湖北省2020年高三(5月)调研模拟考试数学(理科)试卷(含答案)
2020年湖北省高三（5月）调研模拟考试
理科数学试卷
2020．5
本试卷共5页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数
i
i -+12的共轭复数是 A ．i 2321- B ．i 2321+ C ．i 2321-- D ．i 2321+- 2．已知集合{}0322<--=x x x A ，非空集合{}a x a x B +<<-=12，A B ⊆，则实数a 的取值范围为
A ．]2,(-∞
B ．]2,21(
C ．)2,(-∞
D ．)2,2
1(
3．已知直线l 过圆062622=+--+y x y x 的圆心且与直线01=++y x 垂直，则l 的方程是
A ．02=-+y x
B ．03=-+y x
C ．02=--y x
D ．03=--y x
4．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷（gui ）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器．晷长即为所测量影子的长度）．夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列．经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影
子长为
A ．0.5尺
B ． 1尺
C ．1.5尺
D ． 2尺
5．函数x x x x x f cos 122ln
2sin )(++-⋅=ππ在)2
,2(ππ-的图像大致为
6．如图的程序框图中，若输人a ，n 的值分别为2，3，且输出T 的值为5 ，则空白框中应填入
A ．k<n
B ．k ≤n
C ．k-1≤n
D ．k+1 < n
7．△ABC 中，点D 为BC 的中点，3=，M 为AD 与CE 的交点，若),(R y x y x ∈+=，则y x -=
A ．1-
B ．21
C ．4
3 D ．1 9．甲、乙、丙、丁戊五人等可能分配到A 、B 、C 三个工厂工作，每个工厂至少一人，则甲、乙两人不在同一工厂工作的概率为
A ．2512
B ．2513
C ．2518
D ．25
19 9．已知R c b a ∈,,．满足0ln 2ln 2ln 3<-==c
a b c
a b ．则a ，b ，c 的大小关系为 A ．b a c >> B ．b c a >> C ．a b c >> D ．c a b >>
10．在棱长为1的正四面体ABCD 中，M 为AD 上的一-点且AM=31AD ．N 为AC 中点，则点A 到平面BMN 的距离为 A ．510 B ．55 C ．1010 D ．10
5 11．已知)0(sin )()(>--=-a x e e a x f x x π存在唯一零点，则实数a 的取值范围
A ．),2(+∞π
B ．),2[+∞π
C ．),21(+∞
D ．),2
1[+∞ 12．已知函数)0)(3sin()(>-
=ωπωx x f 在],0[π有且仅有4个零点，有下述三个结论： ①ω的取值范围为)313,310[
； ②)(x f 在)26
5,0(π单调递增； ③若21211
)(2)(2x x x f x f ≠==，，则21x x +的最小值为134π 以上说法正确的个数为
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．二项式9)21(x
x -的展开式中，常数项为 . 14．已知数列{}n a 的前项和为*N n S n ∈，满足11
211==++S S S n n ，，则数列{}n a 的通项公式为 . 15．某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这100名同学的得分都在[50， 100]内，按得分分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[ 80，90），[90，100] ，得到如图所示的频率分布直方图，则估计这100名同学的得分的中位数为 .
16．已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x C ：的左焦点)0,(1c F -关于直线03=+y x 的对称点P 在双曲线上．则双曲线C 的离心率为 .。
2020年湖北省高三(5月)调研模拟考试理科数学试卷答案
150
140
130
125
115
100
P
0.49
0.28
0.04
0.14
0.04
0.01
数学期望为：
= 1t0 × 0 9 1 0 × 0 2⺁ 1 0 × 0 0 12t × 0 1 11t × 0 0 100 × 0 01 =
1 1（元）；
（ⅱ）设乙厂生产的 5 件该零件规格的正品零件中有 n 件“优等”品，则有 5 n 件“一
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2020 年湖北省高三（5 月）调研模拟考试
理科数学参考答案
一、选择题
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案 A B C C A B D D A C B C
二、填空题
13.− 21
2
14. = − 2 1
15．72.5
16. 3 1
三、解答题
17. 解：（1）
的外接圆半径 R = 1，有 = 2R sin = ，
……………6 分
（2）解：由（1）相关关系及数据，在图中，以 D 为原点，分别以 DC，DF，过点 D 且垂直
第1页,共4页
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面 DBC 的直线为 ， ， 轴建立空间直角坐标系（如图所示），有：
D 0，0，0 ，A ，0， ，C ，0，0 ，B − ， ，0 ，
在面 ABC 中，设其一个法向量 = 1， 1， 1 ， = − ，0， ， = − 9， ，0 ，
=0 ⇒
1
=0
91
有 = ， ，1
2020年湖北省高三(5月)调研模拟考试数学(理)试题及答案
2020年湖北省高三（5月）调研模拟考试理科数学试卷 2020．5一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数i i-+12的共轭复数是 A ．i 2321- B ．i 2321+ C ．i 2321-- D ．i 2321+-2．已知集合{}0322<--=x x x A ，非空集合{}a x a x B +<<-=12，A B ⊆，则实数a 的取值范围为 A ．]2,(-∞ B ．]2,21( C ．)2,(-∞ D ．)2,21( 3．已知直线l 过圆062622=+--+y x y x 的圆心且与直线01=++y x 垂直，则l 的方程是 A ．02=-+y x B ．03=-+y x C ．02=--y x D ．03=--y x4．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷（gui ）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器．晷长即为所测量影子的长度）．夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列．经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为A ．0.5尺B ． 1尺C ．1.5尺D ． 2尺5．函数xx xx x f cos 122ln2sin )(++-⋅=ππ在)2,2(ππ-的图像大致为6．如图的程序框图中，若输人a ，n 的值分别为2，3，且输出T 的值为5 ，则空白框中应填入A ．k<nB ．k ≤nC ．k-1≤nD ．k+1 < n7．△ABC 中，点D 为BC 的中点，3=，M 为AD 与CE 的交点，若),(R y x y x ∈+=，则y x -=A ．1-B ．21 C ．43D ．1 9．甲、乙、丙、丁戊五人等可能分配到A 、B 、C 三个工厂工作，每个工厂至少一人，则甲、乙两人不在同一工厂工作的概率为 A ．2512 B ．2513 C ．2518 D ．25199．已知R c b a ∈,,．满足0ln 2ln 2ln 3<-==ca b ca b ．则a ，b ，c 的大小关系为 A ．b a c >> B ．b c a >> C ．a b c >> D ．c a b >> 10．在棱长为1的正四面体ABCD 中，M 为AD 上的一-点且AM=31AD ．N 为AC 中点，则点A 到平面BMN 的距离为 A ．510 B ．55 C ．1010 D ．105 11．已知)0(sin )()(>--=-a x e e a x f xxπ存在唯一零点，则实数a 的取值范围 A ．),2(+∞πB ．),2[+∞πC ．),21(+∞D ．),21[+∞ 12．已知函数)0)(3sin()(>-=ωπωx x f 在],0[π有且仅有4个零点，有下述三个结论：①ω的取值范围为)313,310[；②)(x f 在)265,0(π单调递增； ③若21211)(2)(2x x x f x f ≠==，，则21x x +的最小值为134π 以上说法正确的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．二项式9)21(xx -的展开式中，常数项为 . 14．已知数列{}n a 的前项和为*N n S n ∈，满足11211==++S S S n n ，，则数列{}n a 的通项公式为 . 15．某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这100名同学的得分都在[50， 100]内，按得分分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[ 80，90），[90，100] ，得到如图所示的频率分布直方图，则估计这100名同学的得分的中位数为 .16．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x C ：的左焦点)0,(1c F -关于直线03=+y x 的对称点P 在双曲线上．则双曲线C 的离心率为 .三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分 17．（本小题满分12分）在△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，A=3π，422=+c b ，△ABC 的外接圆半径为R=1． （1）求△ABC 面积；（2）角A 的平分线AD 交BC 于D 点，求AD 长.18．（本小题满分12分）已知如图1直角△ABC 中，AC ⊥BC ，AC=6，BC=36，点D 为AB 的中点，BC=3BF ，将△ACD 沿CD 折起，使面ACD ⊥面BCD ，如图2． （1）求证：AC ⊥DF ；（2）求二面角C —AB —D 的余弦值．19．（本小题满分12分）如图，已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x C ：的左、右焦点分别为21F F 、，5221=F F ，Q 是y 轴的正半轴上一点，2QF 交椭圆于P ，且21PF PF ⊥，1PQF ∆的内切圆⊙M 半径为1． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线AB ：m x y +=2和圆M 相切，且与椭圆C 交于A 、B 两点，求AB 的值..20．（本小题满分12分）甲、乙两厂均生产某种零件．根据长期检测结果：甲、乙两厂生产的零件质量（单位：g ）均服从正态分布)(2σμ，N ，在出厂检测处，直接将质量在)33(σμσμ+-，之外的零件作为废品处理，不予出厂；其它的准予出厂，并称为正品.（1）出厂前，从甲厂生产的该种零件中抽取10件进行检查，求至少有1片是废品的概率；（2）若规定该零件的“质量误差”计算方式为：该零件的质量为xg ，则“质量误差”g x x 0-.按标准．其中“优等”、“一级”、“合格”零件的“质量误差”范围分别是)3.0,0[，)6.0,3.0[、]0.1,6.0[（正品零件中没有“质量误差”大于1.0g 的零件），每件价格分别为75元、65元、50元.现分别从甲、乙两厂生产的正品零件中随机抽取100件，相应的“质量误差”组成的样本数据如下表（用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率）：（i ）记甲厂该种规格的2件正品零件售出的金额为X （元），求X 的分布列及数学期望E （X ）；（ii ）由上表可知，乙厂生产的该规格的正品零件只有“优等”、“一级”两种，求5件该规格零件售出的金额不少于360元的概率.附：若随机变量),(~2σμN Z ．则9974.0)33(=+<<-σμσμZ P ；9743.09974.010≈，4096.08.04=，32768.08.05=21．（本小题满分12分）已知R a ax x x f ∈-+=,1cos 2)(22π． （1）若0)(≥x f 恒成立．求a 的最大值0a ； （2）若2)12ln()(222πππ+-+=x x g ，取（1）中的0a ，当0a a =时，证明：2)()(≤-x f x g（二）选考题：共10分．请考生在22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时写清题号．22． [选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中xOy ，曲线E 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=22sin 3sin 2cos sin 32ααααy x （α为参数），若以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线F 的极坐标方程为t 2)4cos(=-πθρ（t为参数）（1）求曲线E 的普通方程和曲线F 的直角坐标方程； （2）若曲线E 与曲线F 有公共点，求t 的取值范围．23．[选修4 -5：不等式选讲]（10分）已知函数01)(121)(>+--=x f x x x f ，的解集为M ． （1）求M ；（2）若)0,2(-∈∈b M a ，，且b a <-2，证明：b b a a ++->-+224．。
