任意角的三角函数及基本公式

第 18 讲 任意角的三角函数及基本公式

（第课时）

任意角的三角函数⎪

⎪⎪⎪

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⎪

⎪

⎪⎩

⎪

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⎪⎪⎪⎪⎪

⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧±±--︒±︒+︒•⎪⎩⎪

⎨⎧⎪⎩⎪

⎨⎧的函数关系与以及的函数关系

与以及的函数关系与的函数关系与诱导公式倒数关系式

商数关系式

平方关系式系式同角三角函数的基本关任意角三角函数定义

弧度制角的概念的扩充三角函数的概念ααπαπααααααα232360180360k

重点：1．任意角三角函数的定义；2．同角三角函数关系式；3．诱导公式。 难点：1．正确选用三角函数关系式和诱导公式；2．公式的理解和应用。 1．了解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算；2．理解任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义；3．掌握同角三角函数的基本关系式；4. 掌握正弦、余弦的诱导公式。

任意角三角函数的意义，三角函数值的符号； 1．角的定义

⑴ 角可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的，射线旋转开始的位置叫做角的始边，旋转终止的位置叫做角的终边，射线的端点叫做角的顶点。

⑵ 射线逆时针旋转而成的角叫正角。射线顺时针旋转而成的角叫负角。射线没有任何旋转所成的角叫零角。

2．弧度制

⑴ 等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。用“弧度” 作单位来度量角的制度叫做“弧度制”。

注意：1sin 表示1弧度角的正弦，2sin 表示2弧度角的正弦，它们与︒1sin 、︒2sin 不是一回事。

⑵ 一个圆心角所对的弧长与其半径的比就是这个角的弧度数的绝对值。正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。

⑶ 设一个角的弧度数为α，则 r

l

=

α （l 为这角所对的弧长，r 为半径）。 ⑷ 所有大小不同的角组成的集合与实数集是一一对应的，这个对应是利用角的弧度制建立的。

⑸ 180

1π

=︒弧度，1弧度︒=)180

(

π

。

设扇形的弧长为l ，扇形面积为S ，圆心角大小为α弧度，半径为r ， 则 αr l = ，α22

1

21r lr S == 。

3．角的集合表示 ⑴ 终边相同的角

设β表示所有终边与角α终边相同的角（始边也相同），则 αβ+︒•=360k （也可记为απβ+=k 2 Z k ∈）

。

⑵ 区域角

介于某两条终边间的角叫做区域角。例如 ︒+︒•<<︒+︒•3036060360k k α（也可记为

3

26

2π

παπ

π+

<<+

k k Z k ∈）。

⑶ 象限角

以角的顶点为原点，以其始边为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则角的终边落在第几象限，这个角就叫做第几象限的角。

例．已知x 在第二象限，问

2

x

在哪一象限？ 解：∵ πππ

π+<<+

k x k 22

2 ，∴ 2

24

πππ

π+<<

+

k x k ， 当k 为偶数时，

2x 在第一象限；当k 为奇数时，2

x

在第三象限。 点评：第一二象限角的半角在第一或第三象限，第三四象限角的半角在第二或第四象限，记住这一结论，可提高解题速度。

例．ABC ∆中，已知178cos =

A ，5

3

sin =B ,(A 、B 是锐角,)求C 角。 分析：A 、B 是锐角,故C 角可能是锐角，也可能是钝角。显然，如果想通过C sin 去求C 角是无法确定C 角是锐角还是钝角的。所以应该求C cos 。

解：1529.05

3

17554178)cos()](180cos[

cos ≈⨯+⨯-=+-=+-︒=B A B A C ， 显然，C 角在第一象限，约为2181'︒ 。

点评：如果要利用一个角的三角函数值来确定此角究竟在那一象限，需要选择适当名称的三角函数。掌握判定一个角是锐角还是钝角的方法，是很有用处的。例如求证一个平面截直三面角所得的截面是锐角三角形，只要证明这个三角形的每个内角的余弦大于零。

4．三角函数的定义及符号 ⑴三角函数定义

设角α终边上一点P 的坐标为（x ，y ）P 与原点的距离为r （0>r ），那么下面的六个

比值：y

r x r y x x y r x r y 、、、、、 分别叫做角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割，并且分别用符号表示为：

r y =αsin ，x y

=αtan ，ααcos 1sec =，

r x =

αcos ，y x

=αcot ，α

αsin 1csc =。

⑵ 各三角函数在各象限的符号如下图：

cot ,tan

符号记忆：“正弦一二为正”，“余弦一四为正”，“正切一三为正”。 注意：①由 αα2

cos 1sin -±= 求αsin 时，应该由α所在的象限来确定αsin 的符号。

②去掉α2

cos

的根号时，如果0cos <α，应写为 -αcos 。

⑶ 终边相同的同一三角函数的值相等。

即 )()2(ααπf k f =+ （J k ∈，)(x f 为三角函数）。 ⑷ 三角函数线（以第一象限角为例）

正弦线 余弦线 正切线 余切线 例．确定 ︒-︒16cos 15cos 的符号。

解：画出单位圆，用线段把 ︒15cos 和︒16cos 表示出来， 图中线段 ︒=15cos OA ，︒=16cos OB ， 显然，︒>︒16cos 15cos ， ∴ 016cos 15cos >︒-︒ 。