人教版高三数学选修4-6全册课件【完整版】
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人教版高中数学选修4-6 第二讲 同余与同余方程 五 拉格朗日插值和孙子定理 名师课件【集体备课】
证明：
因为 yn+1 - xn+1 = f(yn ) - f(xn )
yn - xn
yn - xn
由拉格朗日中值定理知: 总存在 (xn使, y得n )
由于 又 yn+1 - xn+1 = f'(ξ)
yn - xn
当
(
xn
,
yn
)
[0,
1] 2
f '(x故) 得3x2证 2x 1
2
1
1
x [0, ],[ f 2
6、每9人一排多6人，每7人一排多2人，每5 人一排多3人，问至少有多少人 ？ 解：由于9,7,5互素,故同样可用孙子定理. 解1 7×5c1 =35c1≡1(mod9) 得 c1 ≡ 8(mod9), 解2 9×5c2 =45c2≡1(mod7) 得 c2 ≡ 5(mod7), 解3 9×7c3 =63c3≡1(mod5) 得 c3 ≡ 2(mod5), 于是,选取c1=2， c2=3， c3=11 得 x≡6×7×5×8+2×9×5×5+3×9×7×2 ≡303(mod305) 是同余方程的解.所以至少303人.
于是,选取c1=2， c2=3， c3=11 得
x≡2×7×11×2+1×3×11×3+2×3×7×10=727
≡24(mod231) 是同余方程的解.
再见
故
5︱p，7︱p，于是p=5×7×c，c为整数再由
p≡1（mod3）即5×7×c ≡1（mod3） 若c=2，
则p=70.同理求得q=21，r=15.
所以
k=233，x ≡233≡23（mod105）.
此求同余方程组的方法即孙子定理.
人教版高中数学选修4-6《整数：带余除法》
b q q 1 则有 0 a bs t a b a b b t . 2 2 2 2
q q q为偶数，且b 0时，令s , t a bs a b 2 2
b 同样有 t . 2 q1 q1 (2)当q为奇数且b 0时，令s , t a bs a b 2 2 b b q1 则 t a bs a b 0， t 2 2 2 q1 q1 若b 0, 令 s , t a bs a b 2 2 b 同样有 t . 存在性得证 ；下证唯一性. 2
例1 利用带余数除法，由a, b的值求q, r .
(1) a 14, b 3 (2) a 14, b 3 (3)a 14, b 3
14 3 4 ( 余 2 ), q 4, r 2 14 3 5 ( 余 1 ), q 5, r 1
14 ( 3) 14 3
带余数除法的应用举例
例2 证明：形如3n-1的数不是平方数。
a 3q r , 0 r 3，
证明：a Z , 而
(3q r )2 3n 1,
0 r 3.
例3、任意给出的5个整数中，必有3个数之 和被3整除。
证：设这5个数为ai , i 1, ai 3qi ri， 0 ri 3, 分别考虑以下两种情形：
这样至少有3个ri要取相同的值，不妨设 r1 r2 r3 r(r 0,1或2）， a1 a2 a3 3(q1 q2 q3 ) 3r 可以被3整除。
例4、设a 1为奇数，证明： 存在正整数d a 1, 使得a 2 1
dLeabharlann 证：考虑下面的a个数： 20 , 21 , , 2a 1，显然a不整除2 j (0 j a)，
人教版高中数学选修4-6《初等数论：算术基本定理》
第六节 算术基本定理
推论2 设正整数a与b的标准分解式是
a p1 p2 pk q1 ql , b p1 p2 pk r1 rs
1 2 k 1 s
1
2
k
1
l
其中pi(1 i k)，qi(1 i l)与ri(1 i s)是两 两不相同的素数，i，i(1 i k)，i(1 i l) 与i(1 i s)都是非负整数，则
1 2
任何大于1的整数n可以
k
n p1 p2 pk
，
(2)
2, , k是正整数。
证明 由引理1，任何大于1的整数n可以表示成 式(2)的形式，因此，只需证明表示式(2)的唯 一性。
第六节 算术基本定理
假设pi（1 i k）与qj（1 j l）都是素数，
p1 p2 pk，q1 q2 ql，
n = p1p2pm， (1) 其中pi（1 i m）是素数.
