基本不等式的八种变形技巧
应用基本不等式的八种变形技巧
因为 a>0，b>0，a＋b＝2，所以 2≥2 ab，所以 ab≤1，所以
1 1 1 ＋11＋ ≥4(当且仅当 a＝b＝1 时取等号)，所 ≥ 1 . 所以 b ab a 1 1 以a＋1b＋1的最小值是
4.
变形后使用基本不等式 设 a>1，b>1，且 ab－(a＋b)＝1，那么( A．a＋b 有最小值 2( 2＋1) B．a＋b 有最大值( 2＋1)2 C．ab 有最大值 2＋1 D．ab 有最小值 2( 2＋1) )
应用基本不等式的八种变形技巧
基本不等式的一个主要功能就是求两个正变量和与积的 最值，即所谓“和定积最大，积定和最小”．但有的题目需 要利用基本不等式的变形式求最值，有的需要对待求式作适 当变形后才可求最值．常见的变形技巧有以下几种：
加上一个数或减去一个数使和或积为定值 4 函数 f(x)＝ ＋x(x<3)的最大值是( x－3 A．－4 C．5 B．1 D．－1 )
1 2 y 法二：因为 ＋ ＝1，所以 x＝ . x y y－ 2 因为 x>0，y>0，所以 y－2>0. y2－y （y－2）2＋3（y－2）＋2 y 所以 x＋y＝ ＋ y＝ ＝ ＝ y－ 2 y－ 2 y－ 2
2 2 y－2＋ ＋3≥3＋2 2当y－2＝y－2，即y＝2＋ 2 y－ 2
已知 a>0，b>0 且
[点拨]
1 1 a＋b＝2，求a＋1b＋1的最小值．
由于待求式是一个积的形式，因此需将多项式展开
后将积的最小值转化为和的最小值．
【解】 3 ab＋1，
1 1 1 1 1 1 a＋b 由题得 a＋1 b＋1 ＝ab＋a＋b＋1＝ab＋ ab ＋1＝
不等式的常用变形公式
不等式的常用变形公式一、加减法变形公式不等式的加减法变形公式是我们在解不等式问题时经常使用的一种变形方式。
具体表达如下：1. 加法变形公式：对于不等式 a < b，如果两边同时加上相同的数 c，不等式的方向不变，即 a + c < b + c。
例如，对于不等式2x - 3 < 5，我们可以通过加法变形公式将其变形为 2x - 3 + 3 < 5 + 3，得到 2x < 8。
2. 减法变形公式：对于不等式 a < b，如果两边同时减去相同的数 c，不等式的方向不变，即 a - c < b - c。
例如，对于不等式 3x + 4 > 7，我们可以通过减法变形公式将其变形为 3x + 4 - 4 > 7 - 4，得到 3x > 3。
二、乘法变形公式不等式的乘法变形公式是解决不等式问题时常用的另一种变形方式。
具体表达如下：1. 正数乘法变形公式：对于不等式 a < b，如果两边同时乘以一个正数 c（c > 0），不等式的方向不变，即 ac < bc。
例如，对于不等式 2x < 6，我们可以通过正数乘法变形公式将其变形为 2x * 3 < 6 * 3，得到 6x < 18。
2. 负数乘法变形公式：对于不等式 a < b，如果两边同时乘以一个负数 c（c < 0），不等式的方向改变，即 ac > bc。
例如，对于不等式-3x > 9，我们可以通过负数乘法变形公式将其变形为 -3x * (-3) > 9 * (-3)，得到 9x < -27。
三、除法变形公式除法变形公式是不等式中应用较少的一种变形方式，但在特定情况下仍然有一定的应用价值。
具体表达如下：对于不等式 a < b，如果两边同时除以一个正数 c（c > 0），不等式的方向不变，即 a/c < b/c。
例如，对于不等式4x > 12，我们可以通过除法变形公式将其变形为 4x / 4 > 12 / 4，得到 x > 3。
基本不等式知识点归纳
基本不等式知识点总结向量不等式：注意： a b 、同向或有0⇔||||||a b a b +=+≥||||||||a b a b -=-； a b 、反向或有0⇔||||||a b a b -=+≥||||||||a b a b -=+； a b 、不共线⇔||||||||||||a b a b a b -<±<+.这些和实数集中类似代数不等式：,a b 同号或有0||||||||||||a b a b a b a b ⇔+=+-=-≥； ,a b 异号或有0||||||||||||a b a b a b a b ⇔-=+-=+≥.绝对值不等式： 123123a a a a a a ++++≤双向不等式：a b a b a b -±+≤≤左边当0(0)ab ≤≥时取得等号,右边当0(0)ab ≥≤时取得等号.放缩不等式：①00a b a m >>>>，,则b m b b ma m a a m-+<<-+. 说明：b b m a a m+<+0,0a b m >>>,糖水的浓度问题. 拓展：，则，，000>>>>n m b a ba nb n a m a m b a b <++<<++<1. ②,,a bc R +∈,b d ac <,则b bd da a c c+<<+； ③n N +∈<< ④,1n N n +∈>,21111111n n n n n-<<-+-. ⑤ln 1x x -≤(0)x >,1xe x +≥()x R ∈.函数()(0)bf x ax a b x=+>、图象及性质1函数()0)(>+=b a xbax x f 、图象如图：2函数()0)(>+=b a xb ax x f 、性质：①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ；②单调递增区间：(,-∞,)+∞；单调递减区间：(0,,[0). 基本不等式知识点总结重要不等式1、和积不等式：,a b R ∈⇒222a b ab +≥当且仅当a b =时取到“=”．