数学建模狐狸野兔问题
生态平衡建模实验_狐狸和啮齿动物
含义 仿真时间(第 m 月) 狐狸的出生率 第 m 月幼年狐狸的数量 第 m 月幼年狐狸出生的数量 第 m 月幼年狐狸饿死的数量 第 m 月成长为成年狐狸的数量 第 m 月成年狐狸的数量 第 m 月成年狐狸饿死的数量 狐狸每月被猎杀的数量 第 m 月狐狸的总数量 记录第 m 月狐狸是否出现饿死情况 狐狸经历饿死情况的次数
建立系统动力学模型1变量定义变量含义foxbirth狐狸的出生率foxchildm月幼年狐狸的数量foxchildaddm月幼年狐狸出生的数量foxchildhungrym月幼年狐狸饿死的数量foxchildgrowm月成长为成年狐狸的数量foxadultm月成年狐狸的数量foxadulthungrym月成年狐狸饿死的数量foxhunted狐狸每月被猎杀的数量foxm月狐狸的总数量recordm记录第m月狐狸是否出现饿死情况hungry狐狸经历饿死情况的次数狐狸出生率幼年狐狸成年狐狸猎人啮齿动物出生率幼年啮齿动物成年啮齿动物未饿死狐狸死亡狐狸出生幼年狐狸成年狐狸自身及父母未被狐狸吃掉啮齿动物死亡啮齿动物出生幼年啮齿动物成年啮齿动物父母被狐狸吃掉变量含义rodentbirth啮齿动物的出生率rodentchildm月幼年啮齿动物的数量rodentchildaddm月幼年啮齿动物出生的数量rodentchildeatedm月幼年啮齿动物被吃掉的数量rodentchildabandonm月因父母被捕食短缺扶养和保护而死亡的数量rodentchildgrowm月成长为成年啮齿动物数量rodentchildhungrym月幼年啮齿动物饿死的数量rodentadultm月成年啮齿动物的数量rodentadulteatedm月成年啮齿动物被吃掉的数量rodentadulthungrym月成年啮齿动物饿死的数量rodentm月啮齿动物的总数量eatchild每只幼年狐狸每月吃掉的啮齿动物数eatadult每只成年狐狸每月吃掉的啮齿动物数可知foxbirth08eatchild10eatadult60foxhunted2建立方程式需要进行设置的初始值有
狐狸与兔子数学模型的论文
狐狸与野兔(捕食者与被捕食者)问题摘要在生态系统中，捕食与被捕食的关系无处不在，它们相互依存，相互制约，在自然选择的条件下，只要经过足够长的时间，物种的数量关系就会达到动态的平衡，而这种平衡与初始状态下各物种的数量无关。
本文研究的是狐狸与野兔两个物种的关系，题目中已经给出了两个物种的变化率之间的关系，直接解出即可看出狐狸与野兔两个物种的数量关系，但已知的微分方程组不能直接解出解析解，因此，我们用“组合的2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法”求给定微分方程的数值解，在给出初值：狐狸300只，野兔800只的情况下，用MATLAB 软件进行计算，然后通过狐狸和野兔数量的图像确定狐狸和野兔的数量关系：狐狸的数量随着野兔数量的增加而增加，而野兔的数量又随着狐狸的增加而减少，经过自然界的反馈作用，狐狸的数量又随着野兔数量的减少而减少，进一步，野兔的数量又会随着狐狸的减少而增加，它们的关系就这样循环，最后直至平衡，达到稳定状态。
在平衡状态下，狐狸和野兔的数量保持不变，因而它们的变化率应该为0，所以直接令微分方程等于0，解得平衡状态下：狐狸200只，野兔900只。
在没有人类捕猎的条件下，野兔数量的变化率为xy x dtdx 02.04-=，可见狐狸对野兔的捕捉量与狐狸和野兔的数量乘积成正比，比例系数为0.02。
同理，如果考虑人类对野兔的捕猎，可假设“人类对野兔的捕捉量与人类和野兔的数量乘积成正比，比例系数为a ”，在这种情况下，达到平衡时野兔的数量没有变化，狐狸的数量有所减少。
根据以上思路，如果考虑人类对狐狸进行捕猎，可假设“人类对狐狸的捕捉量与人类和狐狸的数量乘积成正比，比例系数为b ”，在这种情况下，达到平衡时狐狸的数量没有变化，野兔的数量有所增加。
关键词：组合的2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法 滞后 反馈作用 MATLAB 自然平衡一、问题重述在一个封闭的大草原里生长着狐狸和野兔。
在大自然的和谐的坏境中，野免并没有因为有狐狸的捕食而灭绝。
数学建模2020a题
数学建模2020a题
以下是数学建模2020A题的部分信息：