第六节 算术基本定理
引理1 即 任何大于1的正整数n可以写成素数之积，
n = p1p2pm，
其中pi（1 i m）是素数。 证明 当n = 2时，结论显然成立。
(1)
假设对于2 n k，式(1)成立，我们来证明式(1) 对于n = k 1也成立，从而由归纳法推出式(1) 对任何大于1的整数n成立。
[a, b] p p p ， i max{ i , i }， 1 i k。
1 1
1 2
k k
第六节 算术基本定理
推论3 设a，b，c，n是正整数，
ab = cn ，(a, b) = 1，
则存在正整数u，v，使得
(5)
人教版高中数学选修4-6《初等数论：最大公因数》
探究？
1，自己列举几组整数a,b,c,计算并比较(a,b,c)，((a,b),c)， 从中你能发现什么规律？
（1）108,36,52
（2）35,135,95
2，求三个整数的最大公约数与求两个 整数的最大公约数之间有什么联系?
(a,b,c)=((a,b),c)
练习：存在整数m,n使（375,105）=375m+105n 吗？
作业：思考证明性质3
2.1最大公因数
最大公因数：给定两个整数a，b，必有
公共的因数，叫做它们的公因数，当a，b不 全为零时，在有限个公因数中最大的一个叫做 a，b的最大公因数，记作（a，b）. 如果a，b的最大公因数为1，那么称a，b 是互素的。
将整数a，b，c的最大公因数记作（a，b， c），依次类推。
用短除法计算下列两组数的最大公因数。 （1）375,105 （2）1840,667 从中你能感受到什么？
性质2：若a/bc，且（a,b）=1,则p/a，或p/b。
最大公约数：短除法和辗转相除法
性质1：设整数a,b不同时为零时，
则存在一对整数m,n，使得（a,b） =am+bn.
性质2：若a/bc，且（a,b）=1,则a/c.
性质3：设p为素数，若p/ab,则p/a，
解：375=105*3+60 105=60*1+45 60=45*1+15
45=15*3
(375,105)=(45,15)=15=60-45 =60-(105-60)=60*2-105 =(375-105*3)*2-105=375*2-7*105 所以m=2,n=-7
性质1：设整数a,b不同时为零时，则存在一对整数 m,n，使得（a,b）=am+bn.
人教版高中数学选修4-6《初等数论：1.2最大公因数》
则 (a, b) = (b, r1 ) = (r1, r2 ) = L = (rn- 1, rn ) = (rn ,0) = rn .
若rn+ 1 = 1呢？
即 a , b 的 最 大公 因数 是 最后 一个 不 为 零 的余 数 .
2019/1/19 10 选修4-6 初等数论初步 最大公因数
方法应用
辗转相除法
若a, b(b > 0)是任意两个整数，依次做带余除法 a = q1b + r1 , (0 < r1 < b) b = q2 r1 + r2 , (0 < r2 < r1 ) LL rn- 2 = qn rn- 1 + rn , (0 < rn < rn- 1 ) rn- 1 = qn+ 1rn + rn+ 1 , (rn+ 1 = 0)
2019/1/19
7 选修4-6 初等数论初步 最大公因数
性质探究
TH4
(1)(a, b) = (b, a)； (2) (a1, a2 ,L an )=(| a1 |,| a2 |,L | an |)；
(3)(a,1) = 1 ， (a, 0) = | a | ， (a, a) = | a | ；
例1 求 (1840,667).
练习 求 (1989,-364).
2019/1/19
11 选修4-6 初等数论初步 最大公因数
方法应用
例2 求(21n+4， 14n+3).
练习 求(n2 + n + 1, n - 1).
2019/1/19
12 选修4-6 初等数论初步 最大公因数
知识小结
• 最大公因数的相关性质
若rn+ 1 = 1呢？
即 a , b 的 最 大公 因数 是 最后 一个 不 为 零 的余 数 .
2019/1/19 10 选修4-6 初等数论初步 最大公因数
方法应用
辗转相除法
若a, b(b > 0)是任意两个整数，依次做带余除法 a = q1b + r1 , (0 < r1 < b) b = q2 r1 + r2 , (0 < r2 < r1 ) LL rn- 2 = qn rn- 1 + rn , (0 < rn < rn- 1 ) rn- 1 = qn+ 1rn + rn+ 1 , (rn+ 1 = 0)
2019/1/19
7 选修4-6 初等数论初步 最大公因数
性质探究
TH4
(1)(a, b) = (b, a)； (2) (a1, a2 ,L an )=(| a1 |,| a2 |,L | an |)；
(3)(a,1) = 1 ， (a, 0) = | a | ， (a, a) = | a | ；
例1 求 (1840,667).