变形：①222()22a b a b ab ++≤≤当a = b 时,222()22a b a b ab ++==注意：(,)2a b a b R ++∈,2()(,)2a b ab a b R +∈≤ 2、均值不等式：两个正数b a 、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系,即“平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均”.若0x >,则12x x +≥ 当且仅当1x =时取“=”; 若0x <,则12x x+≤- 当且仅当1x =-时取“=”若0x ≠,则11122-2x x x xxx+≥+≥+≤即或 当且仅当b a =时取“=”.若0>ab ,则2≥+ab ba 当且仅当b a =时取“=”若0ab ≠,则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 当且仅当b a =时取“=” 3、含立方的几个重要不等式a 、b 、c 为正数：3333a b c abc ++≥0a b c ++>等式即可成立,时取等或0=++==c b a c b a ；不等式的变形在证明过程中或求最值时,有广泛应用,如：当0>ab 时,ab b a 222≥+同时除以ab 得2≥+b a a b 或ba ab -≥-11; ,,b a 均为正数,b a ba -≥22八种变式： ①222b a ab +≤ ； ②2)2(b a ab +≤； ③2)2(222b a b a +≤+ ④)(222b a b a +≤+；⑤若b>0,则b a b a -≥22；⑥a>0,b>0,则ba b a +≥+411；⑦若a>0,b>0,则ab b a 4)11(2≥+； ⑧ 若0≠ab ,则222)11(2111b a ba +≥+; 上述八个不等式中等号成立的条件都是“b a =”;最值定理积定和最小①,0,x y x y >+≥由若积()xy P =定值,则当x y =时和x y +有最小值和定积最大②,0,x y x y >+≥由若和()x y S +=定值,则当x y =是积xy 有最大值214s .推广：已知R y x ∈,,则有xy y x y x 2)()(22+-=+.1若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大；当||y x -最小时,||y x +最小.2若和||y x +是定值,则当||y x -最大时,||xy 最小；当||y x -最小时,||xy 最大.③已知,,,R a x b y +∈,若1ax by +=,则有则的最小值为：21111()()2 ()by axax by a b a b ab a b x y x y x y+=++=+++++=+≥④已知,若则和的最小值为：①.②应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”：⑴凑系数乘、除变量系数.例1.当 04x <<时,求函的数(82)y x x =-最大值.⑵凑项加、减常数项：例2.已知54x <,求函数1()4245f x x x =-+-的最大值.⑶调整分子：例3.求函数2710()(1)1x x f x x x ++=≠-+的值域； ⑷变用公式：基本不等式2a b ab +≥有几个常用变形2222a b a b ++≥,222()22a b a b ++≥不易想到,应重视；例4.求函数152152()22y x x x =--<<的最大值；⑸连用公式：例5.已知0a b >>,求216()y a b a b =+-的最小值；⑹对数变换：例6.已知1,12x y >>,且xy e =,求ln (2)yt x =的最大值；⑺三角变换：例7.已知20y x π<<≤,且tan 3tan x y =,求t x y =-的最大值；⑻常数代换逆用条件：例8.已知0,0a b >>,且21a b +=,求11t a b=+的最小值. “单调性”补了“基本不等式”的漏洞： ⑴平方和为定值若22x y a +=a 为定值,0a ≠,可设,,x a y a αα==,其中02απ<≤.①(,)2)4f x y x y a a a πααα=+==+在15[0,],[,2)44πππ上是增函数,在15[,]44ππ上是减函数； ②1(,)sin 22g x y xy a α==在1357[0,],[,],[,2)4444πππππ上是增函数,在1357[,],[,]4444ππππ上是减函数；③11(,)x y m x y x yxy +=+==.令sin cos )4t πααα=+=+,其中[1)(1,1)(1,2]t ∈--.由212sincos t αα=+,得22sin cos 1t αα=-,从而2(,)1)m x y t t==-在[1)(1,1)(1,2]--上是减函数. ⑵和为定值若x y b +=b 为定值,0b ≠,则.y b x =-①2(,)g x y xy x bx ==-+在(,]2b -∞上是增函数,在[,)2b +∞上是减函数；②211(,)x y bm x y x y xy x bx +=+==-+.当0b >时,在(,0),(0,]2b -∞上是减函数,在[,),(,)2b b b +∞上是增函数；当0b <时,在(,),(,]2b b b -∞上是减函数,在[,0),(0,)2b+∞上是增函数. ③2222(,)22n x y x y x bx b =+=++在(,]2b -∞上是减函数,在[,)2b +∞上是增函数；⑶积为定值若xy c =c为定值,0c ≠,则.c y x= ①(,)cf x y x y x x=+=+.当0c >时,在[上是减函数,在(,)-∞+∞上是增函数；当0c <时,在(,0),(0,)-∞+∞上是增函数；②111(,)()x y cm x y x x y xy c x+=+==+.