题目名称：沙漠狐狸的生存策略
问题描述：沙漠狐狸在食物短缺时会吃有毒的植物来获取营养。
这种植物含有一种化学物质，对人类和其他动物是有毒的，但对沙漠狐狸来说却是无害的。
这是因为沙漠狐狸有一种特殊的代谢机制，可以将这种化学物质转化为无害的物质。
然而，这种机制并不是沙漠狐狸天生就有的。
事实上，很多沙漠狐狸因为吃了有毒植物而死亡，但偶尔也有一些狐狸能够抵抗这种毒素存活下来。
这些存活下来的狐狸有可能将这种代谢机制传给下一代。
假设新生狐狸中，有1%具有这种代谢机制。
这些新生狐狸在成长过程中能够安全地吃有毒植物，而其他99%的狐狸会因为吃了有毒植物而死亡。
此外，我们还假设只有具有这种代谢机制的狐狸可以生育下一代。
根据这些信息，请回答以下问题：
1. 在一个种群中，需要多少年才能使具有这种代谢机制的狐狸占据主导地位？
2. 在这个过程中，种群数量会如何变化？
3. 如果人类活动影响了这个种群，例如过度捕猎或改变环境，这将如何影响具有这种代谢机制的狐狸在种群中的比例？
提供的信息量相对较少，但可以通过建立数学模型来解决这些问题。
建立模型的关键是理解并正确描述问题中的自然选择和遗传机制。
可以使用概率论、微分方程、线性代数等数学工具来解决这个问题。
大学奥数之狐狸吃草问题(含答案)
大学奥数之狐狸吃草问题(含答案)大学奥数之狐狸吃草问题答案
问题描述
在大学奥数竞赛中，有一道关于狐狸吃草的问题，现在我们来解答这个问题。
解答
假设有一片长为 *N* 厘米的草地。
我们有一只狐狸，它每次可以吃掉草地上 *A* 厘米的长度。
另外，有一只兔子，它每次可以吃掉草地上 *B* 厘米的长度。
问题是，经过多少轮之后，狐狸会吃掉兔子？
简洁解决方案
我们可以通过计算狐狸和兔子每次吃掉的草地长度，来确定狐狸吃掉兔子所需的轮数。
假设狐狸和兔子每轮吃掉的长度分别为 *x* 厘米和 *y* 厘米，则有以下公式：
x = A
y = B
我们需要找到满足以下不等式的最小正整数 *n*：
x * n > y * n
即：
A * n >
B * n
解上述不等式，得到：
n > 0 when A > B
因此，只要狐狸每次吃掉的长度大于兔子每次吃掉的长度，那么经过一轮之后，狐狸就会吃掉兔子。
总结
根据我们的解答，只要狐狸每次吃掉的长度大于兔子每次吃掉的长度，狐狸就会在经过一轮后吃掉兔子。
这是一个简单的问题，但需要注意计算和比较吃掉的草地长度。
请注意，这个答案仅仅是一个模拟的解决方案，实际情况可能有所不同。
数学建模--野兔
数学建模--野兔数学建模2辽宁工程技术大学数学建模课程成绩评定表学期2014-2015学年1学期姓名高显利李浩申李金胜专业工程管理班级14-工中职一班课程名称数学建模论文题目航空机票超订票问题评定标准评定指标分值得分知识创新性20理论正确性20内容难易性15结合实际性10知识掌握程度15书写规范性10工作量10总成绩100评语:任课教师林清水时间2015年11月15日备注摘要当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。
这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。
关键词种群繁殖野兔数学建模稳定收获异常现象 Logistic模型生态学 MATLAB程序根据题目：在某地区野兔数量在连续十年统计数量(单位十万)如下：分析该数据，得出野兔的生长规律。
并指出在哪些年内野兔的增长有异常现象。
对于这种种群生态学问题，我们可以用Logistic（逻辑斯蒂方程）模型来模拟。
Logistic 模型是种群生态学的核心理论之一。
它可以用来描述种群生长规律，利用它可以表征种群的数量动态。
之所以选择该模型来研究野兔生长问题，是因为，该模型考虑并概括了，种群发展所遇到的各种外界条件，也就是说，它模拟了真实情况。
通过建立Logistic模型，我们小组得出T=10时，野兔数量为9.84194（十万）只。
该结果比较符合客观规律。
利用Logistic模型可以表征种群的数量动态；如鱼类种群的增长，收获与时间关系的确定。
实习目的学会用logistic模型来表达,用logistic模型来表达增长性问题。
问题重述1、兔子的自然死亡。
2、兔子天敌的种群变化。
3、各种疾病的蔓延。
4、人类的捕杀与破坏问题剖析野兔生长问题。
野兔在自然条件不变下，野兔的种群应该保持不变。