湖北省武汉市2020届高三下学期5月质量检测数学(理)试题(附答案及解析)
湖北省武汉市2020届高三下学期5月质量检测数学（理）试题一、选择题 本大题共12道小题。
1.已知等差数列{a n }满足：22158a a +=，则12a a +的最大值为（ ） A. 2B. 3C. 4D. 5答案及解析：1.D 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据22158a a +=，利用平方关系，设15,a a θθ==，则()125sin a a θθθϕ=+=++，再利用三角函数的性质求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为22158a a +=，由22cos sin 1αα+=，设15,a a θθ==， 则()211511422a a d a a a θθ=+=+-=+， 所以()125sin ,tan 7a a θθθϕϕ==+=+， 当2,2k k Z πθϕπ+=+∈时，12a a +的最大值为5.故选：D答案第26页，总27页【点睛】本题主要考查数列的通项公式，三角换元法的应用以及三角恒等变换，三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 2.在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布()21,(0)N σσ>，若ξ在(0,2)内取值的概率为0.8，则ξ在(0,+∞)内取值的概率为（ ） A. 0.9B. 0.1C. 0.5D. 0.4答案及解析：2.A 【分析】根据ξ服从正态分布()21,(0)N σσ>，得到曲线的对称轴是直线1x =，根据所给的ξ在(0,2)内取值的概率为0.8，根据正态曲线的对称性，即可求出在(0,)+∞内取值的概率． 【详解】因为ξ服从正态分布()21,(0)N σσ>，所以曲线的对称轴是直线1x =， 又ξ在(0,2)内取值的概率为0.8，根据正态曲线的性质，则在(0,)+∞内取值的概率为0.80.10.9+=． 故选：A ．【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，主要考查正态曲线的对称性；一般地，X 是服从正态分布，正态分布一般记为()2,N μσ，μ为正态分布的均值（均值就是对称轴），σ是正态分布是标准差；本题属于基础题． 3.若某几何体的三视图如下，则该几何体的体积为（ ）.○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A. 2B. 4C. 42D.43答案及解析：3.B 【分析】该三视图还原之后是一个斜四棱柱，为了方便理解，可以将其分开成两个三棱柱再拼凑成一个长方体，最后由长方体体积公式计算即可.【详解】该三视图还原之后是一个斜四棱柱，为了方便理解，可以将其分开成两个三棱柱再拼凑成一个长方体，答案第26页，总27页……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………所以体积为1224V =⨯⨯=. 故选：B【点睛】本题考查由三视图求直观图的体积，属于基础题. 4.已知向量,a b 是互相垂直的单位向量，向量c 满足1c a ⋅=，1c b ⋅=则||a c +=（ ） A. 2B.5C. 3D. 7答案及解析：4.B 【分析】由向量,a b 是互相垂直的单位向量，分别以,a b 所在直线建立直角坐标系，再根据向量c 满足1c a ⋅=，1c b ⋅=，求得向量c 的坐标，再利用求模公式求解.【详解】因为向量,a b 是互相垂直的单位向量， 建立如图所示直角坐标系：则()()()1,0,0,1,,a b c x y ===， 因为向量c 满足1c a ⋅=，1c b ⋅=， 所以101,011x y x y ⨯+⨯=⨯+⨯=，1,1x y ==，所以()1,1c =， 所以()2,1a c +=， 所以2||21a c +=+=. 故选：B【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算及模的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 5.已知函数11()()x f x e ax a R e-=--∈的图象与x 轴有唯一的公共点，则实数a 的取值范围为（ ）A. {|0}a a ≤B. {|0a a ≤或1}a e=C. {|0a a ≤或}a e =D. {|0a a ≤或1}a =答案及解析：5.B 【分析】由题意得出函数()f x 的图象与x 轴有唯一的公共点为原点，利用导数讨论函数()f x 的单调性，即可得出实数a 的取值范围.【详解】由题意可得11(0)0f e e-=-=，则函数()f x 的图象与x 轴有唯一的公共点为原点 1()x f x e a '-=-当0,()0a f x '≤>，则函数()f x 在R 上单调递增，此时函数()f x 的图象与x 轴有唯一的公共点当0a >时，()0ln 1f x x a '>⇒>+；()0ln 1f x x a '<⇒<+()f x ∴在(,ln 1)a -∞+上单调递减，在(ln 1,)a ++∞上单调递增由题意可得ln 10a +=，解得1a e=答案第26页，总27页综上，实数a 的取值范围为{|0a a ≤或1}a e= 故选：B【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的零点问题，属于中档题. 6.已知集合103x A xx ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，{}2B x x =<，则A ∩B =（ ）.A .{}21x x -<< B. {}32x x -<<C. {}21x x -<≤D. {}21x x -≤≤答案及解析：6.C【分析】首先分别解不等式103x x -≤+和2x <，再求交集即可. 【详解】因为(1)(3)01031303x x x x x x -+≤⎧-≤⇒⇒-<≤⎨+≠+⎩， 所以{}31A x x =-<≤.因为222x x <⇒-<<，所以{}22B x x =-<<.{}21A B x x ⋂=-<≤.故选：C【点睛】本题主要考查集合的交集运算，同时考查了分式不等式和绝对值不等式的解法，属于简单题. 7.已知函数()()ππcos 322f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭图象关于直线5π18x =对称，则函数f (x )在区间[]0,π上零点的个数为（ ）. A. 1B. 2C. 3D. 4答案及解析：7.C【分析】根据对称轴可得()5318k k Z πϕπ⨯+=∈，从而求出6π=ϕ，进而可得()cos 36f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令()cos 306f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，解方程即可.【详解】函数()()ππcos 322f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭图象关于直线5π18x =对称， 所以()5318k k Z πϕπ⨯+=∈，解得()56k k Z πϕπ=-∈， 又因为ππ22ϕ-<<，所以6π=ϕ，所以()cos 36f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 令()cos 306f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 则()362x k k Z πππ+=+∈，解得39k x ππ=+， 因为[]0,πx ∈， 所以9x π=，49π，79π. 即函数()f x 在区间[]0,π上零点的个数为3. 故选：C【点睛】本题考查了余弦函数的性质以及求函数的零点个数，解题的关键是掌握余弦函数的对称轴，属于基础题. 8.已知A 、B 分别为双曲线22:13y x Γ-=实轴的左右两个端点，过双曲线Γ的左焦点F 作直线PQ 交双曲线于P 、Q 两点（点P 、Q 异于A 、B ），则直线,AP BQ 的斜率之比:AP BQ k k =（ ）A. 13- B. 3- C. 23-D. 32-答案及解析：8.B答案第26页，总27页【分析】先根据双曲线方程求出a ，b ，c 的值，再直接设直线方程为2x my =-，代入双曲线方程，消去x ，化简得到关于y 的一元二次方程，得韦达定理，然后将:AP BQ k k 借助于P ，Q 的坐标表示出来，再将韦达定理看成方程，将m 用1y ，2y 表示出来代入前面的比值，化简即可． 【详解】解：由已知得双曲线:1a Γ=，b =2c =．故(2,0)F -，(1,0)A -，(1,0)B ．设直线:2PQ x my =-，且1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ．由22213x my y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩消去x 整理得22(31)1290m y my --+=，∴121222129,3131m y y y y m m +==--， 两式相比得121234y y m y y +=⨯①，121212112211221(3)3:1(1)AP BQ y x y my my y y k k x y y my my y y ---∴=⨯==+--②， 将①代入②得：上式12121121223()33(3)4333()4y y y y y y y y y y +--===--+-． 故:3AP BQ k k =-． 故选：B ．【点睛】本题考查双曲线的性质，以及学生的化简运算能力，属于中档题． 9.已知直线1:2PQ y x =-与y 轴交于P 点，与曲线2:(0)C y x y =≥交于Q ,M 成为线段PQ 上一点，过M 作直线x t =交C 于点N ，则MNP △面积取到最大值时，t 的值为（ ）A. 116B. 14C. 1D.54答案及解析：9.C○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【分析】先求得P ，Q 的坐标，由直线x t =，联立直线方程和曲线方程可得M ，N 的坐标，运用三角形的面积公式，结合换元法和导数的运用求函数的单调性和最值，即可得到所求值． 【详解】直线1:2PQ y x =-与y轴交于1(0,)2P -，由12y x =-与2(0)y x y =≥联立，可得3(1Q +31)2+，过M 作直线x t =交C 于点N ，可得1(,)2M t t -，()N t t ，301t ≤≤+则MNP △面积11()22S t t t =+，设3(01)2u t u =≤≤+，可得34211()22S u u u =-+，可得2311(34)(41)(1)22S u u u u u u '=-+=-+-，可得01u <<时，0S '>，S 单调递增；3112u <<+0S '<，S 单调递减， 则面积S 在1u =即1t =处取得极大值，且为函数的最大值． 故选：C ．【点睛】本题考查抛物线的方程和运用，考查直线和抛物线的位置关系，考查三角形的面积的最值求法，考查利用导数研究函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 10.已知复数z 满足，12z ii i+=++，则复数z =（ ）. A. 2i +B. 12i +C. 3i +D. 32i -答案第26页，总27页答案及解析：10.B 【分析】首先根据题意得到(1)(2)z i i i =++-，再化简即可得到答案. 