当0c >时,在[上是减函数,在(,)-∞+∞上是增函数；当0c <时,在(,0),(0,)-∞+∞上是减函数；③222222(,)()2c c n x y x y x x c x x=+=+=+-在(,-∞上是减函数,在()+∞上是增函数.⑷倒数和为定值若112x y d +=d 为定值,111,,x d y ,则.c y x=成等差数列且均不为零,可设公差为z ,其中1z d≠±,则1111,,z z x d y d =-=+得,.11d d x y dz dz ==-+. ①222()1d f x x y d z =+=-.当0d >时,在11(,),(,0]d d -∞--上是减函数,在11[0,),(,)d d+∞上是增函数；当0d <时,在11(,),(,0]d d -∞上是增函数,在11[0,),(,)d d --+∞上减函数；②222(,).1d g x y xy d z ==-.当0d >时,在11(,),(,0]d d -∞--上是减函数,在11[0,),(,)d d+∞上是增函数；当0d <时,在11(,),(,0]d d -∞上是减函数,在11[0,),(,)d d --+∞上是增函数；③222222222(1)(,).(1)d d z n x y x y d z +=+=-.令221t d z =+,其中1t ≥且2t ≠,从而22222(,)4(2)4d t d n x y t t t==-+-在[1,2)上是增函数,在(2,)+∞上是减函数.。
基本不等式求最值的八种思维方法
ʏ尹丹青利用基本不等式求最值是高考的常考点,下面介绍基本不等式求最值的八种思维方法㊂方法一: 定和 与 拼凑定和 求积的最值例1 已知x >0,y >0,且x +y =7,则(1+x )(2+y )的最大值为㊂解:由x +y =7,可拼凑(x +1)+(y +2)=10,利用基本不等式求最值㊂易得(x +1)+(y +2)=10,所以(1+x )(2+y )ɤ(1+x )+(2+y )22=25,当且仅当1+x =2+y ,即x =4,y =3时等号成立㊂故(1+x )㊃(2+y )的最大值为25㊂解后反思:利用基本不等式求最值时,必须同时满足: 一正 二定 三相等㊂方法二: 定积 与 拼凑定积 求和的最值例2 若a >-3,则a 2+6a +13a +3的最小值为㊂解:对a 2+6a +13a +3变形拼凑积为定值,利用基本不等式求最值㊂因为a >-3,所以a +3>0,4a +3>0㊂由基本不等式得a 2+6a +13a +3=(a +3)2+4a +3=(a +3)+4a +3ȡ2(a +3)㊃4a +3=4,当且仅当a +3=4a +3即a =-1时等号成立㊂故a 2+6a +13a +3的最小值为4㊂解后反思:观察积与和哪个是定值,根据 和定积动,积定和动 来求解㊂方法三: 和积化归 构建不等式求最值例3 已知x >0,y >0,且x +y +x y =3,若不等式x +y ȡm 2-m 恒成立,则实数m 的取值范围为㊂解:由基本不等式得(x +y )m i n =2,构建m 2-m ɤ(x +y )m i n ,再解不等式即可㊂由3-(x +y )=x y ɤ(x +y )24,当且仅当x =y =1时等号成立,解得x +y ȡ2或x +y ɤ-6(舍去),则(x +y )m i n =2㊂因为不等式x +y ȡm 2-m 恒成立,所以m 2-m ɤ(x +y )m i n ,即m 2-m ɤ2,解得-1ɤm ɤ2㊂解后反思:根据和与积的关系式,结合基本不等式可以求出积或和的最值,这就是 和积化归法㊂方法四: 化1 与 拼凑化1 求最值例4 已知a ,b 均为正数,且1a +1+2b -2=12,则2a +b 的最小值为㊂解:确定b >2,由题设变换得2a +b =2[2(a +1)+(b -2)]1a +1+2b -2,展开凑积为定值,利用基本不等式求最值㊂当b ɪ(0,2)时,2b -2<-1,而1a +1<1,则1a +1+2b -2<0,不符合题意,故b >2㊂2a +b =2(a +1)+(b -2)=2[2(a +1)+(b -2)]1a +1+2b -2=8㊃a +1b -2+2㊃b -2a +1+8ȡ216㊃a +1b -2㊃b -2a +1+8=16,当且仅当8㊃a +1b -2=2㊃b -2a +1,即a =3,b =10时等号成立㊂故2a +b 的最小值为16㊂解后反思: 化1 或 拼凑化1 求最值的关键是基本不等式的灵活应用㊂方法五:不等式链21a +1bɤa b ɤa +b2ɤa 2+b 22(a ,b ɪR *)的合理应用例5 已知a >0,b >0,若a +b =4,51知识结构与拓展高一数学 2023年7 8月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.则( )㊂A .a 2+b 2有最小值4B .a b 有最大值2C .1a +1b 有最大值1D .1a +b 有最小值24解:已知a >0,b >0,则21a +1b ɤa b ɤa +b 2ɤa 2+b22,当且仅当a =b 时取等号㊂a 2+b 2ȡ(a +b )22=8,A 错误㊂由4=a +b ȡ2a b ,可得a b ɤ4,B 错误㊂1a +1b ȡ4a +b =1,C 错误㊂1a +b ȡ12a +b 2=122=24,当且仅当a =b =2时取等号,D 正确㊂应选D ㊂解后反思:不等式链21a +1bɤa b ɤa +b 2ɤa 2+b 22(a ,b ɪR *)分别为调和平均数㊁几何平均数㊁代数平均数㊁平方平均数㊂方法六:复杂分式构造法凑定值例6 已知a >b ,不等式a x 2+2x +b ȡ0对于一切实数x 恒成立,且∃x 0ɪR ,使得a x 20+2x 0+b =0成立,则a 