北京市丰台区2019-2020学年高一上学期期中考试数学(A卷)试题
丰台区2019-2020学年度第一学期期中考试联考高一数学（A 卷）考试时间：90分钟第I 卷（共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合{}{}10,1,2,21A B x x =-=-<≤，，则A B =(A) {1}(B) {}0,1(C) {}101-，，(D) {}101,2-，， 2．若,,a b c ∈R ，且b a >，则下列不等式一定成立的是(A) c b c a +>+ (B) bc ac > (C)11a b< (D) 22a b >3．下列函数中，与函数y=x 表示同一函数的是(A) 2()f x =(B) 3()g x =(C) 2x y x=(D) y =4．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是(A) 1y x =+ (B) 1y x =(C) x y =(D) 22,0,,0x x y x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩5．命题“x ∃∈R ，使得x 2＋2x<0”的否定是 (A) ,x ∃∈R 使得220x x +≥ (B) ,x ∃∈R 使得220x x +> (C) ,x ∀∈R 都有220x x +≥ (D) ,x ∀∈R 都有220x x +<6． “0t >”是“12t t+≥”的 (A) 充分而不必要条件(B) 必要而不充分条件 (C)充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件7．函数()f x =(A) (,0)-∞ (B) (,0]-∞ (C) (0,)+∞ (D) [0,)+∞ 8．如图，A,B,C 是函数()y f x =的图象上的三点，其中A (1,3)，B (2,1)，C (3,2)，则[(3)]f f 的值为 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 39．设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(2)0f -=，则0)(<x f 的解集是(A) {|20x x -<<,或2}x > (B) {|2x x <-,或02}x << (C) {|2x x <-,或2}x > (D) {|20x x -<<,或02}x <<10．某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：C ︒）满足函数关系2kx my += （k ，m 为常数）.若该食品在0C ︒的保鲜时间是64小时，在18C ︒的保鲜时间是16小时，则该食品在36C ︒的保鲜时间是 (A) 4小时(B) 8小时(C) 16小时(D) 32小时第Ⅱ卷（非选择题共60分）二、填空题：共6小题，每小题4分，共24分。
11．已知幂函数)(x f y =的图象过点(4,2)，则1()2f 的值为____. 12．已知函数()y f x =的图象如图所示，则该函数的值域为 .13．已知1(),0,()22,0.x x f x x x ⎧⎪≤=⎨>⎪⎩若()2f x =，则x 的值为 .14．已知0,0,3x y x y >>+=，则xy 的最大值为____.15. 计算：23023(9.6)3) 1.58(()----+=____.16．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.元，则他实际所付金额为 元．三、解答题：共4小题，共36分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17. （本小题共9分）已知集合{2+13}A x x =<，2{20}B x x x =--<.求： （Ⅰ）AB ；（Ⅱ）()AB R ð.18. （本小题共9分）已知二次函数2()3f x x ax =--(a ∈R ). （Ⅰ） 若)(x f 为偶函数，求的值；（Ⅱ） 若()0f x <的解集为{3}x x b -<<，求a,b 的值; （Ⅲ）若()f x 在区间[2,)-+∞上单调递增，求a 的取值范围.19. （本小题共9分）由历年市场行情知，从11月1日起的30天内，某商品每件的销售价格 (元)与时间 (天)的函数关系是20,(25,)45,(2530,)t t t P t t +<∈⎧=⎨≤≤∈⎩N*N*， 日销售量Q (件)与时间 (天)的函数关系是40(30,)Q t t t =-+≤∈N*.（Ⅰ）设该商品的日销售额为y 元，请写出y 与t 的函数关系式； （商品的日销售额=该商品每件的销售价格×日销售量）（Ⅱ）求该商品的日销售额的最大值，并指出哪一天的销售额最大？20. （本小题共9分）设函数()f x x xλ=+（λ是常数）.（Ⅰ）证明：()f x 是奇函数；（Ⅱ）当=1λ时，证明：()f x 在区间(1,)+∞上单调递增； （Ⅲ）若[1,2]x ∃∈，使得122xx m ≤-，求实数m 的取值范围.丰台区2019—2020学年度第一学期期中联考高一数学A 卷参考答案 第Ⅰ卷（选择题 共40分）第Ⅱ卷（非选择题 共60分）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）11. [-4,3] 12.22 13. 1或-1 14. 9415. 1 16. 1150 三、解答题(本题共4小题，共36分) 17.（本小题9分）解：（Ⅰ）{1},A x x =< ……………………………………2分{12}B x x =-<< …………………………………………4分{11}A B x x =-<< …………………………………… 6分（Ⅱ） {1,B x x =≤-R ð 或2}x ≥ ………………………………8分 (){1,AB x x =<R ð或2}x ≥ …………………………………9分（注：若集合B 求错，而在此基础求的交并补对，则按一半给分） 18. （本小题9分）解：（Ⅰ） ()f x 为偶函数， ()()f x f x ∴-= …………1分33)()(22--=----∴ax x x a x ………………………………2分0a ∴= ……………………………………3分（Ⅱ）0)(<x f 的解集为}3{b x x <<-3-和b 是方程032=--ax x 的两根，……………………5分 2,1a b =-= ………………………………6分 （Ⅲ）对称轴x=2a………………………………7分 22a≤- ………………………………8分 4a ∴≤- ………………………………9分19. （本小题9分）解：（Ⅰ）设日销售额为元，则Q P y ⋅=，所以**(20)(40),(25,)45(40),(2530,)t t t t y t t t ⎧+-<∈=⎨⨯-≤≤∈⎩N N ． 即：2**20800(25,)180045(2530,)t t t t y t t t ⎧-++<∈=⎨-≤≤∈⎩N N …………………6分（注：写对一段给3分）（Ⅱ）2**(10)900,(25,)180045,(2530,)t t t y t t t ⎧--+<∈=⎨-≤≤∈⎩N N ．当250<<t 时，10=t ，900max =y ； …………………7分 当3025≤≤t 时，25=t ，675max =y ． …………………8分 故所求日销售金额的最大值为900元，11月10日日销售金额最大.…………………………9分 20. （本小题9分）解：（Ⅰ）定义域为}0{≠x x …………………………1分 ,x ∀∈R 有,x -∈R)()()(x f xx x x x f -=+-=-+-=-λλ …………………………2分所以)(x f 是奇函数； …………………………3分（Ⅱ）12,(1,)x x ∀∈+∞且21x x <, )1()1()()(221121x x x x x f x f +-+=- …………………………4分 )()(211221x x x x x x -+-= 2121211)(x x x x x x --=1212,(1,),x x x x ∈+∞<,01,0,0212121>-><-∴x x x x x x …………………………5分 0)()(21<-∴x f x f)(x f ∴在区间(1,)+∞ 上单调递增. ………………………………6分 （Ⅲ）设 1()22xxg x =+[1,2],x ∃∈使得122xx m ≤-等价于min ()[1,2]m g x x ≥∈，设12=(24)x t t y tt≤≤=+，则，由（2）可知，1[2,4]y tt=+在上单调递增，当2t=即1x=时，取得最小值为52.所以52m≥. …………9分。
2019-2020学年北京市丰台区高一(上)期中英语试卷(A卷)
2019-2020学年北京市丰台区高一（上）期中英语试卷（A卷）一、阅读理解（本大题共9小题，共18.0分）ACamp NouCamp Nou is a football stadium（体育馆）in Barcelona，Spain．It is the largest stadium in Europe and the tenth largest in the world．Many international matches are played there．There is a museum in the stadium-the FC Barcelona Museum．It is considered the best football museum in the world．There are multi-media displays（多媒体展示）about the Barcelona Club and its history as well as a fantastic view of the stadium．Camp Nou is also a place where you can enjoy major concerts and other non-football events．Beijing National StadiumBeijing National Stadium，also called the Bird's Nest，is located in China．It was designed for use during the 2008 Summer Olympics and Paralympics．It is the world's largest steel structure（钢结构）．The stadium has recently been transformed（改造）so that it can be used for winter sports．Maracana StadiumMaracana Stadium is an open-air stadium in Rio de Janeiro，Brazil．It was opened in 1950 for the FIFA World Cup．Since then，it has mainly been used for football matches between the major football clubs in Rio de Janeiro．It is the largest stadium in South America．Wembley StadiumWembley Stadium is located in Wembley Park in London，England．The England national football teamplay most of their home matches there．The stadium is also used for other sporting events．It is the second largest stadium in Europe（after Camp Nou）and one of the largest and the tallest in the world，with every seat under a roof．It was very expensive to build．1.Which stadium has been changed for winter sports recently？______A. Camp Nou．B. Beijing National Stadium．C. Maracana Stadium．D. Wembley Stadium．2.What was Maracana Stadium opened for in 1950？______A. The Olympics．B. Major concerts．C. Multi-media displays．D. The FIFA World Cup．3.From the passage，we can know that Wembley Stadium is ______ ．A. in South AmericaB. the largest stadium in EuropeC. used for different sporting eventsD. the largest steel structure in the worldBThis weekend a marathon（马拉松赛跑）took place in Salzburg，the city where I'm living．I admiredthe runners who ran 42.2 kilometers if they finished the course．I've never run for more than half an hour，so I'm amazed that some people manage to keep going for over four! At university I play korfball．This is a team sport with eight people on each team．The aim is to shoot the ball into the hoop（篮圈），which is like basketball hoop，only higher! Allplayers get a chance to attack and defend during the game and it's very fast-paced．When I started korfball，I wasn't very good at it．I could throw and catch but I wasn't very fast on my feet．Shooting was also difficult for me．Moreover，you often have to shoot on the move in korfball，and I found it hard to balance and shoot straight while running backwards away from my defender!However，I really enjoyed the sport and made friends in the club，so I attended training twice a week．Two years later I am in the first team for my university and have played in many matches．This just shows if you train hard，you can succeed．Running is difficult because you have to makeyourselfwilling to keep going．I used to get really out of breath while running and I didn't feel good at all! Now I actually enjoy going for arun along the river in Salzburg，feeling my muscles（肌肉）working and breathing in the fresh air．Challenging exercise is always rewarding．Hiking is fun because all the hard work-walking uphill-comes at the beginning of the day．Then at the top of the mountain you can enjoy the view and some well-earned chocolate! At the end of the day you feel like you've reallyachieved something．I will never be a marathon runner，but I would like to try a10-km run sometime，or perhaps even a half-marathon．Seeing how happy the runners were as they crossed the finishing line made me want to have that feeling-the months of training paying off as you achieve your goal．4.How did the author feel about running the marathon at first？______A. Tough．B. Strange．C. Enjoyable．D. Exciting．5.Why does the author think challenging exercise rewarding？______A. It helps him sleep well．B. It gives him a sense of achievement．C. It helps him lose weight．D. It makes him become a marathon runner．6.What does the passage want to tell us？______A. The meaning of keeping going．B. The ways of doing sports．C. The importance of regular exercise．D. The benefits of running the marathon．CUngraded question，posted by Instructor，Dr．Green In next week's lecture，we will be discussing identity．Social experts suggest that we have three basic types of identity．First，your given identity includes your gender（性别），your birthplace，and your age．These are aspects of identity that are almost impossible to change．Second is your chosen identity，groups you choose to become a part of．Chosen identity can include yourbeliefs，yourprofessions（职业），or your community organizations．Finally，your core identity is what makes you unique．Your behaviors，personality，values，and skills are all part of your core identity．Before Monday's lecture，post a short reply to this question．QUESTION：How has your identity changed in the last few years，including the three aspects of identity？Posted by Ali K．When I started high school，I thought that I knew exactly who I was and where I was headed．I was a star soccer player，and my entire identity was soccer-I lived it and breathed it．This was my chosen identity．Everything changed when I had a terrible knee injury during my second year．After several months，it was clear that I wouldn't be able to play soccercompetitively again．I felt really sad when I had to quit the team，and I was very unhappy．Slowly I started to see that I was still the same person on the inside．I was still a very hard-working person，someone who didn't easily give up，and someone who loved being on a team．These were part of my core identity．I had to rediscover my values （hard work and competition）to get me through this hard time．