§6.3置换群(离散数学)
σ(l)= σ(at+1)= a1 σ1 σ2(l) = σ1 (σ2(at+1)) = σ1 (at+1) = a1 ；
若l {a1,a2,…,at+1}，则 σ(l)=l
ห้องสมุดไป่ตู้
11
2 2
33
一个元素不动：σ2＝
σ4＝
12
2 1
33
11
2 3
23σ 3＝
0个元素不动：σ5＝
12
2 3
31σ6＝
故，S3 = {σ1，σ2，σ3，σ4，σ5，σ6}
13
2 2
31
13
2 1
23
置换的乘法
➢ 对M中任意元素a及M的任意两个置换σ，τ， 规定στ（a）=σ（τ（a））。
➢ 例. 设σ＝
12
2 1
3 3
44，τ＝
13
2 4
3 1
24
则στ=
13
2 4
3 2
41，
τσ=
14
2 3
3 1
24
≠ στ
置换的乘法的性质
❖ 满足结合律：(στ)ρ=σ(τρ)，σ,τ,ρ∈ Sn。
❖ Sn中有单位元: n元恒等置换，设 为σ0，有：σ0τ=τσ0 ，τ∈Sn
❖ 每个n元置换在Sn 中都有逆元素:
σ1=(1)(2)(3)(4) σ2=(1 2 3 4) σ3=(1 3)(2 4)
绕中心逆时针转00； 绕中心逆时针转900； 绕中心逆时针转1800；
σ4=(1 4 3 2)
绕中心逆时针转2700；
σ5=(1 2)(3 4)
绕垂直轴翻转1800；
σ6=(1 4) (2 3) 绕水平轴翻转1800 ；
图1是一个22的方格图形，它可以围绕中心旋转，
也可以围绕对称轴翻转，但要求经过这样的变动
以后的图形要与原来的图形重合（方格中的数字
可以改变）。例如，当它绕中心逆
12
时针旋转900以后，原来的数字1，2，
3，4分别变为2，3，4和1，可以把
43
这个变化看作是{1，2，3，4}上的
图1
一个置换（1 2 3 4）。下面给出所有可能的置换：
不相杂轮换
➢ M的两个轮换 σ=(a1…ar)和τ=(b1…bs)说 是不相杂或不相交，如果 a1,…,ar和b1,…,bs都 不相同(即{a1,… ,ar}∩{b1,…,bs}= ) ➢ 例.设M={1,2,3,4,5,6,7}， （1 3 4）与（6 3 7）是相杂轮换， （1 3 4）（6 3 7）=（1 3 7 6 4）， （6 3 7） （1 3 4）=（1 7 6 3 4）; （1 3 4）与（2 5）是不相杂轮换， （1 3 4）（2 5）= （2 5） （1 3 4）
若M已经没有另外的元素，则σ就等于这个
轮换，否则设b1不在a1，…，ar之内，则同样作 法又可得到一个轮换（b1…bs）.因为a1，…，ar 各自已有变到它的元素，所以b1，…，bs中不会 有a1，…，ar出现，即这两个轮换不相杂。若M 的元素已尽，则σ就等于这两个轮换的乘积，否
则如上又可得到一个轮换。如此类推，由于M有
· σ1 σ2
表1
σ3 σ4 σ5
51 =
14
2 5
3 3
4 1
25
στ=
14
2 1
3 2
4 5
53
τσ=
15
2 4
3 1
4 3
25
σ-1=
15
2 1
3 3
4 2
45
τ-1=
13
2 1
3 5
4 4
25
x=σ-1 τ=
11
2 4
3 5
4 2
53y =στ-1=
13
2 2
3 1
4 5
45
n次对称群
n元置换的全体作成的集合Sn对置换的乘法作 成一个群，称为n 次对称群。 （n 次对称群的
往证(a1a2…atat+1)= (a1at+1) (a1a2…at) 令σ1=(a1 at+1)，σ2=(a1 a2… at)， 下面证明σ= σ1 σ2。 任取l∈M,
若l {a1,a2,…,at-1}，不妨设l=am,则 σ(l)= σ(am)=am+1，
σ1 σ2(l)= σ1 (am+1)=am+1； 若l=at，则
➢ 例. σ=
13
2 2
3 4
4 1
5 5
6 6
=（1 3 4）=（3 4 1）=（4 1 3）
➢ 可以把a1，… ，ar中的任意元素ai排在 头一位而改写成
（ai ai+1 … ar a1 … ai-1）
结论：设（a1 a2 … ar ） 是M的轮换，则 （a1 a2 … ar ）-1 =（ ar … a2 a1 ） 证明：往证（ ar … a2 a1 ） （a1 a2 … ar ）=I 命χ为M的任意元
则写法是唯一的(唯一性)。
例.