2+b2a -b的最小值为㊂解:由不等式恒成立和∃x 0ɪR 使得方程成立可得a b =1,将a 2+b2a -b化成a -b +2a -b 求最值㊂因为不等式a x 2+2x +b ȡ0对于一切实数x 恒成立,所以a >0,4-4a b ɤ0㊂因为∃x 0ɪR ,使得a x 20+2x 0+b =0成立,所以4-4a b ȡ0㊂据上可得,4-4a b =0,所以a >0,b >0,a b =1㊂故a 2+b 2a -b =(a -b )2+2a ba -b=a -b +2a -b ȡ22,当且仅当a -b =2a -b 时取等号㊂故所求的最小值为22㊂解后反思:复杂分式构造法凑定值,其目的是构造和式的积为定值,再利用基本不等式求最值㊂方法七:反解代入消元法凑积为定值例7 设b >0,a b +b =1,则a 2b 的最小值为㊂解:已知等式转化为b =1a +1,再通过常数分离得到a b 2=(a +1)+1a +1-2求最值㊂已知b >0,a b +b =1,所以b =1a +1,a +1>0,所以a 2b =a 2a +1=(a +1-1)2a +1=a +1+1a +1-2ȡ2(a +1)㊃1a +1-2=0,当且仅当a +1=1a +1,即a =0时等号成立㊂故a 2b 的最小值为0㊂解后反思:借助反解代入消元,重新构造积为定值,这是求解最值的通法㊂方法八:两次使用基本不等式求最值例8 已知x ,y 都为正实数,则4(x y +1)x +x 2y的最小值为㊂解:4(x y +1)x +x 2y=4y +4x +x 2y ㊂因为x ,y 都为正实数,所以4y +x 2yȡ24x 2=4x ,当且仅当4y 2=x 2,即2y =x 时等号成立㊂所以4y +4x +x 2yȡ4x +4x ȡ216=8,当且仅当4x =4x,即x =1时等号成立㊂综上所述,当x =1,y =12时,4(x y +1)x +x 2y取得最小值为8㊂解后反思:两次使用不等式求最值,既要注意多次取等号时成立的条件,也要注意两次使用不等式后能 约分凑出定值㊂作者单位:江苏省丹阳高级中学(责任编辑 郭正华)61 知识结构与拓展 高一数学 2023年7 8月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
基本不等式(均值不等式)技巧
基本不等式(均值不等式)技巧基本知识】1.（1）若 $a,b\in \mathbb{R}$，则 $a+b\geq 2ab$。
（2）若 $a,b\in \mathbb{R}$，则 $ab\leq \frac{a^2+b^2}{2}$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）2.（1）若 $a,b\in \mathbb{R}$，则 $a+b\geq2\sqrt{ab}$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）。
（2）若 $a,b\in\mathbb{R}$，则 $ab\leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）3.若 $a,b,c\in \mathbb{R}^+$，则 $\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}$（当且仅当 $a=b=c$ 时取“=”）4.若 $a,b,c\in \mathbb{R}^+$，则 $a+b+c\geq3\sqrt[3]{abc}$（当且仅当 $a=b=c$ 时取“=”）5.若 $a,b\in \mathbb{R}$，则 $\frac{a^2+b^2}{2}\geq\left(\frac{a+b}{2}\right)^2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）技巧讲解】技巧一：凑项（增减项）与凑系数做题时，条件不满足时关键在于构造条件。
通常要通过乘以或除以常数、拆因式、平方等方式进行构造。
1.已知 $x<5$，求函数 $y=4x-\frac{5}{2}+\frac{1}{4x-5}$ 的最大值。
解：因为 $x<5$，所以首先要“调整”符号，又 $4x-5<0$，要进行拆、凑项，得到：y=4x-\frac{5}{2}+\frac{1}{4x-5}=-\frac{1}{4}\left(5-4x+\frac{1}{4x-5}\right)+\frac{11}{4}由于 $\frac{1}{4x-5}\leq\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{4}\right)$（当且仅当$x=2$ 时取“=”），所以：y\leq -\frac{1}{4}\left(5-4x+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{4}\right)\right)+\frac{1 1}{4}=-\frac{1}{4}\left(4x^2-16x+9-\frac{1}{x}\right)+\frac{11}{4}对 $-\frac{1}{4}\left(4x^2-16x+9-\frac{1}{x}\right)$ 求导，得到$x=\frac{1}{2}$ 时取得最小值，代入得到$y_{\max}=3$。
利用基本不等式ab2√ab求最值十大变形技巧
当且仅当口２＝虿１＋譬，且口２＋譬＝ｌ，即口＝
譬，６：年时取等号．
故口・／丽的最大值为毛等
点评
练习３
若算＜０，求函数），：一１２＋３茗的最大
件，然后利用基本不等式求最值． 代入 例２ 已知上＋鱼：ｌ（ｍ＞０，ｎ＞０），则ｍｎ （
Ｂ．１ ｃ．８ Ｄ．９ ４
￣／１＋Ｙ２的最大值，并求此时并和Ｙ的值．
