，∴∠C+∠ADC=∠MEC+∠EDDEM，∴∠ADB=∠DEM，∵∠ABD=180°﹣∠ABC=120°，∠EMD=180°﹣∠EMC=120°，∴∠ABD=∠DME，在△ABD和△DEM中，，∴△ABD≌△DME，∴DB=EM=CM，∴DB﹣AE=CM﹣BM=BC=AB．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，注意形变证明方法基本不变，属于中考常考题型．6.如图1，我们定义：在四边形ABCD中，若AD=BC，且∠ADB+∠BCA=180°，则把四边形ABCD叫做互补等对边四边形．（1）如图2，在等腰△ABE中，AE=BE，四边形ABCD是互补等对边四边形，求证：∠ABD=∠BAC=∠AEB．（2）如图3，在非等腰△ABE中，若四边形ABCD仍是互补等对边四边形，试问∠ABD=∠BAC=∠AEB是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．【分析】（1）根据等边对等角可得∠EAB=∠EBA，根据四边形ABCD是互补等对边四边形，可得AD=BC，根据SAS可证△ABD≌△BAC，根据全等三角形的性质可得∠ABD=∠BAC，再根据等腰三角形的性质即可证明；（2）仍然成立；理由如下：如图所示：过点A、B分别作BD的延长线与AC的垂线，垂足分别为G、F，证明△AGD≌△BFC，得到AG=BF，又AB=BA，所以△ABC≌△BAF，得到∠ABD=∠BAC，根据∠ADB+∠BCA=180°，得到∠EDB+∠ECA=180°，进而得到∠AEB+∠DHC=180°，由∠DHC+∠BHC=180°，所以∠AEB=∠BHC．因为∠BHC=∠BAC+∠ABD，∠ABD=∠BAC，所以∠ABD=∠BAC=∠AEB．【解答】解：（1）∵AE=BE，∴∠EAB=∠EBA，∵四边形ABCD是互补等对边四边形，∴AD=BC，在△ABD和△BAC中，，∴△ABD≌△BAC（SAS），∴∠ADB=∠BCA，又∵∠ADB+∠BCA=180°，∴∠ADB=∠BCA=90°，在△ABE中，∵∠EAB=∠EBA==90°﹣∠AEB，∴∠ABD=90°﹣∠EAB=90°﹣（90°﹣∠AEB）=∠AEB，同理：∠BAC=∠AEB，∴∠ABD=∠BAC=∠AEB；（2）仍然成立；理由如下：如图③所示：过点A、B分别作BD的延长线与AC的垂线，垂足分别为G、F，∵四边形ABCD是互补等对边四边形，∴AD=BC，∠ADB+∠BCA=180°，又∠ADB+ADG=180°，∴∠BCA=∠ADC，又∵AG⊥BD，BF⊥AC，∴∠AGD=∠BFC=90°，在△AGD和△BFC中，∴△AGD≌△BFC，∴AG=BF，在△ABG和△BAF中，∴△ABG≌△BAF，∴∠ABD=∠BAC，∵∠ADB+∠BCA=180°，∴∠EDB+∠ECA=180°，∴∠AEB+∠DHC=180°，∵∠DHC+∠BHC=180°，∴∠AEB=∠BHC．∵∠BHC=∠BAC+∠ABD，∠ABD=∠BAC，∴∠ABD=∠BAC=∠AEB．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据SAS证明△ABD≌△BAC．7.已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CE，②AC=CE+CD；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CE+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CE、CD之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点D在边BC的反向延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CE、CD之间存在的数量关系．【分析】（1）根据等边三角形的性质及等式的性质就可以得出△ABD≌△ACE，从而得出结论；（2）根据等边三角形的性质及等式的性质就可以得出△ABD≌△ACE，就可以得出BD=CE，就可以得出AC=CE﹣CD；（3）先根据条件画出图形，根据等边三角形的性质及等式的性质就可以得出△ABD≌△ACE，就可以得出BD=CE，就可以得出AC=CD﹣CE．【解答】解：（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC=BC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°．∴∠BAC﹣∠CAD=∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE．∵BC=BD+CD，AC=BC，∴AC=CE+CD；（2）AC=CE+CD不成立，AC、CE、CD之间存在的数量关系是：AC=CE﹣CD．理由：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC=BC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°．∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD=CE∴CE﹣CD=BD﹣CD=BC=AC，∴AC=CE﹣CD；（3）补全图形（如图）AC、CE、CD之间存在的数量关系是：AC=CD﹣CE．理由：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC=BC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°．∴∠BAC﹣∠BAE=∠DAE﹣∠BAE，∴∠BAD=∠CAE在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD=CE．∵BC=CD﹣BD，∴BC=CD﹣CE，∴AC=CD﹣CE．【点评】本题考查了等边三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．8.如图，已知△ABC，分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE，连接DC与BE．G、F分别是DC与BE的中点．（1）求证：DC=BE；（2）当∠DAB=80°，求∠AFG的度数；（3）若∠DAB=α，则∠AFG与α的数量关系是．【分析】（1）根据等式的性质就可以得出∠DAC=∠BAE．就可以得出△ADC≌△ABE就可以得出DC=BE；（2）连接AG，根据条件就可以得出△ADG≌△ABF，就可以求出AG=AF，∠GAF=∠DAB，由等腰三角形的性质就可以求出∠AFG的值，（3）连接AG，根据条件就可以得出△ADG≌△ABF，就可以求出AG=AF，∠GAF=∠DAB，由等腰三角形的性质就可以表示∠AFG与a的关系．【解答】解：（1）∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，∴∠DAC=∠BAE．在△ADC和△ABE中，∴△ADC≌△ABE（SAS），∴DC=BE；（2）连接AG．∵△ADC≌△ABE，∴∠ADC=∠ABE．AD=AB．∵G、F分别是DC与BE的中点，∴DG=DC，BF=BE，∴DG=BF．在△ADG和△ABF中，∴△ADG≌△ABF（SAS），∴AG=AF，∠DAG=∠BAF，∴∠AGF=∠AFG，∠DAG﹣∠BAG=∠BAF﹣∠BAG，∴∠DAB=∠GAF．∵∠DAB=80°，∴∠GAF=80°．∵∠GAF+∠AFG+∠AGF=180°，∴∠AFG=50°．答：∠AFG=50°；（3）∵∠DAB=α，∴∠GAF=α．∵∠GAF+∠AFG+∠AGF=180°，∴α+2∠AFG=180°，∴∠AFG=90°﹣α．故答案为：∠AFG=50°，90°﹣α．【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，等式的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，三角形内角和定理的运用，解答时证明三角形全等是关键．9.△ABC是等边三角形，点D、E分别在边AB、BC上，CD、AE交于点F，∠AFD=60°．（1）如图1，求证：BD=CE；（2）如图2，FG为△AFC的角平分线，点H在FG的延长线上，HG=CD，连接HA、HC，求证：∠AHC=60°；（3）在（2）的条件下，若AD=2BD，FH=9，求AF长．【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AB=BC，∠BAC=∠C=∠ABE=60°，根据SAS推出△ABE≌△BCD，即可证得结论；（2）根据角平分线的性质定理证得CM=CN，利用∠CEM=∠ACE+∠CAE=60°+∠CAE，∠CGN=∠AFH+∠CAE=60°+∠CAE，得出∠CEM=∠CGN，然后根据AAS证得△ECM≌△GCN，得出CG=CE，EM=GN，∠ECM=∠GCN，进而证得△AMC≌△HNC，得出∠ACM=∠HCN，AC=HC，从而证得△ACH是等边三角形，证得∠AHC=60°；（3）在FH上截取FK=FC，得出△FCK是等边三角形，进一步得出FC=KC=FK，∠ACF=∠HCK，证得△AFC≌△HKC得出AF=HK，从而得到HF=AF+FC=9，由AD=2BD 可知AG=2CG，再由=，根据等高三角形面积比等于底的比得出===2，再由AF+FC=9求得．【解答】解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACE=60°BC=AC，∵∠AFD=∠CAE+∠ACD=60°∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°，∴∠BCD=∠CAE，在△ABE和△BCD中，∴△ABE≌△BCD（ASA），∴BD=CE；（2）如图2，作CM⊥AE交AE的延长线于M，作CN⊥HF于N，∵∠EFC=∠AFD=60°∴∠AFC=120°，∵FG为△AFC的角平分线，∴∠CFH=∠AFH=60°，∴∠CFH=∠CFE=60°，∵CM⊥AE，CN⊥HF，∴CM=CN，∵∠CEM=∠ACE+∠CAE=60°+∠CAE，∠CGN=∠AFH+∠CAE=60°+∠CAE，∴∠CEM=∠CGN，在△ECM和△GCN中∴△ECM≌△GCN（AAS），∴CE=CG，EM=GN，∠ECM=∠GCN，∴∠MCN=∠ECG=60°，∵△ABE≌△BCD，∵AE=CD，∵HG=CD，∴AE=HG，∴AE+EM=HG+GN，即AM=HN，在△AMC和△HNC中∴△AMC≌△HNC（SAS），∴∠ACM=∠HCN，AC=HC，∴∠ACM﹣∠ECM=∠HCN﹣∠GCN，即∠ACE=∠HCG=60°，∴△ACH是等边三角形，∴∠AHC=60°；（3）如图3，在FH上截取FK=FC，∵∠HFC=60°，∴△FCK是等边三角形，∴∠FKC=60°，FC=KC=FK，∵∠ACH=60°，∴∠ACF=∠HCK，在△AFC和△HKC中∴△AFC≌△HKC（SAS），∴AF=HK，∴HF=AF+FC=9，∵AD=2BD，BD=CE=CG，AB=AC，∴AG=2CG，∴==，作GW⊥AE于W，GQ⊥DC于Q，∵FG为△AFC的角平分线，∴GW=GQ，∵===，∴AF=2CF，∴AF=6．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，找出辅助线根据全等三角形和等边三角形是解题的关键．10.如图1，△ABE是等腰三角形，AB=AE，∠BAE=45°，过点B作BC⊥AE于点C，在BC上截取CD=CE，连接AD、DE并延长AD交BE于点P；（1）求证：AD=BE；（2）试说明AD平分∠BAE；（3）如图2，将△CDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由．【分析】（1）利用SAS证明△BCE≌△ACD，根据全等三角形的对应边相等得到AD=BE．（2）根据△BCE≌△ACD，得到∠EBC=∠DAC，由∠BDP=∠ADC，得到∠BPD=∠DCA=90°，利用等腰三角形的三线合一，即可得到AD平分∠BAE；（3）AD⊥BE不发生变化．由△BCE≌△ACD，得到∠EBC=∠DAC，由对顶角相等得到∠BFP=∠ACF，根据三角形内角和为180°，所以∠BPF=∠ACF=90°，即AD⊥BE．【解答】解：（1）∵BC⊥AE，∠BAE=45°，∴∠CBA=∠CAB，∴BC=CA，在△BCE和△ACD中，∴△BCE≌△ACD，∴AD=BE．（2）∵△BCE≌△ACD，∴∠EBC=∠DAC，∵∠BDP=∠ADC，∴∠BPD=∠DCA=90°，∵AB=AE，∴AD平分∠BAE．（3）AD⊥BE不发生变化．如图2，∵△BCE≌△ACD，∴∠EBC=∠DAC，∵∠BFP=∠ACF，∴∠BPF=∠ACF=90°，∴AD⊥BE．【点评】本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明△BCE≌△ACD．11.情境观察：如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，CD⊥AB，AE⊥BC，垂足分别为D、E，CD与AE交于点F．①写出图1中所有的全等三角形△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；②线段AF与线段CE问题探究：如图2，△ABC中，∠BAC=45°，BAC，AD⊥CD，垂足为D，AD与BC交于点E．求证：AE=2CD．拓展延伸：如图3，△ABC中，∠BAC=45°，AB=BC，点D在AC上，∠EDC=∠BAC，DE⊥CE，垂足为E，DE与BC交于点F．求证：DF=2CE．要求：请你写出辅助线的作法，并在图3中画出辅助线，不需要证明．【分析】情境观察：①由全等三角形的判定方法容易得出结果；②由全等三角形的性质即可得出结论；问题探究：延长AB、CD交于点G，由ASA证明△ADC≌△ADG，得出对应边相等CD=GD，即CG=2CD，证出∠BAE=∠BCG，由ASA证明△ADC≌△CBG，得出AE=CG=2CD即可．拓展延伸：作DG⊥BC交CE的延长线于G，同上证明三角形全等，得出DF=CG即可．