I've been developing a new sense of identity．Although I've had to change part of my chosen identity，I now understand that my core identity （who I am inside）is the most important for me．Posted by Paul S．Like Ali，I had a veryhard time in high school．I felt like my parents didn't understand or respect me，and nothing I did was right in their eyes．①They didn't think I was trustworthy，and I admit that sometimes I didn't make great choices．But my parents are part of my given identity，and therefore they are very important in my life．During high school，my chosen identity was the group of friends that I belonged to．②However，some friends were influencing me in bad ways．I felt really lost and unhappy with my life．Later，when I started at the university in my city，I decided to find some new friends．③Now I can realize the changes in me and feel more comfortable around my parents because they respect me as an adult．④It is important to remember that your chosen identity is not who you are．You can make other choices，and change your life．7.Which of the following belongs to your given identity？______A. Professions．B. Behaviors．C. Personality．D. Birthplace．8.Why did Ali change part of his chosen identity？______A. He lost interest in sport at school．B. He found a new sense of identity．C. He injured his knee playing soccer．D. He followed his teammates' advice．9.Where should the following sentencebe put？______"I've connected with friends who better understand my family background and myvalues．"A. ①B. ②C. ③D. ④二、完形填空（本大题共15小题，共15.0分）A few years ago，I went to Disneyland with my sister and her two children．At that time，they were probably 10 and 8．We were walking down Main Street to go across to Downtown Disney when John，the younger of my two nephews，(10) walking．He stood there for a few seconds with his eyes looking across the(11)．As I started to walk towards him to tell him to (12)so we could stay with the group，he started walking across the street．I was just standing there thinking and trying to (13)what he would do．(14)he got to the other side of the street，he stopped in front of a couple and their crying child．If I had to guess，this kid was probably around the same(15) as John，if not a little bit younger．I saw them talking to each other for a moment，then John(16) his balloon that he had just got within 10 minutes to the kid．The parents looked absolutely (17)．The kid took the balloon，stopped (18)，smiled at John and said something to him．Then John came walking back over to me，totally (19)．The parents were still watching him as if he was a miracle（神奇的人）．And the kid was smiling and talking (20)to his parents，pointing at my nephew．By the time he got back over to me，I was obviously confused．So I asked him，"What was that about？"John answered calmly，"He looked sad．He shouldn't be(21)at Disneyland，so I gave him my (22)to make him happy．"Then I asked，"You gave him your balloon？""Yes．His balloon might have flown away，or he didn't get one，(23)mom bought me lots of toys，so it's OK．" he answered．To me，it's hard to imagine that this kid，this 8-year-old kid，did that．The story is definitely not as(24) as some of the other stories we have ever read，but to this day it still kind of blows me away．10. A. disliked B. stopped C. continued D. finished11. A. street B. field C. square D. lake12. A. help B. return C. hurry D. rest13. A. discover B. explain C. prove D. show14. A. Since B. Though C. If D. When15. A. age B. hobby C. height D. weight16. A. lent B. threw C. moved D. handed17. A. bored B. worried C. surprised D. frightened18. A. jumping B. crying C. playing D. running19. A. crazy B. happy C. afraid D. sorry20. A. hopefully B. nervously C. slowly D. excitedly21. A. sad B. angry C. shy D. quiet22. A. ticket B. money C. balloon D. food23. A. or B. for C. but D. so24. A. true B. touching C. simple D. tiring三、语法填空（本大题共1小题，共12.0分）25.Passage 1However，not everything lived up to Zhang Tian's hopes．The school was much smaller than he (1) （expect），with only three classrooms．In front of the classrooms，there was a playground (2) got dusty on windy days and muddy on rainy days．Living in the village was also more (3) （challenge）than he had thought．The power andwatersupplieswere unstable，so he could only shower every three or four days，and he had to learn how to cook．The thought of leaving once flashed through his mind，but he quickly gave up on the idea and (4) （find）ways to deal with the challenges．Passage 2Usually，people (5) （go）on holiday to relax when they don't have to work．These days， a new kind of holiday is getting more and more popular-helping people indeveloping countries through volunteer projects．A volunteer holiday is a very (6)（meaning）way to see cultures of other countries．Volunteers often work with people of the country to help the poor．More and more people enjoy (7) （take） a volunteer holiday because it offers them a chance (8) （see）the country they are visiting in adifferent way．四、阅读表达（本大题共1小题，共12.0分）26.This morning we had our oral examinations．At 8：00 we were all in the schoolroom，andat 8：15 they began to call us，four at a time，into the big hall，where there was a large table covered with a green cloth；round it were seated the head-master and four other teachers，among them our own teacher．I was one of the first called out．Poor teacher!You are really fond of us! While they were asking questions，he had no eyes for anyone but us．He was troubled when we were not sure of our answers；he grew calm when we gave a fine answer；he heard everything，and made us a thousand signs with his hand and head to say to us，"Good!-No!-Pay attention!-Slower!- Courage!"He would have suggested everything to us，if he had been able to talk．And when theother teachers said to me，"That is well；you may go，" his eyes beamed with happiness．I returned at once to the schoolroom to wait for my father．Nearly all were still there．Atthat moment our teacher entered in a hurry，with a red face，and said，in a low，quick and joyful voice，"Good，all is going well now，let the rest come forwards! Boys，courage! I am extremely satisfied．" And，in order to exhilarate us，as he went out，he made a motion of stumbled（绊倒）on purpose．It appeared so strange that all smiled．Seeing that act of childish joy，I had a mixed feeling of pain and tenderness．All his reward was that moment of cheerfulness，-it was the compensation for nine months of kindness，patience，and even sorrow! For that he had worked hard so long；for that he had so often gone to give lessons to a sick boy，poor teacher! That and nothing more was what he demanded of us，in exchange for so much love and so much care!And，now，it seems to me that I shall always see him in the performance of that act，when I recall him through many years；and when I have become a man，he will still be alive，and we shall meet，and I will tell him about that deed which touched my heart；and I will give him a kiss on his white head．任务一：选择下列单词在文章中的意义．but ______ A．something given as payment（报答）beam ______ B．having many problemsexhilarate ______ C．to excite someonecompensation ______ D．to smile E．except F．something making a bad situation better 任务二：根据文章内容回答问题．（1）When was the teacher worried during the exam？______（2）What do you think of the teacher？______（3）Give a title to the passage．______（4）Why did the author write the article？______五、选词填空-句子（本大题共4小题，共8.0分）27.锻炼身体对于保持健康是很重要的．______28.我不介意在众人面前讲话．______29.Paul是一名刻苦训练的球员．______30.我们应该尽力帮助他人．______六、书面表达（本大题共2小题，共40.0分）31.根据题目所提出的具体要求，在答题纸上写出一篇连贯完整的短文．词数不少于80．假如你是李华，你的澳大利亚笔友Jack对近期你在学校参加的社团活动很感兴趣．请写一封邮件做介绍，内容包括：1）社团名称；2）至少三个社团活动；3）你的收获和感受．邮件的开头和结尾已为你写好，不计入总词数．Dear Jack，How's everything going？I'm excited to tell you_________Best regards，Li Hua32.请参考第三部分阅读理解D篇，写一篇连贯的短文，记录发生在你和老师之间的故事．词数不少于80．答案和解析1.【答案】【小题1】B 【小题2】D 【小题3】C【解析】1．B．细节理解题．根据Beijing National Stadium中Beijing National Stadium，also called the Bird's Nest，is located in China．---The stadium has recently been transformed （改造）so that it can be used for winter sports．可知，最近Beijing National Stadium为冬季运动已经做了改变．故选B．2．D．细节理解题．根据Maracana Stadium中Maracana Stadium is an open-air stadium in Rio de Janeiro，Brazil．It was opened in 1950 for the FIFA World Cup．马拉卡纳体育场是巴西里约热内卢的一个露天体育场，于1950年为世界杯开幕而准的．故选D．3．C．细节理解题．根据Wembley Stadium中Wembley Stadium is located in Wembley Park in London，England．The England national football team play most of their home matches there．The stadium is also used for other sporting events．可知，从这篇文章中，我们可以知道Wembley Stadium被用于不同的体育赛事．故选C．本文是一篇说明文．文章介绍了世界上三个著名的体育场，对这三个体育场的位置、特色以及用途进行了介绍．做这类题材阅读理解时要求考生对文章通读一遍，做题时结合原文和题目有针对性的找出相关语句进行仔细分析，结合选项选出正确答案．推理判断题也是要在抓住关键句子的基础上合理的分析才能得出正确答案，切忌胡乱猜测，一定要做到有理有据．4.【答案】【小题1】A 【小题2】B 【小题3】A【解析】ABA1．A．细节理解题．根据第五段Running is difficult because you have to make yourself willing to keep going． I used to get r eally out of breath while running and I didn't feel good at all!跑步是困难的，因为你必须让自己愿意继续．我曾经在跑步的时候喘不过气来，感觉一点都不好!可知作者刚开始跑步很困难，故选A．3．B．细节理解题．根据倒数第二段At the end of the day you feel like you've really achieved something．在一天结束的时候，你会觉得你真的取得了一些成就可知，成就感是很值得的，故选B．4．A．理解推断题．由最后一段Seeing how happy the runners were as they crossed the finishing line made me want to have that feeling-the months of training paying off as you achieve your goal．看到开心的跑步者是如何越过终点线时，让我想要感受到几个月的训练后达成自己的目标．可知作者想告诉我们坚持下去，A．本文是一篇人生感悟类阅读，作者以自己参加一些运动尤其是马拉松训练的经历，告诉我们坚持下去，最后的成就感会很值得．本文是一篇科教类阅读，题目涉及多道细节理解题．推理判断题．做题时学生应仔细阅读原文，把握文章主要内容，联系文章上下文内容并结合所给选项含义，从中选出正确答案，一定要做到有理有据，切忌胡乱猜测．7.【答案】【小题1】D 【小题2】C 【小题3】C【解析】1．D．细节理解题．根据第一段中First，your given identity includes your gender （性别），your birthplace，and your age．可知，下列Birthplace一项属于你的身份．故选D．2．C．细节理解题．根据Posted by Ali K．中I was a star soccer player，and my entire identity was soccer-I lived it and breathed it．This was my chosen identity．Everything changed when l had a terrible knee injury during my second year．