拆项 例４ 解
取等号，从而得ｙ＝３—３ｘ一÷≤３—２石，当且仅
≤２×［牮］２－２×。晕）２＿
≤×［——‘』］２＝×（÷）２＝
通过平方变形，创造利用不等式的条 已知正数算，，，满足２ｘ２＋３ｙ２＝９，求膏
当石＝乎时取等号，，故函数），＝３—３茗一÷的最大
值为３—２西，选ｃ
点评 如果变量为负，首先化为正，然后再利 用基本不等式求最值． 练习１ 值．
号，生＋—Ｌ的最小值为（血＋６）２，选ｃ．
点评 通过添项，然后创设利用不等式的条件 求最值，添项时一定要注意保持恒等． 练习５（２００７年山东卷）函数Ｙ＝ｌｏｇ。（髫＋３） 一１（口＞０，口≠１）的图象恒过定点Ａ，若点Ａ在直线 ／＇ｔ＇ｔＸ＋ｎｙ＋１＝０上，其中ｍｔｔ＞０，则上＋三的最小
—２，，＋３ｚ＝０，则Ｌ的最小值为——．
口＋２√考‘等＝（石＋１）２，当且仅当考＝等，即考
＝石时詈“＝”号．由已知不等式（算＋，，）（÷＋号）
≥９对任意正实数ｘ，Ｙ恒成立，则只需（√Ⅱ＋１）２≥
１，求（省＋Ｙ）（Ｙ＋二）的最小值． 解 （髫＋Ｙ）（Ｙ＋ｚ）＝ｘｙ＋船＋），２＋ｙｚ＝影＋
ｙ（Ｘ＋Ｙ＋：）≥２厶万页石丐了万＝２，当且仅当
ｌ戈ｙｚ（菇＋Ｙ＋三）＝，１时取等号，故（髫＋ｙ）（，，＋彳）的
设口≥ｏ，ｂ≥０，且口２＋等＝１，求
备战高考数学复习考点知识与题型讲解6---应用基本不等式的八种变形技巧
备战高考数学复习考点知识与题型讲解 第6讲 应用基本不等式的八种变形技巧基本不等式的一个主要功能就是求两个正变量和与积的最值，即所谓“和定积最大，积定和最小”.但有的题目需要利用基本不等式的变形式求最值，有的需要对待求式作适当变形后才可求最值.技巧一 加上一个数或减去一个数使和或积为定值(1)已知函数y ＝x ＋m x －2(x >2)的最小值为6，则正数m 的值为________.(2)(2022·杭州学军中学计算大赛)已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则11＋x ＋11＋2y 的最小值是________.【解析】 (1)因为x >2，m >0，所以y ＝x －2＋m x －2＋2≥2（x －2）·m x －2＋2＝2m ＋2，当且仅当x ＝2＋m 时取等号.又函数y ＝x ＋m x －2(x >2)的最小值为6，所以2m ＋2＝6，解得m ＝4.(2)因为x ＋y ＝1， 所以2x ＋2＋2y ＋1＝5，所以11＋x ＋11＋2y ＝15(2x ＋2＋2y ＋1)·⎝⎛⎭⎪⎫22＋2x ＋11＋2y ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋2＋4y 2＋2x ＋2＋2x 1＋2y ≥3＋225， 当且仅当1＋2y 1＋x ＝2＋2x 1＋2y ，即x ＝8－522，y ＝52－62时等号成立.【答案】 (1)4 (2)3＋225对于因不能出现“定值”而不能使用基本不等式的情况，可以通过加减(乘以)一个数后使和或积为定值.技巧二 平方后再使用基本不等式若x >0，y >0，且2x 2＋y23＝8，求x 6＋2y 2的最大值.【解】 (x 6＋2y 2)2＝x 2(6＋2y 2)＝3·2x 2·⎝⎛⎭⎪⎫1＋y 23≤3·⎝⎛⎭⎪⎫2x 2＋1＋y 2322＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫922.当且仅当2x 2＝1＋y 23，即x ＝32，y ＝422时，等号成立.故x 6＋2y 2的最大值为923.一般地，含有根式的最值问题，首先考虑平方后求最值. 技巧三 展开后求最值已知a >0，b >0且a ＋b ＝2，求⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋1的最小值.【解】 由题得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋1＝1ab ＋1a ＋1b＋1＝1ab ＋a ＋b ab ＋1＝3ab ＋1，因为a >0，b >0，a ＋b ＝2，所以2≥2ab ，所以ab ≤1，所以1ab ≥1.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥4(当且仅当a ＝b ＝1时取等号)，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋1的最小值是4.对于求多项式积的形式的最值，可以考虑展开后求其最值. 技巧四 变形后使用基本不等式设a >1，b >1，且ab －(a ＋b )＝1，那么( ) A.a ＋b 有最小值2(2＋1) B.a ＋b 有最大值(2＋1)2 C.ab 有最大值2＋1 D.ab 有最小值2(2＋1)【解析】 因为ab －(a ＋b )＝1，ab ≤(a ＋b 2)2，所以⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22－(a ＋b )≥1，它是关于a ＋b 的一元二次不等式， 解得a ＋b ≥2(2＋1)或a ＋b ≤2(1－2)(舍去)，所以a ＋b 有最小值2(2＋1). 又因为ab －(a ＋b )＝1，a ＋b ≥2ab ，所以ab －2ab ≥1，它是关于ab 的一元二次不等式， 解得ab ≥2＋1或ab ≤1－2(舍去)， 所以ab ≥3＋22，即ab 有最小值3＋2 2. 【答案】 A对已知条件含ab ，a ＋b 型等式的最值问题，可以通过使用基本不等式转化为只含ab (或 a ＋b )的不等式.技巧五 形如f （x ）g （x ）型函数变形后使用基本不等式求函数y ＝（x ＋5）（x ＋2）x ＋1(x ≠－1)的值域.