【解答】情境观察：解：①图1中所有的全等三角形为△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；故答案为：△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB②线段AF与线段CE的数量关系是：AF=2CE；故答案为：AF=2CE．问题探究：证明：延长AB、CD交于点G，如图2所示：∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠GAD，∵AD⊥CD，∴∠ADC=∠ADG=90°，在△ADC和△ADG中，，∴△ADC≌△ADG（ASA），∴CD=GD，即CG=2CD，∵∠BAC=45°，AB=BC，∴∠ABC=90°，∴∠CBG=90°，∴∠G+∠BCG=90°，∵∠G+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠BCG，在△ABE和△CBG中，，∴△ADC≌△CBG中（ASA），∴AE=CG=2CD．拓展延伸：解：作DG⊥BC交CE的延长线于G，如图3所示．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．12.如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．（1）求证：△ABQ≌△CAP；（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说理由；若不变，求出它的度数．（3）如图2，若点P、Q在分别运动到点B和点C后，继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC=120度．（直接填写度数）【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP；（2）由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠QMC=60°；（3）由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠QMC=120°．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，又∵点P、Q运动速度相同，∴AP=BQ，在△ABQ与△CAP中，，∴△ABQ≌△CAP（SAS）；（2）解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ=∠ACP，∵∠QMC=∠ACP+∠MAC，∴∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°；（3）解：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ=∠ACP，∵∠QMC=∠BAQ+∠APM，∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°﹣∠PAC=180°﹣60°=120°．故答案为：120°．【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．13.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，D是斜边上AB上任一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H点，交AE于G．（1）试说明AH=BH（2）求证：BD=CG．（3）探索AE与EF、BF之间的数量关系．【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一证明；（2）证明△ACG≌△CBD，根据全等三角形的性质证明；（3）证明△ACE≌△CBF即可．【解答】证明：（1）∵AC=BC，CH⊥AB，∴AH=BH；（2）∵ABC为等腰直角三角形，CH⊥AB，∴∠ACG=45°，∵∠CAG+∠ACE=90°，∠BCF+∠ACE=90°，∴∠CAG=∠BCF，在△ACG和△CBD中，，∴△ACG≌△CBD（ASA），∴BD=CG；（3）AE=EF+BF，理由如下：在△ACE和△CBF中，，∴△ACE≌△CBF，∴AE=CF，CE=BF，∴AE=CF=CE+EF=BF+EF．【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．14.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，△ABD和△AFD关于直线AD对称，∠FAC的平分线交BC于点G，连接FG．（1）求∠DFG的度数；（2）设∠BAD=θ，①当θ为何值时，△DFG为等腰三角形；②△DFG有可能是直角三角形吗？若有，请求出相应的θ值；若没有，请说明理由．【分析】（1）由轴对称可以得出△ADB≌△ADF，就可以得出∠B=∠AFD，AB=AF，在证明△AGF≌△AGC就可以得出∠AFG=∠C，就可以求出∠DFG的值；（2）①当GD=GF时，就可以得出∠GDF═80°，根据∠ADG=40+θ，就有40°+80°+40°+θ+θ=180°就可以求出结论；当DF=GF时，就可以得出∠GDF=50°，就有40°+50°+40°+2θ=180°，当DF=DG时，∠GDF=20°，就有40°+20°+40°+2θ=180°，从而求出结论；②有条件可以得出∠DFG=80°，当∠GDF=90°时，就有40°+90°+40°+2θ=180°就可以求出结论，当∠DGF=90°时，就有∠GDF=10°，得出40°+10°+40°+2θ=180°求出结论．【解答】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=100°，∴∠B=∠C=40°．∵△ABD和△AFD关于直线AD对称，∴△ADB≌△ADF，∴∠B=∠AFD=40°，AB=AF∠BAD=∠FAD=θ，∴AF=AC．∵AG平分∠FAC，∴∠FAG=∠CAG．在△AGF和△AGC中，，∴△AGF≌△AGC（SAS），∴∠AFG=∠C．∵∠DFG=∠AFD+∠AFG，∴∠DFG=∠B+∠C=40°+40°=80°．答：∠DFG的度数为80°；（2）①当GD=GF时，∴∠GDF=∠GFD=80°．∵∠ADG=40°+θ，∴40°+80°+40°+θ+θ=180°，∴θ=10°．当DF=GF时，∴∠FDG=∠FGD．∵∠DFG=80°，∴∠FDG=∠FGD=50°．∴40°+50°+40°+2θ=180°，∴θ=25°．当DF=DG时，∴∠DFG=∠DGF=80°，∴∠GDF=20°，∴40°+20°+40°+2θ=180°，∴θ=40°．∴当θ=10°，25°或40°时，△DFG为等腰三角形；②当∠GDF=90°时，∵∠DFG=80°，∴40°+90°+40°+2θ=180°，∴θ=5°．当∠DGF=90°时，∵∠DFG=80°，∴∠GDF=10°，∴40°+10°+40°+2θ=180°，∴θ=45°∴当θ=5°或45°时，△DFG为直角三角形．【点评】本题考查了轴对称的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，直角三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形的全等是关键．15.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的中点，连接CD，过B 作BE⊥CD交CD的延长线于点E，连接AE，过A作AF⊥AE交CD于点F．（1）求证：AE=AF；（2）求证：CD=2BE+DE．【分析】（1）通过证△AEB≌△AFC（SAS），得到AE=AF；（2）如图，过点A作AG⊥EC，垂足为G，通过证△BED≌△AGD（AAS），得到ED=GD，BE=AG，易证CF=BE=AG=GF．因为CD=DG+GF+FC，所以CD=DE+BE+BE，故CD=2BE+DE．【解答】证明：（1）如图，∵∠BAC=90°，AF⊥AE，∴∠EAB+∠BAF=∠BAF+∠FAC=90°，∴∠EAB=∠FAC，∵BE⊥CD，∴∠BEC=90°，∴∠EBD+∠EDB=∠ADC+∠ACD=90°，∵∠EDB=∠ADC，∴∠EBA=∠ACF，∴在△AEB与△AFC中，，∴△AEB≌△AFC（ASA），∴AE=AF；（2）如图，过点A作AG⊥EC，垂足为G．∵AG⊥EC，BE⊥CE，∴∠BED=∠AGD=90°，∵点D是AB的中点，∴BD=AD．∴在△BED与△AGD中，，∴△BED≌△AGD（AAS），∴ED=GD，BE=AG，∵AE=AF∴∠AEF=∠AFE=45°∴∠FAG=45°∴∠GAF=∠GFA，∴GA=GF，∴CF=BE=AG=GF，∵CD=DG+GF+FC，∴CD=DE+BE+BE，∴CD=2BE+DE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．16.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E．在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC．（1）求证：BE=CF；（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME．求证：①ME⊥BC；②CM平分∠ACE．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质求出∠B=∠ACB=45°，再求出∠ACF=45°，从而得到∠B=∠ACF，根据同角的余角相等求出∠BAE=∠CAF，然后利用“角边角”证明△ABE和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）①过点E作EH⊥AB于H，求出△BEH是等腰直角三角形，然后求出HE=BH，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=HE，然后求出HE=HM，从而得到△HEM是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求解即可；②求出∠CAE=∠CEA=67.5°，根据等角对等边可得AC=CE，再利用“HL”证明Rt△ACM和Rt△ECM全等即可得到结论．【解答】证明：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∵FC⊥BC，∴∠BCF=90°，∴∠ACF=90°﹣45°=45°，∴∠B=∠ACF，∵∠BAC=90°，FA⊥AE，∴∠BAE+∠CAE=90°，∠CAF+∠CAE=90°，∴∠BAE=∠CAF，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴BE=CF；（2）①如图，过点E作EH⊥AB于H，则△BEH是等腰直角三角形，∴HE=BH，∠BEH=45°，∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，∴DE=HE，∴DE=BH=HE，∵BM=2DE，∴HE=HM，∴△HEM是等腰直角三角形，∴∠MEH=45°，∴∠BEM=45°+45°=90°，∴ME⊥BC；②由题意得，∠CAE=45°+×45°=67.5°，∴∠CEA=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠CAE=∠CEA=67.5°，∴AC=CE，在Rt△ACM和Rt△ECM中，，∴Rt△ACM≌Rt△ECM（HL），∴∠ACM=∠ECM，∴CM平分∠ACE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键，难点在于最后一问根据角的度数得到相等的角．17.如图，在△ABC中，已知∠ABC=45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM ⊥AC于点M，CD与BM相交于点E，且点E是CD的中点，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．（1）求证：△DBN≌△DCM；（2）请探究线段NE、ME、CM之间的数量关系，并证明你的结论．【分析】（1）根据两角夹边相等的两个三角形全等即可证明．（2）结论：NE﹣ME=CM．作DF⊥MN于点F，由（1）△DBN≌△DCM 可得DM=DN，由△DEF≌△CEM，推出ME=EF，CM=DF，由此即可证明．【解答】（1）证明：∵∠ABC=45°，CD⊥AB，∴∠ABC=∠DCB=45°，∴BD=DC，∵∠BDC=∠MDN=90°，∴∠BDN=∠CDM，∵CD⊥AB，BM⊥AC，∴∠ABM=90°﹣∠A=∠ACD，在△DBN和△DCM中，，∴△DBN≌△DCM．（2）结论：NE﹣ME=CM．证明：由（1）△DBN≌△DCM 可得DM=DN．作DF⊥MN于点F，又ND⊥MD，∴DF=FN，在△DEF和△CEM中，，∴△DEF≌△CEM，∴ME=EF，CM=DF，∴CM=DF=FN=NE﹣FE=NE﹣ME．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．18.问题情境：如图①，在△ABD与△CAE中，BD=AE，∠DBA=∠EAC，AB=AC，易证：△ABD≌△CAE．（不需要证明）特例探究：如图②，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F．求证：△ABD≌△CAE．归纳证明：如图③，在等边△ABC中，点D、E分别在边CB、BA的延长线上，且BD=AE．△ABD与△CAE是否全等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由．拓展应用：如图④，在等腰三角形中，AB=AC，点O是AB边的垂直平分线与AC 的交点，点D、E分别在OB、BA的延长线上．若BD=AE，∠BAC=50°，∠AEC=32°，求∠BAD的度数．【分析】特例探究：利用等边三角形的三条边都相等、三个内角都是60°的性质推知AB=AC，∠DBA=∠EAC=60°，然后结合已知条件BD=AE，利用全等三角形的判定定理SAS证得△ABD≌△CAE．归纳证明：△ABD与△CAE全等．