可知，Ali改变了他所选择的身份是因为他在踢足球时伤了膝盖．故选C．3．C．句意理解题．根据上文提示"后来，当我开始在我居住的城市里上大学学习时，我决定找一些新朋友．"再根据下文提示"现在我可以意识到我的变化，在我的父母身边感觉更舒服，因为他们把我当作成年人尊重．"承接上下文，I've connected with friends who better understand my family background and my values．（我已经和那些更好地了解我的家庭背景和价值观的朋友联系在一起了．）放在③的位置最恰当．故选C．本文来自一篇博客．讲述了在下周的课上，我们将讨论身份问题．社会专家认为我们有三种基本的身份类型．在过去的几年中，你的身份是如何改变的，包括身份的三个方面吗？文章通过博客对这一问题进行了论述．阅读理解题测试考生在阅读基础上的逻辑推理能力，要求考生根据文章所述事件的逻辑关系，对未说明的趋势或结局作出合理的推断；或根据作者所阐述的观点理论，对文章未涉及的现象、事例给以解释．考生首先要仔细阅读短文，完整了解信息，准确把握作者观点．10.【答案】【小题1】B 【小题2】A 【小题3】C 【小题4】A 【小题5】D 【小题6】A 【小题7】D 【小题8】C 【小题9】B 【小题10】B 【小题11】D 【小题12】A 【小题13】C 【小题14】C 【小题15】B【解析】1-5 BACAD 6-10 ADCBB 11-15 DACCB1．B．考查动词及语境理解．A．disliked不喜欢；B．stopped停止； C．continued 继续； D．finished完成．根据句We were walking down Main Street to go across to Downtown Disney when John，the younger of my two nephews，___1___ walking．可知，我们走在大街上，走到迪斯尼的市中心，这时我更小的外甥约翰就不再走路了．故选B．2．A．考查名词及语境理解．A．street街道；B．field领域；C．square广场；D．lake 湖．根据He stood there for a few seconds with his eyes looking across the ___2___．可知，他站在那里几秒钟，眼睛望着对面的街道．故选A．3．C．考查动词及语境理解．A．help帮助；B．return归还；C．hurry匆忙；D．rest 休息．根据As I started to walk towards him to tell him to ___3___ so we could stay with the group，he started walking across the street．可知，当我开始向他走去，告诉他要快点，这样我们就可以和他在一起了，他开始穿过街道．故选C．4．A．考查动词及语境理解．A．discover发现；B．explain 解释；C．prove证明； D．show 展示．根据I was just standing there thinking and trying to ___4___ what he would do．可知，我只是站在那里思考，想知道他会做什么．故选A．5．D．考查状语从句及语境理解．A．Since自从---以来；B．Though尽管； C．If 如果；D．When当---时候．根据___5___ he got to the other side of the street，he stopped in front of a couple and their crying child．可知，当他走到街的另一边时，他在一对夫妇和他们正在哭的孩子面前停下了脚步．此处是when引导的时间状语从句，故选D．6．A．考查名词及语境理解．A．age 年龄；B．hobby业余爱好；C．height高度；D．weight重量．根据If I had to guess，this kid was probably around the same ___6___ as John，if not a little bit younger．可知，如果我必须猜一下，这个孩子可能和约翰差不多大，如果不是更小一点的话．故选A．7．D．考查动词及语境理解．A．lent借出；B．threw扔投；C．moved移动；D．handed 递送．根据I saw them talking to each other for a moment，then John ___7___ his balloon that he had just got within 10 minutes to the kid．可知，我看到他们彼此交谈了一会儿，然后约翰把他刚在10分钟内拿到的气球递给了那个孩子．故选D．8．C．考查形容词及语境理解． A．bored感到厌烦；B．worried 担忧；C．surprised 使惊奇； D．frightened感到害怕．根据The parents looked absolutely ___8___．The kid took the balloon，stopped ___9___，smiled at John and said something to him．可知，父母看起来非常惊讶．孩子拿起了气球，停止了哭泣，对约翰笑了笑，并对他说了些什么．故选C．9．B．考查动词及语境理解．A．jumping 考查动词；B．crying哭；C．playing玩；D．running跑．The kid took the balloon，stopped ___9___，smiled at John and said something to him．可知，孩子拿起了气球，停止了哭泣，对约翰笑了笑，并对他说了些什么．故选B．10．B．考查形容词及语境理解． A．crazy 疯狂的；B．happy高兴的；C．afraid害怕的；D．sorry难过的．根据Then John came walking back over to me，totally ___10___可知，然后约翰走回我身边，非常高兴．故选B．11．D．考查副词及语境理解．A．hopefully充满希望地；B．nervously紧张不安地；C．slowly慢慢地；D．excitedly感到兴奋地．根据And the kid was smiling and talking ___11___ to his parents，pointing at my nephew．可知，孩子微笑着，兴奋地和他的父母谈话，同时指着我的外甥．故选D．12．A．考查形容词及语境理解．A．sad伤心的；B．angry生气的；C．shy害羞的；D．quiet安静的．根据He shouldn't be ___12___ at Disneyland，so I gave him my ___13___ to make him happy．可知，他不应该在迪斯尼乐园里伤心，所以为了让他高兴我把我的气球给了他．故选A．13．C．考查名词及语境理解．A．ticket票；B．money钱；C．balloon 气球；D．food 食物．根据He shouldn't be ___12___ at Disneyland，so I gave him my ___13___ to make him happy．可知，他不应该在迪斯尼乐园里伤心，所以为了让他高兴我把我的气球给了他．故选C．14．C．考查并列连词及语境理解．A．or或者；B．for因为；C．but 但是；D．so 所以．根据His balloon might have flown away，or he didn't get one，___14___ mom bought me lots of toys，so it's OK．可知，他的气球可能已经飞走了，或者他没有得到，但是妈妈给我买了很多玩具，所以没关系．故选C．15．B．考查形容词及语境理解． A．true真实的；B．touching令人受感动的；C．simple 简单的；D．tiring累人的．根据The story is definitely not as ___15___ as some of the other stories we have ever read，but to this day it still kind of blows me away．可知，这个故事肯定不像我们读过的其他故事那样感人，但直到今天，它仍然让我感到震撼．故选B．本文是一篇记叙文．几年前，作者和妹妹及妹妹的两个孩子一起去了迪斯尼乐园．在那时，他们可能是10岁和8岁．走到迪斯尼的市中心，这时作者更小的外甥约翰就不再走路了．他站在那里几秒钟，眼睛望着对面的街道．他走到街的另一边，在一对夫妇和他们正在哭的孩子面前停下了脚步．然后约翰把他刚在10分钟内拿到的气球递给了那个孩子，孩子高兴了．这个故事肯定不像我们读过的其他故事那样感人，但直到今天，它仍然让作者感到震撼．近几年高考试题中的完形填空有新的变化，试题所涉及的知识面不断拓宽，综合难度不断提高．做完型填空首先要通读全文，了解大意．一篇完形填空的文章有许多空格，所以，必须先通读一至两遍，才能大概了解文章的内容．千万不要看一句，做一句．其次要逐句分析，前后一致．选择答案时，要考虑整个句子的内容，包括搭配、时态、语法等．答案全填完后，再通读一遍文章，检查是否通顺流畅了，用词得当，意思正确．25.【答案】【小题1】had expected【小题2】which/that【小题3】challenging【小题4】found【小题5】go【小题6】meaningful【小题7】taking【小题8】to see【解析】1．had expected，考查时态，表示过去的过去，所以用过去完成时态，故填had expected．2．which/that，考查定语从句，先行词为地点名词，在定语从句中作主语，所以用that 或which引导．3．challenging，考查形容词，作表语，所以用形容词，故填challenging．4．found，考查时态，和gave up并列作谓语，所以用过去式，故填found．5．go，考查时态，usually常用于一般现在时态，主语为people，所以用动词原形作谓语，故填go．6．meaningful，考查形容词，作定语修饰名词，所以用形容词，故填meaningful．7．taking，考查动名词，enjoy doing sth喜欢做某事，故填taking．8．to see，考查不定式，chance后跟不定式作后置定语，故填to see．本文是两个片段：一、然而，并不是所有的事情都能达到张天的期望．学校比他预想的要小得多，只有三间教室．教室前面有一个操场，刮风时积满灰尘，下雨时泥泞不堪．住在村里也比他想象的更具挑战性．电力和水源供应不稳定，所以他只能每隔三四天洗一次澡，他必须学会做饭．离开的念头曾在他脑海中闪过，但他很快放弃了这个想法，找到了应对挑战的方法．二、通常，人们在不需要工作的时候去度假放松．如今，一种新的节日越来越受欢迎，通过志愿者项目帮助发展中国家的人们．志愿者节日是一种非常有意义的方式来看待其他国家的文化．志愿者经常与全国人民一道帮助穷人．越来越多的人喜欢参加一个志愿假日，因为它给他们提供了一个以不同的方式去看他们正在访问的国家的机会．本题主要考查了用单词或短语的适当形式填空．做本题的关键是在理解短文的基础上，灵活运用所学的基础知识．本题考到的知识点有：固定的短语，词类的转换，名词的复数形式，副词以及祈使句的用法等．因此，这就需要在平时的学习中，牢固掌握各语言点及一些语法知识．26.【答案】【小题1】E【小题2】D【小题3】C【小题4】A【解析】任务一1． E 考查词汇的意思．but的意思是"但是"，相当于"except除了，但是"，故选E．2．D 考查词汇的意思．beam的意思是"笑容满面；"，相当于"to smile微笑"，故选D．3． C 考查词汇的意思．exhilarate的意思是"兴奋"，相当于"to excite someone使某人兴奋"，故选C．4．A考查词汇的意思．compensation的意思是"补偿"，相当于"A．something given as payment（报答）"作为报酬的东西，故选A．任务二1．The teacher was worried when his students were not sure of the answers．细节理解题．根据第一段"He was troubled when we were not sure of our answers；当我们不确定答案时，他很不安"，可知我们不知道答案时老师很担心．故填The teacher was worried when his students were not sure of the answers．2．Kind /Patient/ Devoted/ Loving．细节理解题．根据倒数第二段"Seeing that act of childish joy， I had a mixed feeling of pain and tenderness．All his rewar d was that moment of cheerfulness， -it was the compensationfor nine months of kindness， patience， and even sorrow! For that he had worked hard so lo ng； for that he had so often gone to give lessons to a sick boy， poor teacher! That and noth ing more was what he demanded of us， in exchange for so much love and so much care!看到那孩子气的喜悦，我有一种痛苦和柔情的混合感觉，他所有的回报就是那一刻的快乐，--那是对九个月的仁慈、耐心，甚至悲伤的补偿！因为他努力工作了这么久，因为他经常去给一个生病的孩子上课，可怜的老师！这就是他对我们的要求，以换取如此多的爱和关怀！"可知老师是善良的，有耐心的．故填Kind /Patient/ Devoted/ Loving．3．My Kind Teacher．主旨大意题．阅读全文可知作者主要讲述了他的善良有耐心的老师．故填My Kind Teacher．4．To express love to the teacher．细节理解题．阅读全文以及根据最后一段"And， now， it seems to me that I shall always see him in the performance of that act， whe n I recall him through many years； and when I have become a man， he will still be alive， and we shall meet， and I will tell him about that deed which touched my heart； and I will give him a kiss on his white head．现在，在我看来，当我回忆起他许多年的时候，我将永远看到他在表演这一幕；当我成为一个男人时，他将仍然活着，我们将相遇，我将告诉他那触动我心的行为；我将亲吻他的白头．"可知作者主要是介绍了自己的老师，表达了对老师的爱．故填To express love to the teacher．本文是一篇记叙文，主要讲述作者的善良有耐心的老师，表达了对老师的爱．技巧①通读全文，弄清楚段落大意及文章的中心意思以及作者的基本观点、态度．②根据问题去寻找答案，避免答非所问．③简练作答，不要画蛇添足．组织答案时，注意避免语言错误，如：时态、主谓一致、句子结构和拼写等．④认真核查，逐一检查所填的词是否符合原文主旨和细节，是否答非所问，是否仍存在语法、词汇拼写等错误，如果对字数有要求，是否符合要求．⑤答案形式要符合提问方式，如原文中提问方式为"why"，那么就要用"because"引导的从句来回答．27.【答案】It's important to do exercise to keep fit【解析】答案：It's important to do exercise to keep fit．考查翻译．句意：锻炼身体对于保持健康是很重要的．本句可用it做形式主语，动词不定式做真正的主语，it is +形容词+to do结构，所以翻译成：It's important to do exercise to keep fit．锻炼身体对于保持健康是很重要的．首先根据语法判断待译部分在句中的功能，结构及形式，即在句中充当什么成分，用动宾短语，介宾短语还是名词性短语，是否要用从句，是否要倒装等．注意选词应尽量贴切，尤其要注意搭配是否正确，不要混用近义词和形近词．28.【答案】I don't mind speaking in front of many people【解析】答案：I don't mind speaking in front of many people．考查翻译．句意：我不介意在众人面前讲话．mind doing是固定短语"介意做某事"，in front of many people 是在很多人面前，所以翻译成：I don't mind speaking in front of many people．我不介意在众人面前讲话．首先根据语法判断待译部分在句中的功能，结构及形式，即在句中充当什么成分，用动宾短语，介宾短语还是名词性短语，是否要用从句，是否要倒装等．注意选词应尽量贴切，尤其要注意搭配是否正确，不要混用近义词和形近词．29.【答案】Paul is a hard-working player．【解析】答案：Paul is a hard-working player．考查翻译．句意：Paul是一名刻苦训练的球员．本句是一个主系表结构的句子，hard-working是形容词"刻苦的"，根据汉语判断本句是一般现在时的句子，所以翻译成：Paul is a hard-working player．Paul是一名刻苦训练的球员．首先根据语法判断待译部分在句中的功能，结构及形式，即在句中充当什么成分，用动宾短语，介宾短语还是名词性短语，是否要用从句，是否要倒装等．注意选词应尽量贴切，尤其要注意搭配是否正确，不要混用近义词和形近词．30.【答案】We should try our best to help others【解析】答案： We should try our best to help others ，考查汉译英，表示应该做某事用should do sth，"尽力做某事"用短语try one's best to do sth．我们应该尽力帮助他人．汉译英基本步骤1．理解通读并透彻理解原文含义2．翻译确定译文句子的时态、句型、结构和用词3．审校首先检查译文是否正确地转述了原文内容，是否有错译和漏译；其次，检查是否有语言上的明显错误，如时态、语态、单复数、拼写、大小写、标点符号等．发现错误，及时改正．31.【答案】Dear Jack，How's everything going？I'm excited to tell you that I've joined a Chinese painting club in our school this term．（社团名称）Members of our club meet once a week．We have different activities and I enjoy all of them．We've invited some well-known painters to the club to talk about the history of Chinese painting，and to teach us the basic techniques of drawing．At the weekend，we go to visit art galleries，where we study the masterpieces of famous artists and discuss how we understand them．【高分句型一】Of course，we practice painting whenever we can spare some time．【高分句型二】（至少三个社团活动）I'm so proud of myself that now I understand Chinese painting a lot better，and I've learned how to draw．I love Chinese painting．（你的收获和感受）Best regards，Li Hua【解析】高分句型一：At the weekend，we go to visit art galleries，where we study the masterpieces of famous artists and discuss how we understand them．译文：周末，我们去参观美术馆，在那里我们学习著名艺术家的杰作，并讨论我们如何理解它们．分析：where引导定语从句．。
北京市丰台区2019-2020学年高一上学期期中考试物理(A卷)试题+Word版含答案
丰台区2019-2020学年度第一学期期中考试联考高一物理（A 卷）考试时间：90分钟第I 卷（选择题共40分）一．选择题（每小题2分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。
） 1.下列物理量中，属于矢量的是（ ）A. 速率B. 位移C. 长度D. 时间2. 2019年10月6日多哈世界田径锦标赛正式落下帷幕。
本届世锦赛上，中国队创造了26年来的最佳战绩，金牌数、奖牌数和团体总分全面超越上届。
在考查下列运动员的比赛成绩时，可视为质点的是 ()3. 如图1所示的时间轴上标出的是下列哪些时间或时刻( )图1 A ．第4 s 初 B ．第3 s 末 C ．第3 sD ．前3 s4. 某辆汽车启动后经过15s ，速度表的指针如图2所示。