【详解】2(1)(2)2312z i i i i i i i =++-=++-=+. 故选：B【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，属于简单题. 11.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，12342,20a a a a =++=，则5S =（ ） A. 2B. 0C. －2D. －4答案及解析：11.A 【分析】利用等比数列基本量，求出q ，再求5S 【详解】12342,20a a a a =++=2311120q q q a a a ∴++=,2320q q q ∴++=;0q ∴=或1q =-；等比数列公比不能为0，1q =-552[1(1)]21+1S --==故选：A【点睛】本题考查等比数列前n 项和n S .等解决等比数列基本量计算问题利用方程的思想.等比数列中有五个量1n n a n q a S ，，，，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量1a 和q . 12.○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………在四棱锥P ﹣ABCD 中，2,7,7,2PA PB PC PD AB AD BC CD ========，则四棱锥P ﹣ABCD 的体积为（ ） A. 23B.3C.5D. 3答案及解析：12.D 【分析】连接BD 、AC 交于点O ，连接PO ，由题意结合平面几何知识可得BD AC ⊥，BO DO =，BD PO ⊥，PO AO =，设PO AO m ==，CO n =，由勾股定理可得223m n -=，由余弦定理可得()()24714m n m m n ++-=+，化简可得2mn =，进而可得2m =，1n =，再利用P ABCD B PAC D PAC V V V ---=+即可得解.【详解】连接BD 、AC 交于点O ，连接PO ，如图：由2PA =，7PB PC PD ===7AB AD ==2BC CD ==，可得BD AC ⊥，BO DO =，BD PO ⊥，BPD ABD ≅△△，PO AO =， 所以BD ⊥平面PAC ， 设PO AO m ==，CO n =，由勾股定理得22274DO m n =-=-，即223m n -=，在POA ∆中，22241cos 24AP AO PO PAO AP AO m m+-∠===⋅，答案第26页，总27页在PCA ∆中，()()222247cos 24m n AP AC PC PAC AP AC m n ++-+-∠==⋅+， 由PAO PAC ∠=∠可得()()24714m n m m n ++-=+，又223m n -=，所以()()()22214m n m n m m n +--=+，化简得2mn =， 将2n m=代入223m n -=可得2243m m -=，解得24m =或21m =-（舍去），所以2m =，1n =，3AC =，BO DO ==APO △为等边三角形，所以1sin 32APC S AP AC PAC =⋅⋅∠==△, 所以1133P ABCD B PAC D PAC APC APC V V V S BO S DO ---=+=⋅+⋅△△ 1233==. 故选：D.【点睛】本题考查了立体图形的几何特征、空间位置关系与余弦定理的综合应用，考查了立体图形体积的求解和方程思想，属于难题. 一、填空题 本大题共4道小题。
2020年湖北省高考数学模拟试卷(理科)(5月份) (含答案解析)
2020年湖北省高考数学模拟试卷(理科)(5月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数5的共轭复数是()2−iA. 2+iB. −2+iC. −2−iD. 2−i2.已知集合A={x|x2+4x+3≤0}，B={x|x2−ax≤0}，若A⊆B，则实数a的取值范围是()A. [−3,3]B. [0,+∞)C. (−∞,−3]D. R3.已知直线l过圆x2+(y−3)2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程是()A. x+y−2=0B. x−y+2=0C. x+y−3=0D. x−y+3=04.《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度)，夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则立秋的晷长为A. 1.5尺B. 2.5尺C. 3.5尺D. 4.5尺5.函数f(x)=sin2x+sinx在[−π,π]，的图象大致是()A. B.C. D.6. 若执行如图的程序框图，输出S 的值为−2，则判断框中应填入的条件是( )A. k <2B. k <3C. k <4D. k <57. 在△ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ .若点D 为AC 中点，则BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. −a ⃗ +12b ⃗ B. a ⃗ +12b ⃗ C. a ⃗ −12b ⃗ D. −a ⃗ −12b ⃗ 8. 甲、乙、丙、丁、戊站成一排，甲不在两端的概率( )A. 45B. 35C. 25D. 15 9. 设a =log 54−log 52，b =ln 23+ln 3，c =1012lg5，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a <b <cB. b <c <aC. c <a <bD. b <a <c10. 在棱长为a 的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M 为AB 的中点，则点C 到平面A 1DM 的距离为( )A. √63a B. √66a C. √22a D. 12a11. 已知函数f(x)=ae x−1−e x ln(x +1)−1存在零点x 0，且x 0>1，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,1+eln2)B. (−eln2,+∞)C. (−∞,−eln2)D. (1+eln2,+∞) 12. 已知函数y =3sinωx 在区间[−π3,π4]上的最小值为−3，则ω的取值范围是( )A. (−∞,−92)∪[6,+∞)B. (−∞,−92)∪[32,+∞) C. (−∞,−2]∪[6,+∞)D. (−∞,−2]∪[32,+∞) 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. (2√x −√x4)6的展开式的常数项是______ (用数字作答) 14. 已知数列{a n }的前项n 和为S n ，且满足S n =2n+2−3，则a n =____________．15. 某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩(均为整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100)后得到频率分布直方图(如图)，则分数在［70，80)内的人数是_______．16. 设双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，直线l 为双曲线C 的一条渐近线，点F 关于直线l 的对称点为P ，若点P 在双曲线C 的左支上，则双曲线C 的离心率为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点M 在边BC 上，已知2acosC =2b +c ．(1)求A ：(2)若AM 是角A 的平分线，AM =2√3，且CM =2MB ，求三角形ABC 的面积．18. 如图，已知边长为2的正三角形ABE 所在的平面与菱形ABCD 所在的平面垂直，且∠DAB =60°，点F 是BC 的中点．(1)求证：BD ⊥EF ；(2)求二面角E −DF −B 的余弦值．19. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点分别为，F 1和F 2，上顶点为B ，BF 2，延长线交椭圆于点A ，△ABF 的周长为8，且BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若直线l ⊥AB 且与椭圆C 相交于两点P ，Q ，求|PQ|的最大值．20.甲、乙两陶瓷厂生产某种规格的矩形瓷砖(600mm×600mm)，根据长期检测结果，各厂生产的每片瓷砖质量x(kg)都服从正态分布N(μ,σ2)，并把质量在(μ−3σ,μ+3σ)之外的瓷砖作为废品直接回炉处理，剩下的称为正品．(1)从甲陶瓷厂生产的该规格瓷砖中抽取10片进行检查，求至少有1片是废品的概率；(2)若规定该规格的每片正品瓷砖的“尺寸误差”计算方式为：设矩形瓷砖的长与宽分别为a(mm)，b(mm)，则“尺寸误差”为|a−600|+|b−600|，按行业生产标准，其中“优等”、“一级”、“合格”瓷砖的“尺寸误差”范围分别是[0,0.2]、(0.2,0.5]、(0.5,1.0](正品瓷砖中没有“尺寸误差”大于1.0mm的瓷砖)，每片价格分别为7.5元、6.5元、5.0元．现分别从甲、乙两厂生产的该规格的正品瓷砖中随机抽取100片瓷砖，相应的“尺寸误差”组成的样本数据如下：(甲厂瓷砖的“尺寸误差”频数表)用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率．①记甲厂该种规格的2片正品瓷砖卖出的钱数为ξ(元)，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)；②由如图可知，乙厂生产的该规格的正品瓷砖只有“优等”、“一级”两种，求5片该规格的正品瓷砖卖出的钱数不少于36元的概率．附：若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−3σ<Z<μ+3σ)=0.9974；0.997410≈0.9743，0.84=0.4096，0.85=0.32768．21.已知函数f(x)=xlnx−a(x−1)，其中a∈R，求函数f(x)在区间[1,e]上的最小值．22. 在直角坐标系xOy 中直线l 的参数方程为{x =−1+√22t y =√22t (t 为参数)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ=2sinθ．(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长度．23. 已知函数f(x)=|2x −1|+|2x +1|，记不等式f(x)<4的解集为M ．(1)求M ；(2)设a,b ∈M ，证明：|ab|−|a|−|b|+1>0．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵52−i =5(2+i)(2−i)(2+i)=5(2+i)5=2+i，∴复数52−i的共轭复数是2−i．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．2.答案：C解析：本题考查的是一元二次不等式的解法和集合的基本关系，属于容易题．先化简集合A，对于集合B，分两类讨论，当a≥0时，与题意不符，当a<0时，由A⊆B，根据区间端点值的关系列式求出a的范围．解：A={x|x2+4x+3≤0}={x|−3≤x≤−1}，若a≥0，B={x|x2−ax≤0}={x|0≤x≤a}，与A⊆B不符，故a<0，此时B={x|a≤x≤0}，由A⊆B，知a≤−3，∴实数a的取值范围是(−∞,−3]．故选C．3.答案：D解析：本题主要考查用点斜式求直线的方程，两条直线垂直的性质，属于基础题．由题意可得所求直线l 经过点(0,3)，斜率为1，再利用点斜式求直线l的方程．解：由题意可得所求直线l经过点(0,3)，斜率为1，故l的方程是y−3=x−0，即x−y+3=0，故选D．。
2020届武汉5月质检理数试卷答案
由
sin
2
2
1
得
1
cos 2
1，
所以 cos 2 ，即 x2 y2 x 2 ，
所以 y2 4x 4
……5 分
（2）
y2
4x
4
与
x
轴交点为
A(1,0)
，由
y2 4x 4
y
k(x
2)
，得
y2
4 k
y
12
0
，
记t
1 ，则 y2 4ty 12 0 ， k
y1 y2
(4t)2 4 12 4 t 2 3
,
π)
时，
f
(
5π 6
)
0,
f
(π)
1- π·0 2
0
f
( x)
(cos
x
1 x2
)
0,
在
(
5π 6
,
π)
上恒成立.
∴ f (x)在(56π , π)上递增，
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因此存在唯一
x2
(
5π 6
, π) ，使得
f
(x2 )
0
在
(
5π 6
, x2 )
时，
f
( x)
0 ，在 (x2 , )
阳性，并且对含阳性血液的一组进行检测时，前两次检测出血液为阴性，或第一次
为阴性第二次为阳性.