利用等边三角形的三条边都相等、三个内角都是60°的性质以及三角形外角定理推知AB=AC，∠DBA=∠EAC=120°，然后结合已知条件BD=AE，利用全等三角形的判定定理SAS证得△ABD≌△CAE；拓展应用：利用全等三角形（△ABD≌△CAE）的对应角∠BDA=∠AEC=32°，然后由三角形的外角定理求得∠BAD的度数．【解答】特例探究：证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠DBA=∠EAC=60°，在△ABD与△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（SAS）；解：归纳证明：△ABD与△CAE全等．理由如下：∵在等边△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠BAC=60°，∴∠DBA=∠EAC=120°．在△ABD与△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（SAS）；拓展应用：∵点O在AB的垂直平分线上，∴OA=OB，∴∠OBA=∠BAC=50°，∴∠EAC=∠DBC．在△ABD与△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴∠BDA=∠AEC=32°，∴∠BAD=∠OBA﹣∠BDA=18°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识点．在证明两个三角形全等时，一定要找准对应角和对应边．19.情境创设：如图1，两块全等的直角三角板，△ABC≌△DEF，且∠C=∠F=90°，现如图放置，则∠ABE=90°．问题探究：如图2，△ABC中，AH⊥BC于H，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC形外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACF，过点E、F作射线HA的垂线，垂足分别为M、N，试探究线段EM和FN之间的数量关系，并说明理由．拓展延伸：如图3，△ABC中，AH⊥BC于H，以A为直角顶点，分别以AB、AC为一边，向△ABC形外作正方形ABME和正方形ACNF，连接E、F交射线HA于G点，试探究线段EG和FG之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）求出∠A=∠EDF，∠A+∠ABC=90°，推出∠EDF+∠ADC=90°，求出∠ADE的度数即可；（2）根据全等三角形的判定得出△EAM≌△ABH，进而求出EM=AH．同理AH=FN，因而EM=FN．（3）与（2）证法类似求出EG=FG，求出△EPG≌△FQG即可．【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEF，∴∠A=∠EDF，∵∠C=90°，∴∠A+∠ABC=90°，∴∠EDF+∠ADC=90°，∴∠ADE=180°﹣90°=90°，故答案为：90；（2）解：EM=FN，如图2，理由如下：∵Rt△ABE是等腰三角形，∴EA=BA，∠BAE=90°，∴∠BAH+∠MAE=90°，∵AH⊥BC，EM⊥AH，∴∠AME=∠AHB=90°，∴∠ABH+∠BAH=90°，∴∠ABH=∠MAE，在△EAM与△ABH中∴△EAM≌△ABH（AAS），∴EM=AH．同理AH=FN．∴EM=FN；（3）解：EG=FG，如图3，作EP⊥HG，FQ⊥HG，垂足分别为P、Q，由（2）可得EP=FQ，∵EP⊥HG，FQ⊥HG，∴∠EPG=∠FQG=90°，在△EPG和△FQG中∵，∴△EPG≌△FQG，∴EG=FG．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，注意：①全等三角形的对应角相等，对应边相等，②全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．。
北师大七年级全等三角形压轴题推荐
1.如图，在△ABC 和ADE 中，AB=AC ，AD=AE ，且∠BAC=∠DAE ，点E 在BC 上．过点D 作DF ∥BC ，连接DB ．求证：（1）△ABD ≌△ACE ；（2）DF=CE ．2、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG ∠的平分线CF 于点F ，求证：AE =EF ．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．ADFGB图1ADFG B 图2ADFC GB图33.已知：如下图，△ABC 中，∠ABC=45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ， H 是BC 边的中点，连接DH 与BE 相交于点G 。
（1）求证：BF=AC ；（2）求证：CE=BF ；（3）CE 与BG 的大小关系如何？试证明你的结论。
4.ABC ∆是边长为3的等边三角形，BDC ∆是等腰三角形，且0120BDC ∠=，以D 为顶点做一个060角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，则AMN ∆的周长为5.点P为线段AB的中点，分别过线段AB的端点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点C、D，连接PC、PD．（1）当直线l过线段AB的中点P，如图1，猜想PC、PD的数量关系（直接写出你的猜想）；（2）当直线l过线段AB上的任一点，如图2，猜想PC、PD的数量关系并加以证明；（3）当直线l过线段AB的延长线上的任一点，按照题意画出图形，并判断△PCD的形状（不必证明）．1.（1）证明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE，∴∠BAD=∠EAC，在△BAD和△CAE中，AD=AE，∠BAD=∠EAC，AB=AC，∴△BAD≌△CAE（SAS）；（2）证明：∵△BAD≌△CAE，∴∠DBA=∠C，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC，∵DF∥BC，∴∠DFB=∠ABC=∠C=∠DBA，即∠DFB=∠DBF，∴DF=CE．解：(图形补全法, “截长法”或“补短法”, 计算数值法) AC的延长线与BD的延长线交于点F，在线段CF上取点E，使CE＝BM∵△ABC为等边三角形，△BCD为等腰三角形，且∠BDC=120°，∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°，∠DCE=180°-∠ACD=180°-∠ABD=90°，又∵BM=CE，BD=CD，∴△CDE≌△BDM，∴∠CDE=∠BDM，DE=DM，∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°，∵在△DMN和△DEN中，DM=DE∠MDN=∠EDN=60°DN=DN∴△DMN≌△DEN，∴MN=NE∵在△DMA和△DEF中，DM=DE∠MDA=60°- ∠MDB=60°- ∠CDE=∠EDF (∠CDE=∠BDM)∠DAM=∠DFE=30°∴△DMN≌△DEN (AAS)，∴MA=FE的周长为AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6AMN解：（1）∵CD⊥AB，∠ABC=45°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴BD=CD，在Rt△DFB和Rt△DAC中，∵∠DBF=90°﹣∠BFD，∠DCA=90°﹣∠EFC，且∠BFD=∠EFC，∴∠DBF=∠DCA，又∵∠BDF=∠CDA=90°，BD=CD，∴Rt△DFB≌Rt△DAC，∴BF=AC；（2）在Rt△BEA和Rt△BEC中，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，又∵BE=BE，∠BEA=∠BEC=90°，∴Rt△BEA≌Rt△BEC，∴CE=AE=AC，又由（1），知BF=AC，∴CE=AC=BF；（3）2CE2=BG2证明：∠ABC=45°，CD垂直AB于D，则CD=BD，H为BC中点，则DH⊥BC（等腰三角形“三线合一”）连接CG，则BG=CG，∠GCB=∠GBC=22.5°，∠EGC=45°，又∵BE垂直AC，故∠EGC=∠ECG=45°，CE=GE，∴CE2+GE2=CG2=BG2；即2CE2=BG2，BG=CE。
最新北师大版七年级下册数学期末复习压轴题练习试题以及答案
七年级下册数学期末压轴试题1、（1）如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．求∠AEB的大小；（2）如图2，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠），求∠AEB的大小.（图1）（图2）2、已知:点C为线段AB上一点，△ACM,△CBN都是等边三角形，且AN、BM相交于O.①求证：AN=BM②求∠AOB的度数。
③若AN、MC相交于点P，BM、NC交于点Q，求证：PQ∥AB。
3、已知，如图1所示，在和中，，，，且点在一条直线上，连接分别为的中点．（1）求证：①；②AN AM =；（2）在图1的基础上，将绕点按顺时针方向旋转，其他条件不变，得到图2所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立.（图1）（图2）ABC △ADE △AB AC =AD AE =BAC DAE ∠=∠B A D ，，BE CD M N ，，，BE CD ，BE CD =ADE △A1804、如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接BG与DE相交于点H．（1）证明：△ABG≌△ADE；（2）试猜想∠BHD的度数，并说明理由；（3）将图中正方形ABCD绕点A逆时针旋转（0°＜∠BAE＜180°），设△ABE的面积为S，△ADG的面积为2S，判断1S与2S的大小关系，并1给予证明。
5、已知：如图，ABC∥，交△是等边三角形，过AB边上的点D作DG BC，．AC于点G，在GD的延长线上取点E，使DE DB，连接AE CD（1）求证：AGE DAC△≌△；（2）过点E作EF DC△是怎∥，交BC于点F，请你连接AF，并判断AEF样的三角形，试证明你的结论．6、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．求证：（1）AE＝CD；（2）若AC＝12cm，求BD的长．7、已知BE，CF是△ABC的高，且BP=AC，CQ=AB，试确定AP与AQ的数量关系和位置关系8、如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．(1)求证：CD=BF；(2)求证：AD⊥CF；(3)连接AF，试判断△ACF的形状.9、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．10、如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC.（1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论；（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使E点落在BC边上，如图2，连接AE和GC.你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.11、如图1，ABC ∆的边BC 在直线l 上，,AC BC ⊥且,AC BC =EFP ∆的边FP 也 在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF FP =（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的 数量关系和位置关系；（2）将EFP ∆沿直线l 向左平移到图2的位置时，EP 交AC 于点Q ,连接 ,AP BQ .猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； （3）将EFP ∆沿直线l 向左平移到图3的位置时，EP 的延长线交AC 的延长线于点Q,连结,AP BQ ,你认为（2）中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.12、如图，ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，D 是BC 中点，ED FD ⊥，ED 与AB 交于E ，FD 与AC 交于F ．求证：BE=AF,AE=CF.13、两个全等的含30，60角的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E A C三点在一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结,ME MC．试判,,断EMC的形状，并说明理由．14、（1）已知Rt ABC ∆中，AC BC =，90C ∠=︒，D 为AB 边的中点，90EDF ∠=︒，EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ． 当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图1），证明12DEFCEFABCS S S ∆∆∆+=．（2）当EDF ∠绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立?若成立，请给予证明；若不成立，DEFS ∆，CEFS∆，ABCS ∆又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．15、已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE 相交于点G。
(2021年整理)全等三角形压轴题分类解析
