不等式的基本性质(书)
不等式及其性质ppt课件
位置吗？
（不可随意互换位置）
(3)什么叫不等式？
（用不等号表示不等关系的式子叫不等式）
练习：
1.判断下列式子哪些是不等式？为什么？
√(1)3＞ 2 √(2)a2+1＞ 0 (3)3x2+2x
√(4)＜ 2x+1
(5)x=2x-5
√(6)x2+4x＜ 3x+1
√(7)a+b≠c
2.用“＞”或“＜”填空： (1)4＞-6 (2)-1＜0 (3)-8＜-3 (4)-4.5＜-4
小结： 1.掌握不等式是否成立的判断方法； 2.依题意列出正确的不等式. （留意：表示不等关系的词语要用
不等号来表示，“不大于〞即“≤”， “不小于〞即“≥” ）
1.什么是等式？ 2.等式的基本性质是什么？ 3.用“＞”或“＜”填空：
7 + 3 ＞4 + 3 7 +（-3） ＞4 +（-3） 7×3 ＞4×3 7×（-3） ＜ 4×（-3）
2.已知数值：-5, 0.5, 3, 0, 2, -2.5, 5.2 (1)判别:上述数值，哪些使不等式x+3＜6
成立？哪些使之不成立？ (2)说出几个使不等式x+3＜6成立的x的值，
及使之不成立的x的值.
总结：判断不等式是否成立的方法-------不等号两边的大小关系是否与不等号一致
反馈练习：
1.当x取下列数值时，哪些是不等式 x+3＞6解？
2.统计全班同学的年龄，年龄最大者为16岁， 可以知道全班每个同学的年龄都小于17岁；
若设物体A的重量为x克；某天的气温为 t℃； 本班某同学的年龄为a岁，上述不等关系能 用式子
思考教材的3个问题
《不等式的性质》不等式与不等式组PPT课件
例1：
我是最棒的 ☞
判断下列各题的推导是否正确？为什么(学生口答)
(1)因为7.5＞5.7，所以-7.5＜-5.7；
方向不变。
➢如式不果的等a两>式边b，基都c本乘<性0以质（那3或么：除ac以<b）c同(或一ac个负bc数，不)就等是号说的不方等向
改变。
等式性质与不等式性质的区别和联系
• 区别：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不 为0）时，结果仍相等；不等式两边都乘以（或除以） 同一个数（除数不为0）时，会出现两种情况，若是 正数，不等号方向不改变，若是负数不等号方向要改 变，而且不等式两边同乘以0，结果相等.
5. 8 x 1,两边都乘 7 ，得 _x____87_.
7
8
例 已知a<0 ，试比较2a与a的大小。 解法一：∵2＞1，a＜0， ∴2a＜a（不等式的基本性质3）
解法二： 在数轴上分别表示2a和a的点（a＜0）， 如图.2a位于a的左边，所以2a＜a
∣a∣ ∣a∣
2a
a
想一想：还有其 他比较2a与a的 大小的方法吗？
如果_a_>_b_,那么a±c>b±c _________.