P
C53 C63
(
C22C11 C32C11
C21C11 C31C21
)
2
2 3
……4 分
（2）①在 n 8 时， P(
2)
【附加15套高考模拟试卷】湖北省襄阳五中2020届高三年级五月模拟考试(二)理科数学试卷含答案
湖北省襄阳五中2020届高三年级五月模拟考试（二）理科数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数2(1),0()43,0x e x f x x x x +⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，函数()y f x a =-有四个不同的零点，从小到大依次为1234,,,x x x x 则1234x x x x ++的取值范围为（ ） A ．(]5,3+e B ．[4,4)e + C ．[)4+∞， D ．(4,4)e +2．已知函数()cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦a π上有最小值1-，则a 的最大值（ ） A ．2π-B ．3π-C ．4π-D ．6π-3．已知定义在R 上的函数()f x ，()g x 满足()()1g x f x =-，则函数()y g x =的图象关于（ ）A ．直线1x =-对称B ．直线1x =对称C ．原点对称D ．y 轴对称4．若函数()()2ln 1f x x ax x =++-的图象不经过第四象限，则正实数a 的取值范围为( )A ．[)1,+∞B ．1,e 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 5．某校在“数学联赛”考试后选取了6名教师参加阅卷，试卷共4道解答题，要求将这6名教师分成4组，每组改一道解答题，其中2组各有2名教师，另外2组各有1名教师，则不同的分配方案的种数是（ ） A ．216 B ．420 C ．720 D ．10806．下列函数中，即是奇函数又是增函数的为（ ） A ．3ln y x = B ．2y x =-C ．y x x= D ．1y x -=7．(,0)F c -为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，圆222:O x y c +=与双曲线的两条渐进线在第一、二象限分别交于,A B 两a 点，若AF OB ⊥，则双曲线的离心率为（ ）AB ．12C ．2 D．38．已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=,24699a a a ++=,以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（ ） A ．21B ．20C ．19D ．189．已知数列{}n a 中，11a =，且对任意的*,m n N ∈，都有m n m n a a a mn +=++，则201911i ia ==∑（ ）A ．20192020 B ．20182019 C ．20181010D ．2019101010．已知是双曲线的左焦点，过点且倾斜角为30°的直线与曲线的两条渐近线依次交于，两点，若是线段的中点，且是线段的中点，则直线的斜率为（ ）A ．B ．C ．D ．11．直线l 交24y x =于A ，B 两点，若四边形OAMB （O 为原点）是矩形，则直线OM 的斜率的最大值为（ ）A ．14B ．24 C ．12 D ．2212．将函数cos 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，所得函数的解析式是（ ） A ．cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．cos 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．sin 2y x =-D ．sin 2y x =二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届湖北省高三下学期5月高考模拟调研考试理科数学试题(原卷版)
2020年湖北省高三（5月）调研模拟考试理科数学试卷本试卷共5页，23题（含选考题）.★祝考试顺利★注意事项：1.答题前先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数21ii +=-（ ） A. 1322i -+B. 1322i -- C.1322i - D.1322i + 2.已知集合{}2230A x x x =--<，非空集合{}21B x a x a =-<<+，B A ⊆，则实数a 的取值范围为（ ）. A. (],2-∞B. 1,22⎛⎤⎥⎝⎦C. (),2-∞D. 1,22⎛⎫⎪⎝⎭3.已知直线l 过圆226260x y x y +--+=圆心且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是（ ）.A. 20x y +-=B. 30x y +-=C. 20x y --=D. 30x y --=4.我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷（gui ）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器.晷长即为所测量影子的长度）.夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列.经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为（ ）A. 0.5尺B. 1尺C. 1.5尺D. 2尺5.函数()2sin 2ln21cos xx x f x xππ-⋅+=+在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭的图像大致为（ ）. A. B.C. D.6.如图的程序框图中，若输人a ，n 的值分别为2，3，且输出T 的值为5，则空白框中应填入（ ）.A. k n <B. k n ≤C. 1k n -≤D. 1k n +<7.ABC V 中，点D 为BC 的中点，3AB AE →→=，M 为AD 与CE 的交点，若(),CM x AB y AC x y R →→→=+∈，则x y -=（ ）. A. 1-B.12C.34D. 18.甲、乙、丙、丁、戊五人等可能分配到A 、B 、C 三个工厂工作，每个工厂至少一人，则甲、乙两人不在同一工厂工作的概率为（ ）. A.1225B.1325C.1825D.19259.已知,,a b c ∈R .满足3220ln ln ln b a cb a c==-<.则a ，b ，c 的大小关系为（ ）.A. c a b >>B. a c b >>C. c b a >>D. b a c >>10.在棱长为1的正四面体ABCD 中，M 为AD 上的一点且13AM AD =.N 为AC 中点，则点A 到平面BMN 的距离为（ ）.A.B.C.D.11.已知()()()sin 0xxf x a e ex a π-=-->存在唯一零点，则实数a的取值范围（ ）.A. ,2π⎛⎫+∞⎪⎝⎭B. ,2π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭12.已知函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在[]0,π有且仅有4个零点，有下述三个结论： ①ω的取值范围为1013,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭；②()f x 在50,26π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增；③若()()12221f x f x ==，12x x ≠，则12x x +的最小值为413π 以上说法正确个数为（ ）. A. 0B. 1C. 2D. 3二.填空题：13.912x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为______.14.已知数列{}n a 的前项和为n S ，n *∈N 满足121n n S S ++=，11S =，则数列{}n a 的通项公式为______. 15.某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这100名同学的得分都在[]50,100内，按得分分成5组：[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图，则估计这100名同学的得分的中位数为______.16.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点()1,0F c -关于直线30x y +=的对称点P 在双曲线上.则双曲线C 的离心率为______.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：17.在ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3A π=，224b c +=，ABC V 的外接圆半径为1R =.（1）求ABC V 面积；（2）角A 的平分线AD 交BC 于D 点，求AD 长.18.已知如图1直角三角形ACB 中，AC BC ⊥，6AC =，63BC =，点D 为AB 的中点，3BC BF =，将ACD V 沿CD 折起，使面ACD ⊥面BCD ，如图2.（1）求证：AC DF ⊥；（2）求二面角C AB D --的余弦值.19.如图，已知椭圆()2222:10,0x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，1225F F =Q 是y 轴的正半轴上一点，2QF 交椭圆于P ，且12PF PF ⊥，1PQF △的内切圆M e 半径为1.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线:2AB y x m =+和圆M 相切，且与椭圆C 交于A 、B 两点，求AB 的值.20.甲、乙两厂均生产某种零件.根据长期检测结果：甲、乙两厂生产的零件质量（单位：g ）均服从正态分布()2,N μσ，在出厂检测处，直接将质量在()3,3μσμσ-+之外的零件作为废品处理，不予出厂；其它的准予出厂，并称为正品.（1）出厂前，从甲厂生产的该种零件中抽取10件进行检查，求至少有1片是废品的概率；（2）若规定该零件的“质量误差”计算方式为：该零件的质量为x g ，则“质量误差”0x x g -.按标准，其中“优等”、“一级”、“合格”零件的“质量误差”范围分别是[)0,0.3，[)0.3,0.6、[]0.6,1.0（正品零件中没有“质量误差”大于1.0g 的零件），每件价格分别为75元、65元、50元.现分别从甲、乙两厂生产的正品零件中随机抽取100件，相应的“质量误差”组成的样本数据如下表（用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率）： 质量误差 [)0,0.1 [)0.1,0.2 [)0.2,0.3 [)0.3,0.4 [)0.4,0.5 [)0.5,0.6 []0.6,0.7甲厂频数 103030510510乙厂频数 2530 255105（ⅰ）记甲厂该种规格的2件正品零件售出的金额为X （元），求X 的分布列及数学期望()E X ； （ⅱ）由上表可知，乙厂生产的该规格的正品零件只有“优等”、“一级”两种，求5件该规格零件售出的金额不少于360元的概率. 附：若随机变量()2,Z N μσ~.则()330.9974P Z μσμσ-<<+=；100.99740.9743≈，40.80.4096=，50.80.32768=.21.已知()222cos 1f x x ax π=+-，a ∈R .（1）若()0f x ≥恒成立.求a的最大值0a ；（2）若()()222ln 212g x x πππ=+-+，取（1）中的0a ，当0a a =时，证明：()()2g x f x -≤.（二）选考题：22.在直角坐标系中xOy ，曲线E 的参数方程为2cos 2sin 22x y αααα⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩（α为参数），若以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线F 的极坐标方程为πcos 4ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭t 为参数）.（1）求曲线E 的普通方程和曲线F 的直角坐标方程； （2）若曲线E 与曲线F 有公共点，求t 的取值范围. 23.已知函数()112f x x x =--，()10f x +>的解集为M . （1）求M ；（2）若a M ∈，()2,0b ∈-，且2a b -<>2020年湖北省高三（5月）调研模拟考试理科数学试卷本试卷共5页，23题（含选考题）.★祝考试顺利★注意事项：1.答题前先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数21ii +=-（ ） A. 1322i -+B. 1322i -- C.1322i - D.1322i + 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算法则，准确运算，即可求解.【详解】根据复数的除法运算法则，可得()()()()2121313111222i i i i i i i i ++++===+--+. 故选：D .【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，其中解答中熟记复数的四则运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力.2.已知集合{}2230A x x x =--<，非空集合{}21B x a x a =-<<+，B A ⊆，则实数a 的取值范围为（ ）.A. (],2-∞B. 1,22⎛⎤⎥⎝⎦C. (),2-∞D. 1,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合A ，由集合的包含关系可构造不等式组求得结果. 【详解】()(){}{}31013A x x x x x =-+<=-<<，Q 集合B 为非空集合且B A ⊆，121321a aa a +>-⎧⎪∴+≤⎨⎪-≥-⎩，解得：122a <≤，即实数a 的取值范围为1,22⎛⎤ ⎥⎝⎦. 故选：B .【点睛】本题考查根据集合的包含关系求解参数范围的问题，涉及到一元二次不等式的求解，属于基础题.3.已知直线l 过圆226260x y x y +--+=的圆心且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是（ ）.A. 20x y +-=B. 30x y +-=C. 20x y --=D. 30x y --=【答案】C 【解析】 【分析】由圆的一般方程可确定圆心坐标，由两直线垂直可得直线斜率，利用直线点斜式可求得结果. 【详解】由圆的方程知其圆心为：()3,1，l Q 与直线10x y ++=垂直，l ∴的斜率1k =， l ∴的方程为13y x -=-，即20x y --=.故选：C .【点睛】本题考查直线方程的求解问题，涉及到由圆的一般方程确定圆心、直线的垂直关系的应用等知识；关键是明确两直线垂直则斜率乘积为1-.4.我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷（gui ）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器.晷长即为所测量影子的长度）.夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列.经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为（ ） A. 0.5尺 B. 1尺C. 1.5尺D. 2尺【答案】C 【解析】 【分析】根据日影子长成等差数列可利用夏至日影子长对应的1a 和公差d 表示出已知的两个日影子长之和，解方程组可求得结果.【详解】将十二个节气对应的日影子长看作等差数列{}n a 的前十二项，按顺序夏至日影子长对应1a ，处暑日影子长对应5a ，霜降日影子长对应9a ， 则1595316.5a a a a ++==，解得：5 5.5a =；设等差数列{}n a 的公差为d ，则114 5.5126684a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：1 1.51a d =⎧⎨=⎩，即夏至的日影子长为1.5尺. 故选：C .【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，涉及到等差数列通项公式和前n 项和公式的应用，属于基础题. 5.函数()2sin 2ln21cos xx x f x xππ-⋅+=+在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭的图像大致为（ ）. A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】通过()()f x f x -=知函数为偶函数，排除,B D ；利用04f π⎛⎫< ⎪⎝⎭排除C ，进而得到结果.