数学建模野兔生长问题
野兔生长问题摘要根据题II,野兔生长属自然范畴，若在生存条件良好，且无外力干扰的情况下，其种群数量是呈对数型增长的，从著名的斐波纳契数列解决兔子生长问题也可以看出，兔子的生长，呈递增的状态。
可由题口条件可知，野兔生长并不是处于理想的情况下的，中间有递减的情况，考虑到自然的各种原因，诸如，天敌的捕杀，自然灾害，疾病，生存地的减少等。
对于这种种群生态学问题，我们可以用Logistic （逻辑斯蒂方程）模型拟和多项式拟合来模。
Logistic模型是种群生态学的核心理论之一。
它可以用来描述种群生长规律，利用它可以表征种群的数量动态。
用多项式拟合可以大致模拟预测未来的兔子数量。
之所以选择该模型来研究野兔生长问题，是因为，该模型考虑并概括了，种群发展所遇到的各种外界条件，也就是说，它模拟了真实情况。
通过建立Logistic模型，我们小组得出T二10时，野兔数量为9. 84194 （十万）只。
该结果比较符合客观规律（利用Logistic模型可以表征种群的数量动态；如鱼类种群的增长，收获与时间关系的确定。
描述某一研究对象的增长过程如生态旅游区环境容量的确定，森林资源的管理以及耐用消费品社会拥有量的预测、国民生产总值的预测等：也可作为其它复杂模型的理论基础如Lotka-Volterra两种群竞争模型；以上的大多数的工作都是拿逻辑斯蒂模型来用，但也山此可看出逻辑斯蒂方程不管在自然科学领域还是在社会科学中都具有非常广泛的用途。
关键字:Logistic模型生态学MATLAB程序问题重述野兔生长问题。
首先，野兔是生长在自然环境中的。
自然很复杂，存在着许多影响种群发展的因素。
我们知道，假如给野兔一个理想的环境，野兔数量是呈J型增长的。
现实情况中，种群一般是呈S型增长的，从题中表格看出，野兔的数量并不是单一地增长,T=3, 6. 90568； T=4, 6. 00512； T=5, 5.56495； T二6, 5.32807。
数学建模论文野兔生长问题
野兔生长问题摘要本文根据已知的野兔连续十年的统计情况，探讨野兔的合理的存活率并推测当前的发展趋势，针对不同情况给出方法推算出野兔数量的走向的目的。
首先，充分利用给出的前两年来野兔的数量变化，分析近两年来的野兔群落的情况，建立一个线性方程组的数学模型，通过求解方程组得出不同年份野兔的数量的数学关系，并且求出了平均增长率为：1.718%；所以通过一些比例之间的关系得到这个野兔群落的T＝10的数量（见表1）。
然后，建立一个种群增长的差分方程模型，求出的野兔生长规律。
求解当前野兔对应的Leslie矩阵的特征根，发现该特征根大于1，根据Leslie矩阵的稳定性理论知道：如果不进行避孕注射该野兔种群将无限增长（如果环境允许）；据此，利用Leslie矩阵稳定的充要条件求出应该保持多大的繁殖率才能使种群保持稳定，求解的主要思路是：特征根取为1、把繁殖率当成未知数，将此时的各年龄段的存活率代入方程⑥即可。
最后，只需将野兔的存活率代入那个以繁殖率为未知数的方程（方程⑥），求出在哪些年内野兔的增长有异常现象，。
考虑到求解的数据比较多，采取计算机模拟的方法来确定移走野兔后所需要进行避孕的母兔头数为了检验计算机模拟的正确性，用理论去验证。
问题重述位于某国的国家公园中栖息着近10000头野兔。
管理者要求有一个健康自由的环境以便观察这个10000头野兔的数量变化情况。
管理者逐年统计了野兔的数量，发现在过去的10年中，野兔的生长变化并不稳定，呈现波浪式起伏，根据这些信息我们需要解决以下问题：1. 探讨年龄在1岁到10岁之间的野兔的合理的存活率的模型，推测这个野兔群落的当前的年龄结构。
2. 知道哪些环境和内部因素对野兔生长数量的影响，并测算出各个影响的程度如何。
3. 探求偶然突发事件对野兔生长数量的巨大影响和它的规律性。
4. 根据野兔的生长变化，对野兔的生长特点进行分析。
问题假设1、假设野兔的性别比近似认为1：1，并且采用措施维持这个性别比；2、假设母兔可以怀孕的年龄为1岁—6岁、最高年龄为10岁，10岁的死亡率为100%，并且6—10岁的野兔的只数呈线性递减；3、假设野兔在各年龄段中的分布率不变，即年龄结构不变，并采用各种措施维持这一结构；4、假设兔子的内部因素对其生存率的影响不大5、假设0岁野兔能够活到1岁的比例为75%；6、假设各个环境因素对野兔生长的影响是互不影响的。
数学建模案例分析2生态系统--差分方程方法建模.