由图可知 ( ) A ．此时汽车的瞬时速度是70 m/s B ．此时汽车的瞬时速度是70 km/h C ．启动后15s 内汽车的平均速度是70m/s D ．启动后15s 内汽车的平均速度是70km/h5. 在公式v ＝v 0＋at 和x ＝v 0t ＋12at 2中涉及了五个物理量，除t 是标量外，其他四个量v 、v 0、a 、x 都是矢量，在直线运动中四个矢量的方向都在一条直线上，当取其中一个量的方向为正方向时，其他三个量的方向与此相同的取正值，与此相反的取负值，若取速度v 0方向为正方向，以下说法正确的是( )A ．匀加速直线运动中a 取负值B ．匀加速直线运动中a 取正值C ．匀减速直线运动中a 取正值D ．无论匀加速直线运动还是匀减速直线运动a 都取正值6. 某人站在楼房顶层从O 点竖直向上抛出一个小球，上升的最大高度为20 m ，然后落回到抛图2出点O 下方25 m 处的B 点，则小球在这一运动过程中通过的路程和位移分别为(规定竖直向上为正方向) ( ) A ．25 m 、25 m B ．65 m 、25 m C ．25 m 、－25 mD ．65 m 、－25 m7. 小球以v 1=3m/s 的速度水平向右运动，碰到墙壁经Δt =0.01s 后以v 2=2m/s 的速度沿同一直线反向弹回，如图3所示。
2020-2021学年北京市丰台区高一(下)期中数学试卷(A卷)
2020-2021学年北京市丰台区高一（下）期中数学试卷（A 卷）试题数：20，总分：1001.（单选题，4分）设i 是虚数单位，则复数z=1+3i 的共轭复数是（ ）A.1+3iB.1-3iC.-1+3iD.-1-3i2.（单选题，4分）函数f （x ）=cos2x 的图象中，相邻两条对称轴之间的距离是（ ）A.2πB.πC. π2D. π4 3.（单选题，4分）已知向量 a ⃗ =（4，x ）， b ⃗⃗ =（x ，1），那么“x=2”是“ a ⃗ || b⃗⃗ ”的（ ） A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.（单选题，4分）函数 f (x )=sin (2x +π4) 的图象，向右平移 π4 个单位长度后得到函数g （x ）的解析式为（ ）A.g （x ）=sin2xB. g (x )=sin (2x +π4)C. g (x )=sin (2x −π4)D. g (x )=sin (2x +3π4) 5.（单选题，4分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点， AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ）A. −13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗B. 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗C. 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−34AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗D. 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−56AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 6.（单选题，4分）下列各数a=sin25°cos27°+cos25°sin27°，b=2sin27°cos27°，c=2cos 222°-1， d =2tan22.5°1−tan 222.5° 中，最大的是（ ）A.aB.bC.cD.d7.（单选题，4分）已知向量 BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ 12 ， √32 ）， BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ √32 ， 12 ），则∠ABC=（ ） A.30°B.60°C.90°D.120°8.（单选题，4分）函数f （x ）=2sin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ π2 ）的部分图象如图所示，则f （π）=（ ）A.- √3B.- √32C. √32D. √39.（单选题，4分）已知△ABC 是边长为1的等边三角形，设D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE=EF ，则 AF⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A.0B. 14C. 18D. 5810.（单选题，4分）已知平面上的两个单位向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ 满足 a ⃗ ⋅ b ⃗⃗ = 45 ，若m∈R ，则| a ⃗ +m b ⃗⃗ |的最小值为（ ）A. 52B. 25C. 53D. 3511.（填空题，4分）已知i 为虚数单位，若（1+i ）z=2i ，则|z|=___ ．12.（填空题，4分）已知非零向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ 满足| b ⃗⃗ |=2| a ⃗ |，且（ a ⃗ + b ⃗⃗ ）⊥ a ⃗ ，则 a ⃗ 与 b⃗⃗ 的夹角为___ ．13.（填空题，4分）在△ABC 中，a= √2 b ，b= √3c ，则最大角的余弦值为___ ．14.（填空题，4分）已知向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ 是单位向量， a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角为120°，则（ a ⃗ + b⃗⃗ ）⋅ b ⃗⃗ =___ ，| a ⃗ +2 b⃗⃗ |=___ ． 15.（填空题，4分）一艘货船以20km/h 的速度向东航行，货船在A 处看到一个灯塔P 在北偏东60°方向上，行驶4小时后，货船到达B 处，此时看到灯塔P 在北偏东15°方向上，这时船与灯塔的距离为___ km ．16.（填空题，4分）梯形ABCD 中，AB || CD ，AB=2，AD=CD=1，∠BAD=90°，点P 在线段BC 上运动．（1）当点P 是线段BC 的中点时， BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ； （2） PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是___ ． 17.（问答题，9分）已知A （-1，2），B （3，3），C （t ，1）．（Ⅰ）当A ，B ，C 三点共线时，求实数t 的值；（Ⅱ）若∠ABC=90°，求实数t 的值；（Ⅲ）当t=6时，点A ，B ，C ，D 构成平行四边形ABCD ，求点D 的坐标．18.（问答题，9分）已知函数f （x ）=sin 2x ．（Ⅰ）求 f (π3) 的值；（Ⅱ）若 f (α)=23 ，求cos2α的值；（Ⅲ）设函数 g (x )=f (x )+√3sinxcosx ，求函数g （x ）的单调递增区间．19.（问答题，9分）在△ABC中，sinA+√3cosA=0，a=√19，b=2．（Ⅰ）求A的大小及边c的值；（Ⅱ）若D是BC边上的一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．20.（问答题，9分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+b2=√3ab+ c2．（Ⅰ）求C的值；（Ⅱ）求cosA+sinB的最大值．2020-2021学年北京市丰台区高一（下）期中数学试卷（A卷）参考答案与试题解析试题数：20，总分：1001.（单选题，4分）设i是虚数单位，则复数z=1+3i的共轭复数是（）A.1+3iB.1-3iC.-1+3iD.-1-3i【正确答案】：B【解析】：由已知直接利用共轭复数的概念得答案．【解答】：解：∵z=1+3i，∴ z=1−3i，故选：B．【点评】：本题考查复数的基本概念，是基础题．2.（单选题，4分）函数f（x）=cos2x的图象中，相邻两条对称轴之间的距离是（）A.2πB.πC. π2D. π4【正确答案】：C【解析】：由题意利用余弦函数的周期性，可得相邻两条对称轴之间的距离为T2，计算求得结果．【解答】：解：函数f（x）=cos2x的图象中，相邻两条对称轴之间的距离为T2 = πω= π2，故选：C．【点评】：本题主要考查余弦函数的周期性，属于基础题．3.（单选题，4分）已知向量 a ⃗ =（4，x ）， b ⃗⃗ =（x ，1），那么“x=2”是“ a ⃗ || b⃗⃗ ”的（ ） A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：先化简命题，再讨论充要性．【解答】：解：向量 a ⃗ =（4，x ）， b ⃗⃗ =（x ，1）， a ⃗ || b⃗⃗ ，则4=x 2，解之得x=±2， 则“x=2”是“x=±2”的充分而不必要条件，即向量 a ⃗ =（4，x ）， b ⃗⃗ =（x ，1），那么“x=2”是“ a ⃗ || b⃗⃗ ”的充分而不必要条件， 故选：A ．【点评】：本题考查命题充要性，以及向量平行，属于基础题．4.（单选题，4分）函数 f (x )=sin (2x +π4) 的图象，向右平移 π4 个单位长度后得到函数g （x ）的解析式为（ ）A.g （x ）=sin2xB. g (x )=sin (2x +π4)C. g (x )=sin (2x −π4)D. g (x )=sin (2x +3π4) 【正确答案】：C【解析】：直接利用三角函数的关系式的平移变换的应用求出结果．【解答】：解：函数 f (x )=sin (2x +π4) 的图象，向右平移 π4 个单位长度后得到函数g （x ）=sin （2x- π2+π4 ）=sin （2x- π4 ）的图象．故选：C ．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数的关系式的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．5.（单选题，4分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点， AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3AF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ）A. −13AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗C. 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−34AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗D. 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−56AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗【正确答案】：D【解析】：利用三角形法则即可求解．【解答】：解：在平行四边形中，由已知可得：DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 13AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)−AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+16AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−56AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故选：D ．【点评】：本题考查了平面向量基本定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．6.（单选题，4分）下列各数a=sin25°cos27°+cos25°sin27°，b=2sin27°cos27°，c=2cos 222°-1， d =2tan22.5°1−tan 222.5° 中，最大的是（ ）A.aB.bC.cD.d【正确答案】：D【解析】：先结合二倍角公式进行化简，然后结合正弦函数的单调性即可比较大小．【解答】：解：a=sin25°cos27°+cos25°sin27°=sin42°，b=2sin27°cos27°=sin54°，c=2cos 222°-1=cos44°=sin46°， d =2tan22.5°1−tan 222.5° =tan45°=1， 因为y=sinx 在（0， π2 ）上单调递增，所以sin42°＜sin46°＜sin54°＜1=tan45°，所以a ＜c ＜b ＜d ．即最大的为d ．故选：D ．【点评】：本题主要考查了二倍角公式及正弦函数的单调性的应用，属于基础题．7.（单选题，4分）已知向量 BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ 12 ， √32 ）， BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ √32 ， 12 ），则∠ABC=（ ） A.30°B.60°C.90°D.120°【正确答案】：A【解析】：根据题意，由 BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、 BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标可得则| BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |、| BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |、 BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值，由向量夹角公式可得cos∠ABC 的值，进而分析可得答案．【解答】：解：根据题意，向量 BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ 12 ， √32 ）， BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ √32 ， 12 ）， 则| BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，| BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则 BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 12 × √32 + 12 × √32 = √32， 则cos∠ABC= BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = √32 ， 又由0°≤∠ABC≤180°，则∠ABC=30°，故选：A ．【点评】：本题考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题．8.（单选题，4分）函数f （x ）=2sin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ π2）的部分图象如图所示，则f （π）=（ ）A.- √3B.- √32C. √32D. √3【正确答案】：A【解析】：由已知函数图象求得T ，进一步得到ω，再由五点作图的第二点求得φ，则函数解析式可求，从而可得f （π）．【解答】：解：由图可知， T 2 = 5π12 -（- π12 ）= π2 ，则T=π，∴ω=2．又2× 5π12 +φ= π2 ，∴φ=- π3 ．则f （x ）=2sin （2x- π3 ），∴f （π）=2sin （2π- π3 ）=2sin （- π3 ）=- √3 ．故选：A ．【点评】：本题主要考查由函数的部分图象求函数解析式，属于中档题．9.（单选题，4分）已知△ABC 是边长为1的等边三角形，设D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE=EF ，则 AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A.0B. 14C. 18D. 58【正确答案】：B【解析】：用 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出 AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、 BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，再计算数量积．【解答】：解：△ABC 是边长为1的等边三角形，设D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE=EF ，如图，则 AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）• BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 12AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•(AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) = 12AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2 - 12AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 12−12×1×1×12 = 14 ． 故选：B ．【点评】：本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．10.（单选题，4分）已知平面上的两个单位向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ 满足 a ⃗ ⋅ b ⃗⃗ = 45，若m∈R ，则| a ⃗ +m b ⃗⃗ |的最小值为（ ）A. 52B. 25C. 53D. 35【正确答案】：D【解析】：根据条件及 |a ⃗+mb ⃗⃗|=√(a ⃗+mb ⃗⃗)2进行数量积的运算即可得出 |a ⃗+mb⃗⃗|=√m 2+85m +1 ，然后配方即可求出最小值．【解答】：解：∵ |a ⃗|=|b ⃗⃗|=1，a ⃗•b ⃗⃗=45， ∴ |a ⃗+mb ⃗⃗|=√(a ⃗+mb ⃗⃗)2 = √a ⃗2+2ma ⃗•b ⃗⃗+m 2b ⃗⃗2 = √m 2+85m +1 = √(m +45)2+925， ∴ m =−45 时， |a ⃗+mb ⃗⃗| 取最小值 35． 故选：D ．【点评】：本题考查了单位向量的定义，向量数量积的运算，向量长度的求法，配方求二次函数最值的方法，考查了计算能力，属于中档题．11.（填空题，4分）已知i 为虚数单位，若（1+i ）z=2i ，则|z|=___ ．【正确答案】：[1] √2【解析】：先将z 表示出来，然后利用复数模的运算性质求解即可．【解答】：解：因为（1+i ）z=2i ，所以 z =2i 1+i ，故 |z |=|2i||1+i|=√2 = √2 ． 故答案为： √2 ．【点评】：本题考查了复数模的求解，主要考查了复数模的运算性质的运用，考查了运算能力，属于基础题．12.（填空题，4分）已知非零向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ 满足| b ⃗⃗ |=2| a ⃗ |，且（ a ⃗ + b ⃗⃗ ）⊥ a ⃗ ，则 a ⃗ 与 b⃗⃗ 的夹角为___ ． 【正确答案】：[1] 2π3【解析】：据题意，设 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角为θ，| a ⃗ |=t ，则| b⃗⃗ |=2t ，由向量垂直的判断方法可得（ a ⃗ + b ⃗⃗ ）• a ⃗ = a ⃗2+ a ⃗ • b⃗⃗ =t 2+2t 2cosθ=0，解可得cosθ的值，即可得答案．【解答】：解：根据题意，设 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角为θ，| a ⃗ |=t ，则| b⃗⃗ |=2t ， 若（ a ⃗ + b ⃗⃗ ）⊥ a ⃗ ，则（ a ⃗ + b ⃗⃗ ）• a ⃗ = a ⃗2+ a ⃗ • b ⃗⃗ =t 2+2t 2cosθ=0，变形可得：cosθ=- 12，又由0≤θ≤π，则θ= 2π3，故答案为：2π3．【点评】：本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直的判断以及向量夹角的计算，属于基础题．13.（填空题，4分）在△ABC中，a= √2 b，b= √3c，则最大角的余弦值为___ ．【正确答案】：[1] −√33【解析】：根据条件可得出a= √6c，从而得出A为最大角，然后根据余弦定理即可求出cosA的值．【解答】：解：∵ a=√2b，b=√3c，∴ a=√6c，∴a最大，A角最大，∴根据余弦定理，cosA=b2+c2−a22bc =2222√3c2= −√33．故答案为：−√33．【点评】：本题考查了大角对大边定理，余弦定理，考查了计算能力，属于基础题．14.（填空题，4分）已知向量a⃗，b⃗⃗是单位向量，a⃗与b⃗⃗的夹角为120°，则（a⃗ + b⃗⃗）⋅b⃗⃗=___ ，| a⃗ +2 b⃗⃗ |=___ ．【正确答案】：[1] 12; [2] √3【解析】：利用向量的数量积以及向量的模的运算法则转化求解即可．【解答】：解：向量a⃗，b⃗⃗是单位向量，a⃗与b⃗⃗的夹角为120°，则（a⃗ + b⃗⃗）⋅b⃗⃗ = a⃗•b⃗⃗ + b⃗⃗2 = 1×1×(−12)+1 = 12．