【详解】当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()()()22sin 2ln sin 2ln 221cos 1cos x xx x x x f x f x x x ππππ+--⋅⋅-+-===+-+， ()f x ∴为偶函数，图象关于y 轴对称，可排除,B D ；当4x π=时，2sinln 132ln 320421cos 14f πππππ⋅⎛⎫==< ⎪⎝⎭++，可排除C ，则A 正确.故选：A .【点睛】本题考查函数图象的识别，属于常考题型；解决此类问题的常用方法是采用排除法的方式，排除的依据为奇偶性、特殊位置符号、单调性等.6.如图的程序框图中，若输人a ，n 的值分别为2，3，且输出T 的值为5，则空白框中应填入（ ）.A. k n <B. k n ≤C. 1k n -≤D. 1k n +<【答案】B 【解析】 【分析】按照程序框图运行程序，直到5T =时输出结果，可根据k 的取值确定所填条件.【详解】按照程序框图运行程序，输入2a =，3n =，0k =，0T =，满足所填条件，循环；()3002121T =+⨯-=-，1k =，满足所填条件，循环；()2112121T =-+⨯-=，2k =，满足所填条件，循环； ()1212123T =+⨯-=-，3k =，满足所填条件，循环； ()0332125T =-+⨯-=，4k =，不满足所填条件，输出5T =；由3k =满足条件、4k =不满足条件且3n =可知所填条件应：k n ≤.故选：B .【点睛】本题考查根据程序框图循环结构输出结果补充条件的问题，关键是准确确定输出时的k 的取值. 7.ABC V 中，点D 为BC 的中点，3AB AE →→=，M 为AD 与CE 的交点，若(),CM x AB y AC x y R →→→=+∈，则x y -=（ ）. A. 1- B.12C.34D. 1【答案】D 【解析】 【分析】作//DF BE 交CE 于点F ，根据三角形中位线性质和平行线分线段成比例可求得M 为EF 中点，得到34CM CE →→=，利用向量的线性运算可用,AB AC →→表示出CE →，代入可求得,x y ，进而得到结果.【详解】作//DF BE 交CE 于点F ，D Q 为BC 中点，//DF BE ，F ∴为CE 中点，//DF BE ∴且12DF BE =，3AB AE →→=Q ，23BE AB ∴=，13DF AB AE ∴==，又//DF BE ，EM FM ∴=， 即M 为EF 中点，34CM CE →→∴=.又13CE AE AC AB AC →→→→→=-=-，1344CM AB AC →→→∴=-，即14x =，34y =-，13144x y ∴-=+=. 故选：D .【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，考查了利用基底表示向量的知识；解题关键是能够确定CM 与CE 之间的比例关系.8.甲、乙、丙、丁、戊五人等可能分配到A 、B 、C 三个工厂工作，每个工厂至少一人，则甲、乙两人不在同一工厂工作的概率为（ ）. A.1225B.1325C.1825D.1925【答案】D 【解析】 【分析】利用排列组合中的部分平均分组分配的解决办法可求得分配方案总数和甲乙在同一工厂的分配方案总数，利用古典概型概率公式和对立事件概率公式可求得结果.【详解】五人分配到三个工厂工作，每个工厂至少一人共有：221135354322150C C C C A A +⋅=种分配方案； 其中甲乙在同一工厂工作的分配方案共有：12211133233236C C A C C C +=种；∴甲、乙两人不在同一工厂工作的概率36619111502525p =-=-=. 故选：D .【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，涉及到对立事件概率的求解和排列组合中的部分平均分组问题；解题关键是能够熟练应用排列组合的知识计算得到基本事件总数和符合条件的基本事件个数.9.已知,,a b c ∈R .满足3220ln ln ln b a cb a c==-<.则a ，b ，c 的大小关系为（ ）.A. c a b >>B. a c b >>C. c b a >>D. b a c >>【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数值域可确定1c >，(),0,1a b ∈；构造函数()()201ln xf x x x =<<，利用导数可知()f x 在()0,1上单调递减，利用232ln ln ln a b ba b b=<可知b a <，由此可得结果.【详解】30b >Q ，20a >，20c >，ln 0b ∴<，ln 0a <，ln 0c >，01b ∴<<，01a <<，1c >；320bb>>Q ，ln 0b <，232ln ln ln a b ba b b∴=<， 令()()201ln xf x x x=<<，则()()()22122ln 2ln 2ln 2ln ln ln x x xx x x x f x x x ⎛⎫⋅-⋅- ⎪⎝⎭'==， 当01x <<时，ln 0x <，10x-<，()0f x '∴<，()f x ∴在()0,1上单调递减， 22ln ln a ba b<Q ，即()()f a f b <，b a ∴<，c a b ∴>>. 故选：A .【点睛】本题考查根据函数单调性比较大小类的问题，解题关键是能够通过构造函数，利用导数求得函数的单调性，进而根据单调性确定自变量的大小关系.10.在棱长为1的正四面体ABCD 中，M 为AD 上的一点且13AM AD =.N 为AC 中点，则点A 到平面BMN 的距离为（ ）.A.B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】取BC 中点E ，连接AE 交BN 于点O ，连接DO ，由正四面体结构特征可知DO ⊥平面ABC ，则以N 为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用点到面的距离的空间向量求法可求得结果. 【详解】取BC 中点E ，连接AE 交BN 于点O ，连接DO ，Q 四面体ABCD 为正四面体，,N E 分别为,AC BC 中点，O ∴为等边三角形ABC 的中心，且DO ⊥平面ABC ，则以N 为坐标原点可作如图所示空间直角坐标系，其中//DO z 轴，Q 正四面体ABCD 棱长为1，221313343AO AE ∴==-=，16133DO ∴=-= 则10,,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，36D ⎝⎭，3B ⎫⎪⎪⎝⎭，()0,0,0N ， 13AM AD =Q ，即13AM AD →→=，3163M ∴-⎝⎭， 3NB →⎫∴=⎪⎪⎝⎭，3163NM →=-⎝⎭，设平面BMN 的法向量(),,n x y z →=，则3231601839n NB x n NM x y z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩u u u r r u u u u r r ，令3z =，则0x =，6y =()6,3n →∴=，又10,,02AN →⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴点A 到平面BMN 的距离61021069AN nd n→→→⋅===+故选：C .【点睛】本题考查点到面的距离的求解，求解点到面的距离的常用方法有两种：（1）利用空间向量法求解；（2）利用体积桥的方式来求解；属于常考题型. 11.已知()()()sin 0xxf x a e ex a π-=-->存在唯一零点，则实数a 的取值范围（ ）.A. ,2π⎛⎫+∞⎪⎝⎭B. ,2π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】 【分析】利用奇偶性可确定唯一零点0x =，将问题转化为()f x 在0x >时无零点问题的求解；利用放缩法，令()()x x h x a e e x π-=--，利用导数可求得2a π≥时()0h x >，由此知满足题意；当02a π≤<，利用零点存在定理可确定()f x '在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在零点，由此可确定存在()00,x x ∈时，()0f x <，结合x →+∞时，()f x →+∞，可确定02a π≤<不合题意，由此得到结论.【详解】()f x Q 定义域为R 且()()()sin xx f x a ee xf x π--=-+=-，()f x ∴为定义在R 上的奇函数，()f x ∴的唯一零点为0x =，则只需0x >时，()f x 无零点即可得到结论；当0x >时，令()sin g x x x ππ=-，则()()cos cos 10g x x x πππππ'=-=-≤，()g x ∴在()0,∞+上单调递减，()()00g x g ∴<=，即sin x x ππ<，∴()()sin x x x x a e e x a e e x ππ---->--，令()()xxh x a e ex π-=--，则()()xx h x a ee π-'=+-，()()x x h x a e e -''=-，0a >Q ，则()0h x ''>，()()02h x h a π''∴>=-，当2a π≥时，()()00h x h ''>≥，()()00h x h ∴>=，()()sin 0xxa e ex h x π-∴-->>，满足当0x >时，()f x 无零点； 当02a π≤<时，()()cos xxf x a e ex ππ-'=+-，()020f a π'∴=-<，111122221cos 022f a e e a e e ππ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=+-=+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()f x '∴在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上存在最小零点0x ，使得()00f x '=，又()f x '为连续函数，则当()00,x x ∈时，()0f x '<；()()00f x f ∴<=，又x →+∞时，()f x →+∞，()f x ∴在()0,∞+上必存在零点，不合题意；综上所述：实数a 的取值范围为,2π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 故选：B .【点睛】本题考查根据函数零点个数求解参数范围的问题，涉及到函数奇偶性、零点存在定理的应用；关键是能够根据函数奇偶性确定零点位置，进而将问题转化为函数在0x >时无零点问题的求解；难点在于通过放缩和零点存在定理确定符合题意的区间.12.已知函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在[]0,π有且仅有4个零点，有下述三个结论：①ω的取值范围为1013,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭；②()f x 在50,26π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增；③若()()12221f x f x ==，12x x ≠，则12x x +的最小值为413π 以上说法正确的个数为（ ）. A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】 【分析】利用()f x 在[]0,π上的零点个数可构造不等式求得ω范围，知①正确；当50,26x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，可确定332x πππω-<-<，知②正确；由()()1212f x f x ==可求得()12121523x x k k πω⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，根据ω的范围可知③错误.【详解】当[]0,x π∈时，333x πππωωπ-≤-≤-，()f x Q 在[]0,π上有且仅有4个零点，343ππωππ∴≤-<，解得：101333ω≤<，对于①，1013,33ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，①正确； 对于②，当50,26x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，533263x ππωππω-<-<-， 1013,33ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭Q ，512,263392ωππππ⎡⎫∴-∈⎪⎢⎣⎭，332x πππω∴-<-<，()f x ∴在50,26π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，②正确；对于③，由()()12221f x f x ==知：()()1212f x f x ==， 令()12f x =，则236x k ππωπ-=+或()5236x k k Z ππωπ-=+∈， 22k x ππωω∴=+或726k x ππωω=+()k Z ∈令1122k x ππωω=+，22276k x ππωω=+，12,k k Z ∈， ()()12121212222751522633k k k k x x k k πππππππωωωωωωω+⎛⎫∴+=+++=+=++ ⎪⎝⎭()12352133k k π⎛⎫>⨯++ ⎪⎝⎭， 当121k k +=-时，()12min5233k k ππ⎛⎫++=⎪⎝⎭，1213x x π∴+>，③错误.故选：C .【点睛】本题考查正弦函数的性质相关命题的辨析，涉及到根据正弦型函数区间内的零点个数求解参数范围、单调性的求解、根据函数值求解自变量等知识；关键是能够熟练应用整体对应的方式来进行求解，属于较难题.二.填空题：13.912x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为______.【答案】212- 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式即可求出.【详解】因为993r r 22+19911=()()22r rr r r r T C x x C x----=-， 令9302r-=，解得3r =， 所以展开式中常数项为3349121=()22T C -=-. 【点睛】本题主要考查了二项展开式的通项公式，属于中档题.14.已知数列{}n a 的前项和为n S ，n *∈N 满足121n n S S ++=，11S =，则数列{}n a 的通项公式为______. 【答案】()12n n a -=-【解析】 【分析】利用n a 与n S 的关系可求得12n na a +=-，验证1n =时也满足此式，由此可确定数列{}n a 为等比数列，根据等比数列通项公式可求得结果.【详解】当2n ≥时，121n n S S -+=，1122n n n n S S S S +-∴+=+，12n n a a +∴=-，即12n na a +=-， 又11a =，121222331S S a a a +=+=+=，22a ∴=-，满足12n na a +=-， ∴当n *∈N 时，12n na a +=-，∴数列{}n a 是以1为首项，2-为公比的等比数列， ()12n n a -∴=-.故答案为：()12n n a -=- .【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解，解题关键是能够通过n a 与n S 的关系确定数列为等比数列. 15.某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这100名同学的得分都在[]50,100内，按得分分成5组：[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图，则估计这100名同学的得分的中位数为______.【答案】72.5 【解析】 【分析】利用频率分布直方图估计中位数的方法可直接构造方程求得结果.【详解】设所求中位数为x ，则()0.01100.03100.04700.5x ⨯+⨯+⨯-=，解得：72.5x =. 故答案为：72.5.【点睛】本题考查利用频率分布直方图估计中位数的问题，属于基础题.16.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点()1,0F c -30x y +=的对称点P 在双曲线上.则双曲线C 的离心率为______. 31 【解析】 【分析】利用点关于直线对称点的求法可求得P 点坐标，代入双曲线方程可构造关于,a c 的齐次方程，进而求得离心率.