不等式还有什么类似的性质呢？ ➢如果 7 ＞ 3
那么 7×5 _＞___ 3× 5 , 7÷5 __＞__ 3÷ 5 ,
➢如果-1< 3,
那么-1×2<____3×2,
-1÷2__<__3÷2,
不等式基本性质2：不等式的两边都乘以
《不等式的基本性质》课件ppt
a b 如果a ＞b，c > 0 ,那么 ac>bc(或 ) 就是说 c c
不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号 的方向不变。
不等式基本性质3：
如果a>b，c<0 那么ac<bc(或 )就是说不等式 的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向 改变。 不等式的对称性：
a b c c
如果a>b，那么b<a
不等式传递性：
如果a>b，b>c,那么a>c
小结： ①在利用不等式的基本性质进行变形时，当 不等式的两边都乘以(或除以)同一个字母， 字母代表什么数是问题的关键，这决定了是 用不等式基本性质2还是基本性质3，也就是 不等号是否要改变方向的问题； ②运用不等式基本性质3时，要变两个号，一 个性质符号，另一个是不等号．
（1）-3<0; （2）4x+3y>0 （3）x=3;（4） X2+xy+y2 （5）x≠5; （6）X+2>y+5;
不等式的性质 2
等式具有那些性质？
不等式是否具有这些的性质？
由a+2=b+2, 你能得到a=b吗？ 由a-2=b-2, 你能得到a=b吗？ 由0.5a=0.5b, 你能得到a=b吗？
a a 正 (2) ∵ , ∴a是____数 2 3
(3) ∵ ax < a 且 x > 1 , 负 ∴a是____数
1、已知 a < - 1 ,则下列不等式中错误的是 （ B ） A、4a < - 4 B、- 4a < 4 C、a + 2 < 1 D、2 – a > 3
2、已知x < y，下列哪些不等式成立？ （1） x – 3 < y – 3 （2）- 5 x < - 5 y
不等式的基本性质
4
3
2
= 2x (x -1)+(1- x)(1+ x) 3 =(x -1)(2x - x -1) 2 = (x 1)(x 1)(2x 2x 1) 1 1 = (x -1) 2(x + 2) + 2 > 0
2 2
3
∴A>B
1、不等式的基本性质： ①对称性： a b b a
考点突破 利用不等式性质判断命题真假 运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的 条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意 捏造性质．解有关不等式的简单判断和选择题时，
也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵
循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简
单，便于验证计算．
对于实数 a，b，c，下列命题中的真命题 是( ) A．若 a＞b，则 ac2＞bc2 1 1 B．若 a＞b＞0，则a＞b b a C．若 a＜b＜0，则 ＞ a b 1 1 D．若 a＞b，a＞b，则 a＞0，b＜0
本专题知识结构
第一讲 不等式和绝对值不等式
不 等 式 选 讲
第二讲 证明不等式的基本方法 第三讲 柯西不等式与排序不等式 第四讲 数学归纳法证明不等式
第一讲
不等式和绝对值不等式
1.不等式的基本性质
知识回顾
A B a b b>a B b
a>b
A a
a>b a-b>0
解：
2
2
2 2 2
4 2 4
4
,
4
不等式的基本性质
课题：不等式的基本性质()教学目标：1.掌握作差比较大小的方法，并能证明一些不等式。
1.掌握不等式的性质，掌握它们的证明方法及其功能，能简单运用。
2.提高逻辑推理和分类讨论的能力；培养条理思维的习惯和认真严谨的学习态度。
教学重点：作差比较大小的方法；不等式的性质。
教学难点：不等式的性质的运用教学过程：第1课时：问题情境：现有A、B、C、D四个长方体容器，A、B容器的底面积为a2，高分别为a、b，C、D容器的底面积为b2，高分别为a、b，其中a≠b。
甲先从四个容器中取两个容器盛水，乙用剩下的两个容器盛水。
问如果你是甲，是否一定能保证两个容器所盛水比乙的多？ 分析：依题意可知：A 、B 、C 、D 四个容器的容积分别为a 3、a 2b 、ab 2、b 3，甲有6种取法。
问题可以转化为比较容器两两和的大小。
研究比较大小的依据：我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的。
在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大。
在右图中，点A 表示实数a ，点B 表示实数b ，点A 在点B 右边，那么a ＞b 。
而a －b 表示a 减去b 所得的差，由于a ＞b ，则差是一个正数，即a －b ＞0。
命题：“若a ＞b ，则a －b ＞0”成立；逆命题“若a －b ＞0，则a ＞b ”也正确。
类似地：若a ＜b ，则a －b ＜0；若a ＝b ，则a －b ＝0。
逆命题也都正确。
结论：(1)“a ＞b ”⇔“a －b ＞0”(2)“a ＝b ”⇔“a －b ＝0”(3)“a ＜b ”⇔“a －b ＜0”——以上三条即为比较大小的依据：“作差比较法”。
正负数运算性质：(1) 正数加正数是正数；(2) 正数乘正数是正数；(3) 正数乘负数是负数；(4) 负数乘负数是正数。
研究不等式的性质：性质1：若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c (不等式的传递性)证明：∵a ＞b ∴a －b ＞0∵b ＞c ∴b －c ＞0∴(a －b)＋(b －c)＝a －c ＞0 (正负数运算性质)则a ＞c反思：证明要求步步有据。
人教版数学七年级下册第九章《不等式的性质及绝对值不等式》优课件
2x－3，x>2 画出此函数的图象可知，f(x)≥1， ∴要使关于 x 的不等式x－1＋x－2≤a2＋a＋1 的解 集为空集，则需 a2＋a＋1<1，解得－1<a<0.