全等三角形压轴题分类解析编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（全等三角形压轴题分类解析）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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B AO DCE图2三角形全等综合题归类一、 双等边三角形模型1. （1）如图1，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小；（2)如图2，ΔOAB 固定不动,保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小.2、 如图a ，△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C ，连接AF 和BE 。
(1)线段AF 和BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论；（2）将图a 中的△CEF 绕点C 旋转一定的角度,得到图b,(1)中的结论还成立吗？作出判断并说明理由;（3)若将图a 中的△ABC 绕点C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可），(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由.3. 如图1，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，,M N 分别为,EB CD 的中点（1)△ADE 绕A 点旋转到图2的位置时，CD BE 是否成立？若成立，请证明;若不成立,请说明理由；（2）△ADE 绕A 点旋转到图3的位置时,△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是,请说明理由．C BO D图A E4、已知，如图①所示,在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =,BAC DAE ∠=∠,且点B A D ，，在一条直线上,连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点． （1）求证：①BE CD =；②AN AM =；（2）在图①的基础上，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示5。
全等三角形压轴题分类解析
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三角形全等综合题归类一、 双等边三角形模型1. （1）如图1，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小；（2)如图2，ΔOAB 固定不动,保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小.2、 如图a ，△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C ，连接AF 和BE 。
(1)线段AF 和BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论；（2）将图a 中的△CEF 绕点C 旋转一定的角度,得到图b,(1)中的结论还成立吗？作出判断并说明理由;（3)若将图a 中的△ABC 绕点C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可），(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由.3. 如图1，若△和△为等边三角形，分别为的中点 （1)△绕点旋转到图2的位置时，是否成立？若成立，请证明;若不成立,请说明理由；（2）△绕点旋转到图3的位置时,△是否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是,请说明理由．ABC A D E,M N ,E BCD A DE A CD BE A D E A A M N4、已知，如图①所示,在和中，，,,且点在一条直线上,连接分别为的中点． （1）求证：①；②； （2）在图①的基础上，将绕点按顺时针方向旋转，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出(1）中的两个结论是否仍然成立。
北师大版七年级下全等三角形压轴题分类解析
BA O D C E 图七年级下三角形概括题归类之阳早格格创做一、单等边三角形模型1.（1）如图7，面O 是线段AD 的中面，分别以AO 战DO为边正在线段AD 的共侧做等边三角形OAB 战等边三角形OCD ，连结AC 战BD ，相接于面E ，连结BC ．供∠AEB 的大小；（2）如图8，ΔOAB 牢固没有动，脆持ΔOCD 的形状战大小没有变，将ΔOCD 绕着面O 转动（ΔOAB 战ΔOCD 没有克没有及沉叠），供∠AEB 的大小.2.已知:面C 为线段AB 上一面，△ACM,△CBN 皆是等边三角形，且AN 、BM 相接于O. ①供证：AN=BM ②供∠AOB 的度数.③若AN 、MC 相接于面P ，BM 、NC 接于面Q ，供证：PQ ∥AB. （湘潭·中考题）共类变式：已知，如图①所示，正在ABC △战ADE △中，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，且面B A D ，，正在一条曲线上，对接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中面．C B OD 图A EA B CM N O P Q（1）供证：①BE CD =；②AN AM =；（2）正在图①的前提上，将ADE △绕面A 按顺时针目标转动180，其余条件没有变，得到图②所示的图形．请间接写出（1）中的二个论断是可仍旧创造.4.如图，四边形ABCD 战四边形AEFG 均为正圆形，对接BG 与DE 相接于面H ． （1）道明：△ABG ≌△ADE ；（2）试预测∠BHD 的度数，并道明缘由；（3）将图中正圆形ABCD 绕面A 顺时针转动（0°＜∠BAE ＜180°），设△ABE 的里积为1S ，△ADG 的里积为2S ，推断1S 与2S 的大小闭系，并赋予道明．5.已知：如图，ABC △是等边三角形，过AB 边上的面D 做DG BC ∥，接AC 于面G ，正在GD 的延少线上与面E ，使DE DB =，对接AE CD ，． （1）供证：AGE DAC △≌△；（2）过面E 做EF DC ∥，接BC 于面F ，请您对接AF ，并推断AEF △是何如的三角形，试道明您的论断．二、笔曲模型（该模型正在前提题战概括题中均为沉面观察实量）C FG E D BAHC E ND A B M图① C AE M B D N 图②考面1：利用笔曲道明角相等1. 如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 做CF ⊥AE ，垂脚为F ，过B 做BD ⊥BC 接CF 的延少线于D ．供证：（1）AE ＝CD ； （2）若AC ＝12cm ，供BD 的少．考面2：利用角相等道明笔曲1. 已知BE ，CF 是△ABC 的下，且BP=AC ，CQ=AB ，试决定AP 与AQ 的数量闭系战位子闭系2.如图，正在等腰R t △ABC 中，∠ACB =90°，D 为BC 的中面，DE ⊥AB ，垂脚为E ，过面B 做BF ∥AC 接DE 的延少线于面F ，对接CF ．(1)供证：CD=BF ；(2)供证：AD ⊥CF ；(3)对接AF ，试推断△ACF 的形状.拓展坚韧：如图9所示，△ABC 是等腰曲角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 做AD 的垂线，接AB 于面E ，接AD 于面F ，供证：∠ADC ＝∠BDE ．（提示：对于比此题的条件战上头那题的条件，对于比此题的图形战上题的图像，有什么辨别战通联？） AB CDEF 图3.如图1，已知正圆形ABCD 的边CD 正在正圆形DEFG 的边DE 上，对接AE ，GC .（1）试预测AE 与GC 有何如的位子闭系，并道明您的论断；（2）将正圆形DEFG 绕面D 按顺时针目标转动，使E 面降正在BC 边上，如图2，对接AE 战GC .您认为（1）中的论断是可还创造？若创造，给出道明；若没有创造，请道明缘由.4.如图1，ABC ∆的边BC 正在曲线l 上，,AC BC ⊥且,AC BC =EFP ∆的边FP 也正在曲线l 上，边EF 与边AC 沉合，且EF FP =（1） 正在图1中，请您通过瞅察、丈量，预测并写出AB与AP 所谦脚的数量闭系战位子闭系； （2） 将EFP ∆沿曲线l 背左仄移到图2的位子时，EP 接AC于面Q ,对接,AP BQ .预测并写出BQ 与AP 所谦脚的数量闭系战位子闭系，请道明您的预测；（3）将EFP ∆沿曲线l 背左仄移到图3的位子时，EP 的延少线接AC 的延少线于面Q,连结,AP BQ ,您认为（2）中所预测的BQ 与AP 的数量闭系战位子闭系战位子闭系还创造吗？若创造，给出道明；若没有创造，请道明缘由. l (1) A B (F)(E)C P A B E C F P Q (2) l三、等腰三角形（中考沉易面之一）考面1：等腰三角形本量的应用1. 如图，ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，D 是BC 中面，ED FD ⊥，ED 与AB 接于E ，FD 与AC 接于F ．供证：BE AF =，AE CF =． 2.二个齐等的含30，60角的三角板ADE 战三角板ABC ，如图所示搁置，,,E A C 三面正在一条曲线上，连结BD ，与BD 的中面M ，连结,ME MC ．试推断EMC ∆的形状，并道明缘由． 压轴题拓展：（三线合一本量的应用）已知Rt ABC ∆中，AC BC =，90C ∠=︒，D 为AB 边的中面，90EDF ∠=︒，EDF ∠绕D 面转动，它的二边分别接AC 、CB （或者它们的延少线）于E 、F ．当EDF ∠绕D 面转动到DE AC ⊥于E 时（如图1），易证12DEF CEF ABC S S S ∆∆∆+=．当EDF ∠绕D 面转动到DE 战AC 没有笔曲时，正在图2战图3那二种情况下，上述论断是可创造?若创造，请赋予道明；若没有创造，DEF S ∆，CEF S ∆，ABC S ∆又有何如的数量闭系？请写出您的预测，没有需道明．提示：此题为上头题手段概括应用，思路与第一题相似. 3. 已知：如图，△ABC 中，∠ABC =45°，CD ⊥AB 于D ，BE 仄分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相接于面F ，H 是BC 边的中面，连结DH 与BE 相接于面G .(1)BF =AC (2)CE =12BF (3)CE 与BC 的大小闭系怎么样. 考面2：等腰曲角三角形（45度的偶像）A B E C F P l (3Q1.如图1，四边形ABCD是正圆形，M是AB延少线上一面.曲角三角尺的一条曲角边通过面D，且曲角顶面E正在AB边上滑动（面E没有与面A，B沉合），另一条曲角边与∠CBM的仄分线BF相接于面F.⑴如图14―1，当面E正在AB边的中面位子时：①通过丈量DE，EF的少度，预测DE与EF谦脚的数量闭系是；②对接面E与AD边的中面N，预测NE与BF谦脚的数量闭系是；③请道明您的上述二预测.⑵如图14―2，当面E正在AB边上的任性位子时，请您正在AD边上找到一面N,使得NE=BF，从而预测此时DE与EF有何如的数量闭系并道明2.正在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是AC的中面，DG⊥AC接AB于面G.（1）如图1，E为线段DC上任性一面，面F正在线段DG 上，且DE=DF，连结EF与CF，过面F做FH⊥FC，接曲线AB于面H．①供证：DG=DC②推断FH 与FC 的数量闭系并加以道明．（2）若E 为线段DC 的延少线上任性一面，面F 正在射线DG 上，(1)中的其余条件没有变，借帮图2绘出图形.正在您所绘图形中找出一对于齐等三角形，并推断您正在中得出的论断是可爆收改变．（本小题间接写出论断，没有必道明） 共类变式：（期终考查本题哦）已知：△形，M 是BC 延少线上一面，曲角三角尺的一条曲角边通过面A ，且60º角的顶面E 正在BC 上滑动，（面E 没有与面B 、C 沉合），斜边与∠ACM 的仄分线CF 接于面F（1）如图（1）当面E 正在BC 边得中面位子时 预测AE 与EF 谦脚的数量闭系是.连结面E 与ＡＢ边得中面Ｎ，预测ＢＥ战ＣＦ谦脚的数量闭系是.请道明您的上述预测；（２）如图（２）当面Ｅ正在ＢＣ边得任性位子时，ＡＥ战EF 有何如的数量闭系，并道明您的缘由？四、角仄分线问题1.如图：E 正在线段CD 上，EA 、EB 分别仄分∠DAB 战∠CBA,∠AEB=90°,设AD ＝x ,AD BE图2G H FE D C B A 图1 E图（2）BC ＝y ，且,x y 谦脚2268250x y x y +--+=（1）供AD 战BC 的少；（2）您认为AD 战BC 另有什么闭系？并考证您的论断；（3）您能供出AB 的少度吗？若能，请写出推理历程；若没有克没有及，请道明缘由.①，OP 是∠MON 的仄分线，请您利用该图形绘一对于以OP 天圆曲线为对于称轴的齐等三角形.请您参照那个做齐等三角形的要领，解问下列问题：（1）如图②，正在△ABC 中，∠ACB 是曲角，∠B =60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的仄分线，AD 、CE 相接于面F .请您推断并写出FE 与FD 之间的数量闭系；（2）如图③，正在△ABC 中，如果∠ACB 没有是曲角，而(1)中的其余条件没有变，请问，您正在(1)中所得论断是可仍旧创造？若创造，请道明；若没有创造，请道明缘由. 3.(北京市中考模拟题)如图，正在四边形ABCD 中，AC 仄分BAD ∠，过C 做CE AB ⊥于E ，而且1()2AE AB AD =+，则ABC ADC ∠+∠等于几？4.如图，△ABC 中，AD 仄分∠BAC ，DG ⊥BC且仄分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.