电磁感应中的“三类模型问题”
第2讲|电磁感应中的“三类模型问题”┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄考法学法电磁感应的动力学和能量问题是历年高考的热点和难点，考查的题型一般包括“单杆”模型、“双杆”模型或“导体框”模型，考查的内容有：①匀变速直线运动规律；②牛顿运动定律；③功能关系；④能量守恒定律；⑤动量守恒定律。
解答这类问题时要注意从动力学和能量角度去分析，根据运动情况和能量变化情况分别列式求解。
用到的思想方法有：①整体法和隔离法；②全程法和分阶段法；③条件判断法；④临界问题的分析方法；⑤守恒思想；⑥分解思想。
模型(一)电磁感应中的“单杆”模型类型1“单杆”——水平式物理模型匀强磁场与导轨垂直，磁感应强度为B，导轨间距为L，导体棒ab的质量为m，初速度为零，拉力恒为F，水平导轨光滑，除电阻R外，其他电阻不计动态分析设运动过程中某时刻测得导体棒ab的速度为v，由牛顿第二定律知导体棒ab的加速度为a＝Fm－B2L2vmR，a、v同向，随速度的增加，导体棒ab的加速度a减小，当a＝0时，v最大，I＝BL v mR不再变化收尾状态运动形式匀速直线运动力学特征受力平衡，a＝0 电学特征I不再变化[例1](2018·安徽联考)如图所示，光滑平行金属导轨P Q、MN固定在光滑绝缘水平面上，导轨左端连接有阻值为R的定值电阻，导轨间距为L，有界匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向竖直向上，边界ab、cd均垂直于导轨，且间距为s，e、f分别为ac、bd的中点，将一长度为L、质量为m、阻值也为R的金属棒垂直导轨放置在ab左侧12s处。
现给金属棒施加一个大小为F、方向水平向右的恒力，使金属棒从静止开始向右运动，金属棒向右运动过程中始终垂直于导轨并与导轨接触良好。
当金属棒运动到ef位置时，加速度刚好为零，不计其他电阻。
求：(1)金属棒运动到ef 位置时的速度大小；(2)金属棒从初位置运动到ef 位置，通过金属棒的电荷量； (3)金属棒从初位置运动到ef 位置，定值电阻R 上产生的焦耳热。
[解析] (1)设金属棒运动到ef 位置时速度为v ， 则感应电动势E ＝BL v 电路中电流I ＝E 2R由于加速度刚好为零，则F ＝F 安＝BIL 解得v ＝2FRB 2L2。
(2)通过金属棒的电荷量q ＝I ΔtI ＝E 2RE ＝ΔΦΔt ＝BLs 2Δt解得q ＝BLs4R。
(3)设定值电阻R 中产生的焦耳热为Q ，由于金属棒的电阻也为R ，因此整个电路中产生的总的焦耳热为2Q 。
金属棒从初位置运动到ef 位置的过程中，根据动能定理有W F ＋W 安＝12m v 2根据功能关系有W 安＝－2Q 拉力F 做的功W F ＝Fs 解得Q ＝12Fs －mF 2R 2B 4L4。
[答案] (1)2FR B 2L 2 (2)BLs 4R (3)12Fs －mF 2R 2B 4L4类型2 “单杆”——倾斜式物理 模型 匀强磁场与导轨垂直，磁感应强度为B ，导轨间距为L ，导体棒ab 的质量为m ，电阻为R ，导轨光滑，电阻不计动态导体棒ab 刚释放时a ＝g sin α，导体棒ab 的速度v ↑→感应电动势E ＝分析BL v↑→电流I＝ER↑→安培力F＝BIL↑→加速度a↓，当安培力F＝mg sin α时，a＝0，速度达到最大v m＝mgR sin αB2L2收尾状态运动形式匀速直线运动力学特征受力平衡，a＝0电学特征I不再变化为θ，间距为d。
导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向与导轨平面垂直。
质量为m的金属棒被固定在导轨上，距底端的距离为s，导轨与外接电源相连，使金属棒通有电流。
金属棒被松开后，以加速度a沿导轨匀加速下滑，金属棒中的电流始终保持恒定，重力加速度为g。
求下滑到底端的过程中，金属棒(1)末速度的大小v；(2)通过的电流大小I；(3)通过的电荷量Q。
[解析](1)金属棒做匀加速直线运动，根据运动学公式有v2＝2as解得v＝2as。
(2)金属棒所受安培力F安＝IdB金属棒所受合力F＝mg sin θ－F安根据牛顿第二定律有F＝ma解得I＝m(g sin θ－a)dB。
(3)金属棒的运动时间t＝va，通过的电荷量Q＝It解得Q＝m(g sin θ－a)2asdBa。
[答案](1)2as(2)m(g sin θ－a)dB(3)m(g sin θ－a)2asdBa[系统通法]1．“单杆”模型分析要点(1)杆的稳定状态一般是做匀速运动，达到最大速度或最小速度，此时合力为零。
(2)电磁感应现象遵从能量守恒定律，整个电路产生的电能等于克服安培力所做的功。