规律总结
1．运用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的条 件，若弱化了条件或强化了条件都可能得出错误的结论．使 用不等式性质解题时，要搞清性质成立的条件，明确各步推 理的依据，以防出现解题失误．
命题趋势
本单元的内容，是对必修5的补充和深化，预计2011年， 考查的重点一是绝对值不等式的解法；二是利用不等式的 性质求最值；三是柯西不等式和数学归纳法的应用．考查 知识面比较广，有一定的技巧．
使用建议
本单元内容是作为高考的选考内容，在考试中所占的 分值较少，但对提高同学们的逻辑思维能力、分析解决问 题的能力、数形结合的能力和抽象思维能力作用很大．为 此，在复习中建议注意以下几点：
【点评】 本例较好地体现了利用基本不等式求 最值时应充分考虑成立条件，即一正二定三等．不过 首先需由三点共线推出a、b的关系式，利用斜率公式 可得．
变 式 题 已 知 cos2α ＋ cos2β ＋ cos2γ ＝ 1 ， 则 sinαsinβsinγ 的最大值为________．
【思路】利用均值不等式求最值时，一定要注意 “一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧， 积极创造条件利用均值不等式．常用的初等变形有均 匀裂项、增减项、配系数等. 利用均值不等式还可以证 明条件不等式，关键是如何恰当地利用好条件．本题 中目标函数为积式，而cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1为隐含 的条件等式，故需创造条件使各因式之和为定值．
浙教版数学八年级上册3.2《不等式的基本性质》教案
浙教版数学八年级上册3.2《不等式的基本性质》教案一. 教材分析浙教版数学八年级上册3.2《不等式的基本性质》一节，主要让学生掌握不等式的性质，包括不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。
这些性质是解不等式问题的关键，为后续学习不等式的解法、不等式的应用等奠定基础。
二. 学情分析学生在七年级已经学习了不等式的概念，掌握了不等式的基本运算，但对于不等式的性质理解不够深入。
通过本节课的学习，学生应能理解并掌握不等式的基本性质，能够运用不等式的性质解决一些实际问题。
三. 教学目标1.知识与技能：掌握不等式的基本性质，能够运用不等式的性质解决一些实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、交流、归纳等活动，培养学生的逻辑思维能力和动手操作能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队协作精神。
四. 教学重难点1.重点：不等式的基本性质。
2.难点：不等式性质的运用。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作交流法、实践操作法等，引导学生主动探究、合作交流，培养学生的动手操作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2.学具：练习本、笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示生活中的不等式图片，如身高、体重等，引导学生回顾不等式的概念，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师出示不等式，如2x > 3，引导学生观察、思考：不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号的方向是否会改变？不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向是否会改变？不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向是否会改变？3.操练（10分钟）学生分组讨论，每组选择一个不等式，如3x - 2 > 7，运用不等式的性质进行化简，并解释理由。
不等式的基本性质
从而a<c<b。当b-c=0，即b=c时，因为bc>a2，
所以b2>a2，即b≠a。又a2-2ab+b2=(a-b)2=0，所以a=b，
与前面矛盾，故b≠c.所以a<c<b.