（1）道明BE=CF 的缘由；（2）如果AB=a ，A C BD E EDG FCB A (第23题图) O P A M N E BCD F A CE F B D 图① 图② 图③AC=b，供AE、BE的少.5、正在△ABC中，AB=2AC，AD仄分∠BAC，AD=BD，供证：CD⊥AC6、如图，已知正在△ABC中，∠BAC为曲角，AB=AC，D为AC上一面，CE⊥BD于E．（1）若BD仄分∠ABC，供证CE=BD；（2）若D为AC上一动面，∠AED怎么样变更，若变更，供它的变更范畴；若没有变，供出它的度数，并道明缘由.7已知：如图E正在△ABC的边AC上，且∠AEB=∠ABC.(1)供证：∠ABE=∠C；(2)若∠BAE的仄分线AF接BE于F，FD∥BC接AC于D，设AB=5，AC=8，供DC的少.五、中面问题1.正在△ABC中,D为BC的中面，过D面的曲线GF接AC于F,接AC的仄止线BG于面G.DE GF⊥,并接AB于面E.连结EG.（1）供证:BG CF=；（2）请预测BE CF+与EF的大小闭系,并加以道明2.如左下图，正在ABC⊥，E为BC∠=∠，AD BCB C∆中，若2边的中面．供证：2=．AB DE3.已知ABC=，BD为AB的延少线，且BD AB∆中，AB AC=，CE为ABC ∆的AB 边上的中线．供证2CD CE =（提示：倍少中线试试）附加思索题：（此题有很佳天思维锻炼价格，值得深进思索商量）以ABC ∆的二边AB 、AC 为腰分别背中做等腰Rt ABD ∆战等腰Rt ACE ∆，90BAD CAE ∠=∠=︒.对接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中面．商量：AM 与DE 的位子闭系及数量闭系．⑴如图①当ABC ∆为曲角三角形时，AM 与DE 的位子闭系是；线段AM 与DE 的数量闭系是；⑵将图①中的等腰Rt ABD ∆绕面A 沿顺时针目标转动θ︒(090θ<<)后，如图②所示，⑴问中得到的二个论断是可爆收改变？并道明缘由．6、问题：已知ABC △中，2BAC ACB ∠=∠，面D 是ABC △内的一面，且AD CD =，BD BA =．商量DBC ∠与ABC ∠度数的比值． 请您完毕下列商量历程：先将图形特殊化，得出预测，再对于普遍情况举止分解并加以道明． （1）当90BAC ∠=︒时，依问题中的条件补齐左图． 瞅察图形，AB 与AC 得数量闭系为________；当推出15DAC ∠=︒时，可进一步推出DBC ∠的度数为_______；可得到DBC ∠与ABC ∠度数的比值为_________．（2）当90BAC ∠≠︒时，请您绘出图形，钻研DBC ∠与ABC ∠度数的比值是可与（1）中的论断相共，写出您的预测并加以道明．8、(1)如图1,正在正圆形ABCD 中,面C B A 图1D CB AE,F分别正在边BC,CD上,AE,BF接于面O,∠AOF＝90°.供证：BE＝CF.(2)如图2,正在正圆形ABCD中,面E,H,F,G分别正在边AB,BC,CD,DA上,EF,GH接于面O,∠FOH＝90°,EF＝4.供GH的少.(3)已知面E,H,F,G分别正在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA 上，EF,GH接于面O,∠FOH＝90°,EF＝4.间接写出下列二题的问案：①如图3,矩形ABCD由2个齐等的正圆形组成,供GH 的少；②如图4,矩形ABCD由n个齐等的正圆形组成,供GH的少(用n的代数式表示).。
全等三角形压轴题及分类解析
8年级三角形综合题归类一、双等边三角形模型1. (1)如图7点0是线段AD的中点，分别以A0和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD连结AC和BD,相交于点E,连结BC.求/ AEB的大小；(2)如图8, △ OAB固定不动，保持△ OCD的形状和大小不变，将厶OCD绕着点O旋转(△OAB^D A OCD不能重叠)，求/ AEB的大小.2.已知：点C为线段AB上一点，△ ACM A CBN都是等边三角形，且AN BM相交于O.①求证：AN=BM②求/ AOB的度数。
③若AIN MC相交于点P, BM NC交于点Q,求证：PQ// AB同类变式：如图a,A ABC和厶CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C, 连接AF和BE.⑴线段AF和BE有怎样的大小关系请证明你的结论；(2)将图a中的△ CEF绕点C旋转一定的角度，得到图b, (1)中的结论还成立吗作出判断并说明理由；(3)若将图a中的△ ABC绕点C旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗作出判断不必说明理由CD BE , △ AMN是等边三角形.(湘潭•中考题)3.如图9,(1)当把△ ADE绕A点旋转到图10的位置时，CD BE是否仍然成立若成立，请证明;若不成立，请说明理由；(2)当厶ADE绕A点旋转到图11的位置时，△ AMN是否还是等边三角形若是，请给出证明，若不是，请说明理由.BAC DAE ,且点B, A, D在一条直线上，连接BE, CD, M , N分别为BE, CD 的中点.(1)求证：① BE CD :② AM AN ；(2)在图①的基础上，将△ ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立•4.如图，四边形ABCD^四边形AEFG匀为正方形，连接BG与DE相交于点H(1)证明：△ ABG 也△ ADE;(2)试猜想BHD的度数，并说明理由；同类变式：已知，如图①所示，在△ ABC和△ ADE中, AB AC , AD AE , 图9 图10 图11图①图②(3)将图中正方形ABC哦点A逆时针旋转(0°< BAE v 180° ),设厶ABE勺面积为$ , △ ADG勺面积为S2，判断^与S2的大小关系，并给予证明.n5.已知：如图，△ ABC是等边三角形，过AB边上的点D作DG // BC，交AC于点G , 在GD 的延长线上取点E ,使DE DB，连接AE, CD .(1)求证：△ AGE =△ DAC ；(2)过点E作EF // DC，交BC于点F，请你连接AF，并判断△ AEF是怎样的三角形，试证明你的结论.二、垂直模型(该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容)考点1:利用垂直证明角相等1.如图，△ ABC中，/ ACB= 90°, AC= BC AE是BC边上的中线，过C作CF1AE,垂足为F,过B作BDL BC交CF的延长线于D.求证：(1) AE= CD (2)若AC= 12 cm，求BD的长.2. （西安中考）如图 ⑴， 已知△ ABC 中,/ BAC=90, AB=AC, AE 是过A的一条直线,且B 、C 在A E 的异侧,BD 丄AE 于D, CE 丄AE 于E 。
(完整word版)北师大版七年级数学下册三角形难题全解
来源：2011-2012学年广东省汕头市潮南区中考模拟考试数学卷（解析版）考点：三角形如图，已知，等腰Rt△OAB中，∠AOB=90o，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90o，连结AE、BF．求证：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF．【答案】见解析【解析】解：（1）证明：在△AEO与△BFO中，∵Rt△OAB与Rt△EOF等腰直角三角形，∴AO=OB，OE=OF，∠AOE=90ｏ-∠BOE=∠BOF，∴△AEO≌△BFO，∴AE=BF；（ 2）延长AE交BF于D，交OB于C，则∠BCD=∠ACO，由（1）知：∠OAC=∠OBF，∴∠BDA=∠AOB=90ｏ，∴AE⊥BF．（1）可以把要证明相等的线段AE，CF放到△AEO，△BFO中考虑全等的条件，由两个等腰直角三角形得AO=BO，OE=OF，再找夹角相等，这两个夹角都是直角减去∠BOE的结果，所以相等，由此可以证明△AEO≌△BFO；（2）由（1）知：∠OAC=∠OBF，∴∠BDA=∠AOB=90°，由此可以证明AE⊥BF来源：2012-2013学年吉林省八年级上期中考试数学试卷（解析版）考点：四边形如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上的一点，AF=AB,已知△ABE≌△ADF.（1）在图中，可以通过平移、翻折、旋转中哪一种方法，使△ABE变到△ADF 的位置；（2）线段BE与DF有什么关系？证明你的结论.【答案】（1）绕点A旋转90°；（2）BE=DF，BE⊥DF．【解析】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的判断和性质（1）根据旋转的概念得出；（2）根据旋转的性质得出△ABE≌△ADF，从而得出BE=DF，再根据正方形的性质得出BE⊥DF．（1）图中是通过绕点A旋转90°，使△ABE变到△ADF的位置．（2）BE=DF，BE⊥DF；延长BE交DF于G；由△ABE≌△ADF，得BE=DF，∠ABE=∠ADF；又∠AEB=∠DEG；∴∠DGB=∠DAB=90°；∴BE⊥DF．来源：2012年江苏省东台市七年级下学期期中考试数学试卷（解析版）如图，在△a bc中，已知∠abc=30°，点d在bc上，点e在ac上，∠bad=∠ebc，ad交be于f.1.求的度数；2.若eg∥ad交bc于g，eh⊥be交bc于h，求∠heg的度数.【答案】1.∠BFD=∠ABF+∠BAD （三角形外角等于两内角之和）∵∠BAD=∠EBC，∴∠BFD=∠ABF+∠EBC，∴∠BFD=∠ABC=30°；2.∵EG∥AD，∴∠BFD=∠BEG=30°（同位角相等）∵EH⊥BE，∴∠HEB=90°，∴∠HEG=∠HEB-∠BEG=90°-30°=60°．【解析】1.∠BFD的度数可以利用角的等效替换转化为∠ABC的大小，2.在直角三角形中，有平行线，利用同位角即可求解．三角形强化训练和深化☣1、如图a是长方形纸带，∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c 中的∠CFE的度数是_________°．解析：由题意可知折叠前，由BC//AD得：∠BFE=∠DEF=25°将纸带沿EF折叠成图b后，∠GEF=∠DEF=25°所以图b中，∠DGF=∠GEF+∠BFE=25°+25°=50°又在四边形CDGF中，∠C=∠D=90°则由：∠DGF+∠GFC=180°所以：∠GFC=180°－50°＝130°将纸带再沿BF第二次折叠成图C后∠GFC角度值保持不变且此时：∠GFC＝∠EFG+∠CFE所以：∠CFE=∠GFC-∠EFG=130°-25°=1052、在Rt△ABC中，∠A＝90°，CE是角平分线，和高AD相交于F，作FG∥BC交AB于G，求证：AE＝BG．解法1：【解析】证明：∵∠BAC=900AD⊥BC∴∠1=∠B∵CE是角平分线∴∠2＝∠3∵∠5＝∠1+∠2∠4＝∠3+∠B∴∠4＝∠5∴AE＝AF过F作FM⊥AC并延长MF交BC于N∴MN//AB∵FG//BD∴四边形GBDF为平行四边形∴GB=FN∵AD⊥BC,CE为角平分线∴FD=FM在Rt△AMF和RtNDF中∴△AMF≌△NDF∴AF＝FN∴AE＝BG解法2：解：作EH⊥BC于H，如图，∵E是角平分线上的点，EH⊥BC，EA⊥CA，∴EA=EH，∵AD为△ABC的高，EC平分∠ACD，∴∠ADC=90°，∠ACE=∠ECB，∴∠B=∠DAC，∵∠AEC=∠B+∠ECB，∴∠AEC=∠DAC+∠ECA=∠AFE，∴AE=AF，∴EG=AF，∵FG∥BC，∴∠AGF=∠B，∵在△AFG和△EHB中，∠GAF=∠BEH∠AGF=∠BAF=EH，∴△AFG≌△EHB（AAS）∴AG=EB，即AE+EG=BG+GE，∴AE=BG．3、如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AD为腰CB上的中线，CE⊥AD交AB于E．求证∠CDA＝∠EDB．解：作CF⊥AB于F，交AD于G ，如图，∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ACF=∠BCF=45°，即∠ACG=45°，∠B=45°，∵CE⊥AD，∴∠1+∠ACE=∠2+∠ACE=90°，∴∠1=∠2，在△AGC和△CEB中∠1=∠2AC=CB∠ACG=∠CBE，∴△AGC≌△CEB（ASA），∴CG=BE，∵AD为腰CB上的中线，∴CD=BD，在△CGD和△BED中CG=BE∠GCD=∠BCD=BD，∴△CGD≌△BED（SAS），∴∠CDA=∠EDB．4、如图，已知AD和BC相交于点O ，且均为等边三角形，以平行四边形ODEB，连结AC，AE和CE。
全等模型专题：全等三角形中的常见压轴题五种模型全攻略(解析版)