2．抓住力学对象和电学对象间的桥梁——感应电流I、切割速度v，“四步法”分析电磁感应中的动力学问题模型(二)电磁感应中的“双杆”模型[研一题]————————————————————————————————(2018·湖北四地七校联考)如图所示，相距L＝0.5 m的平行导轨MNS、P Q T处在磁感应强度B＝0.4 T 的匀强磁场中，水平导轨处的磁场方向竖直向上，光滑倾斜导轨处的磁场方向垂直于导轨平面斜向下。
质量均为m＝40 g、电阻均为R＝0.1 Ω的导体棒ab、cd均垂直放置于导轨上，并与导轨接触良好，导轨电阻不计。
质量为M＝200 g的物体C，用绝缘细线绕过光滑的定滑轮分别与导体棒ab、cd相连接。
细线沿导轨中心线且在导轨平面内，细线及滑轮质量不计。
已知倾斜导轨与水平面的夹角为37°，水平导轨与导体棒ab间的动摩擦因数μ＝0.4，重力加速度g＝10 m/s2，水平导轨足够长，导体棒cd运动中始终不离开倾斜导轨。
物体C由静止释放，当它达到最大速度时下落高度h＝1 m，求这一运动过程中：(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)(1)物体C能达到的最大速度是多少；(2)系统产生的内能是多少；(3)连接导体棒cd的细线对导体棒cd做的功是多少。
[解析](1)设物体C能达到的最大速度为v m，由法拉第电磁感应定律得，回路的感应电动势为E＝2BL v m由闭合电路欧姆定律得，回路中的电流为I＝E 2R导体棒ab、cd受到的安培力为F＝BLI设连接导体棒ab与cd的细线中张力为T1，连接导体棒ab与物体C的细线中张力为T2，导体棒ab、cd及物体C的受力如图所示，由平衡条件得：T1＝mg sin 37°＋FT2＝T1＋F＋fT2＝Mg其中f＝μmg解得：v m＝2 m/s。
(2)设系统在该过程中产生的内能为E1，由能量守恒定律得：Mgh＝12(2m＋M)v m2＋mgh sin 37°＋E1解得：E1＝1.2 J。
(3)运动过程中由于摩擦产生的内能E2＝μmgh＝0.16 J由第(2)问的计算结果知，这一过程中电流产生的内能E3＝E1－E2＝1.04 J又因为导体棒ab、cd的电阻相等，故电流通过导体棒cd产生的内能E4＝E32＝0.52 J 对导体棒cd，设这一过程中细线对其做的功为W，则由功能关系得：W＝mgh sin 37°＋12m v m2＋E4解得：W＝0.84 J。
[答案](1)2 m/s(2)1.2 J(3)0.84 J[悟一法]————————————————————————————————两类“双杆”模型解题思路“一动一静”型，实质是单杆问题，要注意其隐含条件：静止杆受力平衡“两杆都动”型，对于这种情况，要注意两杆切割磁感线产生的感应电动势应相加还是相减结合“单杆”模型的解题经验，对“双杆”模型进行受力分析，确定运动状态，一般会有收尾状态，比如有恒定的速度或加速度等，再结合运动学规律、牛顿运动定律和能量观点分析求解[通一类]———————————————————————————————— 1．(2019届高三·青岛模拟)如图所示，两平行光滑金属导轨由两部分组成，左侧部分水平，右侧部分为半径r ＝ 0.5 m 的竖直半圆，两导轨间距离d ＝0.3 m ，导轨水平部分处于竖直向上、磁感应强度大小B ＝1 T 的匀强磁场中，两导轨电阻不计。
有两根长度均为d 的金属棒ab 、cd ，均垂直置于水平导轨上，金属棒ab 、cd 的质量分别为m 1＝0.2 kg 、m 2＝0.1 kg ，电阻分别为 R 1＝0.1 Ω、R 2＝0.2 Ω。
现让ab 棒以v 0＝10 m/s 的初速度开始水平向右运动，cd 棒进入半圆轨道后，恰好能通过轨道最高位置PP ′，cd 棒进入半圆轨道前两棒未相碰，重力加速度 g ＝10 m/s 2，求：(1)ab 棒开始向右运动时，cd 棒的加速度大小a 0； (2)cd 棒刚进入半圆轨道时，ab 棒的速度大小v 1； (3)cd 棒进入半圆轨道前，ab 棒克服安培力做的功W 。
解析：(1)ab 棒开始向右运动时，设回路中电流为I ，有 E ＝Bd v 0 I ＝ER 1＋R 2BId ＝m 2a 0解得：a 0＝30 m/s 2。
(2)设cd 棒刚进入半圆轨道时的速度为v 2，cd 棒进入半圆轨道前，cd 棒与ab 棒组成的系统动量守恒，有m 1v 0＝m 1v 1＋m 2v 2cd 棒从刚进入半圆轨道到通过轨道最高位置的过程中机械能守恒，有 12m 2v 22＝m 2g ·2r ＋12m 2v 2 cd 棒在轨道最高位置由重力提供向心力，有 m 2g ＝m 2v 2r解得：v 1＝7.5 m/s 。
(3)由动能定理得－W ＝12m 1v 12－12m 1v 02解得：W ＝4.375 J 。