§2生态系统一、一阶常系数线性差分方程其通解是对应齐次方程的通解加上原方程的一个特解。
的算法是待定系数法。
（1）次多项式（2）指数函数二、应用举例设想在一个长满了青草的小荒岛上栖息繁衍着一群野兔。
开始时共有野兔只，我们来研究其数目随时间变化的规律。
假设第年野兔的数目用表示。
记第0年的野兔数为。
（1）先作如下的假设：下一年野兔的净增加数目和上一年的数目成正比，且比例系数是一个常数，记为。
这种假设是很合理的，因为在野兔的食物——青草非常充足的条件下，一年内新出生的野兔数和成年母兔数成正比，而成年母兔数又和野兔总数成正比，因而一年内新出生的野兔数和野兔总数成正比。
另一方面，一年内死亡的野兔数大体也和野兔总数成正比。
这样，第年野兔的净增加数（出生数减去死亡数）和上一年野兔的数目成正比，即可以列出方程：移项整理后得到方程（1）这里。
这是一阶常系数齐次线性差分方程。
可以计算出第年的野兔总数为。
这个描述野兔数目的模型是否合理呢？假设，，计算对应的值列表如下：0 1 2 3 4 8 10 15 20 50100 140 196 274 384 1 475 2 893 15 576 83 668 20(亿这是一个按指数增长的量，由表中数据我们发现，50年后野兔的总数为20亿！也许有人会认为太大，但是对于一年可以生育2~3次的兔子来说不应该算太大。
问题可能出在这个小岛上青草是否能够支持这么多的野兔生存下来？其实，这个模型最严重的缺陷就是没有反映野兔生存资源对野兔种群的约束。
于是我们要改进模型。
（2）进一步的模型设想小荒岛上的青草最多可以养活只野兔。
是自然资源所能承担的野兔的最大容量。
我们修改关于野兔数目的假设如下：下一年野兔的数目和上一年的数目成正比，比例数，即与上一年的野兔数目有关。
这样我们得到方程（2）我们先来看看假设的合理性。
方程（2）等价于（3）方程左端是前后两年野兔数目的比值。
当与之差是一个较大的数时，说明自然资源还有较大的能力支持野兔种群的扩大，下一年的野兔总数可以有一个较大的增长。
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（8） 将题目所给数据代入式（8）求的平衡状态为
狐狸的数量与野兔的数量的比例：
在式（4）中，不同捕获系数对应狐狸和野兔平衡状态的 数量及狐狸与野兔数量的比例如表1.
表1.