全等模型专题：全等三角形中的常见压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】1【解题模型一四边形中构造全等三角形解题】【解题模型二一线三等角模型】【解题模型三三垂直模型】【解题模型四倍长中线模型】【解题模型五旋转模型】【典型例题】【解题模型一四边形中构造全等三角形解题】1(2023春·广东梅州·八年级校联考开学考试)已知如图，四边形ABCD中，AB=BC，AD=CD，求证：∠A=∠C．【答案】见解析【分析】连接BD，已知两边对应相等，加之一个公共边BD，则可利用SSS判定△ABD≌△CBD，根据全等三角形的对应角相等即可证得．【详解】证明：连接BD，∵AB=CB，BD=BD，AD=CD，∴△ABD≌△CBD(SSS)．∴∠A=∠C．【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的判定方法有SSS，SAS，ASA，HL等．【变式训练】1(2023秋·云南昆明·八年级统考期末)放风筝是中国民间的传统游戏之一，风筝又称风琴，纸鹞，鹞子，纸鸢．如图1，小华制作了一个风筝，示意图如图2所示，AB=AC，DB=DC，他发现AD不仅平分你觉得他的发现正确吗？请说明理由．∠BAC，且平分∠BDC，【答案】他的发现正确，理由见解析【分析】根据全等三角形的判定和性质直接证明即可．【详解】解：他的发现正确，理由如下：在△ABD与△ACD中，AB=AC，BD=CDAD=AD∴△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC，∴AD不仅平分∠BAC，且平分∠BDC．【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．2(2023秋·湖南常德·八年级统考期末)中国现役的第五代隐形战斗机歼-20的机翼如图，为适应空气必须相等．动力的要求，两个翼角∠A,∠B(1)实际制造中，工作人员只需用刻度尺测量PA=PB，CA=CB就能满足要求，说明理由；(2)若∠A=30°,∠P=40°，求∠ACB的度数．【答案】(1)见解析(2)100°【分析】(1)连接PC，证明△APC≌△BPC，即可解答．(2)由三角形的外角的性质即可解答．【详解】(1)证明：如图，连接PC，在△APC 和△BPC 中，PA =PBCA =CB PC =PC，∴△APC ≌△BPC (SSS ),∴∠A =∠B ．(2)∵△APC ≌△BPC ，∠A =30°,∠P =40°，∴∠A =∠B =30°，∵∠ACB =∠ACE +∠BCE ，∠ACE =∠APC +∠A ,∠BCE =∠BPC +∠B ,∴∠ACB =∠APC +∠A +∠BPC +∠B =∠A +∠BPA +∠B =2×30°+40°=100°．【点睛】本题考查了三角形全等和外角的性质，掌握三角形全等是解题的关键．3如图，在四边形ABCD 中，CB ⊥AB 于点B ，CD ⊥AD 于点D ，点E ，F 分别在AB ，AD 上，AE =AF ，CE =CF．(1)若AE =8，CD =6，求四边形AECF 的面积；(2)猜想∠DAB ，∠ECF ，∠DFC 三者之间的数量关系，并证明你的猜想．【答案】(1)48(2)∠DAB +∠ECF =2∠DFC ，证明见解析【解析】【分析】(1)连接AC ，证明△ACE ≌△ACF ，则S △ACE =S △ACF ，根据三角形面积公式求得S △ACF 与S △ACE ，根据S 四边形AECF =S △ACF +S △ACE 求解即可；(2)由△ACE ≌△ACF 可得∠FCA =∠ECA ，∠FAC =∠EAC ，∠AFC =∠AEC ，根据垂直关系，以及三角形的外角性质可得∠DFC +∠BEC =∠FCA +∠FAC +∠ECA +∠EAC =∠DAB +∠ECF ．可得∠DAB +∠ECF =2∠DFC(1)解：连接AC ，如图，在△ACE 和△ACF 中AE =AFCE =CFAC =AC∴△ACE ≌△ACF (SSS )．∴S △ACE =S △ACF ，∠FAC =∠EAC ．∵CB ⊥AB ，CD ⊥AD ，∴CD =CB =6．∴S △ACF =S △ACE =12AE ·CB =12×8×6=24．∴S 四边形AECF =S △ACF +S △ACE =24+24=48．(2)∠DAB +∠ECF =2∠DFC证明：∵△ACE ≌△ACF ，∴∠FCA =∠ECA ，∠FAC =∠EAC ，∠AFC =∠AEC ．∵∠DFC 与∠AFC 互补，∠BEC 与∠AEC 互补，∴∠DFC =∠BEC ．∵∠DFC =∠FCA +∠FAC ，∠BEC =∠ECA +∠EAC ，∴∠DFC +∠BEC =∠FCA +∠FAC +∠ECA +∠EAC=∠DAB +∠ECF ．∴∠DAB +∠ECF =2∠DFC【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．4在四边形ABDC 中，AC =AB ，DC =DB ，∠CAB =60°，∠CDB =120°，E 是AC 上一点，F 是AB 延长线上一点，且CE =BF ．(1)试说明：DE =DF ：(2)在图中，若G 在AB 上且∠EDG =60°，试猜想CE ，EG ，BG 之间的数量关系并证明所归纳结论．(3)若题中条件“∠CAB =60°，∠CDB =120°改为∠CAB =α，∠CDB =180°-α，G 在AB 上，∠EDG 满足什么条件时，(2)中结论仍然成立？【答案】(1)见解析；(2)CE +BG =EG ，理由见解析；(3)当∠EDG =90°-12α时，(2)中结论仍然成立．【解析】【分析】(1)首先判断出∠C =∠DBF ，然后根据全等三角形判定的方法，判断出ΔCDE ≅ΔBDF ，即可判断出DE =DF ．(2)猜想CE 、EG 、BG 之间的数量关系为：CE +BG =EG ．首先根据全等三角形判定的方法，判断出ΔABD ≅ΔACD ，即可判断出∠BDA =∠CDA =60°；然后根据∠EDG =60°，可得∠CDE =∠ADG ，∠ADE =∠BDG ，再根据∠CDE =∠BDF ，判断出∠EDG =∠FDG ，据此推得ΔDEG ≅ΔDFG ，所以EG =FG ，最后根据CE =BF ，判断出CE +BG =EG 即可．(3)根据(2)的证明过程，要使CE +BG =EG 仍然成立，则∠EDG =∠BDA =∠CDA =12∠CDB ，即∠EDG =12(180°-α)=90°-12α，据此解答即可．(1)证明：∵∠CAB +∠C +∠CDB +∠ABD =360°，∠CAB =60°，∠CDB =120°，∴∠C +∠ABD =360°-60°-120°=180°，又∵∠DBF +∠ABD =180°，∴∠C=∠DBF ，在ΔCDE 和ΔBDF 中，CD =BD∠C =∠DBFCE =BF∴ΔCDE ≅ΔBDF (SAS )，∴DE =DF ．(2)解：如图，连接AD ，猜想CE 、EG 、BG 之间的数量关系为：CE +BG =EG ．证明：在ΔABD 和ΔACD 中，AB =ACBD =CD AD =AD，∴ΔABD ≅ΔACD (SSS )，∴∠BDA =∠CDA =12∠CDB =12×120°=60°，又∵∠EDG =60°，∴∠CDE =∠ADG ，∠ADE =∠BDG ，由(1)，可得ΔCDE ≅ΔBDF ，∴∠CDE =∠BDF ，∴∠BDG +∠BDF =60°，即∠FDG =60°，∴∠EDG =∠FDG ，在ΔDEG 和ΔDFG 中，DE =DF∠EDG =∠FDGDG =DG∴ΔDEG ≅ΔDFG (SAS )，∴EG =FG ，又∵CE =BF ，FG =BF +BG ，∴CE +BG =EG ；(3)解：要使CE +BG =EG 仍然成立，则∠EDG =∠BDA =∠CDA =12∠CDB ，即∠EDG =12(180°-α)=90°-12α，∴当∠EDG =90°-12α时，CE +BG =EG 仍然成立．【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，此题是一道综合性比较强的题目，有一定的难度，能根据题意推出规律是解此题的关键．【解题模型二一线三等角模型】1(2023春·七年级课时练习)【探究】如图①，点B 、C 在∠MAN 的边AM 、AN 上，点E 、F 在∠MAN 内部的射线AD 上，∠1、∠2分别是△ABE 、△CAF 的外角．若AB =AC ，∠1=∠2=∠BAC ，求证：△ABE ≌△CAF ．【应用】如图②，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，AB >BC ，点D 在边BC 上，CD =2BD ，点E 、F 在线段AD 上，∠1=∠2=∠BAC ，若△ABC 的面积为9，则△ABE 与△CDF 的面积之和为．【答案】探究：见解析；应用：6【分析】探究：根据∠A =∠BAE +∠ABE ，∠BAC =∠CAF +∠BAE ，得出∠ABE =∠CAF ，根据∠1=∠2，得出∠AEB =∠CFA ，再根据AAS 证明即可；应用：根据全等三角形的性质得出：S△ABE=S△CAF，进而得出S△CDF+S△CAF=S△ACD，根据CD=2BD，△ABC的面积为9，得出S△ACD=23S△ABC=6，即可得出答案．【详解】探究证明：∵∠A=∠BAE+∠ABE，∠BAC=∠CAF+∠BAE，又∵∠BAC=∠1，∴∠ABE=∠CAF，∵∠1=∠2，∴∠AEB=∠CFA，在△ABE和△CAF中，∠AEB=∠CFA ∠ABE=∠CAF AB=AC∴△ABE≌△CAF AAS；应用解：∵△ABE≌△CAF，∴S△ABE=S△CAF，∴S△CDF+S△CAF=S△ACD，∵CD=2BD ，△ABC的面积为9，∴S△ACD=23S△ABC=6，∴△ABE与△CDF的面积之和为6，故答案为：6．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键．【变式训练】1(2023春·广西南宁·七年级南宁市天桃实验学校校考期末)(1)问题发现：如图1，射线AE在∠MAN 的内部，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，且AB=AC，若∠BAC=∠BFE=∠CDE=90°，求证：△ABF≌△CAD；(2)类比探究：如图2，AB=AC，且∠BAC=∠BFE=∠CDE．(1)中的结论是否仍然成立，请说明理由；(3)拓展延伸：如图3，在△ABC中，AB=AC，AB>BC．点E在BC边上，CE=2BE，点D、F在线段AE上，∠BAC=∠BFE=∠CDE．若△ABC的面积为15，DE=2AD，求△BEF与△CDE的面积之比．【答案】(1)证明见详解；(2)成立，证明见详解；(3)1:4【分析】(1)根据∠BAC=∠BFE=∠CDE=90°即可得到∠BAF+∠CAF=90°，∠DCA+∠CAF=90°，从而得到∠BAF=∠DCA，即可得到证明；(2)根据∠BAC=∠BFE=∠CDE得到∠BAF+∠CAF=∠DCA+∠CAF，即可得到∠BAF=∠DCA，即可得到证明；(3)根据△ABC的面积为15，CE=2BE，即可得到S△ABE=5，S△AEC=10，结合DE=2AD可得S△ADC=103，S△EDC =203，根据AB=AC，∠BAC=∠BFE=∠CDE得到△ABF≌△CAD，即可得到S△BEF，即可得到答案；【详解】(1)证明：∵∠BAC=∠BFE=∠CDE=90°，∴∠BFA=∠CDA=90°，∠BAF+∠CAF=90°，∠DCA+∠CAF=90°，∴∠BAF=∠DCA，在△ABF与△CAD中，∵∠BFA=∠CDA ∠BAF=∠DCA AB=AC，∴△ABF≌△CAD(AAS)；(2)解：成立，理由如下，∵∠BAC=∠BFE=∠CDE，∴∠BAF+∠CAF=∠DCA+∠CAF，∠BFA=∠CDA，∴∠BAF=∠DCA，在△ABF与△CAD中，∵∠BFA=∠CDA ∠BAF=∠DCA AB=AC，∴△ABF≌△CAD(AAS)；(3)解：∵△ABC的面积为15，CE=2BE，∴S△ABE=5，S△AEC=10，∵DE=2AD，∴S△ADC=103，S△EDC =203，∵∠BAC=∠BFE=∠CDE，∴∠BAF+∠CAF=∠DCA+∠CAF，∠BFA=∠CDA，∴∠BAF=∠DCA，在△ABF与△CAD中，∵∠BFA=∠CDA ∠BAF=∠DCA AB=AC，∴△ABF≌△CAD(AAS)∴S△BEF=5-103=53，∴S△BEF:S△CDE=53:203=1:4；【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质及同高不同底三角形的面积，解题的关键是根据内外角关系得到三角形全等的条件．2(2023春·广东佛山·七年级校考期中)如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB，E、F 分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=α．(1)若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上．①如图1，若∠BCA=90°，α=90°，试判断BE和CF的数量关系，并说明理由．②如图2，若0°<∠BCA<180°，请添加一个关于α与∠BCA关系的条件，使①中的结论仍然成立；(2)如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，α=∠BCA，请提出关于EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想，并说明理由．【答案】(1)①BE=CF；②α+∠BCA=180°(2)EF=BE+AF【分析】(1)①由∠BCA=90°，∠BEC=∠CFA=α=90°，可得∠BCE=∠CAF，从而可证△BCE≌△CAF，故BE=CF；②添加α+∠BCA=180°，可证明∠BCA=∠BEF，则∠ACF=∠CBE，根据AAS可证明△BCE≌△CAF，即可得证①中的结论仍然成立；(2)题干已知条件可证△BCE≌△CAF，故BE=CF，EC=FA，从而可证明EF=BE+AF．【详解】(1)解：①BE=CF，理由如下：∵∠BCA=90°，∴∠ACF+∠BCE=90°，∵∠BEC=∠AFC=α=90°，∴∠ACF+∠CAF=90°，∴∠BCE=∠CAF，∵AC=BC，∴△BCE≌△CAF AAS，∴BE=CF；②添加α+∠BCA=180°，使①中的结论仍然成立，理由如下：∵∠BEC=∠CFA=α，∴∠BEF=180°-∠BEC=180°-α，∵∠BEF=∠EBC+∠BCE，∴∠EBC+∠BCE=180°-α，∵α+∠BCA=180°，∴∠BCA=180°-α，∴∠BCA=∠BCE+∠ACF=180°-α，∴∠EBC=∠ACF，∵AC=BC，∠BEC=∠CFA=α，∴△BCE≌△CAF AAS，∴BE=CF；故答案为：α+∠BCA=180°；(2)EF=BE+AF，理由如下：∵∠BCA=α，∴∠BCE+∠FCA=180°-∠BCA=180°-α，∵∠BEC=α，∴∠EBC+∠BCE=180°-∠BEC=180°-α，∴∠EBC=∠FCA，∵AC=BC，∠BEC=∠CFA=α，∴△BEC≌△CFA AAS，∴BE=CF，EC=FA，∴EF=EC+CF=FA+BE，即EF=BE+AF．【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．3在直线m上依次取互不重合的三个点D,A,E，在直线m上方有AB=AC，且满足∠BDA=∠AEC =∠BAC=α．(1)如图1，当α=90°时，猜想线段DE,BD,CE之间的数量关系是；(2)如图2，当0<α<180°时，问题(1)中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；(3)应用：如图3，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB=AC，∠BAD<∠CAE,∠BDA=∠AEC=∠BAC，直线m与CB的延长线交于点F，若BC=3FB，△ABC的面积是12，求△FBD与△ACE的面积之和．