答案：(1)30 m/s 2 (2)7.5 m/s (3)4.375 J2．(2018·江西八校联考)如图所示，足够长的水平导轨左侧b 1b 2－c 1c 2部分导轨间距为3L ，右侧c 1c 2－d 1d 2部分的导轨间距为L ，曲线导轨与水平导轨相切于b 1b 2，所有导轨均光滑且电阻不计。
在水平导轨内有斜向下与竖直方向的夹角θ＝37°的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝0.1 T。
质量为m B＝0.2 kg的金属棒B垂直于导轨静止放置在右侧窄导轨上，质量为m A＝0.1 kg 的金属棒A自曲线导轨上a1a2处由静止释放，两金属棒在运动过程中始终相互平行且与导轨保持良好接触，A棒总在宽轨上运动，B棒总在窄轨上运动。
已知：两棒接入电路的有效电阻均为R＝0.2 Ω，h＝0.45 m，L＝0.2 m，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g ＝10 m/s2。
求：(1)A棒滑到b1b2处时的速度大小；(2)B棒匀速运动时的速度大小；(3)在两棒整体运动过程中，两棒在水平导轨间扫过的面积之差(最后结果保留三位有效数字)。
电磁感应中的“杆+导轨”类问题(3大模型)(解析版)
电磁感应中的“杆＋导轨”类问题(3大模型)电磁感应“杆＋导轨”模型的实质是不同形式的能量的转化过程，处理这类问题要从功和能的观点入手，弄清导体棒切割磁感线过程中的能量转化关系，现从力学、图像、能量三种观点出发，分角度讨论如下：模型一 单杆＋电阻＋导轨模型[初建模型][母题] 如图所示，相距为L 的两条足够长的光滑平行金属导轨MN 、PQ 与水平面的夹角为θ，N 、Q 两点间接有阻值为R 的电阻。
整个装置处于磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向下。
将质量为m 、阻值也为R 的金属杆cd 垂直放在导轨上，杆cd 由静止释放，下滑距离x 时达到最大速度。
重力加速度为g ，导轨电阻不计，杆与导轨接触良好。
求：(1)杆cd 下滑的最大加速度和最大速度； (2)上述过程中，杆上产生的热量。
[解析] (1)设杆cd 下滑到某位置时速度为v ，则杆产生的感应电动势E ＝BL v ，回路中的感应电流I ＝ER ＋R杆所受的安培力F ＝BIL 根据牛顿第二定律有mg sin θ－B 2L 2v2R＝ma当速度v ＝0时，杆的加速度最大，最大加速度a ＝g sin θ，方向沿导轨平面向下当杆的加速度a ＝0时，速度最大，最大速度v m ＝2mgR sin θB 2L 2，方向沿导轨平面向下。
(2)杆cd 从开始运动到达到最大速度过程中，根据能量守恒定律得mgx sin θ＝Q 总＋12m v m 2又Q 杆＝12Q 总，所以Q 杆＝12mgx sin θ－m 3g 2R 2sin 2θB 4L 4。
[答案] (1)g sin θ，方向沿导轨平面向下 2mgR sin θB 2L 2，方向沿导轨平面向下 (2)12mgx sin θ－m 3g 2R 2sin 2θB 4L 4[内化模型]单杆＋电阻＋导轨四种题型剖析开始时a ＝g sin α，B L[变式] 此题若已知金属杆与导轨之间的动摩擦因数为μ。
现用沿导轨平面向上的恒定外力F 作用在金属杆cd 上，使cd 由静止开始沿导轨向上运动，求cd 的最大加速度和最大速度。
2022届高考物理二轮提升：电磁感应中的三大常考模型
电磁感应中的三大常考模型一、选择题（第1～4题为单选题，第5～8题为多选题）1．一质量为m ，半径为R 的金属圆环，圆心为O ，在O 点正下方h (h ＞R )处MN 的下方有一磁感应强度为B 的匀强磁场，在圆环下落至图示位置（圆环刚好完全进入磁场）的过程中，金属圆环产生的焦耳热为Q ，重力加速度为g 。
对圆环下列说法正确的是（）A．圆环进入磁场过程中感应电流方向（正对纸面）是顺时针的B．圆环所受安培力一直增大，方向竖直向上C．圆环所受安培力大小变化和方向均无法确定【答案】D【解析】根据楞次定律，圆环进入磁场过程中，通过圆环的磁通量增加，感应电流产生的磁场阻碍原磁通量的变化，根据“增反减同”的规律，感应电流产生的磁场方向竖直纸面向外，则感应电流方向（正对纸面）是逆时针的，所以A 错误；圆环所受安培力始为0，完全进入磁场时也为0，中间不为0，则安培力先增大后减小0，根据楞次定律的推论可判断安培力的方向总是竖直向上，所以BC 错误；圆环刚好完全进入磁场时的速度为v ，根据能量守恒定律有21()2mg h R mv Q，解得v ，所以D 正确；2．如图甲所示，电阻不计、间距为l 、足够长的光滑平行导轨固定在一绝缘水平面内，导轨左端连接阻值为R 的定值电阻，金属杆ab 垂直导轨放置，接入电路的电阻也为R ，且始终与导轨接触良好，整个装置置于竖直向下的匀强磁场中。
