自由落体和抛体偏离的另一种解法

自由落体和抛离偏离的另一种解法
学生姓名：邓怀俊指导老师：汪志云 物理系物理学1011班学号：2010110106
摘要：由于地球的自转，因而地球是一个有旋转的非惯性参考系。

在地球参考系的物体都将受到惯性力——惯性离心力和可是奥利力的作用，因而将产生一系列有趣的现象，如铅垂线的方向并非指向地心。

关键字：自由落体；抛体；偏离
由于地球的自转，因而地球是一个有旋转的非惯性参考系。

在地球参考系的
物体都将受到惯性力——惯性离心力和可是奥利力的作用，因而将产生一系列有趣的现象，如铅垂线的方向并非指向地心，以及落体对铅垂线的偏离等。

1．自由落体的偏离
如果地球是惯性系，那么自由落体的落点应该是物体地心连线与地面的交P 。

而惯性离心力的效果是使物体关于P 向赤道偏离。

一般所说的重力G 是地心引力和惯性离心力的合力，因而其方向亦即铅垂线的方向并非指向地心。

运动的物体受到重力的作用外还受到科里奥利力F 科的作用，所以自由落体关于铅垂方向还会有一个偏离。

在地球纬度φ处，一个质量为m 的物体从高度为h 处下落，下面我们来讨论落点'O 相对铅垂线与地面的交点O 的偏离。

取地球（视为球体）为参考系，如图1所示建立直角坐标系，xyz 轴的单位矢量i 、j 、k 分别指向正东、正北和铅垂相反方向。

忽略空气的阻力，则物体在自由下落的过程中运动方程[1]是:
2m a G F m g m v
ω=+=-⨯科
式中g 是表观重力加速度，ω是地球自转角速度。

将各个量写为分量形式：
.
.
.
.
.
.
cos sin a x i y j z k a gk
v x i y j z k
j k
ωωφωφ=++=-=++=+
k
的方向近似等同于铅垂方向，代入运动方程中，则
.
.
.
.
2(sin cos )(2sin )(2cos )m a m y z i m x j m x m g k
ωφωφωφωφ=--+-
在i 、j 、k 三个方向上的运动方程为
....
..
.
..
.
2sin 2cos 2sin 2cos x y z
y x
z x g
ωφωφωφωφ=-=-=-（1）
考察式（1）中的第一个方程，并根据第二个与第三个方程，有：
...
.......
2
2sin 2cos 2sin (2sin )2cos (2cos )2cos 4x y z x x g g x ωφωφωφωφωφωφωφω=-=--∙-=-
所以：
...
.
2
42cos 0x x g ωωφ+-=
解此微分方程，并利用初始条件，当时0t =，0x =，.0x =，..
0x =，得：
2
cos (2sin 2)4g x t t φωωω
=
-（2）
所以.
cos (1cos 2)2g x t φ
ωω
=
-，代入式（1）的第二个式子和第三个式子，得：
..
..
2
2
2
sin (1cos 2)
cos (1cos 2)(sin cos cos 2)
y g t z g t g g t φωφωφφω=--=--=-+
解这两个微分方程，并利用初始条件：当0t =时，.0y =，0y =，.
0z =，z h =，得：
222
2
sin sin cos 2t t
y g ωωφφ
ω
-=-（3）
22
22
2
2
(cos sin sin )2g z h t t φωωφω
=-+（4）
2
222
2
2
2
22
2
2
cos (2sin 2)
4sin sin cos 2(cos sin sin )
2g x t t t t
y g g z h t t φωωω
ωωφφω
φωωφω
=
--=-=-
+（5）
理论上，只要将高度h 和0z =代入式（5）的第三个式子，接触下落时间t ，
就可以得到在i 、j 两个方向上的偏离。

但由于方程复杂，并不便于求解。

然而
我们可以进行近似求解。

因ω很小（57.2710rad s -⨯），所以0t ω→，
sin t t ωω≈，故
22
2
2
122
g z h t h gt ωω
≈-
=-
所以当0z =时，有：
t =
与未考虑惯性力求得的表达式相同，这说明惯性力对时间的影响很小。

下面求x 、
y
的近似表达式，由泰勒展开式
33
55
832sin 22...3!
5!
t t t t ωωωω=-
+
-
得：
2
3
35
3
2
cos 1414(2sin 2)cos cos cos cos 43
15
3
15g h
x t t g t g t g
φ
ωωωφωφωφωω
=
-≈
∙-
=
∙
忽略3ω项，得：
1cos 3
x ω=
由泰勒展开式
33
33
33
sin ...3!
5!
3!
t
t
t
t t t ωωωωωω=-
+
-≈-
得：
222
22
24
2
sin 1sin cos sin cos sin 226
3t t
t
y g g t g
ωωωφφ
φφωφω
-=-≈-
=-
22
2
1cos 3
sin 2312
x t y g
z h gt
ωφωφ=
=-
=-
（6）
利用式（6）就可以求出落体偏离的近似解。

由此可以看出，在北半球0φ>，0x >，
0y >，物体的落点'
O
偏向点的O 东南方；在南半球0φ<，落体偏向东北方。

例
如在北京，北纬约40 ，物体从100m 高处下落，，利用式（6），求得16.8x m m =，
0.00177y mm
=-。

即落点向东偏离16.8m m ，向南偏离0.00177m m 。

值得注意的是，铅垂线向赤道的偏离是惯性离心力作用的结果。

而科里奥利力使落体关于铅垂线再产生一个偏离，即本文所计算的结果。

2.抛体的偏离 在地球纬度∅处，一个质量为m 的物体以v 初速度从地面O 点沿铅垂线竖直向上抛出，由于科里奥利力的作用，物体也不会落回到O 点。

由于抛体运动的方程与落体运动的方程相同，所以只需用新的初始条件重新解方程组（1）：当时0t =，
.
0x x ==，..
2cos x v ωφ
=-，...0y y y ===，0z =，.z v =，..
z g =-。

解得：
2
2
22
2
22
2
2
2
2
2
2
cos cos (2sin 2)(cos 21)
42sin 2sin 2sin cos ()
22sin sin 221cos cos 222g v x t t t t t
t t
y g
v
t t
t t
z g v gt vt
φφωωωω
ω
ωωωωφφω
ω
ωωωωφ
φ
ω
ω
=
-+
---=+--=+-+（7）
由于式（7）的第三个式子前两项均为2ω级小量，可以忽略，所以2
12
z vt gt
=-。

同样，利用泰勒展开式将式（7）的前两式化简，得：
3
2
2
3
4
2
1cos (
)
3
21sin cos ()36
12x gt vt y gt gt z vt gt
ωφωφφ=-=-
=-
（8）
抛体落地所用的时间为2v t g
=
，代入式（8）的前两式，得：
3
2
24
34cos 34sin 2v x g
v y g
ωφ
ωφ
=-
=
由此可以发现，0x <，即物体落在抛射点的西方。

在北半球0φ>，0y >，所以落体偏向西北方，而在南半球0φ<，0y <，落体偏向西南。

又以北京为例，假设将初速度20v m s =的物体竖直上抛，则 6.19x m m =-，33.5410y m m -=⨯。

参考文献：
[1]周衍柏.理论力学教程[M].北京.人民教育出版社.1979.241~249.
[2]喀兴林.落体偏东[J].大学物理2001.20(7):6.
[3] 周永平,刘孜杰.北半球自由落体南偏的一种精确解法[J].大学物理1994,13(6):26.。