【答案】(1)DE=BD+CE(2)DE=BD+CE仍然成立，理由见解析(3)△FBD与△ACE的面积之和为4【解析】【分析】(1)由∠BDA=∠BAC=∠AEC=90°得到∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=90°，进而得到∠DBA=∠EAC，然后结合AB=AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE=BD+CE；(2)由∠BDA=∠BAC=∠AEC=α得到∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=180°-α，进而得到∠DBA=∠EAC，然后结合AB=AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE=BD+CE；(3)由∠BAD>∠CAE，∠BDA=∠AEC=∠BAC，得出∠CAE=∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CAE，得出S△ABD=S△CEA，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出S△ABF即可得出结果．(1)解：DE=BD+CE，理由如下，∵∠BDA=∠BAC=∠AEC=90°，∴∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=90°，∴∠DBA=∠EAC，∵AB=AC，∴△DBA ≌△EAC (AAS )，∴AD =CE ，BD =AE ，∴DE =AD +AE =BD +CE ，故答案为：DE =BD +CE ．(2)DE =BD +CE 仍然成立，理由如下，∵∠BDA =∠BAC =∠AEC =α，∴∠BAD +∠EAC =∠BAD +∠DBA =180°-α，∴∠DBA =∠EAC ，∵AB =AC ，∴△DBA ≌△EAC (AAS )，∴BD =AE ，AD =CE ，∴DE =AD +AE =BD +CE ；(3)解：∵∠BAD <∠CAE ，∠BDA =∠AEC =∠BAC ，∴∠CAE =∠ABD ，在△ABD 和△CAE 中，∠ABD =∠CAE∠BDA =∠CEA AB =AC，∴△ABD ≌△CAE (AAS )，∴S △ABD =S △CAE ，设△ABC 的底边BC 上的高为h ，则△ABF 的底边BF 上的高为h ，∴S △ABC =12BC •h =12，S △ABF =12BF •h ，∵BC =3BF ，∴S △ABF =4，∵S △ABF =S △BDF +S △ABD =S △FBD +S △ACE =4，∴△FBD 与△ACE 的面积之和为4．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．【解题模型三三垂直模型】1(2023春·广东广州·九年级专题练习)如图，∠ACB =90°,AC =BC ,BE ⊥CE 于E ，AD ⊥CE 于D ，AD =2.7cm ,DE =1.8cm．(1)求证：△ACD ≌△CBE ．(2)求BE 的长．【答案】(1)见解析；(2)BE =0.9cm ．【分析】(1)由垂直得∠ADC =∠CEB =90°，求出∠ACD =∠CBE ，然后利用AAS 即可证明△ACD ≌△CBE ；(2)根据全等三角形的性质可得CE =AD =2.7cm ，BE =CD ，根据CD =CE -DE 求出CD 即可得到BE 的长．【详解】(1)证明：∵AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，∴∠ADC =∠CEB =90°，∵∠ACB =90°，∴∠ACD =∠ACB -∠BCE =90°-∠BCE ，∵∠CBE =90°-∠BCE ，∴∠ACD =∠CBE ，在△ACD 与△CBE 中，∠ADC =∠CEB∠ACD =∠CBE AC =BC，∴△ACD ≌△CBE AAS ；(2)解：由(1)知，△ACD ≌△CBE ，∴CE =AD =2.7cm ，BE =CD ，∵CD =CE -DE =2.7-1.8=0.9cm ，∴BE =0.9cm ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和全等三角形对应边相等的性质是解题的关键．【变式训练】1(2023春·河北邯郸·七年级校考阶段练习)已知：∠ACB =90°，AC =BC ，AD ⊥CM ，BE ⊥CM ，垂足分别为D ，E ．(1)如图1，把下面的解答过程补充完整，并在括号内注明理由．①线段CD和BE的数量关系是：CD=BE；②请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系并证明．解：①结论：CD=BE．理由：∵AD⊥CM，BE⊥CM，∴∠ACB=∠BEC=∠ADC=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=( )在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE，( )∴CD=BE．②结论：AD=BE+DE．理由：∵△ACD≌△CBE，∴，∵CE=CD+DE=BE+DE，∴AD=BE+DE．(2)如图2，上述结论②还成立吗？如果不成立，请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)①∠CBE；同角的余角相等；∠ADC=∠BEC，∠ACD=∠CBE，AC=BC；AAS；②AD=CE (2)不成立，DE-BE=AD，见解析【分析】(1)根据同角的余角相等，全等三形的判定方法角角边分析处理；(2)根据同角的余角相等，全等三形的判定方法角角边分析处理，注意观察图形，得出线段间的数量关系；【详解】(1)∵AD⊥CM，BE⊥CM，∴∠ACB=∠BEC=∠ADC=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE(同角的余角相等 )在△ACD和△CBE中，∠ADC=∠BEC，∠ACD=∠CBE，AC=BC，∴△ACD≌△CBE，(AAS )∴CD=BE．②结论：AD=BE+DE．理由：∵△ACD≌△CBE，∴AD=CE，∵CE=CD+DE=BE+DE，∴AD=BE+DE．(2)不成立，结论：DE -BE =AD．理由：∵AD ⊥CM ，BE ⊥CM ，∴∠ACB =∠BEC =∠ADC =90°，∴∠ACD +∠BCE =90°，∠BCE +∠CBE =90°，∴∠ACD =∠CBE在△ACD 和△CBE 中，∠ADC =∠CEB∠ACD =∠CBE AC =CB，∴△ACD ≌△CBE ，(AAS )∴AD =CE ，CD =BE ，∴DE -BE =DE -DC =CE =AD ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，能够由图形的位置关系得出线段之间、角之间的数量关系是解题的关键．2在△ABC 中，∠BAC =90°，AC =AB ，直线MN 经过点A ，且CD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E．(1)当直线MN 绕点A 旋转到图1的位置时，∠EAB +∠DAC =度；(2)求证：DE =CD +BE ；(3)当直线MN 绕点A 旋转到图2的位置时，试问DE 、CD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【答案】(1)90°(2)见解析(3)CD =BE +DE ，证明见解析【解析】【分析】(1)由∠BAC =90°可直接得到∠EAB +∠DAC =90°；(2)由CD ⊥MN ，BE ⊥MN ，得∠ADC =∠BEA =∠BAC =90°，根据等角的余角相等得到∠DCA =∠EAB ，根据AAS 可证△DCA ≌△EAB ，所以AD =CE ，DC =BE ，即可得到DE =EA +AD =DC +BE．(3)同(2)易证△DCA≌△EAB，得到AD=CE，DC=BE，由图可知AE=AD+DE，所以CD=BE +DE．(1)∵∠BAC=90°∴∠EAB+∠DAC=180°-∠BAC=180°-90°=90°故答案为：90°．(2)证明：∵CD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°∵ ∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∴∠DCA=∠EAB∵在△DCA和△EAB中∠ADC=∠BEA=90°∠DCA=∠EABAC=AB∴△DCA≌△EAB(AAS)∴AD=BE且EA=DC由图可知：DE=EA+AD=DC+BE．(3)∵CD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°∵∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∴∠DCA=∠EAB∵在△DCA和△EAB中∠ADC=∠BEA=90°∠DCA=∠EABAC=AB∴△DCA≌△EAB(AAS)∴AD=BE且AE=CD由图可知：AE=AD+DE∴CD=BE+DE．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角，也考查了三角形全等的判定与性质．3如图，已知：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，AD⊥MN，BE⊥MN．(1)当直线MN绕点C旋转到图(1)的位置时，求证：△ADC≅△CEB；(2)当直线MN绕点C旋转到图(2)的位置时，求证：DE=AD-BE；(3)当直线MN绕点C旋转到图(3)的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系：．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)DE=BE-AD【分析】(1)由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到答案；(2)结论：DE=AD-BE．与(1)证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD= CE，CD=BE，即可得到答案．(3)结论：DE=BE-AD．证明方法类似．【详解】解：(1)证明：如图1，∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE，在△ADC和△CEB中，∠CDA=∠BEC∠DAC=∠ECBAC=BC，∴△ADC≌△CEB(AAS)；(2)如图2，∵BE⊥EC，AD⊥CE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB+∠ACE=90°，∴∠ACD=∠EBC，在△ADC和△CEB中，∠ACD=∠CBE∠ADC=∠BECAC=BC，∴△ADC≌△CEB(AAS)，∴AD=CE，CD=BE，∴DE=EC-CD=AD-BE．(3)DE=BE-AD；如图3，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠ACD+∠DAC=90°，∴∠DAC=∠ECB，在△ACD和△CBE中，∠ADC=∠CEB ∠DAC=∠ECB AC=BC，∴△ACD≌△CBE(AAS)，∴AD=CE，CD=BE，∴DE=CD-CE=BE-AD．【点睛】本题主要考查了余角的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证明△ACD≌△CBE 是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．【解题模型四倍长中线模型】1(2023春·山东临沂·八年级统考期中)如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，(1)求BC边的长的取值范围？(2)若AD是△ABC的中线，求AD取值范围？【答案】(1)1<BC<7(2)12<AD<72【分析】(1)根据三角形三边的关系求解即可；(2)延长AD至E，使AD=DE，连接BE，证明△ADC≌△EDB，得到AC=BE，由三角形三边关系得到1<AE<7，则12<AD<72．【详解】(1)解：由三角形的三边关系可知：AC-AB<BC<AC+AB，∵AB=3，AC=4，∴1<BC<7；(2)解：延长AD至E，使AD=DE，连接BE ，在△ABE中，∵BD=DC，∠ADC=∠BDE，AD=DE，∴△ADC≌△EDB SAS，∴AC=BE，由三角形的三边关系：BE-AB<AE<BE+AB，∴1<AE<7，∴1 2<AD<72．【点睛】本题主要考查了三角形三边的关系，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．【变式训练】1如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线．延长AD到点E，使DE=AD，连接BE．(1)求证：△ACD≌△EBD；(2)AC与BE的数量关系是：，位置关系是：；(3)若∠BAC=90°，猜想AD与BC的数量关系，并加以证明．【答案】(1)见解析(2)AC=BE，AC∥BE(3)2AD=BC，证明见解析【分析】(1)根据三角形全等的判定定理SAS，即可证得；(2)由△ACD≌△EBD，可得AC=BE，∠C=∠EBC，据此即可解答；(3)根据三角形全等的判定定理SAS，可证得△BAC≌△ABE，据此即可解答．【详解】(1)证明：∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，在△ACD与△EBD中，AD=ED∠ADC=∠EDB BD=CD，∴△ACD≌△EBD SAS；(2)解：∵△ACD≌△EBD，∴AC=BE，∠C=∠EBC，∴AC∥BE，故答案为：AC=BE，AC∥BE；(3)解：2AD=BC证明：∵△ACD≌△EBD，∴AC=BE，∠C=∠EBC，∴AC∥BE，∵∠BAC=90°∴∠BAC=∠ABE=90°在△BAC和△ABE中，AB=BA∠BAC=∠ABE=90°AC=BE∴△BAC≌△ABE SAS，∴BC=AE=2AD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握和运用全等三角形的判定与性质是解决本题的关键．