金属杆ab 受到水平向右的拉力F 作用沿导轨向右匀速运动，拉力F 与杆的速度v 的关系如图乙所示，图中F 0、v 0均为已知量。
则该匀强磁场的磁感应强度大小为（）C．020F R l v D．0202F R l v 【答案】B【解析】金属杆做匀速运动，有F F BIl 安，2E I R ，E Blv ，解得222B l v F R ，当0v v ，0F F 时，解得0202F R B l v ，故ACD 错误，B 正确。
3．MN 、GH 为光滑的水平平行金属导轨，ab 、cd 为跨在导轨上的两根金属杆，匀强磁场垂直穿过MN 、GH 所在的平面，如图所示，则（）A．若固定ab ，使cd 向右滑动，则abdc 回路有电流，电流方向由a 到b 到d 到cB．若ad 、cd 以相同的速度一起向右滑动，则abdc 回路有电流，电流方向由c 到d 到b 到aC．若ab 向左、cd 向右同时运动，则abdc 回路电流为0D．若ab 、cd 都向右运动，且两棒速度v cd ＞v ab ，则abdc 回路有电流，电流方向由c 到d 到b 到a【答案】D【解析】若固定ab ，使cd 向右滑动，由右手定则知应产生顺时针方向的电流，故A 错误；若ab 、cd 同向运动且速度大小相同，ab 、cd 所围的面积不变，磁通量不变，不产生感应电流，故B 错误；若ab 向左、cd 向右同时运动，则abdc 回路中有顺时针方向的电流，故C 错误；若ab 、cd 都向右运动，且v cd ＞v ab ，则ab 、cd 所围的面积发生变化，磁通量也发生变化，故由楞次定律可判断出产生由c 到d 到b 到a 的电流，故D 正确。
高考物理复习 电磁感应杆模型
5．最大速度vm 电容器充电量： Q0 CE
放电结束时电量： Q CU CBlvm
电容器放电电量： Q Q0 Q CE CBlvm
对杆应用动量定理：mvm BIl t BlQ
vm
m
BlCE B2l2C
题型五 电容放电式：
6．达最大速度过程中 的两个关系
v1=0时：电流最大，
Im
Blv0 R1 R2
v2=v1时：电流 I＝0
3．两棒的运动情况
安培力大小：
两棒的相对速度变小,感应电 流变小,安培力变小.棒1做加 速度变小的加速运动，棒2做
加速度变小的减速运动，最 终两棒具有共同速度。
随着棒2的减速、棒1的加速，两棒 的相对速度v2-v1变小，回路中电流 也变小。
4．变化
(1)两棒都受外力作用
(2)外力提供方式变化
题型五 电容放电式：
4．最终特征：匀速运 动，但此时电容器带 电量不为零
1．电路特点 电容器放电，相当于电源；导体棒受安 培力而运动。
2．电流的特点 电容器放电时，导体棒在安培力作用下
开始运动，同时产生阻碍放电的反电动
势，导致电流减小，直至电流为零，此 时UC=Blv 3．运动特点 a渐小的加速运动，最终做匀速运动。
1．电路特点：导体棒相当于电源。
6、三个规律
2．安培力的特点：安培力为阻力， 并随速度减小而减小。
(1)能量关系：
1 2
mv02
0
Q,
QR Qr
F BIL B2l2v Rr
(2)动量关系：BIl t 0 mv0 q n Bl s
R r
1.7 电磁感应中的杆-导轨模型
电磁感应中的杆-导轨模型精讲年级：高中科目：物理类型：选考制作人：黄海辉知识点：电磁感应中的杆-导轨模型一、电磁感应中的杆＋导轨模型这类问题的实质是不同形式的能量的转化过程，从功和能的观点入手，弄清导体切割磁感线运动过程中的能量转化关系，处理这类问题有三种观点，即：①力学观点；②图像观点；③能量观点。
单杆模型中常见的四种情况：模型一(v0≠0)模型二(v0＝0)模型三(v0＝0)模型四(v0＝0)示意图单杆ab以一定初速度v0在光滑水平轨道上滑动，质量为m，电阻不计，两导轨间距为L 轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两导轨间距为L轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两导轨间距为L，拉力F恒定轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两导轨间距为L，拉力F恒定力学观点导体杆以速度v切割磁感线产生感应电动势E＝BL v，电流I＝ER＝BL vR，安培力F＝BIL＝B2L2vR，做减速运动：v↓⇒F↓⇒a↓，当v＝0时，F＝0，a＝0，杆保持静止S闭合，ab杆受安培力F＝BLEr，此时a＝BLEmr，杆ab速度v↑⇒感应电动势BL v↑⇒I↓⇒安培力F＝BIL↓⇒加速度a↓，当E感＝E时，v最大，且开始时a＝Fm，杆ab速度v↑⇒感应电动势E＝BL v↑⇒I↑⇒安培力F安＝BIL↑，由F－F安＝ma知a↓，当a＝0时，v最大，v m＝FRB2L2开始时a＝Fm，杆ab速度v↑⇒感应电动势E＝BL v↑，经过Δt速度为v＋Δv，此时感应电动势E′＝BL(v＋Δv)，Δt时间内流入电容器的电荷量Δq＝CΔU＝C(E′－E)＝F做的功一部分F做的功一部分【例1】如图947所示，“U”形金属框架固定在水平面上，处于竖直向下的匀强磁场中。