| a⃗ +2 b⃗⃗ |= √a⃗2+4a⃗•b⃗⃗+4b⃗⃗2 = √1+4×1×1×(−12)+4 = √3．故答案为：12；√3．【点评】：本题考查向量的数量积的求法，向量的模的运算法则的应用，是基础题．15.（填空题，4分）一艘货船以20km/h 的速度向东航行，货船在A 处看到一个灯塔P 在北偏东60°方向上，行驶4小时后，货船到达B 处，此时看到灯塔P 在北偏东15°方向上，这时船与灯塔的距离为___ km ．【正确答案】：[1]40 √2【解析】：直接利用三角形内角和定理，正弦定理的应用求出结果．【解答】：解：如图所示：根据题意知：在△ABP 中，由于∠PAB=30°，∠ABP=105°，AB=80km ，所以∠P=45°，利用正弦定理： BP sin∠PAB =AB sin∠P ，整理得 BP12=√22解得BP=40 √2 ．故答案为：40 √2 ．【点评】：本题考查的知识要点：三角形内角和定理，正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．16.（填空题，4分）梯形ABCD 中，AB || CD ，AB=2，AD=CD=1，∠BAD=90°，点P 在线段BC 上运动．（1）当点P 是线段BC 的中点时， BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ； （2） PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是___ ． 【正确答案】：[1]-1; [2] 12【解析】：（1）根据题意，建立坐标系，求出A 、B 、C 、D 的坐标，由中点坐标公式可得P的坐标，即可得向量 BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，由数量积的计算公式计算可得答案； （2）设P 的坐标为（m ，n ），分析m 、n 的关系，表示向量 PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，由数量积的计算公式可得 PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的表达式，由二次函数的性质分析可得答案．【解答】：解：（1）根据题意，如图，建立坐标系，则A （0，0），B （2，0），D （0，1），C （1，1），点P 是线段BC 的中点，则P （ 32 ， 12 ），BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1，1）， AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ 32 ， 12）， 则 BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1）× 32 +1× 12=-1； （2）B （2，0），C （1，1），直线BC 的方程为x+y=2，设P 的坐标为（m ，n ），则m+n=2，（0≤n≤1），PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2-m ，-n ）， AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（m ，n ） 则 PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2-m ）m-n 2=-2n 2+2n=-2（n- 12 ）2+ 12 ≤ 12 ，即 PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是 12． 故答案为：（1）-1；（2） 12 ．【点评】：本题考查向量数量积的计算和性质的应用，涉及，属于基础题．17.（问答题，9分）已知A （-1，2），B （3，3），C （t ，1）．（Ⅰ）当A ，B ，C 三点共线时，求实数t 的值；（Ⅱ）若∠ABC=90°，求实数t 的值；（Ⅲ）当t=6时，点A ，B ，C ，D 构成平行四边形ABCD ，求点D 的坐标．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）分别求出 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，由A ，B ，C 三点共线，能求出t ． （Ⅱ）由∠ABC=90°，得 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⊥BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用向量垂直的性质能求出t ． （Ⅲ）当t=6时，C （6，1），平行四边形ABCD 中，设D （x ，y ），由 BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，能求出D 点坐标．【解答】：解：（Ⅰ） AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（4，1）， BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（t-3，-2）， ∵A ，B ，C 三点共线，∴t -3+8=0，解得t=-5．（Ⅱ）∵∠ABC=90°，∴ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⊥BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4（t-3）+1×（-2）=0， 解得t= 72 ．（Ⅲ）当t=6时，C （6，1），平行四边形ABCD 中，设D （x ，y ），由 BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得（-4，-1）=（x-6，y-1）， 解得x=2，y=0，∴D （2，0）．【点评】：本题考查实数值、点的坐标的求法，涉及到平面向量的坐标运算、向量共线、向量垂直、向量相等的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．18.（问答题，9分）已知函数f （x ）=sin 2x ．（Ⅰ）求 f (π3) 的值；（Ⅱ）若 f (α)=23 ，求cos2α的值；（Ⅲ）设函数 g (x )=f (x )+√3sinxcosx ，求函数g （x ）的单调递增区间．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由题意根据函数的解析式，直接求得f （ π3 ） 得值．（Ⅱ）由题意用二倍角的余弦公式，计算求得结果．（Ⅲ）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求出函数g （x ）的单调递增区间．【解答】：解：（Ⅰ）（1）由于函数f （x ）=sin 2x ，故f （ π3 ）= sin 2(π3) = 34 ．（Ⅱ）若 f (α)=23 =sin 2α，∴cos2α=1-2sin 2α=- 13 ．（Ⅲ）∵函数 g (x )=f (x )+√3sinxcosx =sin 2x+ √32 sin2x=1−cos2x 2 + √32 sin2x=sin （2x- π6 ）+ 12 ， 令2kπ- π2 ≤2x - π6 ≤2kπ+ π2 ，求得kπ- π6 ≤x≤kπ+ π3 ，求得函数g （x ）的单调递增区间为[kπ- π6 ，kπ+ π3 ]，k∈Z ．【点评】：本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，属于中档题．19.（问答题，9分）在△ABC 中， sinA +√3cosA =0 ， a =√19 ，b=2．（Ⅰ）求A 的大小及边c 的值；（Ⅱ）若D 是BC 边上的一点，且AD⊥AC ，求△ABD 的面积．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据两角和的正弦公式求出A ，再根据余弦定理求出c 即可；（Ⅱ）根据余弦定理求出cosC ，从而求出CD ，再求出BD 的值，根据余弦定理求出cosB ，从而求出sinB ，再求出三角形的面积即可．【解答】：解：（Ⅰ）由 sinA +√3cosA =0 ，得 12 sinA+ √32 cosA=0，故sinAcos π3 +cosAsin π3 =0，故sin （A+ π3 ）=0，∵A 是△ABC 的内角，∴A= 2π3 ，cosA=- 12 ，在△ABC 中，由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bccosA ，得：19=4+c 2-4c•（- 12 ），解得：c=3或c=-5（舍），故A= 2π3 ，c=3．（Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理c 2=a 2+b 2-2abcosC ，得：9=19+4-4 √19 cosC ，解得：cosC= 7√1938 ，则RT△ADC中，cosC= ACCD ，解得：CD= 4√197，∴BD=BC-CD= 3√197，在△ABC中，由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，得4=19+9-6 √19 cosB，解得：cosB= 4√1919，故sinB= √5719，∴S△ABD= 12•AB•BD•sinB= 12×3× 3√197• √5719= 9√314．【点评】：本题考查了余弦定理的应用以及求三角形的面积公式，考查转化思想，是中档题．20.（问答题，9分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+b2=√3ab+ c2．（Ⅰ）求C的值；（Ⅱ）求cosA+sinB的最大值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据a2+b2=√3ab+c2及余弦定理即可得出cosC=√32，从而求出C=π6；（Ⅱ）可得出B= 5π6−A，从而可得出cosA+sinB=32cosA+√32sinA，然后根据两角和的正弦公式可得出cosA+sinB=√3sin(A+π3)，这样即可求出cosA+sinB的最大值．【解答】：解：（Ⅰ）∵ a2+b2=√3ab+c2，∴ a2+b2−c2=√3ab，根据余弦定理，a2+b2-c2=2abcosC，∴ 2abcosC=√3ab，∴ cosC=√32，且C∈（0，π），∴ C=π6；（Ⅱ）∵ C=π6，∴ A+B=5π6，∴ B=5π6−A，∴ cosA+sinB=cosA+sin(5π6−A)= cosA+12cosA+√32sinA= 32cosA+√32sinA= √3(√32cosA+12sinA)= √3sin(A+π3)，且0＜A＜5π6，∴ A+π3=π2，即A=π6时，cosA+sinB取最大值√3．【点评】：本题考查了余弦定理，两角和的正弦公式，正弦函数的最大值，考查了计算能力，属于中档题．。
2023-2024学年北京市丰台区高二(上)期中数学试卷(A卷)【答案版】
2023-2024学年北京市丰台区高二（上）期中数学试卷（A 卷）一、选择题：共10小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．直线x +y ＝0的倾斜角为（ ） A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°2．已知圆C ：（x +1）2+（y ﹣1）2＝4，则圆心C 与半径r 分别为（ ） A ．C （1，﹣1），r ＝4 B ．C （﹣1，1），r ＝4C ．C （1，﹣1），r ＝2D ．C （﹣1，1），r ＝23．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，则D 1B →=（ ）A ．a →+b →−c →B ．a →+b →+c →C ．a →−b →−c →D ．−a →+b →+c →4．已知直线l 经过点M （2，1），且与直线x ﹣2y +1＝0垂直，则直线l 的方程为（ ） A ．x +2y ﹣4＝0B ．2x +y ﹣5＝0C ．2x ﹣y ﹣3＝0D ．x ﹣2y ＝05．若直线l 的方向向量为u →，平面α的法向量为n →，则下列选项中能使l ⊥α成立的是（ ） A ．u →=（2，1，1），n →=（﹣1，1，1） B ．u →=（1，2，0），n →=（﹣2，﹣4，0） C ．u →=（1，2，4），n →=（1，0，1） D ．u →=（1，﹣1，2），n →=（0，3，1）6．已知直线l 1：ax +（a +2）y +1＝0，l 2：x +ay ﹣2＝0，若l 1‖l 2，则实数a ＝（ ） A ．﹣1B ．2C ．﹣1或2D ．﹣2或07．若直线l ：y ＝kx +3与圆C ：x 2+y 2＝4相交于A ，B 两点，且∠AOB =π3（其中O 为原点），则k 的值为（ ） A ．−√3B ．−√3或√3C ．√2D ．−√2或√28．已知圆C ：x 2+y 2﹣mx +3y +3＝0关于直线l ：mx +y ﹣m ＝0对称，则实数m ＝（ ）A ．−√3B ．﹣1C ．3D ．﹣1或39．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．如图，已知一个正八面体ABCDEF 的棱长为2，M ，N 分别为棱AD ，AC 的中点，则直线BN 和FM 夹角的余弦值为（ ）A ．56B ．√116C ．√216D ．√15610．已知圆C 1：x 2+y 2=1与圆C 2：(x −4)2+(y −2)2=1，过动点M （a ，b ）分别作圆C 1，圆C 2的切线MA ，MB （A ，B 分别为切点），若|MA |＝|MB |，则√(a −3)2+(b +2)2的最小值为（ ） A ．√55B ．2√55C ．3√55D ．4√55二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.11．已知直线l 的斜率为2，且在y 轴上的截距为1，则直线l 的方程为 ．12．已知i →，j →，k →为空间两两垂直的单位向量，且a →=i →+2j →−k →，b →=3i →−j →+4k →，则a →•b →= ． 13．已知A （1，1），B （4，0），C （0，n ）三点共线，则n ＝ ．14．已知圆C ：x 2+y 2﹣2nx +2ny +2n 2﹣8＝0上存在两个点到点A （﹣1，1）的距离均为√2，则实数n 的一个取值为 ．15．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 是空间中任意一点．给出下列四个结论： ①若点P 在线段A 1C 1上运动，则总有CP ⊥BD ；②若点P 在线段AD 1上运动，则三棱锥B ﹣DPC 1体积为定值； ③若点P 在线段A 1B 上运动，则直线CP 与平面ACD 1所成角为定值；④若点P 满足CP →=CD →+λCC 1→(0≤λ≤1)，则过点A 1，P ，C 三点的正方体截面面积的取值范围为[√62，√2]．其中所有正确结论的序号为 ．三、解答题：共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16．（13分）已知圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝4． （Ⅰ）求经过点（3，﹣2）的圆C 的切线方程； （Ⅱ）求直线l ：2x ﹣y +2＝0被圆C 截得的弦长．17．（13分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1＝AC ＝BC ，AC ⊥BC ，D ，E 分别是A 1B 1，CC 1的中点．（Ⅰ）求证：C 1D ⊥平面AA 1B 1B ；（Ⅱ）求直线BD 与平面A 1BE 所成角的正弦值．18．（14分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠BCD =π3，AB ＝1，PB ＝2，PD ⊥CD ，PB ⊥BD ，N 为棱PC 的中点．条件①：BC ＝2；条件②：平面PBD ⊥平面ABCD ． 从条件①和条件②这两个条件中选择一个作为已知，完成下列问题： （Ⅰ）求证：AB ⊥PB ；（Ⅱ）若点M 在线段AN 上，且点M 到平面BDN 的距离为√55，求线段CM 的长． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．19．（15分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 的圆心在直线l ：y ＝x ﹣1上，且半径为1． （Ⅰ）若圆心C 也在直线y ＝﹣2x +8上，求圆C 的方程；（Ⅱ）已知点N （0，3），若圆C 上存在点M ，使|MN |＝|MO |，求圆心C 的横坐标的取值范围．20．（15分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，平面CDE⊥平面ABCD，AF‖DE，DE⊥CD，DE=3AF=3√6．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求平面BEF与平面BDE夹角的余弦值；（Ⅲ）线段CE上是否存在点P，使得AP∥平面BEF？若存在，指出点P的位置并证明；若不存在，请说明理由．21．（15分）在平面直角坐标系中，对于点A（x1，y1），B（x2，y2），定义ρ（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为点A到点B的“折线距离”．（Ⅰ）已知A（1，2），B（3，0），求ρ（A，B）；（Ⅱ）已知直线l：√3x+y−4=0．（i）求坐标原点O与直线l上一点的“折线距离”的最小值；（ii）求圆C：x2+y2＝1上一点与直线l上一点的“折线距离”的最小值．2023-2024学年北京市丰台区高二（上）期中数学试卷（A 卷）参考答案与试题解析一、选择题：共10小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．直线x +y ＝0的倾斜角为（ ） A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°解：∵直线x +y ＝0的斜率为﹣1， 设直线x +y ＝0的倾斜角为α， 又0≤α＜180°， ∴α＝135°． 故选：D ．2．已知圆C ：（x +1）2+（y ﹣1）2＝4，则圆心C 与半径r 分别为（ ） A ．C （1，﹣1），r ＝4 B ．C （﹣1，1），r ＝4C ．C （1，﹣1），r ＝2D ．C （﹣1，1），r ＝2解：圆C ：（x +1）2+（y ﹣1）2＝4，可得圆心C 与半径r 分别为C （﹣1，1），r ＝2． 故选：D ．3．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，则D 1B →=（ ）A ．a →+b →−c →B ．a →+b →+c →C ．a →−b →−c →D ．−a →+b →+c →解：D 1B →=D 1D →+DB →=A 1A →+DC →+DA →=−A 1A →+AB →−AD →=−c →+a →−b →故选：C ．4．已知直线l 经过点M （2，1），且与直线x ﹣2y +1＝0垂直，则直线l 的方程为（ ） A ．x +2y ﹣4＝0B ．2x +y ﹣5＝0C ．2x ﹣y ﹣3＝0D ．x ﹣2y ＝0解：设与直线x ﹣2y +1＝0垂直的直线方程为2x +y +m ＝0， 因为直线过M （2，1），所以4+1+m ＝0，即m ＝﹣5，此时直线方程为2x +y ﹣5＝0．故选：B．5．若直线l的方向向量为u→，平面α的法向量为n→，则下列选项中能使l⊥α成立的是（）A．u→=（2，1，1），n→=（﹣1，1，1）B．u→=（1，2，0），n→=（﹣2，﹣4，0）C．u→=（1，2，4），n→=（1，0，1）D．u→=（1，﹣1，2），n→=（0，3，1）解：直线l的方向向量为u→，平面α的法向量为n→，对于A，μ→⋅n→=−2+1+1＝0，则l∥α或l⊂α，故A错误；对于B，μ→=−12n→，则l⊥α，故B正确；对于C，μ→≠λn→，∴不能使l⊥α成立，故C错误；对于D，μ→≠λn→，∴不能使l⊥α成立，故D错误．故选：B．6．已知直线l1：ax+（a+2）y+1＝0，l2：x+ay﹣2＝0，若l1‖l2，则实数a＝（）A．﹣1B．2C．﹣1或2D．﹣2或0解：直线l1：ax+（a+2）y+1＝0，l2：x+ay﹣2＝0，l1‖l2，则a•a＝a+2，解得a＝2或﹣1，经经验，当a＝2或﹣1时，直线l1，l2不重合，故a＝2或﹣1．故选：C．7．若直线l：y＝kx+3与圆C：x2+y2＝4相交于A，B两点，且∠AOB=π3（其中O为原点），则k的值为（）A．−√3B．−√3或√3C．√2D．−√2或√2解：∵y＝kx+1与圆x2+y2＝1相交于点（0，1），设A（0，1），又∵∠AOB=π3，∴△AOB是等边三角形，∴圆心（0，0）到直线的距离d=|3|√1+k=√3，解得k ＝±√2． 故选：D ．8．已知圆C ：x 2+y 2﹣mx +3y +3＝0关于直线l ：mx +y ﹣m ＝0对称，则实数m ＝（ ） A ．−√3B ．﹣1C ．3D ．﹣1或3解：因为圆C ：x 2+y 2﹣mx +3y +3＝0，可得圆心C （m 2，−32）， 因为圆C ：x 2+y 2﹣mx +3y +3＝0关于直线l ：mx +y ﹣m ＝0对称， 所以圆心C 在直线l ：mx +y ﹣m ＝0上， ∴m ×m 2−32−m ＝0，∴m ＝3或m ＝﹣1， 当m ＝﹣1时，圆C ：x 2+y 2+x +3y +3＝0，D 2+E 2﹣4F ＝1+9﹣4×3＜0， 方程不表示圆，故m ＝﹣1舍去，当m ＝3时，圆C ：x 2+y 2﹣3x +3y +3＝0，D 2+E 2﹣4F ＝9+9﹣4×3＞0， 方程表示圆，故m ＝3符合题意， 综上所述：m ＝3． 故选：C ．9．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．