练习 求 (1989,-364).
2019/1/19
11 选修4-6 初等数论初步 最大公因数
方法应用
例2 求(21n+4， 14n+3).
练习 求(n2 + n + 1, n - 1).
2019/1/19
12 选修4-6 初等数论初步 最大公因数
知识小结
• 最大公因数的相关性质
人教版高中数学选修4-6《整除的概念》
a
i 1
m
i
b j 中，除某一项外，其
j 1
n
余各项都能被c整除，则这一项也能被c整除。
常用结论：
（1）设p为素数 ，若p ∣ b a ，则p ∣a 或 p ∣b . （2） p|a 或 (p，a)=1 .
（3）素数判定法则：
p a pa
2
设n是一个正整数，如果对所有的素数p≤ 都有p n，则n一定是素数.
2
例4 设正整数d 不等于2,5,13，证明集合 得a b-1 不是完全平方数。
2,5,13.d 中可以找到两个数a ，b ，使
二、整除
• 1、定义：设a，b是整数，b≠0。如果存在一个整数q使得等式： a=bq 成立，则称b能整除a或a能被b整除，记b∣a； 如果这样的q不存在，则称b不能整除a，记为b a。
a1 , a2 , 例2 设n 为奇数， ，n 的任意一个排列， 证明 (a 1)(a 2) (a n)
1 2 n
, an
是1,2，
必是偶数。
例3 将正方形ABCD分割成 n 个相等 的小方格（n 是正整数），把相对的顶 点A,C染成红色，B,D染成蓝色，其他 交点任意染成红蓝两色中的一种颜色， 证明：恰有三个顶点同颜色的小方格的 数目必是偶数。
ab b
a (b1)
2
a ( b 2)
... 2 1)
a
当n为素数时, 22 – 1=3, 23 – 1＝7, 24 – 1＝31, 27 – 1=127 都是素数, 而 211 – 1 = 2047 = 23 x 89 是合数．
设P为素数, 称如 2p–1的数为梅森(Matin Merdenne)数.
2、整除的性质
人教版高中数学选修4-6 第三讲 一次不定方程 一 二元一次不定方程名师课件【集体备课】
定方程的通解.当不定方程 ax+by=c的（a，b） ≠1可以化为a’x+b’x=c’其中（a’，b’）=1.
设（a，b）=1则不定方程ax+by=c的整
数通解为， x=x0+bt y=y0-at
其中t为任意的整数x=x0，y=y0为不定方程
ax+by=c的一个特解 .
课堂小结
一、二元一次不定方程一般式：ax+by=c . 其
所以，不定方程不一定有整数解. 下面我们就来讨论什么情况下不定方
程有整数解.
分析（一）
设不定方程ax+by=c有整数解x=x0，y=y0. 因为（a，b）︱a，（a，b） ︱b 所以（a，b） ︱ax0+by0=c， 即若不定方程有整数解，则（a，b） ︱c
这是不定方程有解时系数之间的关系， 下面我们来看验证，当系数满足 （a，b） ︱c 时是否一定有整数 解.
所151s以11
s
4s 1
∈11 z，得到
4s 1
s 3 y 4, x 5
所以 x1=1-5
x=-5+19t
y=4是方程的一个特解. 得解 y=4-15t t ∈z
课堂练习
1、二元一次方程3x+2y=11 ( D). A、 任何一对有理数都是它的解
B、只有一个解 C、只有两个解
D、无穷多个解
鸡翁一，值钱五，鸡母一， 值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱 买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何.
你能算出有多 少只鸡吗？
上面的问题即是著名的“百钱买百 鸡”，百钱能买到百鸡吗？若能买到， 能买到鸡翁、鸡母和鸡雏各多少只？
生活中类似的问题还有很多，要怎 样顺利的解决这些问题，就需要学习新 的知识——二元一次不定方程.
设（a，b）=1则不定方程ax+by=c的整
数通解为， x=x0+bt y=y0-at
其中t为任意的整数x=x0，y=y0为不定方程
ax+by=c的一个特解 .
课堂小结
一、二元一次不定方程一般式：ax+by=c . 其
所以，不定方程不一定有整数解. 下面我们就来讨论什么情况下不定方
程有整数解.