13
2 1
3 5
4 4
5 2
6 8
7 7
68
=(1 3 5 2)(4)(6 8)(7)=(3 5 2 1)(7)(8 6)(4)
置换的这种表法称为置换的轮换表法
去掉单轮换为轮换表法的省略形式：
(1 3 5 2) (6 8)
证明：
（1）可表性。
设σ是M上置换，任取a1∈M。 ➢ 若σ（a1） = a1，则有轮换（a1）。 ➢ 设σ（a1）= a2， σ（a2）= a3，…。由于M 有限，故到某一个元素ar，σ(ar)必然不能再是 新的元素,即σ(ar) ∈｛a1,…,ar｝。由于σ是一 对一的，已有σ（ai）= ai+1,i=1,2,…,r-1，所以 σ(ar)只能是a1.于是得到一个轮换（a1…ar）。
σ7=(2 4)
绕西北---东南轴翻转1800；
σ8=(1 3)
绕西南---东北轴翻转1800。
表1给出运算表。令D4={σ1, σ2,…, σ8}，
易见D4关于置换的乘法是封闭的。
置换乘法满足结合律。
σ1是单位元。 σ1-1 =σ1, σ2-1 =σ4, σ3-1 =σ3, σ4-1 =σ2, σ5-1 =σ5, σ6-1 =σ6, σ7-1 =σ7, σ8-1 =σ8, D 关于置换的乘法构成一个4次置换群。
证毕。
例. 设M={1,2,3,4}，M的24个置换可写成：
I； (1 2), (1 3), (1 4), (2 3), (2 4), (3 4)； (1 2 3), (1 3 2), (1 2 4), (1 4 2), (1 3 4), (1 4 3), (2 3 4), (2 4 3)；
(1 2 3 4), (1 2 4 3), (1 3 2 4), (1 3 4 2), (1 4 2 3), (1 4 3 2), (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)。
➢ 若χ∈｛a1,…,ar-1｝，设χ=ai，则
(ar … a2 a1)(a1 a2 … ar) (ai)=(ar…a2 a1) (ai+1)= ai ➢ 若χ= ar ,则
(ar … a2 a1)(a1 a2 … ar) (ar)= (ar … a2 a1)(a1)= ar ➢ χ｛a1,…,ar｝，则(ar … a2 a1)(a1 a2 … ar) (x)=x 总之， (ar … a2 a1) (a1 a2 … ar)(x)=I(x)=x 即，（ ar … a2 a1 ） （a1 a2 … ar ）=I 同理， （a1 a2 … ar） （ar … a2 a1） =I
对换
➢ 轮换的长度 其中所含的元素个数。
（a1 a2… ar）长度为r。
➢ 对换 长度为２的轮换。 ➢ 结论. 任意轮换可以写成对换的乘积。
证明： 往证 (a1 a2…ar)＝(a1 ar)(a1 ar-１)…(a1 a3)(a1 a2) (3) 对r进行归纳，当r=2时命题显然成立。 假设r=t时结论为真， 考虑σ=(a1 a2… at at+1)的情况。
不相杂轮换
➢ 同 理 可 证 ， 若 χ∈ ｛ b1,…,bs ｝ ， 也 有 στ （χ）=τσ（χ）。
➢ 若χ {a1,…,ar,b1,…,bs}, 于是， στ（χ）=σ（χ）=χ， τσ（χ）=τ（χ）=χ。 综上，στ（χ）=τσ（χ），故 στ=τσ。
定理6.3.2 任意置换σ恰有一法写成不相杂轮 换的乘积。即，任意置换σ可以写成不相杂轮 换的乘积（可表性），如果不考虑乘积的顺序，
不相杂轮换
结论：若σ和τ是M的两个不相杂的轮换，
则 στ=τσ.