0
0.1
0.2
0.3
0.4
野 兔的 数量
八、附录
8.1 首先建立 M-文件 bushi.m function dy=bushi(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=0.001*y(2)*y(1)-0.9*y(1);%y(1)表示狐狸y，y(2)表示野兔x dy(2)=4*y(2)-0.02*y(2)*y(1);
8.2 图像主程序tuxiang.m 8.2.1 % 取t0=0，tf=10 本例初始值设为200 500 注意：y(1)表示狐 狸y，y(2)表示野兔x [T,Y]=ode45('bushi',[0:0.05: 10],[200 500]); subplot(1,2,1); plot(T,Y(:,1),'-.r',T,Y(:,2),'b') xlabel('图 1-甲 狐狸和兔子的数量变化图 ') ylabel('狐狸或兔子的数量') gtext('x(t)曲线'),gtext('y(t)曲线'); subplot(1,2,2) plot(Y(:,2),Y(:,1),'-') xlabel('图 1-乙 狐狸与兔子的数量变化关系图') ylabel('y')
二、模型假设
（1） 题目所给数据真实有效，野兔有充分的食物，狐 狸只以野兔为食物；
（2） 自然状态下，野兔独立生存时的相对增长率为正 常数；
（3） 自然状态下，狐狸独立生存时的相对增长率为负 常数；
（4） 野兔由于狐狸的存在使增长率降低，降低的程度 与狐狸数量成正比；
（5） 狐狸由于野兔为其提供食物使死亡率降低或使之 增长，增长的程度与野兔的数量成正比；
对于问题二，利用数值解法，令模型中两式皆为0，即求得狐狸和野 兔数量的平衡状态。且由问题一中狐狸与野兔数量的关系图知野兔和狐 狸的平衡量恰为他们在一个周期内的平均值。
对于问题三，在Volterra模型基础上引入人工捕获系数。 只捕获野兔时，野兔的自然增长率降低，狐狸自然死亡率增加，改 进后模型同问题二处理方式一样，求得平衡状态，得出结论：捕获野兔 时，狐狸数量减少，野兔数量反而增加，即Volterra原理：为了减少强 者，只需捕获弱者。 只捕获狐狸时，分析方法与只捕获野兔时相同，并得出野兔狐狸数 量皆增加的结论。 问题三为自然界人类捕获生物提供了新的思路，即可以在正常允许 范围内，为了达到减少某一种群数量的目的，相应的捕获其食饵，或适 度地捕获捕食者使捕食者与被捕食者的数量都有所增加。
狐狸野兔问题 摘要：封闭自然环境中的狐狸和野兔存在捕食与被捕食关系，本题旨
在通过对自然状态下两物种数量变化规律的分析，推测加入人类活动 （即人工捕获）时两物种数量的变化，进而得出人类活动对自然物种的 影响，为人类活动提供参考，使其在自然允许的范围内，促进人与自然 和谐相处。
对于问题一，首先建立微分方程，描述两物种数量随时间变化的 Volterra模型 并用解析法求得狐狸与野兔数量的关系
为直观反映两物种数量随时间的变化规律，选取三组有代表性的初值， 利用Matlab软件绘图。在狐狸和野兔随时间的变化图像中，大致得出其 数量呈周期变化，为进一步检验周期性，再用 Matlab绘图做出狐狸与 野兔数量的关系图，得到封闭曲线，因此分析结果为：狐狸和野兔的数 量都呈现周期性的变化，但不在同一时刻达到峰值。
设，均变小了，则野兔的增长率由变为(-+)，狐狸的死 亡率由变为(--),此时模型为：
代入题目所给数据求得平衡状态为
由平衡状态知，此时野兔数量不仅与人工捕获野兔的系数有 关，还与人工捕获狐狸的系数有关；狐狸数量变化亦如此。
七、参考文献ห้องสมุดไป่ตู้
[1] 萧树铁 姜启源 张立平等，《数学实验（第二版）》，高等 教育出版社，1999 [2] 李艳会 王高雄 周之路等，《常微分方程（第三版）》，高 等教育出版社，2006 [3] 徐全智 杨晋浩，《数学建模（第二版）》，高等教育出版 社，2008
900
1000
1100
1200
1300
狐
狸的
200
195
190
185
180
数量
0.222 0.195 0.172 0.154 0.138 0.125
为直观反应人工捕获使两物种相遇的机会变小，作不同对 应两物种平衡状态时，不考虑与考虑时，狐狸的数量与野兔的 数量的比例图5
由图5知，考虑人工捕获对两物种相遇的影响后，只捕获 野兔时，两物种平衡状态时的数量比变小，狐狸数量比野兔增 加的快
不同对应两物种平衡状态时，不考虑与考虑时，狐狸的数 量与野兔的数量的比例图6。
由图6知，考虑人工捕获对两物种相遇的影响后，只捕获 狐狸时，两物种平衡状态时的数量比变小，即狐狸数量比野兔 增加的快。