ab棒以水平初速度v0向右运动，下列说法正确的是()图947A．ab棒做匀减速运动B．回路中电流均匀减小C．a点电势比b点电势低D．ab棒受到水平向左的安培力[解析] 棒具有向右的初速度，根据右手定则，产生b指向a的电流，则a点的电势比b 点的电势高。
电磁感应基本模型
8，如图 1 所示，质量
的“ ”型金属细框竖直放置在两水银槽中，“ ”型框中的水
平细杆 CD 长
，处于磁感应强度大小
、方向水平向右的匀强磁场中。有一匝数
匝、
面积
的线圈通过开关 K 与两水银槽相连。线圈处于与线圈平面垂直的、沿竖直方向的匀强磁场中，其
磁感应强度 的大小随时间 变化的关系如图 2 所示。
14，如图所示，竖直放置的两光滑平行金属导轨，置于垂直于导轨平面向里的匀强磁场中，两根质量相同的导体棒 a 和 b，与导轨紧密接触且可自由滑动。先固定 a，释放 b，当 b 的速度达到 10m/s 时，再释放 a，经过 1s 后，a 的 速度达到 12m/s，则（1）此时 b 的速度大小是多少？（2）若导轨很长，a、b 棒最后的运动状态。
推动刚性金属棒 CD（电阻可忽略且和导轨接触良好）向上运动，当回路 CEFDC 面积减少量达到最大值
，用时
，此过程激励出强电流，产生电磁推力加速火箭。在 时间内，电阻 产生的焦耳热使燃料燃烧形成高温 高压气体。当燃烧室下方的可控喷气孔打开后，喷出燃气进一步加速火箭。 （1）求回路在 时间内感应电动势的平均值及通过金属棒 EF 的电荷量，并判断金属棒 EF 中的感应电流方向；
11，两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为 L.导轨上面横放着两根导体棒 ab 和 cd，构成矩形回路，如图所示.两根导体棒的质量皆为 m，电阻皆为 R，回路中其余部分的电阻可不计.在整个导轨 平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为 B.设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行.开始时，棒 cd 静止，棒
7，如图 4 所示，C1D1E1F1 和 C2D2E2F2 是距离为 L 的相同光滑导轨，C1D1 和 E1F1 为两段四分之一的圆弧，半径分别为 r1 ＝8r 和 r2＝r.在水平矩形 D1E1E2D2 内有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为 B.导体棒 P、Q 的长度均为 L，质量均为 m，电阻均为 R，其余电阻不计，Q 停在图中位置，现将 P 从轨道最高点无初速释放，则 (1)求导体棒 P 进入磁场瞬间，回路中的电流的大小和方向(顺时针或逆时针)； (2)若 P、Q 不会在轨道上发生碰撞，棒 Q 到达 E1E2 瞬间，恰能脱离轨道飞出，求导体棒 P 离开轨道瞬间的速度； (3)若 P、Q 不会在轨道上发生碰撞，且两者到达 E1E2 瞬间，均能脱离轨道飞出，求回路中产生热量的范围．
电磁感应中的“三类模型问题”-高考物理二轮复习专题检测
电磁感应中的“三类模型问题”1．(2018·漳州八校模拟)如图所示，MN 、PQ 为间距L ＝0.5 m 的足够长平行导轨，NQ ⊥MN 。
导轨平面与水平面间的夹角θ＝37°，NQ 间连接有一个R ＝5 Ω的电阻。
有一匀强磁场垂直于导轨平面向上，磁感应强度为B 0＝1 T 。
将一质量为m ＝0.05 kg的金属棒紧靠NQ 放置在导轨ab 处，且与导轨接触良好，导轨与金属棒的电阻均不计。
现由静止释放金属棒，金属棒沿导轨向下运动过程中始终与NQ 平行。
已知金属棒与导轨间的动摩擦因数μ＝0.5，当金属棒滑行至cd 处时已经达到稳定速度，cd 距离NQ 为s ＝2 m(g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)。
则：(1)当金属棒滑行至cd 处时，回路中的电流是多大？(2)金属棒达到的稳定速度是多大？(3)金属棒从开始运动到滑行至cd 处过程中，回路中产生的焦耳热是多少？ 解析：(1)金属棒达到稳定速度时，沿导轨方向受力平衡mg sin θ＝F f ＋F A其中F A ＝B 0ILF f ＝μF N ＝μmg cos θ解得I ＝0.2 A 。