证明：设σ=（a1…ar），τ=（b1…bs）， σ和τ不相杂。命χ为M的任意元.
➢ 若χ∈｛a1,…,ar｝，设χ=ai，则 στ(χ)=στ(ai)=σ(ai) = ai+1， τσ(χ)=τσ(ai)=τ(ai+1)=ai+1 。 i=r时, ai+1 应改为 a1 。 故,στ(χ)=τσ(χ)。
§6.3 置 换 群
1. 6.3.1 置换的定义 2. 6.3.2 置换的轮换表法 3. 6.3.3 置换的顺向圈表示 4. 6.3.4 置换的奇偶性
6.3.1 置换的定义
❖ 定义. 设M是一个非空的有限集合，M的 一个一对一变换称为一个置换。
❖ 设M={a1,a2,…,an},则M的置换σ可简记为
任一子群称为n 次置换群。 ）
n=1，M={a}，
离散数学中的置换群和置换多项式的应用
离散数学是数学中一块重要的分支，它研究的是离散对象和离散运算规律。
在离散数学中，置换群和置换多项式是两个非常重要的概念，它们在代数学、密码学和图论等领域中有着广泛的应用。
首先，我们来了解一下什么是置换群。
在离散数学中，置换是指一种对象或事物经过排列、调整后形成的新组合。
而置换群就是对这些置换进行组合运算后的集合。
具体来说，置换群包括两个基本运算：封闭性和逆元素。
封闭性表示对任意两个置换进行组合后，结果依然是置换的集合；逆元素表示每个置换都有一个逆置换存在，使得它们的组合运算结果为恒等置换。
置换群在代数学中有着广泛的应用。
在代数结构的研究中，置换群是一类典型的群结构，它具有很强的抽象性和一般性。
通过对置换群的研究，我们可以揭示群结构的普遍特征，从而更好地理解和应用于其他代数结构的研究中。
其次，我们来了解一下置换多项式。
在离散数学中，置换多项式是一类特殊的多项式，它的系数表示的是该置换下各元素的位置。
具体地说，如果一个置换多项式为P(x)=c0x^p0+c1x^p1+...+cnx^pn，其中ci表示系数，pi表示指数，那么它表示的置换作用在某个对象上的结果就是置换中的每个元素按照指数指定的位置进行调整。
置换多项式在密码学中有着广泛的应用。
在密码学中，我们常常需要对信息进行加密和解密。
而代表文字的一种常见方式就是使用数字代替字母，如A表示为1，B表示为2等等。
通过使用置换多项式进行加密，可以将明文的每个字母进行位置上的调整，使得加密后的密文难以破译。
同时，通过使用逆置换多项式进行解密，可以将密文重新调整回明文的位置。
置换多项式在图论中也有着广泛的应用。
在图论的研究中，我们经常需要对图的状态进行变换和调整。
而图的变换和调整可以通过使用置换多项式来表示。
通过使用置换多项式，可以对图的顶点进行重新排列，从而得到新的图结构。
这种方法在图的同构问题和图的同构群的研究中有着重要的应用。
综上所述，离散数学中的置换群和置换多项式在代数学、密码学和图论等领域中有着广泛的应用。
离散数学,置换群和子群及其陪集
因为置换按定义是一对一的，所以b1,b2,…,bn是 a1,a2,…,an的一个排列，由此可见，Ｍ的每个置 换对应a1,a2,…,an的一个排列，不同的置换对应 不同的排列,此外，a1,a2,…,an的任意排列也确 定M的一个置换，所以，M的置换共有n！个，其 中n是M的元数，M上的置换也称为n元置换。以下 用Sn表示这n！个置换作成的集合。
a1 a 2 a n b b b n 1 2
-1= b1 b 2 b n a1 a 2 a n
。
因此，我们有：
定理6.2.6 n元置换的全体作成的集合Sn对置换 的乘法作成一个群，称为n 次对称群。 注意，由于一般情况下置换相乘不满足交换律， 如上例，