如图，已知一个正八面体ABCDEF 的棱长为2，M ，N 分别为棱AD ，AC 的中点，则直线BN 和FM 夹角的余弦值为（ ）A ．56B ．√116C ．√216D ．√156解：取BCDE 各边中点H ，K ，I ，G ，连接HI ，KG ，FE ，由正八面体的性质可得三线交于一点，设为O ，由正八面体的性质可得HI ，KG ，FE 两两垂直，以O 为坐标原点，HI ，KG ，FE 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则B （1，﹣1，0），C （1，1，0），A （0，0，√2），D （﹣1，1，0），F （0，0，−√2）， 则N （12，12，√22），M （−12，12，√22）， 所以BN →=（−12，32，√22），FM →=（−12，12，3√22）， 所以cos ＜BN →，FM →＞=BN →⋅FM →|BN →|⋅|FM →|=14+34+64√124×√204=52√3×√5=√156，所以直线BN 和FM 夹角的余弦值为√156． 故选：D ．10．已知圆C 1：x 2+y 2=1与圆C 2：(x −4)2+(y −2)2=1，过动点M （a ，b ）分别作圆C 1，圆C 2的切线MA ，MB （A ，B 分别为切点），若|MA |＝|MB |，则√(a −3)2+(b +2)2的最小值为（ ） A ．√55B ．2√55C ．3√55D ．4√55解：∵过动点M （a ，b ）分别作圆C 1，圆C 2的切线MA ，MB （A 、B 分别为切点），若|MA |＝|MB |， ∴|AC 1|2﹣1＝|AC 2|2﹣1，即a 2+b 2﹣1＝（a ﹣4）2+（b ﹣2）2﹣1，即2a +b ﹣5＝0，即动点M （a ，b ）在直线2x +y ﹣5＝0上， √(a −3)2+(b +2)2的几何意义为M 到定点（3，﹣2）的距离， 则点（3，﹣2）到直线2x +y ﹣5＝0的距离为√222=√55，故√(a −3)2+(b +2)2的最小值为√55． 故选：A ．二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.11．已知直线l 的斜率为2，且在y 轴上的截距为1，则直线l 的方程为 y ＝2x +1 ． 解：直线l 的斜率为k ＝2，且在y 轴上的截距为b ＝1， 所以直线l 的方程为y ＝2x +1． 故答案为：y ＝2x +1．12．已知i →，j →，k →为空间两两垂直的单位向量，且a →=i →+2j →−k →，b →=3i →−j →+4k →，则a →•b →= ﹣3 ． 解：∵i →，j →，k →为空间两两垂直的单位向量，∴|i →|=|j →|=|k →|=1，i →⋅j →=i →⋅k →=j →⋅k →=0， ∴a →⋅b →=（i →+2j →−k →）⋅(3i →−j →+4k →)=3i →2−2j →2−4k →2=3﹣2﹣4＝﹣3． 故答案为：﹣3．13．已知A （1，1），B （4，0），C （0，n ）三点共线，则n ＝ 43．解：A （1，1），B （4，0），C （0，n ）， 则AB →=(3，−1)，BC →=(−4，n)， A （1，1），B （4，0），C （0，n ）三点共线， 则3n ＝（﹣1）×（﹣4），解得n =43． 故答案为：43．14．已知圆C ：x 2+y 2﹣2nx +2ny +2n 2﹣8＝0上存在两个点到点A （﹣1，1）的距离均为√2，则实数n 的一个取值为 1（答案不唯一） ．解：A （﹣1，1）的距离均为√2的点是以√2为半径的圆A ，方程为：（x +1）2+（y ﹣1）2＝2， 圆C ：x 2+y 2﹣2nx +2ny +2n 2﹣8＝0， 圆心为C （n ，﹣n ），半径2√2，圆心距|AC |=√(n +1)2+(−n −1)2=√2|n +1|，由题意可得两圆相交， 即√2＜√2|n +1|＜3√2，解得 n ∈（﹣4，﹣2）∪（0，2）． 故答案为：1（答案不唯一）．15．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 是空间中任意一点．给出下列四个结论： ①若点P 在线段A 1C 1上运动，则总有CP ⊥BD ；②若点P 在线段AD 1上运动，则三棱锥B ﹣DPC 1体积为定值； ③若点P 在线段A 1B 上运动，则直线CP 与平面ACD 1所成角为定值；④若点P 满足CP →=CD →+λCC 1→(0≤λ≤1)，则过点A 1，P ，C 三点的正方体截面面积的取值范围为[√62，√2]．其中所有正确结论的序号为 ①②④ ． 解：对①，如图，连接B 1D 1，A 1C ，在正方体中，B 1D 1⊥A 1C 1，B 1D 1⊥CC 1，CC 1∩A 1C 1＝C 1， CC 1，A 1C 1⊂平面A 1C 1C ，所以B 1D 1⊥平面A 1C 1C ，又CP ⊂平面A 1C 1C ，所以B 1D 1⊥CP ，又正方体中，B 1D 1∥BD ，所以CP ⊥BD ，故①正确； 对②，如图，因为AD 1∥BC 1，AD 1⊄平面BDC 1，BC 1⊂平面BDC 1，所以AD 1∥平面BDC 1， 所以P 到平面BDC 1的距离为定值，因为V B−DPC 1=V P−BDC 1，而S △BDC 为定值， 所以V P ﹣BDC 1为定值，故三棱锥B ﹣DPC 1体积为定值，故②正确； 对③，如图，在正方体中，A 1B ∥D 1C ，A 1B ⊄平面ACD 1，BC 1⊂平面ACD 1，所以A 1B ∥平面ACD 1，所以P 到平面ACD 1的距离h 为定值，设直线CP 与平面ACD 1所成角为θ，而sinθ=ℎCP， CP 不是定值，所以θ不为定值，故③错误；对④，因为CP →=CD →+λCC 1→=CD →+λDD →，且0≤λ≤1，所以点P 在线段DD 1上运动，在B 1B 上取一点P 1，使得|DP |＝|B 1P 1|＝a ，a ∈[0，1]，连接A 1P 1，P 1C ，P A 1，PC ，易知PC ∥A 1P 1，且PC ＝A 1P 1，即P ，C ，A 1，P 1四点共面，即过P ，C ，A 1三点的截面为截面PCP 1A 1，以点D 为坐标原点，建立如下图所示的坐标系：则C （0，1，0），A 1（1，0，1），P （0，0，a ），P 1（1，1，1﹣a ），CA 1→=(1，−1，1)．CP →=(0，−1，a)，因为|CA 1→|=√3，|CP →|=√1+a 2，CP →⋅CA 1→=1+a ，所以截面PCP 1A 1的面积为S ＝2S △CPA 1=|CP →|•|CA 1→|sin ∠PCA 1=√(|CP →|⋅|CA 1→|)2−(CP →⋅CA 1→)2=√3+3a 2−1−2a −a 2=√2•√(a −12)2+34， 当a =12时，S min =√62，当a ＝0或a ＝1时，S max =√2，所以过A 1，P ，C 三点的正方体截面面积最小值为√62，最大值为√2， 过点A 1，P ．C 三点的正方体截面面积的取值范围为[√62，√2]，故④正确．故答案为：①②④．三、解答题：共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．（13分）已知圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝4．（Ⅰ）求经过点（3，﹣2）的圆C 的切线方程；（Ⅱ）求直线l ：2x ﹣y +2＝0被圆C 截得的弦长．解：（Ⅰ）由圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝4．可得圆C 的圆心为C （1，2），半径为r ＝2．当切线斜率不存在时，其方程为x ＝3，圆心C （1，2）到直线x ＝3的距离为2，则此时直线x ＝3与圆C 相切，满足题意；当切线的斜率存在时，设切线方程为y +2＝k （x ﹣3），即kx ﹣y ﹣3k ﹣2＝0，则圆心（1，2）到切线的距离√k 2+1=2，解得k =−34， 所以此时切线的方程为3x +4y ﹣1＝0．综上：切线的方程为x ＝3或3x +4y ﹣1＝0．（Ⅱ）由圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝4．可得圆C 的圆心为C （1，2），半径为r ＝2．则圆心C （1，2）到直线l 的距离d =√2+1=2√55．所以直线l 被圆C 所截得的弦长为：2√r 2−d 2=8√55．17．（13分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1＝AC ＝BC ，AC ⊥BC ，D ，E 分别是A 1B 1，CC 1的中点．（Ⅰ）求证：C 1D ⊥平面AA 1B 1B ；（Ⅱ）求直线BD 与平面A 1BE 所成角的正弦值．证明：（Ⅰ）因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1，所以AA1⊥平面A1B1C1，因为C1D⊂平面A1B1C1，所以AA1⊥C1D．因为AC＝BC，所以A1C1＝B1C1因为D是A1B1的中点，所以C1D⊥A1B1，因为AA1∩A1B1＝A1，AA1⊂平面AA1B1B，A1B1⊂平面AA1B1B，所以C1D⊥平面AA1B1B．（Ⅱ）因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1，所以CC1⊥平面ABC，所以CC1⊥AC，CC1⊥BC，因为AC⊥BC，所以CC1，AC，BC两两垂直，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设AA1＝2，则B（0，2，0），A1（2，0，2），D（1，1，2），E（0，0，1）．所以BD →=（1，﹣1，2），BE →=（0，﹣2，1），EA 1→=（2，0，1），设平面A 1BE 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ）．所以{n →⋅BE →=0n →⋅EA 1→=0，即{−2y +z =02x +z =0， 令z ＝2，则x ＝﹣1，y ＝1．所以n →=（﹣1，1，2）．所以cos ＜BD →，n →＞=BD →⋅n →|BD →|⋅|n →|=13， 设直线BD 与平面A 1BE 所成角为θ，所以sin θ＝|cos ＜BD →，n →＞|=13，故直线BD 与平面A 1BE 所成角的正弦值为13． 18．（14分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠BCD =π3，AB ＝1，PB ＝2，PD ⊥CD ，PB ⊥BD ，N 为棱PC 的中点．条件①：BC ＝2；条件②：平面PBD ⊥平面ABCD ．从条件①和条件②这两个条件中选择一个作为已知，完成下列问题：（Ⅰ）求证：AB ⊥PB ；（Ⅱ）若点M 在线段AN 上，且点M 到平面BDN 的距离为√55，求线段CM 的长． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．解：选①：BC ＝2．（Ⅰ）证明：因为平行四边形ABCD ，所以CD ＝AB ＝1，因为BC ＝2，∠BCD =π3，所以在△BCD 中，BD =√22+12−2×2×1×cos π3=√3．所以BD 2+CD 2＝BC 2，所以BD ⊥CD ．又PD ⊥CD ，PD ∩BD ＝D ，PD ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，所以CD ⊥平面PBD ．因为PB ⊂平面PBD ，所以CD ⊥PB ．又因为AB ∥CD ，所以AB ⊥PB ．选②：平面PBD ⊥平面ABCD ．证明：因为平面PBD ⊥平面ABCD ，平面PBD ∩平面ABCD ＝BD ，PB ⊥BD ，PB ⊂平面PBD ． 所以PB ⊥平面ABCD ，因为AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥PB ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BA ，BD ，BP 两两垂直，以B 为原点，BA →，BD →，BP →为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则B （0，0，0），D(0，√3，0)，P （0，0，2），C(−1，√3，0)，A （1，0，0），N(−12，√32，1)，所以BD →=(0，√3，0)，BN →=(−12，√32，1)，AN →=(−32，√32，1)， 设平面BDN 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅BD →=√3y =0n →⋅BN →=−12x +√32y +z =0， 令x ＝2，则y ＝0，z ＝1．所以n →=（2，0，1）．因为点M 在直线AN 上，设MN →=λAN →(0≤λ≤1)，所以MN →=(−32λ，√32λ，λ)，故点M 到平面BDN 的距离为d =|MN →⋅n →|n →||=25=√55， 得λ=12，所以MN →=(−34，√34，12)，所以M(14，√34，12)， 所以CM =√142．19．（15分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 的圆心在直线l ：y ＝x ﹣1上，且半径为1．（Ⅰ）若圆心C 也在直线y ＝﹣2x +8上，求圆C 的方程；（Ⅱ）已知点N （0，3），若圆C 上存在点M ，使|MN |＝|MO |，求圆心C 的横坐标的取值范围． 解：（Ⅰ）设圆心C （a ，b ），由题意得{b =a −1b =−2a +8，解得{a =3b =2， 所以圆心C （3，2），又圆C 的半径为1，所以圆C 的方程为（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝1；（Ⅱ）设M （x ，y ），由N （0，3），|MN |＝|MO |，可得√x 2+(y −3)2=√x 2+y 2，两边平方，整理得y =32，所以点M 既在圆C 上又在直线y =32上，即圆C 和直线y =32有公共点，所以|a −1−32|≤1，解得32≤a ≤72， 所以a 的取值范围是[32，72]．20．（15分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为3的正方形，平面CDE ⊥平面ABCD ，AF ‖DE ，DE ⊥CD ，DE =3AF =3√6．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDE ；（Ⅱ）求平面BEF 与平面BDE 夹角的余弦值；（Ⅲ）线段CE 上是否存在点P ，使得AP ∥平面BEF ？若存在，指出点P 的位置并证明；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）证明：因为平面CDE ⊥平面ABCD ，平面CDE ∩平面ABCD ＝CD ，DE ⊥CD ，DE ⊂平面CDE ， 所以DE ⊥平面ABCD ，因为AC ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥AC ，因为四边形ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ，因为BD ∩DE ＝D ，DB ⊂平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，所以AC ⊥平面BDE ．（Ⅱ）因为DA ，DC ，DE 两两垂直，以B 为原点，以DA ，DC ，DE 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系：因为DE =3AF =3√6，AD ＝3，所以BD =3√2，AF =√6．则A （3，0，0），F(3，0，√6)，E(0，0，3√6)，B （3，3，0），C （0，3，0），所以BF →=（0，﹣3，√6），EF →=（3，0，﹣2√6），设平面BEF 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ），所以{n →⋅BF →=(x ，y ，z)⋅(0，−3，√6)=−3y +√6z =0n →⋅EF →=(x ，y ，z)⋅(3，0，−2√6)=3x −2√6z =0，令z =√6，则x ＝4，y ＝2，所以n =(4，2，√6)，因为AC ⊥平面BDE ，所以CA →为平面BDE 的一个法向量，CA →=（3，﹣3，0），所以cos ＜n →，CA →＞=n →⋅CA →|n →||CA →|=√6)⋅(3√4+2+(√6)⋅√3+(−3)=√1313，设平面BEF 与平面BDE 夹角为θ，所以cos θ＝|cos ＜n →，CA →＞|=√1313，所以平面BEF 与平面BDE 夹角的余弦值√1313． （Ⅲ）线段CE 上存在点P ，点P 为CE 中点，满足AP ∥平面BEF ，证明如下： 设CP →=λCE →（0≤λ≤1），因为CE →=（0，﹣3，3√6），AC →=（﹣3，3，0），所以CP →=（0，﹣3λ，3√6λ），所以AP →=AC →+CP →=（﹣3，3，0）+（0，﹣3λ，3√6λ）＝（﹣3，3﹣3λ，3√6λ）， 由（Ⅱ）知平面BEF 的一个法向量为n →=（4，2，√6），因为AP ∥平面BEF ，所以AP →•n →=0，所以4×（﹣3）+2×（3﹣3λ）+√6×3√6λ＝0，解得λ=12，所以线段CE 上存在点P ，点P 为CE 中点，满足AP ∥平面BEF ．21．（15分）在平面直角坐标系中，对于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），定义ρ（A ，B ）＝|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|为点A 到点B 的“折线距离”．（Ⅰ）已知A （1，2），B （3，0），求ρ（A ，B ）；（Ⅱ）已知直线l ：√3x +y −4=0．（i ）求坐标原点O 与直线l 上一点的“折线距离”的最小值；（ii ）求圆C ：x 2+y 2＝1上一点与直线l 上一点的“折线距离”的最小值．解：（Ⅰ） A （1，2），B （3，0），由定义可得ρ（A ，B ）＝|1﹣3|+|2﹣0|＝4．（Ⅱ）（i ）直线l ：√3x +y −4=0与x 轴的交点M(4√33，0)，与y 轴的交点N （0，4）， 设直线l 上任意一点Q (t ，4−√3t)（t ∈R ）．当点Q 在线段MN 的延长线上时，ρ（O ，Q ）≥ρ（O ，N ）；当点Q 在线段NM 的延长线上时，ρ（O ，Q ）≥ρ（O ，M ）；当点Q 在线段MN 上时，ρ（O ，Q ）≥ρ（O ，M ）．∵ρ（O ，N ）＝4，ρ(O ，M)=4√33， ∴ρ(O ，Q)≥4√33． 综上，当点Q 与点M 重合时，坐标原点与直线l 上一点的“折线距离”的最小值为4√33． （ii ）由（i ）可知，设P 1是圆C 上任意一点，Q 1是直线l 上任意一点，当且仅当P 1Q 1∥x 轴时，ρ（P 1，Q 1）的最小值为P 1Q 1，如图所示．过P 1作直线l 的垂线，垂足为H 1，则P 1H 1P 1Q 1=√32， ∴P 1Q 1=2√33P 1H 1． 当P 1H 1取最小值时，P 1Q 1取得最小值．过O 点作直线MN 的垂线，交单位圆于P ，垂足为H ，当且仅当P 1与P 重合时，P 1H 1取到最小值PH ．易知PH ＝1，∴P 1Q 1的最小值为2√33， 即圆C ：x 2+y 2＝1上一点与直线l 上一点的“折线距离”的最小值为2√33．。
2023-2024学年北京市丰台区高一(上)期中数学试卷(A卷)【答案版】