14
• • • • • • • • • • •
小结
小结：理解并掌握不等式的六个基本性质
作业
一、课本 P10 3
2、求证：
1 1 （1）如果a>b, ab>0，那么 ; a b （2）如果a>b>0，c<d<0，那么ac<bd。
3、选做题：设a≥b,c≥d，
3．已知 a 0，比较 (a 2 2a 1)( a 2 2a 1) 与 (a a 1)(a a 1) 的大小．
a2 c2 且 0, c>0。 a>0，所以b= 2a
因为(a-c)2=a2-2ac+c2=2ab-2ac=2a(b-c )≥0，所以b-c≥0. 2 2 a c a2 c2 2 2 c a , , bc a , 当b-c>0，即b>c时，b= 得 2a 2a 所以a2c+c3 >2a3即a3-c3+a3-a2c<0，(a-c)(2a2+ac+c2)<0
• 例2、比较
【典型例题】
例3、比较以下两个实数的大小：
1 (1)16 与18 ; ( 2) 与2 n (n N* ) n1 n
18 16
（3）比较a b 和a b 的
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不等关系【知识点归纳】【知识点1】 回顾等式的基本性质:基本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式.基本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数（除数不为0），所得的结果仍是等式.【知识点2】不等式的基本性质有哪些？基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变．字母表示：若a > b ，则a+c > b+c ，a-c > b-c ．基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．字母表示：若a > b ，c > 0，则ac > bc ，a c > b c． 基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 字母表示：若a > b ，c < 0，则ac < bc ，a c <bc ． 【知识点3】比较大小:(a 、b 分别表示两个实数或整式)一般地:如果a>b,那么a-b 是正数;反过来,如果a-b 是正数,那么a>b;如果a=b,那么a-b 等于0;反过来,如果a-b 等于0,那么a=b;如果a<b,那么a-b 是负数;反过来,如果a-b 是正数,那么a<b;即: a>b <===> a-b>0a=b <===> a-b=0a<b <===> a-b<0(由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了.【知识点4】不等式的基本性质与等式的基本性质有什么异同？①相同点：无论是等式还是不等式，都可以在它的两边加(或减)同一个数或同一个整式，②不同点：对于等式来说，在等式的两边乘(或除以)同一个正数(或同一个负数)，等式仍然成立， 但是对于不等式来说，却不大一样，在不等式的两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，而在不等式的两边乘(或除以)同一个负数，不等号要改变方向．1． 以知a>b 用”>”或”<”连接下列各式；（1）a-3 ______b-3, (2)2a ______ 2b, (3)- a 3 ______ －b 3(4)4a-3_______4b-3 (5)a-b ______0例1、不等式的基本性质的简单应用：将下列不等式化成“x a >”或“x a <”的形式．（1）51x -<； （2）34x x >-； （3）132x >-； （4）52x -<-．解：（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上5，得15x <+，即6x <．（2）根据不等式的基本性质1，两边都减去x ，得34x x ->-，即24x >-．根据不等式的基本性质3，两边都除以2，得2x >-．（3）根据不等式的基本性质2，两边都乘以2，得6x >-．（4）根据不等式的基本性质3，两边都除以5-，得25x >． 例2、不等式的基本性质的综合应用：2． 以知a>b 用”>”或”<”连接下列各式；（1）a-3 ______b-3, (2)2a ______ 2b, (3)- a 3 ______ －b 3(4)4a-3_______4b-3 (5)a-b ______0 （1）若a ＜b ，则－3a +1________－3b +1.（2）若－35x ＞5，则x ________－3.【课堂训练】1. 如果b a <，则下面不等式错误的是（ B ）A.b a 66<B.34+<+b aC.33-<-b aD.22b a ->- 2．已知x >y 且xy <0,a 为任意实数，下列式子正确的是（ C ）A.－x >yB.a 2x >a 2yC.a －x <a －yD.x >－y3．