§6.2.4 置 换 群 在伽罗瓦理论中起关键作用的就是置换群，它是有限群 的特例，是群的典型代表。
置换的定义:
定义6.2.4 设M是一个非空的有限集合，M的一个一对一 变换称为一个置换。 设M的元素为a1，a2，…，an，则M的置换σ可以简记为
σ＝
a1 a 2 a n ,bi=σ（ai）,i=1,2…,n b b b n 1 2
若M已经没有另外的元素，则σ就等于这个轮 换，否则设b1不在a1，…，ar之内，则同样 作法又可得到一个轮换（b1…bs）。 因为a1，…，ar各自已有变到它的元素，所 以b1，…，bs中不会有a1，…，ar出现，即 这两个轮换不相杂。若M的元素已尽，则σ 就等于这两个轮换的乘积，否则如上又可 得到一个轮换。如此类推，由于M有限，最 后必得 σ=( a1…ar)(b1…bs)…(c1…ct) （1） 即σ表成了不相杂的轮换的乘积。
证明：设σ=（a1…ar），τ=（b1…bs）,σ和τ不 相杂。命χ为M的任意元素， （1）若χ在a1，…，ar之内，例如χ=ai,则 στ(χ)=στ(ai)=σ(ai)=ai+1, τσ(χ)=τσ(ai)=τ（ai+1）= ai+1。 i=r时，ai+1应改为a1。 总之,στ（χ）=τσ（χ）。 （2）同样可以说明，若χ在b1， …，bs之内， 也有στ（χ）=τσ（χ）。 （3）设χ不在a1， …，ar， b1， …，bs之内。 于是, στ(χ)=σ(χ)=χ,τσ(χ)=τ(χ)=χ。 因此,在所有情况下,στ(χ)=τσ(χ),故 στ=τσ。
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71、既然我已Байду номын сангаас踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
离散数学,置换群和子群及其 陪集
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
离散数学中的代数结构和置换群
离散数学是数学中的一个重要分支，它研究离散的、非连续的数学对象和结构。
在离散数学中，代数结构是其中一个重要的概念，而置换群是代数结构的一个重要例子。
代数结构是研究对象间关系的一种数学工具。
它包括集合，运算和运算性质。
集合是代数结构的基础，是一个由元素组成的不重复的集合。
运算指的是将集合中两个元素映射到集合中的另一个元素的操作，常见的运算有加法、乘法等。
运算性质是指运算在代数结构中具有的性质，如结合律、交换律、单位元等。
在代数结构中，置换群是一种重要的结构。
置换是一种改变事物次序的方法，它可以是将事物重新排列，也可以是将某个事物替换为另一个事物。
置换群是一组置换构成的集合，并且具有封闭性，结合律和单位元等性质。
置换群可以描述物体的旋转、对称和变换等操作，也可以用于密码学和密码破解等领域。
置换群的运算是指将两个置换进行合成，可以通过将第一个置换的作用结果作为第二个置换的作用对象来实现。
例如，设置换π1表示将物体的位置1和位置2进行交换，置换π2表示将物体的位置2和位置3进行交换，那么置换π1和置换π2的合成操作即为将物体的位置1和位置3进行交换。
正如前所述，置换群具有封闭性、结合律和单位元等性质。
封闭性指的是任意两个置换的合成结果仍然是一个置换。
结合律是指对于置换群中的任意三个置换a、b和c，有(a * b) * c = a * (b * c)，即合成的顺序不影响结果。