【详解】设(),P x y ，则033022y x c x c y ⎧-=⎪⎪+-+=，解得：123x c y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即132P c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， P Q 在双曲线上，22223144c c a b∴-=，即()222223144c c a c a ∴-=-， 解得：222423c e a==-2423e =+31e ∴=.1.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，关键是能够利用点关于直线对称点的求解方法求得双曲线上点的坐标，进而构造出关于,a c 的齐次方程求得结果.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：17.在ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3A π=，224b c +=，ABC V 的外接圆半径为1R =.（1）求ABC V 面积；（2）角A 的平分线AD 交BC 于D 点，求AD 长.【答案】（12）2AD = 【解析】 【分析】（1）由正弦定理求得a ，利用余弦定理求得bc ，代入三角形面积公式可得结果；（2）设0b c ≥>，求得,b c ；利用角平分线定理可求得,CD DB ；根据cos cos ADB ADC ∠=-∠，利用余弦定理构造方程可求得结果.【详解】（1）ABC QV 的外接圆半径1R =，2sin a R A ∴== 由余弦定理得：2222cos 43a b c bc A bc =+-=-=，解得：1bc =，ABC ∴V 的面积1sin 2S bc A ==. （2）角A 的平分线AD 交BC 于D 点，且224b c +=，1bc =，不妨设0b c ≥>，有b c +=b c -=2b =，c =，又a =AC DC AB DB =且DC DB +=DC =DB =， 在ABD △中，222cos 2AD BD AB ADB AD BD+-∠=⋅；在ADC V 中，222cos 2AD CD AC ADC AD CD+-∠=⋅；ADB ADC π∠+∠=Q ，cos cos ADB ADC ∴∠=-∠，22222222AD BD AB AD CD AC AD BD AD CD +-+-∴=-⋅⋅，解得：212AD =，22AD ∴=. 【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用等知识；关键是熟练掌握正余弦定理的形式，考查学生的运算和求解能力.18.已知如图1直角三角形ACB 中，AC BC ⊥，6AC =，63BC =，点D 为AB 的中点，3BC BF =，将ACD V 沿CD 折起，使面ACD ⊥面BCD ，如图2.（1）求证：AC DF ⊥；（2）求二面角C AB D --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）65【解析】 【分析】（1）取CD 的中点E ，连AE ，利用勾股定理、面面垂直和线面垂直性质可分别证得CD DF ⊥、DF AE ⊥，利用线面垂直判定定理可知DF ⊥面ACD ，由线面垂直性质得到结论； （2）以D 为原点可建立起空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果. 【详解】（1）在图2中，取CD 的中点E ，连AE .在直角ABC V 中，AC BC ⊥，6AC =，3BC =90ACB ∴∠=o ，60CAB ∠=o ，又点D 为AB 的中点，3BC BF =，有6CD =，23BF=，43CF =， 由2222cos3012DF CD CF CD CF =+-⨯⨯=o 得：23DF =，222CF CD DF ∴=+，CD DF ∴⊥.将ACD V 沿CD 折起，使面ACD ⊥面BCD ，由点E 为CD 的中点，在等边ACD V 中，AE CD ⊥，面ACD I 面BCD CD =，AE ∴⊥面BCD ，又DF ⊂面BCD ，DF AE ∴⊥，又DF CD ⊥，CD AE E =I ，,CD AE ⊂平面ACD ，DF ⊥∴面ACD ， 又AC ⊂面ACD ，AC DF ∴⊥.（2）以D 为原点，分别以DC ，DF ，过点D 且垂直于平面DBC 的直线为x ，y ，z 轴建立如下图所示空间直角坐标系：则()0,0,0D ，(3,0,33A ，()6,0,0C ，()3,33,0B -， 在面ABC 中，设其一个法向量()111,,m x y z →=， 又(3,0,33CA →=-，()9,33,0CB →=-，则1111330009330x z CA m CB m x ⎧⎧-+=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=-+=⎪⎪⎩⎩u u u r ru u u r r ，令11z =，则13x =13y =，)3,3,1m →∴=，在面ABD 中，设其一个法向量()222,,n x y z →=， 又(3,0,33DA →=，()3,33,0DB →=-，则22223330003330x z DA n DB n x ⎧⎧+=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=-+=⎪⎪⎩⎩u u u r ru u u r r ，令21y =，则23x =，21z =-，)3,1,1n →∴=-，()()()()22222233311165cos ,13331311m nm n m n→→→→→→⨯+⨯+⨯-⋅∴<>===⋅++⨯++-，Q 二面角C AB D --为锐二面角，∴二面角C AB D --的余弦值为65.【点睛】本题考查立体几何中线线垂直关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；涉及到线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的性质定理等知识的应用，属于常考题型.19.如图，已知椭圆()2222:10,0x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，1225F F =，Q 是y 轴的正半轴上一点，2QF 交椭圆于P ，且12PF PF ⊥，1PQF △的内切圆M e 半径为1.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线:2AB y x m =+和圆M 相切，且与椭圆C 交于A 、B 两点，求AB 的值.【答案】（1）22194x y +=（2）32AB =3AB =【解析】 【分析】（1）利用内切圆的性质可知21PF x =-，11PF x =+，利用勾股定理构造方程可求得x ，结合椭圆定义和,,a b c 关系可求得,a b ，由此得到椭圆方程；（2）利用M e 与直线1PF 相切可求得(5M ，将直线方程代入椭圆方程，可利用弦长公式求得AB ；利用直线AB 与M e 相切可求得m ，代入AB 中即可得到结果.【详解】（1）设1PQF △的内切圆M e 切1PF 、1QF 、PQ 于点E 、F 、G ，11EF FF x ==，()0,0QF QG y x y ==>>，由12PF PF ⊥，且1PE PG ==，有21GF FF x ==，则21PF x =-，11PF x =+， 由2221212PF PF F F +=得：()()(()2221150x x x -++=>，解得：3x =，故12226a PF PF x =+==，即3a =，222b a c -=，故所求的椭圆标准方程为：22194x y +=.（2）由（1）知：121tan 2PF F ∠=，∴直线1PF 方程为(152y x =+， 设点()0,M t ，其到直线1PF 的距离为12515t -+=，解得：5t =或0t =（舍），即(5M ，故圆M 的方程为(2251x y +-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，由22249360y x mx y =+⎧⎨+-=⎩得：2240369360x mx m ++-=， 则12910m x x +=-，21293640m x x -=，()()222121336440936404010x x m m m ∴-=-⨯⨯-=-， 22123514010AB k x x m ∴=+-=-， 而2y x m =+与(2251x y +-=515m -=，解得：0m =或5m =故32AB =3AB =.【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到椭圆标准方程的求解、直线与圆相切的位置关系的应用、弦长问题的求解等；考查学生的运算和求解能力，属于中档题.20.甲、乙两厂均生产某种零件.根据长期检测结果：甲、乙两厂生产的零件质量（单位：g ）均服从正态分布()2,N μσ，在出厂检测处，直接将质量在()3,3μσμσ-+之外的零件作为废品处理，不予出厂；其它的准予出厂，并称为正品.（1）出厂前，从甲厂生产的该种零件中抽取10件进行检查，求至少有1片是废品的概率；（2）若规定该零件的“质量误差”计算方式为：该零件的质量为x g ，则“质量误差”0x x g -.按标准，其中“优等”、“一级”、“合格”零件的“质量误差”范围分别是[)0,0.3，[)0.3,0.6、[]0.6,1.0（正品零件中没有“质量误差”大于1.0g 的零件），每件价格分别为75元、65元、50元.现分别从甲、乙两厂生产的正品零件中随机抽取100件，相应的“质量误差”组成的样本数据如下表（用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率）：（ⅰ）记甲厂该种规格的2件正品零件售出的金额为X （元），求X 的分布列及数学期望()E X ； （ⅱ）由上表可知，乙厂生产的该规格的正品零件只有“优等”、“一级”两种，求5件该规格零件售出的金额不少于360元的概率. 附：若随机变量()2,Z N μσ~.则()330.9974P Z μσμσ-<<+=；100.99740.9743≈，40.80.4096=，50.80.32768=.【答案】（1）0.0257（2）（ⅰ）详见解析（ⅱ）0.73728 【解析】 【分析】（1）求得没有废品的概率之后，利用对立事件概率公式可求得结果；（2）（ⅰ）首先确定“优等”、“一级”、“合格”的概率，接着确定ξ所有可能的取值，求解出每个取值对应的概率后可得分布列，由数学期望计算公式计算可得期望；（ⅱ）利用()7565536n n +-≥构造不等式可确定n 可能的取值，利用二项分布概率公式可求得结果. 【详解】（1）由正态分布可知，抽取一件零件的质量在()3,3μσμσ-+之内的概率为0.9974， 则这10件质量全都在()3,3μσμσ-+之内（即没有废品）的概率为100.99740.9743≈； 则这10件零件中至少有1件是废品的概率为10.97430.0257-=.（2）（ⅰ）由已知数据，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，得该厂 生产的一件正品零件为“优等”、“一级”、“合格”的概率分别为0.7,0.2,0.1； 则ξ的可能取值为150,140,130,125,115,110元，有：()1500.70.70.49P X ==⨯=；()1400.70.220.28P X ==⨯⨯=； ()1300.20.20.04P X ==⨯=；()1250.70.120.14P X ==⨯⨯=； ()1150.20.120.04P X ==⨯⨯=；()1000.10.10.01P X ==⨯=，得到X 的分布列如下：则数学期望为：()1500.491400.281300.041250.141150.041000.01E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯141=（元）.（ⅱ）设乙厂生产的5件该零件规格的正品零件中有n 件“优等”品，则有5n -件“一级”品， 由已知有()75655360n n +-≥，解得： 3.5n ≥，则n 取4或5.故所求的概率为：44550.80.20.80.40960.327680.73728P C =⨯⨯+=+=.【点睛】本题考查概率分布中离散型随机变量分布列与数学期望的求解、二项分布概率问题的求解、正态分布的相关知识，是对概率分布部分知识的综合考查，属于中档题. 21.已知()222cos 1f x x ax π=+-，a ∈R .（1）若()0f x ≥恒成立.求a 的最大值0a ； （2）若()()222ln 212g x x πππ=+-+，取（1）中的0a ，当0a a =时，证明：()()2g x f x -≤.【答案】（1）02πa =（2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性可知()f x 为偶函数，根据0a =时，()0f x ≥恒成立可将问题转化为0a >时，[)0,x ∈+∞，()0f x ≥恒成立，求0a ；利用导数，分别在02a π<≤和2a π>两种情况下得到函数单调性，进而确定a 的范围，从而得到最大值；（2）将所证不等式转化为证明当21122x π>-，()2222cos 212x x x πππ-+≤++，根据余弦函数和二次函数单调性可分别求得不等号左右两侧函数的最大值和最小值，由此可证得不等式成立，从而得到结论. 【详解】（1）()()222cos 1f x x ax f x π-=+-=Q ，()f x ∴为偶函数，当0a =时，()0f x ≥恒成立，故题意可为：0a >，[)0,x ∈+∞，若()0f x ≥恒成立，求a 的最大值0a .()24sin f x x a ax π'=-，()2222244cos cos f x a ax a ax a ππ⎛⎫''=-=-- ⎪⎝⎭，①若02a π<≤，则()0f x ''≥恒成立，()f x '在[)0,+∞单调递增， 又()00f '=，有()0f x '≥，[)0,x ∈+∞，故()f x 在[)0,+∞单调递增， 又()00f =，有()0f x ≥恒成立，此时a 的最大值02a π=.②若2a π>，则存在最小的正数0x ，使()00f x ''=成立，此时2024cos ax aπ=，当[)00,x x ∈时，()0f x ''≤，()f x '在[)00,x 单调递减，又()00f '=，有()0f x '≤，[)00,x x ∈，故()f x 在[)00,x 单调递减， 又()00f =，有()0f x ≤，[)00,x x ∈，故()0f x ≥，[)0,x ∈+∞不恒成立， 即a 无最大值.综合①②可知，满足题意a 的最大值02a π=.（2）由（1）知，()222cos21f x x x ππ=+-，证明：()()2g x f x -≤，即证：()()22222ln 212cos 2122x x x πππππ+-+-+-≤，21122x π>-， ()22222ln 212cos 212x x x πππππ⇔+-≤+-+，21122x π>-， 由ln 1t t ≤-，0t >恒成立，有()2222ln 212x x ππππ+-≤-，即证：2222222cos 212x x x πππππ-≤+-+，21122x π>-， ()2222cos 212xx x πππ⇔-+≤++，21122x π>-，（*） 当21122x π>-时，()()222h x x x π=-+的最大值为2122h π⎛⎫= ⎪⎝⎭，当21122x π>-时，()2cos 212x x πϕπ=++的最小值为22π， 故（*）式恒成立，即证得()()2g x f x -≤恒成立.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到恒成立问题的求解、不等式的证明；本题证明不等式的关键是能够将所证不等式进行转化，转化为不等号左右两侧均为可求最值的函数的形式，进而利用最大值和最小值之间大小关系的比较证得结论，属于难题.（二）选考题：22.在直角坐标系中xOy ，曲线E的参数方程为2cos 2sin 22x y αααα⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩（α为参数），若以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线F的极坐标方程为πcos 4ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭t 为参数）.（1）求曲线E 的普通方程和曲线F 的直角坐标方程； （2）若曲线E 与曲线F 有公共点，求t 的取值范围.【答案】（1）21y x =+；2x y t +=（2）37,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
2020年武汉市部分学校高三在线学习摸底检测5月8号理科数学参考答案
因为 0 A , 所以 sin A 0.从而sin C cosC.又cosC 0,所以tan C 1,
则C 4
……4 分
（2）由（1）知 B 3 A. 于是 4
3 sin A cos(B ) 4
3 sin A cos( A)
3 sin A cos A 2sin( A ) 2 6
2) ，CH
2， 2
sin
CH CM
15 , cos 5
10 . 5
所求二面角的余弦值为 10 . 5
……12 分
19. （1）设 P（x, y）,依题意有: x2 ( y 1)2 y 1，
因此轨迹 的方程为 x2 4 y .