【解】 因为y ＝（x ＋5）（x ＋2）x ＋1＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝（x ＋1）2＋5（x ＋1）＋4x ＋1＝x ＋1＋4x ＋1＋5，当x ＋1>0，即x >－1时，y ≥2（x ＋1）·4x ＋1＋5＝9(当且仅当x ＝1时取等号)；当x ＋1<0，即x <－1时，y ≤5－2（x ＋1）·4x ＋1＝1(当且仅当x ＝－3时取等号).所以函数的值域为(－∞，1]∪[9，＋∞).若y ＝f （x ）g （x ）中f (x )的次数小于g (x )的次数，可取倒数后求其最值. 技巧六 用常数代换法求最值(2022·宁夏石嘴山市第三中学高三月考)已知正数a ，b 满足2a ＋b ＝ab ，则a ＋2b 的最小值为( )A.8B.10C.9D.6【解析】 由2a ＋b ＝ab 得2b ＋1a＝1，因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋2b ＝(a ＋2b )(2b ＋1a )＝5＋2a b ＋2ba ≥5＋22ab·2ba＝5＋4＝9，当且仅当2a b ＝2b a 且2b ＋1a＝1，即a ＝b ＝3时，等号成立.所以a ＋2b 的最小值为9.故选C.【答案】 C已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝3，则x 2＋3yxy 的最小值为( )A.3－2 2B.22＋1C.2－1D.2＋1【解析】 已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝3，则x 2＋3y xy ＝x 2＋（x ＋2y ）y xy ＝x 2＋xy ＋2y 2xy ＝x y ＋1＋2y x ≥2x y ·2yx＋1＝22＋1， 当且仅当x 2＝2y 2，即x ＝32－3，y ＝6－322时，等号成立， 故x 2＋3y xy 的最小值为1＋2 2.【答案】 B求形如或可化为a x ＋b y＝1型为条件的cx ＋dy (a ，b ，c ，d 都不为0)的最值可利用“1”的代换求解.技巧七 代换减元求最值若实数a ，b 满足ab －4a －b ＋1＝0(a >1)，则(a ＋1)·(b ＋2)的最小值是__________.【解析】 因为ab －4a －b ＋1＝0，所以b ＝4a －1a －1＝4＋3a －1. 又因为a >1，所以b >0.所以(a ＋1)(b ＋2)＝ab ＋2a ＋b ＋2＝6a ＋6a －1＋9＝6(a －1)＋6a －1＋15. 因为a －1>0，所以6(a －1)＋6a －1＋15≥26（a －1）×6a －1＋15＝27.当且仅当6(a －1)＝6a －1(a >1)，即a ＝2时取等号. 【答案】 27(1)(2022·天津市南大奥宇培训学校高三月考)已知2xy －y ＋1＝0()x ，y ＞0，则2＋xyx的最小值为( ) A.4 2 B.8 C.9D.8 2(2)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当zxy取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为__________.【解析】 (1)由2xy －y ＋1＝0可得x ＝y －12y ，x ，y ＞0，可得y ＞1，则2＋xyx＝2＋y －12y －12y＝4y y －1＋y ＝4y －1＋y ＋4＝4y －1＋()y －1＋5≥24y －1×()y －1＋5＝9， 当且仅当4y －1＝y －1，即y ＝3时取得等号.所以2＋xyx 的最小值为9.(2)x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0⇒z ＝x 2－3xy ＋4y 2，①所以z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y ＋4yx －3≥2x y ·4yx－3＝1. 当且仅当x ＝2y 时zxy取得最小值， 代入到①可得z ＝(2y )2－3·2y ·y ＋4y 2＝2y 2，所以x ＝2y ，z ＝2y 2， 所以x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2(y 2－2y )＝－2(y －1)2＋2≤2.当且仅当y ＝1，x ＝2，z ＝2时取等号，所以x ＋2y －z 的最大值为2.【答案】 (1)C (2)2在含有两个及以上变元的最值问题中，通过代换的方法减少变元，把问题化为两个变元的问题使用基本不等式，或者把问题化为一个变元的问题使用函数方法求解.技巧八 建立求解目标不等式求最值设x ，y 为实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值为( ) A.2105B.255C.252D.232【解析】 4x 2＋y 2＋xy ＝1，所以4x 2＋y 2＋4xy －3xy ＝1， 所以(2x ＋y )2－1＝3xy ＝32·2x ·y ≤32·⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22， 所以(2x ＋y )2－1≤38(2x ＋y )2，即(2x ＋y )2≤85，即－2105≤2x ＋y ≤2105，当且仅当x ＝1010，y ＝105时右边取等号， 所以2x ＋y 的最大值为2105.【答案】 A利用基本不等式与已知条件建立求解目标的不等式，求出不等式的解集即得求解目标的最值.。
阅读与欣赏六应用基本不等式的八种变形技巧
2 ＝
y－2＋y－2 2＋3≥3＋2 2????当y－2＝y－2 2，即y＝2＋ 2
时取等号，此时 x＝ 2＋1???.