单位元是指存在一个特殊的置换，它与任意置换进行合成后结果仍然是原置换。
在置换群中，还有一个重要的概念是逆元。
对于每个置换a，都存在一个逆置换a'，使得a * a' = a' * a = e，其中e是置换群的单位元。
逆元表示将一个置换的操作逆向执行，可以将置换还原为原来的状态。
置换群不仅在离散数学中有重要应用，还在计算机科学、物理学和化学等领域中得到广泛应用。
在计算机科学中，置换群可以用于密码学中的置换密码，用于保护数据的安全性。
§6.3置换群(离散数学)
证明
可见，（a1…ar）必和必
出现在（2）中，同样（2）中的任意轮换
必出现在（1）中，因之，（1）和（2）一
样，最多排列方法不同，但不相杂的轮换
相乘适合交换律，所以排列的次序本来是
可以任意颠倒的。
若M已经没有另外的元素，则σ就等于这个
轮换，否则设b1不在a1，…，ar之内，则同样作 法又可得到一个轮换（b1…bs）.因为a1，…，ar 各自已有变到它的元素，所以b1，…，bs中不会 有a1，…，ar出现，即这两个轮换不相杂。若M 的元素已尽，则σ就等于这两个轮换的乘积，否
则如上又可得到一个轮换。如此类推，由于M有
往证(a1a2…atat+1)= (a1at+1) (a1a2…at) 令σ1=(a1 at+1)，σ2=(a1 a2… at)， 下面证明σ= σ1 σ2。 任取l∈M,
若l {a1,a2,…,at-1}，不妨设l=am,则 σ(l)= σ(am)=am+1，
σ1 σ2(l)= σ1 (am+1)=am+1； 若l=at，则
§6.3 置 换 群
❖ 6.3.1 置换的定义 ❖ 6.3.2 置换的轮换表法 ❖ 6.3.3 置换的顺向圈表示 ❖ 6.3.4 置换的奇偶性
6.3.1 置换的定义
❖ 定义. 设M是一个非空的有限集合，M的 一个一对一变换称为一个置换。
❖ 设M={a1,a2,…,an},则M的置换σ可简记为
σ＝
a1 b1
σ(l)=at+1 σ1σ2(l)=σ1σ2(at)=σ1(σ2(at))=σ1(a1)=at+1； 若l=at+1，则
离散数学第6讲置换群和循环群
在群<G,g*i>=中a,,如gj果=存b 在一个元素g∈G, 对于每一个元素 a∈G都有一个相应的正整数i∈I, 能把a表示成gi形式, 那么称<G , *>是一个循 环群，g那是该么循a环*b群=的gi生*g成j=元g。i+j=gj+i=gj*gi=b*a，因此，<G,*>是一个阿贝尔群。
以把每一旋转看成是三角形的顶点集合{1, 2, 3}的置换, 于是有
p1
1
1
2 2
3
3
( 旋转 0 )
p5
1
2
2 3
3
1
( 旋转 120 )
p6
1
3
2 1
3
2
( 旋转
240 )
一、置换群
例2 两面体群(续) 再将三角形围绕直线1A、2B、3C翻转。又得到顶点集合的置换:
2 31 2
2 3
1 31 3
2 2
1 3
11
2 3
3 2
◇
12
2 3
1312
2 1
33
一、置换群
不难验证： (右合成运算：◇, p1◇p2, 先p1置换, 再p2置换) (1) <Sn, ◇>是一个代数； (2) <Sn, ◇>是一个群。
给定集合A, (1) Sn关于运算◇封闭 (2) A上所有置换对运算◇而言满足结合律 (3) Sn关于运算◇存在么元—恒等置换，恒等函数，又称么置换 (4)每一置换都有逆置换——逆函数
p1
1 2
2 3
3 4
4 1
p2
1 3
2 4
3 1
§6.3 离散数学 置 换 群
则 στ=τσ.