分析（一）
设不定方程ax+by=c有整数解x=x0，y=y0. 因为（a，b）︱a，（a，b） ︱b 所以（a，b） ︱ax0+by0=c， 即若不定方程有整数解，则（a，b） ︱c
这是不定方程有解时系数之间的关系， 下面我们来看验证，当系数满足 （a，b） ︱c 时是否一定有整数 解.
所151s以11
s
4s 1
∈11 z，得到
4s 1
s 3 y 4, x 5
所以 x1=1-5
x=-5+19t
y=4是方程的一个特解. 得解 y=4-15t t ∈z
课堂练习
1、二元一次方程3x+2y=11 ( D). A、 任何一对有理数都是它的解
B、只有一个解 C、只有两个解
D、无穷多个解
鸡翁一，值钱五，鸡母一， 值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱 买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何.
你能算出有多 少只鸡吗？
上面的问题即是著名的“百钱买百 鸡”，百钱能买到百鸡吗？若能买到， 能买到鸡翁、鸡母和鸡雏各多少只？
生活中类似的问题还有很多，要怎 样顺利的解决这些问题，就需要学习新 的知识——二元一次不定方程.
人教版高中数学选修4-6-第一讲-整数的整除(一)整数的整除-课件(共33张PPT)
观察
12，21，24，30，33，51可同时被什么数整除， 有什么规律？
分析：以上6个数均可同时被3整除，并且各位 数字之和也能被3整除.
由此猜想：一个正整数的各位数字之和能被3 整除，那么这个正整数能被3整除.
带余除法
在生活中并不是什么情况下都可以整除， 很多情况都是不能除尽的.如：13÷2=6…1,在 整数集中这种表示法依然成立，叫做带余除法 （或欧氏除法算式）.
知识回顾
以前学过的整数加法、减法、乘 法有什么特点？整数除法的商又是怎 样的？ 整数的加法、减法、乘法运 算得到的结果任然为整数.两个 整数的商不一定是整数.
导入新课
从以前学过的乘法中我们知道
若A×B=C,那么C÷B=A或C÷A=B
也就是说乘法和除法是互逆的 运算.
例如：
13×2 = 26
26÷2 = 13 26÷13 = 2
第一讲整数的整除
教学目标
知识与能力
1．在熟悉整数的基础上充分理解整除 的概念和性质；熟练掌握带余除法的运算， 且能进行运算.
2．理解什么是素数的概念，并掌握素数 的判别方法.
过程与方法
1.通过复习以前的乘法、除法的知识，让 学生合作探讨，老师启迪，自然引出整除的概 念及性质.•
2.在整除的基础上通过生活中的实例，引 导学生考虑不能整除的情况，并让学生自己进 一步思考不能整除情况的解决方法并总结带余 除法的概念.
共六条鱼，平均一只猫咪得几条鱼？
若是再多一条鱼，平均一只猫咪又各 得几条鱼呢？
想一想
在上一页第一种情况下，平均每 只猫咪得到 6÷2 = 3（条）；第二种 情况下每只猫咪在得到3条鱼后还剩一条，就是 说这种情况下鱼并不能平均分给两只猫咪. 生活中这样的例子还有很多，我们从数 学的角度该怎样理解，又怎样定义呢？它们 又有怎样的性质？下面我们将具体的分析.
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引言
人教版高三数学选修4－6全册课件 【完整版】
第一讲 整数的整除
人教版高三数学选修4－6全册课件 【完整版】
一 整除
人教版高三数学选修4－6全册课件 【完整版】
1.整除的概念和性质
人教版高三数学选修4－6全册课件 【完整版】
2.带余除法
人教版高三数学选修4－6全册课 件【完整版】目录
0002页 0078页 0197页 0225页 0257页 0271页 0289页 0307页 0358页 0376页 0408页 0442页 0444页 0512页 0529页
引言 一 整除 2.带余除法 二 最大公因数与最小公倍数 2.最小公倍数 第二讲 同余与同余方程 1.同余的概念 二 剩余类及其运算 四 一次同余方程 六 弃九验算法 一 二元一次不定方程 三 多元一次不定方程 一 信息的加密与去密 学习总结报告 附录二 多项式的整除性
人教版高三数学选修4－6全册课件 【完整版】
3.素数及其判别法
人教版高三数学选修4－6全册课件 【