2023-2024学年北京市丰台区高一（上）期中数学试卷（A 卷）一、选择题：本部分共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出最符合题意的一项.1．已知集合A ＝{x ∈Z |x ＜3}，则（ ） A ．2∈AB ．3∈AC ．0∉AD ．∅∈A2．命题“∀x ≥2，x 2≥4”的否定为（ ） A ．“∀x ≤2，x 2≥4” B ．“∃x 0＜2，x 02＜4” C ．“∀x ≥2，x 2＜4”D ．“∃x 0≥2，x 02＜4”3．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（ ） A ．y ＝﹣|x |B ．y ＝x 2C ．y ＝x 3D ．y =−1x4．下列说法正确的是（ ） A ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2 B ．若a ＞b ，则a ﹣1＜b ﹣2 C ．若a c 2＞b c 2，则a ＞bD ．若a ＞b ，则a 2＞b 25．已知幂函数y ＝f （x ）的图象经过点(2，√2)，则f （4）等于（ ） A ．2B ．﹣2C ．√2D ．46．设x ∈R ，则“2﹣x ≥0”是“|x +1|≤1”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．设M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形：其中，能表示从集合M 到集合N 的函数关系的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．38．若指数函数f （x ）＝a x 的图象和函数g （x ）＝3x +5（x ≥﹣1）的图象相交，则（ ） A ．a ∈(0，12]B ．a ∈[12，1)C ．a ∈[12，1）∪（1，+∞）D ．a ∈（0，12]∪（1，+∞）9．如图，一个“心形”由两个函数的图象构成，则“心形”上部分的函数解析式可能为（ ）A ．y ＝|x |√4−x 2B ．y ＝x √4−x 2C ．y =√−x 2+2|x|D ．y =√−x 2+2x10．设集合A 的最大元素为M ，最小元素为m ，记A 的特征值为X A ＝M ﹣m ，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0．已知A 1，A 2，A 3，…，A n 是集合N *的元素个数均不相同的非空真子集，且X A 1+X A 2+X A 3+⋯+X A n =60，则n 的最大值为（ ） A ．10B ．11C ．12D ．13二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分. 11．函数f(x)=√x +3+1x−1的定义域是 ． 12．求值：−4−12−(278)13−（π﹣3）0＝ ．13．当x ＞3时，则y =x +4x−3的最小值为 ，当y 取得最小值时x 的值为 ． 14．写出一个使得命题“∀x ∈R ，ax 2﹣2ax +3＞0恒成立”是假命题的实数a 的值： ． 15．函数f （x ）的定义域为R ，且∀x ∈R ，都有f(−x)=1f(x)，给出下列四个结论： ①f （0）＝1或﹣1； ②f （x ）一定不是偶函数；③若f （x ）＞0，且f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，则f （x ）在（0，+∞）上单调递增； ④若f （x ）有最大值，则f （x ）一定有最小值． 其中，所有正确结论的序号是 ．三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16．（13分）已知集合A ＝{x |﹣1≤x ≤4}，B ＝{x |m ﹣1＜x ＜2m ﹣3}． （Ⅰ）若m ＝4，求∁R A ，A ∩B ，A ∪B ； （Ⅱ）若A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围． 17．（14分）已知函数f(x)={−x +1，x ≤02x ，x ＞0．（Ⅰ）求f(f(−12))的值；（Ⅱ）画出函数f （x ）的图象，根据图象写出函数f （x ）的单调区间； （Ⅲ）若f （x ）≤8，求x 的取值范围．18．（14分）已知函数f(x)=4x +1x．（Ⅰ）判断函数f （x ）的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅱ）判断函数f （x ）在区间[12，+∞)上的单调性，并用单调性定义证明；（Ⅲ）已知函数g(x)={f(x)，x ＞0，5，x =0，−f(x)，x ＜0，当x ∈[−14，t]时，g （x ）的值域为[5，+∞），求实数t 的取值范围．（只需写出答案）19．（15分）已知函数f （x ）＝ax 2﹣（3a +1）x +3，a ∈R ．（Ⅰ）若f （x ）＞0的解集是{x |1＜x ＜k }，求函数f （x ）的零点； （Ⅱ）求不等式f （x ）＞0的解集．20．（14分）某企业开发、生产了一款新型节能环保产品，对市场需求调研后，决定提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前n 年（n ∈N *）的材料费、维修费、人工工资等共(52n 2+5n)万元，每年的销售收入为55万元，设使用该设备前n 年的总盈利额为f （n ）万元．（Ⅰ）写出f （n ）关于n 的函数关系式，并计算该设备从第几年开始使企业盈利； （Ⅱ）使用若干年后，对该设备的处理方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理． 问选择哪种处理方案更合适？请说明理由．21．（15分）对于函数f（x），若f（x0）＝x0，则称x0为f（x）的“不动点”；若f[f（x0）]＝x0，则称x0为f（x）的“稳定点”．函数f（x）的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A＝{x|f（x）＝x}，B＝{x|f[f（x）]＝x}．（1）设函数f（x）＝3x+4，求集合A和B；（2）求证：A⊆B；（3）设函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），且A＝∅，求证：B＝∅．2023-2024学年北京市丰台区高一（上）期中数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本部分共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出最符合题意的一项.1．已知集合A＝{x∈Z|x＜3}，则（）A．2∈A B．3∈A C．0∉A D．∅∈A解：集合A＝{x∈Z|x＜3}，则2∈A，3∉A，0∈A，∅⊆A．故选：A．2．命题“∀x≥2，x2≥4”的否定为（）A．“∀x≤2，x2≥4”B．“∃x0＜2，x02＜4”C．“∀x≥2，x2＜4”D．“∃x0≥2，x02＜4”解：根据全称量词命题的否定是存在量词命题知，命题“∀x≥2，x2≥4”的否定为：“∃x0≥2，x02＜4”．故选：D．3．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝﹣|x|B．y＝x2C．y＝x3D．y=−1x解：函数y＝x3和函数y=−1x是奇函数，不符合题意，CD选项错误．函数y＝﹣|x|是偶函数，且在（0，+∞）上递减，不符合题意，A选项错误．函数y＝x2是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，符合题意，B选项正确．故选：B．4．下列说法正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a﹣1＜b﹣2C．若ac2＞bc2，则a＞b D．若a＞b，则a2＞b2解：对于A，当c＝0时，则a＞b时，ac2＝bc2，A错误；对于B，若a＞b，则a﹣1＞b﹣1＞b﹣2，B错误；对于C，若ac2＞bc2，则c≠0，即c2＞0，故a＞b，C正确；对于D，若a＞b，不妨取若a＝﹣1＞b＝﹣2，则a2＜b2，D错误．故选：C．5．已知幂函数y＝f（x）的图象经过点(2，√2)，则f（4）等于（）A ．2B ．﹣2C ．√2D ．4解：设幂函数y ＝f （x ）＝x α，根据它的图象经过点(2，√2)， 可得2α=√2，∴α=12，f （x ）=x 12=√x ，则f （4）=√4=2． 故选：A ．6．设x ∈R ，则“2﹣x ≥0”是“|x +1|≤1”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：由2﹣x ≥0得x ≤2， 由|x +1|≤1得﹣1≤x +1≤1， 得﹣2≤x ≤0．则“2﹣x ≥0”是“|x ﹣1|≤1”的必要不充分条件， 故选：B ．7．设M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形：其中，能表示从集合M 到集合N 的函数关系的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3解：①中，因为在集合M 中当1＜x ≤2时，在N 中无元素与之对应，所以①不是； ②中，对于集合M 中的任意一个数x ，在N 中都有唯一的数与之对应，所以②是； ③中，x ＝2对应元素y ＝3∉N ，所以③不是；④中，当x ＝1时，在N 中有两个元素与之对应，所以④不是．因此只有②满足题意． 故选：B ．8．若指数函数f （x ）＝a x 的图象和函数g （x ）＝3x +5（x ≥﹣1）的图象相交，则（ ） A ．a ∈(0，12]B ．a ∈[12，1)C ．a ∈[12，1）∪（1，+∞）D ．a ∈（0，12]∪（1，+∞）解：由g （x ）＝3x +5（x ≥﹣1），当a ＞1时，指数函数f （x ）＝a x 的单调递增，且递增幅度比一次函数递增的快，所以指数函数f （x ）＝a x 的图象和函数g （x ）＝3x +5（x ≥﹣1）的图象一定会相交， 当0＜a ＜1时，指数函数f （x ）＝a x 在R 上单调递减， 所以只需a ﹣1≥g （﹣1）＝3×（﹣1）+5＝2＝（12）﹣1即可，可得0＜a ≤12，所以a 的范围为（0，12]∪（1，+∞）．故选：D ．9．如图，一个“心形”由两个函数的图象构成，则“心形”上部分的函数解析式可能为（ ）A ．y ＝|x |√4−x 2B ．y ＝x √4−x 2C ．y =√−x 2+2|x|D ．y =√−x 2+2x解：由已知图象可得“心形”上部分的函数的图象关于y 轴对称， 则y ＝x √4−x 2和y =√−x 2+2x 都不满足要求；而y ＝|x |√4−x 2的图象过（0，0），（﹣2，0），（2，0），但0＜x ＜2时，y ＝x √4−x 2≤x 2+4−x 22=2， 当且仅当x =√2时，y 取得最大值2，故A 不满足要求；由y =√−x 2+2|x|的图象过（0，0），（﹣2，0），（2，0），且0＜x ＜2时，y =√2x −x 2=√−(x −1)2+1≤1， 当且仅当x ＝1时，y 取得最大值1，故C 满足要求． 故选：C ．10．设集合A 的最大元素为M ，最小元素为m ，记A 的特征值为X A ＝M ﹣m ，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0．已知A 1，A 2，A 3，…，A n 是集合N *的元素个数均不相同的非空真子集，且X A 1+X A 2+X A 3+⋯+X A n =60，则n 的最大值为（ ） A ．10B ．11C ．12D ．13解：由题设A 1，A 2，A 3，…，A n 中都至少有一个元素，且元素个数互不相同， 要使n 最大，则各集合中X A n =M −m （n ∈N *）尽量小，所以集合A 1，A 2，A 3，…，A n 的元素个数尽量少且数值尽可能连续，所以不妨设X A 1=0，X A 2=1，X A 3=2，⋯，X A n =n −1，有X A 1+X A 2+X A 3+...+X A n =n(n−1)2， 当n ＝11时，X A 1+X A 2+X A 3+...+X A n =55＜60， 当n ＝12时，X A 1+X A 2+X A 3+...+X A n =66＞60，只需在n ＝11时，在上述特征值取最小情况下，使其中一个集合的特征值增加5即可，故n 的最大值为11． 故选：B ．二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分. 11．函数f(x)=√x +3+1x−1的定义域是 {x |x ≥﹣3且x ≠1} ． 解：使得函数有意义的x 满足{x +3≥0x −1≠0⇒x ≥﹣3且x ≠1．函数的定义域是{x |x ≥﹣3且x ≠1}． 故答案是{x |x ≥﹣3且x ≠1}． 12．求值：−4−12−(278)13−（π﹣3）0＝ ﹣3 ．解：−4−12−(278)13−（π﹣3）0=−12−32−1＝﹣3． 故答案为：﹣3．13．当x ＞3时，则y =x +4x−3的最小值为 7 ，当y 取得最小值时x 的值为 5 ． 解：因为x ＞3，所以x ﹣3＞0，所以y =x +4x−3=x ﹣3+4x−3+3≥2√(x −3)⋅4x−3+3＝7， 当且仅当x ﹣3=4x−3，即x ＝5时取等号， 故答案为：7，5．14．写出一个使得命题“∀x ∈R ，ax 2﹣2ax +3＞0恒成立”是假命题的实数a 的值： ﹣1 ． 解：命题“ax 2﹣2ax +3＞0恒成立”是假命题，即“∃x ∈R ，ax 2﹣2ax +3≤0成立”是真命题 ①． 当a ＝0时，①不成立，当a ≠0 时，要使①成立，必须a ＜0，或{a ＞04a 2−12a ≥0，∴a ＜0或a ≥3 故答案为：﹣1．15．函数f （x ）的定义域为R ，且∀x ∈R ，都有f(−x)=1f(x)，给出下列四个结论： ①f （0）＝1或﹣1； ②f （x ）一定不是偶函数；③若f （x ）＞0，且f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，则f （x ）在（0，+∞）上单调递增； ④若f （x ）有最大值，则f （x ）一定有最小值． 其中，所有正确结论的序号是 ①③ ． 解：因为∀x ∈R ，都有f(−x)=1f(x)， 所以f(0)=1f(0)，即f （0）＝1或﹣1，故①正确； 不妨取f （x ）＝1，则f(−x)=1f(x)=1，即f （﹣x ）＝f （x ）恒成立，所以f （x ）是偶函数，故②错误； 设∀x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1＜x 2，则﹣x 2＜﹣x 1＜0，所以f （﹣x 2）＜f （﹣x 1），即0＜1f(x 2)＜1f(x 1)，所以f （x 1）＜f （x 2），即f （x ）在（0，+∞）上单调递增，故③正确；不妨取f(x)={ x ，x ＜01，x =0−1x ，x ＞0，则满足f(−x)=1f(x)，函数有最大值1，但是无最小值，故④错误．故答案为：①③．三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16．（13分）已知集合A ＝{x |﹣1≤x ≤4}，B ＝{x |m ﹣1＜x ＜2m ﹣3}． （Ⅰ）若m ＝4，求∁R A ，A ∩B ，A ∪B ； （Ⅱ）若A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围． 解：（I ）当m ＝4时，B ＝{x |3＜x ＜5}， 因为A ＝{x |﹣1≤x ≤4}， 所以∁R A ＝{x |x ＜﹣1或x ＞4}， A ∩B ＝{x |3＜x ≤4}， A ∪B ＝{x |﹣1≤x ＜5}；（II ）因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A ， 若B ＝∅，则m ﹣1⩾2m ﹣3，解得m ≤2；若B ≠∅，则{m −1＜2m −3m −1≥−12m −3≤4，解得2＜m ⩽72；综上得实数m 的取值范围是{m |m ≤72}． 17．（14分）已知函数f(x)={−x +1，x ≤02x，x ＞0．（Ⅰ）求f(f(−12))的值；（Ⅱ）画出函数f （x ）的图象，根据图象写出函数f （x ）的单调区间； （Ⅲ）若f （x ）≤8，求x 的取值范围．解：（ I ）由函数f(x)={−x +1，x ≤02x，x ＞0，可得f(−12)=12+1=32，f(f(−12))=f(32)=232． （ II ）f(x)={−x +1，x ≤02x，x ＞0，所以f （x ）的图象如下图所示：由图可知，f （x ）的减区间为（﹣∞，0），增区间为（0，+∞）；（ III ）由函数f(x)={−x +1，x ≤02x ，x ＞0， 可得{x ≤0−x +1≤8⇒−7≤x ≤0，{x ＞02x ≤8⇒0＜x ≤3， 由图象可知，满足f （x ）≤8的x 的取值范围是[﹣7，3]．18．（14分）已知函数f(x)=4x +1x ．（Ⅰ）判断函数f （x ）的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅱ）判断函数f （x ）在区间[12，+∞)上的单调性，并用单调性定义证明；（Ⅲ）已知函数g(x)={f(x)，x ＞0，5，x =0，−f(x)，x ＜0，当x ∈[−14，t]时，g （x ）的值域为[5，+∞），求实数t 的取值范围．（只需写出答案）解：（I ）函数f(x)=4x +1x 为奇函数．证明：函数f(x)=4x +1x 的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），所以x ∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）时，﹣x ∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），且f(−x)=4(−x)+1(−x)=−(4x +1x )=−f(x)，所以，函数f(x)=4x +1x 为奇函数．（II ）函数f （x ）在区间[12，+∞)上单调递增．任取x 1，x 2∈[12，+∞)，12≤x 1＜x 2， 则f(x 2)−f(x 1)=(4x 2+1x 2)−(4x 1+1x 1) =4(x 2−x 1)−x 2−x1x 1x 2 =(x 2−x 1)⋅4x 1x 2−1x 1x 2， 因为x 2﹣x 1＞0，x 1x 2＞0，4x 1x 2﹣1＞0，所以f （x 2）﹣f （x 1）＞0，即f （x 2）＞f （x 1），所以函数f （x ）在区间[12，+∞)上单调递增．（Ⅲ）函数g(x)={f(x)，x ＞0，5，x =0，−f(x)，x ＜0，的图象如图：由图可得实数t的取值范围为：[0，14 ]．19．（15分）已知函数f（x）＝ax2﹣（3a+1）x+3，a∈R．（Ⅰ）若f（x）＞0的解集是{x|1＜x＜k}，求函数f（x）的零点；（Ⅱ）求不等式f（x）＞0的解集．解：（Ⅰ）因为f（x）＞0的解集是{x|1＜x＜k}，所以1是ax2﹣（3a+1）x+3＝0的一个根，所以a﹣（3a+1）+3＝0，解得a＝1，所以f（x）＝x2﹣4x+3．令f（x）＝x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，所以f（x）的零点为1和3；（Ⅱ）因为f（x）＞0，即ax2﹣（3a+1）x+3＞0，所以（ax﹣1）（x﹣3）＞0，当a＝0时，﹣x+3＞0，解得x＜3，当a≠0时，方程（ax﹣1）（x﹣3）＝0的两根为x1=1a，x2=3，当a＜0时，y＝f（x）开口向下，x1＜x2，解得1a＜x＜3，当0＜a＜13时，y＝f（x）开口向上，x1＞x2，解得x＜3或x＞1a，当a=13时，y＝f（x）开口向上，x1＝x2，解得x≠3，当a＜0时，y＝f（x）开口向上，x1＜x2，解得x＜1a或x＞3，综上所述，当a＝0时，解集为{x|x＜3}；当a＜0时，解集为{x|1a＜x＜3}；当0＜a＜13时，解集为{x|x＜3或x＞1a}；当a=13时，解集为{x|x≠3}；当a＜0时，解集为{x|x＜1a或x＞3}．20．（14分）某企业开发、生产了一款新型节能环保产品，对市场需求调研后，决定提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前n 年（n ∈N *）的材料费、维修费、人工工资等共(52n 2+5n)万元，每年的销售收入为55万元，设使用该设备前n 年的总盈利额为f （n ）万元．（Ⅰ）写出f （n ）关于n 的函数关系式，并计算该设备从第几年开始使企业盈利；（Ⅱ）使用若干年后，对该设备的处理方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理．问选择哪种处理方案更合适？请说明理由．解：（I ）由前n 年的总盈利额为n 年的总收入减去投入的资金和前n 年（n ∈N *）的材料费、维修费、人工工资等，可得f(n)=55n −(52n 2+5n)−90=−52n 2+50n −90，n ∈N *；当f （n ）＞0时，即−52n 2+50n −90＞0时，2＜n ＜18，该设备从第3年开始使企业盈利；（II ）方案一：总盈利额f(n)=−52n 2+50n −90=−52(n −10)2+160，当n ＝10时，f （n ）max ＝160，所以方案一总利润为160+10＝170万元，此时n ＝10；方案二：每年平均利润为f(n)n =50−52(n +36n )≤50−52×2√36=20，当且仅当n ＝6时，等号成立．所以方案二总利润为6×20+50＝170，此时n ＝6．比较两种方案，获利都是170万元，但由于第一种方案需要10年，而第二种方案需要6年， 故应选择第二种方案更合适．21．（15分）对于函数f （x ），若f （x 0）＝x 0，则称x 0为f （x ）的“不动点”；若f [f （x 0）]＝x 0，则称x 0为f （x ）的“稳定点”．函数f （x ）的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即A ＝{x |f （x ）＝x }，B ＝{x |f [f （x ）]＝x }．（1）设函数f （x ）＝3x +4，求集合A 和B ；（2）求证：A ⊆B ；（3）设函数f （x ）＝ax 2+bx +c （a ≠0），且A ＝∅，求证：B ＝∅．解：（1）令f （x ）＝3x +4＝x ，解得x ＝﹣2，故有A ＝{﹣2}由于f [f （x ）]＝3（3x +4）+4＝9x +16，令9x+16＝x，得x＝﹣2，故有B＝{﹣2}（2）若A＝∅，则A⊆B显然成立；若A≠∅，设t∈A，则f（t）＝t，f（f（t））＝f（t）＝t，∴t∈B，故A⊆B．（3）若B≠∅．则f[f（x）]＝x有解，故f（x）＝x有解，即A≠∅，这与A＝∅矛盾，故B＝∅．。
北京市高一上学期数学期中考试试卷含答案(共5套)
北京师大附中2018-2019学年上学期高中一年级期中考试数学试卷说明：本试卷共150分，考试时间120分钟。
一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合}2,1,0{},01|{2=≤-=B x x A ，则A ∩B ＝ A. {0}B. {0，1}C. {1，2}D. {0，1，2}2. 已知d c b a >>>,0，下列不等式中必成立的一个是（ ） A.dbc a > B. bc ad <C. d b c a +>+D. d b c a ->-3. “1-=a ”是“函数12)(2-+=x ax x f 只有一个零点”的（ ） A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件 4. 在下列区间中，函数x xx f 2log 6)(-=的零点所在的区间为（ ） A. )1,21(B. （1，2）C. （3，4）D. （4，5）5. 已知函数xx x f ⎪⎭⎫⎝⎛-=313)(，则)(x f （ ）A. 是奇函数，且在R 上是增函数B. 是偶函数，且在R 上是增函数C. 是奇函数，且在R 上是减函数D. 是偶函数，且在R 上是减函数 6. 已知313232,31⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=b a ，3232⎪⎭⎫ ⎝⎛=c ，则 A. b c a << B. c b a <<C. a c b <<D. c a b <<7. 若函数⎩⎨⎧>≤--=-7,7,3)3()(6x ax x a x f x 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A. )3,49(B. )3,49[C. （1，3）D. （2，3）8. 函数||ln 1)(x xx f +=的图象大致为9. 已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区问[0，＋∞）上单调递增，若实数a 满足)1(2log )(log 212f a f a f ≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+，则a 的取值范围是 A. ]2,1[B. ]21,0(C. ]2,21[D. ]2,0(10. 设D 是函数)(x f y =定义域内的一个区间，若存在D x ∈0，使00)(kx x f =)0(≠k ，则称0x 是)(x f y =在区间D 上的一个“k 阶不动点”，若函数25)(2+-+=a x ax x f 在区间]4,1[上存在“3阶不动点”，则实数a 的取值范围是A. ]21,(-∞ B. )21,0(C. ),21[+∞D. ]0,(-∞二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。