证明：设σ=（a1…ar），τ=（b1…bs），
σ和τ不相杂。命χ为M的任意元.
若χ∈｛a1,…,ar｝，设χ=ai，则
στ(χ)=στ(ai)=σ(ai) = ai+1，
τσ(χ)=τσ(ai)=τ(ai+1)=ai+1 。
i=r时, ai+1 应改为 a1 。
1 2 3 3 1 2
置换的乘法
对M中任意元素a及M的任意两个置换σ，τ， 规定στ（a）=σ（τ（a））。
例. 设σ＝ 则στ= τ σ=
1 2 3 4 2 1 3 4， τ＝ 1 2 3 4 3 4 2 1 ， 1 2 3 4 4 3 1 2
1 2 3
一个元素不动：σ2＝ 1 2 3 σ4＝
2 1 3
1 2 3 1 3 2σ 3＝ 1 2 3 2 3 1 σ ＝ 6
1 2 3 3 2 1
0个元素不动：σ5＝ 故，S3 = {σ1，σ2，σ3，σ4，σ5，σ6}
Sn不是Abel群。 1
6.3.2 置换的轮换表法 轮换的定义
轮换. 设σ是M的置换，若可取到M的元素
a1, …,ar 使
σ(a1)＝a2,σ(a2)=a3,…,σ(ar-1)=ar,σ(ar)=a1， 而σ不变M的其余的元素，则σ称为一个轮换， 记为 （a1 a2 … ar ）
例. σ=
1 2 3 4 5 6 3 2 4 1 5 6
1
=
b1 b2 bn a a a n 1 2
离散之置换群
10
不相杂轮换
结论：若σ和τ是M的两个不相杂的轮换，
则στ=τσ。 证明：设σ=(a1…ar)，τ=(b1…bs)， σ和τ不相杂。命x为M的任意元， 若x∈{a1, … , ar}，设x=ai，则 στ(x)=στ(ai)=σ(ai)=ai+1， τσ(x)=τσ(ai)=τ(ai+1)=ai+1。 i=r时，ai+1应改为a1。 故，στ(x)=τσ(x)。
3 2 1 n 2 1 3 n 2 3 1 n 7
§6.3.2 置换的轮换表法
定义6.3.2 设σ是M的置换，若可取到M的
元素a1, … , ar，使σ(a1)=a2, σ(a2)=a3, … , σ(ar-1)=ar, σ(ar)=a1，而σ不变M的其余的 元素，则σ称为一个轮换，记为：(a1 a2 … ar)。 注：可以把a1, … , ar中的任意元素ai排在 头一位而改写成：(ai ai+1 … ar a1 … ai-1)
=
1 4 1 5 1 3 1 3
2 5 2 4 2 1 2 2
3 3 3 1 3 5 3 1
4 1 4 3 4 4 4 5
6
5 2 5 2 5 2 5 4
στ= σ-1=
τσ= τ-1=
-1τ= 1 x=σ
14
若M已经没有另外的元素，则σ就等于这
个轮换，否则设b1不在a1, … , ar之内， 则同样作法又可得到一个轮换(b1…bs)。 因为a1, … , ar各自已有变到它的元素， 所以b1, … , bs中不会有a1, … , ar出现， 即这两个轮换不相杂。若M的元素已尽， 则σ就等于这两个轮换的乘积，否则如上 又可得到一个轮换。 如此类推，由于M有限，最后必得 σ=(a1…ar)(b1…bs)…(c1…ct) (1) 即σ 表成了不相杂轮换的乘积。
《离散数学》课件第6章 (2)
〈SS, , 〈Σ*, τ〉不是可交换半群。
定义 6.1.3 含有关于*运算的幺元的半群〈S， *〉， 称
它为独异点(monoid)， 或含幺半群， 常记为〈S, *, e〉(e是
幺元)。