(2)由欧姆定律得I ＝E R由电磁感应定律得E ＝B 0Lv解得v ＝2 m/s 。
(3)金属棒从开始运动到滑行至cd 处过程中，由能量守恒定律得 mg sin θs ＝12mv 2＋Q ＋μmg cos θs解得Q ＝0.1 J 。
答案：(1)0.2 A (2)2 m/s (3)0.1 J2.如图所示，足够长的粗糙斜面与水平面成θ＝37°角放置，斜面上的虚线aa ′和bb ′与斜面底边平行，且间距为d ＝0.1 m ，在aa ′、bb ′围成的区域内有垂直斜面向上的有界匀强磁场，磁感应强度为B ＝1 T ；现有一质量为m ＝10 g ，总电阻为R ＝1 Ω，边长也为d ＝0.1 m 的正方形金属线圈MNPQ ，其初始位置PQ 边与aa ′重合，现让线圈以一定初速度沿斜面向上运动，当线圈从最高点返回到磁场区域时，线圈刚好做匀速直线运动。
核心素养微专题6 电磁感应中的“杆+导轨”模型
(1)若涉及变力作用下运动问题，可选用动量守恒和能量守恒的方法解决。
(2)若涉及恒力或恒定加速度，一般选用动力学的观点。若涉及运动时间
问题也可选用动量定理求解。
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二轮 ·物理
[示例3] 如图所示，在大小为B的匀强磁场区域内跟磁场方向垂直的水 平面中有两根固定的足够长的金属平行导轨，在导轨上面平放着两根导 体棒ab和cd，两棒彼此平行，构成一矩形回路。导轨间距为l，导体棒的 质量都为m，电阻都为R，导轨部分电阻可忽略不计。设导体棒可在导 轨上无摩擦地滑行，初始时刻ab棒静止，给cd棒一个向右的初速v0，求： (1)当cd棒速度减为0.8v0时的加速度大小； (2)从开始运动到最终稳定，电路中产生的电能； (3)两棒之间距离增加量Δx的上限。
×mgsin θ＝ma，解得加速度大小为 2.5 m/s2，B 正确；金属杆滑至底端
的整个过程中，整个回路中产生的焦耳热为 mgh－12mv2m，电阻 R 产生的
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二轮 ·物理
焦耳热一定小于 mgh－21mvm2 ，C 错误；金属杆达到最大速度后，根据受 力平衡可得 mgsin θ＝F 安＝BIL，得 I＝mgBsiLn θ＝neSv－，得v－＝ρgnseiBn θ， 其中 n 为单位体积的电子数，ρ 为金属杆的密度，所以杆中定向运动的 电荷沿杆长度方向的平均速度与杆的粗细无关，D 正确。 [答案] BD
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2．单杆“倾斜导轨”模型 匀强磁场与导轨垂直，磁感应强度为 B，导轨间距 L，导体棒 质量 m，电阻 R，导轨光滑，电阻不计(如图)
物理 模型
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棒 ab 由静止释放后下滑，此时 a＝gsin α，棒 ab 速度 v↑→
电磁感应中杆切割磁场问题.
电磁感应中杆切割磁场问题1.单杆模型（1）单杆AB以一定的初速度v0在光滑的水平轨道上滑动，质量为m,电阻不计。
杆长为L杆减速最终静止。
(2)轨道水平光滑，单杆AB质量为m电阻不计，杆长为L.AB 杆作加速度减小的加速运动，当E 感=E 时，以最大的速度Vm 运动。
Vm=22L B FR =BL E若电路中的电源换成充了电的电容，充电电容与电源作用效果相似。
(3)轨道水平光滑，杆AB 质量为，电阻不计，杆长为L,拉力F 恒定。
AB 杆作加速度减小的加速运动，最终以最大的速度Vm=22L B FR匀速运动。
（4）轨道水平光滑，杆AB 质量为m ，电阻不计，杆长为L,拉力F 恒定。
对杆用动量定理，Ft-BLq=mv-mv 0 , q=CBLv V=CL B m F 22+t 由此式可知杆作匀加速度a=mL CB F +22的匀加速运动。
当F=0时，杆匀速运动。
（5）轨道水平光滑，杆AB 质量为，电阻不计，杆长为L,拉力F 与时间成一次关系（线性）。
导轨接电阻。
F-r R at v L B ++)(022=ma,即F=r R v L B +022+ma+rR L B +22at ，杆受F=Kt,杆做匀加速度运动。
F=K ，则杆最终以0ν匀速运动。
2.双杆模型（1）初速度不为零，不受其他水平外力作用。
①m 1=m 2 L 1=L 2MN作减速运动，PQ加速运动。
最终v1=v2匀速运动。
②m1=m2，L1=2L2MN减速运动，PQ加速。
最终以的速度。