第七章 不等式
求以形如或可化为 ax＋by＝1 型为条件的 cx＋dy(a，b，c，d 都 不为 0)的最值可利用 “1”的代换求乘法．本题中的条件 1x＋2y＝ 1 也可化为 2x＋y－xy＝0.
函数 f(x)＝x－4 3＋x(x<3)的最大值是 (
)
A．－ 4
B．1
C．5
D．－ 1
第七章 不等式
【解析】 因为 x<3，所以 3－x>0，所以 f(x)＝ －????3－4 x＋（3－x）????＋3≤－ 2 3－4 x·（3－x）＋ 3＝－ 1.当 且仅当3－4 x＝3－x，即 x＝1 时等号成立，所以 f(x)的最大值 是－1. 【答案】 D
－x)] ＝a2＋a2（1x－x ）＋1b－2xx＋b2≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.
上式当且仅当
a2（1－ x
x
）＝1b－2xx
时，等号成立．
所以ax2＋1－b2 x≥(a＋b)2.
故函数 f(x)的最小值为 (a＋b)2.
第七章 不等式
若实数 a，b 满足 ab－4a－b＋1＝0(a>1)，则(a＋1)·(b ＋2)的最小值是 __________ ． [ 点拨] 由于所给条件式中含两个变量 a，b，因此可以用一 个变量表示另一个变量，将待求式转化为含一个变量的式子 后求其最值．
第七章 不等式
若 a，b 为常数，且 0<x<1，求 f(x)＝ax2＋1－b2x的最小 值． [ 点拨] 根据待求式的特征及 0<x<1 知 x>0，1－x>0.又 1＝x ＋(1－x)，因此可考虑利用“ 1”的代换法．
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基本不等式的八种变形技巧
基本不等式的一个主要功能就是求两个正变量和与积的最值，即所谓“和定积最大，积定和最小”．但有的题目需要利用基本不等式的变形式求最值，有的需要对待求式作适当变形后才可求最值．常见的变形技巧有以下几种：
加上一个数或减去一个数使和或积为定值 函数f (x )＝4
x －3＋x (x <3)的最大值是( )
A ．－4
B ．1
C ．5
D ．－1
【解析】 因为x <3，所以3－x >0，所以f (x )＝－⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤
43－x ＋（3－x ）＋3≤－2
4
3－x
·（3－x ）＋3＝－1.当且仅当4
3－x ＝3－x ，即x ＝1时等号成立，所以f (x )的最大值是－1.
【答案】 D
平方后再使用基本不等式
一般地，含有根式的最值问题，首先考虑平方后求最值．
若x >0，y >0，且
2x 2＋
y 2
3
＝8，求x 6＋2y 2的最大值． [思路点拨] 由于已知条件式中有关x ，y 的式子均为平方式，而所求式中x 是一次的，且根号下y 是二次的，因此考虑平方后求其最值．
【解】 (x 6＋2y 2)2＝x 2(6＋2y 2)＝3·2x 2⎝⎛⎭⎫1＋y 2
3≤3·⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x 2＋1＋y 2
322＝3×⎝⎛⎭⎫922
.当且仅当2x 2＝1
＋y 23，即x ＝32，y ＝42
2
时，等号成立．故x 6＋2y 2的最大值为9
2
3.
展开后求最值
对于求多项式积的形式的最值，可以考虑展开后求其最值．
已知a >0，b >0且a ＋b ＝2，求⎝⎛⎭⎫1a ＋1⎝⎛⎭⎫1b ＋1的最小值．
[思路点拨] 由于待求式是一个积的形式，因此需将多项式展开后将积的最小值转化为和的最小值．
【解】 由题得⎝⎛⎭⎫1a ＋1⎝⎛⎭⎫1b ＋1＝1ab ＋1a ＋1b ＋1＝1ab ＋a ＋b ab ＋1＝3
ab
＋1，
因为a >0，b >0，a ＋b ＝2，所以2≥2ab ，所以ab ≤1，所以1
ab ≥1.所以⎝⎛⎭⎫1a ＋1⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥4(当且仅当a ＝b ＝1时取等号)，所以⎝⎛⎭⎫1a ＋1⎝⎛⎭⎫1b ＋1的最小值是4.