第六章 几个典型的代数系统
【例6.1.4】
〈Z, +〉是独异点， 幺元是0， 〈Z, +, 0〉;
〈Z, ×〉是独异点， 幺元是1， 〈Z, ×, 1〉；
(4) A≠ , 〈P(A), ∩〉是半群， 幺元为A， 非空集合无逆
元， 所以不是群。
(5) A≠ , 〈P(A), 是S， 所以是群。
S∈P(A), S的逆元
(6) 〈Q+, ·〉(正有理数与数乘)为一群， 1为其幺元。 〈Q, ·〉不是群， 因为数0无逆元。
因为零元无逆元， 所以含有零元的代数系统就不会是群。
逻辑关系见图6.1.1。
第六章 几个典型的代数系统
图6.1.1
第六章 几个典型的代数系统
定义 6.1.1 设〈S， *〉是代数系统， *是二元运算， 如果*运算满足结合律， 则称它为半群(semigroups)。
换言之， x, y, z∈S, 若*是S上的封闭运算且满足 (x*y)*z=x*(y*z)， 则〈S， *〉是半群。
设半群〈S, *〉中元素a(简记为a∈S)的n次幂记为an， 递 归定义如下：
a1=a an+1=an*a1 n∈Z+ 即半群中的元素有时可用某些元素的幂表示出来。
因为半群满足结合律， 所以可用数学归纳法证明
am*an=am+n， (am)n=amn。
第六章 几个典型的代数系统
普通乘法的幂、 关系的幂、 矩阵乘法的幂等具体的代 数系统都满足这个幂运算规则。
离散数学中的置换群和置换多项式
在离散数学中，置换群和置换多项式是两个重要的概念。
它们在代数和组合数学中有广泛的应用，可以用来解决各种问题。
首先，我们来看看置换群。
置换群是由一组置换组成的集合，满足以下条件：先进行一个置换，然后再进行另一个置换，结果必须还是一个置换。
换句话说，如果我们用符号表示置换，那么对于任意两个置换a和b，它们的组合ab还是一个置换。
同时，存在一个特殊的置换，称为单位置换，它不改变任何元素的位置。
这样的一组置换及其运算构成了一个置换群。
置换群有许多重要的性质。
首先，置换群是封闭的，也就是说，任意两个置换进行组合的结果还是一个置换。
其次，每个置换都有一个逆置换，使得二者组合后等于单位置换。
此外，对置换的组合运算满足结合律，即(ab)c = a(bc)。
这些性质使得置换群成为一个具有代数结构的集合。
置换群在很多领域有着重要的应用。
在密码学中，置换群可以用来生成一组密钥，用于加密和解密信息。
在计算机图形学中，置换群可以用来进行图像变换，如旋转、缩放和平移等操作。
在组合优化中，置换群可以用来解决旅行商问题和分配问题等。
总之，置换群是许多数学和应用领域的基础概念。
接下来，我们来介绍置换多项式。
置换多项式是用来表示置换群元素的一种多项式。
对于一个置换，可以通过置换多项式的形式来表示它的元素移动情况。
例如，对于一个置换(1 2 3)，它将1映射到2，2映射到3，3映射到1。
我们可以通过置换多项式x^3 - 3x^2 + 2x来表示这个置换。
置换多项式有很多有趣的性质。
首先，置换多项式的次数等于置换的元素个数。
其次，置换多项式的系数可以用来表示元素的移动情况。
例如，在上面的例子中，系数-3表示元素2移动到了3的位置。
此外，置换多项式的乘积可以用来表示两个置换的组合。
置换多项式在代数和组合数学中有广泛的应用。
它们可以用来求解置换群的性质，如生成元和阶等。
同时，置换多项式还可以用来解决某些组合计数问题，如排列组合和组合逻辑等。