v2=2v1③m1=m2 L1=L2PQ 先减速，MN 杆先减速到零后反向加速，最终二者以共同的速度匀速运动。
（2）初速度为零，受其他水平力作用。
①轨道光滑，质量m 1=m 2，电阻r 1=r 2，长度L 1=L 2开始PQ 作加速度减小的加速运动，MN 作加速度增大的加速运动，后来PQ 和MN 以共同的加速度作匀加速运动。
a=21m m F +,v p -v q =恒量。
法拉第电磁感应定律考察的三类五个模型
法拉第电磁感应定律考察的三类五个模型电磁感应现象考查的知识重点是法拉第电磁感应定律，根据法拉第电磁感应定律的表达式tBS ntnE ∆∆=∆∆Φ=)(，有下列三类五个模型转换：一．B 变化，S 不变 （1）B 均匀变化 ①B 随时间均匀变化如果B 随时间均匀变化，则可以写出B 关于时间t 的表达式，再用法拉第电磁感应定律解题，如例1第（1）问．②B 随位置均匀变化B 随位置均匀变化的解题方法类似于B 随时间均匀变化的情形． （2）B 非均匀变化B 非均匀变化的情况在高中并不多见，如例1第（3）问．如果题目给出了B 非均匀变化的表达式，也可用后面给出的求导法求解．【例1】如图1所示，固定于水平桌面上的金属框架cdef ，处在竖直向下的匀强磁场中，金属棒ab 搁在框架上，可无摩擦滑动．此时abed 构成一个边长为l 的正方形，棒的电阻为r ，其余部分电阻不计．开始磁感强度为B 0．（1）若从t =0时刻起，磁感强度均匀增加，每秒增量为k ，同时棒保持静止．求棒中的感应电流．在图上标出感应电流的方向；（2）在上述（1）情况中，始终保持棒静止，当t =t 1末时需加的垂直于棒的水平拉力为多大？（3）若t =0时刻起，磁感强度逐渐减小，当棒以恒定速度v 向右做匀速运动时，可使棒中不产生感应电流，则磁感强度应怎样随时间变化（写出B 与t 的关系式）？解析：将加速度的定义式和电磁感应定律的表达式类比，弄清k 的物理意义，写出可与at v v t +=0相对照的B 的表达式kt B B +=0；第（3）问中B 、S 均在变化，要能抓住产生感应电流的条件（①回路闭合；②回路中有磁通量的变化）解题．（1）磁感强度均匀增加，每秒增量为k ，得k tB =∆∆∵感应电动势2S kl tB tE =∆∆=∆∆Φ=∴感应电流rkl rE I 2==d图1由楞次定律可判定感应电流方向为逆时针，棒ab 上的电流方向为b→a ． （2）t=t 1时，B=B 0+kt 1 又∵F=BIl ∴rkl kt B F 310)(+=（3）∵棒中不产生感应电流 ∴回路中总磁通量不变 ∴Bl （l+vt ）=B 0l 2 得vtl l B B +=0二．B 不变，S 变化 （1）金属棒运动导致S 变化金属棒在匀强磁场中做切割磁感线的运动时，其感应电动势的常用计算公式为BLv E =，此类题型较常见，如例2．【例2】如图2所示，两条互相平行的光滑金属导轨位于水平面内，距离为l =0.2m ，在导轨的一端接有阻值为R =0.5Ω的电阻，在x ≥0处有一与水平面垂直的均匀磁场，磁感强度B =0.5T ．一质量为m =0.1kg的金属直杆垂直放置在导轨上，并以v 0=2m/s 的初速度进入磁场，在安培力和一垂直于杆的水平外力F 的共同作用下做匀变速直线运动，加速度大小为a =2m/s 2、方向与初速度方向相反．设导轨和金属杆的电阻都可以忽略，且接触良好．求：（1）电流为零时金属杆所处的位置；（2）电流为最大值的一半时施加在金属杆上外力F 的大小和方向；（3）保持其他条件不变，而初速度v 0取不同值，求开始时F 的方向与初速度v 0取值的关系．解析：杆在水平外力F 和安培力的共同作用下做匀变速直线运动，加速度a 方向向左．杆的运动过程：向右匀减速运动→速度为零→向左匀加速运动；外力F 方向的判断方法：先假设，再根据结果的正负号判断．（1）感应电动势E=Blv ，感应电流I=RBlv RE =∴I=0时v=0 ∴x =av 22=1（m ）（2）当杆的速度取最大速度v 0时，杆上有最大电流I m =RBlv 0RBlv I I m 22'0==安培力F 安=BI ’l=Rv l B 2022=0.02（N ）向右运动时F+F 安=ma ，得F=ma- F 安=0.18（N ），方向与x 轴相反 向左运动时F- F 安=ma ，得F=ma+F 安=0.22（N ），方向与x 轴相反 （3）开始时v=v 0，F 安=BI m l=R v l B 022F+F 安=ma ，F=ma- F 安=ma-Rv l B 022∴当v 0< 22lB maR=10m/s 时，F >0，方向与x 轴相反当v 0>22lB maR =10m/s 时，F <0，方向与x 轴相同（2）导轨变形导致S 变化常常根据法拉第电磁感应定律解题，如例3.