2(2023·全国·八年级假期作业)如图1，AD为△ABC的中线，延长AD至E，使DE=AD．(1)试证明：△ACD≌△EBD；(2)用上述方法解答下列问题：如图2，AD为△ABC的中线，BMI交AD于C，交AC于M，若AM=GM，求证：BG =AC．【答案】(1)详见解析；(2)详见解析．【分析】(1)根据中线的定义，即可得到BD =CD ，再根据SAS 即可判定△ACD ≌△EBD ．(2)延长AD 到F ，使AD =DF ，连接BF ，根据SAS 证△ADC ≌△FDB ，推出BF =AC ，∠CAD =∠F ，根据AM =GM ，推出∠CAD =∠AGM =∠BGF ，求出∠BGF =∠F ，根据等腰三角形的性质求出即可．【详解】(1)证明：∵AD 是△ABC 的中线，∴BD =CD ，在△ACD 和△EBD 中，CD =BD∠ADC =∠EDB AD =ED，∴△ACD ≌△EBD (SAS )．(2)证明：延长AD 到F ，使AD =DF ，连接BF ，∵AD 是△ABC 中线，∴BD =DC ，∵在△ADC 和△FDB 中，BD =DC∠ADC =∠BDF AD =DF，∴△ADC ≌△FDB (SAS )，∴BF =AC ，∠CAD =∠F ，∵AM =GM ，∴∠CAD =∠AGM ，∵∠AGM =∠BGF ，∴∠BGF =∠CAD =∠F ，∴BG =BF =AC ，即BG =AC ．【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握倍长中线法构造全等三角形是解决此题的关键.3(2023春·上海·七年级专题练习)某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．【探究与发现】(1)如图1，AD 是△ABC 的中线，延长AD 至点E ，使ED =AD ，连接BE ，证明：△ACD ≌△EBD ．【理解与应用】(2)如图2，EP 是△DEF 的中线，若EF =5，DE =3，设EP =x ，则x 的取值范围是．(3)如图3，AD 是△ABC 的中线，E 、F 分别在AB 、AC 上，且DE ⊥DF ，求证：BE +CF >EF ．【答案】(1)见解析；(2)1<x <4；(3)见解析【分析】(1)根据全等三角形的判定即可得到结论；(2)延长EP 至点Q ，使PQ =PE ，连接FQ ，根据全等三角形的性质得到FQ =DE =3，根据三角形的三边关系即可得到结论；(3)延长FD 至G ，使得GD =DF ，连接BG ，EG ，结合前面的做题思路，利用三角形三边关系判断即可．【详解】(1)证明：CD =BD ，∠ADC =∠EDB ，AD =ED ，∴△ACD ≌△EBD ，(2)1<x <4；如图，延长EP 至点Q ，使PQ =PE ，连接FQ ，在ΔPDE 与ΔPQF 中，PE =PQ∠EPD =∠QPF PD =PF，∴ΔPEP ≅ΔQFP ，∴FQ =DE =3，在ΔEFQ 中，EF -FQ <QE <EF +FQ ，即5-3<2x <5+3，∴x 的取值范围是1<x <4；故答案为：1<x <4；(3)延长FD 至G ，使得GD =DF ，连接BG ，EG ，在△DFC 和△DGB 中，DF =DG ，∠CDF =∠BDG ，DC =DB ，∴△DFC ≌△DGB (SAS )，∴BG =CF ，∵在△EDF 和△EDG 中，DF =DG ，∠FDE =∠GDE =90°，DE =DE ，∴△EDF ≌△EDG (SAS )，∴EF =EG ，在△BEG 中，两边之和大于第三边，∴BG +BE >EG ，又∵EF =EG ，BG =CF，∴BE +CF >EF【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的定义，三角形的三边关系，正确的作出图形是解题的关键．【解题模型五旋转模型】1如图，AB =AC ，AE =AD ，∠CAB =∠EAD =α．(1)求证：△AEC≅△ADB；(2)若α=90°，试判断BD与CE的数量及位置关系并证明；(3)若∠CAB=∠EAD=α，求∠CFA的度数．【答案】(1)见详解；(2)BD=CE，BD⊥CE；(3)90°-α2【分析】(1)根据三角形全等的证明方法SAS证明两三角形全等即可；(2)由(1)△AEC≌△ADB可知CE=BD且CE⊥BD；利用角度的等量代换证明即可；(3)过A分别做AM⊥CE，AN⊥BD，易知AF平分∠DFC，进而可知∠CFA【详解】(1)∵∠CAB=∠EAD∴∠CAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE，∴∠CAE=∠BAD，∵AB=AC，AE=AD在△AEC和△ADB中，AB=AC∠CAE=∠BAD AE=AD∴△AEC≌△ADB(SAS)(2)CE=BD且CE⊥BD，证明如下：将直线CE与AB的交点记为点O，由(1)可知△AEC≌△ADB，∴CE=BD，∠ACE=∠ABD，∵∠BOF=∠AOC，∠α=90°，∴∠BFO=∠CAB=∠α=90°，∴CE⊥BD．(3)过A分别做AM⊥CE，AN⊥BD 由(1)知△AEC≌△ADB，∴两个三角形面积相等故AM·CE=AN·BD∴AM=AN∴AF平分∠DFC由(2)可知∠BFC=∠BAC=α∴∠DFC=180°-α∴∠CFA=12∠DFC=90°-α2【点睛】本题考查了全等三角形的证明，以及全等三角形性质的应用，正确掌握全等三角形的性质是解题的关键；【变式训练】1如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，点D在边AC上，且线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，点F是ED与AB的交点．(1)求证：AE=CD；(2)若∠DBC=45°，求∠BFE的度数．【答案】(1)证明见解析；(2)∠BFE=105°．【分析】(1)根据旋转的性质证明△ABE≌△CBD(SAS)，进而得证；(2)由(1)得出∠DBC=∠ABE=45°，BD=BE，∠EBD=120°，最后根据三角形内角和定理进行求解即可．【详解】(1)证明：∵线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，∴BD=BE，∠EBD=120°，∵AB=BC，∠ABC=120°，∴∠ABD+∠DBC=∠ABD+∠ABE=120°，∴∠DBC=∠ABE，∴△ABE≌△CBD(SAS)，∴AE=CD；(2)解：由(1)知∠DBC=∠ABE=45°，BD=BE，∠EBD=120°，(180°-120°)=30°，∴∠BED=∠BDE=12∴∠BFE=180°-∠BED-∠ABE=180°-30°-45°=105°．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，利用旋转的性质证明是解题的关键．2问题发现：如图1，已知C为线段AB上一点，分别以线段AC，BC为直角边作等腰直角三角形，∠ACD=90°，CA=CD，CB=CE，连接AE，BD，线段AE，BD之间的数量关系为；位置关系为．拓展探究：如图2，把Rt△ACD绕点C逆时针旋转，线段AE，BD交于点F，则AE与BD之间的关系是否仍然成立？请说明理由．【答案】问题发现：AE=BD，AE⊥BD；拓展探究：成立，理由见解析【分析】问题发现：根据题目条件证△ACE≌△DCB，再根据全等三角形的性质即可得出答案；拓展探究：用SAS证ΔACE≅ΔDCB，根据全等三角形的性质即可证得．【详解】解：问题发现：延长BD，交AE于点F，如图所示：∵∠ACD=90°，∴∠ACE=∠DCB=90°，又∵CA=CD,CB=CE,∴ΔACE≅ΔDCB(SAS)，∴AE=ED,∠CAE=∠CDB，∵∠CDB+∠CBD=90°，∴∠CAE+∠CBD=90°，∴∠AFD=90°，∴AF⊥FB，∴AE⊥BD，故答案为：AE=BD，AE⊥BD；拓展探究：成立．理由如下：设CE与BD相交于点G，如图1所示：∵∠ACD=∠BCE=90°，∴∠ACE=∠BCD，又∵CB=CE，AC=CD，∴ΔACE≅ΔDCB(SAS)，∴AE=BD，∠AEC=∠DBC，∵∠CBD+∠CGB=90°，∴∠AEC+∠EGF=90°，∴∠AFB=90°，∴BD⊥AE，即AE=BD，AE⊥BD依然成立．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，手拉手模型，熟练掌握全等三角形的判定和手拉手模型是解决本题的关键．3(2023春·全国·七年级专题练习)在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD ⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时，∠EAB+∠DAC=度；(2)求证：DE=CD+BE；(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【答案】(1)90°(2)见解析(3)CD=BE+DE，证明见解析【分析】(1)由∠BAC=90°可直接得到∠EAB+∠DAC=90°；(2)由CD⊥MN，BE⊥MN，得∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°，根据等角的余角相等得到∠DCA=∠EAB，根据AAS可证△DCA≌△EAB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE=EA+AD=DC+ BE．(3)同(2)易证△DCA≌△EAB，得到AD=CE，DC=BE，由图可知AE=AD+DE，所以CD=BE +DE．【详解】(1)∵∠BAC=90°∴∠EAB+∠DAC=180°-∠BAC=180°-90°=90°故答案为：90°．(2)证明：∵CD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°∵ ∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∴∠DCA=∠EAB∵在△DCA和△EAB中，∠ADC=∠BEA=90°∠DCA=∠EABAC=AB∴△DCA≌△EAB(AAS)∴AD=BE且EA=DC由图可知：DE=EA+AD=DC+BE．(3)∵CD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°∵∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∴∠DCA=∠EAB∵在△DCA和△EAB中，∠ADC=∠BEA=90°∠DCA=∠EABAC=AB∴△DCA≌△EAB(AAS)∴AD=BE且AE=CD由图可知：AE=AD+DE∴CD=BE+DE．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角，也考查了三角形全等的判定与性质．4(2023·江苏·八年级假期作业)在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°．将一个含45°角的直角三角尺DEF按图所示放置，使直角三角尺的直角顶点D恰好落在BC边的中点处．将直角三角尺DEF绕点D旋转，设AB交DF于点N，AC交DE于点M，示意图如图所示．(1)【证明推断】求证：DN=DM；小明给出的思路：若要证明DN=DM，只需证明△BDN≌△ADM即可．请你根据小明的思路完成证明过程；(2)【延伸发现】连接AE，BF，如图所示，求证：AE=BF；(3)【迁移应用】延长EA交DF于点P，交BF于点Q．在图中完成如上作图过程，猜想并证明AE和BF的位置关系．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)AE⊥BF，见解析【分析】(1)在△ABC中，根据点D是BC的中点，得出AD=BD=BC2，由AD⊥BC，△DEF是直角三角尺，得出∠EDF=90°，从而得到∠BDN=∠ADM，在△BDN和△ADM中，立即证明全等，由性质即可解答DN=DM；(2)根据△BDN≌△ADM，得出BN=AM，∠BND=∠AMD，DN=DM，从而得到∠BNF=∠AME，由于△DEF是含45°直角三角尺，推出FN=EM，利用SAS即可证明△BNF和△AME全等，从而求解；(3)猜想：AE⊥BF，理由：根据△BNF≌△AME和∠FDE=90°，得出∠AEM+∠APD=90°，又根据∠APD=∠FPQ，等量代换得到∠FQP=90°从而证明．【详解】(1)证明：在△ABC中，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°，又∵点D是BC的中点，∴AD=BD=BC2，且AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=12∠BAC=45°∴∠ADN+∠BDN=90°，又∵△DEF是直角三角尺，∴∠EDF=90°，即∠ADN+∠ADM=90°，∴∠BDN=∠ADM在△BDN和△ADM中，∠B=∠DAM=45°BD=AD∠BDN=∠ADM∴△BDN≌△ADM，∴DN=DM；(2)证明：∵△BDN≌△ADM∴BN=AM，∠BND=∠AMD，DN=DM∴∠BNF=∠AME，且由于△DEF是含45°直角三角尺，∴DF=DE，∴DF-DN=DE-DM即FN=EM在△BNF和△AME中，BN=AM∠BNF=∠AME FN=EM∴△BNF≌△AME，∴AE=BF；(3)解：作图正确(如图所示)猜想：AE⊥BF，理由如下：∵△BNF≌△AME，∴∠BFN=∠AEM，∵∠FDE=90°，∴∠AEM+∠APD=90°又∵∠APD=∠FPQ，∴∠FPQ+∠BFN=90°，∴∠FQP=90°，∴AE⊥BF．【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角尺的特征、全等三角形的判定及性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定及性质．。