……4 分
（2）由题意知，直线 AB 和 CD 的斜率均存在.
x
1 时，易知， ex1
x
， e1 x
1 e x 1
1， x
从而取 x
1 时， a sin(x 1)
1 x
e1 x
a sin(
1 1) 1 e 1
0.
0 0 矛盾.
当 0 a 1 时，
g(x)
f (x) a cos(x 1)
1 x2
e1x
2ax
1 x
a cos(x
综上， a 1.
……12 分
22.（1）因为 x＝cos ， y＝sin ，所以 C1 的极坐标方程为 cos=-2 ，
C2 的普通方程为 (x-1)2 +( y-2)2 =1.
……5 分
（2）将 = 代入 2-2cos -4sin +4=0 ，得 2-3 2+4=0 ， 4
解得 1=2 2 ， 2 = 2 .故 1-2= 2 ，即 MN = 2 .
2020-2021学年湖北省高三5月适应性考试数学(理)试题及答案解析
高三适应性考试 理科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合2{|2530}A x x x =--≤，{|2}B x x =∈Z ≤，则A B I 中的元素个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．52．已知a 为实数，若复数2(1)(1)i z a a =-++为纯虚数，则2016i 1i a ++的值为( )A ．1B ．0C ．1i +D ．1i -3．下列命题错误的是( )A ．若p q ∨为假命题，则p q ∧为假命题B ．若[],0,1a b ∈，则不等式2214a b +<成立的概率是16π C ．命题“x ∃∈R 使得210x x ++<”的否定是：“x ∀∈R,210x x ++≥”D ．已知函数()f x 可导，则“0()0f x '=”是“0x 是函数()f x 极值点”的充要条件 4．从1~9共9个自然数中任取七个不同的数，则这七个数的平均数是5的概率为( ) A ．23 B ．13 C ．19 D ．185．设D 是ABC △所在平面内一点，2AB DC =u u u r u u u r，则( ) A ．32BD AC AB =-u u u r u u u r u u u r B ．32BD AC AB =-u u u r u u u r u u u rC ．12BD AC AB =-u u u r u u u r u u u r D ．12BD AC AB =-u u u r u u u r u u u r6．过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点F 作一条直线，当直线倾斜角为6π时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线倾斜角为3π时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A．⎛ ⎝ B．⎫⎪⎪⎭C． D ．(1,2) 7．已知22(cos sin ,x x =--a ，1,cos 22x ⎛π⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b ，若()f x =⋅a b ，则()f x （ ）A ．图象关于,06π-⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称 B ．图象关于直线6x π=-对称 C ．在区间,06π-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．周期为π的奇函数 8．已知实数x ，y 满足1040x y x y y m -+⎧⎪+-⎨⎪⎩≥≤≥，若目标函数2z x y =+的最大值与最小值的差为2，则实数m 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．12-9．在程序框图中，输入N=8，按程序运行后输出 的结果是（ ）A ．6B ．7C ．10D ．1210．已知函数()(ln )f x x x ax =-有极值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A1+ B ．136πC1D1 12．若函数()f x 满足对于任意实数,,a b c ，都有(),(),()f a f b f c 为某三角形的三边长，则称()f x 为“可构造三角形函数”，已知2()21x x tf x -=+是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是（ ）A ．[1,0]-B ．(,0]-∞C ．[2,1]--D ．12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数()(91)9()x kx f x k =+⋅∈R 为偶函数，则实数k 的值为 ． 14．已知54(1+)(12)ax x -的展开式中2x 的系数为-16，则实数a 的值为 ． 15.已知O是锐角三角形ABC的外接圆圆心，1tan 2A =, cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B+=u u u r u u u r u u u r ,则m=16．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线C 的离心率为2，直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 中点M 在第一象限，并且在抛物线22(0)y px p =>上，若点M 到抛物线焦点的距离为p ，则直线l 的斜率为 ．正视图侧视图三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，25a =,511a =，数列{}n b 的前n 项和2n n S n a =+． （Ⅰ）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）如图，菱形ABCD 中，∠ABC = 60°，AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥平面ABCD ，CF ∥AE ，AB = AE = 2．（Ⅰ）求证：BD ⊥平面ACFE ；（Ⅱ）当直线FO 与平面BED 所成角的为45°时，求异面直线OF 与BE 所成的角的余弦值大小．19．(本小题满分12分)2015年下半年，“豆芽花”发卡突然在全国流行起来，各地随处可见头上遍插“小草”的人群，其形象如图所示：BC FDEO对这种头上长“草”的呆萌造型，大家褒贬不一．为了了解人们是否喜欢这种造型，随机从人群中选取50人进行调查，每位被调查者都需要按照百分制对这种造型进行打分．按规定，如果被调查者的打分超过60分，那么被调查者属于喜欢这种造型的人；否则，属于不喜欢这种造型的人．将收集的分数分成[0,20]，(20,40]，(40,60]，(60,80]，(80,100] 五组，并作出如下频率分布直方图：（Ⅰ）为了了解被调查者喜欢这种造型是否与喜欢动画片有关，根据50位被调查者 列联表如下表，请在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95℅的情况制作的22以上的把握认为被调查者喜欢头上长“草”的造型与自身喜欢动画片有关?抽取的3人中喜欢头上长“草”的造型的人数为X．若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列、期望()E X 和方差()D X ． 下面的临界值表供参考：（参考公式： K 2= (a + b) (c + d) (a + c) (b + d)， 其中n = a + b + c + d ）20．（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线10x y ++=与以椭圆C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点M(2,0)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点S 和T ，若椭圆C 上存在点P 满足OS OT tOP +=uu r uu u r uu u r（其中O 为坐标原点），求实数t 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数22()ln(1)(1)ax x f x x x +=+-+．（Ⅰ）当2a ≤时，讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若0x >,求函数11()(1)(1)xx g x x x=++的最大值．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，AB 是圆O 的直径，AC 是弦，BAC ∠的平分线AD 交圆O 于点D ,DE AC ⊥，交AC 的延长线于点E ,OE 交AD 于点F ．（Ⅰ）求证：DE 是圆O 的切线； （Ⅱ）若25AC AB =，求AFDF的值．23．(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为3 2.x y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ,[0,2)ρθθ=∈π． （Ⅰ）求直线l 与曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）在曲线C 上求一点D ，使得它到直线l 的距离最短．24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()|3|f x x =-．（Ⅰ）若不等式()(5)1≥f x f x m -+-有解，求实数m 的最小值M ；ABOCDFE（Ⅱ）若||1,||3a b <<，且0a ≠，证明：()||f ab b f a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭．数学答案（理科）一、BDDCA BCCCA CD二、13． 12- 14．2 15． 16．32 1．【答案】B【解析】由于1|32A x x ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭≤≤，{}0,1,2A B =I ，所以A B I 中有3个元素，故选B ．2．【答案】D【解析】因为复数2(1)(1)i z a a =-++为纯虚数,所以21010a a ⎧-=⎨+≠⎩，即a=1，所以2016i 1i a ++=20161i 112(1i)2(1i)1i 1i 1i (1i)(1i)2++--====-+++-，故选D ． 3．【答案】D【解析】已知函数()f x 可导，则“0()0f x '=”是“0x 是函数()f x 极值点”的必要不充分条件，故选D ． 4．【答案】C【解析】基本事件总数7299C C 36==因为这9个数的和为45，而且取出的7个数之和为35，所以平均数为5的事件个数相当于从1与9；2与8；3与7；4与6这4组数中去掉一组数的个数，即共4个基本事件个数，所以取出七个数的平均数是5的概率为41=369，故选C ． 5．【答案】A【解析】1322BD AD AB AC CD AB AC AB AB AC AB =-=+-=--=-uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r uu u r，故选A ．6．【答案】B【解析】由题意知tan tan 63b a ππ<<,所以222222241,4,3c a b b e a a a +⎛⎫⎛⎫===+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以23,23e ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎭，故选B ． 7．【答案】C【解析】22cos sin 3cos 22()x x x f x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭=⋅a b cos 23sin 22sin 26x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,易知只有C 选项正确． 8．【答案】C【解析】作出不等式组1040x y x y y m -+⎧⎪+-⎨⎪⎩≥≤≥对应的平面区域如图：由z=2x+y 得2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，由图象可知：当直线2y x z =-+经过点A 时，直线的截距最大，此时z 最大，由40x y y m +-=⎧⎨=⎩，解得4x m y m =-⎧⎨=⎩，即(4,)A m m -，此时2(4)8z m m m =-+=-，当直线2y x z =-+经过点B 时，直线的截距最小，此时z 最小，由10x y y m -+=⎧⎨=⎩，解得1x m y m =-⎧⎨=⎩，即(1,)B m m -，此时2(1)32z m m m =-+=-，因为目标函数z=2x+y 的最大值是最小值的差为2，所以8322m m --+=，即m=2．故选C ． 9．【答案】C【解析】由于程序中根据k 的取值，产生的T 值也不同由题意知，在循环体中，当*2()k n n =∈N 时，T=n ；当4+1()k n n =∈N 时，T=-n-1；当4+3()k n n =∈N 时，T=n+1；故可将程序中的k 值从小到大，每四个分为一组，即(1,2,3,4)，(5,6,7,8)而且每组的4个数中，偶数值乘以12累加至S ，但两个奇数对应的T 值相互抵消，即10)8642(21=+++=S ，故选C ． 10．【答案】A【解析】()ln 21f x x ax '=-+，若函数()(ln )f x x x ax =-有极值，则函数()ln 21f x x ax '=-+有零点，即方程ln 21x ax =-有解，从而函数ln y x =与21y ax =-图象有公共点，下考虑直线21y ax =-与曲线ln y x =相切的情况： 设切点00(,21)P x ax -，∴001|2x x y a x ='==，即012x a =，∴1,02P a ⎛⎫⎪⎝⎭代入曲线ln y x =中，解得12a =，结合图象可知，当12a =时，()0f x '=有唯一零点，且恒有(0)0f '≤，此时()f x 无极值点；当12a <时，函数ln y x =与21y ax =-图象有交公共点，且在公共点两侧()f x '异号，此时()f x 有极值点，故选A 11．