变形后使用基本不等式
设a >1，b >1，且ab －(a ＋b )＝1，那么( ) A ．a ＋b 有最小值2(2＋1) B ．a ＋b 有最大值(2＋1)2 C ．ab 有最大值2＋1 D ．ab 有最小值2(2＋1)
【解析】 因为ab －(a ＋b )＝1，ab ≤(a ＋b 2
)2，
所以⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22
－(a ＋b )≥1，它是关于a ＋b 的一元二次不等式，
解得a ＋b ≥2(2＋1)或a ＋b ≤2(1－2)(舍去)， 所以a ＋b 有最小值2(2＋1)． 又因为ab －(a ＋b )＝1，a ＋b ≥2ab ，
所以ab －2ab ≥1，它是关于ab 的一元二次不等式， 解得ab ≥2＋1或ab ≤1－2(舍去)， 所以ab ≥3＋22，即ab 有最小值3＋2 2. 【答案】 A
形如f （x ）
g （x ）
型函数变形后使用基本不等式
若y ＝f （x ）g （x ）
中f (x )的次数小于g (x )的次数，可取倒数后求其最值．
求函数y ＝（x ＋5）（x ＋2）
x ＋1
(x ≠－1)的值域．
[思路点拨] 将(x ＋5)(x ＋2)用(x ＋1)来表示再变形为f (x )＝Ax ＋B
x ＋C 的形式，然后运用基本
不等式求解．
【解】 因为y ＝（x ＋5）（x ＋2）x ＋1＝x 2＋7x ＋10
x ＋1
＝（x ＋1）2＋5（x ＋1）＋4x ＋1＝x ＋1＋4x ＋1＋5，
当x ＋1>0时，即x >－1时，y ≥2
（x ＋1）·4
x ＋1＋5＝9(当且仅当x ＝1时取等号)；
当x ＋1<0，即x <－1时，y ≤5－2
（x ＋1）·4
x ＋1
＝1(当且仅当x ＝－3时取等号)．
所以函数的值域为(－∞，1]∪[9，＋∞)．
用“1”的代换法求最值
已知1x ＋2
y
＝1，且x >0，y >0，求x ＋y 的最小值．
【解】 法一：因为x >0，y >0，所以x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫1x ＋2y ＝3＋y x ＋2x y
≥3＋2y x ·2x
y
＝3＋2 2.
当且仅当y x ＝2x y ，且1x ＋2
y ＝1，即x ＝2＋1，y ＝2＋2时，上式等号成立．故x ＋y 的最小值
是3＋2 2.
法二：因为1x ＋2y ＝1，所以x ＝y
y －2.
因为x >0，y >0，所以y －2>0.
所以x ＋y ＝y
y －2＋y ＝y 2－y y －2＝（y －2）2＋3（y －2）＋2y －2＝
y －2＋2y －2
＋3≥3＋22⎝ ⎛当y －2＝2y －2，即y ＝2＋2
)
时取等号，此时x ＝
2＋1.
求以形如或可化为a x ＋b
y ＝1型为条件的cx ＋dy (a ，b ，c ，d 都不为0)的最值可利用“1”的代换
求乘法．本题中的条件1x ＋2
y
＝1也可化为2x ＋y －xy ＝0.
若a ，b 为常数，且0<x <1，求f (x )＝a 2x ＋b 2
1－x
的最小值．
[思路点拨] 根据待求式的特征及0<x <1知x >0，1－x >0.又1＝x ＋(1－x )，因此可考虑利用“1”
的代换法．
【解】 因为0<x <1，所以1－x >0.
所以a 2x ＋b 21－x ＝a 2x ·1＋b 21－x ·1＝a 2x ·[x ＋(1－x )]＋b 21－x ·[x ＋(1－x )]
＝a 2＋a 2（1－x ）x ＋b 2x 1－x ＋b 2≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2.
上式当且仅当a 2（1－x ）x ＝b 2x
1－x 时，等号成立．
所以a 2x ＋b 2
1－x ≥(a ＋b )2.
故函数f (x )的最小值为(a ＋b )2.
若实数a ，b 满足ab －4a －b ＋1＝0(a >1)，则(a ＋1)·(b ＋2)的最小值是__________． [思路点拨] 由于所给条件式中含两个变量a ，b ，因此可以用一个变量表示另一个变量，将待求式转化为含一个变量的式子后求其最值．
【解析】 因为ab －4a －b ＋1＝0，所以b ＝4a －1a －1＝4＋3a －1
.
又因为a >1，所以b >0.所以(a ＋1)(b ＋2)＝ab ＋2a ＋b ＋2＝6a ＋6a －1＋9＝6(a －1)＋6
a －1＋15.
因为a －1>0，
所以6(a －1)＋6
a －1
＋15≥2
6（a －1）×6
a －1
＋15＝27.
当且仅当6(a －1)＝6
a －1(a >1)，
即a ＝2时取等号． 【答案】 27
已知条件含形如ax ＋bxy ＋cy ＋d ＝0(abc ≠0)型的关系式，求关于x 、y 一次式的和或积的最值问题．常将关系式中ax ＋bxy ＋cy ＋d ＝0变形，用一个变量x (或y )表示另一个变量y (或x )后求解．
代换减元求最值
设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当z
xy 取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值
为__________．
【解析】 x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0⇒z ＝x 2－3xy ＋4y 2，①
所以z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2
xy ＝x y ＋4y x
－3≥2错误!－3＝1.
等号成立条件为x ＝2y ，
代入到①可得z ＝(2y )2－3·2y ·y ＋4y 2＝2y 2， 所以x ＝2y ，z ＝2y 2， 所以x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2 ＝－2(y 2－2y )＝－2(y －1)2＋2≤2. 【答案】 2
在含有两个以上变元的最值问题中，通过代换的方法减少变元，把问题化为两个变元的问题使用基本不等式，或者把问题化为一个变元的问题使用函数方法求解．
建立求解目标不等式求最值
已知x ，y 均为正实数，且xy ＝x ＋y ＋3，则xy 的最小值为__________． 【解析】 因为x ，y 均为正实数，
所以x ＋y ≥2xy ，xy ＝x ＋y ＋3可化为xy ≥2xy ＋3， 即(xy －3)(xy ＋1)≥0， 所以xy ≥3，xy ≥9，
当且仅当x ＝y 时，xy 取得最小值9. 【答案】 9
利用基本不等式与已知条件建立求解目标的不等式，求出不等式的解集即得求解目标的最值．。