2019-2020学年北京四中高一上学期期中考试数学试卷
2019-2020学年北京四中高一上学期期中考试数学试卷一、单选题1．设集合A ={4,5,7,9},B ={3,4,7,8,9}，全集U =A ∪B ，则集合C U (A ∩B)中的元素共有A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个2．函数()f x =的定义域是（ ）． A ．(),2-∞ B ．[)2,+∞ C ．(],2-∞ D ．()2,+∞3．设集合A={（x ，y ）|4x+y=6}，B={（x ，y ）|3x+2y=7}，则满足C ⊆A ∩B 的集合C 的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．下列函数中，在（-∞，0）上为减函数的是（ ）A ．y =−x 2+2B ．y =4x −1C ．y =x 2+4xD ．y =1x5．已知函数f(x)=(23)x ，则函数y=f （x+1）的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．6．如果二次函数y=x2-（k+1）x+k+4有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(−∞,−3)∪(5,+∞)B ．(−∞,−5)∪(3,+∞)C ．(−3,5)D ．(−5,3)7．下列大小关系正确的是（ ）A ．0.43<30.4<log 40.3B ．0.43<log 40.3<30.4C ．log 40.3<0.43<30.4D ．log 40.3<30.4<0.438．已知函数()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，32()2f x x x =-，则当0x <时，()f x =（ ）A ．322x x +B ．322x x -C ．322x x -+D ．322x x --二、填空题9．计算：e ln1＝________.10．已知集合A ={x|x >1}，B ={x|x >a}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是______.11．函数f(x)=log a (a −a x ) (0<a <1)的定义域为__________.12．已知f(x)＝{x 2−1, x ≤1−x +1, x >1，则f[f(−1)]＝_________；若f(x)=−1，则x =________．13．已知函数f(x)=ax 2−2x −2在区间[1,+∞)上不单调，则实数a 的取值范围是________.14．如图放置的边长为2的正三角形ABC 沿x 轴滚动，记滚动过程中顶点A 的横、纵坐标分别为x 和y ，且y 是x 在映射f 作用下的象，则下列说法中：① 映射f 的值域是[0,√3]；② 映射f 不是一个函数；③ 映射f 是函数，且是偶函数；④ 映射f 是函数，且单增区间为[6k,6k +3](k ∈Z)，其中正确说法的序号是___________.说明：“正三角形ABC 沿x 轴滚动”包括沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动．沿x 轴正方向滚动指的是先以顶点B 为中心顺时针旋转，当顶点C 落在x 轴上时，再以顶点C为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正三角形ABC可以沿x轴负方向滚动．15．已知函数f(x)=x 12−log12x，若0＜a＜b＜c，且满足f(a)f(b)f(c)<0(0<a<b<c)，则下列说法一定正确的是______.①f(x)有且只一个零点②f(x)的零点在(0,1)内③f(x)的零点在(a,b)内④f(x)的零点在(c,+∞)内16．关于函数f(x)=√x2−x4|x−1|−1的性质描述，正确的是___①f(x)的定义域为[−1,0)∪(0,1]②f(x)的值域为(−1,1)③f(x)在定义域上是增函数④f(x)的图象关于原点对称17．在同一直角坐标系下，函数y= a x与y= log a x(a>0,a≠1)的大致图象如图所示，则实数a的可能值为______①. 32②. 43③. 75④. 10718．已知函数f(x)={x3+a,x>0x+1, x≤0在R上是增函数，则实数a的取值范围是________．19．非空有限数集S满足：若a,b∈S，则必有ab∈S．请写出一个满足条件的二元数集S＝________．20．已知直线y=ax上恰好存在一个点关于直线y=x的对称点在函数y=lnx 的图象上．请写出一个符合条件的实数a的值：________．三、解答题21．已知集合A={x|x2−x<0}，B={x|x2−2x−m<0}.（1）求∁R A；（2）若A∩B=∅，求实数m的取值范围．22．已知函数f(x)=a−2是定义在R上的奇函数．1+2x（1）求f(x)的解析式及值域；（2）判断f(x)在R上的单调性，并用单调性定义予以证明．23．某公司共有60位员工，为提高员工的业务技术水平，公司拟聘请专业培训机构进行培训．培训的总费用由两部分组成：一部分是给每位参加员工支付400元的培训材料费；另一部分是给培训机构缴纳的培训费．若参加培训的员工人数不超过30人，则每人收取培训费1000元；若参加培训的员工人数超过30人，则每超过1人，人均培训费减少20元．设公司参加培训的员工人数为x人，此次培训的总费用为y元．（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）请你预算：公司此次培训的总费用最多需要多少元？24．若函数f(x)的图象恒过(0,0)和(1,1)两点，则称函数f(x)为“0-1函数”. （1）判断下面两个函数是否是“0-1函数”，并简要说明理由：①y=x−1；②y=−x2+2x.（2）若函数f(x)=a x+b是“0-1函数”，求f(x)；（3）设g(x)=log a x(a>0,a≠1)，定义在R上的函数ℎ(x)满足：①对∀x1,x2∈R，均有ℎ(x1x2+1)=ℎ(x1)⋅ℎ(x2)−ℎ(x2)−x1+2；②g[ℎ(x)]是“0-1函数”，求函数ℎ(x)的解析式及实数a的值．2018-2019学年北京市人大附中高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9}，全集U=A∪B，则集合C U(A∩B)中的元素共有A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】A【解析】试题分析：U =A ∪B ={3,4,5,7,8,9},A ∩B ={4,7,9},所以C U (A ∩B)={3,5,8}，即集合C U (A ∩B)中共有3个元素，故选A ．【考点】集合的运算．2．函数()f x =的定义域是（ ）． A ．(),2-∞ B ．[)2,+∞ C ．(],2-∞ D ．()2,+∞【答案】D【解析】要使函数有意义，则需20x ->，解得： 2x >，所以函数的定义域是：()2,+∞，故选D ．3．设集合A={（x ，y ）|4x+y=6}，B={（x ，y ）|3x+2y=7}，则满足C ⊆A ∩B 的集合C 的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】先求出A ∩B ，然后根据A ∩B 中元素的个数确定C 的个数．【详解】A ∩B ={(x ，y)|{4x +y =63x +2y =7 }={（1，2）}， ∴C 是∅或{（1，2）}，共有2个．故选：C ．【点睛】本题考查子集的性质和应用，属于基础题．4．下列函数中，在（-∞，0）上为减函数的是（ ）A ．y =−x 2+2B ．y =4x −1C ．y =x 2+4xD ．y =1x【答案】D【解析】根据二次函数，一次函数，反比例函数的单调性，逐一判断四个答案中的函数在区间（﹣∞，0）上的单调性，比照后，即可得到答案．【详解】 A 中，函数y ＝﹣x 2+2在（﹣∞，0）上为增函数；B 中，函数y ＝4x ﹣1在（﹣∞，0）上为增函数；C 中，函数y ＝x 2+4x 在（﹣∞，﹣2）上为减函数，在（﹣2，0）上为增函数；D 中，函数y =1x 在（﹣∞，0）上为减函数故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明，熟练掌握各种基本初等函数的单调性，是解答本题的关键．5．已知函数f(x)=(23)x ，则函数y=f （x+1）的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】根据题意，先求f （x +1）的表达式，可得f(x +1)=(23)x+1=23⋅(23)x ，进而分析可得f （x ）单调递减，且其图象与y 轴交点在（0，1）之下，比较选项可得答案．【详解】根据题意，可得f(x +1)=(23)x+1=23⋅(23)x ，f （x ）单调递减； 同时有f(0)=23＜1，23＜1，即函数图象与y 轴交点在（0，1）之下； A 、D 选项的图象为增函数，不符合；C 选项的图象与y 轴交点在（0，1）之上，不符合；只有B 的图象符合两点，故选：B ．【点睛】本题考查指数函数的性质和函数图象的变化，掌握指数函数的性质是解题的关键．6．如果二次函数y=x2-（k+1）x+k+4有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(−∞,−3)∪(5,+∞)B ．(−∞,−5)∪(3,+∞)C ．(−3,5)D ．(−5,3)【答案】A【解析】二次函数y ＝x 2﹣（k +1）x +k +4有两个不同的零点可得，x 2﹣（k +1）x +k +4＝0有两个不同的实根，则△＞0，解不等式可求.【详解】∵二次函数y ＝x 2﹣（k +1）x +k +4有两个不同的零点∴x 2﹣（k +1）x +k +4＝0有两个不同的实根∴△＝（k +1）2﹣4（k +4）＝k 2﹣2k ﹣15＝（k +3）（k ﹣5）＞0∴k ＜﹣3或k ＞5故选：A ．【点睛】本题主要考查了二次函数的零点与二次方程的根的存在情况的判断，属于基础题.7．下列大小关系正确的是（ ）A ．0.43<30.4<log 40.3B ．0.43<log 40.3<30.4C ．log 40.3<0.43<30.4D ．log 40.3<30.4<0.43【答案】C【解析】试题分析：根据指数的性质可知：0<0.43<0.4<12，30.4>1，根据对数的性质12<log 43<1,所以0.43<12<log 43<1<30.4，故选择D.【考点】1.指数对数的比较大小；2.指数、对数的运算性质.8．已知函数()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，32()2f x x x =-，则当0x <时，()f x =（ ）A ．322x x +B ．322x x -C ．322x x -+D ．322x x --【答案】A【解析】试题分析：设0x <，则0x ->，因为函数()f x 是R 上的奇函数，所以()()3232f x f x x x x x=--=----=+，故选A．[()2()]2【考点】函数的奇偶性的应用．二、填空题9．计算：e ln1＝________.【答案】1【解析】利用对数的运算规则a log a N=N可得计算结果.【详解】因为e ln1=e log e1=1，故填1.【点睛】对数有如下的运算规则：（1）log a M+log a N=log a(MN)(a>0,a≠1,M>0,N>0)，(a>0,a≠1,M>0,N>0)；log a M−log a N=log a MN（2）a log a N=N(a>0,a≠1,N>0)；log a b(a>0,a≠1,b>0,p≠0)；（3）log a p b q=qp(a>0,a≠1,b>0,c>0,c≠1) .（4）log a b=log c blog c a10．已知集合A={x|x>1}，B={x|x>a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是______.【答案】(−∞,1]【解析】在数轴上画出两个集合对应的范围，利用A⊆B可得实数a的取值范围. 【详解】如图，在数轴表示A,B，因为A⊆B，故a≤1，填(−∞,1].【点睛】含参数的集合之间的包含关系，应借助于数轴、韦恩图等几何工具直观地讨论参数的取值范围，解决此类问题时，还应注意区间端点处的值是否可取. 11．函数f(x)=log a(a−a x)(0<a<1)的定义域为__________.【答案】(1,+∞)【解析】解不等式a−a x>0可得函数的定义域.【详解】由题设有a−a x>0即a>a x，因0<a<1，故x>1，故函数的定义域为(1,+∞)，填(1,+∞).【点睛】函数的定义域一般从以下几个方面考虑：（1）分式的分母不为零；（2）偶次根号√an（n∈N∗,n≥2，n为偶数）中，a≥0；（3）零的零次方没有意义；（4）对数的真数大于零，底数大于零且不为1.12．已知f(x)＝{x2−1, x≤1−x+1, x>1，则f[f(−1)]＝_________；若f(x)=−1，则x=________．【答案】－1 0或2【解析】根据自变量的范围选择合适的解析式计算函数值即可，分段讨论可得何时f(x)=−1.【详解】f(−1)=(−1)2−1=0，故f[f(−1)]=f(0)=−1，因为f(x)=−1，故{x≤1x2−1=−1或者{x>1−x+1=−1，解得x=0或x=2 . 综上，填−1，0或2.【点睛】分段函数的求值问题，应该自变量的范围选择适当的解析式去求函数值，如果知道分段函数的函数值，则应分类讨论求出不同范围上的自变量的值，也可以先刻画出分段函数的函数图像，结合图像求函数值或相应的自变量的值.13．已知函数f(x)=ax2−2x−2在区间[1,+∞)上不单调，则实数a的取值范围是________.【答案】(0,1)【解析】∈[1,+∞)，从而得到实数a的取值范根据函数在[1,+∞)不单调可得a≠0且1a围.【详解】若a=0，则f(x)=−2x−2，f(x)在[1,+∞)为减函数，不符题意，舎；，因为f(x)在[1,+∞)不单调，若a≠0，则f(x)为二次函数，对称轴为x=1a>1，所以0<a<1，填(0,1).故1a【点睛】含参数的多项式函数，我们要首先确定最高次项的系数是否为零，因为它确定了函数种类（一次函数、二次函数、三次函数等）.其中，一次函数y=kx+b 的单调性取决于k的正负，二次函数的单调性取决对称轴的位置及开口方向. 14．如图放置的边长为2的正三角形ABC沿x轴滚动，记滚动过程中顶点A 的横、纵坐标分别为x和y，且y是x在映射f作用下的象，则下列说法中：①映射f的值域是[0,√3]；②映射f不是一个函数；③映射f是函数，且是偶函数；④映射f是函数，且单增区间为[6k,6k+3](k∈Z)，其中正确说法的序号是___________.“正三角形ABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿说明：x轴正方向滚动指的是先以顶点B为中心顺时针旋转，当顶点C落在x轴上时，再以顶点C为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正三角形ABC可以沿x轴负方向滚动．【答案】③。
2022-2023学年北京市丰台区高一上学期期中练习数学(A卷)试卷(带讲解)
如果选择条件①：则函数的最小值为 .
所以 ；
如果选择条件②：由题得 .
所以 ；
如果选择条件③：由题得 .
所以 .满足 .
所以
【小问2详解】
由题得 在 上恒成立，
设 对称轴方程为 ，
所以 .
所以 .
20.己知函数 ．
（1）证明：2为函数 的一个零点；
（2）求关于x的不等式 的解集．
【答案】（1）证明见解析；
（2）利用函数是偶函数，求函数的解析式，再根据解析式求函数的值域；
（3）利用数形结合，转化为 与 有三个交点，求 的取值.
【小问1详解】
因为函数是偶函数，所以函数图象关于 轴对称，如图所示，
函数的单调递增区间： 和 ，单调递减区间： 和 .
所以函数的解析式是 ，
16.已知集合 ．
（1）当 时，求 ；
（2）若 ，求实数a的取值范围．
【答案】（1） 或 ；
（2） 或 ．
【分析】(1)代入a＝－1，求出B，根据交集的概念即可求出 ，根据补集概念可求 ；
(2)画出集合B和 的图象，数形结合即可求解．
【小问1详解】
时， ，
则 ，
或 ．
【小问2详解】
∵ ，∴B和 关系如图：
【详解】解： ，即 是奇函数，图象关于原点对称，排除 ， ，
当 时， ，排除 ，
故选： ．
6.已知函数 ，则“ ”是“ 是幂函数”的()
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据幂函数的定义求出n的值，再根据充分条件的概念即可判断．
【详解】若函数 为幂函数，则 ，解得n＝3或n＝－1．
北京市丰台区2022-2023学年高一上学期11月期中考试语文试题A卷 Word版含答案
丰台区2022-2023学年度第一学期期中练习高一语文（A卷）（练习时间：150分钟）一、本大题共5小题，共17分。
阅读下面两则材料，回答问题。
材料一近年来，人们对于环保能源的需求迫在眉睫．．．．，各个国家都在积极研发各种绿色环保的能源来替代传统能源。
传统的化石燃料大多消耗于交通运输业，而电动汽车能有效地节省化石燃料，减轻对环境的污染。
不过电动汽车目前有一个显著的缺点，就是不便长途驾驶，这也是令很多研发人员头疼的问题。
孟菲斯是瑞典的一名电力工程师，他一直专注于新型环保能源的开发，为了让电动汽车能适应所有的场合，他想了很多办法，对汽车上的电瓶做了很多优化和升级，但即使电瓶的容量再大、使用再持久，也总会有耗尽的时候，这仍然限制了电动汽车的便捷性。
正如有人所说：“在没有充电设备的路段，耗尽电力的电动汽车一文不值．．．．。
”“那如果公路能充电呢？走到哪儿充到哪儿！”孟菲斯说道。
其实这个主意并不是心血来潮．．．．，早在几年前，孟菲斯就曾思考过这个方案，不过并没有展开研发。
经过多年的深思熟虑，孟菲斯把这个方案正式上报给了所属机构，得到了全力支持，机构成立了项目研究团队，决定彻底解决电动汽车的使用局限问题。
2018年，瑞典开通了第一条“充电公路”。
公路通过车辆底部连接的一根移动充电臂，将电力从地下轨道输送给车辆电池。
这听起来似乎有点危险，但项目研究团队称，它的危险程度极低。
这条充电公路由许多节50米的路段构成，每节路段独立供电，只给在该节路段上行驶的车辆充电。
为确保安全，车辆停下来时，电力自动切断。
“针对未来建设，瑞典政府的公路部门已经绘制了规划草图。
所以这只是第一步，以后我们一定能做得更好。
”孟菲斯对此深信不疑．．．．。
材料二中国是最早拥有太阳能高速公路的国家之一。
齐鲁交通发展集团在山东济南投资建设了全球首条高速光伏公路，公路全长近2公里。
高速光伏公路的路面由一块块看似“玻璃”的光伏板组成，但行走在上面摩擦力十足。
北京市丰台区2024-2025学年高一上学期期中考试语文试卷(word版,含答案)
北京市丰台区2024-2025学年高一上学期期中考试语文（A卷）一、现代文阅读阅读下面的材料，完成下面小题。
材料一2022年暑期，电视剧《梦华录》在全国热播。
此剧生动展现了宋代的市井生活与民俗文化，其中，宋代的茶文化被精致地呈现出来。
女主角赵盼儿与胡掌柜斗茶的一幕格外精彩：镜头中，摆满茶碾、茶盏等茶具的桌前，赵盼儿先是以舞蹈功夫来配合制茶，接着在点茶时，她用茶盏奏出了《阳关三叠》的乐曲，而后表演了在茶汤上绘画的技艺“茶百戏”。
这段剧情引发了不少观众对宋代美学、中国传统茶文化的关注与讨论。
古代烹茶有“唐煎宋点”之说，说的是唐人品茶以煎茶为主，而宋时茶的品饮技艺，已由煎茶发展为点茶。
点茶是一项技艺性很强的沏茶方式。
点茶时，将已经碾细的茶末直接投入茶盏，然后冲入沸水，这时水要喷泻而入，不能断断续续。
就在一只手往茶盏注入沸水之际，另一只手则持特制茶筅击拂，回旋搅打，最终使茶粉与沸水交融，茶汤表面泛起一层覆满盏面的汤花。
如此不断地运筅、击拂、泛花，使点茶进入美妙境地。
在点茶过程中，茶汤浮面出现的变幻，又使点茶派生出一种游戏，古人称之为茶百戏，又称分茶或汤戏。
北宋陶谷《清异录》载：“近世有下汤运匕，别施妙诀，使汤纹水脉成物象者，禽兽、虫鱼、花草之属，纤巧如画，但须臾即就散灭。
此茶之变也，时人谓之‘茶百戏’。
”此载表明“茶百戏”就是由宋人点茶时派生出来的一种茶艺游戏。
“茶百戏”虽出自点茶，但着重点与之不同。
“茶百戏”讲究“技”，更注重“艺”，这个“艺”，就是使茶汤表面显现出变幻的纹饰图案。
现存很多宋人诗词中，我们能看到“分茶”之称，不见“茶百戏”或“汤戏”，这也许是因为其起初俗称“茶百戏”，而文人参与后又给它起了“分茶戏”的雅名，并简称“分茶”。
宋代茶百戏，将茶饮注入精神和文化，实用和审美兼得，增强了茶艺活动的趣味性和生动性，在当时非常盛行，连边境内外的少数民族包括辽、金的茶饮方式都深受影响。
元代后茶百戏逐渐衰落，虽然明代仍有分茶遗韵，但随着朝代的更替，茶百戏这颗明星如流星陨落般消失于历史的长河。