若a +3＞b +3，则下列不等式中错误的是( B )A.－55b a -<B.－2a ＞－2bC.a －2＜b －2D.－(－a )＞－(－b )4．若a ＞b ，c ＜0，则下列不等式成立的是( B )A.ac ＞bcB.c b c a <C.a －c ＜b －cD.a +c ＜b +c5．根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x a >或x a <的形式．（1）100x ->； （2）162x x >-； （3）350x +<； （4）125x -<-． 答案：（1）10x < （2）12x >- （3）53x <- （4）10x > 6．如果3415x -<，那么3154x <+，其根据是 ，如果33a b ->-ππ，则a b <，其根据是 ．答案：不等式的基本性质1，不等式的基本性质3．7．用“<”或“>”号填空.①已知a <b<0，则－a ______－b ；a 1______b1； ②若a >b ，则a －6______b －6；③若a <b ，c ≠0，则－ac 2______－bc 2.答案：①＞ ＞ ②＞ ③＞；8．若0a b >>，则b a - 0，22a b - 0答案：<>>，，9．若2x >时，化简|2|x -＝ ．解：由2x >，得2x <．20x ∴-<．|2|(2)2x x x ∴-=--=-．【课后作业】1、将下列不等式化成“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式：（1）x －5＞－1; （2）－2x ＞3; （3）3x ＜－9.（4）21>-x （5）65<-x （6）321≤x 2．已知y x >，下列不等式一定成立吗？（1）66-<-y x （2）y x 33< （3）y x 22-<- （4）1212+>+y x1. 讨论下列式子的正确与错误.（1）如果a ＜b ，那么a +c ＜b +c ; （2）如果a ＜b ，那么a －c ＜b －c ;（3）如果a ＜b ,那么ac ＜bc ; （4）如果a ＜b ,且c ≠0,那么c a 2.设a ＞b ,用“＜”或“＞”号填空.（1）a +1 b +1; （2）a －3 b －3; （3）3a 3b ;（4）4a 4b ; （5）－7a －7b ; （6）－a －b . 变式训练：1.根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式：（1）x －2＜3; （2）6x ＜5x －1;（3）21x ＞5; （4）－4x ＞3.2.设a ＞b .用“＜”或“＞”号填空.（1）a －3 b －3; （2）2a 2b ; （3）－4a －4b ; （4）5a 5b ; （5）当a ＞0,b 0时，ab ＞0; （6）当a ＞0,b 0时，ab ＜0;（7）当a ＜0,b 0时，ab ＞0; （8）当a ＜0,b 0时，ab ＜0.能力提高：1.比较a 与－a 的大小. （ 说明：解决此类问题时，要对字母的所有取值进行讨论.）2.有一个两位数，个位上的数字是a ，十位上的数是b ，如果把这个两位数的个位与十位上的数对调，得到的两位数大于原来的两位数，那么a 与b 哪个大哪个小？3．若实数1a >，比较实数M a =，23a N +=，213a P +=的大小关系，并说明原因。
解析：本题主要考查实数的大小比较，涉及到解不等式问题.由1a >，知10a ->. 又3211033a a a M P ----==>，所以M P >； 2121033a a a P N +----==>，所以P N >. 从而M P N >>评注：本题也可用特殊值法求解，如取2a =，这时2M =，43N =，53P =，由此知M P N >>1.2.不等式的基本性质（每课一练）一、选择题1.若a +3＞b +3，则下列不等式中错误的是( )A.－55b a -<B.－2a ＞－2bC.a －2＜b －2D.－(－a )＞－(－b )2.下列判断中，正确的个数为( )①若－a ＞b ＞0，则ab ＜0②若ab ＞0，则a ＞0，b ＞0③若a ＞b ，c ≠0，则ac ＞bc④若a ＞b ，c ≠0，则ac 2＞bc 2⑤若a ＞b ，c ≠0，则－a －c ＜－b －cA.2B.3C.4D.5二、填空题1.用“>”或“<”填空，并在题后括号内注明理由：(1)∵a >b (2)∵a >2b∴a －m ________b －m ( ) ∴2a ________b ( ) (3)∵3m >5n∴－m ________－35n ( ) 2若a ＞b ，c ≤0，则ac ________bc .3.若ba b a --||=－1，则a －b ________0. 4.若ax ＞b ，ac 2＜0，则x ________a b . 三、解答题1、根据不等式的性质，把下列不等式化为x >a 或x <a 的形式 (1)3432-<x (4)4x ≥3x +5 (2)－0.3x >0.92.已知m ＜0，－1＜n ＜0，试将m ，mn ，mn 2从小到大依次排列.。