6.1.2推广二 在实际生活中，人类捕获野兔和狐狸的活动大多是同时
进行的，而且当对野兔和狐狸进行捕猎后，两种动物相遇的机 会还会变小，即模型中的系数，都变小。
所以在没有人类捕捞的情况下，给定野兔和狐狸的初始 值，野兔与狐狸增长规律性可用常微分方程组描述（Volterra 模型）
（1）
5.2模型的求解 首先将式（1）的两式相除，消去得到
这是可分离变量方程 两边积分得到的通解
（2） 其中常数由初始条件确定。 式（2）的解描述了野兔和狐狸的数量随时间的变化过程， 但是得不到的解析解，需要用数值算法求解。
从以上三图可以看出，不论初始时刻野兔和狐狸数量大小 关系如何变化，两物种的数量变化都有如下规律：当狐狸数量 增加时，野兔数量开始减少；狐狸数量达到峰值时便开始递 减，然后野兔数量回升；野兔数量达到峰值后再次减少。两种 动物的数量都呈现出周期性的变化，各自达到一个峰值就会趋 于平衡，但是两个峰值不在同一时刻达到，这符合捕食与被捕 食的关系，是捕食与被捕食系统的振荡现象。
关键词：Volterra模型 Matlab软件 解析法 周期性
一、问题重述
在一个封闭的大草原里生长着狐狸和野兔。在大自然的和 谐的坏境中，野免并没有因为有狐狸的捕食而灭绝。因为每一 种动物都有它们特有的技巧来保护自己。设时刻它们的数量分 别为和,已知满足以下微分方程组
（1） 分析这两个物种的数量变化关系。 （2） 在什么情况下狐狸和野兔数量出现平衡状态？ （3） 建立另一个微分方程来分析人们对野兔进行捕猎 会产生什么后果？对狐狸进行捕猎又会产生什么后果？
食物，而狐狸是以野兔为食物的。野兔独立生存时，数量的增 长应服从马尔萨斯模型，但是有狐狸的存在，则被狐狸吃掉是 野兔死亡的一个重要原因。两物种相遇（发生被吃现象）是偶 然的，相遇机会与两个群体规模乘积成正比，所以在马尔萨斯 模型的基础上增加一项:，即
假定狐狸的出生率与群体规模成正比，而真正能活下来的 只是那些找到食物的（与野兔相遇部分），所以它的有效出生 率与两物种规模成正比。假定它的自然死亡率也与群体规模成 正比，即
8.2.2 % 取t0=0，tf=10 本例初始值设为200 200 注意：y(1)表示 狐狸y，y(2)表示野兔x [T,Y]=ode45('bushi',[0:0.05: 10],[200 200]); subplot(1,2,1); plot(T,Y(:,1),'-.r',T,Y(:,2),'b') xlabel('图 1-甲 狐狸和兔子的数量变化图 ') ylabel('狐狸或兔子的数量') gtext('x(t)曲线'),gtext('y(t)曲线'); subplot(1,2,2) plot(Y(:,2),Y(:,1),'-') xlabel('图 1-乙 狐狸与兔子的数量变化关系图') ylabel('y')
（4） 将题目所给数据代入式（4）得
（5） 令式（5）中两式为0，得
求得平衡点 或 （舍去）
因，所以捕获野兔时，狐狸数量减少，野兔数量反而增 加。即Volterra原理：为了减少强者，只需捕获弱者
5.2.3.2只捕获狐狸
设只捕获狐狸的捕获系数为，此时野兔的自然增长率由增为，狐狸 的自然死亡率由增为。改进后模型为
（6）
将题目所给数据代入式（6）得
（7） 令式（7）中两式为0，得 求得平衡点
或 （舍去） 因，所以捕获野兔时，野兔狐狸数量皆增加。
六、模型的评价与推广
6.1模型的评价 （1）Volterra模型给出了自然界存在捕食与被捕食关系的两物 种数量变化的普遍模型，使其易于推广，有更实用的操作性； （2）利用MATLAB软件编程绘图，直观清晰地反映狐狸与野 兔两物种的数量变化关系； （3）人工捕获时，模型中假设不会影响两物种相遇的机会， 没有充分考虑野兔对狐狸的供养能力和狐狸对野兔的捕获能 力。 6.2模型的推广 6.2.1推广一
5.2.1问题一的求解 将题目所给数据代入式（1）和式（2）得 （3）
为了分析野兔和狐狸的数量随时间的变化，任取三组数据
分别作为野兔和狐狸数量的初值，用Matlab编程求得模型的数 值解并绘制野兔和狐狸数量随时间变化的图像以及狐狸和野兔 的数量变化关系图像，由以上两图得出野兔和狐狸数量呈现周 期性变化。Matlab程序及得到的数值结果见附录，三组不同初 值对应的及的图形分别见图1-甲——图3-乙
5.2.2问题二的求解 令式（3）中两式为0
因，所以捕获野兔时，野兔狐狸数量皆增加 求得平衡点为，结合两物种 数量变化关系图4-甲知野兔和狐狸的 平衡量恰为他们在一个周期内的平均值。 5.2.3问题三的求解