【例3】如图3所示，半径为a 的圆形区域内有均匀磁场，磁感强度为B ＝0.2T ，磁场方向垂直纸面向里，半径为b 的金属圆环与磁场同心地放置，磁场与环面垂直，其中a ＝0.4m ，b ＝0.6m ，金属环上分别接有灯L 1、L 2，两灯的电阻均为R 0＝2Ω，一金属棒MN 与金属环接触良好，棒与环的电阻均忽略不计（1）若棒以v 0＝5m/s 的速率在环上向右匀速滑动，求棒滑过圆环直径OO ’的瞬时（如图所示），MN 中的电动势和流过灯L 1的电流．（2）撤去中间的金属棒MN 将右面的半圆环OL 2O ’以OO ’为轴向上翻转90º，若此时磁场随时间均匀变化，其变化率为π4=∆∆tB （T/s ），求L 1的功率． 解析：（1）当棒滑过圆环直径OO ’的瞬时，棒的有效长度为2a ，灯L 1、L 2是并联的．E 1＝B 2av ＝0.2×0.8×5 ＝0.8（V ） 4.028.011===R E I （A ）（2）将右面的半圆环OL 2O’以OO’为轴向上翻转90º后，圆环的有效面积为半圆．其图3中B 随时间是均匀变化的，注意此时灯L 1、L 2是串联的．32.0222=⨯∆∆=∆∆Φ=a tB t E π （V ）R E P 221)2(=＝1.28×102（W ）另外还可在S 不规则变化上做文章，如金属棒旋转、导轨呈三角形等等． 三．磁场变化的同时导体棒切割磁感线【例4】如图4所示，两根平行金属导轨固定在水平桌面上，每根导轨每米的电阻为r 0=0.10Ω/m ，导轨的端点P 、Q 用电阻可以忽略的导线相连，两导轨间的距离l =0.20m 。
2023年高二物理模型重难点易错专练 电磁感应现象中的单棒和双棒模型(解析版)
电磁感应现象中的单棒和双棒模型特训专题特训内容专题1三类常见单棒模型(1T -3T )专题2三类含容单棒模型(4T -6T )专题3等距式双棒模型(7T -9T )专题4不等距式双棒模型(10T -12T )1【典例专练】一、三类常见单棒模型1如图所示，两根电阻不计且足够长的平行光滑金属导轨固定在同一水平面内，其间距d =1m ，左端连接一个R =1.5Ω的定值电阻，整个导轨处在磁感应强度B =0.2T 的匀强磁场中，磁场方向竖直向下。
质量m =0.2kg 、长度L =1m 、电阻r =0.5Ω的导体棒垂直导轨放置并与导轨接触良好。
现使导体棒获得大小6m s 、方向水平向右的初速度，下列说法正确的是( )。
A.回路中感应电流的方向为逆时针方向B.导体棒刚开始运动瞬间，R 两端电压为1.2VC.当导体棒停止运动时，通过R 的电荷量为6CD.整个过程中导体棒向右运动的位移为60m【答案】ACD【详解】A ．由右手定则可得回路中感应电流的方向为逆时针方向，故A 正确；B ．导体棒刚开始运动瞬间，产生的电动势为E =BLv =1.2V ，R 两端电压为U =RER +r=0.9V C ．取水平向右为正方向，由动量定理可得-BIL ×Δt =0-mv 则q =mvBL=6C 故C 正确；D ．整个过程中通过导体棒的电荷量为q =I t =Δϕt R +r t =ΔϕR +r =BLxR +r解得位移为x =60m 故D 正确。
故选ACD 。
2水平固定放置的足够长的光滑平行导轨，电阻不计，间距为L ，左端连接的电源电动势为E ，内阻为r ，质量为m 的金属杆垂直静放在导轨上，金属杆处于导轨间部分的电阻为R ，整个装置处在磁感应强度大小为B 、方向竖直向下的匀强磁场中如图所示。
闭合开关，金属杆由静止开始沿导轨做变加速运动直至达到最大速度，则下列说法正确的是()A.金属杆的最大速度等于ER BL R +rB.此过程中通过金属杆的电荷量为mE B 2L 2C.此过程中电源提供的电能为mE 22B 2L 2 D.此过程中金属杆产生的热量为mE 2R2B 2L 2R +r 【答案】BD【详解】A ．金属杆向右运动切割磁感应线产生的感应电动势与电源电动势方向相反，随着速度增大，感应电动势增大，回路中的总电动势减小，回路中的电流减小，金属杆受到的安培力减小，金属杆做加速度逐渐减小的加速运动，最后匀速运动；金属杆速度最大时，产生的感应电动势大小为E ，则有E =BLv m解得金属杆的最大速度为v m =EBL故A 错误；B ．从开始运动到速度最大的过程中，以向右为正方向，对金属杆根据动量定理，有BI L Δt =mv m -0又q =IΔt联立解得此过程中通过金属杆的电荷量为q =mEB 2L 2故B 正确；C ．此过程中电源提供的电能为W =qE =mE 2B 2L2故C 错误；D ．金属杆最后的动能为E k =12mv 2m =mE 22B 2L 2根据能量守恒定律，系统产生的焦耳热为Q =W -E k =mE 22B 2L 2此过程中金属杆产生的热量为Q=R R +r Q =mE 2R 2B 2L 2R +r故D 正确。