【答案】C【解析】由题意可知几何体的形状是放倒的圆柱，底面半径为1，高为2，左侧与一个底面半径为1，高为1的半圆锥组成的组合体．几何体的表面积为：22111212+1+1+12222π⋅⋅π⋅π⋅π⋅⋅⋅，故选C12．【答案】D【解析】1()121x t f x +=-+ ①当10t +=，即1t =-时，()1f x =，此时(),(),()f a f b f c 都为1，能构成一个正三角形的三边长，满足题意．②当10t +>，即1t >-时，()f x 在R 上单调递增， ∴()1t f x -<<，由，()f x 为“可构造三角形函数”得12112t t -⇒-<-≥≤．③当10t +<，即1t <-时，()f x 在R 上单调递减，∴1()f x t <<-，由()f x 为“可构造三角形函数”得221t t -⇒-<-≥≤． 综上，122t --≤≤，故选D ．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．【答案】12-【解析】由题意知()()(91)9(91)9x kx x kx f x f x ---=⇒+⋅=+⋅对于x ∈R 恒成立，而()21(91)9(91)991k x x kx x kx +--+⋅=+⋅⇔=，于是210k +=，得k =14．【答案】2【解析】54(1+)(12)ax x -展开式的通项可以写成5454C ()C (2)C C (2)m m n n m n m n m n ax x a x +⋅-=-, 所以2x 的系数为020*********545454C C (2)C C (2)C C (2)16a a a -+-+-=-,即210402416a a -+=-,解得2a =.15.两边同时乘以AB u u u r,212AB AO AB•=u u u r u u u ru u ur 16．【答案】32【解析】∵M 在抛物线y 2=2px （p ＞0）上，M 到抛物线焦点的距离为P .∴M 点的坐标为,2p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭；则1212,2x x p y y p +=+=2222122212132222AB y y b c a e k x x a a ---=====-三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．解：（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则21515411a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩∴132a d =⎧⎨=⎩∴3(1)221n a n n =+-⨯=+ …………（3分） ∴数列{}n b 的前n 项和221n S n n =++=2(1)n +当n=1时，114b S ==，当n ≥2时，221(1)21n n n b S S n n n -=-=+-=+，对1b =4不成立， 所以，数列{}n b 的通项公式为4,121,2n n b n n =⎧=⎨+⎩≥ …………6分（2）n=1时，1121120T b b ==， n ≥2时，111111(21)(23)22123n n b b n n n n +⎛⎫==-⎪++++⎝⎭， 所以1111111111111161()()2025779212320252320101520(23)n n n T n n n n n --=+-+-++-=+-=+=+++++L n=1仍然适合上式， …………10分 综上，6120(23)n n T n -=+ ………… 12分18．解（Ⅰ）证明：Q 四边形ABCD 是菱形， BD AC ∴⊥．AE ⊥Q 平面ABCD,BD ⊂平面ABCDBD AE ∴⊥． AC AE A =Q I ,∴BD ⊥平面ACFE ． -------------------5分（Ⅱ）解：以O 为原点，OA ，OB 为x ，y 轴正向，z 轴过O 且平行于CF ，建立空间直角坐标系，则B，(0,D ，(1,0,2)E ，(1,0,)(0)F a a ->， ()1,0,OF a =-uuu r---6分设平面EBD 的法向量为(,,)x y z =n ，则有00OB OE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n uu u r uu u r，即020x z ⎪⎩=+=令1z =，则(2,0,1)=-n-------------------8分由题意得||sin 45|cos ,|||||OF OF OF ⋅=<>===n n n o uuu r uuu r uuu r，解得3a =或13-．由0a >，得3a = -------------------10分(1,0,3),(1,2),cos ,OF BE OF BE =-===u u u r u u u ru u u u r u u u r即所求的异面直线所成的角余弦值为---------------------12分19．解：（Ⅰ）如表：--------------------3分K 2 = 50×(30×6－9×5) 2 39×11×35×15= 40501001= 4.046 > 3．841所以有95℅以上的把握认为被调查者喜欢头上长“草”的造型和自身喜欢动画片有关．-----------------6分（Ⅱ）由频率分布直方图知抽到喜欢头上长“草”的频率为710，将频率视为概率，即从人群中抽取一名喜欢头上长“草”的概率为710．由题意知73,10X B⎛⎫⎪⎝⎭~，从而X的分布列为：-------------9分721()31010E X np ==⨯=, 7363()(1)31010100D X np p =-=⨯⨯=．-----------12分20．解：（Ⅰ）由题意，以椭圆C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为222)(a y c x =+-， ∴圆心到直线01=++y x 的距离d a ==（*）------------------------------------1分∵椭圆C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴b c =,a =， 代入（*）式得1b c ==，∴a ==故所求椭圆方程为.1222=+y x……………………………………………………4分（Ⅱ）由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 方程为)2(-=x k y ，设()00,P x y ， 将直线方程代入椭圆方程得：22228820(12)x k x k k -+-=+， ∴422644(12)(82)0k k k ∆=-+->，解得212k <． 设11(),S x y ,22(),T x y ，则22121222882,1212k k x x x x k k -+==++，----------------------6分 ∴121224(4)12x x ky y k k ++=-=-+由OS OT tOP +=uu r uu u r uu u r，得012012,tx x x ty y y =+=+当0t =时，直线l 为x 轴，则椭圆上任意一点P 满足OS OT tOP +=uu r uu u r uu u r，符合题意；当0≠t 时，20202812412k tx k k ty k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩∴2021812k x t k =⋅+，021412ky t k -=⋅+．------------------------------------------------------------9分将上式代入椭圆方程得：()()42222222321611212k k t kt k+=++，整理得： 2221612k t k =+=21612k +是2k 的递增函数， 由212k <知，204t <<，所以(2,0)(0,2)t ∈-U ， 综上可得(2,2)t ∈-． ----------------------------------------------------------------12分21．解：(Ⅰ) 由题意知：函数()f x 的定义域为(1,)-+∞，且2331(21)(1)2()(23)()1(1)(1)ax x ax x x x a f x x x x ++-+-+'=-=+++，①当231a --≤时，即1a ≤时若0x >，则()0f x '>；若10x -<<，则()0f x '<此时()f x 在区间(0,)+∞上单调递增,在区间 (1,0)-上单调递减. ②当1230a -<-<,即312a <<时若1230x a x -<<->或，则()0f x '>； 若230a x -<<，则()0f x '<, 此时()f x 在区间(1,23)a --，(0,)+∞上单调递增,在区间(23,0)a -上单调递减． ③当2a-3=0时32a =时，()0f x '≥，故此时()f x 在区间(1,)-+∞上单调递增． ④当230a ->时，即322a <≤时若1023x x a -<<>-或，则()0f x '>，若023x a <<-，则()0f x '<,所以，此时()f x 在区间(1,0)-,(23,)a -+∞上单调递增,在区间上(0,23)a -单调递减．-----------------------6分（Ⅱ）显然1()g x g x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设()1()ln ()ln(1)ln x g x x x x x x ϕ==++-，则1()()x x ϕϕ=，因此()x ϕ在(0,)+∞上的最大值等于其在(0,1]上的最大值． --------------------------7分2111()(1)ln(1)()ln 11x x x x x x x ϕ'=-+++⋅--+，设2111()(1)ln(1)()ln 11h x x x x x x x=-+++⋅--+， 2223222(1)[ln(1)](1)()(1)x x x x x h x x x +++-+'=+，由(Ⅰ)知，当2a =时，()f x 在区间(0,1]单调递减，所以222()ln(1)(0)0(1)x x f x x f x +=+-<=+,()0,h x '<所以函数()h x 在区间(0,1]单调递减，于是()(1)0h x h =≥， 从而函数()x ϕ在区间(0,1]单调递增，进而()(1)2ln 2x ϕϕ=≤， 因为()ln ()x g x ϕ= 所以函数()g x 的最大值等于4． --------------------------------------------12分请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．解析：（Ⅰ）连接，可得，∴..............3分又，∴，又为半径，∴是圆的切线；..............5分（Ⅱ）过作于点，连接，则有，...............7分设，则，∴...............8分由可得，又由，可得．...............10分23．解析：（Ⅰ）由，，可得，...............1分所以曲线的普通方程为（或），...............3分因为直线的参数方程为（为参数，），消去得直线的普通方程为；...............5分（Ⅱ）因为曲线是以为圆心，1为半径的圆，因为点在曲线上，所以可设点，...............7分所以点到直线的距离为，...............8分因为，所以当时，，...............9分此时点的坐标为．...............10分24．解析：（Ⅰ）因为，当且仅当时等号成立，所以，解得；...............5分（Ⅱ）证明：要证，即证，只需证，即证，又，，所以，所以，故原不等式成立．...............10分。
2020年5月湖北省普通高中2020届高三毕业班高考模拟调研考试数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前湖北省普通高中2020届高三毕业班下学期高考模拟调研考试数学(理)试题(解析版)2020年5月本试卷共5页，23题（含选考题）.★祝考试顺利★注意事项：1.答题前先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数21ii+=-（）A.1322i-+ B.1322i-- C.1322i- D.1322i+【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算法则，准确运算，即可求解.【详解】根据复数的除法运算法则，可得()()()()2121313111222i i i i i i i i ++++===+--+. 故选：D .【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，其中解答中熟记复数的四则运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力.2.已知集合{}2230A x x x =--<，非空集合{}21B x a x a =-<<+，B A ⊆，则实数a 的取值范围为（ ）.A. (],2-∞B. 1,22⎛⎤ ⎥⎝⎦C. (),2-∞D. 1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合A ，由集合的包含关系可构造不等式组求得结果. 【详解】()(){}{}31013A x x x x x =-+<=-<<， 集合B 为非空集合且B A ⊆，121321a a a a +>-⎧⎪∴+≤⎨⎪-≥-⎩，解得：122a <≤， 即实数a 的取值范围为1,22⎛⎤ ⎥⎝⎦. 故选：B .【点睛】本题考查根据集合的包含关系求解参数范围的问题，涉及到一元二次不等式的求解，属于基础题.3.已知直线l 过圆226260x y x y +--+=的圆心且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是（ ）.A. 20x y +-=B. 30x y +-=C. 20x y --=D.30x y --= 【答案】C。